北师大下《二年级下册数学》培优训练
一、培优题易错题
1．小明、小华、小强星期天去公园划船，他们都戴了一顶漂亮的太阳帽。太阳帽有三种颜色：红、黄、蓝。他们戴的分别是什么颜色的帽子?涂一涂。
【答案】根据分析可得：小明戴的是黄色的，小华戴的是红色的，小强戴的是蓝色的，涂色如下：
【解析】【分析】根据小强的话“我戴的不是红色的，也不是黄色的”可知，小强戴的是蓝色的；根据小明的话“我戴的不是红色的”可知，小明戴的可能是黄色的或蓝色的，因为小强戴的是蓝色的，则小明戴的是黄色的，那么小华戴的是红色的，据此解答。
2．找规律，涂一涂。
【答案】
【解析】【分析】观察左图可知，图中是按“● ○”为一组循环排列的，据此规律涂色；
观察右图可知，图中是按“○ ○ ●”为一组循环排列的，据此规律涂色。
3．下一个应该是什么?请圈出来。
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】【分析】（1）观察图形可知，此题是按“○ △”两个图形为一组，循环排列的，据此圈出下一个图形；
（2）观察图形可知，此题是按“”两个图形为一组，循环排列的，据此圈出下一个图形；
（3）观察图形可知，此题是按“”三个图形为一组，循环排列的，据此圈出下一个图形。
4．在钟面上画出时针和分针．
【答案】解：
【解析】
5．画分针。
【答案】解：
【解析】
6．在下面钟面上补上时针或分针．
【答案】解：
【解析】
7．将2、4、6、7、8、10分别填入图中空格中，使每一横行、竖行、斜行的三个数的和都等于18。
【答案】
【解析】【分析】观察图可知，先确定9与3这条斜行中的数是18-9-3=6，然后推导出正方形右上角顶点处的数字，18-6-5=7，最后用18减去每一横行或竖行中已知的两个数，等于剩下的一个数，据此规律解答。
8．把19拆分成不大于9的三个不同数（0除外）之和。一共有多少种不同的拆分方式? 【答案】解：共5种：①19=9+8+2；②19=9+7+3；③19=9+6+4；④19=8+7+4；
⑤19=8+6+5。
答：共有5种不同的拆分方式。
【解析】【分析】先确定最大的数9，然后依次确定后面两个数，按照这样的方法列举出所有拆分方式即可。
9．有一个图形徽标，分成四块区域，如下图所示，每块涂红，黄，蓝三种颜色中的一种，要求相邻的两块不能涂同一种颜色，那么共有几种涂色方案?（请你设计其它涂色方案：颜色用文字表示）
【答案】解：共6种（包括所列方案），具体方案如图：
【解析】【分析】先确定上面区域的颜色，那么最下面区域的颜色一定和这个颜色相同，最后确定中间的两个区域的颜色。这样列举出所有的涂色方案即可。
10．聪聪从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有2条路可走。他从家经过学校到少年宫有几种不同的走法?
【答案】解：3×2=6（种）
答：聪聪从家经过学校到少年宫有6种不同的走法。
【解析】【分析】聪聪从家到学校有3条路可走，从学校到少年宫有2条路可走，说明选择聪聪从家到学校的1条路，就有2种方法去少年宫，所以聪聪从家经过学校到少年宫有3×2=6种不同的走法。
11．中午，餐厅给每人供应一份套餐和一杯饮品，菜单如下：
套餐：鸡肉套餐、牛肉套餐、蔬菜套餐、排骨套餐
饮品：橙汁、可乐
一共有多少种选法?你打算怎样选?请写出两种选法。
【答案】 4×2=8（种）
答：一共有8种选法。比如：①鸡肉套餐和橙汁，②牛肉套餐和可乐。（选法不唯一）【解析】【分析】每种套餐和两种不同的饮品有2种选法，共有4种套餐，用乘法即可解答。
12．在方框里填上1~9使算式成立，每个算式中的数字不能重复。
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）解：
（2）解：
（3）解：
（4）解：
【解析】【分析】（1）竖式中的和的个位是1，其中一个加数的个位是7，而且个位相加的和大于10，所以第二个加数的个位是11-7=4；
（2）竖式中的和的个位是2，可以猜想：1+1=2，2+0=2，3+9=12，4+8=12，5+7=12，6+6=12，因为填的数字不能重复，所以可以选的有5和7或3和9，那么第二个加数的十位是6-1-4=1；
（3）竖式中的差的个位是4，减数的个位是8，4+8=12，那么被减数的个位是2，而且被减数要从十位退1，那么减数的十位可以是1、3，当减数的十位是1时被减数的十位是5+1+1=7，当减数的十位是3时被减数的十位是5+1+3=9；
（4）竖式中的差的个位是6，被减数的个位是4，4<6，所以被减数要从十位退1，所以减数的个位是14-6=8，被减数的十位是1+4+1=6。
二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1.下列函数中，哪些是二次函数？ 1 “、 (1) y=3(x-1)2+1 (2) y=x + (3) x F 列函数中：① y= — x 2;②y=2x :③y=22+x 2 — x 3；④m=3 — t — t 2是二次函数的是 s=3-2t (4) y= —⑸y=(x+3) 2-x 2 ⑹ v=10 n r2 x x 2 若y= ( 1) x m 6m 5是二次函数，则m=() —1 B . 7 C . — 1或7 D .以上都不对 F 列各关系式中，属于二次函数的是 (x 为自变量) 1 2 y= x 8 B . y= .. x 2 1 1 C . y= 2 x y=ax 2+bx+c(a , b , C 是常数)是二次函数的条件是 a M 0, b M 0, C M 0 B . a<0, b M 0, C M 0 C . a>0, 1 自由落体公式h= gt 2(g 为常量),h 与t 之间的关系是 2 A.正比例函数 下列结论正确的是 A . y=ax 2是二次函数 B .二次函数自变量的取值范围是所有实数 C .二次方程是二次函数的特例 D .二次函数的取值范围是非零实数 已知函数 y=(m 2— m)x 2+(m — 1)x+m+1. (1) 若这个函数是一次函数， (2) 若这个函数是二次函数， 函数 A . b 丰 0, C M 0 (其中x 、t 为自变量). 2 D . y=a x B. 一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 2 如果函数y=x k 3k 2 +kx+1 求 m 的值; 求 m 的值 是二次函数，贝U k 的值一 —定是 2 10 .如果函数y=(k — 3) x k 3k 2+kx+1是二次函数，则k 的值一定是 11. 下列函数属于二次函数的是( ) 1 y=x —— x B . y= (x — 3) 2 — x 2 1 C . y= 2 -x x D . y=2 (x + 1) 2 — 1 12. 在半径为 cm 的圆面上，从中挖去一个半径为 o x cm 的圆面，剩下一个圆环的面积为 y cm ，贝V y 与x 的函 数关系式为( A . y= x 2 — 5 2 B . y= (5 — x ) 2 2 .y= —( x + 5) D . y= — x + 25 结识抛物线 y=ax 2 1 .函数y= ax 2 a 2 2a 6 是二次函数，当 a= ____ 时，其图象开口向上；当 a= ____ 时，其图象开口向下 2.填右表并填空： 抛物线y=2x2的顶点坐标是 __________ 」对
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 =++（a b c y ax bx c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 =的性质： y ax a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 =+的性质： y ax c 上加下减。 =-的性质： y a x h 左加右减。
4. ()2 y a x h k =-+的性质： 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成
二次函数练习题 班级 姓名 成绩 二次函数所描述的关系 1．下列函数中，哪些是二次函数？ (1）y=3(x-1)2+1 （2）y=x ＋ x 1 （3）s=3-2t （4）y=x x -21 (5)y=(x+3)2-x 2 (6) v=10πr 2 2．下列函数中：①y =－x 2；②y =2x ；③y =22+x 2－x 3；④m =3－t －t 2是二次函数的是______(其中x 、t 为自变量). 3．若y=（m ＋1）x 5 62--m m 是二次函数，则m=（ ） A ．－1 B ．7 C ．－1或7 D ．以上都不对 4．下列各关系式中，属于二次函数的是(x 为自变量) A ．y = 8 1x 2 B ．y =12 -x C ．y = 21x D ．y =a 2x 5．函数y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 是常数)是二次函数的条件是 A ．a ≠0，b ≠0，c ≠0 B ．a <0，b ≠0，c ≠0 C ．a >0，b ≠0，c ≠0 D ．a ≠0 6．自由落体公式h = 2 1gt 2 (g 为常量)，h 与t 之间的关系是 A.正比例函数 B.一次函数 C.二次函数 D.以上答案都不对 7．下列结论正确的是 A ．y =ax 2是二次函数 B ．二次函数自变量的取值范围是所有实数 C ．二次方程是二次函数的特例 D ．二次函数的取值范围是非零实数 8．已知函数y =(m 2－m )x 2+(m －1)x +m +1. (1)若这个函数是一次函数，求m 的值; (2)若这个函数是二次函数，求m 的值 9．如果函数y=x 2 32+-k k +kx+1是二次函数，则k 的值一定是______ 10．如果函数y=(k －3) x 2 32+-k k +kx+1是二次函数,则k 的值一定是______ 11．下列函数属于二次函数的是（ ） A ．y=x － x 1 B ．y=（x －3）2－x 2 C ．y=21x －x D ．y=2（x ＋1）2 －1 12． 在半径为5㎝的圆面上，从中挖去一个半径为x ㎝的圆面，剩下一个圆环的面积为y ㎝2 ，则y 与x 的函数关系式为（ ） A ．y=πx 2 －5 B ．y=π（5－x ）2 C ．y=－（x 2 ＋5） D ．y=－πx 2 ＋25π 结识抛物线y=ax 2
二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 （1）抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 北师大版二次函数测试题及答案 北师大版二次函数测试题 一、选择题： 1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)() A. B. C. D. 2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是() A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3) 3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在() A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上 4. 抛物线的对称轴是() A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4 5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是() A. ab>0，c>0 B. ab>0，c<0 C. ab<0，c>0 D. ab<0，c<0 的点，P3(x3，y3)是直线上的点，且-1 两点，则这条抛物线的解析式为_____________. 15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于 A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________. 16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足： (其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m. 17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________. 18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________. 三、解答题： 第二章二次函数 二次函数的应用（1） 一、知识点 1. 利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2. 求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大（小）值． 过程与方法： 1. 通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断 能力． 2. 通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度： 1. 经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经 验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2. 能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3. 进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、重点与难点 重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知( 放幻灯片2、3、4) 1.(1) 请用长20 米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2) 怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2. 如图，在一面靠墙的空地上用长为24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花 圃，设花圃的宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； ⑵当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ (3) 若墙的最大可用长度为8 米，求围成花圃的最大面积. 设计意图：在上一个问题的基础上对问题情境进行变化，增大难度，同时板书解题过程，让学生明确规范的书写过程. 五、探究新知( 放幻灯片5、6、7) 二次函数 1． .二次函数342++=x x y 的图像可以由二次函数2x y =的图像平移而得到，下列平移 正确的是 ( ) A ．先向左平移2个单位，再向上平移1个单位 B ．先向左平移2个单位，再向下平移1个单位 C ．先向右平移2个单位，再向上平移1个单位 D ．先向右平移2个单位，再向下平移1个单位 2,已知:二次函数24y x x a =--，下列说法错误．． 的是 ( ) A ．当1x <时，y 随x 的增大而减小 B ．若图象与x 轴有交点，则4a ≤ C ．当3a =时，不等式240x x a -+>的解集是13x << D ．若将图象向上平移1个单位，再向左平移3个单位后过点(12)-，，则3a =- 3,在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和222y mx x =-++(m 是常数，且0m ≠)的图 4,已知抛物线21y x x =--与x 轴的一个交点为(0)m ， ，则代数式22008m m -+值( ) A ．2006 B ．2007 C ．2008 D ．2009 5，二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象经过点(12)-，，且与x 轴交点的横坐标分别为 12x x ，，其中121x -<<-，201x <<，下列结论: ①420a b c -+<；②20a b -<；③1a <-；④284b a ac +>其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6，已知集合},2|{R x y y M x ∈==，},|{2R x x y y N ∈==，那么 ( ) .A }4,2{=N M .B )}4,2{(=N M .C N M = .D N M ? 7，不等式2313x x a a +--≤-对任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围为( ) A ．(,1][4,)-∞-+∞ B ．(,2][5,)-∞-+∞ C ．[1,2] D ．(,1][2,)-∞+∞ 图,5 Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 二次函数 知识回顾 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 y ax bx c =++的结构特征： ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 例1（基础）.二次函数2 365 y x x =--+的图像的顶点坐标是（） A．（-1，8） B.（1，8） C（-1，2） D（1，-4） 习题精练 1、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，反比例函数y＝a x 与 正比例函数y＝（b＋c）x在同一坐标系中的大致图象可能是（） 2、若二次函数5 2+ + =bx x y配方后为k x y+ - =2)2 (则b、k的值分别为（） A .0 5 B .0. 1 . 5 . 1 3、图（1）是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在l 时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面2m ，水面宽4m ．如图（2）建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（ ） A ．22y x =- B ．22y x = C ．2 1 2y x =- D ．212 y x = 4、已知二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的表达式为（ ） A ．223y x x =-+ B ．223y x x =-- C ．223y x x =+- D ．223y x x =++ 5. 若2y ax bx c =++，则由表格中信息可知y 与x 之间的函数关系式是（ ） 北师大版二次函数总结 及典型题 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] 二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2 y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0 a≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0 a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2 =++的结构特征： y ax bx c ⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2． ⑵a b c ，，是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2 y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2 y ax c =+的性质： 上加下减。 3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标 ()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后 者通过配方可以得到前者，即2 2424b ac b y a x a a -? ?=++ ?? ?，其中 2 424b ac b h k a a -=-= ，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ， （若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =- ，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ???，． 二次函数知识点归纳 1. 定义：一般地，如果 y ax 2 bx c （a,b,c 是常数，a 0），那么y 叫做x 的二次函数. 2. 二次函数y ax 2的性质 （1） 抛物线y ax 2的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. （2） 函数y ax 2的图像与a 的符号关系. ① 当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ② 当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最高点. （3） 顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）. 3. 二次函数 y ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合） y 轴的抛物线. 4. 二次函数y ax 2 bx c 用配方法可化成： y ax h 2 k 的形式，其中h —， k 4ac _ . 2a 4a 2 2 2 2 5. 二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ①y ax 2 :②y ax 2 k :③y a x h 二④y a x h k ； 2 ⑤ y ax bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下； a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . ② 平行于y 轴（或重合）的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线x 0. 如果二次项系数 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, 只是顶点的位置不同. 8.求抛物线的顶点、对称轴的方法 （2）配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为（h , k ），对称轴是直线 x h . （3 ）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 7.顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数, (1 )公式法：y ax 2 bx c b a x 2a 2 2 4ac b b 4a c b ,???顶点是( ，- ),对称轴是直线x 4a 2a 4a b 2a 二次函数（三）（北师版） 试卷简介:二次函数表达式、图象、性质及实际应用 一、单选题(共13道，每道6分) 1.某一型号飞机着陆后滑行的距离y(单位:m)与滑行时间x(单位:s)之间的函数关系式为 ,该型号飞机着陆后滑行( )m才能停下来. A.40 B.1200 C.80 D.600 答案：D 解题思路：y所代表的是滑行距离，现在问滑行多远才能停下来，即最远滑行距离，也就是y的最大值． ∵-1.5<0，∴函数有最大值． ∴y max=，即飞机着陆后滑行600米才能停止． 试题难度：三颗星知识点：二次函数性质应用 2.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数(x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为( ) A.40m/s B.20m/s C.10m/s D.5m/s 答案：C 解题思路：把y=5代入得函数可以解得．解得x1=10，x2=-10（舍），故开始刹车时的速度为10m/s． 试题难度：三颗星知识点：二次函数性质应用 3.某公园有一个圆形喷水池,喷出的水流呈抛物线状,一条水流的高度h(单位:m)与水流运动时间t(单位:s)之间的关系式为,那么水流从抛出至回落到地面所需要的时间是 ( ) A.6s B.4s C.3s D.2s 答案：A 解题思路：水流回落到地面时高度h为0，把h=0代入得：， 解得：（舍去），． 试题难度：三颗星知识点：二次函数性质应用 4.某幢建筑物,从10米高的窗口A用水管向外喷水,喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在平面 与墙面垂直,如图).如果抛物线的最高点M离墙1米,离地面米,则水流下落点B离墙距离OB是( ) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米 答案：B 解题思路：设抛物线的解析式为， 把点A（0，10）得，， 当时，解得（不合题意，舍去）， ∴OB=3米． 试题难度：三颗星知识点：二次函数性质应用 5.某公园草坪的防护栏由100段形状相同的抛物线形构件组成,为了牢固起见,每段护栏需要间距0.4m加设一根不锈钢的支柱,防护栏的最高点距底部0.5m(如图),则这条防护栏需要不锈钢支柱的总长度至少为( ) 二次函数知识点归纳 1.定义:一般地,如果c b a c bx ax y ,,(2 ++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2 ax y =的性质 (1)抛物线2 ax y =的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴． （2)函数2 ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 新北师大版九年级数学二次函数知识点归纳总 结 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】 二次函数知识点归纳 1.定义：一般地，如果c b a c bx ax y ,,(2++=是常数，)0≠a ，那么y 叫做x 的二次函数. 2.二次函数2ax y =的性质 （1）抛物线2ax y =的顶点是坐标原点，对称轴是y 轴. （2）函数2ax y =的图像与a 的符号关系. ①当0>a 时?抛物线开口向上?顶点为其最低点； ②当0a 时，开口向上；当0 第二章二次函数 2.4 二次函数的应用（1） 一、知识点 1.利用二次函数求几何图形面积最大值的基本思路. 2.求几何图形面积的常见方法. 二、教学目标 知识与技能： 能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能够运用二次函数的知识解决实际问题中的最大(小)值． 过程与方法： 1.通过分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，培养学生的分析判断能力． 2.通过运用二次函数的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力． 情感与态度： 1.经历探究长方形和窗户透光最大面积问题的过程，获得利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受数学模型思想和数学的应用价值． 2.能够对解决问题的基本策略进行反思，形成个人解决问题的风格． 3.进一步体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数学的信心，具有初步的创新精神和实践能力． 三、重点与难点 重点：能够分析和表示不同背景下实际问题中变量之间的二次函数关系，并能运用二次函数的有关知识解决最大面积问题. 难点：把实际问题转化成函数模型. 四、创设情境，引入新知(放幻灯片2、3、4） 1.(1)请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园. (2)怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ 设计意图：通过学生所熟悉的图形，引入新课，使学生初步了解解决最大面积问题的一般思路. 2.如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的 宽AB为x米，面积为S平方米. (1)求S与x的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当x取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？ 1 新北师大版九年级数学《二次函数》专项训练题（二） 二次函数y=ax2与y=ax2+c 的图像与性质 完成时间：60分钟 1．若二次函数y=ax 2＋c(a ≠0)中，a ＞0,c ＞0时，它的图象的开口方向是（ ） A ．向上 B ．向下 C ．向上或向下 D ．无法判断 2．将抛物线y=－x 2－1向上平移两个单位得到抛物线的表达式（ ） A ．y=－x 2 B ．y=－x 2－2 C ．y=－x 2＋1 D ．y=x 2＋1 3．若二次函数y=ax 2＋c ，当x 取x 1,x 2（x 1≠x 2）时函数值相等，则当x 取x 1＋x 2时，函数值为（ ） A ．a ＋c B ．a －c C ．－c D ．c 4．抛物线y=ax 2＋b （a ≠0）与x 轴有两个交点，且开口向上，则a,b 的取值范围是（ ） A ．a ＞0，b ＜0 B ．a ＞0，b ＞0 C ．a ＜0，b ＜0 D ．a ＜0，b ＞0 5．抛物线y=x 2＋b 与抛物线y=ax 2－2的形状相同，只是位置不同，则a 、b 值分别是（ ） A ．a=1，b ≠－2 B ．a=－2，b ≠2 C ．a=1，b ≠2 D ．a=2，b ≠2 6．函数y=kx 2－3与y=x k （k ≠0）在同一直角坐标系中的图象可能是（ ） 7．如果二次函数y=ax 2＋m 的值恒大于0，那么必有（ ） A ．a ＞0，m 取任意实数 B ．a ＞0，m ＞0 C ．a ＜0，m ＞0 D ．a ，m 均可取任意实数 8．抛物线y=ax 2＋c 与y 轴相交于坐标原点，则下列判断正确的是（ ） A ．c ＞0 B ．c=0 C ．c ＜0 D ．c 的符号与a 无关 9．抛物线y=x 2－4的顶点坐标是（ ）A ．（2，0） B ．（－2，0） C ．（1，3） D ．（0，－4） 10．对于y=ax 2（a ≠0）的图象，下列叙述正确的是（ ） A ．a 越大开口越大，a 越小开口越小 B ．a 越大开口越小，a 越小开口越大 C ．︱a ︱越大开口越小，︱a ︱越小开口越大 D ．︱a ︱越大开口大，︱a ︱越小开口越小 2.1-2.3二次函数所描述的关系、结识抛物线、刹车距离与二次函数（B卷） （50分钟,共100分） 班级：姓名：得分：发展性评语： 一、请准确填空（每小题3分，共24分） 1.若函数），二（"—4）J+伙+2）尤+3是二次函数，则k. 2.函数,当七时，它的图象是开曰向下的抛物线；此时当工时， y随x的增大而减小. 3.二次函数y=——x,当工|5<0时，），］与力的大小为. 4 '' 4.二次函数y=a^+bx+c（a^0）中，当Z?=0, cUO时，函数表达式为；当b初, c、=0时，函数表达式为；当b=c=O时，函数表达式为. 5.在边长为6 cm的正方形+*间剪去一个边长为x cm（x<6）的小正方形，剩下的四方框形的面积为y, y与工之间的函数关系是. 6.已知二次函数y ^=fnx2和y乙=邳，对任意给定一个］值都有y甲乙，关于m, n的关系正确的是（填序号）. ①m 标准文档 二次函数知识点 一、二次函数概念： 2（是常数，）的函数，叫做1．二次函数的概念：一般地，形如c?bxy?ax?0a?c，a，b二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数，而可0a?c，b以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2的结构特征： 2. 二次函数c?bxy?ax?⑴等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2．xx⑵是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项．bc，a，bca二、二次函数的基本形式 2 2 2?? 3. 的性质：h?xy?a左加右减。 2??kh??ya?x的性质：4. 的符号性质对称轴顶点坐标开口方向a实用大全． 标准文档 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：2????，确定其顶点坐标；方法一：⑴将抛物线 解析式转化成顶点式，khk?h?y?ax??2的形状不变，将其顶点平移到保持抛物线处，具体平移方法如下：⑵，khax?y个单位】平移|k|)【或向下(k<0)0向上(k> 22ky=ax+y=ax】<0)(hh向右(>0)【或左】<0)(h向右(h>0)【或左】<0)向右(h>0)【或左(h个单位k|平移|个单位k|平移|个单位平移|k|】>0)【或下<0)(k向上(k个单位|平移|k2)(x-hy=a2+kx-h)y=a(个单位|(k>0)【或下(k<0)】平移|k向上 平移规律 2. “左．概括成八个字值正右移，负左移；值正上移，负下移”在原有函数的基础上“kh加右减，上加下减”．方法二：22c?bx?yax?bx?c?axy?m y个单位，向上（下）平移⑴沿变成轴平移:22mc??bx?my?ax?y?axbx??c）（或22cbx??cy?ax?y?ax?bxm变成沿轴平移：向左（右） 平移个单位，⑵22c?m)b(xmy?a(x?)??c?ya(x?m)?b(x?m)?）（或2??2与四、二次函数的比较 kyx?h?a?c??y?axbx2??2是两种不同的表达形式，后者通过配从解析式上看，与 kha?x?y?cy?ax??bx222b?b4acb?b4ac????ax?y．，其中方可以得到前者，即?kh??，?? a2a4a42a??2cbx?y?ax?五、二次函数图象的画法22，确定五点绘图法：利用配方法将二次函数化为顶点式k?)?(??axy??bxcyaxh一般我们.其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图实用大全． 标准文档 ??????轴的交点关于对称轴对称的点、以及、选取的五点为：顶点、与0，2ch，c0，cy????轴的交点. 与（若与，轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）x0，0x，xx12画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与轴的交点，与轴的交点. yx2的性质六、二次函数c?bxy?ax?2??b4ac?bb 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为．，?0a??x??? 2a4a2a??bbb时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；当当yyxxx????xx?? 2a2a2a2b?4ac时，有最小值．y4a2??bac?b4b 2. 当时，抛物线开口向 二次函数知识点归纳 2 1?定义：一般地，如果 y ax bx c(a, b,c 是常数，a 0)，那么y 叫做x 的二次函数 2.二次函数y ax 的性质 (1)抛物线 y ax 2 的顶点是坐标原点，对称轴是 y 轴. (2)函数y ax 2的图像与a 的符号关系. ①当a 0时 抛物线开口向上 顶点为其最低点； ②当a 0时 抛物线开口向下 顶点为其最咼点. (3)顶点是坐标原点， 对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 2 y ax (a 0). 3.二次函数 2 y ax bx c 的图像是对称轴平行于(包括重合) y 轴的抛物线. 4.二次函数y 2 ax 2 bx c 用配方法可化成：y ax h k 的形式，其中h 2：，k 2 4ac b 4a . 2 2 5.二次函数由特殊到一般， 可分为以下几种形式： ①y ax ；②y ax k :③ y ax h 2 2 ；④ y a x h k ⑤ y ax bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 ① a 的符号决定抛物线的开口方向：当 a 0时，开口向上；当 a 0时，开口向下; a 相等，抛物线的开口大小、形状相同 . ② 平行于y 轴(或重合)的直线记作 x h .特别地，y 轴记作直线x 0. 7. 顶点决定抛物线的位置.几个不同的二次函数，如果二次项系数 只是顶点的位置不同. 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法 y a x h 2 k 的形式，得到顶点为(h , k ),对称轴是直线 x h . (3 )运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形，所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对 称轴，对称轴 与抛物线的交点是顶点 . 用配方法求得的顶点，再用公式法或对称性进行验证，才能做到万无一失 9.抛物线y ax 2 bx c 中，a,b,c 的作用 2 a 相同，那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同, (1 )公式法: y ax 2 bx c a x —— 2a 4ac b 2 4a 顶点是( b 2a 4ac b 2 4a )，对称轴是直线 b 2a (2)配方法：运用配方的方法，将抛物线的解析式化为北师大版二次函数测试题及答案
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