概率论与统计书目推荐

六，概率统计课程科目与教材推荐

好，现在终于到了与Econ，Finance 关系最紧密的概率统计部分。关于概率统计的重要性我实在不想再强调了，不过需要再说一句的是，很多同学觉得学计量，学Finance很多东西看不懂，迷茫，那就是因为你概率统计没学好；甚至还有很多论调说什么Idea最重要，数学不重要，对于这种说法，我想说，别说Econ，Finance，连数学都是Idea最重要，任何学科都是Idea最重要的，但是你连基本的知识，研究工具都没掌握，都一窍不通，何来资本去讨论什么Idea好了，语调有点激烈，不想多说了，这个问题说多了没意思！下面我概率统计分开讲。

1概率

：Basic Probability Theory

这个很重要，虽然不是基于Measure-Theory的，但是是你明白概率是什么东西的基础。国内数学系本科一学期的概率论的内容基本跟这边Undergraduate的Honors Course for Probability差不多，但问题是很多学校的老师不怎么认真在讲的时候。比如我所在学校的数学系，当时那个老师真是不咋地，上课光在那闲扯淡，证明一点都不讲，而且课堂过大，整个数学院所有不同专业的学生一起在上课，起码100多号人，效果可想而知。我不知道别的学校情况咋样，但是我本科所在学校的数学系还是国内比较不错的，连这里况且如此，很多地方可能也好不到哪去。当然，这只是我个人的瞎猜想，没有任何证据。

这门课的主要教材是名家Durrett的《The essentials of Probability 》，我想很多人都知道他的另外一本Graduate Probability教材《Probability：Theory and Examples》，现在美国这边的学校几乎都用这本书作为Math PHD Probability课的教材。顺便说一句，Durrett是超级牛人钟开莱（中国人，虽然是美国公民）的学生，好像我记得他在一本书里管钟开莱叫做Academic Godfather，真是牛到无极限啊。

这门课Durrett这本书所有内容全讲，题目几乎全做，这样使得学生Basic Probability的基础相当好，Probability的Intuition很不错，从而在后面学习基于Measure Theory的Probability跟Stochastic Process 时，不至于迷失在Technical Details中。不过这本主要是给Math的学生的，我自己觉得Casella & Berger 的《Statistical Inference》前面的Basic Probability部分也是超好无比，而且这是一本数理统计的教材，多了很多Distribution的东西，从而给你学数理统计打下一个坚实的基础。并且，这本书习题量大质量又好，而且网上有Solution Manual，所以是非常好的习题书。我自己其实没有上这门课，不过我们

计量I（美国这边计量I其实是概率论与数理统计的内容，不过有经济系的特点罢了）当时教材是Cassella & Berger，于是我就把前五章的习题都给做了，真是受益匪浅。另外，国内复旦李贤平的那本概率论教材也是非常好的。

个人建议：经管类毕业的同学我想都有一点概率论基础了，所以个人觉得不必要专门花一学期修这门课，但是我想自己自学或者在上计量I的时候将基本内容再过一遍，查缺补漏是有必要的，多做点题目，最好能将Casella & Berger前面五章的题目做完，然后适当的参考下Durrett当有概念不清晰的问题时，这样基础就打的比较牢了。Casella & Berger国内有影印版，习题答案网上可以找得到。至于原来读数学的同学，请根据你原来学的深度自行决定。

：Measure-Based Probability-Probability I

这门课跟下面的Introduction to Stochastic Process-Probability II通常在美国这边是一年的Core Course Sequence 给那些将来可能做Probability的Math PHD学生。Probability I的内容一般包括（以我所在的学校为例）以测度论为基础的的概率基本概念，经典的极限定理（LLN于CLT for Independent Sequence）, Random Walk，Conditional Expectation,有的还会加上Discrete Time Martingale Theory。这门课的先修课为Real Analysis或者Measure Theory，你必须对Measure and Integration的内容很熟才行。这门课我想不论你是做微观，宏观，还是计量还是Finance基本上最好都要学，毕竟现代经济学Uncertainty是核心，从而概率的应用极为广泛。微观里现在做的Decision theory, 关于Imperfect Information的很多东西都需要很好的概率论基础，上周跟一个要跟我们这里一个微观牛人做的同学见面讨论，他说那个Professor的Paper里就用到了Martingale Convergence Theorem，虽然不是很深，但是一个好的Probability基础还是很必要的；宏观里面常用的Stochastic Optimal Control，Stochastic Dynamic Programming；还有更不要提Finance了，如果没有一个好的概率基础，根本连现在入门的Asset Pricing 教材你都看不懂，比如Cochorane的《Asset Pricing》，更别说Duffie的《Dynamic Asset Pricing》跟Merton的《Continuous-time Finance》了；计量理论我就更不说了，它本来就是研究一些有经济数据特点的统计理论的，想想Time Series Econometrics里的Unit，Cointergration吧，那里Asymptotic distribution的推导都是基于Functional CLT的。我就不多说了，总之，我们这里理论做的比较好的同学，几乎都有一个很好的Probability基础。

如果你Measure Theory掌握的好，学这门课会舒服很多，当然，你依然需要花费巨大的时间跟精力。我这门课上了两次，一次是在Operation Research系里上的，讲课的是个俄罗斯裔的老师，课讲的极

好，真的算是领教了Russian的数学水平，一个字，牛！！！光作业就给我们布置了14次，每次5－7个题目，一学期下来做了快一百个题目，想象一下，Graduate Course，每个题目光写有的时候就要2页多纸，学的时候真的是痛苦之极，不过学完之后真的是感觉收获特别多。我经常跟OR几个同学讨论问题，他们都是国内数学系出身，有的都是在这边的学校读过数学然后再转到这边来的，他们对作业量之大也很头疼，不过我们都很觉得那个老师确实讲的好，没得说。一个搞笑的是，这个老师的Webpage上写着，“对于那些不想完成作业的同学请点这个链接”，然后等你点了后就到了另外一个Web上，上面是他练空手道的一张照片，而且照片的光线有问题，他两眼发的都是绿光，恐怖啊，呵呵！！

由于这个课老师为了照顾一些对Measure Theory不是很熟的同学，于是他花了快一半的时间又把Measure Theory讲了一遍（这部分内容他主要用Billingsley的《Probability and Measure》里面的测度论部分），因此后面概率的东西只是讲到了CLT，后面没有讲Martingale，而且LLN跟CLT讲的不是特别深入，只是证明了IID情形下的定理，并没有证明Independent but not Identical Distribution的情形，而且我也想学多一点，因此我就去上了Math PHD Probability Core Sequence的第一学期的课（我本来想着上了OR这个然后直接去上第二学期的Probability II就算了的）。总算是把这个搞定了。

总的来说，Probability的好教材是非常之多，其中有Durrett,《Probability: Theory and Examples》，Williams,《Probability with Martingales》，Billingsley,《Probability and Measure》，Resnick 《A Probability Path 》，Jacod & Protter，《Probability Essentials》, Dudley，《Real Analysis and Probability》, Shirayev，《Probability》，以及牛人钟开莱的《A Course in Probability》这些教材基本上都是包括了Probability I的测度论为基础的的概率基本概念，极限定理与Probability II的Stochastic Process的内容，所以基本上每一本都可以作为这一Sequence的教材，不过不同的教材特点还是不一样的。

Billingsley是公认的好教材，特点是全，既有Measure Theory的完整介绍，又包含有直到Brownian Motion的一年Probability课的所有内容，但有个问题是体系安排很怪异，不适合从头看到尾，事实上我们是从Chp2，Chp3开始学，然后穿插上Chp1的内容，然后再过渡到后面的Probability部分的。这本书的行文也是Informal式的，很多重要定理的叙述证明都是在字里行间完成的，并不是定理－证明式的写法。我个人经验是不适合自学，如果有老师教课用这本书，那真的是再好不过了，不过如果没有老师教，最好把这本作为参考。这本书的课后习题非常好，对于比较难的题目后面附有简要的答案。做Econ的人好多Paper后面在涉及Probability的时候引用的都是这本书（看看White的《Asymptotic Theory for Econometrians》），我猜他们当时学概率用的都是Billingsley这本教材，呵呵。

Durrett的教材是给Math PHD的标准教材，全书主要讲概率，将Measure Theory的主要结果附录在书的后面，以供参考，因此，学这本书必须有扎实的Measure Theory基础。现在国内这本书刚出了影印版（Billingsley现在也刚处影印版，痛啊，这两本书花了我快200刀就，因为我修课的时候国内还没有影印版，唉），忘记上面是谁做的序了，讲了一个故事，说是有个Math PHD学生放假还是怎么着出去玩的时候，身边就带了这么一本书，然后这个学生现在美国是美国一所着名大学的Professor了已经。抛开故事真假不说，我对这种传说式的故事一点都不信，搞得好像背着宝剑，身怀绝世武功，天生的武功奇才一样，不知道是不是武侠小说看的是不是太多了（实际上，我的武侠小说看的是巨多无比）。Durrett这本教材讲的虽然挺难，但只是一些早期Probability结果的总结，离着研究前沿还差的很远。所以我觉得序里的故事是想说明把这本书学透基础就会打的很牢固，但是这种故事容易对人形成误导，起码我记得我在未学Measure Theory跟Probability I之前也看过很多这种小故事，看完后热血沸腾，老想着一口气吃成个胖子，但是事与愿违，反而事倍功半，其实最重要的还是下功夫好好学。当然，这只是针对我个人而言，别的同学可能比我要理智的多。闲话不多说，Durrett这本书Probability I的内容讲的比较深，其中Random Walk作为单独一章进行深入透彻的讲解，我想Random Walk做Econ的同学应该很熟吧，这就是Unit Root Process了。其他书唯一这样做的就是钟开莱了，我想Durrett这样做跟他是钟开莱先生的学生有关系吧应该。Durrett这本是我们这Probability I&II这个One Year Sequence的主要教材，老师没有自己的Lecture Notes，会把这本书从头讲到尾，至于为什么我就不多说了。

下面想说牛人钟开莱的书了，这本书如前面个人背景里面所述，我在国内的时候上那个测度论因为很多问题不明白所以就找了这本书来看，结果受益匪浅。忘记在哪里看过了，说这本书其实是将前苏联数学家对基于测度的概率论，对Independent情形下Limit Theorem的研究的一个总结。也就是说，这可以说是一本现代概率论教材的雏形，虽然在这之前也有很好的教材，但是正是这本书以及钟开莱在Stanford教授这个课程的经验，导致了现在大部分学校的第一门概率Core Course所教授的主要内容为Independent情形下的Limit Theorem。实际上，我觉得在Limit Theorem定理的证明上，这本书依然是讲的最好的，不但严格，而且清晰明了，反而现在很多新出的概率书讲的迷迷糊糊，要吗不严格，要么太Technical。不过这本书大量集中于Limit Theorem的证明，作为Probability II主要内容的Martingale，Markov Chain讲的很少（当然，我觉得依然讲的很好，特别干脆利落），对Ergodicity，Brownian Motion更是一点都没涉及，他前言里好像说了这些应该作为第二门课的内容我记得。所以，这本书是加强版的Probability I教材，但是不能作为Probability II的教材。

Shirayev的书是一本典型的Russian数学书，内容跟Durrett基本上一样，只是前面加了一章基本的Probability and Stochastic Process，后面用两章讲了Stationary Process，少了对Brownian Motion的介绍。这本教材证明上清楚明了，课后习题很多是一些重要结果，是很好的教材。而且对Stationary Process 的讲解特别好，算是奠定了Time Series Analysis的一个数学基础。想做Time Series Analysis我想这是一本必备的参考书。

Williams的书短小精悍，讲完Probability的基本内容立即进入Martingale的学习，真的是又快又准，毕竟Martingale在现代Probability甚至是Econ，Finance等等都起着关键的作用。

Resnick的书是我上OR那个Probability的教材，因为Resnick本身就是在OR系，所以他写的教材就稍微简单点，很多结果都给出了证明，不象是前面那基本为Math PHD准备的书很多结果你自己要证明，有的时候花很多时间。这本书的内容最后一章讲了Martingale，前面是Measure Theory跟Probability I的内容，看起来相对其他几本要稍微容易点，很多学校开给Engeering，Statistics或者Finance学生的Probability课都用这个作为教材。

Dudley的书Probability部分讲的内容很多，从经典的Limit Theorem到Martingale，到Brownian Motion，Ergodicity甚至还有一些Weak Convergence的内容，由于这本书整合了Real Analysis跟这么多的Probability内容，深度上感觉稍微差一点。Dudley本人在Empirical Process方面是奠基人之一，他1978年左右的几篇Paper给出了处理Empirical Process不Measurable一种处理方法，奠定了他的地位。他本人是MIT的教授，这本书是MIT概率论的教材，这门课的内容你可以在MIT Opencourse上查得到，上面有一些讲义跟习题答案，可以用来作为参考。

Jacod & Protter我没读过，把它列出来是因为这本书近年来有很多地方都在用，更重要得是这两个人虽然都是数学出身，但是现在都在做Finance得东西，而且都是名家。Protter是OR的Professor，我想很多做Finance的人都知道，他跟Jarrow有一篇关于Term Structure的Paper影响很大，是用Diffusion Process作为Model的。而Jacod则是法国巴黎““大的数学系教授，他跟Princeton经济系的Professor Ait-Sahalia（Review of Financial Studies的上一个三年的Editor）合作了一系列关系Continuous Time Process的算是金融计量领域的文章。

当然，在这边Finance领域主要还是在Business School，但由于Merton，Duffie等人对连续时间模型的使用导致了很多原来做Probability的数学出身的人都在搞Asset Pricing，不过他们管这个叫做Financial Mathematics，Financial Engeering等等，国内山东大学的彭实戈搞得所谓的金融数学其实就

是这个。结果现在在搞Econ，Finance的人与这批以前数学出身的人之间有了巨大的分歧，前者认为后者摆弄数学，没有Intuition，没有Idea；而后者认为前者数学不行，模型用的不严格。于是就各搞各的，各自形成了一个圈子。个人认为两者都有道理，前者很多数学确实不行，模型用的不是很好，统计工具掌握的也不好，于是Journal of Finance上的Paper非常多的计量用的不对，或者是为了一个比较Significant，比较Interesting的结论故意这么做。其实很多结果，如果你用正确的或者比较严格的计量方法再做一遍，根本就不对，从而得出的Interesting的结论的可信度大打折扣。但是由于这些人已经形成了一个圈子，他们之间互相接受这种做法，所以文章还是能发，研究还是能做。说道这里，顺便说一下，记得以前在国内看到有人把Journal of Finance(JF), J of Financial Economics(JFE) 跟Review of Financial Studies（RFS）给排了一个顺序，说什么这个比那个好，那个比这个好。我猜那个排法应该是按照所谓的影响因子或者引用率之类的来排的，但是个人觉得这种东西没什么意思，这三个Journal都是Finance的Top Journal，如我前面所说JF的文章数学水平，计量工具的严格性要差一点，但是这样导致了结果很Interesting，而RFS是数学应用深一点，计量工具用的严格，但反而结果不那么Interesting。如此一来，使得JF的引用率要高于RFS，但你能就说前者比后者好吗如果你真的这么想，那比较一下Econometrica上文章的引用率跟其他Journal然后再来回答这个问题。实际上，在美国这边的学术圈子里也存在争论，有人觉得JF好一些，有人觉得RFS更好一些，所以这也是没办法的事。但是我觉得做事要严谨一点，不要对别人产生误导，所以当你说JF比RFS好，或者RFS比JF 好的时候，我自己就会加上，“我觉得“，或者“按照引用率，按照工具使用的严格程度来说“等等的修饰词以表明你这样判断的根据。

接着上面，反过来讲，后者确实是Intuition比较差一点，由于Econ比较特殊的学科性质，你用的严格却没有Interesting的结论，模型很好，但是结论跟以前一样，这样就没什么太大的意义。拿彭实戈老师做的Backward SDE来说，数学上确实很重要，提供了一种新的处理SDE的方法，而且实践上也可以应用；但是拿到Finance理论上来看，就是提供了一种解B-S模型的方法，而Finance理论则是再探讨B-S模型本身的问题，所以这个研究对于Finance理论则基本上没什么意义或者意义不是很大。从这里可以看出，学术研究某种程度上也是市场化，需要有人跟你一起开拓，有人欣赏你的东西才行，要不然你自己认为的再好的东西也卖不出去。

好了，该结束这一部分了，太长了。这部分介绍的书太多了，说一下我的学习过程。我个人由于是修课所以主要用了Billingsley的教材，基本上通读了算是，钟开莱的书我也基本上看完了，看这个是因为LLN，CLT 的证明讲的好。Shirayev我精度了他讲Stationary Process的两章，及Martingale那一章

的部分内容。Durrett我没有精读，因为上面的好多证明都在别的书上认真推导过了，而且我下面会再去上那个一年的Core Course Sequence，这次完全讲这本书，所以打算把它精度一遍。其他几本Williams, Resnick , Dudley都只是在看别的书产生问题时候去找相应的部分做了参考。还有就是修完课后我花了几天时间把它们浏览了一下，以对照一下感觉。

个人建议：可以用Billingsley，Durrett，钟开莱，Shirayev中的任意一本作为主攻教材，尽量完成大部分的课后习题，很多题目网上应该可以搜索到答案。这四本书国内都已经有了英文影印版了，可以省钱了又。其他几本Williams, Resnick , Dudley可以作为参考，Williams网上有电子版，而Dudley国内有英文影印版，Resnick就不知道了。

：Introduction to Stochastic Process-Probability II

这门课主要内容是Discrete time Stochastic Process,，讲Martingale, Markov Chain, Stationary Process and Ergodicity, Brownian Motion(BM)，有的老师还会加上点Introduction to Ito’s Integral with respect to BM。我这学期上这个课的老师是在概率领域里面一个超级牛的Russian老头，他教的东西太多了。除了上面的内容，他还讲了Continuous-time 下的Martingale跟Markov Process，甚至包括了Stochastic Integral 最General的情形即对于Semi-martingale的积分，所有这些内容加起来一般都是分两门课来讲的，因此作业做的我很痛苦。不过痛苦完后感觉收获还是很大的。由于他这种教法是非常规的，并不是Probability II应该包含的内容，因此学这门课我觉得还是以标准内容为主，打好基础，这样以后要用到比较深的概率理论就可以自己学了，因为后面你要用到的可能都是近年才得出的结果，这种内容开课讲的好像不多，即使有也跟老师的研究方向有关了。

鉴于前面已经将众多概率教材做了详细介绍，这里就简要一谈就可以了。Billingsley的书把Probability II里面的内容都包含了，但不是特别成体系，都是分散开来的，所以不太适合作业主要教材。不过他最后一部分分两章讲的General Theory for SP跟BM是非常好的，前面一章详细的介绍了给出一个Finite Distribution然后Construct一个SP的方法，也即Kolmogrov Consistency Theorem，给SP的存在性奠定了一个基础。Durrett是标准的教材，因为将Measure Theory作为附录，从而腾出了大量空间详细介绍SP，是非常好的现代教材。钟开莱这方面的内容很少，但是他最后一张对Martingale跟Markov Process的介绍切中要害，理解深刻，我觉得非常值得一读。Shirayev内容跟Durrett差不多，只是少了BM的介绍，但是多了Stationary Process的详细讨论。Williams, Resnick , Dudley都有一些相关的介绍，但不如前面基本书是系统的介绍，所以只能用作参考我觉得。

个人建议：Durrett或者Shirayev都可以作为主要教材，主要的参考教材可以用Billingsley，钟开莱，其它基本可以翻一翻，了解一下别的处理方法。

：Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE, Weak Convergence and Convergence of SP, Limit Theorems for Dependent Sequence

这些内容每一个都是概率论的一部分比较现代一点的内容，关于这些内容的书一般都叫做Monograph，而不是象前面那些一样可以叫做Textbook，当然每一部分都是挺难的，想学会也挺不容易的。我这里只能稍微说几句，没法细论，一是因为这些内容都比较Specialized，如果你不需要根本不需要学，不象前面的内容是一个Econ PHD最好能具备的素质基础；二是因为我也说不了，因为我自己还没有修这些课，有的是无课可修，根本没人讲，只能自己学，比如Limit Theorems for Dependent Sequence，虽然计量尤其是Time Series Analysis经常用，但是没人教这些东西，不过如果前面Probability I & II你基础打好了，花上一点时间跟精力学好是没问题的。还有的是因为这些课程需要的预备知识太多，比如Stochastic Integral and SDE需要Discrete time SP的一些知识，Weak Convergence and Convergence of SP需要Topology跟SP的知识，所以我也没法修（这个是很难跨越的，Weak Convergence and Convergence of SP去年有个老师开这门课，我当时只是上了Probability I，学了Topology，但是没有SP的知识，前面讲Weak Convergence还勉强可以听，后来讲Convergence of SP时完全听不懂，最后只好Drop掉了那门课），自己水平还不到。

我在这里稍微写一下是因为有些人将来可能会修其中的内容，比如做Finance的人会去修Continuous time SP, Stochastic Integral and SDE,做计量的人有的会去学Weak Convergence and Convergence of SP跟Limit Theorems for Dependent Sequence等。我虽然没有修过但是已经接触到了其中甚至大部分的内容，比如我这学期上的Probability II已经将重要的Continuous time SP 跟Stochastic Integral，SDE都讲了；Weak Convergence and Convergence of SP虽然后面我没学好，但是Weak Convergence我还算是学明白了，因此我知道有哪些书是用的比较多的，在这里稍微列一下，以便兄弟姐妹需要学的能找到合适的参考书，还有过来读Econ PHD的知道哪些书可以带来，以便省钱，呵呵，省钱万岁！！

Continuous time SP跟Stochastic Integral and SDE都是联系在一起的，好多教材都是两者一起讲，这其中比较好的教材为：

Revuz and Yor, 《Continuous time martingale and BM》(国内世图好像即将出影印版了)

Williams and Rogers, 《Diffusions, Markov Process and Martingales》I & II（有影印版）

Oksendal，《Stochastic Differential Equations》(有影印版，好像都出到第六版了，可能是最简单的Stochastic Calculus教材)

Karatzas and Shreve, 《BM and Stochastic Calculus》（GTM，有影印版）

Protter，《Stochastic integration and differential equations 》（国内即将有影印版，这是最难的一本Stochastic Integral教材了可能）

Shreve，《Stochastic Calculus for Finance》，Vol II（国内有影印版，这本是现在标准的Continuous Time Finance的教材了，这边大部分的Financial Engeering Program都用这个）

Weak Convergence and Convergence of SP的教材有：

Billingsley，《Convergence of Probability Measure》

Jocod and Shereve，《Limit Theorems for Stochastic Process》

Ethier and Kurtz，《Markov Process: Characterization and Convergence》

Van der Vart and Weller, 《Weak Convergence and Empirical Process》(这其实是一本Empirical Process 的教材，但Weak Convergence讲的很不错)

这些书国内好像没有影印版，不过倒是都有电子书，大家在网上应该可以搜索得到。

Limit Theorems for Dependent Sequence

用这些内容的我觉得肯定是想做Time Series Analysis的同志们，可以参考的教材有；

Hall, 《Martingale Limit Theorems》（这本书早已不印刷了，不过网上找得到）

Davidson, 《Stochastic Limit Theorem》（这是计量经济学家写的，不过连Billingsley都在他的

专门提过）

好了概率部分就结束了，最后还有数理统计的一部分就大功告成了。

2 数理统计

：Basic Mathematical Statistics：

这是基本的非基于测度论的数理统计，这部分内容加上的Basic Probability Theory其实正好是美国这边Econ PHD计量I的内容。这部分数理统计的内容相当于这边本科Hornors Course for Math Statistics 的内容，因为我在国内既上过经管类那种概率统计一门课大杂烩的数理统计，也上过数学系单独一学期的数理统计，从而比较知道两者的区别，当然这也仅限于我本科所就读的学校。这门课跟前面的Basic Probability Theory一样，我觉得不需要去专门修本科Honors的课，但是最好自己或者在上计量I的时候认认真真的把基本数理统计的基础打好，这样做不光是对那些做将来做计量理论的同学而言，对那些打算做别的领域的，也同样适用。因为不管你做微观，宏观还是Finance，哪个现在都是Theory 跟Empirical并重的，现在连Auction Theory都在做计量检验，更别说宏观，Finance等等了。顺便说一下，经常看到有人在BBS上说自己看不懂计量经济学的教材，比如Green，Hayashi或者Davidson & Mackinnon，其实我以前也是看不懂，跟大家的感觉一样，迷迷糊糊。后来才知道，其实就是因为数理统计不行，因为现在所谓的计量就是以统计里面的回归分析为基础发展起来的具有经济金融数据特点的统计理论，这本身就是统计学，数理统计不行当然看不懂。

这门课的教材可以用一般计量I的教材，比如Gallant的《An Introduction to Econometric Theory》，Birrens，《Introduction to the mathematical and Statistical Foundation of Econometrics》，但是我个人更偏好一些纯数理统计的教材，比如Casella & Berger的《Statistical Inference》，还有更深一点的Bickel & Dokosum《Mathematical Statistics: Basic Ideas and Selected Topics》，因为我是打算做计量理论的。前面两本因为是计量I的教材，更偏重于一些在计量中有直接作用的统计的介绍，而后两本是标准的北美这边统计系非测度数理统计的教材，当然其实Bickel & Dokosum已经算是接近于使用测度论作为语言了。学习后两本可以使得你对统计的理解更深刻，知识面也更广。我自己是在上计量I的时候将Casella & Berger认真的通读了一遍，做了大量的课后习题，同时参考了Bickel & Dokosum的教材，而后来在修下面基于测度论的数理统计时又参考了Bickel & Dokosum。我没有读过Gallant与Birrens，因为计量I的Professor有自己的Lecture Notes，所以我对这两本不是很有发言权。但是这两本我都浏览过，所以知道它们的内容。

个人建议：如果你打算做计量理论，可以将Casella & Berger与Bickel & Dokosum作为计量I的主要教材，认认真真的把前一本上面的习题完成，打好基础；如果不是做计量理论的，我觉得可以读Gallant

与Birrens，适当参考一下Casella & Berger，它上面的习题多又好，而且还能找得到答案做完后对照思路。Casella & Berger国内有影印版，Bickel & Dokosum现在都是第二版了用，第一版国内有翻译版，不过第二版好像也要快出影印了，我不建议读翻译的；Gallant与Birrens好像国内有些学校有复印的，网上可能也可以找的到。

：Measure-based Mathematical Statistics I & II

这其实是包含两门课的一个一年的Sequence，因为一门讲不完这么多内容的。但是我觉得只有打算做计量理论的才需要考虑这个课，不象在讨论前面的Probability I & II时，我觉得所有Fields的人最好都修Probability I，而Probability II则不一定这样的分开来考虑，所以我把它们放到一起讨论。这个课其实是Statistics PHD一年的Core Course，可想而知是讲的比较严格的。

这门课的主要内容就是严格的数理统计理论，既包含Statistical Inference（Point Estimation, Hypothesis Testing，以及Confidence Set），又包括Statistical Decision Theory；既包含Frequentist方法，又包括Bayesian的方法；既有小样本的uation标准，像是Unbiased，UMVUE等等，又包括大样本的Asymptotic Efficiency统计评价方法。当然，这个课还包含很多现代统计方法的简单介绍，比如Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap为代表的Resampling方法。不过这里只能是简单介绍，详细的内容只能由后续课程或者通过自学（因为这些课程的开设都是跟老师的研究兴趣有关的，一个学校不一定能把所有的课都开起来）来完成。详细的课程内容我就不多说了，因为我个人觉得，凡是想做计量理论的人这门课的内容都是必然要具备的素质，起码对于现在这个年代的计量理论来说我觉得是这样，看看现在Econometrica，Econometric Theory，Journal of Econometrics上的Paper，基本上都是各种各样的新的Estimation，Hypothesis Testing方法的提出，所用的工具无不是基于现代数理统计最新的研究进展，如果不能打一下一个很坚固的数理统计基础，起码对我来说真是难以想象怎么来做研究将来。

这门课的主要教材就是着名的《Theory of Point Estimation》（TPE）by Lehmann and Casella，与《Testing Statistical Hypotheses》（TSH）by Lehmann and Romano，我想这两本教材的难度很多人都早就听说过了，反正我觉得这两本书真是得至少花一年的时间才能学好，课后的习题多，质量也好，这边的图书馆里能借到他们第一版的习题解答，非常老了，感觉字体很象是手写然后复印的。这本习题解答的作者一说大家肯定知道，就是写了类似于Probability百科全书的《Modern Theory of Probability》的Kallenberger了。跟这两本书难度差不多相当的Bayesian统计的书可以参考《Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis》by Berger，注意这个Berger跟与Casella写《Statistical Inference》的Berger可

不是一个人。另外，Shao Jun的《Mathematical Statistics》写的也是非常之好，内容涵盖了TPE跟TSH 的所有内容几乎，当然程度要容易的多，并且这本书简单介绍了包括Nonparametric，Semiparametric，Bootstrap，甚至还有Empirical Likelihood的几乎所有的现代统计方法，真是一书在手，天下事尽知啊。还值得一提的是，这本书习题也是很丰富，而且还有专门的一本习题答案，以供大家参考，如果能好好利用这些习题，还是那句话，受益终生。我自己上课时老师把这基本都列为了参考教材，我则除了TPE跟TSH上老师上课讲的内容外，仔细读了Shao Jun的相关内容，并且做了上面的一小部分题目，收获颇丰。Shao先生（我不知道是不是邵，所以只好写拼音）好像是国内华东师大毕业的，现在为U of Wisconsin at Madison统计系的主任，那里Statistics PHD第一年的Math Stat Core Squence就是讲他这本书。

不知道为什么纯数学的书国内有影印版的非常多，但是统计的书国内很少找到影印版，这使我想起了有位统计牛人在一个报告上说的，国内跟国外在统计学研究上的差距这几年非但没有缩小，某种程度上反而有点扩大了。我不是做数理统计的，也不知道事实是否如此，不过统计方面影印书的出版比纯数学方面的差了很多，这是一个很奇怪的现象，因为统计在现实中的应用应该更多些，按说统计书的引进应该是更快一步才对，现在反而是相反的。这里想推荐一本中文的高等数理统计教材，那就是陈希儒先生的《高等数理统计》了，陈老的地位以及水平我想我不需要多说了，他这本书写的是非常之好，基本跟TPE，TSH差不多一个难度水平，不过就是内容少了一点。还有就是这本书习题令人称赞，而且书的后半部分就是习题的参考答案，供大家研习之用。陈老对做习题以掌握内容，训练基本技能的说法我想很多同学都是见过的，不得不说，姜还是老的辣啊！！！

个人建议：这门课值得好好花一年的时间学好TPE，TSH或者学好Shao Jun，Bayesian的部分可以参考下Berger。Berger的书国内有影印版，其他基本好像没有，不过可以找得到电子版，而且国内一些学校也有复印版。题目要认真做，多做。

：Asymptotic Statistics

Asymptotic Statistics包括了数理统计里面的很多大样本理论，比如M-Statistic, U-Statistic，MLE，Asymptotic Relative Efficiency，Empirical Process等等，我觉得是应该作为一门课认真学学的，教材可以用现在最流行的Van der Vart 的《Asymptotic Statistics》，事实上很多学校都已经将这门课开做一本Stat PHD的必修课。由于我自己还没修过，所以我没什么发言权，只能推荐这么一本书，不过很多Professor都有Course Webpage，大家可以去网上搜索，看看他们怎么个讲法，讲哪些内容，找相应

的课本认真学习，打好基础。我本人正打算这个Summer学这个，因为以后要把大部分的时间都转向与我自己的研究方向相关的学习，还要开始准备我的PHD Dissertation，因此估计比较少有时间再去象第一，二年一样这样耐心的打基础了，所以觉得最好在Summer将这门重要的内容解决掉。

：Topics in Modern Math Statistics

这个不是一门课，是我把所有的除了基本的One-Year Core Sequence与上面的Asymptotic之外的现代统计方法都放到了一起，大致包括了Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood 等内容。这些都是近几十年才发展壮大起来的现代统计方法，其中像是Bootstrap也不过是1980年左右才开始的。

如Nonparametric，Semi-parametric，Bootstrap，Empirical Likelihood这些内容都是现代统计理论中的研究方向，很多研究还正在进行中，我个人只是因为要用从而自学了Nonparametric的一些书，但因为这方面的书特别散，没有一本将所有Nonparametric方法都讲好的书，所以很难做推荐，所以这里就不多说了。需要说的是，这些研究方向都有相关的计量领域对应，比如Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics，这些其实是相应的统计方法在对Econ跟Finance特点的数据的应用，有的时候Statisticians搞出来的这些统计方法针对的数据类型跟Econ，Finance的数据特点不符，而Econometricians做的就是基于原来的方法提出针对这些Econ，Finance

特点的数据进行分析的新的统计工具，由于基于的General的统计方法不一样，因此便有了Nonparametric Econometrics，Semi-parametric Econometrics，Bootstrap Econometrics这些称呼。这与以数据本身类型对计量分为Micro-econometrics（Cross-section, Limited Dependent Variables）Time Series Analysis, Panel Data Econometrics(有的把这个也归为Micro-econometrics)，是不同的，不同的方法跟不同的数据类型结合在一起便形成了很多不同研究方向与叫法，总之，对计量进行完全彻底的分类好像很难。

由于这些内容既不简单，我也没有完整学过，所有我在这里就说到此为止了。实际上，我也不可能把它们都学完，一是我知道自己没那么大能量，水平毕竟有限；二是也没有必要，这些学不学，学到什么程度都要视你的研究而定，你需要用就学，不需要就算。说实话，我觉得现在经济学研究已经开始逼近象数学一样的高度分工了，做微观跟做计量的互相很少有共同语言，即使都是做计量的，不同的方向能通话的也是比较少的，比如你做Panel Data，他做Financial Econometrics，不光使用的方法不一样。模型的假设不一样，就连最基本的检验的经济理论更不一样。你需要学习不同的经济理论，这一

点就使得两者很难对话。不过话说回来，大家还是有的，象Hausman，L Hansen, Philips，White那样的，诸多方向通吃，水平确实高，没办法。不过我觉得他们的概率，数理统计的基础肯定很牢固，从而来了新的Topic时很快就能上手，我自己觉得这个一个很重要的原因

概率论与数理统计第4章作业题解

第四章作业题解 4.1 甲、乙两台机床生产同一种零件, 在一天内生产的次品数分别记为 X 和 Y . 已知 ,X Y 的概率分布如下表所示: 如果两台机床的产量相同, 问哪台机床生产的零件的质量较好？ 解： 11.032.023.014.00)(=?+?+?+?=X E 9.0032.025.013.00)(=?+?+?+?=Y E 因为 )()(Y E X E >，即乙机床的平均次品数比甲机床少，所以乙机床生产的零件质量较好。 4.2 袋中有 5 个球, 编号为1,2,3,4,5, 现从中任意抽取3 个球, 用X 表示取出的3 个球中的 最大编号，求E (X ). 解：X 的可能取值为3,4,5. 因为1.01011)3(35 == = =C X P ；3.010 3)4(35 2 3== = =C C X P ； 6.010 6)5(3 5 24=== =C C X P 所以 5.46.053.041.03)(=?+?+?=X E 4.3 设随机变量X 的概率分布1 {}(0,1,2,),(1) k k a P X k k a +===+ 其中0a >是个常 数，求()E X 解: 1 1 2 1 1 1 ()(1) (1) (1) k k k k k k a a a E X k k a a a -∞ ∞ +-=== = +++∑∑ ，下面求幂级数11 k k k x ∞ -=∑的和函数， 易知幂级数的收敛半径为1=R ，于是有 1 2 1 1 1()( ),1,1(1) k k k k x k x x x x x ∞ ∞ -==''=== <--∑ ∑

(完整版)概率论与数理统计课后习题答案

·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：

概率论与数理统计习题集及答案

* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。

概率论与数理统计第三章课后习题答案

习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+

ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k

概率论与数理统计练习题

概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望

概率论与数理统计课后习题答案

第一章 事件与概率 1．写出下列随机试验的样本空间。 （1）记录一个班级一次概率统计考试的平均分数 （设以百分制记分）。 （2）同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和。 （3）生产产品直到有10件正品为止，记录生产产 品的总件数。 （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上 “正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品 就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的 结果。 （5）在单位正方形内任意取一点，记录它的坐标。 （6）实测某种型号灯泡的寿命。 解（1）},100,,1,0{n i n i ==Ω其中n 为班级人数。 （2）}18,,4,3{ =Ω。 （3）},11,10{ =Ω。 （4）=Ω{00，100，0100，0101，0110，1100， 1010，1011，0111，1101，0111，1111}，其中 0表示次品，1表示正品。 （5）=Ω{(x,y)| 0

（2）A 与B 都发生，而C 不发生。 （3）A ，B ，C 中至少有一个发生。 （4）A ，B ，C 都发生。 （5）A ，B ，C 都不发生。 （6）A ，B ，C 中不多于一个发生。 （7）A ，B ，C 至少有一个不发生。 （8）A ，B ，C 中至少有两个发生。 解 （1）C B A ，（2）C AB ，（3）C B A ++，（4）ABC ， （5）C B A ， （6）C B C A B A ++或 C B A C B A C B A C B A +++， （7）C B A ++， （8）BC AC AB ++或 ABC BC A C B A C AB ??? 3．指出下列命题中哪些成立，哪些不成立，并作 图说明。 （1）B B A B A =（2）AB B A = （3）AB B A B =?则若,（4）若 A B B A ??则, （5）C B A C B A = （6）若Φ=AB 且A C ?，

概率论与数理统计第二版_课后答案_科学出版社_参考答案_

习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{

解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=-

《概率论与数理统计》在线作业

第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题

您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题

您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题

您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题

您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题

概率论与数理统计答案,祝东进

习题 1. 写出下列随机试验的样本空间: (1) 掷两颗骰子,观察两颗骰子出现的点数. (2) 从正整数中任取一个数,观察取出数的个位数. (3) 连续抛一枚硬币,直到出现正面时为止. (4) 对某工厂出厂的产品进行检查,如连续检查出两个次品,则停止检查,或 检查四个产品就停止检查,记录检查的结果. (5) 在单位圆内任意取一点,记录它的坐标. 解:(1){(,)|1,2,,6,1,2, ,6}i j i j Ω===; (2){|0,1, ,9}i i Ω==; (3)Ω={(正), (反, 正), (反, 反, 正), (反, 反, 反, 正), … }; (4)Ω={(次, 次), (次, 正, 正, 正), (次, 正, 正, 次), (次, 正, 次, 次), (次, 正, 次,正), (正, 次, 次), (正, 次, 正, 正), (正, 次, 正, 次)}; (5)22{(,)|,,1}x y x R y R x y Ω=∈∈+≤. 2. 在掷两颗骰子的试验中写出下列事件的集合表示: (1) A =”出现的点数之和为偶数”. (2) B =”出现的点数之和为奇数, 但没有骰子出现1点”. (3) C =”至少掷出一个2点”. (4) D =”两颗骰子出现的点数相同”. 解: (1) {(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),A = {(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)}=; (2){(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,3),(6,5)}B =; (3){(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(1,2),(3,2),(4,2),(5,2),(6,2)}C =; (4){(1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)}D =. 3. 设,,A B C 是三个事件,试用,,A B C 来表示下列事件:

概率论与数理统计第四版课后习题答案

概率论与数理统计课后习题答案 第七章参数估计 1．[一] 随机地取8只活塞环，测得它们的直径为（以mm 计） 74.001 74.005 74.003 74.001 74.000 73.998 74.006 74.002 求总体均值μ及方差σ2的矩估计，并求样本方差S 2。 解：μ，σ2 的矩估计是 61 22 106)(1?,002.74?-=?=-===∑n i i x X n X σμ 621086.6-?=S 。 2．[二]设X 1，X 1，…，X n 为准总体的一个样本。求下列各总体的密度函数或分布律中的未知参数的矩估计量。 （1）? ??>=+-其它,0,)()1(c x x c θx f θθ 其中c >0为已知，θ>1，θ为未知参数。 （2）?? ???≤≤=-.,01 0,)(1其它x x θx f θ 其中θ>0，θ为未知参数。 （5）()p p m x p p x X P x m x m x ,10,,,2,1,0,)1()(<<=-==- 为未知参数。 解：（1）X c θc θc c θdx x c θdx x xf X E θθc θ θ =--=-== =+-∞+-∞+∞ -? ? 1 ,11)()(1令， 得c X X θ-= （2）,1)()(10 += = = ? ? ∞+∞ -θθdx x θdx x xf X E θ 2 )1(,1 X X θX θθ-==+得令 （5）E (X ) = mp 令mp = X ， 解得m X p =? 3．[三]求上题中各未知参数的极大似然估计值和估计量。 解：（1）似然函数 1211 )()()(+-=== ∏θn θ n n n i i x x x c θ x f θL 0ln ln )(ln ,ln )1(ln )ln()(ln 1 1 =- +=-++=∑∑ ==n i i n i i x c n n θθ d θL d x θc θn θn θL

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册标准答案详解

天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解

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第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18x 与22≤x 相容事件 (5)20个产品全是合格品与20个产品中只有一个废品 互不相容 (6)20个产品全是合格品与20个产品中至少有一个废品 对立事件

概率论与数理统计习题解答

第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生；

（4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B

（4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++==

概率论与数理统计习题答案

习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%,

福州大学概率论与数理统计课后习题答案高等教育出版社

福州大学概率论与数理统计课后习题答案 高等教育出版社 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数 之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下 事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和： C B A ++，C AB +，AC B -.

概率论与数理统计课后习题答案

习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：

概率论与数理统计复习题--带答案

概率论与数理统计复习题--带答案

;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A －B)=（0.3 ）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌 机的概率为0.7，乙击中敌机的概率为0.8．求 敌机被击中的概率为（0.94 ）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不少于二个发生可表示为（AB AC BC ++）。 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.9，0.8，0.7，则这三台机器中至少有一台发生故障的概率 为（0.496 ）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立 射击４次，则击中二次的概率为 （ 0.3456 ）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都 不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中 不多于一个发生可表示为（AB AC BC I I）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(A|B)=（0.5 ）；

9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机 的概率为0.6，乙击中敌机的概率为0.5．求敌机被击中的概率为（0.8 ）； 10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A-)=（0.5 ） 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三 台机器不发生故障的概率依次为0.8，0.8，0.7，则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为（0.864 ）。 12.若事件A?B且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则 P(B A)=（0.3 ）; 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=0.5, P(B) =0.2 , 则P(B A)=（0.5 ） 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B= U（S ）15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰 有一个发生可表示为 （ABC ABC ABC ++） 16.若()0.4 P AB A B= U P AB=0.1则(|) P B=，() P A=，()0.2 （ 0.2 ） 17.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则AB=（S ） 18.保险箱的号码锁定若由四位数字组成，则一次 ）。 就能打开保险箱的概率为（1 10000

概率论与数理统计习题集及答案

《概率论与数理统计》作业集及答案
第 1 章 概率论的基本概念
§1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢 3 次，观察正面 H﹑反面 T 出现的情形. 样本空间是：S=
(2) 一枚硬币连丢 3 次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则 A= ；B：数点大于 2，则 B= (2) 一枚硬币连丢 2 次， A：第一次出现正面，则 A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= ；b5E2RGbCAP ；p1EanqFDPw .DXDiTa9E3d .
§1 .2 随机事件的运算
1. 设 A、B、C 为三事件，用 A、B、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C 都不发生表示为： .(2)A 与 B 都发生,而 C 不发生表示为： .RTCrpUDGiT (3)A 与 B 都不发生,而 C 发生表示为： .(4)A、B、C 中最多二个发生表示为： .5PCzVD7HxA (5)A、B、C 中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C 中不多于一个发生表示为： .jLBHrnAILg 2. 设 S ? {x : 0 ? x ? 5}, A ? {x : 1 ? x ? 3}, B ? {x : 2 ?? 4}：则 （1） A ? B ? （4） A ? B = ， （2） AB ? ， （5） A B = ， （3） A B ? 。 ，
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§1 .3 概率的定义和性质
1. 已知 P( A ? B) ? 0.8, P( A) ? 0.5, P( B) ? 0.6 ，则 (1) P( AB) ? , (2)( P( A B) )= 则 P( AB) = , (3) P( A ? B) = . .LDAYtRyKfE
2. 已知 P( A) ? 0.7, P( AB) ? 0.3,
§1 .4 古典概型
1. 某班有 30 个同学,其中 8 个女同学, 随机地选 10 个,求:(1)正好有 2 个女同学的概率, (2)最多有 2 个女同学的概率,(3) 至少有 2 个女同学的概率. 2. 将 3 个不同的球随机地投入到 4 个盒子中,求有三个盒子各一球的概率.
§1 .5 条件概率与乘法公式
1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7, 则其中一颗为 1 的概率是 2. 已知 P( A) ? 1 / 4, P( B | A) ? 1 / 3, P( A | B) ? 1 / 2, 则 P( A ? B) ? 。 。
§1 .6 全概率公式
1.
有 10 个签，其中 2 个“中” ，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人 抽“中‘的概率相同。Zzz6ZB2Ltk 1 / 19

《概率论与数理统计》浙江大学第四版课后习题答案

概率论与数理统计习题答案 第四版 盛骤 (浙江大学) 浙大第四版（高等教育出版社） 第一章 概率论的基本概念 1.[一] 写出下列随机试验的样本空间 （1）记录一个小班一次数学考试的平均分数（充以百分制记分）（[一] 1） ??? ????=n n n n o S 1001, ，n 表小班人数 （3）生产产品直到得到10件正品，记录生产产品的总件数。（[一] 2） S={10，11，12，………，n ，………} （4）对某工厂出厂的产品进行检查，合格的盖上“正品”，不合格的盖上“次品”，如连续查出二个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。 查出合格品记为“1”，查出次品记为“0”，连续出现两个“0”就停止检查，或查满4次才停止检查。 （[一] (3)） S={00，100，0100，0101，1010，0110，1100，0111，1011，1101，1110，1111，} 2.[二] 设A ，B ，C 为三事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列事件。 （1）A 发生，B 与C 不发生。 表示为： C B A 或A － (AB+AC )或A － (B ∪C ) （2）A ，B 都发生，而C 不发生。 表示为： C AB 或AB －ABC 或AB －C

（3）A ，B ，C 中至少有一个发生 表示为：A+B+C （4）A ，B ，C 都发生， 表示为：ABC （5）A ，B ，C 都不发生， 表示为：C B A 或S － (A+B+C)或C B A ?? （6）A ，B ，C 中不多于一个发生，即A ，B ，C 中至少有两个同时不发生 相当于C A C B B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：C A C B B A ++。 （7）A ，B ，C 中不多于二个发生。 相当于：C B A ,,中至少有一个发生。故 表示为：ABC C B A 或++ （8）A ，B ，C 中至少有二个发生。 相当于：AB ，BC ，AC 中至少有一个发生。故 表示为：AB +BC +AC 6.[三] 设A ，B 是两事件且P (A )=0.6，P (B )=0. 7. 问(1)在什么条件下P (AB )取到最大值，最大值是多少？（2）在什么条件下P (AB )取到最小值，最小值是多少？ 解：由P (A ) = 0.6，P (B ) = 0.7即知AB ≠φ，（否则AB = φ依互斥事件加法定理， P (A ∪B )=P (A )+P (B )=0.6+0.7=1.3>1与P (A ∪B )≤1矛盾）. 从而由加法定理得 P (AB )=P (A )+P (B )－P (A ∪B ) (*) （1）从0≤P (AB )≤P (A )知，当AB =A ，即A ∩B 时P (AB )取到最大值，最大值为 P (AB )=P (A )=0.6， （2）从(*)式知，当A ∪B=S 时，P (AB )取最小值，最小值为 P (AB )=0.6+0.7－1=0.3 。 7.[四] 设A ，B ，C 是三事件，且0)()(,4 1 )()()(=== ==BC P AB P C P B P A P ，8 1 )(= AC P . 求A ，B ，C 至少有一个发生的概率。 解：P (A ，B ，C 至少有一个发生)=P (A +B +C )= P (A )+ P (B )+ P (C )－P (AB )－P (BC )