《平面向量》练
习题
整理人尼克
《平面向量》练习题
一、选择题( 本大题共10 题, 共计50 分)
1、若向量a与b的夹角为60°,|b|=4,(a+2b)·(a-3b)=-72,则向量a的模是…()
(A)2
(B)4
(C)6
(D)12
2、△ABC中,a、b、c分别为△A、△B、△C的对边.如果a、b、c成等差数列,△B=,△ABC的面积为,那么b等于………………………()
A.
B.1+
C.
D.2+
3、把函数y=e x的图象按向量a=(2,0)平移,得到y=f(x)的图象,则f(x)=
(A)e x+2(B)e x-2(C) e x-2(D) e x+2
4、直角坐标系中,分别是与x、y轴正方向同向的单位向量.在直角三角形中,若
,则的可能值个数是()
A.1B.2C.3D.4
5设两个向量和,其中为实数.若,
则的取值范围是()
A.[-6,1]B.C.(-6,1]D.[-1,6]
6平面向量a,b共线的充要条件是()
A. a,b方向相同
B. a,b两向量中至少有一个为零向量
C. ,b= a
D. 存在不全为零的实数,,a +b =0
7、已知平面向量a=(1,-3),b=(4,-2),a + b与a)
A. -1
B. 1
C. -2
D. 2
8、已知平面向量a=(1,2),b=(-2,m),且a△b,则2a+3b等于()
A.(-5,-10)
B.(-4,-8)
C.(-3,-6)
D.(-2,-4)
9、在ΔABC中,AB=3,AC=2,BC=,则
A. B. C. D.
10、在△ABC中,角ABC的对边分别为a、b、c,若(a2+c2-b2)tanB=,则角B的值为
A. B. C.或 D. 或
二、填空题( 本大题共 5 题, 共计25 分)
1、已知向量,,,且A、B、C三点共线,则__________
2、已知向量,且A、B、C三点共线,则k=.
3、在△ABC中,已知BC=12,A=60°,B=45°,则AC=_____________
4、在中,角A、B、C所对的边分别为,若,则A=.
5、已知||=3,||=2,若=-3,则与夹角的大小为.
三、解答题( 本大题共 6 题, 共计71 分)
1、在△ABC中,已知,求△ABC的面积.
2、已知在△ABC中,sinA(sinB+cosB)-sinC=0,sinB+cos2C=0,求角A、B、C的大小.
3、在△ABC中,已知边上的中线BD=,求sinA的值.
4、如图,某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB,小区的两个出入口设置在点A及点C 处,且小区里有一条平行于BO的小路CD.已知某人从C沿CD走到D用了10分钟,从D沿DA走
到A用了6分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,求该扇形的半径OA的长(精确到1米).
5、已知函数f(x)=为偶函数,且函数y=f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为
(△)求的值;
(△)将函数y=f(x)的图象向右平移个单位后,得到函数y=g(x).
6、设的内角所对的边长分别为,且.
(△
(△)求的最大值.
参考答案
一、选择题( 本大题共10 题, 共计49 分)
1、(5分)
C
2、(5分)
B
3、(5分)
C
解析:即将y=e x图像向右平移2个单位得y=e x-2.
4、(4分)
答案:B
解析:=(2,1),=(3,k),则=(1,k-1).
①若△A=90°,则·=0,即2×3+k·1=0,∴k=-6;
②若△B=90°,则·=0,即2×1+1×(k-1)=0,△k=-1;
③若△C=90°,则·=0,即3×1+k(k-1)=0,
△k2-k+3=0,而此方程无解.
故有两种可能.
5、(5分)
答案:A
解析:由a=2b,得
由②,得λ2-m=cos2α+2sinα
=-sin2α+2sinα+1
=-(sinα-1)2+2.
△-2≤λ2-m≤2,
即λ2-2≤m≤λ2+2.
又m=λ+1,
作出图象,
由图知即为直线m=λ+1与m≥λ2-2交点AB间的点与原点间连线斜率的倒数.
易得端点A(-,),B(2,2).
△-6≤≤1.
6、(5分)
D(排除法)由两个非零向量a、b共线的充要条件a=λb,可排除A、B、C.
7、(5分)
A(λa+b)·a=0,△λ(a)2+a·b=0.
△10λ+10=0,λ=-1.
8、(5分)
答案:B,△m=-4.
△a=(1,2),b=(-2,-4).
则2a=(2,4),3b=(-6,-12).
△2a+3b=(-4,-8).
9、(5分)
D△·=||·||·cos〈,〉,
由向量模的定义和余弦定理可以得出||=3,||=2,
cos〈,〉=.
△·=3·2·=.△选D.
10、(5分)
D解析:由(a2+c2-b2)tanB=3ac,联想到余弦定理并代入得cosB=·.
显然B≠,△sinB=,在(0,π)内B=或.
二、填空题( 本大题共 5 题, 共计23 分)
1、(4分)
14.
解法一:△=(k,12),=(4,5),=(-k,10),
△A(k,12),B(4,5),C(-k,10).
△A、B、C三点共线,△k AB=k BC.
△=,解之得k=-.
解法二:=(k,12),=(4,5),=(-k,10).△A、B、C三点共线,
△与共线.
△=λ(λ△R).
△(k-4,12-5)=λ(4+k,5-10).
△(k-4,7)=(4λ+kλ,-5λ).
△△
解法三:=(k,12),=(4,5),=(-k,10).△A、B、C三点共线,
△△.
△=(k-4,12-5),=(4+k,5-10),
△(k-4)·(5-10)-(12-5)(4+k)=0,
解之得k=-.
2、(4分)
14.
解法:△=(k,12),=(4,5),=(-k,10),
△A(k,12),B(4,5),C(-k,10).
△A、B、C三点共线,△k AB=k BC.
△=,解之得k=-.
3、(5分)
4
解析:
由正弦定理易知.
△AC=
4、(5分)
解析:△,△.
△sin A=.△A=.
5、(5分)
答案:
解析:本题主要考查向量的数量积的基本运算.
,又因为△[0,π],所以=.
三、解答题( 本大题共 6 题, 共计71 分)
1、(12分)
18.本小题主要考查正弦定理、余弦定理和三角形面积公式等基础知识,同时考查利用三角公式进行恒等变形的技能和运算能力.
解法1:设AB、BC、CA的长分别为c、a、b,
.
故所求面积
解法2:同解法1可得c=8.
又由余弦定理可得,a2=b2+c2-2bccosA.
而cosA=-cos(B+C)=-cosBcosC+sinBsinC
=-
△a2=(3)2+82-2×3×8×()=22+8。
△a>0,△a==4+.
故所求面积S△ABC=ac sinB=6+8.
解法3:同解法1可得c=8.
又由余弦定理可得
△
2、(12分)
17.解法一由
得
即
因为所以,从而
由知
从而.
由
即
由此得
所以
解法二:由
由、,所以
即
由
得
即因为,所以
由
从而,知B+2C=不合要求.
再由,得
所以
3、(12分)
18.解法1:设E为BC的中点,连接DE,则DE//AB,
且DE=
在△BDE中利用余弦定理可得:BD2=BE2+ED2-2BE·EDcos△BED,
解法2:以B为坐标原点,轴正向建立直角坐标系,且不妨设点A位于第一象限.
解法3:过A作AH△BC交BC于H,延长BD到P使BD=DP,连接AP、PC.
过P作PN△BC交BC的延长线于N,
则HB=ABcosB=
4、(13分)
解:设该扇形的半径为r米,连结CO.
由题意,得CD=500(米),DA=300(米),△CDO=60°.
在△CDO中,CD2+OD2-2CD·OD·cos60°=OC2,
即5002+(r-300)2-2×500×(r-300)×=r2.
解得r=≈445(米).
答:该扇形的半径OA的长约为445米.
5、(12分)
解:(△) f(x)==2
=.
因为f(x)为偶函数,
所以对x△R,f(-x)=f(x)恒成立,
因此sin
即-sin cos(-)+cos sin(-)=sin cos(-)+cos sin(-),整理得
因为>0,且x
所以
又因为0<<,
故-.
所以
由题意得
所以w=2.
故f(x)=2cos2x.
因此
(△)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到的图象.
所以
当
即时,g(x)单调递减.
因此g(x)的单调递减区间为
6、(10分)
解:(△)由正弦定理得
依题设得:
(△)由(△)得tanA=4tanB,故A、B都是锐角,于是tanB>0.
且当tanB=时,上式取等号。因此tan(A-B)的最大值为.
整理丨尼克
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第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。