中考数学人教版专题复习：角平分线定理
考点考纲要求分值考向预测
本类问题主要考查填空、选
1.理解并掌握角平线定义、角择题，内容以角平分线定理
角平分3～5
平分线定理及逆定理；为主，难度不大，各省市题
定理分
2.应用定理解决问题。量也不多，但要注意在综合
性问题中应用这一知识点。
考点精讲
1.角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。
2.三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。
【重要提示】
①三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。
1
②三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等(即内心)。
3.角平分线定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。（利用全等三角形进行证明ASA）
4.角平分线定理的逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。
【方法指导】
1.三角形的三条内角平分线交于一点，并且到三条边的距离相等。有时候做三角形面积问题时经常使用。
2.当题目中有角的平分线时，可根据角的平分线性质证明线段或角相等，或利用角的平分线构造全等三角形或等腰三角形来寻找解题思路。
3.有角平分线考虑向角两边作垂线。
4.三角形中有时候从内角平分线作垂线，有时候作外角平分线，注意区分。
【随堂练习】
如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=10，AD△
是ABC的一条角平分线。若CD=3，则△ABD的面积为。
2
答案：解：作DE⊥AB于E。∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DC⊥AC，∴DE=CD=3。∴△ABD的面积为1×3×10=15。故答案是15。
2
思路分析：要求△ABD的面积，现有AB=7可作为三角形的底，只需求出该底上的高即可，需作DE⊥AB于E。根据角平分线的性质求得DE的长，即可求解。
典例精析
例题1如图，AD△是ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△S ABC=7，DE=2，AB=4，则AC长是（）
A.3
B.4
C.6
D.5
思路分析：过点D作DF⊥AC于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得
DE=DF，再根据S
△ABC =S
△ABD△
+S
ACD
列出方程求解即可。
3
×4×2+×AC×2=7，解得AC=3。故选A。
∠
∠
答案：解：如图，过点D作DF⊥AC于F，
∵AD△是ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB，∴DE=DF，
由图可知，△S ABC△=S ABD△+S ACD，∴11
22
技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键。
例题2如图，三角形ABC中，A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E、F，下面四个结论：
①∠AFE=∠AEF；②AD垂直平分EF；③
S
S?BFD=
?CED
BF
CE；④EF一定平行BC。
其中正确的是（）
A.①②③
B.②③④
C.①③④
D.①②③④
思路分析：由三角形ABC中，A的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AC，DF⊥AB，
4
③ ∵ △
S BFD = BF?DF ，S △ CDE = CE ?DE ，DF=DE ，∴ ?BFD = ；故正确；
根据角平分线的性质，可得 DE=DF ，∠ ADE=∠ ADF ，又由角平分线的性质，可得 AF=AE ，
继而证得①∠ AFE=∠ AEF ；又由线段垂直平分线的判定，可得②AD 垂直平分 EF ；然后利
用三角形的面积公式求解即可得③ S
S
?BFD =
?CED
BF
CE 。
答案：解：① ∵ 三角形 ABC 中，∠ A 的平分线交 BC 于点 D ，DE ⊥AC ，DF ⊥AB ，
∴ ∠ ADE=∠ ADF ，DF=DE ，∴ AF=AE ，∴ ∠ AFE=∠ AEF ，故正确；
② ∵ DF=DE ，AF=AE ，
∴ 点 D 在 EF 的垂直平分线上，点 A 在 EF 的垂直平分线上，∴ AD 垂直平分 EF ，故正确；
1 1 S BF
2 2 S CE
?CED
④ ∵ ∠ EFD 不一定等于∠ BDF ，∴ EF 不一定平行 BC 。故错误。
故选 A 。
技巧点拨：此题考查了角平分线的性质、线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质。
此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用。
例题 3 如图，在 Rt △ ABC 中，∠ C=90°，AC= BC=1，AD 平分∠ BAC 交 BC 于点 D ，
DE ⊥AB 于点 E △，则 DBE 的周长为（
）
A. 2
B. 1+ 2
C. 2
D. 无法计算
5
证思路分析：根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用“HL”明
Rt△ACD和Rt△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC=AE，然后求出△DBE的
周长=AB，再利用勾股定理列式求出AB，即可得解。
答案：解：∵AD平分∠BAC，∠C=90°，DE⊥AB，∴CD=DE，
在Rt△ACD和Rt△AED中，AD＝AD，CD＝DE，∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL），∴AC=AE，△DBE的周长=BD+DE+BE=BD+CD+BE=BC+BE=AC+BE=AE+BE=AB，
∵∠C=90°，AC=BC=1，∴AB=1
=2，∴△DBE的周长=2。故选C。
212
技巧点拨：本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定
与性质，勾股定理的应用，熟记性质并求出△DBE的周长=AB是解题的关键。
提分宝典
相似三角形中的角平分线定理[
定理内容：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例。
如：在△ABC中，AM平分∠BAC，则BM：CM=AB：AC。
6
∵=×AB×ME，S△ACM=×AC×MF，
22
：△S
ACM
=（
∴×AB×ME）：（×AC×MF）=AB：AC
=×BM×AD，S
△ACM
=×MC×AD
22
：△S
ACM
=（
∴×BM×AD）：（×MC×AD）=BM：MC，∴BM：MC=AB：AC 定理证明：
（1）面积法证明：过点M作ME⊥AB于点E，MF⊥AC于点F，过点A作AD⊥BC 于D，
∵AM平分∠BAC，ME⊥AB，MF⊥AC，∴ME=MF
11
△S ABM
△S ABM
11
22
∵AD⊥BC，∴S
△ABM
11
△S ABM
11
22
（2）相似法证明：过点C作CN∥AB交AM的延长线于N△
，则ABM∽△NCM，∴AB：NC=BM：CM；
7
又可证明∠CAN=∠ANC，∴AC=CN，∴AB：AC=MB：MC。
同学们掌握这个定理可以快速解决线段比的问题。
角平分线定理练习题
1.已知，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D，若BC=32，且BD：CD=9：7，则D到AB的距离为（）
A.18
B.16
C.14
D.12
2.△在ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，AD平分∠BAC交BC于D，则BD的长
8
为（）
151220
A. B. C. D.
757
21
5
3.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，以A为圆心，任意长为半径画弧分别交AB、
AC于点M和N，再分别以M、N为圆心，大于1MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连
2
接AP并延长交BC于点D，则下列说法中正确的个数有（）
①AD是∠BAC的平分线；②∠ADC=60°；③点D在AB的中垂线上；④S△DAC：△S ABC=1：3。
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
4.如图，AD△是ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE=DG△，ADG△和AED的面积分别为50和39，则△EDF的面积为（）
A.11
B.5.5
C.7
D.3.5
9
5.如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，若
∠BAC=70°，则∠CAE=。.
6.如图，已知正方形ABCD的边长为2，对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAC
交BD于点E，则BE的长为。
7.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，若AC=6，BC=8，CD=3。
（1）求DE的长；
）求ADB的面积。
（2△
10
11
则 △S ABC = ×3h+ 1 5 ，解得 h= 7 ，
△
S ABD = ×3×
2 BD 5
，解得 BD= 7 。 故选 A 。 2 AD ，
试题答案
1. C 解析：∵ BC=32，BD ：DC=9：7∴ CD=14；
∵ ∠ C=90°，AD 平分∠ BAC ，∴ D 到边 AB 的距离 CD=14。故选 C 。
2. A 解析：∵ ∠ BAC=90°，AB=3，AC=4，
∴ BC= AB 2 + AC 2 = 32 + 42 =5，∴ BC 边上的高=3×4÷5= 12 ， 5
∵ AD 平分∠ BAC ，∴ 点 D 到 AB 、AC 上的距离相等，设为 h ，
1 1
2 2 ×4h= 2 ×5×
12
12
1 1
2 1 12 15 2 7 =
3. D 解析：① 根据作图的过程可知，AD 是∠ BAC 的平分线。故①正确；
② 如图，∵ △在 ABC 中，∠ C=90°，∠ B=30°，∴ ∠ CAB=60°。
又 ∵ AD 是 ∠ BAC 的 平分线， ∴ ∠ 1=∠ 2= 1 ∠ CAB=30° ， ∴ ∠ 3=90°-∠ 2=60° ， 即
2
∠ ADC=60°。
故②正确；
③ ∵ ∠ 1=∠ B=30°，∴ AD=BD ，∴ 点 D 在 AB 的中垂线上。故③正确；
④如图，在直角△ ACD 中，∠ 2=30°，∴ CD= 1
12
∴BC=CD+BD=1AD+AD=3AD，△S
DAC
=1
2
AC?CD=AC?AD。
∴
4
AC?AD，
△S ABC=AC?BC=
∴：△S ABC=AC?AD：
4
AC?AD=1：3。故④正确。
4
=S
△ADG
-S
△ADM
=50-39=11，
∵△ADG△和AED的面积分别为50和39，∴
△S DNM△=S EDF=
1
MDG
=1
1
224
1133
22
AC?
2
AD=
13
△S DAC
综上所述，正确的结论是：①②③④，共有4个。故选D。
4.B解析：作DM=DE交AC于M，作DN⊥AC于点N，∵DE=DG，∴DM=DG，
∵AD△是ABC的角平分线，DF⊥AB，∴DF=DN，
在Rt△DEF和Rt△DMN中，DN=DF，D M=DE，∴Rt△DEF≌Rt△DMN（HL），
△S MDG
2△
S
2
×11=5.5。故选B。
5.55°解析：过点E作EF⊥BD于点F，作EG⊥AC于点G，作EH⊥BA于点H，
13
∵△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC平分线BE交于点E，
∴EH=EF，EG=EF，∴EH=EG，∴AE是∠CAH的平分线，
∵∠BAC=70°，∴∠CAH=110°，∴∠CAE=1∠CAH=55°。故答案为55°。
2
6.22-2解析：过点E作EM⊥AB于M，
∵四边形ABCD是正方形，∴AO⊥BD，AO=OB=OC=OD，
则由勾股定理得：2AO2=22，AO=OB=2，
∵EM⊥AB，BO⊥AO，AE平分∠CAB，∴EM=EO，由勾股定理得：AM=AO=2，∵正方形ABCD，∴∠MBE=45°=∠MEB，∴BM=ME=OE，
在Rt△BME中，由勾股定理得：2ME2=BE2，即2（2-2）2=BE2，BE=22-2，
故答案为22-2。
7.解：（1）∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∠C=90°，∴CD=DE，
14
ABDE= ×10×3=15。
∵ CD=3，∴ DE=3；
（2）在 Rt △ ABC 中，由勾股定理得：AB= AC 2 + BC 2 = 62 + 82 =10 ，
∴ △ ADB 的面积为 S △ ADB = 1 1
2 2
15
专题-------圆的切线证明 我们学习了直线和圆的位置关系，就出现了新的一类习题，就是证明一直线是圆的切线.在我们所学的知识范围内，证明圆的切线常用的方法有： 一、若直线l过⊙O上某一点A，证明l是⊙O的切线，只需连OA，证明OA⊥l就行了，简称“连半径，证垂直”，难点在于如何证明两线垂直. 例1 如图，AB=AC，AB是⊙O的直径，⊙O交BC于D，DM⊥AC于M,求证：DM与⊙O相切. 证明一：连结OD. ∵AB=AC， ∴∠B=∠C. ∵OB=OD， ∴∠1=∠B. ∴∠1=∠C. D ∴OD∥AC. ∵DM⊥AC， ∴DM⊥OD. ∴DM与⊙O相切 证明二：连结OD，AD. ∵AB是⊙O的直径， ∴AD⊥BC. 又∵AB=AC,
∴∠1=∠2. ∵DM ⊥AC ， ∴∠2+∠4=900 ∵OA=OD ， ∴∠1=∠3. ∴∠3+∠4=900. 即OD ⊥DM. ∴DM 是⊙O 的切线 例2 如图，已知：AB 是⊙O 的直径，点C 在⊙O 上，且∠CAB=300，BD=OB ，D 在AB 的延长线上. 求证：DC 是⊙O 的切线 证明：连结OC 、BC. ∵OA=OC ， ∴∠A=∠1=∠300. ∴∠BOC=∠A+∠1=600. 又∵OC=OB ， ∴△OBC 是等边三角形. ∴OB=BC. ∵OB=BD ， ∴OB=BC=BD. ∴OC ⊥CD. ∴DC 是⊙O 的切线. 例3 如图，AB 是⊙O 的直径，CD ⊥AB ，且OA 2=OD ·OP . 求证：PC 是⊙O 的切线. C D
证明：连结OC ∵OA 2=OD ·OP ，OA=OC ， ∴OC 2=OD ·OP ， OC OP OD OC . 又∵∠1=∠1， ∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC. ∵CD ⊥AB ， ∴∠OCP=900. ∴PC 是⊙O 的切线. 二、若直线l 与⊙O 没有已知的公共点，又要证明l 是⊙O 的切线，只需作OA ⊥l ，A 为垂足，证明OA 是⊙O 的半径就行了，简称：“作垂直；证半径” 例4 如图，AB=AC ，D 为BC 中点，⊙D 与AB 切于E 点. 求证：AC 与⊙D 相切. 证明一：连结DE ，作DF ⊥AC ，F 是垂足.
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，点P在⊙O的直径AB的延长线上，PC为⊙O的切线，点C为切点，连接AC，过点A作PC的垂线，点D为垂足，AD交⊙O于点E． (1)如图1，求证：∠DAC=∠PAC； (2)如图2，点F（与点C位于直径AB两侧）在⊙O上，BF FA =，连接EF，过点F作AD 的平行线交PC于点G，求证：FG=DE+DG； (3)在(2)的条件下，如图3，若AE=2 3 DG，PO=5，求EF的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=32． 【解析】 【分析】 （1）连接OC，求出OC∥AD，求出OC⊥PC，根据切线的判定推出即可； （2）连接BE交GF于H，连接OH，求出四边形HGDE是矩形，求出DE=HG，FH=EH，即可得出答案； （3）设OC交HE于M，连接OE、OF，求出∠FHO=∠EHO=45°，根据矩形的性质得出 EH∥DG，求出OM=1 2 AE，设OM=a，则HM=a，AE=2a，AE= 2 3 DG，DG=3a， 求出ME=CD=2a，BM=2a，解直角三角形得出tan∠MBO＝ 1 2 MO BM =，tanP= 1 2 CO PO =,设 OC=k，则PC=2k，根据OP=5k=5求出k=5，根据勾股定理求出a，即可求出答案．【详解】 （1）证明：连接OC， ∵PC为⊙O的切线， ∴OC⊥PC， ∵AD⊥PC， ∴OC∥AD， ∴∠OCA=∠DAC， ∵OC=OA， ∴∠PAC=∠OCA， ∴∠DAC=∠PAC； （2）证明：连接BE交GF于H，连接OH， ∵FG∥AD， ∴∠FGD+∠D=180°， ∵∠D=90°， ∴∠FGD=90°， ∵AB为⊙O的直径， ∴∠BEA=90°， ∴∠BED=90°， ∴∠D=∠HGD=∠BED=90°， ∴四边形HGDE是矩形， ∴DE=GH，DG=HE，∠GHE=90°， ∵BF AF =， ∴∠HEF=∠FEA=1 2 ∠BEA=190 2 o ?=45°， ∴∠HFE=90°﹣∠HEF=45°， ∴∠HEF=∠HFE， ∴FH=EH， ∴FG=FH+GH=DE+DG； （3）解：设OC交HE于M，连接OE、OF， ∵EH=HF，OE=OF，HO=HO， ∴△FHO≌△EHO， ∴∠FHO=∠EHO=45°， 专题六圆的有关证明与计算 圆的切线的判定与性质 【例1】(2016·临夏州)如图,在△ABC中，AB=ＡＣ，点D在BＣ上，ＢD=DC，过点Ｄ作DE⊥AC，垂足为Ｅ,⊙O经过A,B,D三点． （1)求证:AB是⊙O的直径; (２）判断DE与⊙O的位置关系,并加以证明； （３）若⊙O的半径为3,∠ＢAC＝６0°，求DE的长. 分析:(1）连接AＤ,证AD⊥BC可得;(２）连接OD，利用中位线定理得到ＯD与AC平行，可证∠ODE为直角，由OD为半径，可证DE与圆O相切；(3)连接BF，先证三角形ABC为等边三角形，再求出ＢＦ的长,由DE为三角形CＢF中位线，即可求出DE的长. 解:（1)连接ＡD,∵AB＝AC,BD＝DC，∴AD⊥BC,∴∠ＡDB=９0°,∴AB为圆O的直径 (2)DE与圆O相切，证明:连接OD,∵O,D分别为ＡＢ,BＣ的中点，∴OD为△ABC的中位线，∴ＯD∥AC，∵DE⊥ＡC,∴DＥ⊥OＤ,∵ＯD为圆的半径,∴DＥ与圆O相切 (3)∵ＡB＝AC，∠BＡＣ＝60°,∴△ABC为等边三角形，∴AB=ＡC＝BＣ＝６，连接BF，∵AB为圆O的直径,∴∠ＡFB=∠DEＣ＝9０°,∴AF=CF=3，ＤE∥BＦ，∵Ｄ为BＣ的中点，∴E为CＦ的中点,即DE为△BCF中位线，在Rt△ABＦ中，AB=6,ＡF＝3，根据勾股定理得BF=错误!＝3错误!,则ＤE=错误!BF＝错误! 圆与相似 【例2】（201６·泸州)如图，△ABC内接于⊙O，BD为⊙O的直径,ＢD与AC相交于点H,ＡC的延长线与过点B的直线相交于点Ｅ,且∠Ａ=∠EBC. (1）求证:BＥ是⊙O的切线; (2)已知ＣG∥EB,且CG与BD，BA分别相交于点F，G,若ＢG·ＢA＝48,FG=２，DＦ＝2BF,求AＨ的值. 分析:(1）证∠ＥBD=9０°即可;(2)由△ＡBＣ∽△CＢG得错误!＝错误!，可求出BC,再由△BFＣ∽△ＢＣD得BC2=BF·BD,可求出ＢＦ，再求出CF,CG，ＧB,通过计算发现ＣG＝AG,可证CH=CB，即可求出AC. 解:(1)连接ＣD,∵ＢＤ是直径，∴∠BCＤ＝９0°，即∠D＋∠CBD=９０°,∵∠A＝∠D,∠A=∠ＥBC,∴∠CＢD+∠EＢC＝９０°，∴BＥ⊥ＢD，∴ＢE是⊙Ｏ切线 (2)∵CG∥EＢ，∴∠BCG=∠EBC，∴∠A=∠ＢＣＧ，又∵∠ＣＢG＝∠ABC,∴△AＢC∽△ CBG，∴BC BＧ =＼ｆ(ＡＢ,BC），即BＣ２=BＧ·BA=４8,∴ＢC＝4错误!,∵ＣG∥EB,∴CF⊥ＢD，∴△BFC∽△ＢＣＤ,∴ＢC2＝BF·BD,∵DF＝2ＢF,∴ＢF＝4，在Ｒt△BCF中，ＣF＝ ＼ｒ（BＣ2-FB2）＝42,∴CG＝CF+FG＝5错误!,在Rt△BFG中，ＢＧ=错误!＝3错误!，∵ 《答谢中书书》教学设计 三、教学目标 1、能够有节奏、有感情的朗读课文，培养学生诵读能力。 2、掌握常用文言词语，理解文意。 3、引导学生品味文章画面的精美，语言的精练，优美的意境， 4、引导学生体会文中蕴含热爱自然的思想感情。 教学重点：品味、积累写景的优美语言。 教学难点：理解亲近自然归隐山林的志趣，体会文中蕴含的热爱自然思想感情。 四、课时安排：一课时 教学过程： 一、导入新课 大自然是崇高的、卓越而美丽的。古人说：仁者乐山，智者乐水。莽莽神州，高山大岳，千流百川，那神奇如画的风光无不让人心动神摇，今天我们来学习陶弘景的《答谢中书书》，共同欣赏一幅清丽的山水画，品味一首流动的山水诗。（板书课题作者） 二、（首先看文章的题目和背景） 1题解：书即书信，古人的书信是一种应用性文体，多记事陈情。 2作品背景： 南北朝时，因政局动荡，矛盾尖锐，不少文人往往遁迹山林，从自然美中寻求精神上的解脱。因而他们在书信中常常描山绘水。表明自己所好，并作为对友人的安慰。本文是作者陶弘景写给谢中书（谢征）的一封书信，写的是江南山水之美。古代文人们他们在书信中常常描山绘水，表明自己所好，并作为对友人的安慰。这篇是六朝山水小品名作。 三、齐读学习——指导学生朗读课文，整体感知文意 （一）朗读： 1.教师范读课文。 读毕，教师提示朗读节奏： 山川/之美，古来/共谈，高峰/入云，清流/见底。两岸/石壁，五色/交辉。青林/翠竹，四时/俱备。晓雾/将歇，猿鸟/乱鸣；夕日/欲颓，沉鳞/竞跃。实是/欲界之仙都。自/康乐//以来，未复有/能与（yù）其奇者。 2、学生大声朗读课文，品味四字句的节奏。要求读准字音，读通文句，读出节奏、韵律、 （二）学生自由读课文。对照注释，借助工具书，理解文句，整体感知文意。 1.学生读课文，口头翻译课文，画出疑难句。 2.同桌之间讨论交流，解决疑难问题。教师巡视酌情指导。 2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 《答谢中书书》教案设计 1、文章字词的梳理。 2、了解《答谢中书书》中的优美意境、缜密的结构、凝练的语言。 3、体会《记承天寺夜游》中的思想感情。 4、朗读训练。 教学难点： 1、了解《答谢中书书》中的优美意境、缜密的结构、凝练的语言。 2、体会《记承天寺夜游》中的思想感情。 教学设想： 这两篇文章极其短小精悍，而所蕴涵思想深度却比较深刻。要让学生真正意义上从作者个人当时所处的时代背景等来领悟文章对中学生来说显得过于苛刻，所以教学上准备以读为方法，以品为重点，以练习为手段。 教学课时：1~2课时 《答谢中书书》 山川之美，古来共谈。高峰入云，清流见底。两岸石壁，五色交辉。青林翠竹，四时俱备。晓雾将歇，猿鸟乱鸣；夕日欲颓，沉鳞竞跃。实是欲界之仙都。自康乐以来，未复有能与其奇者。 分析：文章第一句起了引言的作用，看似平常，却给人一种启示：被世人誉为“山中宰相”的作者，对山川之美定有一番独到的见解。作者所写的是其隐居地——句曲山。能够想见，这里的山水，作者早已熟谙心中，而凝聚于笔端的定是反复观赏、饱览胜景后的精辟之见。 分析：这三句是写静景，写得形色俱备，精彩纷呈。作者先以“入云”表示山之高峻与雄伟，以“见底”表示水之清澈与透明，一仰一俯，视野开阔，山水尽收眼底。接着移步换景，由清流而写两边的景物。可写之景物必定多不胜数，但作者抓住其色彩给人以具体的视感：五彩缤纷的石壁，郁郁葱葱的树林，碧绿青翠的竹园。一年四季，景物之茂盛，色彩之斑斓，足以让人大饱眼福。以此突出江南景物特点。 分析：这个句是动态描写。所写之动态，时有朝暮之分，地有山林水泉之别，可谓多姿多彩，丰富无比。这里有晨雾将散时的山猿啼叫，林鸟相鸣；有夕阳斜照下清流中的游鱼出没，竞相跳跃。表现了万物一派生机勃勃的景象，衬托这里大自然的无限美好。 分析：最后，作者以感慨收束，自己置身于此景——高峰、清流、石壁、翠竹、晓雾、夕阳、猿鸟、沉鳞等景物之中，能不发出由衷的赞叹吗?难怪作者以“人间仙境”誉之。作者似乎还意犹未尽，于是又举出诗人谢灵运。表示自从谢灵运以来，没有人能够欣赏它的美妙，而作者却能够从中发现无尽的乐趣，带有自豪之感，期与谢公比肩之意溢于言表。 五、文章主旨和结构 这是作者写给梁中书鸿胪谢征的一封信。信中以清丽的文辞，极力称道江南山水之美，并抒发了对这些秀丽景色的酷爱之情，为六朝山水小品名篇。 全文能够分为四层。 第一层(第一句)，总起句，以感慨发端。 第二层(从“高峰人云”到“四时俱备”)，描写山川中静景之美。 第三层(从“晓雾将歇”到“沉鳞竞跃”)，描写大自然中的早晚景象。 第四层(最后两句话)，感慨自然之美景。 （二）完成班本教材相关练习： 略 板书设计： 第1句：总起全文：“共谈”概说人人皆爱 “美”点明文章中心。 第2~5句：具体叙述山川之美。 仰视：高峰入云；俯视：清澈见底 平看：两岸石壁；青林翠竹。 晓：雾将歇，猿鸟乱鸣； 夕：日欲颓，沉鳞竞跃。 第6~7句：先以概括总结全文，复以名人证实此说 《记承天寺夜游》 元丰六年十月十二日夜，解衣欲睡，月色入户，欣然起行。念无与为乐者，遂至承天寺寻张怀民。怀民亦未寝，相与步于中庭。庭下如积水空明，水中藻、荇交横，盖竹柏影也。何夜无月?何处无竹柏?但少闲人如吾两人者耳。一、作者简介 苏轼(1037～1101)，字子瞻，号东坡居士，四川眉山人，北宋时期著名文学家、书画家。父亲苏洵和弟弟苏辙都是著名的政论家，他们父子三人合称为“三苏”，都被列入“唐宋古文八大家”之中。他二十二岁中进士，以文章知名。他的政治思想比较保守。宋神宗时，王安石当政推行新法，他极力反对，由京官调任杭州通判，历密州、徐州、湖州知州。又因作诗讽刺新法，得罪朝廷，被捕入狱(即所谓“乌台诗案”)，后贬为黄州(今湖北黄冈县)团练副使。宋哲宗朝，旧党当权，他被召还为翰林学士。新党再度执政后，又被贬到惠州(今广东惠阳县)，并以六十三岁的高龄远徙琼州(今海南岛)。赦还的第二年，死于常州。 他是一个全能的作家，诗词、文章的造诣都很高。他的散文平易自然，流畅宛转，同韩愈、柳宗元、欧阳修三家并称。诗的风格，雄浑自如；词的创作，题材广泛，境界阔大，一扫唐末五代以来词的绮艳柔靡风尚，成为豪放派的先驱。另外，他还工书善画，在书法上与蔡襄、黄庭坚、米芾并称“宋四家”。又善绘画，喜画竹和枯木怪石‘著作汇为《东坡七集》《东坡乐府》等。现存诗二千七百多首，词三百多首，还有很多优美的散文。 二、写作背景 元丰二年(1079年)，苏轼因对新法持有不同意见，被网罗罪名，投入监狱。四个多月后，贬为黄州团练副使(地方军事助理官)。官衔上还加了“本州安置”字样，不得签署公事，不得擅离安置所，实际上跟流放差不多。此时使苏轼深感无用武之地，所以这个时期的作品，如《赤壁赋》《后赤壁赋》等，大多表现了旷达而又失意的矛盾心情。本篇也不例外。 本文是苏轼在被贬黄州的困苦境遇中写的。元丰六年(1083年)，是作者被贬谪到黄州的第四年。 分析：这是第一层，叙写中庭步月。 首先交代了步月的时间和原因。“解衣欲睡”是说寒夜寂寥，百无聊赖，或许在睡梦中能够忘却人世的一切忧愁和烦恼；“月色人户”一句，作者把月光拟人化，写得自然生动。月光似乎懂得这位迁客的寂寞无聊，主动来与他做伴；而诗人也是如见久违的朋友，欣然相迎。这里我们能够想见作者交游断绝、门庭冷落的境况。但“欣然起行”四字已见诗人的兴奋和喜悦，与“解衣欲睡”相对照，显得一伏一起，一沉闷一活跃，完全是两种心情，两种节奏。 但一人独步，未免寂寞，应该有人共同赏月，才不致辜负如此良夜。“念无与为乐者”的“念”字写出了作者的心理活动，作者的心情由欣喜而转入沉思，发出了低沉的喟叹，文章也所以显得跌宕多姿。这句话也能够分两层意思来理解：一是写出作者在贬居时的抑郁寡欢，即使是多年来的老友，也不敢与他来往，暗写出内心的悲凉，这悲凉之情是笼罩着贬谪生活的浓重阴影。二是作者在寂寞中寻求伴侣，见明月而思同心，也所以自然过渡到下句：“遂至承天寺寻张怀民。”这个句好像不假思索，可见张怀民在作者心目中的位置。“怀民亦未寝”的“亦”字写出这个对朋友情怀相似，对方“未寝”正是作者意料中的事。只这个句，就足以表达出两人的同心之情了。“相与步于中庭”与“无与为乐者”对照起来读，前后显得有照应，有变化，文情的跌宕表现了作者心情的舒展，宛如在清冷的琴弦上拨出了几个欢快的音符。“步于中庭”即漫步在庭院中；这种月光下的漫步，是多么富于诗意!它不同于宁静的凭栏眺月，也不同于狂放的饮酒赏月；而是静中有动，把恬静的心境和诗意的感受化为从容的步履。他们尽能够不发一言，但那和谐的步月节奏，已足以表达出相互默契的心声了。 分析：这是第二层，写月下庭中景物。 这是写月光的高度传神之笔。短短三句话，没有写一个月字，却无处不是皎洁的月光。作者用“积水空明”四字来比喻庭院中月光的清澈透明，用“藻、荇交横”四字来比喻月下美丽的竹柏倒影。以水喻月，本来并不显得新颖，新奇的是作者不用普通的明喻，而以隐喻先声夺人，造成一种庭院积水的错觉。进而写清澄的水中交错着藻荇的清影，触类生发，把隐喻又推动一层，使人感到扑朔迷离，水月莫辨。正当读者恍惚迷惘之时，作者却轻轻地点出：“盖竹柏影也。”读者这才恍然大悟。一个“影”字不明写月光，而月光的美好意境已宛然具现。而整个意境中有动有静：“积水空明”给人以一池春水的静谧之感；“藻、荇交横”则具有水草摇曳的动态之美。两句之间，又有正面与侧面描写之分，为读者描绘出一个冰清玉洁的透明境界。这个透明的境界，映照出作者光明磊落、胸无尘俗的襟怀。 这几句写月光，也是写作者的心境。它是一首美妙的月光曲，也是一个透明的梦。 分析：这是第三层，抒发作者面对月光如水、竹柏疏影的感触。 作者连发两问，却无需回答。月色常有，竹柏亦常有，但像我们这样赏月的“闲人”却不可多得啊!寥寥数语，感慨深长。它包含着作者宦海浮沉的悲凉之感和由此领悟到的人生哲理，以及在痛苦中又得到某种慰藉的余甘。看来作者是以“闲人”自居，也以“闲人”自傲。当时他虽有微官在身，却有名无实，“闲人”二字也是自宽自慰。从官场上的失意者变为大自然的欣赏者，他能从大自然的神奇秀美中获得精神的复苏和心境的安宁，说明他能够发现自然美，吟咏自然美，同时也是在发现自己，吟咏自己。 “但少闲人如吾两人者耳”，最后这个句慨叹，诚然有自豪和自慰的意味，但较多的还是惆怅和悲凉。世间如此孤寂者又有几人呢?谪居的境遇，无时无刻不缠绕着他。虽然作者情怀豁达，尽力在排遣内心的苦闷，但消极的情绪还是无可奈何地流露出来了。 三、内容简析 中考复习——圆的综合证明题 1．如图，在Rt△ABC中， ACB=90°，AO是△ABC的角平分线，以O为圆心，OC为半径作⊙O （1）求证：AB是⊙O的切线． （2）已知AO交⊙O于点E，延长AO交⊙O于点D，tanD=1 2 ，求 AE AC 的值． （3）在（2）的条件下，设⊙O的半径为3，求AB的长． 4．如图①，半圆O的直径AB=6，AM和BN是它的两条切线，CP与半圆O相切于点P，并于AM，BN分别相交于C，D两点． （1）请直接写出∠COD的度数； （2）求AC?BD的值； 5．如图1，AB为半圆O的直径，D为BA的延长线上一点，DC为半圆O的切线，切点为C．（1）求证：∠ACD=∠B； （2）如图2，∠BDC的平分线分别交AC，BC于点E，F，求tan∠CFE的值； 6．如图，AB是⊙O的弦，点C为半径OA的中点，过点C作CD⊥OA交弦AB于点E，连接BD，且DE=DB． （1）判断BD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若CD =15，BE =10，tanA=512 ，求⊙O 的直径． 7．如图，直线AB 经过⊙O 上的点C ，直线AO 与⊙O 交于点E 和点D ，OB 与OD 交于点F ，连接DF ， DC ．已知OA =OB ，CA =CB ，DE =10，DF =6． （1）求证：①直线AB 是⊙O 的切线；②∠FDC =∠EDC ； （2）求CD 的长． 8．如图，在Rt ABC 中，∠C =90°，点O 在AB 上，经过点A 的⊙O 与BC 相切于点D ，与AC ，AB 分别相 交于点E ，F ，连接AD 与EF 相交于点G ． （1）求证：AD 平分∠CAB （2）若OH ⊥AD 于点H ，FH 平分∠AFE ，DG =1． ①试判断DF 与DH 的数量关系，并说明理由； ②求⊙O 的半径． 10．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB 是⊙O 的直径， OD ⊥AB 于点O ，分别交AC 、CF 于点E 、 D ，且D E =DC ． A B C D E F G H O 25题汇编 1. 如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的切线，切点为B ，AD 为弦，OC ∥AD 。 （1）求证：DC 是⊙O 的切线； （2）若OA=2，求OC AD 的值。 2. 如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，∠B=60°，CD 是⊙O 的直径，P 是CD 延长线上的一点，且AP=AC （1）求证：直线AP 是⊙O 的切线； （2）若AC=3，求PD 的长。 D C B A O C B 3. 如图，已知AB 是⊙O 的直径，AM 和BN 是⊙O 的两条切线，点E 是⊙O 上一点，点D 是AM 上一点，连接DE 并延长交BN 于点C ，连接OD 、BE ，且OD ∥BE 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AD=1，BC=4，求直径AB 的长。 4. 如图，△ABC 内接于⊙O ，弦AD ⊥AB 交BC 于点E ，过点B 作⊙O 的切线交DA 的延长线于点F ，且∠ABF=∠ABC 。 （1）求证：AB=AC ； （2）若EF=4，2 3 tan F ，求DE 的长。 M N E D C B A O 5. 在△ABC 中，AB=AC ，以AB 为直径作⊙O ，交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AC ，垂足为E 。 （1）求证：DE 是⊙O 的切线； （2）若AE=1，52=BD ，求AB 的长。 6. 如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，AD 垂直于过点C 的直线，垂足为D ，且AC 平分 ∠BAD 。 （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若62=AC ，AD=4，求AB 的长。 A 答谢中书书的名师教案 导读：《答谢中书书》以清俊的笔触具体描绘了秀美的山川景色，传达自己与自然相融合的生命愉悦，体现了作者酷爱自然、乐在林泉的情趣。 一、【教学目标】 知识与能力目标： 1．积累重要文言实词、虚词。 2．知人论世，了解两篇短文的作者及写作背景。 过程与方法目标： 1．诵读，在读的过程中把握文意，体悟陶弘景的思想感情。 2．了解文章的意境，培养感知写景类文章中作者思想感情的能力。 情感态度与价值观目标：感受作品中大自然的纯净美好，培养学生热爱祖国河山的感情。 二、【教学重难点】 重点：了解文章的意境，培养感知写景类文章中作者思想感情的能力。 难点：诵读，在读的过程中把握文意，体悟陶弘景的思想感情。 三、【教学策略与方法】：多媒体课件 四、【教学过程】 （一）、主题引入 “一切景语皆情语”，自然界景象万千，但欣赏者境界、生活阅 历、具体的心境的不同，都会触发不同的感受，流露于文字，形成一篇篇脍炙人口名篇，今天我们走进《答谢中书书》，让我们去领略作者所描绘之美景，去品味游者的心境。 （二）、作者简介朗读课文 1．走近作者 陶弘景（456—536年），字通明，号华阳居士，南朝齐、梁时期的道教思想家和医药家。仕齐时，拜为宣都王侍读，左卫殿中将军。入梁，隐居茅山华阳洞。梁武帝礼聘不出，但常以朝廷大事与他商讨。时人称他为“山中宰相”。有《陶隐居集》。 2．朗读指导 教师指导学生朗读课文，要求读准字音，读通文句，读出节奏、韵律、情调。 （1）教师配乐朗诵，学生听读，掌握字音、节奏。 （2）学生大声朗读，品味四字句的节奏。 （3）选一学生读课文，其余同学点评。 （4）学生齐读课文。 （三）、自主学习理清文路 学生自由读课文，对照注释，借助工具书，理解文句，整体感知文 1．学生读课文，口头翻译课文，画出疑难句。 2．桌之间讨论交流，解决疑难问题。教师巡视酌情指导。 3．指导学生积累词语，理解文句。 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 中考数学圆的综合综合经典题及详细答案 一、圆的综合 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S△CDO=1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC的面积S=2S△CDO=24． 2．如图，⊙M交x轴于B、C两点，交y轴于A，点M的纵坐标为2．B（﹣33，O），C（3，O）． （1）求⊙M的半径； （2）若CE⊥AB于H，交y轴于F，求证：EH=FH． （3）在（2）的条件下求AF的长． 【答案】（1）4；（2）见解析;（3）4． 【解析】 【分析】 （1）过M作MT⊥BC于T连BM，由垂径定理可求出BT的长，再由勾股定理即可求出BM的长； （2）连接AE，由圆周角定理可得出∠AEC=∠ABC，再由AAS定理得出△AEH≌△AFH，进而可得出结论； （3）先由（1）中△BMT的边长确定出∠BMT的度数，再由直角三角形的性质可求出CG 的长，由平行四边形的判定定理判断出四边形AFCG为平行四边形，进而可求出答案．【详解】 （1）如图（一），过M作MT⊥BC于T连BM， ∵BC是⊙O的一条弦，MT是垂直于BC的直径， ∴BT=TC=1 2 3 ∴124 ； （2）如图（二），连接AE，则∠AEC=∠ABC，∵CE⊥AB， ∴∠HBC+∠BCH=90° 最新整理答谢中书书获奖教案 教学背景： 八年级学生经过初一一年的文言文学习，已初步掌握了一定的学习方法，对于文言文的阅读和学习掌握了一定的步骤，而且经过以往的朗读训练，他们很容易感受到文言文的独特之处，容易从朗读中获得学习文言文的喜悦感和成就感，进而主动加入到背诵、解说、讨论、创作等学习活动中来。但由于本单元文言文采用的是集中编排的方式，且多数课文有背诵要求，学生学习时可能产生疲倦感，因此不断激发学生的学习兴趣成为必要，让学生成为课堂的主人，让学生轻松愉快地收获知识和学习方法，提高学习能力，培养美好情操是必然。 教学内容： 人教版初中语文八年级上第六单元《答谢中书书》 教材分析： 《答谢中书书》是一篇短小精悍的文言散文，它“犹如一幅清丽的山水画，又像一首流动的山水诗”，全文共68个字，但在这短短的68个字中蕴涵着清远的意境，突现了山川景物的灵魂，即自然万物的勃勃生机，表达了自己与自然相融合的生命愉悦，体现了作者酷爱自然、归隐林泉的志趣。因此在教学中应让学生在反复诵读中，尽情欣赏这种美，并发挥自己的想象，进入情景交融的境界，深入体会作者的感情。学好本课，对学习本单元的文言文及古诗文能起到承前启后的作用。 教学目标： 知识与能力： 1、了解作者及写作背景，培养学生查找、搜集，整理资料的能力。 2、有感情地朗读并背诵课文，理解课文大意，逐步提高学生的自学能力。 3、赏析景物描写，并能通过想象用自己的语言创造性地再现课文景象。 4、领会作者思想感情，提高学生感悟文章意境的能力。 过程与方法： 1、品味文章语言的精练及布局的匠心所在，提高学生初步鉴赏文学作品的 能力。 2、布置预习，让学生解决生字，记下文中难点，然后进行讲解。 3、自主学习、合作探究、点拔法、诵读法。 4、情感、态度与价值观：感受大自然的纯净美好，培养学生热爱祖国河山的感情。 教学重点： 1、反复诵读短文，体会文章意境及作者情感； 2、学习文中写景状物的方法。 教学难点： 赏析景物描写方法，品味优美语言，体验归隐情趣。 教学方法： 诵读法、自主学习法、合作探究法、品析法、讨论与点拔相结合法。 教学准备： 电脑课件 教学过程： 一、情境创设，激情导入 请同学们欣赏美丽的风景。（多媒体出示风景图），然后请描述看到了什么？联想到了哪些诗句？今天我们再来学习陶弘景的《答谢中书书》，共同去欣赏一幅怡神悦性的山水画，品味一首流动的山水诗。 二、明确目标，有的放失（多媒体显示学习目标，学生齐读） 三、介绍课题、作家作品 关于本课的作家作品，大家一定搜集了不少资料吧，现在请同学们相互交流课前搜集的有关资料。（教师适当补充）。（多媒体显示） 1、解题：答/谢中书/书 ①答：回复。②谢中书：见课文注解①。 ③书：即书信，古人的书信又叫“尺牍”或曰“信札”，是一种应用性文体，我国应用性文体从来不排斥审美的文学属性，尤其是书信一体，多记事陈情。（陈：述说） 2、作家和作品介绍： 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 答谢中书书的板书设计 陶先生笔笼山川,纸纳四时,把那一处江南的山水之美呈现于纸端.那是一幅 用方块字镶贴出来的山水画呵!陶先生称为“欲界仙都”,然后便有 名作《答谢中书书 》，以下是小编整理的《答谢中书书》的教学设计及板书供大家学习。 《答谢中书书》 教学设计 教材分析 《答谢中书书》 是陶弘景给谢徽的一封回信,此封书信被称道江南山水之美, 仅用了六十八个字，就概括了古今，包罗了四时。抒情议论，各类皆备。可谓尺 幅能容千里。集万物之美、意境之美、情感之美、结构之美、文字之美于一身， 从多角度把这“美”的立体感跃于纸上。 《答谢中书书》反映了作者 娱情山水的思想。虽然没有积极进步的政治观点，但却以其高超的艺术，创作了 具有相当美学价值的精品。 学情分析 学生虽然已经到了八年级， 但文言文基础较薄弱， 阅读能力偏低， 思维能力、 审美能力不高， 因此在教学时， 必须指导学生在反复诵读的基础上疏通文意并积 累重点词语 ，在理解感知的基础上悬着恰当的角度对诗歌 进行赏析，培养学生的欣赏能力和审美情操。 教学目标 1、学生能正确流利、有节奏、有感情的朗读并背诵课文 ，培养学生诵读能力。 2、掌握常用文言词语，理解文意。 3、通过自主、合作探讨等方式引导学生品味文章画面的精美，写作方法的 独特，语言的精练及优美的意境， 4、发挥学生的语言创造力，表达心中之美。 5、培养学生热爱大自然、热爱生活的美好感情。 教学重点：品味、积累写景的优美语言以及写作的特点;背诵全文。 教学难 点：理解亲近自然归隐山林的志趣，体会文中蕴含的热爱自然 教法：诵读法、 自主合作探究法、多媒体辅助教学。 思想感情。 课时安排：一课时 教学过程： 一、导入新课 1、 第一板块：赏美 大自然是崇高、卓越而美丽的。古人说：仁者乐山， 智者乐水。莽莽神州，高山大岳，千流百川，那神奇如画的风光无不让人心动神 摇。现在，我们去感受大自然的魅力，感受大自然的震撼。(演示) 看：1、大自然的神秘 2、大自然的宁静 听：3、鸟叫的声音 4、瀑布声 欣赏了自然美景，你的感受是什么?请大声说出来。 是的，大自然如此之美，古人不仅陶醉其中，还描山绘水，表明所好。今天 我们来学习陶弘景的《答谢中书书》，再一次共同欣赏一幅清丽的山水画，品味 一首流动的山水诗。 (板书课题 作者) 2、题解：书即书信，古人的书信是一种应用性文体，多记事陈情。 3、作者简介：陶弘景――南北朝时期的思想家、医学家和文 字家。又被称 为“山中宰相”。他的《答谢中书 书》，描绘山川秀美，清新简淡， 为历代写景名作。 4、 作品背景： 南北朝时， 因政局动荡， 矛盾尖锐， 不少文人往往遁迹山林， 从自然美中寻求精神上的解脱。 因而他们在书信中常常描山绘水。 表明自己所好， 并作为对友人的安慰。 5、文体常识：山水小品文是散文 品种之一。 短小灵活、 简练隽永， 具有叙事、 描写、 议论、 抒情的多重功能， 偏重于即兴书写零碎的感想、片段的见闻和点滴体会，是一种轻便自由的文学 形式。 【2017】23．如图，已知⊙O的半径为5，PA是⊙O的一条切线，切点为A，连接PO并延长，交⊙O于点B，过点A作AC⊥PB交⊙O于点C、交PB于点D，连接BC，当∠P=30°时． （1）求弦AC的长； （2）求证：BC∥PA． 【2016】23．如图，已知：AB是⊙O的弦，过点B作BC⊥AB交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点D，取AD的中点E，过点E作EF ∥BC交DC的延长线于点F，连接AF并延长交BC的延长线于点G． 求证： （1）FC=FG； （2）AB2=BC?BG． 【2014】23、（本题满分是8分） 如图，⊙O的半径为4，B是⊙O外一点，连接OB,且OB=6.过点B作⊙O的切线BD，切点为D,延长BO交⊙O于点A,过点A作切线BD的垂线，垂足为C. (1)求证：AD平分∠BAC; (2)求AC的长。 A B D O C (第23题图) 【2013】23、（本题满分8分）如图，直线l 与⊙O 相切于点D ，过圆心O 作EF ∥l 交⊙O 于E 、F 两点，点A 是⊙O 上一点，连接AE 、AF,并分别延长交直线l 于B 、C 两点， （1）求证：∠ABC+∠ACB=0 90 （2）当⊙O 得半径R=5，BD=12时，求tan ACB 的值. 【2012】23．（8分）如图，PA 、PB 分别与⊙O 相切于点A 、B ，点M 在PB 上，且OM ∥AP ，MN ⊥AP ，垂足为N ． （1）求证：OM=AN ； （2）若⊙O 的半径R=3，PA=9，求OM 的长． （第23题图） 【2011】23．（本题满分8分）如图，在△ABC 中，0 60B =∠,⊙O 是△ABC 外接圆，过点A 作的切线，交CO 的延长线于P 点，CP 交⊙O 于D (1) 求证：AP=AC (2) 若AC=3，求PC 的长 【2010】23．如图，在RT △ABC 中∠ABC=90°，斜边AC 的垂直平分线交BC 与D 点，交AC 与E 点，连接BE （1）若BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当AB=1,BC=2是求△DEC 外界圆的半径中考数学专题复习圆的综合的综合题
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