最短路径流程图及算法详解

:算法的设计思想

本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。

本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。

伪代码

算法AlgBB()

读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中

Dijkstra(length)

Dijkstra(cost)

while true do

for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点

if shortestlength>optimal or mincost>1500

pruning

else

if i＝50

optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解

和最优解的较

小值做最优解

else

if looped //如果出现回路

pruning //剪枝

else

将城市i插入到优先队列中

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while true do

if 优先队列为空

输出结果

else

取优先队列中的最小节点

if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解

continue

end while

end while

算法流程图

最短路径学年论文

摘要：主要介绍最短路径问题中的经典算法——迪杰斯特拉(Dijkstra)算法和弗洛伊德（Floyd）算法，以及在实际生活中的运用。 关键字：Dijkstra算法、Floyd算法、赋权图、最优路径、Matlab 目录 摘要 (1) 1引言 (1) 2最短路 (2) 2.1 最短路的定义 (2) 2.2最短路问题常见算法 (2) 3 Dijkstra算法 (2) 3.1Dijkstra算法描述 (2) 3.2 Dijkstra算法举例 (3) 3.3算法的正确性和计算复杂性 (5) 3.3.1贪心选择性质 (5) 3.3.2最优子结构性质 (6) 3.3.3 计算复杂性 (7) 4 Floyd算法 (7) 4.1Floyd算法描述 (8) 4.2 Floyd算法步骤 (11) 4.3 Floyd算法举例 (11) 5 Dijkstra算法和Floyd算法在求最短路的异同 (11) 6 利用计算机程序模拟算法 (11) 7 附录 (11) 8 论文总结 (13) 9 参考文献 (13)

1 引言 最短路问题是图论理论的一个经典问题。寻找最短路径就是在指定网络中两结点间找一条距离最小的路。最短路不仅仅指一般地理意义上的距离最短,还可以引申到其它的度量,如时间、费用、线路容量等。 最短路径算法的选择与实现是通道路线设计的基础,最短路径算法是计算机科学与地理信息科学等领域的研究热点,很多网络相关问题均可纳入最短路径问题的范畴之中。经典的图论与不断发展完善的计算机数据结构及算法的有效结合使得新的最短路径算法不断涌现。 2 最短路 2.1 最短路的定义 对最短路问题的研究早在上个世纪60年代以前就卓有成效了,其中对赋权图 的有效算法是由荷兰著名计算机专家E.W.Dijkstra 在1959年首次提出的,该算法能够解决两指定点间的最短路,也可以求解图G 中一特定点到其它各顶点的最短路。后来海斯在Dijkstra 算法的基础之上提出了海斯算法。但这两种算法都不能解决含有负权的图的最短路问题。因此由Ford 提出了Ford 算法,它能有效地解决含有负权的最短路问题。但在现实生活中,我们所遇到的问题大都不含负权,所以我们在的() 0ij w ≥的情况下选择Dijkstra 算法。 定义1若图G=G(V,E)中各边e 都赋有一个实数W(e),称为边e 的权,则称这种图为赋权图,记为G=G(V,E,W)。 定义2若图G=G(V,E)是赋权图且()0W e ≥,()e E G ∈,假设[i,j] 的权记为()i j W ，,若i 与j 之间没有边相连接，那么()i j =W ∞，。路径P 的定义为路径中各边的长度之和，记W （P ）。图G 的结点u 到结点v 距离记为d(u,v)，则u 、v 间的最短路径可定义为 { ()min P 0d(u,v)=,u v W =∞（），不可达时 。 2.2 最短路问题常见算法 在求解网络图上节点间最短路径的方法中,目前国内外一致公认的较好算法有迪杰斯特拉(Dijkstra)及弗罗伊德(Floyd)算法。这两种算法中,网络被抽象为一个图论中定义的有向或无向图,并利用图的节点邻接矩阵记录点间的关联信息。在进行图的遍历以搜索最短路径时,以该矩阵为基础不断进行目标值的最小性判别,直到获得最后的优化路径。 Dijkstra 算法是图论中确定最短路的基本方法,也是其它算法的基础。为了求出赋权图中任意两结点之间的最短路径,通常采用两种方法。一种方法是每次以一个结点为源点,重复执行Dijkstra 算法n 次。另一种方法是由Floyd 于1962年提出的Floyd 算法,其时间复杂度为 ()3O n ,虽然与重复执行Dijkstra 算法n 次的时间复杂度相同,但其形式上略为简单,且实际运 算效果要好于前者。 3 Dijkstra 算法 3.1 Dijkstra 算法描述

最短路径流程图及算法详解

:算法的设计思想 本算法采用分支定界算法实现。构造解空间树为：第一个城市为根结点，与第一个城市相邻的城市为根节点的第一层子节点，依此类推；每个父节点的子节点均是和它相邻的城市；并且从第一个根节点到当前节点的路径上不能出现重复的城市。 本算法将具有最佳路线下界的节点作为最有希望的节点来展开解空间树，用优先队列实现。算法的流程如下：从第一个城市出发，找出和它相邻的所有城市，计算它们的路线下界和费用，若路线下界或费用不满足要求，将该节点代表的子树剪去，否则将它们保存到优先队列中，并选择具有最短路线下界的节点作为最有希望的节点，并保证路径上没有回路。当找到一个可行解时，就和以前的可行解比较，选择一个较小的解作为当前的较优解，当优先队列为空时，当前的较优解就是最优解。算法中首先用Dijkstra算法算出所有点到代表乙城市的点的最短距离。算法采用的下界一个是关于路径长度的下界，它的值为从甲城市到当前城市的路线的长度与用Dijkstra算法算出的当前城市到乙城市的最短路线长度的和；另一个是总耗费要小于1500。 伪代码 算法AlgBB() 读文件m1和m2中的数据到矩阵length和cost中 Dijkstra(length) Dijkstra(cost) while true do for i←1 to 50 do //选择和node节点相邻的城市节点 if shortestlength>optimal or mincost>1500 pruning else if i＝50 optimal=min(optimal,tmpopt)//选当前可行解和最优解的 较小值做最优解 else if looped //如果出现回路 pruning //剪枝 else 将城市i插入到优先队列中 end for while true do if 优先队列为空 输出结果 else 取优先队列中的最小节点 if 这个最小节点node的路径下界大于当前的较优解 continue

gis计算最短路径的Dijkstra算法详细讲解

最短路径之Dijkstra算法详细讲解 １最短路径算法 在日常生活中，我们如果需要常常往返A地区和B 地区之间，我们最希望知道的可能是从A地区到B地区间的众多路径中，那一条路径的路途最短。最短路径问题是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。算法具体的形式包括： （１）确定起点的最短路径问题：即已知起始结点，求最短路径的问题。 （２）确定终点的最短路径问题：与确定起点的问题相反，该问题是已知终结结点，求最短路径的问题。在无向图中该问题与确定起点的问题完全等同，在有向图中该问题等同于把所有路径方向反转的确定起点的问题。 （３）确定起点终点的最短路径问题：即已知起点和终点，求两结点之间的最短路径。 （４）全局最短路径问题：求图中所有的最短路径。 用于解决最短路径问题的算法被称做“最短路径算法”，有时被简称作“路径算法”。最常用的路径算法

有：Dijkstra算法、A*算法、Bellman-Ford算法、Floyd-Warshall算法、Johnson算法。 本文主要研究Dijkstra算法的单源算法。 ２Dijkstra算法 2.1 Dijkstra算法 Dijkstra算法是典型最短路算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解，但由于它遍历计算的节点很多，所以效率低。 Dijkstra算法是很有代表性的最短路算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。 2.2 Dijkstra算法思想 Dijkstra算法思想为：设G=(V,E)是一个带权有向图，把图中顶点集合V分成两组，第一组为已求出最短路径的顶点集合（用S表示，初始时S中只有一个源点，以后每求得一条最短路径, 就将加入到集合S中，直到全部顶点都加入到S中，算法就结束了），第二组为其余未确定最短路径的顶点集合（用U 表示），按最短路径长度的递增次序依次把第二组的顶点加入S中。在加入的过程中，总保持从源点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源点v到U中任何顶点的最短路径长度。此外，每个顶点对应一个距离，S中的顶点的距离就是从v到此顶点的最短路径长度，U中的顶点的距离，是从v到此顶点只包括S 中的顶点为中间顶点的当前最短路径长度。 2.3 Dijkstra算法具体步骤 （1）初始时，S只包含源点，即S＝，v的距离为0。U包含除v外的其他顶点，U中顶点u距离为边上的权（若v与u有边）或）（若u不是v的出边邻接点）。 （2）从U中选取一个距离v最小的顶点k，把k，加入S中（该选定的距离就是v到k的最短路径长度）。 （3）以k为新考虑的中间点，修改U中各顶点的距离；若从源点v到顶点u（u U）的距离（经过顶点k）比原来距离（不经过顶点k）短，则修改顶点u 的距离值，修改后的距离值的顶点k的距离加上边上的权。 （4）重复步骤（2）和（3）直到所有顶点都包含在S中。 2.4 Dijkstra算法举例说明 如下图，设A为源点，求A到其他各顶点（B、C、D、E、F）的最短路径。线上所标注为相邻线段之间的距离，即权值。（注：此图为随意所画，其相邻顶点间的距离与图中的目视长度不能一一对等）

分支限界法实现单源最短路径问题

实验五分支限界法实现单源最短路径 一实验题目：分支限界法实现单源最短路径问题 二实验要求：区分分支限界算法与回溯算法的区别，加深对分支限界法的理解。 三实验内容：解单源最短路径问题的优先队列式分支限界法用一极小堆来存储活结点表。其优先级是结点所对应的当前路长。算法从图G的源顶点s和空优先队列开始。 结点s被扩展后，它的儿子结点被依次插入堆中。此后，算法从堆中取出具有最小当前路长的结点作为当前扩展结点，并依次检查与当前扩展结点相邻的所有顶点。如果从当前扩展结点i到顶点j有边可达，且从源出发，途经顶点i再到顶点j的所相应的路径的长度小于当前最优路径长度，则将该顶点作为活结点插入到活结点优先队列中。这个结点的扩展过程一直继续到活结点优先队列为空时为止。 四实验代码 #include using namespace std; const int size = 100; const int inf = 5000; //两点距离上界 const int n = 6; //图顶点个数加1 int prev[n]; //图的前驱顶点 int dist[] = {0,0,5000,5000,5000,5000}; //最短距离数组 int c[n][n] = {{0,0,0,0,0,0},{0,0,2,3,5000,5000}, //图的邻接矩阵 {0,5000,0,1,2,5000},{0,5000,5000,0,9,2}, {0,5000,5000,5000,0,2},{0,5000,5000,5000,5000,0}}; const int n = 5; //图顶点个数加1 int prev[n]; //图的前驱顶点 int dist[] = {0,0,5000,5000,5000}; int c[][n] = {{0,0,0,0,0},{0,0,2,3,5000},{0,5000,0,1,2},{0,5000,5000,0,9}, {0,5000,5000,5000,0}};

最短路径问题的算法分析及建模案例

最短路径问题的算法分析及建模案例

最短路径问题的算法分析及建模案例 一.摘要 (3) 二.网络最短路径问题的基础知识 (5) 2.1有向图 (7) 2.2连通性................... 错误！未定义书签。 2.3割集....................... 错误！未定义书签。 2.4最短路问题 (8) 三．最短路径的算法研究.. 错误！未定义书签。 3.1最短路问题的提出 (9) 3.2 Bellman最短路方程错误！未定义书签。 3.3 Bellman-Ford算法的基本思想错误！未定义书签 3.4 Bellman-Ford算法的步骤错误！未定义书签。 3.5实例....................... 错误！未定义书签。 3.6 Bellman-FORD算法的建模应用举例错误！未定义 3.7 Dijkstra算法的基本思想 (9) 3.8 Dijkstra算法的理论依据 (9) 3.9 Dijkstra算法的计算步骤 (9) 3.10 Dijstre算法的建模应用举例 (10) 3.11 两种算法的分析错误！未定义书签。

1.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 思想有很大的区别错误！未定义书签。 Bellman-Ford算法在求解过程中，每 次循环都要修改所有顶点的权值，也就 是说源点到各顶点最短路径长度一直 要到Bellman-Ford算法结束才确定下 来。...................... 错误！未定义书签。 2.Diklstra算法和Bellman-Ford算法 的限制.................. 错误！未定义书签。 3.Bellman-Ford算法的另外一种理解错误！未定 4.Bellman-Ford算法的改进错误！未定义书签。 摘要 近年来计算机发展迅猛，图论的研究也得到了很大程度的发展，而最短路径 问题一直是图论中的一个典型问题，它已应用在地理信息科学，计算机科学等 诸多领域。而在交通路网中两个城市之间的最短行车路线就是最短路径问题的 一个典型例子。 由于最短路径问题在各方面广泛应用，以及研究人员对最短路径的深入研究， 使得在最短路径问题中也产生了很多经典的算法。在本课题中我将提出一些最 短路径问题的算法以及各算法之间的比较，最后将这些算法再应用于实际问题

单源最短路径 贪心算法

实验三单源最短路径 一、实验目的及要求 掌握贪心算法的基本思想 用c程序实现单源最短路径的算法 二、实验环境 Window下的vc 2010 三、实验内容 1、有向图与单源点最短路径 2、按路径长度非降的次序依次求各节点到源点的最短路径 3、Dijkstra算法 四、算法描述及实验步骤 设给定源点为Vs，S为已求得最短路径的终点集，开始时令S={Vs} 。当求得第一条最短路径(Vs ，Vi)后，S为{Vs，Vi} 。根据以下结论可求下一条最短路径。 设下一条最短路径终点为Vj ，则Vj只有：源点到终点有直接的弧 ；从Vs 出发到Vj 的这条最短路径所经过的所有中间顶点必定在S中。即只有这条最短路径的最后一条弧才是从S内某个顶点连接到S外的顶点Vj 。 若定义一个数组dist[n]，其每个dist[i]分量保存从Vs 出发中间只经过集合S中的顶点而到达Vi的所有路径中长度最小的路径长度值，则下一条最短路径的终点Vj必定是不在S中且值最小的顶点， 即：dist[i]=Min{ dist[k]| Vk∈V-S } 利用公式就可以依次找出下一条最短路径。 在程序中c[][]表示带权邻接矩阵， dist[]表示顶点到源点的最短路径， p[]记录顶点到源点最短路径的前驱节点， u源点，函数Way是递归的构造出最短路径的次序。 五、实验结果 程序执行的结果： 六、源代码 #include #include using namespace std;

#define MAX 999 void getdata(int **c,int n) { int i,j; int begin,end,weight; for (i=1;i<=n;i++) { for (j=1;j<=n;j++) { if(i==j) c[i][j]=0; else c[i][j]=MAX; } } do { cout<<"请输入起点终点权值(-1退出)："; cin>>begin; if(begin==-1) break; cin>>end>>weight; c[begin][end]=weight; } while(begin!=-1); } void Dijkstra(int n,int v ,int *dist,int *prev,int **c) { bool s[MAX]; int i,j; for (i=1;i<=n;i++) { dist[i]=c[v][i]; //从源点到各点的值 s[i]=false; if(dist[i]==MAX) prev[i]=0; //最大值没有路径 else prev[i]=v; //前驱为源点 } dist[v]=0;s[v]=true; for (i=1;i<=n;i++) { int temp=MAX; int u=v; for(j=1;j<=n;j++) if((!s[j])&&(dist[j]

第20讲-关键路径与最短路径

数据结构第20次课

（续表）

思考.题 作业题试对下图所示的AOE网络，解答下列问题。 (1) 这个工程最早可能在什么时间结束。 (2) 求每个事件的最早开始时间Ve[i]和最迟开始时间Vl[I]。 (3) 求每个活动的最早开始时间e( )和最迟开始时间l( )。 (4) 确定哪些活动是关键活动。画出由所有关键活动构成的图，指出哪些活动加速可使整个工程提前完成。 *参考资料《数据结构辅导与提高》，徐孝凯编著，清华大学出版社 《数据结构习题解答与考试指导》，梁作娟等编著，清华大学出版社

授课内容 关键路径 对整个工程和系统，人们关心的是两个方面的问题： 一）工程能否顺利进行（对AOV网进行拓扑排序） 二）估算整个工程的完成所必须的最短时间（对AOE网求关键路径） 1. AOE-网 } 与AOV-网相对应的是AOE-网(Activity On Edge)，即边表示活动的网。 AOE-网是一个带权的有向无环图，其中，顶点表示事件(Event)，弧表示活 动，权表示活动持续的时间。通常，AOE-网可用来估算工程的完成时间。 例：下图是一个假想的有11项活动的AOE-网。其中有9个事件v 1 ， v 2 ，…，v 9 ，每个事件表示在它之前的活动已经完成，在它之后的活动可以 开始。如v 1 表示整个工程开始，v 9 表示整个工程结束，v 5 表示a 4 和a 5 已经 完成，a 7 和a 8 可以开始。与每个活动相联系的数是执行该活动所需的时间。 比如，活动a 1 需要6天，a 2 需要4天等。 和AOV-网不同，对AOE-网有待研究的问题是： (1)完成整项工程至少需要多少时间 (2)哪些活动是影响工程进度的关键 2. 关键路径 由于在AOE-网中有些活动可以并行地进行，所以完成工程的最短时间 是从开始点到完成点的最长路径的长度(这里所说的路径长度是指路径上 各活动持续时间之和，不是路径上弧的数目)。路径长度最长的路径叫做关 备注： 回顾

弗洛伊德算法求解最短路径

课程设计任务书

目录 第1章概要设计 (1) 1.1题目的内容与要求 (1) 1.2总体结构 (1) 第2章详细设计 (2) 2.1主模块 (2) 2.2构建城市无向图 (3) 2.3添加城市 (4) 2.4修改城市距离 (5) 2.5求最短路径 (6) 第3章调试分析 (7) 3.1调试初期 (7) 3.2调试中期 (7) 3.3调试末期 (7) 第4章测试及运行结果 (7) 附页（程序清单） (10)

第1章概要设计 1.1题目的内容与要求 内容：给出一张无向图，图上的每个顶点表示一个城市，顶点间的边表示城市间存在路径，边上的权值表示城市间的距离。试编写程序求解从某一个城市出发到达任意其他任意城市的最短路径问题。 要求： 1)能够提供简单友好的用户操作界面，可以输入城市的基本信息，包括城市名 称，城市编号等； 2)利用矩阵保存城市间的距离； 3)利用Floyd算法求最短路径； 4)独立完成系统的设计，编码和调试； 5)系统利用C语言完成； 6)按照课程设计规范书写课程设计报告。 1.2总体结构 本程序主要分为四个模块（功能模块见图1.1）：主模块对整个程序起一主导作用，开始构建一城市无向图，对其进行添加城市顶点，以及对原来的距离数据进行修改，整体构建结束可以实现求一城市到其他城市的最短路径问题。 图1.1 功能模块图

第2章详细设计 2.1主模块 用户根据屏幕上显示的操作提示输入要进行操作的模块，通过调用相对应的模块程序，达到用户所想进行操作。程序的总框架大致分为四个模块：1.建立城市无向图2.添加城市模块3.修改城市距离4.求最短路径。具体实现过程见2.2：建立城市无向图2.3：添加城市2.4：修改城市距离2.5：求最短路径。流程图中通过输入n，由n的值来选择调用相对应子函数，实现所选择的功能，调用完后可以返回调用主函数进行下一次选择，从而实现反复调用子函数而实现四个模块的功能等。 图2.1 主模块流程图

单源最短路径问题

实验四单源最短路径问题 一、实验目的： 1、理解分支限界法的剪枝搜索策略； 2、掌握分支限界法的算法柜架； 3、掌握分支限界法的算法步骤； 4、通过应用范例学习动态规划算法的设计技巧与策略； 二、实验内容及要求： 1、使用分支限界法解决单源最短路径问题。 2、通过上机实验进行算法实现。 3、保存和打印出程序的运行结果，并结合程序进行分析，上交实验报告。 三、实验原理： 分支限界法的基本思想： 1、分支限界法与回溯法的不同： 1）求解目标：回溯法的求解目标是找出解空间树中满足约束条件的所有解，而分支限界法的求解目标则是找出满足约束条件的一个解，或是在满足约束条件的解中找出在某种意义下的最优解。 2）搜索方式的不同：回溯法以深度优先的方式搜索解空间树，而分支限界法则以广度优先或以最小耗费优先的方式搜索解空间树。 2、分支限界法基本思想： 分支限界法常以广度优先或以最小耗费（最大效益）优先的方式搜索问题的解空间树。 在分支限界法中，每一个活结点只有一次机会成为扩展结点。活结点一旦成为扩展结点，就一次性产生其所有儿子结点。在这些儿子结点中，导致不可行解或导致非最优解的儿子结点被舍弃，其余儿子结点被加入活结点表中。

此后，从活结点表中取下一结点成为当前扩展结点，并重复上述结点扩展过程。这个过程一直持续到找到所需的解或活结点表为空时为止。 3、常见的两种分支限界法： 1）队列式(FIFO)分支限界法 按照队列先进先出（FIFO）原则选取下一个节点为扩展节点。 2）优先队列式分支限界法 按照优先队列中规定的优先级选取优先级最高的节点成为当前扩展节点。 四、程序代码 #include using namespace std; int matrix[100][100]; // 邻接矩阵 bool visited[100]; // 标记数组 int dist[100]; // 源点到顶点i的最短距离 int path[100]; // 记录最短路的路径 int source; // 源点 int vertex_num; // 顶点数 int edge_num; // 边数 int destination; // 终结点 void Dijkstra(int source) { memset(visited, 0, sizeof(visited)); // 初始化标记数组 visited[source] = true; for (int i = 0; i < vertex_num; i++) { dist[i] = matrix[source][i]; path[i] = source; } int min_cost; // 权值最小 int min_cost_index; // 权值最小的下标 for (int i = 1; i < vertex_num; i++) // 找到源点到另外 vertex_num-1 个点的最短路径{ min_cost = INT_MAX;

数据结构与算法第6章图答案

第 6 章图 课后习题讲解 1. 填空题 ⑴设无向图G中顶点数为n，则图G至少有（）条边，至多有（）条边；若G为有向图，则至少有（）条边，至多有（）条边。 【解答】0，n(n-1)/2，0，n(n-1) 【分析】图的顶点集合是有穷非空的，而边集可以是空集；边数达到最多的图称为完全图，在完全图中，任意两个顶点之间都存在边。 ⑵任何连通图的连通分量只有一个，即是（）。 【解答】其自身 ⑶图的存储结构主要有两种，分别是（）和（）。 【解答】邻接矩阵，邻接表 【分析】这是最常用的两种存储结构，此外，还有十字链表、邻接多重表、边集数组等。 ⑷已知无向图G的顶点数为n，边数为e，其邻接表表示的空间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n+e) 【分析】在无向图的邻接表中，顶点表有n个结点，边表有2e个结点，共有n+2e个结点，其空间复杂度为Ｏ(n+2e)=Ｏ(n+e)。 ⑸已知一个有向图的邻接矩阵表示，计算第j个顶点的入度的方法是（）。 【解答】求第j列的所有元素之和 ⑹有向图G用邻接矩阵A[n][n]存储，其第i行的所有元素之和等于顶点i的（）。 【解答】出度 ⑺图的深度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）；图的广度优先遍历类似于树的（）遍历，它所用到的数据结构是（）。 【解答】前序，栈，层序，队列 ⑻对于含有n个顶点e条边的连通图，利用Prim算法求最小生成树的时间复杂度为（），利用Kruskal 算法求最小生成树的时间复杂度为（）。 【解答】Ｏ(n2)，Ｏ(elog2e) 【分析】Prim算法采用邻接矩阵做存储结构，适合于求稠密图的最小生成树；Kruskal算法采用边集数组做存储结构，适合于求稀疏图的最小生成树。 ⑼如果一个有向图不存在（），则该图的全部顶点可以排列成一个拓扑序列。 【解答】回路

实验四图的最短路径弗洛伊德算法实现

数据结构与算法课程实验报告实验四：图的相关算法应用 姓名：王连平 班级：09信科2班 学号：I09630221

实验四图的相关算法应用 一、实验内容 求有向网络中任意两点之间的最短路。 二、实验目的 掌握图和网络的定义，掌握图的邻接矩阵、邻接表和十字链表等存储表示。掌握图的深度和广度遍历算法，掌握求网络的最短路的标号法和floyd算法。 三、问题描述 对于下面一张若干个城市以及城市间距离的地图，从地图中所有可能的路径中求出任意两个城市间的最短距离及路径，给出任意两个城市间的最短距离值及途径的各个城市。 四、问题的实现 4.1数据结构的抽象数据类型定义和说明 1） typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info;//此项用来保存弧信息，，在本实验中没有相关信息要保存 }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量

AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; 顶点信息和弧信息都是用来建立一个有向网G 2） d[v][w];//G中各对顶点的带权长度 若P[v][w][u]为TRUE，则u是从v到w当前求得最短路径上的顶点 4.2主要的实现思路 首先通过一个函数（CreateDN）建立图的邻接矩阵储存方式,一次输入某条弧的起点，终点，和权值。通过调用Locate函数来找到该弧在邻接矩阵中的相应位置。 其次运用弗洛伊德算法来求各定点的最短路劲，具体思路为：如果从v到w有弧，则存在一条长度为arcs[v][w]的路径，该路径不一定是最短路径。考虑路径（v,u,w）是否存在，若存在，比较（v,w）和（v,u,w）的长度，取较短者为从v到w的中间点序号不大于0的最短路径。以此类推，每次增加一个点，从而求出任意两点间的最短路径。这样，经过n次比较后，所求得的必为从v到w的最短路径。按此方法，可以同时求得任意两点间的最短路径。 五、主要源程序代码（包含程序备注） #include #include using namespace std; #define INfinity 10000//最大值 # define MAX_VERTEX_NUM 10//最大顶点数 typedef struct ArcCell{//储存弧信息 int Distance; ArcCell *info; }ArcCell,AdjMatrix[ MAX_VERTEX_NUM][ MAX_VERTEX_NUM]; typedef struct{//储存顶点信息 string vexs[ MAX_VERTEX_NUM];//顶点向量 AdjMatrix arcs;//邻接矩阵 int vexnum , arcnum;//图的当前顶点数和弧数 }MGraph; int Locate(MGraph &G,string v) { int a=0; for (int i=0;i

单源最短路径的Dijkstra算法

单源最短路径的Dijkstra算法： 问题描述： 给定一个带权有向图G=（V，E），其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。 算法描述： Dijkstra算法是解单源最短路径的一个贪心算法。基本思想是：设置顶点集合S并不断地做贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist做必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 源代码： #include #define MAX 1000 #define LEN 100 int k=0, b[LEN];

using namespace std; //-------------------------------------数据声明------------------------------------------------//c[i][j]表示边(i,j)的权 //dist[i]表示当前从源到顶点i的最短特殊路径长度 //prev[i]记录从源到顶点i的最短路径上的i的前一个顶点 //--------------------------------------------------------------------------------------------- void Dijkstra(int n, int v, int dist[], int prev[], int c[][LEN]) { bool s[LEN]; // 判断是否已存入该点到S集合中 for (int i = 1; i <= n; i++) { dist[i] = c[v][i]; s[i] = false; //初始都未用过该点 if (dist[i] == MAX) prev[i] = 0; //表示v到i前一顶点不存在 else prev[i] = v; } dist[v] = 0; s[v] = true;

最短路径算法在物流运输中的应用

最短路径算法在物流运输 中的应用 Last revision date: 13 December 2020.

本科生毕业设计（论文）题目：线性表的设计和实现 学生姓名：张三 学号： 1153 院系：基础科学学院信息技术系 专业年级： 2012级信息与计算科学专业 指导教师：李四 年月日

摘要 随着现代物流业的发展，如何优化和配置物流的运输路径成为了一个热点的问题。其中，最具代表性的问题就是如何在一个道路网络中选择两点之间的合适路径，使其距离最短。为了解决这个问题，本文介绍了两种最常用的最短路径求解方法——DIJKSTRA算法与FLOYD算法，分析了它们的适用范围以及时间复杂度。最后，对一个具体的航空公司物流配送问题进行了求解，得到了理论最优路径。 关键词：最短路径问题；DIJKSTRA算法；物流运输

ABSTRACT With the development of modern logistics industry, how to optimize and configure the transport path of logistics has become a hot issue. Among them, the most representative problem is how to select the appropriate path between two points in a road network to minimize the distance. In order to solve this problem, this paper introduces two most common shortest path solutions —— Dijkstra algorithm and Floyd algorithm, and analyzes their application range and time complexity. Finally, a specific airline logistics distribution problem is solved, and the theoretical optimal path is obtained. Keywords：Minimum path problem；Dijkstra algorithm；Logistics transportation

数据结构课程设计-Floyd算法求解最短路径

数据结构课程设计报告撰写要求 （一）纸张与页面要求 1．采用国际标准A4型打印纸或复印纸，纵向打印。 2．封页和页面按照下面模板书写（正文为：小四宋体1.5倍行距）。 3．图表及图表标题按照模板中的表示书写。 （二）课设报告书的内容应包括以下各个部分：（按照以下顺序装订） 1.封页(见课设模版) 2、学术诚信声明，所有学生必须本人签字，否则教师拒绝给予成绩。 2.任务书(学生教师均要签字,信息填写完整) 3.目录 4.正文一般应包括以下内容: （1)题目介绍和功能要求（或描述） 课程设计任务的详细描述(注意不能直接抄任务书),将内容做更详细的具体的分析与描述； （2) 系统功能模块结构图 绘制系统功能结构框图及主要模块的功能说明； （3) 使用的数据结构的描述: 数据结构设计及用法说明; （4) 涉及到的函数的描述 ; （5) 主要算法描述( 程序流程图) （6) 给出程序测试/运行的结果 设计多组数据加以描述（包括输入数据和输出结果） （7) 课程设计的总结及体会 （8) 参考文献 格式要求：[1]作者，等. 书名.出版地：出版社，出版年 5.附录：程序清单 (应带有必要的注释)

沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：利用弗洛伊德（Floyd)算法求解 最短路径 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术(物联网方向) 班级：34010105 学号： 姓名： 指导教师： 说明：结论（优秀、良好、中等、及格、不及格）作为相关教环节考核必要依据；格式不符合要求；数据不实,不予通过。报告和电子数据必须作为实验现象重复的关键依据。

单源最短路径

单源最短路径问题 I 用贪心算法求解 贪心算法是一种经典的算法，通常以自顶向下的方式进行，以迭代的方式作出相继的贪心选择，每作一次贪心选择就将所求问题简化为规模更小的子问题。一般具有2个重要的性质：贪心选择性质和最优子结构性质。 一、问题描述与分析 单源最短路径问题是一个经典问题，给定带权有向图G =(V,E)，其中每条边的权是非负实数。另外，还给定V中的一个顶点，称为源。现在要计算从源到所有其他各顶点的最短路长度。这里路的长度是指路上各边权之和。这个问题通常称为单源最短路径问题。 分析过程：运用Dijkstra算法来解决单源最短路径问题。 具备贪心选择性质 具有最优子结构性质 计算复杂性 二、算法设计（或算法步骤） 用贪心算法解单源最短路径问题： 1.算法思想： 设置顶点集合S并不断地作贪心选择来扩充这个集合。一个顶点属于集合S当且仅当从源到该顶点的最短路径长度已知。初始时，S中仅含有源。设u是G的某一个顶点，把从源到u且中间只经过S中顶点的路称为从源到u的特殊路径，并用数组dist记录当前每个顶点所对应的最短特殊路径长度。Dijkstra算法每次从V-S中取出具有最短特殊路长度的顶点u，将u添加到S中，同时对数组dist作必要的修改。一旦S包含了所有V中顶点，dist就记录了从源到所有其他顶点之间的最短路径长度。 2.算法步骤： (1) 用带权的邻接矩阵c来表示带权有向图, c[i][j]表示弧上的权值. 若?V,则置c[i][j]为∞。设S为已知最短路径的终点的集合,它的初始状态为空集。 从源点v到图上其余各点vi的当前最短路径长度的初值为：dist[i]=c[v][i] vi∈V。 (2) 选择vj, 使得dist[j]=Min{dist[i] | vi∈V-S}，vj就是长度最短的最短路径的终点。令

数据结构课程设计_城市最短路径求解

数据结构课程设计 —省会城市最短路径求解一、类关系图 说明：Graph类继承Form类，同时嵌入了CityInf结构体和List类。 Graph类的几个重要函数、类、结构体 private void Init()//初始化函数 private void ShowMap_Paint(object sender, PaintEventArgs e) //绘制地图 private bool GetMinDistanceFun(int entry) //采用迪杰斯特拉算法获得最短路径private void BFS(int StartPoint, int[] visited, string name) //广度优先遍历函数private void DFS(int StartPoint, int[] visited, string name)//深度优先遍历函数private void Prim()//求解最小生成树 Prim算法 private class List //广度优先遍历用到的队列类 public struct CityInf//存放城市信息：城市名称、城市坐标、状态值

二、流程图

三、主要算法的实现 1．用迪杰斯特拉算法实现省会城市间最短路径的求解 private bool GetMinDistanceFun(int entry) { int inputnodenum = CityData.citysum; int[] Mark = new int[inputnodenum]; //标志位数组标记数据在哪个集合 int mindis = 0, nextnode = 0;//最短路径，下一个城市结点 int i, j; //第一轮距离数组记录从起始点到其他所有点的边权值 for (i = 0; i < inputnodenum; i++) { Distance[i] = GetCityWeight(entry, i); //所有标志位清零 Mark[i] = 0; //如果起始结点可以抵达某个结点 if (i != entry && Distance[i] < MaxWeight) { RoutePath[i] = entry; //则把该结点首先放入路径数组 } else { RoutePath[i] = -1;//表示该路径不通 } } //初始状态下集合存放找到最短路径顶点集合的中只包含源点entry 所以把它在Mark 中标记出来 Mark[entry] = 1; //在还没有找到最短路径的结点集合中选取最短距离结点nextnode for (i = 1; i < inputnodenum; i++) { //设定每轮的初始最小距离为无穷大 mindis = MaxWeight; for (j = 0; j < inputnodenum; j++) { //保证每次循环mindis是到entry的最小值 if (Mark[j] == 0 && Distance[j] < mindis)//如果没有进入最短路径且距离小于最小距离 { nextnode = j; mindis = Distance[j];//记录本次循环的最短路径 } }

实现求关键路径的算法

沈阳航空航天大学 课程设计报告 课程设计名称：数据结构课程设计 课程设计题目：实现求关键路径的算法 院（系）：计算机学院 专业：计算机科学与技术 班级：04010102 学号：2008040101058 姓名：刘小靖 指导教师：许清 完成日期：2014年1月9日

沈阳航空航天大学课程设计报告 目录 第一章需求分析 (1) 1.1题目内容与要求 (1) 1.2题目理解与功能分析 (1) 第二章概要设计 (3) 2.1设计思路 (3) 2.2系统模块图 (3) 第三章详细设计 (4) 3.1图存储结构的建立 (4) 3.2求关键路径的算法 (5) 第四章调试分析 (7) 参考文献 (10) 附录（程序清单） (11)

第一章需求分析 1.1 题目内容与要求 内容： 自拟定合适的方式从键盘上输入一个AOE网，使用图的邻接表存储结构存储该AOE网，然后求出该AOE网的关键路径。输入AOE网的方式要尽量的简单方便，程序要能够形象方便地观察AOE网和它的关键路径 基本要求： 1．熟悉图的存储结构及操作方式； 2．熟悉求关键路径的算法； 3．熟练运用开发环境； 4．完成软件的设计与编码； 5. 熟练掌握基本的调试方法； 6. 提交符合课程设计规范的报告； 1.2 题目理解与功能分析 该题实质要求用数据结构中的图形知识编写一个求无循环有向帯权图中从起点到终点所有路径，经分析、比较求出长度最大路径，从而求出关键路径。 通常我们用有向图表示一个工程。在这种有向图中，用顶点表示活动，用有向边表示活动Vi必须先于活动Vj进行。如果在这种图中用有向边表示一个工程中的各项活动（ACTIVITY），用有向边上的权值表示活动的持续时间（DURATION），用顶点表示事件（EVENT），则这种的有向图叫做用边表示活动的网络，简称AOE网络。在AOE网络中，从源点到各个顶点，可能不止一条。这些路径的长度也可能不同。不同路径所需的时间虽然不同，但只有各条路径上所有活动都完成了，这个工程才算完成。因此，完成整个工程所需的时间取决于从源点到汇点的最长路径长度，即在这条路径上所有活动的持续时间之和。这条路径长度就叫做关键路径（critical path）。程序所要达到的功能：输入并建立AOE