2017-2018学年度第一学期2016级9月份
数学检测试卷
（考试时间：120分钟满分：160分）
命题人：石磊岩命题时间：2017.9.20
一、填空题每题5分共70分
1.从300名学生(其中男生180人，女生120人)中按性别用分层抽样的方法抽取50人参加比赛，则应该抽取男生人数为________．
2.不等式2x2－3x－2≥0的解集为________．
3.某射击选手连续射击5枪命中的环数分别为9.7,9.9,10.1,10.2,10.1，则这组数据的方差为________．
4.阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序．若输入m的值为2，
则输出的结果i= ．
5. 已知变量x，y满足条件，若目标函数z=2x+y，
那么z的最大值为________．
6. 从编号为0，1，2…，49的50件产品中，采用系统抽样
的方法抽取容量是5分样本，若编号为27的产品在样本中，
则该样本中产品的最大编号为________．
7. 鞋柜里有4双鞋，随机地取2只，则取出的鞋刚好是同
一只脚的概率是_______．
8.在随机抛掷一颗骰子一次的试验中，事件A表示“出现
不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于6的点数”，
则事件（A+）发生的概率为________．
9.不等式4x＞2的解集为
10.已知两个正数x，y满足x+4y+5﹣xy=0，则xy取最小值时x=
11.已知实数x，y满足，则的最小值为．
12．已知x＞﹣1，则x+的最小值为．
13.如果把四个面都是直角三角形的四面体称为“三节棍体”，那么从长方体八个顶点中任取四个顶点，则这四个顶点是“三节棍体”的四个顶点的概率为 ．
14．已知正数x ，y 满足x+y=1，则的最小值为 二、解答题
15.解下列不等式（14分）：
(1)x －3x ＋2<0；(2)x ＋12x －3
≤1.
16．（14分）一户居民根据以往的月用电量情况，绘制了月用电量的频率分布直方图（月用电量都在25度到325度之间）如图所示，将月用电量落入该区间的频率作为概率．若每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元．若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元．记X （单位：度，25≤X ≤325）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费．
（1）估计该用户的月用电量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（2）将T 表示为X 的函数；
（3）根据直方图估计下个月所缴纳的电费T ∈[37.5，115）的概率．
17.（14分）一根直木棍长为6m ，现将其锯为2段．
（1）若两段木棍的长度均为正整数，求恰有一段长度为2m 的概率；
（2）求锯成的两段木棍的长度均大于2m 的概率．
18.（14分）关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0（a∈R）
（1）已知不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞），求a的值；
（2）解关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0．
19.（14分）设函数f(x)＝mx2－mx－1.
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围．
20.（14分）在一张足够大的纸板上截取一个面积为3600平方厘米的矩形纸板ABCD，然后在矩形纸板的四个角上切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的长方体纸盒（如图）．设小正方形边长为x厘米，矩形纸板的两边AB，BC的长分别为a厘
米和b厘米，其中a≥b．
（1）当a=90时，求纸盒侧面积的最大值；
（2）试确定a，b，x的值，使得纸盒的体积最大，并求出最大值．
2017-2018学年度第一学期
2016级数学9月份检测试卷参考答案
一：填空题
1. 30
2. {x |x ≤－21或x ≥2}
3. 0.032
4. 4
5. 10
6. 47 7。 8.
9.
{x|﹣1＜x ＜3} 10. 10 11. 12. 3 13. 14 .
二：
15：解 (1)x －3x ＋2
<0?(x －3)(x ＋2)<0?－2 (2)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋12x －3 －1≤0， ∴－x ＋42x －3≤0，即x －4x －32 ≥0. 此不等式等价于(x －4)????x －32≥0且x －32 ≠0，。。。。。。。。。。。。。10分 解得x <32 或x ≥4， ∴原不等式的解集为??????x ?? x <32或x ≥4。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。14分 16.【解答】解：（1）由频率分布直方图估计该用户的月用电量的平均值为： =50×0.12+100×0.18+150×0.3+200×0.22+250×0.12+300×0.06=161（度）． （2）每月用电量在200度以内（含200度），则每度电价0.5元． 若每月的用电量超过200度，则超过的部分每度电价0.6元． 记X （单位：度，25≤X ≤325）为该用户下个月的用电量，T （单位：元）为下个月所缴纳的电费． ∴当25≤X ≤200时，T=0.5X ， 当200＜X ≤325时，T=200×0.5+（X ﹣200）×0.6=100+0.6（X ﹣200）， ∴T= ． （3）T ∈[37.5，115]，∴X ∈[75，225]， ∴P（T∈[37.5，115））=P（X∈[75.225）） =（0.0036+0.0060+0.0044）×50=0.7． 17.【解答】解：（1）∵两段木棍的长度均为正整数， ∴两段木棍的长度分别为1m和5m，2m和4m，3m和3m，4m和2m，5m和1m，共计5种可能的情况，…（2分） 其中恰有一段长度为2m的情况共计2种，…（4分） 记“若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2m”为事件A， ∴，…（6分） 答：若两段木棍的长度均为正整数，恰有一段长度为2m的概率为．…（7分）（2）记“锯成的两段木棍的长度均大于2m”为事件B， ∴，…（13分） 答：锯成的两段木棍的长度均大于2m的概率为．…（14分） 18.【解答】解：（1）∵关于x的不等式ax2+（a﹣2）x﹣2≥0可变形为 （ax﹣2）（x+1）≥0， 且该不等式的解集为（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）， ∴a＞0； 又不等式对应方程的两个实数根为﹣1和2； ∴=2，解得a=1；。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6分 （2）①a=0时，不等式可化为﹣2x﹣2≥0，它的解集为{x|x≤﹣1}； ②a≠0时，不等式可化为（ax﹣2）（x+1）≥0， 当a＞0时，原不等式化为（x﹣）（x+1）≥0， 它对应的方程的两个实数根为和﹣1，且＞﹣1， ∴不等式的解集为{x|x≥或x≤﹣1}； 当a＜0时，不等式化为（x﹣）（x+1）≤0， 不等式对应方程的两个实数根为和﹣1， 在﹣2＜a＜0时，＜﹣1， ∴不等式的解集为{x|≤x ≤﹣1}； 在a=﹣2时，=﹣1，不等式的解集为{x|x=﹣1}； 在a ＜﹣2时，＞﹣1，不等式的解集为{x|﹣1≤x ≤}．。。。。。。。。。。。14分 综上，a=0时，不等式的解集为{x|x ≤﹣1}， a ＞0时，不等式的解集为{x|x ≥或x ≤﹣1}， ﹣2＜a ＜0时，不等式的解集为{x|≤x ≤﹣1}， a=﹣2时，不等式的解集为{x|x=﹣1}， a ＜﹣2时，不等式的解集为{x|﹣1≤x ≤}．。。。。。。16分 19.解 (1)要使mx 2－mx －1<0恒成立， 若m ＝0，显然－1<0，满足题意； 若m ≠0，则????? m <0，Δ＝m 2＋4m <0?－4 (2)方法一 要使f (x )<－m ＋5在x ∈[1,3]上恒成立． 就要使m ????x －122＋34 m －6<0在x ∈[1,3]上恒成立． 令g (x )＝m ????x －122＋34 m －6，x ∈[1,3]． 当m >0时，g (x )在[1,3]上是增函数， ∴g (x )max ＝g (3)＝7m －6<0，∴0 ； 当m ＝0时，－6<0恒成立； 当m <0时，g (x )在[1,3]上是减函数， ∴g (x )max ＝g (1)＝m －6<0，得m <6，∴m <0. 综上所述，m 的取值范围是? ???－∞，67..。。。。。16分 20.【解答】解：（1）因为矩形纸板ABCD 的面积为3600，故当a=90时，b=40， 从而包装盒子的侧面积S=2×x （90﹣2x ）+2×x （40﹣2x ）=﹣8x 2+260x ，x ∈（0，20）．…（3分） 因为S=﹣8x 2+260x=﹣8（x ﹣16.25）2+2112.5， 故当x=16.25时，侧面积最大，最大值为2112.5平方厘米．…（6分） （2）包装盒子的体积V=（a﹣2x）（b﹣2x）x=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]，x∈（0，），b≤60．…（8分） V=x[ab﹣2（a+b）x+4x2]≤x（ab﹣4x+4x2）=x（3600﹣240x+4x） =4x3﹣240x2+3600x．…（12分） 当且仅当a=b=60时等号成立． 设f（x）=4x3﹣240x2+3600x，x∈（0，30）．则f′（x）=12（x﹣10）（x﹣30）． 于是当0＜x＜10时，f′（x）＞0，所以f（x）在（0，10）上单调递增； 当10＜x＜30时，f′（x）＜0，所以f（x）在（10，30）上单调递减． 因此当x=10时，f（x）有最大值f（10）=16000，…（12分）此时a=b=60，x=10． 答：当a=b=60，x=10时纸盒的体积最大，最大值为16000立方厘米．…（16分）
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