初中数学动点问题练习题
1、（宁夏回族自治区）已知：等边三角形ABC 的边长为4厘米，长为1厘米的线段MN 在ABC △的
边
AB 上沿AB 方向以1厘米/秒的速度向B 点运动（运动开始时，点M 与点A 重合，点N 到达点B
时运动终止），过点M N 、分别作AB 边的垂线，与ABC △的其它边交于P Q 、两点，线段MN 运
动的时间为t 秒．
1、线段MN 在运动的过程中，t 为何值时，四边形MNQP 恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（2）线段MN 在运动的过程中，四边形
MNQP 的面积为S ，运动的时间为t ．求四边形MNQP 的面
积S 随运动时间t 变化的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
2、如图，在梯形
ABCD
中，3545AD BC AD DC AB B ====?∥，，，．动点M
从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t 秒． （1）求BC 的长．
（2）当MN AB ∥时，求t 的值．
（3）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．
3、如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是梯形，OA ∥BC ，点A 的坐标为(6，0)，点B 的坐标为(4，3)，点C 在y 轴的正半轴上．动点M 在OA 上运动，从O 点出发到A 点；动点N 在AB 上运动，从A 点出发到B 点．两个动点同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达终点时，另一个点也随即停止，设两个点的运动时间为t (秒)． (1)求线段AB 的长；当t 为何值时，MN ∥OC ？
(2)设△CMN 的面积为S ，求S 与t 之间的函数解析式， 并指出自变量t 的取值范围；S 是否有最小值？ 若有最小值，最小值是多少？ C P
Q
B
A M N
C
B
(3)连接AC ，那么是否存在这样的t ，使MN 与AC 互相垂直？ 若存在，求出这时的t 值；若不存在，请说明理由． 4、（河北卷）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝12，BC ＝16，动点P 从点A 出发沿AC 边向点C 以每秒3个单位长的速度运动，动点Q 从点C 出发沿CB 边向点B 以每秒4个单位长的速度运动．P ，Q 分别从点A ，C 同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动．在运动过程中，△PCQ 关于直线PQ 对称的图形是△PDQ ．设运动时间为t （秒）． （1）设四边形PCQD 的面积为y ，求y 与t 的函数关系式； （2）t 为何值时，四边形PQBA 是梯形？
（3）是否存在时刻t ，使得PD ∥AB ？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由； （4）通过观察、画图或折纸等方法，猜想是否存在时刻t ，使得PD ⊥AB ？若存在，请估计t 的值在括号中的哪个时间段内（0≤t ≤1；1＜t ≤2；2＜t ≤3；3＜t ≤4）；若不存在，请简要说明理由．
5、（山东济宁）如图，A 、B 分别为x 轴和y 轴正半轴上的点。
OA 、OB 的长分别是方程x 2
－14x ＋48＝0的两根(OA ＞OB)，直线BC 平分∠ABO 交x 轴于C 点，P 为BC 上一动点，P 点以每秒1个单位的速度从B 点开始沿BC 方向移动。
(1)设△APB 和△OPB 的面积分别为S 1、S 2，求S 1∶S 2的值； (2)求直线BC 的解析式；
(3)设PA －PO ＝m ，P 点的移动时间为t 。 ①当0＜t ≤54时，试求出m 的取值范围；
②当t ＞54时，你认为m 的取值范围如何(只要求写出结论)？
6、在ABC ?中，,4,5,D BC CD 3cm,C Rt AC cm BC cm ∠=∠==点在上，且以＝现有两个动点P 、Q 分别从点A 和点B 同时出发，其中点P 以1cm/s 的速度，沿AC 向终点C 移动；点Q 以1.25cm/s 的速度沿BC 向终点C 移动。过点P 作PE ∥BC 交AD 于点E ，连结EQ 。设动点运动时间为x 秒。
（1）用含x 的代数式表示AE 、DE 的长度；
（2）当点Q 在BD （不包括点B 、D ）上移动时，设EDQ ?的面积为
2
()y cm ，求y 与月份x 的函数关系式，并写出自变量x
的取值范围； （3）当x 为何值时，EDQ ?为直角三角形。
7（杭州）在直角梯形ABCD 中，90C ∠=?，高6CD cm =（如图1）。动点,P Q 同时从点B 出发，点P 沿,,BA AD DC 运动到点C 停止，点Q 沿BC 运动到点C 停止，两点运动时的速度都是1/cm s 。而当点P 到达点A 时，点Q 正好到达点C 。设,P Q 同时从点B 出发，经过的时间为
()
t s 时，BPQ ?的面积为()2
y cm （如图2）。分别以,t y 为横、纵坐标建立直角坐
标系，已知点P 在AD 边上从A 到D 运动时，y 与t 的函数图象是图3中的线段MN 。 （1）分别求出梯形中,BA AD 的长度； （2）写出图3中,M N 两点的坐标；
（3）分别写出点P 在BA 边上和DC 边上运动时，y 与t 的函数关系式（注明自变量的取值范围），并在图3中补全整个运动中y 关于t 的函数关系的大致图象。
8、（金华）如图1，在平面直角坐标系中，已知点(0
A 30ABO =o ∠．动点P 在线段A
B 上从点A 向点B 个单位的速度运动，设运动
时间为t 秒．在x 轴上取两点M N ，作等边PMN △． （1）求直线AB 的解析式；
（2）求等边PMN △的边长（用t 的代数式表示），并求出当等边PMN △的顶点M 运动到与原点O 重合时t 的值；
（3）如果取OB 的中点D ，以OD 为边在Rt AOB △内部作如图2所示的矩形ODCE ，点C 在线段AB 上．设等边PMN △和矩形ODCE 重叠部分的面积为S ，请求出当
02t ≤≤秒时S 与t 的函数关系式，并求出S 的最大值．
（图1） （图2）
9、两块完全相同的直角三角板ABC和DEF如图1所示放置，点C、F重合，且BC、DF在一条直线上，其中AC=DF=4，BC=EF=3．固定Rt△ABC不动，让Rt△DEF沿CB向左平移，直到点F和点B重合为止．设FC=x，两个三角形重叠阴影部分的面积为y．
（1）如图2，求当x=2
1
时，y的值是多少？
（2）如图3，当点E移动到AB上时，求x、y的值；
（3）求y与x之间的函数关系式；
10、（重庆课改卷）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°,AC=8,BC=6.沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成11
AC D
?
和22
BC D
?
两个三角形（如图2所示）.将纸片11
AC D
?
沿直线2
D B
（AB）方向平移（点12
,,,
A D D B
始终在同一直线上），当点1
D
于点B重合时，停止平移.在平移过程中，11
C D
与2
BC
交于点E,1
AC
与222
C D BC
、
分别交于点F、P.
（1）当11
AC D
?
平移到如图3所示的位置时，猜想图中的1
D E
与2
D F
的数量关系，并证明你的猜想；
（2）设平移距离21
D D
为x，11
AC D
?
与22
BC D
?
重叠部分面积为
y
，请写出
y
与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；
（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值；使得重叠部分的面积等于原ABC
?面积的
1
4？若不存在，请说明理由.
（图1）
y
A P
M O N B x
（图2）
y
A C
O D B x
E
1. 梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠B=90°，AD=24cm
，AB=8cm ，BC=26cm ，动点P 从点A 开始，沿AD 边，以1厘米/秒的速度向点D 运动；动点Q 从点C 开始，沿CB 边，以3厘米/秒的速度向B 点运动。
已知P 、Q 两点分别从A 、C 同时出发，，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动。假设运动时间为t 秒，问：
（1）t 为何值时，四边形PQCD 是平行四边形？
（2）在某个时刻，四边形PQCD 可能是菱形吗？为什么？ （3）t 为何值时，四边形PQCD 是直角梯形？
（4）t 为何值时，四边形PQCD 是等腰梯形？
2. 如右图，在矩形ABCD 中，AB=20cm ，BC=4cm ，点
P 从A 开始沿折线A —B —C —D 以4cm/s 的速度运动，点Q 从C 开始沿CD 边1cm/s 的速度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时 出发，当其中一点到达点D 时，另一点也随之停止运动，设运动 时间为t(s)，t 为何值时，四边形APQD 也为矩形？
3. 如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，cm BC AD 5==,AB =12 cm,CD =6cm , 点P 从
A 开始沿A
B 边向B 以每秒3cm 的速度移动，点Q 从
C 开始沿C
D 边向D 以每秒1cm 的速
度移动，如果点P 、Q 分别从A 、C 同时出发，当其中一点到达终点时运动停止。设运动时间为t 秒。
（1）求证：当t =23
时，四边形APQD 是平行四边形；
（2）PQ 是否可能平分对角线BD ？若能，求出当t 为何值时PQ 平分BD ；若不能，请说明理由；
（3）若△DPQ 是以PQ 为腰的等腰三角形，求t 的值。
4. 如图所示，△ABC 中，点O 是AC 边上的一个动点，过O 作直线MN//BC ，设MN 交∠BCA 的平分线于
点E ，交∠BCA 的外角平分线于F 。 （1）求让：EO FO =；
C
B D A 图1
P E F 1C 12C 2
图3 C 2D 2C 1B D 1A 图2 A B C D P Q A
B C D Q
P
E A
M O F N
E
D （2）当点O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论。
（3）若AC 边上存在点O ，使四边形AECF 是正方形，且AE
BC =6
2，求 B 的大小。
5. 如图，矩形ABCD 中，AB=8,BC=4,将矩形沿AC 折叠，点D
落在点D ’处，求重叠部分⊿AFC 的面积.
6. 如图所示，有四个动点P 、Q 、E 、F 分别从正方形ABCD 的四个顶点出发，沿着AB 、BC 、
CD 、DA 以同样的速度向B 、C 、D 、A 各点移动。
（1）试判断四边形PQEF 是正方形并证明。
（2）PE 是否总过某一定点，并说明理由。
（3）四边形PQEF 的顶点位于何处时，
其面积最小，最大？各是多少？
7. 已知在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ，对角线AC 和BD 相交于点O ，E 是BC 边上一个动点（E 点不与B 、C 两点重合），EF ∥BD 交AC 于点F ，EG ∥AC 交BD 于点G . ⑴求证：四边形EFOG 的周长等于2 OB ；
⑵请你将上述题目的条件“梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB = DC ”改为另一种四边形，其他条件不变，使得结论“四边形EFOG 的周长等于2 OB ”
仍成立，并将改编后的题目画出图形，写出已知、求证、不必证明.
如图，直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ABC ＝90°，
已知AD ＝AB ＝3，BC ＝4，动点P 从B 点出发，沿线段BC 向点C 作匀速运动；动点Q 从点D 出发，沿线段DA 向点A 作匀速运动．过Q 点垂直于AD 的射线交AC 于点M ，交BC 于点N ．P 、Q 两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度．当Q 点运动到A 点，P 、Q 两点同时停止运动．设点Q 运动的时间为t
秒． (1)求NC ，MC 的长(用t 的代数式表示)；
(2)当t 为何值时，四边形PCDQ 构成平行四边形？
(3)是否存在某一时刻，使射线QN 恰好将△ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由； (4)探究：t 为何值时，△PMC 为等腰三角形？
图10
A C
Q B P
（1）NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t|
（2）若t 时刻满足条件，则满足矩形ABNQ 面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样（1）
NC=t+1，PN=|5-(t+1)-t|=|4-2t| （2）
若t 时刻满足条件，则满足矩形ABNQ 面积=3×(3-t))=1/2*(3+4)*3/2=21/4，则t=5/4
此时AB+BN+QA=3+2(3-t)=13/2，而梯形总周长为10+10^0.5，不满足条件。故不存在这样的t 。t 。
9、（山东青岛课改卷 ）如图①，有两个形状完全相同的直角三角形ABC 和EFG 叠放在一起（点A 与点E 重合），已知AC ＝8cm ，BC ＝6cm ，∠C ＝90°，EG ＝4cm ，∠EGF ＝90°，O 是△EFG 斜边上的中点． 如图②，若整个△EFG 从图①的位置出发，以1cm/s 的速度沿射线AB 方向平移，在△EFG 平移的同时，点P 从△EFG 的顶点G 出发，以1cm/s 的速度在直角边GF 上向点F 运动，当点P 到达点F 时，点P 停止运动，△EFG 也随之停止平移．设运动时间为x （s ），FG 的延长线交 AC 于H ，四边形OAHP 的面积为y （cm 2)（不考虑点P 与G 、F 重合的情况）． （1）当x 为何值时，OP ∥AC ?
（2）求y 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围．
（3）是否存在某一时刻，使四边形OAHP 面积与△ABC 面积的比为13∶24？若存在，求出x 的值；若不存在，说明理由．
（参考数据：1142 ＝12996，1152 ＝13225，1162 ＝13456 或4.42 ＝19.36，4.52 ＝20.25，4.62 ＝21.16）
10、已知：如图，△ABC 是边长3cm 的等边三角形，动点 P 、Q 同时从A 、B 两点出发，分别沿AB 、BC 方向匀速移 动，它们的速度都是1cm/s ，当点P 到达点B 时，P 、Q 两 点停止运动．设点P 的运动时间为t （s ），解答下列问题： （1）当t 为何值时，△PBQ 是直角三角形?
（2）设四边形APQC的面积为y（cm2），求y与t的
关系式；是否存在某一时刻t，使四边形APQC的面积是△ABC面积的三分之二？如果存在，求出相应的t值；不存在，说明理由；
（2005?宁德）如图，已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，DB=90°，AB=12cm，BC=8cm，DC=13cm，动点P沿A→D→C线路以2cm/秒的速度向C运动，动点Q沿B→C线路以1cm/秒的速度向C运动．P、Q两点分别从A、B同时出发，当其中一点到达C点时，另一点也随之停止．设运动时间为t秒，△PQB的面积为ym2．
（1）求AD的长及t的取值范围；
（2）当1.5≤t≤t0（t0为（1）中t的最大值）时，求y关于t的函数关系式；
（3）请具体描述：在动点P、Q的运动过程中，△PQB的面积随着t的变化而变化的规律．
（1）在梯形ABCD中，AD∥BC、DB=90°过D作DE⊥BC于E点，如图所示∴AB∥DE ∴四边形ABED为矩形，∴DE=AB=12cm
在Rt△DEC中，DE=12cm，DC=13cm
∴EC=5cm
∴AD=BE=BC-=EC=3cm（2分）
点P从出发到点C共需=8（秒），
点Q从出发到点C共需=8秒（3分），
又∵t≥0，
∴0≤t≤8（4分）；
（2）当t=1.5（秒）时，AP=3，即P运动到D点（5分）
∴当1.5≤t≤8时，点P在DC边上
∴PC=16-2t
过点P作PM⊥BC于M，如图所示
∴PM∥DE
∴=即=
∴PM=（16-2t）（7分）
又∵BQ=t
∴y=BQ?PM
=t?（16-2t）
=-t2+t（3分），
（3）当0≤t≤1.5时，△PQB的面积随着t的增大而增大；
当1.5＜t≤4时，△PQB的面积随着t的增大而（继续）增大；
当4＜t≤8时，△PQB的面积随着t的增大而减小．（12分）
注：①上述不等式中，“1.5＜t≤4”、“4＜t≤8”写成“1.5≤t≤4”、“4≤t≤8”也得分．
②若学生答：当点P在AD上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而增大，当点P在DC 上运动时，△PQB的面积先随着t的增大而（继续）增大，之后又随着t的增大而减小．给（2分）
③若学生答：△PQB的面积先随着t的增大而减小给（1分）
答案
1.解:(1)作CH垂直AB于H,则AH=AB/2=2,CH=√(AC2-AH2)=2√3.
当MN在移动过程中,点M与N在CH两侧,MH=NH时,根据对称性可知,四边形MNQP为矩形.
∴MH=NH=MN/2=0.5,AM=AH-MH=2-0.5=1.5,即t=1.5时,四边形MNQP为矩形.
PM⊥AB,CH⊥AB,则PM∥CH,⊿APM∽⊿ACH,PM/CH=AM/AH.
即PM/(2√3)=1.5/2,PM=3√3/2.四边形MNQP的面积为:PM*MN=(3√3/2)*1=(3√3)/2.
(2)①当0≤t≤1时,PM/CH=AM/AH,PM/(2√3)=t/2,PM=√3t;
QN/CH=AN/AH,QN/(2√3)=(t+1)/2,QN=√3t+√3.
∴S=(PM+QN)*MN/2=(2√3t+√3)*1/2=√3t+√3/2.
②当1 ∴S=(PM+QN)*MN/2=(3√3)*1/2=(3√3)/2. ③当2≤t≤3时,同理可求:PM=4√3-√3t,QN=3√3-√3t. ∴S=(PM+QN)*MN/2=(7√3-2√3t)*1/2=(7√3)/2-√3t. 2.(1) BC=4+3+3=10 (2) CM=10-2T，CN=T sin∠C=4/5，cos∠C=3/5由于MN//AB，∠NMC=45°sin∠MNC=sin(180-∠C-∠NMC) =sin(∠C+∠NMC) =sin∠Ccos∠NMC+sin∠NMCcos∠C =(4/5)(√2/2)+(√2/2)(3/5) =7√2/10 再由正弦定理：CN/sin∠NMC=CM/sin∠MNC T/(√2/2)=(10-2T)/(7√2/10) T=70/19 (3) MNC为等腰三角形，有三种情况： i.∠C=∠NMC 此时，∠MNC=180-2∠C sin∠MNC=sin(2∠C)=2sin∠Ccos∠C=24/25 CM/sin∠MNC=CN/sin∠C (10-2T)/(24/25)=T/(4/5) T=25/7 ii.∠C=∠MNC 同理，得：(10-2T)/(4/5)=T/(24/25) T=60/17 iii.∠MNC=∠NMC 此时，CM=CN 10-2T=T T=10/3 3.求线段AB的长可通过构建直角三角形进行求解．过B作BD⊥OA于D，那么AD=3，BD=4，根据勾股定理即可求出AB的长．如果MN∥OC，那么△AMN∽△ABD，可的关于AN，AB，AM，AD的比例关系，其中AN=t，AM=6-t，AD=3，AB=5，由此可求出t的值．（2）由于三角形CMN的面积无法直接求出，因此可用其他图形的面积的“和，差”关系来求．△CMN的面积=梯形AOCB的面积-△OCM的面积-△AMN的面积-△CBN的面积．可据此来得出S，t 的函数关系式．然后根据函数的性质即可得出S的最小值．（3）易得△NME∽△ACO，利用相似三角形的对应边成比例得出的等量关系即可得出此时t的值． 解：（1）过点B作BD⊥OA于点D，则四边形CODB是矩形，BD=CO=4，OD=CB=3，DA=3．在Rt△ABD中，AB=32+42=5．当MN∥OC时，MN∥BD，∴△AMN∽△ADB，AN/AB=AM/ AD．∵AN=OM=t，AM=6-t，AD=3，∴t5=6-t3，即t=154（秒）． （2）过点N作NE⊥x轴于点E，交CB的延长线于点F，∵NE∥BD，∴△AEN∽△ADB，EN/DB=AN/AB．即EN4=t5，EN=45t．∵EF=CO=4，∴FN=4-45t．∵S=S梯形OABC-S△COM-S△MNA-S△CBN，∴S=12CO（OA+CB）-12CO?OM-12AM?EN-12CB?F N，=12×4×（6+3）-12×4t-12×（6-t）×45t-12×3×（4-45t）．即S=25t2-165t+12（0≤t≤5）．由S=25t2-165t+12，得S=25（t-4）2+285．∴当t=4时，S有最小值，且S最小=285．（3）设存在点P使MN⊥AC 于点P由（2）得AE=35t NE=45t∴ME=AM-AE=6-t-35t=6-85t，∵∠MPA=90°，∴∠PMA+∠PAM=90°，∵∠PAM+∠OCA=90°，∴∠PMA=∠OCA，∴△NME∽△ACO∴NE：OA=ME：OC∴45t6=6-85t4 解得t=4516∴存在这样的t，且t=4516． 4.(1) PC=12-3t CQ=4t S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t20<=t<=4 SPCQD=48t-12t20<=t<=4 (2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（12-3t）:4t=3:4 t=2 <3>存在，t=12/11。设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。∵△APF∽△ABC ∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5 PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t △PDQ≌△PCQ，DEFP为矩形QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即 6.4t/（16-4t）=3/5 t=12/11 <4>存在，t=36/13，2＜t≤3。设在时刻t，PD⊥AB，延长PD交AB于F，过Q作QE⊥AB（如图2，下面只给出计算，证明过程略）。同<1>PF=2.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即QE=QB*AC/AB=（16-4t）*3/5 △PDQ≌△PCQ，DFEP为矩形PD=PC=（12-3t）DF=QE=（16-4t）*3/5 PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t）+（16-4t）*3/5=2.4t t=36/13。1）PC=12-3t CQ=4t S△PCQ=PC*CQ/2=2t(12-3t)=24t-6t2 0<=t<=4 SPCQD=48t-12t2 0<=t<=4 (2)PQ//AB CP:CA=CQ:CB 即（12-3t）:4t=3:4 t=2 回答者:teacher024 <3>存在，t=12/11。 设在时刻t，PD//AB，延长QD交AB于E，过P作PF⊥AB（如图1，下面只给出计算，证明过程略）。 ∵△APF∽△ABC ∴PF/AP=BC/AB=16/20=4/5 PF=AP*4/5=3t*4/5=2.4t △PDQ≌△PCQ，DEFP为矩形 QE=DQ+DE=CQ+PF=4t+2.4t=6.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即6.4t/（16-4t）=3/5 t=12/11 <4>存在，t=36/13，2＜t≤3。 设在时刻t，PD⊥AB，延长PD交AB于F，过Q作QE⊥AB（如图2，下面只给出计算，证明过程略）。 同<1>PF=2.4t ∵△QBE∽△ABC ∴QE/QB=AC/AB 即QE=QB*AC/AB=（16-4t ）*3/5 △PDQ ≌△PCQ ，DFEP 为矩形 PD=PC=（12-3t ） DF=QE=（16-4t ）*3/5 PF=PD+DF=PC+QE=（12-3t ）+（16-4t ）*3/5=2.4t t=36/13。 5.（1）如图①，过P 点作PD ⊥BO ，PH ⊥AB ，垂足分别为D 、H ， ∵BC 为∠ABO 的平分线， ∴PH=PD ， ∴S1：S2=AB ：OB ， 又∵OA 、OB 的长是方程x2-14x+48=0的两根（OA ＞OB ）， 解方程得：x1=8，x2=6， ∴OA=8，OB=6， ∴AB=10， ∴S1：S2=AB ：OB=5：3； （2）过C 点作CK ⊥AB ，垂足为K ， ∴OC=CK ， ∴S △AOB=OC （OB+AB ）=8OC=24， ∴OC=3， ∴C （3，0）， ∴y=-2x+6； （3）①当O 、P 、E 三点共线时，（P 在OE 与BC 交点时）有S △AOP=S △AEP ， 过E 点作EG ⊥OA ，垂足为G ， ∵OE ⊥BC ，BC 平分∠ABO ， ∴P 是OE 的中点， ∴PF 是△OEG 的中位线， ∵△AGE ∽△AOB ， 2 5EG EA BO AB == ∴EG=，yP=， 把yP=，代入y=-2x+6中，求得xP=， ∴P1（）； ②当PA ∥OE 时，有S △AOP=S △AEP ， ∴P2（4，-2）． 或用代数方法：设E 点坐标为（x ，y ），根据勾股定理求出， 再将代入y=-2x+6，同样求出P1（）、P2（4，-2）．
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