直线与双曲线
一、知识梳理
1．双曲线的定义
满足以下三个条件的点的轨迹是双曲线：
(1)在平面内；(2)与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数；(3)常数小于|F 1F 2|. 2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x 2a 2－y 2
b 2
＝1(a >0，b >0) y 2a 2－x 2
b 2
＝1(a >0，b >0) 图形
性 质
范围
x ≥a 或x ≤－a ，y ∈R
y ≤－a 或y ≥a ，x ∈R
对称性 对称轴：坐标轴 对称中心：原点 顶点 顶点坐标：A 1(－a,0)，A 2(a,0)
顶点坐标：A 1(0，－a )，A 2(0，a )
渐近线 y ＝±b a
x
y ＝±a b
x
a ，
b ，
c 的关系
c 2＝a 2＋b 2
实虚轴 线段A 1A 2叫做双曲线的实轴，它的长|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫做双曲线的虚轴，它的长|B 1B 2|＝2b ； a 叫做双曲线的实半轴长，b 叫做双曲线的虚半轴长
二、典型例题：
例1．双曲线y 2－x 2＝2的渐近线方程是 （ ）
A ．y ＝±x
B ．y ＝±2x
C ．y ＝±3x
D ．y ＝±2x
例2．已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为F (3,0)，c/a 等于3
2
，则C 的方程是 （ ）
A.x 24－y 25＝1
B.x 24－y 25＝1
C.x 22－y 25＝1
D.x 22－y 2
5
＝1 例3．斜率为2的直线l 过双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的右焦点，且与双曲线的左、右两支都相交，则双
曲线的c/a 的取值范围是 （ ）
A ．(－∞，2)
B ．(1，3)
C ．(1，5)
D ．(5，＋∞) 例4．已知双曲线x 2a 2－y 2
5
＝1的右焦点为(3,0)，则该双曲线的c/a 等于（ ）
A.31414
B.324
C.32
D.43
例5．双曲线mx 2＋y 2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m ＝________.
例6．已知中心在原点的双曲线C ，过点P (2，3)且c/a 为2，则双曲线C 的标准方程为
例7．设F 1，F 2是双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两个焦点，P 是C 上一点．若|PF 1|＋|PF 2|＝6a ，且△
PF 1F 2的最小内角为30°，则C 的c/a 为________．
例8．已知椭圆D ：x 250＋y 2
25＝1与圆M ：x 2＋(y －5)2＝9，双曲线G 与椭圆D 有相同焦点，它的两条渐近线
恰好与圆M 相切，求双曲线G 的方程．
例9．过双曲线x 23－y 2
6＝1的右焦点F 2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A ，B 两点，O 为坐标原点，F 1为左
焦点．
(1)求|AB |；(2)求△AOB 的面积．
例10．已知双曲线的中心在原点，焦点F 1、F 2在坐标轴上，c/a 为2，且过点P (4，－10)． (1)求双曲线方程；(2)若点M (3，m )在双曲线上，求证：MF 1→·MF 2→
＝0；(3)求△F 1MF 2的面积．
11、已知曲线C 的方程为
22
121
x y m m -=++， （1）若曲线C 为椭圆，则m 的取值范围为 ； （2）若曲线C 为双曲线，则m 的取值范围为
12、直线()l y k x ：=-2与双曲线C ：x y 22
22
1-=交于A 、B 两点，若AB >62，求k 的取值范围。
13、对于双曲线2
2
12
y x -=，过(1,1)B 能否作直线m ，时使m 与双曲线交于,P Q 两点，且B 是PQ 的中点． 若存在，求出m 的值；若不存在，说明理由。
14．已知双曲线的方程2
2
12
y x -=，试问是否存在被点（1， 1）所平分的弦？如果存在，求出所在直线；如果不存在，说明理由。
15、试问双曲线3x 2-y 2=1上是否存在A 、B 两点关于直线1
42
y x =-对称?若存在，求出AB 直线方程；若不存在，说明理由．
16：已知双曲线
C ：x 2－
4
2
y =1，过点P （1，1）作直线l ，若l 与C 左支有两个不同的交点，求直线l 的斜率的取值范围。 练习：
1．与椭圆x 24
＋y 2
＝1共焦点且过点P (2,1)的双曲线方程是( )
A.x 24－y 2＝1
B.x 22－y 2＝1
C.x 23－y 23＝1 D ．x 2
－y 2
2
＝1 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4，－2)，则它的c/a 为 ( ) A. 6 B. 5 C.
62 D .5
2
3．双曲线x 225－y 2
9
＝1上的点到一个焦点的距离为12，则到另一个焦点的距离为( )
A ．22或2
B ．7
C ．22
D ．2
4．(2010·辽宁)设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的c/a 为( )
A. 2
B. 3
C.
3＋1
2
D.
5＋1
2
5．若点O 和点F (－2,0)分别是双曲线x 2a 2－y 2
＝1(a >0)的中心和左焦点，点P 为双曲线右支上的任意一点，
则OP →·FP →的取值范围为( )
A ．[3－23，＋∞)
B ．[3＋23，＋∞) C.????－74，＋∞ D.???
?7
4，＋∞ 6．已知双曲线C ：x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)，以C 的右焦点为圆心且与C 的渐近线相切的圆的半径是( )
A ．a
B ．b C.ab D.a 2＋b 2
7．点P 在双曲线上x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)上，F 1，F 2是这条双曲线的两个焦点，∠F 1PF 2＝90°，且△F 1PF 2
的三条边长成等差数列，则此双曲线的c/a 是( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5
8．已知双曲线中心在原点且一个焦点为F (7，0)，直线y ＝x －1与其相交于M ，N 两点，MN 中点的横坐 标为－2
3
，则此双曲线的方程是( )
A.x 23－y 24
B.x 24－y 23＝1
C.x 25－y 22＝1 D .x 22－y 25＝1 9．设F 1、F 2分别是双曲线x 2-9
2
y =1的左、右焦点.若点P 在双曲线上，且021=?PF ,则|1PF +2PF |= .
10．已知双曲线
x 2－
y 2
b 2
(b >0)的一条渐近线的方程为y ＝2x ，则b ＝________. 11．已知双曲线kx 2－y 2＝1的一条渐近线与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，则双曲线的c/a 为________； 渐近线方程为________．
12.已知双曲线x 2m －y 2n ＝1的一条渐近线方程为y ＝4
3
x ，则该双曲线的c/a 为________．
13．双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1作直线交双曲线的左支于A ，B 两点，
且|AB |＝m ，则△ABF 2的周长为__________．
14．已知F 1、F 2分别为双曲线C ：x 29－y 2
27＝1的左、右焦点，点A ∈C ，点M 的坐标为(2,0)，AM 为∠F 1AF 2
的平分线，则|AF 2|＝________.
15．已知双曲线x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F ，过点F 作直线PF 垂直于该双曲线的一条渐近线l 1于
P (
33，6
3
)．(1)求该双曲线方程；(2)过点F 作直线l 2交该双曲线于M ，N 两点，如果|MN |＝4，求直线l 2的方程．
16.已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是F 1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C 的方程;
(2)若以k(k ≠0)为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M,N 且线段MN 的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为2
81
,求k 的取值范围.
17.直线l :y=kx+1与双曲线C:2x 2-y 2=1的右支交于不同的两点A 、B. （1）求实数k 的取值范围；
（2）是否存在实数k,使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F ？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由.
四、课后作业
1．已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，若P 为其上一点，且|PF 1|＝2|PF 2|，则
P
双曲线c/a 的取值范围为 ( )
A ．(1,3)
B ．(1,3]
C ．(3，＋∞)
D ．[3，＋∞)
2.已知P 是双曲线22
219
x y a -
=右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x －y ＝0.设F 1、F 2分别为双曲线的左、右焦点．若|PF 2|＝3，则|PF 1|＝________. 3.过双曲线
x y a b a
b
222
2
1(0,0)-
=>>的左焦点且垂直于轴的直线与双曲线相交于两点，
以为直径的圆恰好过双曲线的右顶点，则双曲线的c/a 等于 . 4.求适合下列条件的双曲线的方程： （1）焦点在轴上,虚轴长为12，c/a 为5
4
；（2）顶点间的距离为6，渐近线方程为
5.已知双曲线的方程是16x 2－9y 2＝144.(1)求该双曲线的焦点坐标、c/a 和渐近线方程； (2)设F 1和F 2是双曲线的左、右焦点，点P 在双曲线上，且|PF 1|·|PF 2|＝32，求∠F 1PF 2的大小．
6.如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，F 1、F 2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P ，∠F 1PF 2＝π
3，且△PF 1F 2的面积为23，又双曲线的c/a 为2，求该双曲线的方程．
7.已知椭圆的方程为 14
22
=+y x ，双曲线的左、右焦点分别是的左、右顶点，而的左、右顶点分别是的左、右焦点.(1）求双曲线的方程；(2）若直线与双曲线C 2恒有两个不同的交点A 和B ，求的范围 参考答案
双曲线1 [解析] B 椭圆x 24＋y 2＝1的焦点坐标是(±3，0)．设双曲线方程为x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0，b >0)．因为点
P (2,1)在双曲线上，所以4a 2－1b 2＝1，a 2＋b 2＝3，解得a 2＝2，b 2＝1，所以所求的双曲线方程是x 22
－y 2
＝1.
2解析 设双曲线的标准方程为x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)，所以其渐近线方程为y ＝±b
a x, 因为点(4，－2)在渐近
线上，所以b a ＝12，根据c 2＝a 2＋b 2，可得c 2－a 2a 2＝14，解得e 2＝54，e ＝5
2
，故选D.
3答案 A4答案 D 解析 直线FB 的斜率为－b c ，与其垂直的渐近线的斜率为b a ，所以有－b 2
ac ＝－1即b 2
＝ac ，所以c 2－a 2＝ac ，两边同时除以a 2可得e 2－e －1＝0，解得e ＝1＋5
2.
5[解析] B 因为F (－2,0)是已知双曲线的左焦点，所以
a 2＋1＝4，即
a 2＝3，所以双曲线方程为
x 23
－y 2
＝1.设点P (x 0，y 0)，则有x 203－y 20＝1(x 0≥3)，解得y 2
0＝x 203
－1(x 0≥3)．因为FP →＝(x 0＋2，y 0)，OP →＝(x 0，y 0)，所以OP →·FP
→＝x 0(x 0＋2)＋y 2
0＝x 0(x 0＋2)＋x 203－1＝4x 2
03
＋2x 0－1，此二次函数对应的抛物线的对称轴方程为
x 0＝－3
4
，因为
x 0≥3，所以当x 0＝3时，OP →·FP →取得最小值43×3＋23－1＝3＋23，故OP →·FP →
的取值范围是[3＋23，＋
∞)．
6答案 B7 [解析] D 不妨设|PF 1|，|PF 2|，|F 1F 2|成等差数列，则4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，由2|PF 2|＝2c ＋|PF 1|，且|PF 2|－|PF 1|＝2a ，解得|PF 1|＝2c －4a ，|PF 2|＝2c －2a ，代入4c 2＝|PF 1|2＋|PF 2|2，得4c 2＝(2c －2a )2＋(2c －4a )2，化简整理得c 2－6ac ＋5a 2＝0，解得c ＝a (舍去)或者c ＝5a ，故e ＝c
a ＝5.
8答案 D 解析 设双曲线方程x 2a 2－y 2
b
2＝1，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
∴???
x 21
a 2－y 2
1b 2
＝1 ①x 22a 2
－y
22b 2
＝1
②，
①－②得：y 1－y 2x 1－x 2＝b 2a 2·x 1＋x 2y 1＋y 2
，∴1＝b 2a 2·－23
－53
，∴5a 2＝2b 2.
又a 2＋b 2＝7，∴a 2＝2，b 2＝5，选D. 9．21010。2 11。
52，12
x ±y ＝0双曲线kx 2－y 2＝1的渐近线方程是y ＝±kx .又因为一条渐近线方程与直线2x ＋y ＋1＝0垂直，∴k ＝12，k ＝1
4
.∴双曲线的c/a 为e ＝
1k ＋11k
＝52；渐近线方程为1
2x ±y ＝0. 12答案 53或5
4
解析 设m >0，n >0，∴
n m ＝43，∴n m ＝169.∴m ＋n m ＝259.∴e ＝53.设m <0，n <0.则y 2－n －x 2－m
＝1，∴n m ＝43.∴n m ＝169.∴m n ＝916.∴m ＋n n ＝2516.∴e ＝54.∴双曲线的c/a 为53或5
4
. 13 [解析] 4a ＋2m 由?
????
|AF 2|－|AF 1|＝2a ，|BF 2|－|BF 1|＝2a ?|AF 2|＋|BF 2|－(|AF 1|＋|BF 1|)＝4a ，又|AF 1|＋|BF 1|＝|AB |＝m ，∴
|AF 2|＋|BF 2|＝4a ＋m .则△ABF 2的周长为|AF 2|＋|BF 2|＋|AB |＝4a ＋2m .
14[解析] 6 根据角平分线的性质，
||AF 2||AF 1＝||MF 2||MF 1＝1
2
.又||AF 1－||AF 2＝6，故||AF 2＝6. 15解析
(1)设F (c,0)，l 1
：y ＝b a x ，PF ：y ＝－a
b (x －
c )．解方程组???
y ＝b
a x
y ＝－a
b
x －c
，得P (a 2c ，ab
c
)，又已
知P (33，63)，故解得a ＝1，b ＝2，所以双曲线方程为x 2
－y 2
2＝1.(2)若直线l 2垂直于x 轴，交双曲线于M ，
N .由(1)得右焦点为F (3，0)，将x ＝3代入x 2
－y 2
2
＝1，得y ＝±2，所以|MN |＝4，若直线l 2不垂直于x 轴，
设MF ：y ＝k (x －3)，代入x 2－
y 2
2
＝1，得2x 2－k 2(x －3)2＝2，整理，得(2－k 2)·x 2＋23k 2x －3k 2－2＝0，所以x 1＋x 2＝23k 2
k 2－2，若M ，N 两点均在双曲线的右支上，则k 2>2；若M ，N 两点在双曲线的两支上，则k 2<2.
又若M ，N 两点均在双曲线的右支上，由于通径最短且为4，故M ，N 两点只可能分别在双曲线的两支上，此时，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，|MN |＝||NF |－|MF ||＝3[(13－x 2)－(x 1－13)]，所以4＝2－3(x 1＋x 2)，即
3·23k 2
k 2－2＝－2，k ＝±22，所以所求直线l 2的方程为x ＝3或y ＝±2
2
(x －3)．
16解 （1）设双曲线C 的方程为22
22b y a x -=1（a ＞0,b ＞0）.由题设得?????==+,25
,922a
b b a 解得??
???==.5,
422b a 所以双曲线C 的方程为5
42
2y x -=1.（2）设直线l 的方程为y=kx+m (k ≠0).
点M （x 1，y 1），N （x 2，y 2）的坐标满足方程组
?
????=-+=154
2
2
y x m
kx y 将①式代入②式，得42x -5
)(2
m kx +=1,整理得(5-4k 2)x 2-8kmx-4m 2-20=0.
此方程有两个不等实根，于是5-4k 2≠0,且Δ=(-8km)2+4(5-4k 2)(4m 2+20)＞0, 整理得m 2+5-4k 2＞0.
③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标（x 0,y 0）满足x 0=221x x +=2454k km -,y 0=kx 0+m=2455k
m
-. 从而线段MN 的垂直平分线的方程为y-k
k m 1
4552
-
=-???
?
?
?--2454k km x . 此直线与x 轴、y 轴的交点坐标分别为????
??-0,4592k km
,???
?
??-2
459,0k m . 由题设可得212459k km -·2
459k m -=281.整理得m 2
=k k 22)45(-,k ≠0.
将上式代入③式得k
k 2
2)45(-+5-4k 2＞0,整理得(4k 2-5)(4k 2-|k|-5)＞0,k ≠0. 解得0＜|k|＜
25或|k|＞45.所以k 的取值范围是(-∞,- 45)∪(-25,0)∪(0, 2
5
)∪(45,+∞).
①
②
17解 （1）将直线l 的方程y=kx+1代入双曲线C 的方程2x 2-y 2=1后，整理得(k 2-2)x 2+2kx+2=0 ① 依题意，直线与双曲线C 的右支交于不同两点，
故??????
???
??>->-->--=?≠-02
20220)2(8)2(0222222k k k k k k 解得k 的取值范围为-2＜k ＜-2.
(2)设A 、B 两点的坐标分别为(x 1,y 1),(x 2,y 2),
则由①式得???
???
?
-=
?-=
+22222212
21k x x k k x x ②
假设存在实数k ，使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点F （c,0），则由FA ⊥FB 得 （x 1-c ）(x 2-c)+y 1y 2=0.即(x 1-c)(x 2-c)+(kx 1+1)(kx 2+1)=0.整理得： (k 2+1)x 1x 2+(k-c)(x 1+x 2)+c 2+1=0
③
把②式及c=2
6
代入③式化简得5k 2+26k-6=0. 解得k=-566+或k=
5
6
6-?(-2,-2)（舍去）. 可知k=-5
6
6+使得以线段AB 为直径的圆经过双曲线C 的右焦点. 1.B 解析：∵ |PF 1|－|PF 2|＝|PF 2|＝2a ，而双曲线右支上到右焦点距离最近的点为右顶点，∴ 有c －a ≤2a ，∴ 1 2. 5 解析：∵ 双曲线22 219 x y a -=的渐近线方程为3x －y ＝0，∴ a ＝1.又P 是双曲线右支上一点， |PF 2| ＝3，|PF 1|－|PF 2|＝2，∴ |PF 1|＝5. 3.2 解析：设双曲线的左焦点为右顶点为又因为MN 为圆的直径且点A 在圆上，所以F 为圆的圆心，且所以，即由 4. 解：（1）焦点在轴上，设所求双曲线的方程为 ()222 2 10,0x y a b a b -=>>．由题意，得解得 所以双曲线的方程为22 16436 x y -=． （2）方法一：当焦点在轴上时，设所求双曲线的方程为()=2 2 22 10,0.x y a b a b ->>由题意，得解得所以焦点在轴上的双曲线的方程为22 19814 x y -=． 同理可求焦点在轴上的双曲线的方程为22 194 y x -=．方法二：设以32y x =?为渐近线的双曲线的方程为 22 (0).49 x y λλ-=?当λ ＞时，6，解得λ94．此时，所求的双曲线的方程为2219814 x y -=． 当λ ＜时，6，解得λ．此时，所求的双曲线的方程为22 194 y x -=． 5. 解：(1)由16x 2 －9y 2 ＝144得 22 1916 x y -=，∴ a ＝3，b ＝4，c ＝5. 焦点坐标为(－5,0)，(5,0)，c/ae ＝53，渐近线方程为y ＝±4 3x. (2)由题意，得||PF 1|－|PF 2||＝6， cos ∠F 1PF 2＝222 1212 12 2PF PF F F PF PF +- 2 212121212 ()22PF PF PF PF F F PF PF -+-= ＝ 36＋64－100 64 ＝0.∴ ∠F 1PF 2 ＝90°. 6.解：设双曲线方程为22 221x y a b -= (a>0，b>0)，F 1(－c,0)，F 2(c,0)，P(x 0，y 0)． 在△PF 1F 2中，由余弦定理，得|F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|22|PF 1|·|PF 2|·cos π 3 ＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|.即4c 2＝4a 2＋|PF 1|·|PF 2|. 又∵ 12PF F S △＝23，∴ 12|PF 1|·|PF 2|·sin π3＝2 3.∴ |PF 1|·|PF 2|＝8.∴ 4c 2＝4a 2＋8，即b 2＝2.又∵ e ＝c a ＝ 2，∴ a 2＝2 3.∴ 双曲线的方程为2 2 322 x y -＝1. 7. 解：（1）设双曲线的方程为22 221,x y a b -=2 413a =-=， 再由2 2 2 a b c +=得2 1b =，故双曲线的方程为22 13 x y -= . (2 ）将y kx =+2213 x y -= 得22 (13)90k x ---= . 由直线与双曲线交于不同的两点得2222 130,)36(13)36(1)0, k k k ??-≠? ?=+-=->?? 即221, 1, 3k k ? ?≠?? 解得 11,k k k -< ??≠ ≠?? 故k 的取值范围为|11,3k k k ??-<<≠±?????且 三、典型例题选讲 （一）考查双曲线的概念 例1 设P 是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点．若3||1=PF ，则=||2PF （ ） A ．1或5 B ．6 C ．7 D ．9 分析：根据标准方程写出渐近线方程，两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出 2||PF 的值． 解：Θ双曲线19222=-y a x 渐近线方程为y =x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=，||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>Q ，7||2=∴PF . 故选C ． 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法． （二）基本量求解 例2(2009山东理)设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线2 1y x =+只有一个公共点， 则双曲线的离心率为（ ） A ． 4 5 B ．5 C ．25 D ．5 解析：双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线为x a b y =，由方程组21b y x a y x ? =? ??=+?，消去y ，得 210b x x a - +=有唯一解，所以△=2()40b a -=， 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选D ． 归纳小结：本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系，只有一个公共点，则解方程组有唯一解．本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能． 例3（2009全国Ⅰ理）设双曲线22221x y a b -=（a ＞0，b ＞0）的渐近线与抛物线y =x 2 +1相 切，则该双曲线的离心率等于( )A.3 B.2 C.5 D.6 解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为 0'0|2x x y x ==．由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+，联立两式解得:2201,2,1()5b b x e a a =∴ ==+=． 因此选C ． 例4（2009江西）设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个焦点，若12F F ，， (0,2)P b 是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为（ ） A ． 32 B ．2 C ．5 2 D ．3 解析：由3tan 6 2c b π = =2222 344()c b c a ==-，则2c e a ==，故选B ． 归纳小结：注意等边三角形及双曲线的几何特征，从而得出3 tan 6 2c b π = =体现数形结合思想的应用． （三）求曲线的方程 双曲线专题 一、学习目标： 1.理解双曲线的定义； 2.熟悉双曲线的简单几何性质； 3.能根据双曲线的定义和几何性质解决简单实际题目. 二、知识点梳理 定 义 1、到两个定点1F 与2F 的距离之差的绝对值等于定长（小于 2 1F F ）的点的轨迹 2、到定点F 与到定直线l 的距离之比等于常数()1>e e e （＞1）的点的轨迹 标准方程 -2 2a x 22 b y =1()0,0>>b a -22a y 22 b x =1()0,0>>b a 图 形 性质 范围 a x ≥或a x -≤，R y ∈ R x ∈，a y ≥或a y -≤ 对称性 对称轴： 坐标轴 ；对称中心： 原点 渐近线 x a b y ± = x b a y ± = 顶点 坐标 ()0,1a A -，()0,2a A ()b B -,01，()b B ,02 ()a A -,01，()a A ,02()0,1b B -，()0,2b B 焦点 ()0,1c F -，()0,2c F ()c F -,01，()c F ,02 轴 实轴21A A 的长为a 2 虚轴21B B 的长为b 2 离心率 1>= a c e ，其中22b a c += 准线 准线方程是c a x 2 ±= 准线方程是c a y 2 ±= 三、课堂练习 1.椭圆x 24＋y 2a 2＝1与双曲线x 2a －y 2 2＝1有相同的焦点，则a 的值是( ) A.1 2 B ．1或－2 C ．1或1 2 D ．1 2.已知F 是双曲线x 24－y 2 12＝1的左焦点，点A (1,4)，P 是双曲线右支上的动点，则|PF |＋|P A |的最小值为________． 3．已知F 1，F 2分别为双曲线C ：x 2－y 2＝1的左、右焦点，点P 在C 上，∠F 1PF 2＝60°，则|PF 1||PF 2|＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 4.已知双曲线的两个焦点F 1(－10，0)，F 2(10，0)，M 是此双曲线上的一点，且MF 1→·MF 2→＝0，|MF 1→|·|MF 2→|＝2，则该双曲线的方程是( ) A.x 29－y 2 ＝1 B ．x 2－y 29＝1 C.x 23－y 2 7＝1 D.x 27－y 2 3＝1 5.若F 1，F 2是双曲线8x 2－y 2＝8的两焦点，点P 在该双曲线上，且△PF 1F 2是等腰三角形，则△PF 1F 2的周长为________． 6.已知双曲线x 26－y 2 3＝1的焦点为F 1，F 2，点M 在双曲线上，且MF 1⊥x 轴，则F 1到直线F 2M 的距离为( ) A.365 B.566 C.65 D.56 高中数学双曲线经典例题 一、双曲线定义及标准方程 1．已知两圆C1：（x+4）2+y2=2，C2：（x﹣4）2+y2=2，动圆M与两圆C1，C2都相切，则动圆圆心M的轨迹方程是（） A．x=0 B． C．D． 2、求适合下列条件的双曲线的标准方程： （1）焦点在 x轴上，虚轴长为12，离心率为； （2）顶点间的距离为6，渐近线方程为． 3、与双曲线有相同的焦点，且过点的双曲线的标准方程是 4、求焦点在坐标轴上，且经过点A（，﹣2）和B（﹣2，）两点的双曲线的标准方程． 5、已知P是双曲线=1上一点，F1，F2是双曲线的两个焦点，若|PF1|=17，则|PF2|的值为． 二、离心率 1、已知点F1、F2分别是双曲线的两个焦点，P为该双曲线上一点，若△PF1F2为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为． 2、设F1，F2是双曲线C：（a＞0，b＞0）的两个焦点．若在C上存在一点P．使PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为． 3、双曲线的焦距为2c，直线l过点（a，0） 和（0，b），且点（1，0）到直线l的距离与点（﹣1，0）到直线l 的距离之和．则双曲线的离心率e的取值范围是（） A． B．C．D． 3、焦点三角形 1、设P是双曲线x2﹣=1的右支上的动点，F为双曲线的右焦点，已知A（3，1），则|PA|+|PF|的最小值为． 2、．已知F1，F2分别是双曲线3x2﹣5y2=75的左右焦点，P是双曲线上的一点，且∠F1PF2=120°，求△F1PF2的面积． 3、已知双曲线焦点在y轴上，F1，F2为其焦点，焦距为10，焦距是实轴长的2倍．求： （1）双曲线的渐近线方程； （2）若P为双曲线上一点，且满足∠F1PF2=60°，求△PF1F2的面积． 4、直线与双曲线的位置关系 已知过点P（1，1）的直线L与双曲线只有一个公共点，则直线L的斜率k= ＿＿＿＿ 5、综合题型 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例1：已知椭圆的焦点是F 1(0，－1)、F 2(0,1)，P 是椭圆上一点，并且PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的标准方程。 解：由PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝4，得2a ＝4.又c ＝1，所以b 2＝3. 所以椭圆的标准方程是y 24＋x 2 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为F 1(－1,0)，F 2(1,0)，且2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解：由椭圆定义知c ＝1，∴b ＝52 －1＝24.∴椭圆的标准方程为x 225＋y 2 24 ＝1. 二、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为()02， A ，其长轴长是短轴长的2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当()02，A 为长轴端点时，2=a ，1=b ， 椭圆的标准方程为：11 42 2=+y x ； （2）当()02， A 为短轴端点时，2=b ，4=a ， 椭圆的标准方程为： 116 42 2=+y x ； 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 例．求过点(－3,2)且与椭圆x 29＋y 2 4 ＝1有相同焦点的椭圆的标准方程． 解：因为c 2 ＝9－4＝5，所以设所求椭圆的标准方程为x 2a 2＋y 2a 2－5＝1.由点(－3,2)在椭圆上知9 a 2＋ 4a 2 －5 ＝1，所以a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为x 215＋y 2 10 ＝1. 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，M 为AB 中点，OM 的斜率为0.25，椭圆的短轴长为2，求椭圆的方程． 解：由题意，设椭圆方程为12 22=+y a x ， 由?????=+=-+1012 22y a x y x ，得()0212 22=-+x a x a ， ∴222112a a x x x M +=+=，2 11 1a x y M M +=-=， 41 12===a x y k M M OM Θ，∴42=a ， ∴14 22 =+y x 为所求． 五、求椭圆的离心率问题。 例1 一个椭圆的焦点将其准线间的距离三等分，求椭圆的离心率． 解：31222??=c a c Θ ∴223a c =，∴333 1-=e ． 第一部分 双曲线相关知识点讲解 一．双曲线的定义及双曲线的标准方程： 1 双曲线定义：到两个定点F 1与F 2的距离之差的绝对值等于定长（＜|F 1F 2|）的点的轨 迹（21212F F a PF PF <=-（a 为常数））这两个定点叫双曲线的焦点． 要注意两点：（1）距离之差的绝对值.（2）2a ＜|F 1F 2|，这两点与椭圆的定义有本质的不同. 当|MF 1|－|MF 2|=2a 时，曲线仅表示焦点F 2所对应的一支； 当|MF 1|－|MF 2|=－2a 时，曲线仅表示焦点F 1所对应的一支； 当2a =|F 1F 2|时，轨迹是一直线上以F 1、F 2为端点向外的两条射线； 当2a ＞|F 1F 2|时，动点轨迹不存在. 2.双曲线的标准方程：12222=-b y a x 和122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）.这里222a c b -=，其中 |1F 2F |=2c.要注意这里的a 、b 、c 及它们之间的关系与椭圆中的异同. 3.双曲线的标准方程判别方法是：如果2x 项的系数是正数，则焦点在x 轴上；如果2y 项的系数是正数，则焦点在y 轴上.对于双曲线，a 不一定大于b ，因此不能像椭圆那样，通过比较分母的大小来判断焦点在哪一条坐标轴上. 4.求双曲线的标准方程，应注意两个问题：⑴ 正确判断焦点的位置；⑵ 设出标准方程后，运用待定系数法求解. 二．双曲线的外部： (1)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的部2200221x y a b ?->. (2)点00(,)P x y 在双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的外部2200221x y a b ?-<. 三.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1）若双曲线方程为12222=-b y a x ?渐近线方程：22220x y a b -=?x a b y ±=. (2)若渐近线方程为x a b y ±=?0=±b y a x ?双曲线可设为λ=-2222b y a x . (3)若双曲线与12222=-b y a x 有公共渐近线，可设为λ=-22 22b y a x （0>λ，焦点在x 轴上，0<λ， 焦点在y 轴上）. 四．双曲线的简单几何性质 22 a x －22b y =1（a ＞0，b ＞0） ⑴围：|x |≥a ，y ∈R 双曲线经典练习题总结（带答案） 一、选择题 1．以椭圆x 216＋y 2 9＝1的顶点为顶点，离心率为2的双曲线方程为( C ) A ．x 216－y 2 48＝1 B ．y 29－x 2 27 ＝1 C ．x 216－y 248＝1或y 29－x 2 27＝1 D ．以上都不对 [解析] 当顶点为(±4,0)时，a ＝4，c ＝8，b ＝43，双曲线方程为x 216－y 2 48＝1；当顶点为(0， ±3)时，a ＝3，c ＝6，b ＝33，双曲线方程为y 29－x 2 27＝1. 2．双曲线2x 2－y 2＝8的实轴长是( C ) A ．2 B ．22 C ．4 D ．42 [解析] 双曲线 2x 2－y 2＝8 化为标准形式为x 24－y 2 8 ＝1，∴a ＝2，∴实轴长为2a ＝4. 3．(全国Ⅱ文，5)若a >1，则双曲线x 2a 2－y 2 ＝1的离心率的取值范围是( C ) A ．(2，＋∞) B ．(2，2 ) C ．(1，2) D ．(1,2) [解析] 由题意得双曲线的离心率e ＝a 2＋1 a . ∴c 2＝a 2＋1a 2＝1＋1a 2. ∵a >1，∴0<1a 2<1，∴1<1＋1 a 2<2，∴1 《双曲线》典型例题12例 典型例题一 例1 讨论 19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 ∴所求双曲线方程为19 162 2=+-y x 说明：采取以上“巧设”可以避免分两种情况讨论，得“巧求”的目的． （2）∵焦点在x 轴上，6=c ， ∴设所求双曲线方程为：162 2 =-- λ λy x （其中60<<λ） ∵双曲线经过点（－5，2），∴164 25 =-- λ λ ∴5=λ或30=λ（舍去） ∴所求双曲线方程是15 22 =-y x 说明：以上简单易行的方法给我们以明快、简捷的感觉． （3）设所求双曲线方程为： ()16014162 2<<=+--λλλy x ∵双曲线过点() 223， ，∴144 1618=++-λ λ ∴4=λ或14-=λ（舍） ∴所求双曲线方程为18 122 2=- y x 说明：（1）注意到了与双曲线 14 162 2=-y x 有公共焦点的双曲线系方程为14162 2=+--λ λy x 后，便有了以上巧妙的设法． （2）寻找一种简捷的方法，须有牢固的基础和一定的变通能力，这也是在我们教学中应该注重的一个重要方面． 典型例题三 例3 已知双曲线116 92 2=- y x 的右焦点分别为1F 、2F ，点P 在双曲线上的左支上且3221=PF PF ，求21PF F ∠的大小． 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在x 轴上的双曲线的渐近线方程是y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是( A ) 2．中心在原点，焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方 程为（ B ） A ．x 2 ﹣y 2 =1 B ．x 2 ﹣y 2 =2 C ．x 2 ﹣y 2 = D ．x 2﹣y 2 = 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点P （1，1），且其两条渐近线的方程分别为2x+y=0和2x ﹣y=0，则双曲线C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． 4.已知椭圆222a x ＋222b y ＝1（a ＞b ＞0）与双曲线2 2 a x －22 b y ＝1有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） A ．22 B ．21 C ．66 D ．36 5．已知方程﹣ =1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣1，3） B ．（﹣1，） C ．（0，3） D ．（0，） 6．设双曲线 =1（0＜a ＜b ）的半焦距为c ，直线l 过（a ，0）（0，b ）两点，已知原点到直线l 的距 离为，则双曲线的离心率为（ A ） A ．2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线22219y x a -=的两条渐近线与以椭圆22 1259y x + =的左焦点为圆心、半径为165 的圆相切，则双曲线的离心率为（ A ） A ．54 B ．5 3 C ． 43 D ．6 5 8．双曲线虚轴的一个端点为M ，两个焦点为F 1、F 2，∠F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为( B ) 9．已知双曲线 22 1(0,0)x y m n m n -=>>的一个焦点到一条渐近线的距离是2，一个顶点到它的一条渐近线的 圆锥曲线经典例题及总结 1.圆锥曲线的两定义： 第一定义中要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>），焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1（0a b >>）。 方程2 2 Ax By C +=表示椭圆的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B ，C 同号，A ≠B ）。 （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。方程 22Ax By C +=表示双曲线的充要条件是什么？（ABC ≠0，且A ，B 异号）。 （3）抛物线：开口向右时2 2(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时 22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 3.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： （1）椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 （2）双曲线：由x 2,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； （3）抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 提醒：在椭圆中，a 最大，2 2 2 a b c =+，在双曲线中，c 最大，2 2 2 c a b =+。 双 曲 线 是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12 m ，上口半径为13 m ，下口半径为25 m ，高55 m.选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程（精确到1m ）. 解：如图8—17，建立直角坐标系xOy ，使A 圆的直径AA ′在x 轴上，圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC ′、BB ′平行于x 轴，且C C '=13×2 (m)，B B '=25×2 (m).设双曲线的方程 为122 22=-b y a x （a >0,b >0）令点C 的坐标为（13，y ），则点B 的坐标为（25，y －55）.因为点B 、C 在双曲线上，所以,1)55(12252 222=--b y .1121322 22=-b y 解方程组???????=-=--(2) 11213(1) 1)55(12252 2 222 2 22b y b y 由方程（2）得 b y 125= （负值舍去）.代入方程 （1）得,1)55125(12252222 =--b b 化简得 19b 2+275b －18150=0 （3） 解方程（3）得 b ≈25 (m).所以所求双曲线方程为： .1625 1442 2=-y x 例2. ABC ?中，固定底边BC ，让顶点A 移动，已知4=BC ，且A B C sin 2 1sin sin =-，求顶点A 的轨迹方程． 解：取BC 的中点O 为原点，BC 所在直线为x 轴，建立直角坐标系，因为4=BC ，所以B(0,2-)， )0,2(c ．利用正弦定理，从条件得242 1 =?= -b c ，即2=-AC AB ．由双曲线定义知，点A 的轨迹是B 、C 为焦点，焦距为4，实轴长为2，虚轴长为32的双曲线右支，点(1，0)除外，即轨迹方程为13 2 2=- y x (1>x )． 变式训练3：已知双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 的一条渐近线方程为x y 3=，两条准 线的距离为l . （1）求双曲线的方程； （2）直线l 过坐标原点O 且和双曲线交于两点M 、N ，点P 为双曲线上异于M 、N 的一点，且直线PM ，PN 的斜率均存在，求k PM ·k PN 的值. 典型例题 三、典型例题选讲 （一)考查双曲线的概念 例１ 设Ｐ是双曲线192 22=-y a x 上一点，双曲线的一条渐近线方 程为023=-y x ，1F 、2F 分别是双曲线的左、右焦点.若3||1=PF ，则= ||2PF （ ） A.1或5 B.6 Ｃ．7 D.9 分析：根据标准方程写出渐近线方程,两个方程对比求出a 的值，利用双曲线的定义求出2||PF 的值. 解: 双曲线 1922 2=-y a x 渐近线方程为x a 3 ±，由已知渐近线为023=-y x ， 122,||||||4a PF PF ∴=±∴-=,||4||12PF PF +±=∴. 12||3, ||0PF PF =>，7||2=∴PF ． 故选Ｃ. 归纳小结：本题考查双曲线的定义及双曲线的渐近线方程的表示法. （二）基本量求解 例 2(200９山东理)设双曲线122 22=-b y a x 的一条渐近线与抛物线 21y x =+只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ) Ａ．45 B ．5 C.2 5 Ｄ． 5 解析:双曲线 122 22=-b y a x 的一条渐近线为 x a b y = ,由方程组 21b y x a y x ?=?? ?=+? ,消去ｙ，得2 10b x x a -+=有唯一解,所以△=2()40b a -=, 所以2b a =，2221()5c a b b e a a a +===+=，故选Ｄ． 归纳小结:本题考查了双曲线的渐近线的方程和离心率的概念，以及直线与抛物线的位置关系,只有一个公共点，则解方程组有唯一解.本题较好地考查了基本概念、基本方法和基本技能. 例3(２009全国Ⅰ理)设双曲线22 221x y a b -=(ａ＞0,b >0）的渐近线 与抛物线 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( )Ａ3 B ．2 56解析：设切点00(,)P x y ，则切线的斜率为0 '0|2x x y x ==.由题意有 00 2y x x =．又有2001y x =+,联立两式解得：2201,2,1()5b b x e a a =∴==+= 因此选Ｃ. 例４（2009 江西)设1F 和2F 为双曲线22 221x y a b -=(0,0a b >>)的两个 焦点，若12F F ，，(0,2)P b 是正三角形的三个顶点,则双曲线的离心率为 【例1】若椭圆 ()012 2 n m n y m x =+ 与双曲线 2 2 1x y a b - =)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2，P 是两条曲线的一个交点， 则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 2 2 a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= 双曲线的实半轴为 ()122PF PF ∴-=± () ()()2 2 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. 【例2】已知双曲线 127 9 2 2 =- y x 与点M （5，3） ，F 为右焦点，若双曲线上有一点P ，使PM PF 2 1+ 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的 12 是什么？是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为32 l x = ：.作M N l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， 连FP ，则122 P F e P N P N P N P F ==?= .此时 PM 13752 25 P F P M P N M N + =+==- =为最小. 在127 9 2 2 =- y x 中，令3y =，得2 12x x x =?=±∴ 0，取x =所求P 点的坐标为（）. （2）渐近线——双曲线与直线相约天涯 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1± =的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为 ()2 2 14 x y k -= 点（1，3）代入：13594 4 k = -=- .代入（1）： 2 2 2 2 35414 4 35 35 x y x y -=- ? - =即为所求. 【评注】在双曲线 222 2 1x y a b - =中，令 222 2 00x y x y a b a b - =? ± =即为其渐近线.根据这一点，可以简洁地设待求双曲线为 222 2 x y k a b - =，而无须考虑其实、虚轴的位置. X Y O F (6,0)M (5,3)P N P ′ N ′X = 3 2 经典例题精析 类型一：求曲线的标准方程 1. 求中心在原点,一个焦点为且被直线截得的弦AB的中点横 坐标为的椭圆标准方程. 思路点拨：先确定椭圆标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、（定量）. 解析： 方法一：因为有焦点为， 所以设椭圆方程为，, 由，消去得， 所以 解得 故椭圆标准方程为 方法二：设椭圆方程,,, 因为弦AB中点,所以， 由得,（点差法） 所以 又 故椭圆标准方程为. 举一反三： 【变式】已知椭圆在x轴上的一个焦点与短轴两端点连线互相垂直， 且该焦点与长轴上较近的端点的距离为.求该椭圆的标准方程. 【答案】依题意设椭圆标准方程为()， 并有，解之得，, ∴椭圆标准方程为 2．根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线有共同的渐近线，且过点； （2）与双曲线有公共焦点，且过点 解析： （1）解法一：设双曲线的方程为 由题意，得，解得， 所以双曲线的方程为 解法二：设所求双曲线方程为（）， 将点代入得， 所以双曲线方程为即 （2）解法一：设双曲线方程为－=1 由题意易求 又双曲线过点，∴ 又∵，∴， 故所求双曲线的方程为. 解法二：设双曲线方程为， 将点代入得， 所以双曲线方程为. 总结升华：先根据已知条件确定双曲线标准方程的焦点的位置（定位），选择相应的标准方程，再利用待定系数法确定、.在第（1）小题中首先设出共渐近线的双曲线系方程. 然后代点坐标求得方法简便.第（2）小题实轴、虚轴没有唯一给出.故应答两个标准方程. (1)求双曲线的方程，关键是求、，在解题过程中应熟悉各元素（、、、及 准线）之间的 关系，并注意方程思想的应用. (2)若已知双曲线的渐近线方程，可设双曲线方程为 （）. 举一反三： 【变式】求中心在原点，对称轴在坐标轴上且分别满足下列条件的双曲线的标准方程. （1）一渐近线方程为，且双曲线过点. 典型例题一 例1 讨论19252 2=-+-k y k x 表示何种圆锥曲线，它们有何共同特征． 分析：由于9≠k ，25≠k ，则k 的取值范围为9 双曲线 考纲解读 1.根据双曲线的定义和性质求标准方程；2.根据双曲线的标准方程求双曲线的性质：离心率、渐近线等；3.利用双曲线定义及性质解决简单的直线与双曲线的关系问题． [基础梳理] 1．双曲线的定义 (1)平面内与两个定点F1，F2的距离之差的绝对值(|F1F2|＝2c>0)为非零常数2a(2a<2c)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫作双曲线的焦点，两焦点间的距离叫作焦距． (2)集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. ①当2a<|F1F2|时，M点的轨迹是双曲线； ②当2a＝|F1F2|时，M点的轨迹是两条射线； ③当2a>|F1F2|时，M点不存在． 2．双曲线的标准方程与几何性质 x2y2y2x2 [三基自测] 1．双曲线x 23－y 2 2＝1的焦距为( ) A ．32 B.5 C ．2 5 D ．45 答案：C 2．若双曲线E ：x 29－y 2 16＝1的左、右焦点分别为F 1，F 2，点P 在双曲线E 上，且|PF 1| ＝3，则|PF 2|等于( ) A ．11 B ．9 C ．5 D ．3 答案：B 3.x 22＋m －y 2m ＋1 ＝－1表示双曲线，则m 的范围为________． 答案：(－∞，－2)∪(－1，＋∞) 4．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)双曲线x 2－ y 2 3＝1的渐近线方程为________． 答案：y ＝±3x 考点一 双曲线定义及应用|易错突破 [例1] (1)已知两圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2，C 2：(x －4)2＋y 2＝2，动圆M 与两圆C 1，C 2 都相切，则动圆圆心M 的轨迹方程是( ) A ．x ＝0 B.x 22－y 2 14＝1(x ≥2) C.x 22－y 2 14＝1 D.x 22－y 2 14 ＝1或x ＝0 (2)已知双曲线x 2－y 224＝1的两个焦点为F 1，F 2，P 为双曲线右支上一点．若|PF 1|＝43 |PF 2|，求△F 1PF 2的面积． [解析] (1)动圆M 与两圆C 1，C 2都相切，有四种情况：①动圆M 与两圆都外切；②动圆M 与两圆都内切；③动圆M 与圆C 1外切、与圆C 2内切；④动圆M 与圆C 1内切、与圆C 2外切．在①②情况下，显然，动圆圆心M 的轨迹方程为x ＝0；在③的情况下，设动圆M 的半径为r ，则|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r － 2. 故得|MC 1|－|MC 2|＝22； v1.0 可编辑可修改 椭圆典型例题 一、已知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例 1：已知椭圆的焦点是 F 1（0 ，－ 1） 、F 2（0,1） ，P 是椭圆上一点，并且 PF 1＋PF 2＝2F 1F 2，求椭圆的 标准方程。 解： 由 PF 1＋PF 2＝2F 1F 2＝2×2＝ 4，得 2a ＝4. 又 c ＝1，所以 b ＝3. 22 所以椭圆的标准方程是 y 4 ＋x 3＝1. 2．已知椭圆的两个焦点为 F 1（ －1,0） ，F 2（1,0） ，且 2a ＝10，求椭圆的标准方程． 解： 2 x y 由椭圆定义知 c ＝ 1，∴ b＝ 5－1＝ 24. ∴椭圆的标准方程为 25＋24＝1. 、未知椭圆焦点的位置，求椭圆的标准方程。 例：1. 椭圆的一个顶点为 A 2，0 ，其长轴长是短轴长的 2倍，求椭圆的标准方程． 解：（1）当 A 2， 0 为长轴端点时， a 2， b 1， 22 椭圆的标准方程为： x y 1 ； 41 （2）当 A 2，0 为短轴端点时， b 2， a 4， 22 椭圆的标准方程为： x y 1 ； 4 16 三、椭圆的焦点位置由其它方程间接给出，求椭圆的标准方程。 22 xy 例．求过点 （ － 3,2） 且与椭圆 ＋ ＝1 有相同焦点的椭圆的标准方 程． 94 2 y 2 9 2 ＝1.由点 （ － 3,2） 在椭圆上知 2＋ a － 5 a 四、与直线相结合的问题，求椭圆的标准方程。 例： 已知中心在原点，焦点在 x 轴上的椭圆与直线 x y 1 0交于 A 、B 两点， M 为AB 中 解：因为 c 2 ＝9－4＝ 5，所以设所求椭圆的标准方程为 2 x 2＋ a a 2－ 4 5＝1，所以 a 2 ＝15.所以所求椭圆的标准方程为 2 x 15 ＋ 2 y 10 ＝1. 【例1】若椭圆()0122 n m n y m x =+与双曲线22 1x y a b -=)0( b a 有相同的焦点F 1，F 2， P 是两条曲线的一个交点，则|PF 1|·|PF 2|的值是 （ ） A. a m - B. ()a m -2 1 C. 22a m - D. a m - ()121PF PF ∴+= ()122PF PF ∴-=± ()() ()22 12121244PF PF m a PF PF m a -?=-??=-：，故选A. 【评注】严格区分椭圆与双曲线的第一定义，是破解本题的关键. F 为右焦点，若双曲 【例2】已知双曲线127 92 2=-y x 与点M （5，3）， 线上有一点P ，使PM PF 2 1 + 最小，则P 点的坐标为 【分析】待求式中的1 2 是什么是双曲线离心率的 倒数.由此可知，解本题须用双曲线的第二定义. 【解析】双曲线的右焦点F （6，0），离心率2e =， 右准线为3 2 l x =：.作MN l ⊥于N ，交双曲线右支于P ， X Y O F(6,0)M(5,3) P N P ′N ′ X= 3 2 连FP ，则1 22 PF e PN PN PN PF ==?= .此时 PM 13752 2 5 PF PM PN MN +=+==-=为最小. 在127 92 2 =-y x 中，令3y =，得212x x x =?=±∴0，取x =所求P 点的坐标为 （）. （2）渐近线——双曲线与直线 对于二次曲线，渐近线为双曲线所独有. 双曲线的许多特性围绕着渐近线而展开. 双曲线的左、右两支都无限接近其渐近线而又不能与其相交，这一特有的几何性质不仅很好地界定了双曲线的范围.由于处理直线问题比处理曲线问题容易得多，所以这一性质被广泛应用于有关解题之中. 【例3】过点（1，3）且渐近线为x y 2 1 ±=的双曲线方程是 【解析】设所求双曲线为()2 214 x y k -= 点（1，3）代入：135 944 k =-=- .代入（1）： 2222 3541443535 x y x y -=-?-=即为所求. 【评注】在双曲线22221x y a b -=中，令222200x y x y a b a b -=?±=即为其渐近线.根据这一点， 《双曲线》练习题 一、选择题： 1．已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程是 y ＝±4x ，则该双曲线的离心率是 ( A ) 2．中心在原点，焦点在 x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为 （ B ） A ． x 2﹣ y 2=1 B ． x 2﹣y 2=2 C ． x 2﹣ y 2= D ．x 2﹣y 2= 3．在平面直角坐标系中，双曲线C 过点 P （ 1，1），且其两条渐近线的方程分别为 2x+y=0 和 2x ﹣ y=0，则双曲 线 C 的标准方程为（ B ） A ． B ． C ．或 D ． x 2 y 2 x 2 y 2 4. 已知椭圆 2a 2 ＋ 2b 2 ＝ 1（a ＞ b ＞0）与双曲线 a 2 － b 2 ＝ 1 有相同的焦点，则椭圆的离心率为（ A ） 2 1 6 6 A ． 2 B ． 2 C ． 6 D ． 3 5．已知方程﹣ =1 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为 4，则 n 的取值范围是（ A ） A ．（﹣ 1， 3） B ．（﹣ 1，） C ．（ 0， 3） D ．（ 0，） 6．设双曲线 =1（ 0＜ a ＜ b ）的半焦距为 c ，直线 l 过（ a ， 0）（ 0， b ）两点，已知原点到直线 l 的距离为，则双 曲线的离心率为（ A ） A ． 2 B ． C ． D ． 7．已知双曲线 y 2 x 2 1 的两条渐近线与以椭圆 x 2 y 2 1的左焦点为圆心、半径为 16 的圆相切，则双曲 a 2 9 25 9 5 线的离心率为（ A ） A ． 5 B ． 5 C ． 4 D ． 6 4 3 3 5 8．双曲线虚轴的一个端点为 M ，两个焦点为 F 1、 F 2，∠ F 1MF 2＝120°，则双曲线的离心率为 ( B ) 9．已知双曲线 x 2 y 2 1(m 0, n 0) 的一个焦点到一条渐近线的距离是 2，一个顶点到它的一条渐近线的 m n 距离为 6 ，则 m 等于 ( D ) 13 A ． 9 B ． 4 C ． 2 D ．,3 10．已知双曲线的两个焦点为 F 1(－ 10，0)、F 2( 10，0)，M 是此双曲线上的一点，且满足 uuuur uuuur uuuur uuuur MF 1 gMF 2 0,| MF 1 |g| MF 2 | 2, 则该双曲线的方程是 ( A ) 2 2 y 2 y 2 y 2 － y ＝ 1 B ． x － 9＝1 － 7＝1 － 3＝1 2 y 2 3| PF 1| ＝ 4| PF 2| ，则△ PF 1F 2 的面积等于 11．设 F 1，F 2 是双曲线 x － ＝ 1 的两个焦点， P 是双曲线上的一点，且 24 ( C ) A ．4 2 B ． 8 3 C ． 24 D ． 48 12．过双曲线 x 2－y 2＝ 8 的左焦点 F 1 有一条弦 PQ 在左支上，若 | PQ |＝ 7， F 2 是双曲线的右焦点，则△ PF 2Q 的周 高二数学双曲线知识点及经典例题分析 1. 双曲线第一定义： 平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。 2. 双曲线的第二定义： 平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。 3. 双曲线的标准方程： （1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 222 2100-=>>()， （2）焦点在y 轴上的：y a x b a b 222 2100-=>>()， （3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。 注：c 2＝a 2＋b 2 4. 双曲线的几何性质： （）焦点在轴上的双曲线，的几何性质：1100222 2x x a y b a b -=>>() <>≤-≥1范围：，或x a x a <2>对称性：图形关于x 轴、y 轴，原点都对称。 <3>顶点：A 1（-a ，0），A 2（a ，0） 线段A 1A 2叫双曲线的实轴，且|A 1A 2|＝2a ； 线段B 1B 2叫双曲线的虚轴，且|B 1B 2|＝2b 。 e 越大，双曲线的开口就越开阔。<>=>41离心率：e c a e ()<>±5渐近线：y b a x = <>=±62准线方程：x a c 5．若双曲线的渐近线方程为：x a b y ±= 则以这两条直线为公共渐近线的双曲线系方程可以写成： )0(22 22≠=-λλb y a x 【典型例题】 例1. 选择题。 121122 .若方程表示双曲线，则的取值范围是（） x m y m m +-+= A m B m m ..-<<-<->-2121或C m m D m R ..≠-≠-∈21且 2022.ab ax by c <+=时，方程表示双曲线的是（ ） A. 必要但不充分条件 B. 充分但不必要条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 322.sin sin cos 设是第二象限角，方程表示的曲线是（ ）ααααx y -= A. 焦点在x 轴上的椭圆 B. 焦点在y 轴上的椭圆 C. 焦点在y 轴上的双曲线 D. 焦点在x 轴上的双曲线 416913 221212.双曲线上有一点，、是双曲线的焦点，且，x y P F F F PF -=∠=π则△F 1PF 2的面积为（ ） A B C D (9633393) 例2. (已知：双曲线经过两点，，，，求双曲线的标准方程P P 12342945-?? ??? 例3. 已知B （-5，0），C （5，0）是△ABC 的两个顶点，且双曲线题型归纳含(答案)
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