1.4 定积分与微积分基本定理
1.4.1曲边梯形面积与定积分
【提出问题】
如上图，函数f(x)=x2与g(x)=2x-0.5交点为A（0.29，0.09），B（1.71，2.91），过点A做x轴的垂线交x轴为点C，过点B做x轴的垂线交x轴为点D。
问题1：直角梯形ACDB的面积是多少？
根据梯形面积公式易得，直角梯形ACDB的面积是2.13.
曲线y=f(x)与平行于y轴的两条直线x=a，x=b和x轴所围成的图形，称为曲边梯形．问题2：函数f(x)=x2与x=0.29，x=1.71和x轴所围成的曲边梯形面积怎么求呢？
提示：既然直角梯形的面积我们可以求，那么曲边梯形能否转化为直角梯形（曲化直）。
我们知道任意多边形都可以分割成一些三角形，通过计算这些三角形面的和就可以得出这个多边形的面积，是否可以使用类似的方法计算由曲线围成的区域的面积（分割）。
下面我们举例来研究这个问题。
【解决问题】
求由抛物线y＝x2，直线x＝1以及x轴所围成的图形面积．
将区间[0,1] 等分为n个小区间，
0＝x0 n(i＝0,1,2，…，n)， Δx i＝1 n(i＝1,2,3，…，n)， 在每个小区间[x i－1，x i]上取右端点ξi＝x i(i＝1,2，…，n)． 于是曲线之下小矩形的面积为ξi 21 n (i ＝0，1,2，…，n-1) 所以曲线之下小矩形的面积和为 S n =(0n ) 2?1n +(1n ) 2?1n +(2n ) 2?1n +…+(n?1n ) 2?1 n = 02+12+22+?+(n?1)2 n 3 =1 6(1?1 n )(2?1 n ) 由此得到 S ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ 16 (1?1n )(2?1n )＝1 3 . 从图形上看，当n 越来越大时，划分越来越细，阴影部分的面积与曲边梯形面积相差越来越小，当n 趋于正无穷时，阴影部分趋近于曲边三角形，因此可以将1 3视为此曲边三角形的面积。 【获得新知】 类似的问题还很多，它们都可以归结为求这种和式的极限。牛顿等数学家经过艰苦研究，得到了解决这类问题的一般方法：求函数的定积分。 定积分的定义 设函数y ＝f(x)定义在区间[a ，b]上(如图)．用分点a ＝x 0 Δx i ＝x i ＋1－x i ，i ＝0,1,2，…，n －1. 记λ为这些小区间长度的最大者．当λ趋近于0时，所有的小区间长度都趋近于0.在每个小区间内任取一点ξi ，作和式S n ＝ 当λ→0时，如果和式的极限存在，我们把和式S n 的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作 ()b a f x dx ? ，即()b a f x dx ?＝ 其中f(x)叫做被积函数，a 叫做积分 下限，b 叫积分上限，f(x)d x 叫做被积式．此时称函数f(x)在区间[a ，b]上可积． 【概念领悟】 1．定积分的几何意义 (1)当f(x)在区间[a ，b]上大于0时，()b a f x dx ?表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0及 曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积． (2)当f(x)在区间[a ，b]上小于0时， ()b a f x dx ? 表示由直线x ＝a ，x ＝b(a ≠b)，y ＝0及 曲线y ＝f(x)所围成的曲边梯形的面积的相反数． (3)当f(x)在区间[a ，b]上有正有负时， ()b a f x dx ? 表示介于x 轴、曲线y ＝f(x)以及直线 x ＝a ，x ＝b 之间各部分的面积之和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号． 2．定积分的性质 (1) ()()b b a a kf x dx k f x dx =? ?(k 为常数)； (2) ()()()()b b a a a b f x g x dx f x dx g x dx ±=±? ??； (3) ()()() ()b c b a a c f x dx f x dx f x dx a c b =+< ??. 【经典例题】 例1 利用定积分的定义计算由抛物线y ＝x 2，直线x ＝2以及x 轴所围成的图形面积． 解：将区间[0,2]n 等分， 0＝x 0 n (i ＝0,1,2，…，n)， Δx i ＝2 n (i ＝1,2,3，…，n)， 在每个小区间[x i －1，x i ]上取右端点ξi ＝x i-1(i ＝1,2，…，n)． 于是曲线之下小矩形的面积为ξi 22 n (i ＝1,2，…，n) 所以曲线之下小矩形的面积和为 S n =4[(0 n ) 2?2 n +(1 n ) 2?2 n +(2 n ) 2?2 n +…+( n?1n ) 2?2n ] =8? 02+12+22+?+(n?1)2 n 3 =43 (1?1 n )(2?1 n ) 由此得到 S ＝lim n →∞ S n ＝lim n →∞ 43(1?1n )(2?1n )＝8 3. 【规律技巧】求曲边梯形面积的四个步骤： 第一步：分割，在区间[a ，b]上插入n －1个分点，将这个区间n 等分，即将它分成n 个小区间[x i －1，x i ](i ＝1，2，…，n ).区间[x i －1，x i ]的长度Δx i ＝x i －x i －1； 第二步：近似代替，“以直代曲”，用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出每个小曲边梯形面积的近似值； 第三步：求和，即求这些小矩形面积的和； 第四步：取极限. 例2 利用定积分的几何意义求∫√4?x 2dx 2 0的值。 解：因为被积函数为y ＝√4?x 2， 其表示的曲线为以原点为圆心，2为半径的四分之一圆， 由定积分的几何意义可知，所求的定积分即为四分之一圆的面积， 所以∫√4?x 22 0dx ＝14 ·π·22＝π. 【规律技巧】利用定积分的几何意义求定积分 ()b a f x dx ? ，关键是确定由曲线y ＝f (x )和直 线x ＝a ，x ＝b 及x 轴所围成的图形的形状，若图形是三角形、梯形、矩形、圆(或一部分)，则可用相应面积公式计算． 例3 利用定积分表示由抛物线y 2＝x (y >0)与直线5x ＋y －6＝0及y ＝0所围成图形的面积． 解：由题意，作图形，并解方程组{y 2=x (y >0), 5x +y ?6=0 得x ＝1，y ＝1. 所以y 2＝x 与直线5x ＋y －6＝0的交点为(1,1)． 所以所求面积为 S ＝∫√xdx 1 0＋∫(6?5x )dx 6 51 . 【规律技巧】 ①当函数f (x )在区间[a ，b ]上恒为正时，定积分()b a f x dx ? 的几何意义是以曲线f (x )为曲边的曲边梯形的面积．一般情况下，如图，定积分 ()b a f x dx ? 的几何意义是介于x 轴、函数 f (x )的图像以及直线x ＝a 、x ＝b 之间各部分面积的代数和，在x 轴上方的面积取正号，在x 轴下方的面积取负号． ②利用定积分表示曲线围成的面积时，关键是弄清定积分的几何意义，特别注意符号问题．定积分的值可正可负可为零，而面积是正值． 【总结提炼】这节内容我们通过“曲化直”与“分割”的思想方法研究了曲边梯形的面 积，定义了定积分运算。这些数学核心思想方法要注意理解。
相关主题
文本预览