几道有关等边三角形、正方形的证明计算题
1..P 为等边三角形ABC 内部一点，且P 到三角形的三个顶点的距离分别为3、4、5，如图求∠CPB 的度数．
解：如图（2），以PC 为一边向外作等边三角形PCD ，连结PD ，则∠BCD=∠ACP ， 又∵PC=DC ，AC=BC ，∴△APC ≌△BDC ，∴BD=AP=5，于是△BPD 为直角三角形， ∴∠BPD=90°，∴∠CPB=150°.
2.如图，△BCM 中，∠BMC ＝120°，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，把△ABM 绕着点A 按逆时针方向旋转60°到△CAN 的位置.若BM ＝2，MC ＝
3. 求：①∠ AMB 的度数；②求AM 的长.
3.如图，△BCM 中，BM=2，CM=3，，以BC 为边向三角形外作等边△ABC ，求AM 的最大值、最小值.
4.已知P 为正△ABC 内一点．求证：无论P 的位置如何，以AP 、BP 、CP 为边都可以构成一个三角形．
AM 最大=5 AM 最小=1
5.如图(1)：P 为正方形ABCD 内一点，且PD ∶PC ∶PA=1∶2∶3．试证∠DPC=135°．
证明： 如图（2） 将△BPC 绕C 点顺时针旋转90°，得△DEC ，连结PE ；则有△BPC ≌△DEC ， 可知△CEP 为等腰直角△，故∠CPE=45° PE=22，而DE=PB=3，PD=1
所以DE2=PE2+PD2 所以∠DPE=90° 则∠DPC =∠DPE+∠EPC=90°+45°=135° 6.如图，已知正方形ABCD ，BE=BD ，CE ‖BD ，BE 与CD 交于点F ；求证：DE=DF 。 证明：过点E 作EH ⊥BD 于H ， 作EO ⊥BD 于O ∵正方形ABCD ∴∠BDC ＝∠DBC ＝45°
∠COD ＝90° OC ＝21AC ＝2
1
BD
∵CE ∥BD ，EH ⊥BD
∴四边形OCEH 为矩形
∴EH ＝OC ∴EH ＝
21BD ∵BE ＝BD ∴EH ＝2
1
BE
∴∠DBE ＝30° ∴∠BED ＝∠BDE ＝2
1
（180°-∠DBE ）＝75°
∵∠DFE ＝∠BDC+∠DBE ＝75°∴∠BED ＝∠DFE ∴DE ＝DF
证明：∵点P 在△ABC 内的任意位置都有 PA+PB ﹥AB PA ﹤AB ∴PA+PB ﹥PA 同理PA+PC ﹥PC PB+PC ﹥PA
∴以AP 、BP 、CP 为边可以构成一个三角形 （三条线段能围成三角形的充要条件是任意两条线段之和大于第三条线段）
A
B
C
F
H O
E
D
7.如图，P为正方形ABCD内的一点，连结PA、PB、PC、PD,若△PAB为等边三角形；
①△PAD≌△PBC. ②求∠CPD的度数。
① SAS ② 150°
1. 已知：如图，点E 、G 在平行四边形ABCD 的边AD 上，EG ＝ED ，延长CE 到点F ，使得EF ＝EC 。求证：AF ∥BG 。 2. 如图所示，平行四边形ABCD 内有一点E ，满足ED ⊥AD 于D ，∠EBC ＝∠EDC ，∠ECB ＝45°。请找出与BE 相等的一条线段，并给予证明。 A B C D E 3. 如图，在△ABC 中，AB ＝BC ＝12cm ，∠ABC ＝80°，BD 是∠ABC 的平分线，点E 是AB 边的中点。 （1）求∠EDB 的度数；（2）求DE 的长。
4. 已知：如图，等边△ABC 的边长为a ，D 为AC 边上的一个动点，延长AB 至E ，使BE ＝CD ，连接DE ，交BC 于点P 。 （1）求证：DP ＝PE ； （2）若D 为AC 的中点，求BP 的长。 5. 如图，在平行四边形ABCD 中，∠BAD ＝32°。分别以BC 、CD 为边向外作△BCE 和△DCF ，使BE ＝BC ，DF ＝DC ，∠EBC ＝∠CDF ，延长AB 交边EC 于点G ，点G 在E 、C 两点之间，连接AE 、AF 。 （1）求证：△ABE ≌△FDA ； （2）当AE ⊥AF 时，求∠EBG 的度数。 6. 如图所示，在△ABC 中，AC ＝4cm ，把△ABC 沿AC 方向平移1cm 到△A'B'C'的位置，则四边形ABB'C'的面积是△ABC 面积的多少倍？ A C'
7. 已知：如图，在矩形ABCD 中，E 、F 分别是边BC 、AB 上的点，且EF ＝ED ，EF ⊥ED 。求证：AE 平分∠BAD 。 8 如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为边BC 上一点，以AB ，BD 为邻边作平行四边形ABDE ，连接AD ，EC 。 （1）求证：△ADC ≌△ECD ； （2）若BD ＝CD ，求证：四边形ADCE 是矩形。 E C B A 9. 如图，以△ABC 的三边为边，在BC 的同侧分别另作三个等边三角形，即△ABD ，△BCE ，△ACF 。 （1）求证：四边形ADEF 是平行四边形； （2）在△ABC 满足什么条件时，四边形ADEF 是矩形； （3）对于任意△ABC ，四边形ADEF 是否总存在？
A.10 B.12 C.2 D.1 7.如图，AB=AC, BE X AC 于点E , CF 丄AB 于点F , BE 、CF 相交于点 D ,则①△ ABE ^4 ACF;②厶BDF ^4 CDE ③点D 在/ BAC 的平分线上。以上结论正确的是（ ） C.①② D.①②③ DC 丄 BC , E 是 BC 上一点，/ BAE=/ DEC=60°, AB=3, CE=4,则 C.24 D.48 三角形的证明测试题 一、选择题（每小题4分，共48分） 1?等腰三角形的一个角是 80 °则它顶角的度数是（ ）A. 80 ° B.80 或 20 ° 2?下列命题的逆命题是真命题的是（ A.如果 a >0, b >0，贝U a+b >0 C. 两直线平行，同位角相等 C. 80 或 50 ° D.20 ) B. 直角都相等 D. 若 a=6，贝U |a|=|6| 34 ABC 中，/ A ： / B ：Z C=1： 2: A.5cm B.6cm 3,最小边BC=4cm ,最长边AB 的长是（ C. 7cm D.8cm 5. 如图，在△ ABC 中，/ B=30° BC 的垂直平分线交 AB 于E ,垂足为D 。若 ED=5,则 6. 如图，D 为4 ABC 内一点，CD 平分/ ACB, BE X CD,垂足为 D ,交AC 于点E,Z A= 那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ ADF B4 C.BE=DF D.AD // BC C.5 D.2.5 CE 的长为（ ） A A.10
9?如图所示，在厶ABC 中，AB=AC, D 、E 是厶ABC 内两点，AD 平分/ BAG / EBC=Z E=60° ） C.9 D.10 / C=90° / B=30°以A 为圆心，任意长为半径画弧分别 交 12. 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A （0, 2）, B （0, 6）,动点C 在直线y=x 上。若以A 、 13. 如图，在等腰 Rt A ABC 中，/ C=90° AC=8, F 是AB 边上的中点，点D , E 分别在 AC , BC 边上运动，且保持 AD=CE 连接DE, DF , EF 。在此运动变化的过程中，下列结论： ① 厶DFE 是等腰直角三角形； ② 四边形CDFE 不可能为正方形， ③ DE 长度的最小值为4； ④ 四边形CDFE 的面积保持不变； ⑤ △ CDE 面积的最大值为8。 其中正确的结论是（ ） A.①②③ B.①④⑤ C.①③④ D.③④⑤ 二、填空题（每小题4分，共24分） 14. 用反证法证明命题 三角形中必 M 、N 为圆心，大于寺MN 的长为半径画弧，两弧交于点 则 下列说法中正确的个数是（ AC 于点M 和N ,再分别以 结AP 并延长交BC 于点D , ①AD 是/ BAC 的平分线；②/ ADC=60 ；③点D 在AB 的中垂线上；④ &DAC ： P,连 S\ ABC =1 : C.3 D.4 AB 、 B 、C 三点为顶点的三角形是等腰三角形，则点 1 川 / \ L 1 J C 的个数是（ ） C.4 D.5 10.如图，在厶ABC 中, A.2 B.3
全等三角形的判定 1．已知AD 是⊿ABC 的中线，BE ⊥AD ，CF ⊥AD ，问BE =CF 吗？说明理由。 2．已知AC =BD ，AE =CF ，BE =DF ，问AE ∥CF 吗？ 3．已知AB =CD ，BE =DF ，AE =CF ，问AB ∥CD 吗？ 4．已知在四边形ABCD 中，AB =CD ，AD =CB ，问AB ∥CD 吗？说明理由。 5．已知∠BAC =∠DAE ，∠1=∠2，BD =CE ，问ABD ≌⊿ACE .吗？为什么？ 6．已知CD ∥AB ，DF ∥EB ，DF =EB ，问AF =CE 吗？说明理由。 7．已知BE =CF ，AB =CD ， ∠B =∠C .问AF =DE 吗？ 8．已知AD =CB ， ∠A =∠C ，AE =CF ，问EB ∥DF 吗？说明理由。 9．已知，M 是AB 的中点，∠1=∠2，MC =MD ，问∠C =∠D 吗？说明理由。 A B C D F E A C D E F D C F E A B A D E B C 1 2 A D C E F B A C D B E F B A D F E C A B C D 1 2
10．已知，AE =DF ，BF =CE ，AE ∥DF ，问AB =CD 吗？说明理由。 11．已知∠1=∠2，∠3=∠4，问AC =AD 吗？说明理由。 12．已知∠E =∠F ，∠1=∠2，AB =CD ，问AE =DF 吗？说明理由。 13．已知ED ⊥AB ，EF ⊥BC ，BD =EF ，问BM =ME 吗？说明理由。 14．在⊿ABC 中，高AD 与BE 相交于点H ，且AD =BD ，问⊿BHD ≌⊿ACD ，为什么？ 15．已知∠A =∠D ，AC ∥FD ，AC =FD ，问AB ∥DE 吗？说明理由。 16．已知AC =AB ，AE =AD ， ∠1=∠2，问∠3=∠4吗？ 17．已知EF ∥BC ，AF =CD ，AB ⊥BC ，DE ⊥EF ，问⊿ABC ≌⊿DEF 吗？说明理由。 18．已知AD =AE ，∠B =∠C ，问AC =AB 吗？说明理由。 A C D B 1 2 3 4 C D E F 1 2 A B C E H D A C M E F B D A B C E F D A B C E D F A D E B C 1 2 3 4 D C F E A B
平行四边形的证明题 一．解答题（共30小题） 1．如图，已知四边形ABCD为平行四边形，AE⊥BD于E，CF⊥BD于F． （1）求证：BE=DF； （2）若M、N分别为边AD、BC上的点，且DM=BN，试判断四边形MENF的形状（不必说明理由）． — 2．如图所示，?AECF的对角线相交于点O，DB经过点O，分别与AE，CF交于B，D． 求证：四边形ABCD是平行四边形． $ 3．如图，在四边形ABCD中，AB=CD，BF=DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若AC与BD交于点O，求证：AO=CO． #
4．已知：如图，在△ABC中，∠BAC=90°，DE、DF是△ABC的中位线，连接EF、AD．求证：EF=AD． ~ 5．如图，已知D是△ABC的边AB上一点，CE∥AB，DE交AC于点O，且OA=OC，猜想线段CD与线段AE的大小关系和位置关系，并加以证明． ： 6．如图，已知，?ABCD中，AE=CF，M、N分别是DE、BF的中点． 求证：四边形MFNE是平行四边形． ! 7．如图，平行四边形ABCD，E、F两点在对角线BD上，且BE=DF，连接AE，EC，CF，FA． 求证：四边形AECF是平行四边形．
8．在?ABCD中，分别以AD、BC为边向内作等边△ADE和等边△BCF，连接BE、DF．求证：四边形BEDF是平行四边形． ！ 9．如图所示，DB∥AC，且DB=AC，E是AC的中点，求证：BC=DE． 10．已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=24cm，BC=30cm，点P自点A向D以1cm/s的速度运动，到D点即停止．点Q自点C向B以2cm/s的速度运动，到B点即停止，直线PQ截梯形为两个四边形．问当P，Q同时出发，几秒后其中一个四边形为平行四边形？ ; 11．如图：已知D、E、F分别是△ABC各边的中点，
《三角形》证明题专题训练 名字_____________ 第一组 简单角度计算 1.如图，∠1=40°，∠2=25°，∠A=35°，求∠BDC 的度数。 2.如图，∠A=80°，∠B=25°，∠C=30°,求∠BDC 的度数。 3.如图，AB ∥CD ，∠BAE=∠DCE=45°，求∠E 的度数. 4.如图,在△ABC 中,∠B=∠C,FD⊥BC,DE⊥AB,∠AFD=158°,求∠EDF 的度数. 第二组 折叠问题 5.如图，将一长方形纸片按如图方法折叠，BC 、BD 为折痕，求∠CBD 的度数； 6.如图，把△ABC 沿DE 折叠，请求出∠A 与∠1＋∠2之间的数量关系。 第三组 三角形内角外角平分线夹角 7.如图，△ABC 的两条内角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ； 8.如图，△ABC 的两条外角平分线交于点P ，求证：∠P=90°+ ∠A ； 9.如图，△ABC 的一条内角平分线与一条外角平分线交于点P ，求证：∠P= ∠A 第四组 三角形边长大小比较 10.如图，点P 是△ABC 内任意一点，说明：PA+PB+PCA>2 1(AB+BC+AC) ； 11.如图，AC 和BD 相交于点O ，说明：AC+BD ＞AB+CD 。 第五组 三角形中线平分面积
12.如图，CD 、DE 、EF 分别是△ABC 、△ACD 、△ADE 的中线，若△AFE 的面积为12cm ，求ABC S ?； 13.如图，已知∠1=∠2=∠3，∠FDE=43°，∠DEF=64°，求△ABC 的各内角度数。 14.如图，AD=1,DC=2,AB=4，△ABC 的面积等于△DEC 的面积的2倍，求BE 的长。 15.如图，长方形ABCD 的长为a ，宽为b ，E 、F 分别是BC 和CD 的中点，求四边形ABGD 面积。 第六组 多边形周长 16.如图，在三角形ABC 中，AD 是BC 边上的中线，三角形ABD 的周长比三角形ACD 的周长小5，求出AC 与AB 的边长的差。 17. 如图，六边形ABCDEF 的六个角都是120°，边长AB ＝2，BC =8，CD ＝11，DE ＝6，EF=4,FA=12，求出△PGH 的周长。 第七组 三角板组合 18.如图，把一幅三角板按如图方式放置，求∠1的度数。 19.如图，把一幅三角板按如图方式放置，求两条斜边所形成的钝角α的度数。 20.如图，将两块三角板的直角顶点重合，当三角板AOB 绕点O 旋转时, 写出∠BOC 与∠AOD 之间的数量关系 第八组 三角形一边上角平分线与高线的夹角 21.如图，AF 、AD 分别是?ABC 的高和角平分线,且∠B =36°，∠C=76°,求∠DAF 的度数; 22．如图，在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠BAC=800，∠B=600，求∠AEC 的度数. 23. 如图，在△ABC 中， AD ⊥BC 于D ，AE 平分∠DAC ，∠B>∠C ，求证：∠DAE=2 1（∠B-∠C ） 第九组 利用三角形面积相等求底、高 24.如图,AB ⊥BC ，CD ⊥AD ，AB=4cm ，CD=3cm ，AE=5cm ，求CE 的长。 25.如图，AD ⊥BC ，BE ⊥AC ，CF ⊥AB ，BC =16，AD ＝3，BE =4，CF =6，求△ABC 的周长。 26.如图，△ABC 中，AB=2cm ，BC=4cm ，△ABC 的高AD 与CE 的比是多少？ 第十组 方位角中的三角形 27.如图，有甲、乙、丙、丁四个小岛，乙、丙在甲的正东方，丁在丙的正北方，甲岛在丁岛的南偏西52°方向，乙岛在丁岛的南偏东40°方向。丁岛分别在甲岛和乙岛的什么方向；
第一章三角形的证明检测题 （本试卷满分：100分，时间：90分钟） 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.下列命题： ①等腰三角形的角平分线、中线和高重合；②等腰三角形两腰上的高相等； ③等腰三角形的最短边是底边；④等边三角形的高、中线、角平分线都相等； ⑤等腰三角形都是锐角三角形. 其中正确的有（） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.如图，在△ABC 中，∠BAC =90°，AB =3，AC =4．AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，则BD 的长为（ ） A.157 B. 125 C. 207 D.215 3. 如图，在△ABC 中，，点D 在AC 边上，且 ， 则∠A 的度数为（） A. 30° B. 36° C. 45° D. 70° 4.（2015?湖北荆门中考）已知一个等腰三角形的两边长分别是2和4，则该等腰三角形的周长为（ ） A.8或10 B.8 C.10 D.6或12 5.如图，已知， ， ，下列结论： ①；② ； ③ ；④△ ≌△ ． 其中正确的有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 6.在△ABC 中，∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3，最短边cm ， 则最长边AB 的长是（） A.5 cm B.6cm C.5cm D.8 cm 7.如图，已知， ，下列条件 能使△≌△的是（ ） A. B. C. D.三个答案都是 8.（2015·陕西中考）如图，在△ABC 中，∠A =36°，AB ＝AC ，BD 是△ABC 的角平分线，若在边AB 上截取BE ＝BC ，连接DE ，则图中等腰三角形共有（ ） A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
全等三角形练习题及答案 1、下列判定直角三角形全等的方法，不正确的是（） A、两条直角边对应相等。 B、斜边和一锐角对应相等。 C、斜边和一条直角边对应相等。 D、两锐角相等。 2、在△ABC中，∠B＝∠C，与△ABC全等的三角形有一个角是100°，那么在△ABC中与这100°角对应相等的角是（） A.∠A B.∠B C.∠C D.∠B或∠C 3、下列各条件中，不能作出唯一三角形的是（） A.已知两边和夹角 B.已知两角和夹边 C.已知两边和其中一边的对 角 D.已知三边 4、在△ABC与△DEF中，已知AB=DE；∠A=∠D；再加一个条件，却不能判断 △ABC与△DEF全等的 是（）. A． BC=EF B．AC=DF C．∠B=∠E D．∠C=∠F 5、使两个直角三角形全等的条件是（） A．一锐角对应相等B．两锐角对应相等 C．一条边对应相等D．两条直角边对应相等 6、在△ABC和△A'B'C'中有①AB=A'B'，②BC=B'C'，③AC=A'C'，④∠A=∠A'， ⑤∠B=∠B'，⑥∠C=∠C'，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A'B'C'的是（） A、①②③ B、①②⑤ C、①②④ D、②⑤⑥ 7、如图，已知∠1=∠2，欲得到△ABD≌△ACD，还须从下列条件中补选一个，错误的选法是 （） A、∠ADB=∠ADC B、∠B=∠C C、DB=DC D、AB=AC 8、如图，△ABC≌△ADE，若∠BAE=120°，∠BAD=40°，则∠BAC的度数为 A. 40° B. 80° C.120° D. 不能确定
9、如图，AE＝AF，AB＝AC，EC与BF交于点O，∠A＝600，∠B＝250，则∠EOB的度数为（） A．600 B．700C．750D．850 10、如图，已知AB＝DC，AD＝BC，E.F在DB上两点且BF＝DE，若∠AEB＝120°，∠ADB＝30°，则∠BCF= ( ) A. 150° B.40° C.80° D. 90° 11、①两角及一边对应相等②两边及其夹角对应相等③两边及一边所对的角对应相等④两角及其夹边对应相等，以上条件能判断两个三角形全等的是( ) A．①③ B．②④ C．②③④ D．①②④ 12、下列条件中，不能判定两个三角形全等的是（） A．三条边对应相等 B．两边和一角对应相等 C．两角及其一角的对边对应相等 D．两角和它们的夹边对应相等 13、如图，已知，，下列条件中不能判定⊿≌⊿的是（） （A）（B） （C）（D）∥ 14、如图，AB与CD交于点O，OA＝OC，OD＝OB，∠A=50°，∠B＝30°， 则∠D的度数为（）.
1．如图，正方形ABCD 和正方形A ′OB ′C ′是全等图形，则当正方形A?′OB ′C ′绕正方形 ABCD 的中心O 顺时针旋转的过程中． （1）四边形OECF 的面积如何变化． （2）若正方形ABCD 的面积是4，求四边形OECF 的面积． 解：在梯形ABCD 中由题设易得到： △ABD 是等腰三角形，且∠ABD=∠CBD=∠ADB=30°． 过点D 作DE ⊥BC ，则DE=1 2BD=23，BE=6 ．过点A 作AF ⊥BD 于F ，则AB=AD=4． 故S 梯形ABCD =12+43． 2．如图，ABCD 中，O 是对角线AC 的中点，EF ⊥AC 交CD 于E ，交AB 于F ，问四边形AFCE 是菱形吗？请说明理由． 解：四边形AFCE 是菱形． ∵四边形ABCD 是平行四边形． ∴OA=OC ，CE ∥AF ． ∴∠ECO=∠FAO ，∠AFO=∠CEO ． ∴△EOC ≌△FOA ，∴CE=AF ． 而CE ∥AF ，∴四边形AFCE 是平行四边形． 又∵EF 是垂直平分线，∴ AE=CE ．∴四边形AFCE 是菱形． 3．如图，在△ABC 中，∠B=∠C ，D 是BC 的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，?垂足分别为E 、F ．求证：（1）△BDE ≌CDF ．（2）△ABC 是直角三角形时，四边形AEDF 是正方形．
19．证明：（1）,90D BC BD CD DE AB DF AC BED CFD B C 是的中点 △BDE ≌△CDF ． （2）由∠A=90°，DE ⊥AB ，DF ⊥AC 知： AEDF BED CFE DE DF 四边形是矩形 矩形AEDF 是正方形．4．如图，ABCD 中，E 、F 为对角线AC 上两点，且AE=CF ，问：四边形EBFD 是平行四边形吗？为什么？ 解：四边形EBFD 是平行四边形．在 ABCD 中，连结BD 交AC 于点O ， 则OB=OD ，OA=OC ．又∵AE=CF ，∴OE=OF ． ∴四边形EBFD 是平行四边形．5．如图，矩形纸片ABCD 中，AB ＝3 cm ，BC ＝4 cm ．现将A ，C 重合，使纸片 折叠压平，设折痕为EF ，试求AF 的长和重叠部分△AEF 的面积． 【提示】把AF 取作△AEF 的底，AF 边上的高等于AB ＝3． 由折叠过程知，EF 经过矩形的对称中心，FD ＝BE ，AE ＝CE ＝AF ．由此可以在△ABE 中使用勾股定理求AE ，即求得AF 的长． 【答案】如图，连结AC ，交EF 于点O ， 由折叠过程可知，OA ＝OC ， ∴O 点为矩形的对称中心．E 、F 关于O 点对称，B 、D 也关于O 点对称． ∴BE ＝FD ，EC ＝AF ，
全等三角形证明经典题(含答案) 1. 已知：AB=4，AC=2，D 是BC 中点，111749AD 是整数，求AD 解：延长AD 到E,使AD=DE ∵D 是BC 中点∴BD=DC 在△ACD 和△BDE 中 AD=DE ∠BDE=∠ADCBD=DC ∴△ACD ≌△BDE ∴AC=BE=2∵在△ABE 中AB-BE ＜AE ＜AB+BE ∵AB=4即 4-2＜2AD ＜4+21＜AD ＜3∴AD=2 2. 已知：D 是AB 中点，∠ACB=90°，求证：12 CD AB 延长CD 与P ，使D 为CP 中点。连接AP,BP ∵DP=DC,DA=DB ∴ACBP 为平行四边形又∠ACB=90∴平行四边形ACBP 为矩形 ∴AB=CP=1/2AB 3. 已知：BC=DE ，∠B=∠E ，∠C=∠D ，F 是CD 中点，求证：∠1=∠2 4. 5. 证明：连接BF 和EF ∵BC=ED,CF=DF,∠BCF=∠EDF ∴三角形BCF 全等于三角形EDF(边角边)∴BF=EF,∠CBF=∠DEF 连接BE 在三 角形BEF 中,BF=EF ∴∠EBF=∠BEF 。 ∵∠ABC=∠AED 。∴∠ABE=∠AEB 。∴AB=AE 。在三角形ABF 和三角形AEF 中 AB=AE,BF=EF,∠ABF=∠ABE+∠EBF=∠AEB+∠BEF=∠AEF ∴三角形ABF 和三角形AEF 全等。∴∠BAF=∠ EAF(∠1=∠2)。 6. 已知：∠1=∠2，CD=DE ，EF//AB ，求证：EF=AC A D B C
过C 作CG ∥EF 交AD 的延长线于点GCG ∥EF ，可得，∠EFD ＝CGD DE ＝DC ∠FDE ＝∠GDC （对顶角）∴△EFD ≌△CGD EF ＝CG ∠CGD ＝∠EFD 又EF ∥AB ∴∠EFD ＝∠1∠1=∠2 ∴∠CGD ＝∠2∴△AGC 为等腰三角形，AC ＝CG 又EF ＝CG ∴EF ＝AC 7. 已知：AD 平分∠BAC ，AC=AB+BD ，求证：∠B=2∠ C 证明：延长AB 取点E ，使AE ＝AC ，连接DE ∵AD 平分∠BAC ∴∠EAD ＝∠CAD ∵AE ＝AC ，AD ＝AD ∴△AED ≌△ACD （SAS ） ∴∠E ＝∠C ∵AC ＝AB+BD ∴AE ＝AB+BD ∵AE ＝AB+BE ∴BD ＝BE ∴∠BDE ＝∠E ∵∠ABC ＝∠E+∠BDE ∴∠ABC ＝2∠E ∴∠ABC ＝2∠C 8. 已知：AC 平分∠BAD ，CE ⊥AB ，∠B+∠D=180°，求证：AE=AD+BE 证明： 在AE 上取F ，使EF ＝EB ，连接CF ∵CE ⊥AB ∴∠CEB ＝∠CEF ＝90° ∵EB ＝EF ，CE ＝CE ，∴△CEB ≌△CEF ∴∠B ＝∠CFE ∵∠B ＋∠D ＝180°，∠CFE ＋∠CFA ＝180° ∴∠D ＝∠CFA ∵AC 平分∠BAD ∴∠DAC ＝∠FAC ∵AC ＝AC ∴△ADC ≌△AFC （SAS ） ∴AD ＝AF ∴AE ＝AF ＋FE ＝AD ＋BE 9. 如图，四边形ABCD 中，AB ∥DC ，BE 、CE 分别平分∠ABC 、∠BCD ，且点E 在AD 上。求证：BC=AB+DC 。 在BC 上截取BF=AB ，连接EF ∵BE 平分∠ABC ∴∠ABE=∠FBE 又∵BE=BE ∴⊿ABE ≌⊿FBE （SAS ） ∴∠A=∠BFE ∵AB//CD ∴∠A+∠D=180o ∵∠BFE+∠CFE=180o ∴∠D=∠CFE 又∵∠DCE=∠FCECE 平分∠BCDCE=CE ∴⊿DCE ≌⊿FCE （AAS ）∴CD=CF ∴BC=BF+CF=AB+CD 10. 已知：AB//ED ，∠EAB=∠BDE ，AF=CD ，EF=BC ，求证：∠F=∠C AB ‖ED ，得：∠EAB+∠AED=∠BDE+∠ABD=180度， ∵∠EAB=∠BDE ， B A C D F 2 1 E D C B A F E A
初中数学-《三角形的证明》测试题 一、选择题 1．等腰三角形的两边长分别为3和6，则这个等腰三角形的周长为（） A．12 B．15 C．12或15 D．18 2．如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD是AC边上的高，则∠DBC的度数是（） A．18°B．24°C．30°D．36° 3．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB是一个任意角，在边OA，OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合．过角尺顶点C 作射线OC．由此做法得△MOC≌△NOC的依据是（） A．AAS B．SAS C．ASA D．SSS 4．如图，△AEB、△AFC中，∠E=∠F，∠B=∠C，AE=AF，则下列结论错误的是（） A．∠EAM=∠FAN B．BE=CF C．△ACN≌△ABM D．CD=DN 5．已知一等腰三角形的腰长为5，底边长为4，底角为β．满足下列条件的三角形不一定与已知三角形全等的是（） A．两条边长分别为4，5，它们的夹角为β B．两个角是β，它们的夹边为4
C．三条边长分别是4，5，5 D．两条边长是5，一个角是β 6．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（） A．BD=CE B．AD=AE C．DA=DE D．BE=CD 二、填空题 7．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=20°，则∠C=． 8．在等腰三角形中，马彪同学做了如下研究：已知一个角是60°，则另两个角是唯一确定的（60°，60°），已知一个角是90°，则另两个角也是唯一确定的（45°，45°），已知一个角是120°，则另两个角也是唯一确定的（30°，30°）．由此马彪同学得出结论：在等腰三角形中，已知一个角的度数，则另两个角的度数也是唯一确定的．马彪同学的结论是的．（填“正确”或“错误”） 9．如图所示，直线a经过正方形ABCD的顶点A，分别过正方形的顶点B、D作BF⊥a于点F，DE⊥a于点E，若DE=8，BF=5，则EF的长为． 10．如图，如果两个三角形的两条边和其中一条边上的高对应相等，那么这两个三角形的第三边所对的角的关系是．
1．在□ABCD中，E、F是对角线AC上两点，且AE=CF，四边形DEBF是平行四边形吗？请说明理由． 2.如图，?ABCD中，点E、F分别在AD、BC上，且ED=BF，EF与AC相交于点O，求证：OA=OC． 3、如图，延长平行四边形ABCD的边BC至F、DA至E，使CF＝AE，EF与BD交于O． 试说明EF与BD互相平分 4．如图，E、F是四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF，DF=BE，DF∥BE， 求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）四边形ABCD是平行四边形． 5．如图, 在ABCD中，∠ABC＝70 ,∠ABC的平分线交AD于点E,过点D作BE的平行线交BC于点F,求∠CDF的度数. A E D B F A B C D F E
6．已知如图，在□ABCD中，∠ABC的平分线交AD于E，且CE⊥BE。求证：BC=2CD 7.如图，平行四边形ABCD中，AB AC ⊥，1 AB=，．对角线AC BD ，相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC AD ，于点E F ，． （1）证明：当旋转角为90o时，四边形ABEF是平行四边形； （2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等； 8、如图，四边形ABCD和四边形EBFD都是平行四边形． 试说明△ABE≌△CDF C 9. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是AB和CD上的点，AE=CF, M、N分别是DE和BF的中点，求证.四边形ENFM是平行四边形． 10. 已知:如图, 在ABCD中，E、F分别是CD和AB上的点，AE//CF, BE交CF于点H，DF交AE于点G．求证.EG=FH． A B C D O F E
第一章 三角形的证明 检测题A 数学八年级下册（北师大最新版本） 第Ⅰ卷（选择题，共36分） 一、选择题（每小题4分，共36分） 1、等腰三角形的两边长分别为4厘米和9厘米，则这个三角形的周长为（ ） A 、22厘米 B 、17厘米 C 、13厘米 D 、17厘米或22厘米 2、下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是（ ） A 、等腰三角形的两底角相等 B 、等腰三角形是轴对称图形 C 、 等腰三角形是轴对称图形 D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合 3、如图1-Z-1所示，在△ABC 中，AC=DC=DB ，∠ACD=100°则∠B 等于（ ） A 、50° B 、40° C 、 25° D 、 20 ° 4、如图1-Z-2所示，在△ABC 与△DEF 中，已有条件AB=DE ，还需要添加两个条件才能使△ABC ≌△DEF ， 不能添加的条件是（ ） A 、∠B=∠E ，BC=EF B 、BC=EF ，AC=DF C 、∠A=∠ D ，∠B= ∠E ， D 、 ∠A=∠D ，BC=EF 5、已知：如图1-Z-3所示，m ∥n ，等边三角形ABC 的顶点B 在直线m 上，边BC 与直线m 所夹的锐角为 20°则∠a 的度数是（ ） A 、60° B 、30° C 、40 ° D 、45° 6、如图1-Z-4所示，在△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的平分线交于点E ，过点E 作MN ∥BC 交AB 于M ，交AC 于N ，若BM+CN=9，则线段MN 的长为（ ） A 、6 B 、7 C 、8 D 、9 7、如图1-Z-5所示，在△ABC 中，CD 平分∠ABC ，∠A=80°，∠ACB=60°，那么∠BDC =（ ） A 、80° B 、90° C 、100° D 、110° 8、如图1-Z-6所示，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离 DE=3.8cm ，则线段BC 的长为（ ） A 、3.8cm B 、7.6cm C 、11.4cm D 、11.2cm 9、如图1-Z-7所示，在平面直角坐标系中，点A 在第一象限，点P 在x 轴上，若以P 、O 、A 为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点P 共有（ ） A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个 二、填空题（每小题4分，共20分） 10、 如图1-Z-8所示，已知△ABC 是等边三角形， AD ∥BC ，CD ⊥AD ，垂足为D ，E 为AC 的中点，则∠ACD= °， AC= cm ， ∠DAC= °，△ADE 是 三角形 D E B A 图1-Z-2 C C B A 图1-Z-4 B 图1-Z-5 A 图1-Z-6 x 图1-Z-8
全等三角形的判定 一、知识点复习 ①“边角边”定理：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等。（SAS） ②“角边角”定理：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。（ASA) ③“角角边”定理：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS） ④“边边边”定理：三边对应相等的两个三角形全等。（SSS） ⑤“斜边、直角边”定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。（HL） 一个三角形共有三条边与三个角，你是否想到这样一问题了：除了上述四种识别法，还有其他的三角形全等识别法吗比如说“SSA”、“AAA”能成为判定两个三角形全等的条件吗 二、常考典型例题分析 第一部分：基础巩固 1.下列条件，不能使两个三角形全等的是（） A．两边一角对应相等 B．两角一边对应相等 C．直角边和一个锐角对应相等 D．三边对应相等 2.如图，点D，E分别在线段AB，AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC，现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD（）
A.∠B=∠C B ．AD=AE C ．BD=CE D ．BE=CD 3.下列各图中a 、b 、c 为三角形的边长，则甲、乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ） A ．甲和乙 B ．乙和丙 C ．甲和丙 D ．只有丙 4.如图，E ，B ，F ，C 四点在一条直线上，EB=CF ，∠A=∠D ，再添一个条件仍不能证明△ABC ≌△DEF 的是（ ） A ．AB=DE B ．DF ∥A C C ．∠E=∠ABC D ．AB ∥DE 5.如图，已知∠ABC=∠DCB ，下列所给条件不能证明△ABC ≌△DCB 的是（ ） A ．∠A=∠D B ．AB=D C C ．∠ACB=∠DBC D ．AC=BD 6.如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合，过角尺顶点C 的射线OC 便是∠AOB 的平分线OC ，作法用得的三角形全等的判定方法是（ ） A ．SAS B ．SSS C ．ASA D ．HL 第二部分：考点讲解 考点1：利用“SAS ”判定两个三角形全等 1.如图，A 、D 、F 、B 在同一直线上，AD=BF ，AE=BC ，且AE ∥BC ．求证：△AEF ≌△BCD ． 2.如图，AB=AC ，AD=AE ，∠BAC=∠DAE ．求证：△ABD ≌△ACE ． 考点2：利用“SAS ”的判定方法解与全等三角形性质有关的综合问题 3.已知：如图，A 、F 、C 、D 四点在一直线上，AF=CD ，AB ∥DE ，且AB=DE ，求证：FEC CBF ∠=∠ 考点3:利用“SAS ”判定三角形全等解决实际问题
四边形证明习题 1.如图，在菱形ABCD 中，∠A =60°,AB =4,O 为对角线BD 的中点，过O 点作OE ⊥AB ，垂足为E ． (1) 求∠ABD 的度数； (2)求线段BE 的长． 2.如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 、F 分别为边AB 、AD 的中点，连接EF 、OE 、OF .求证：四边形AEOF 是菱形. 3. 在正方形ABCD 中，AC 为对角线，E 为AC 上一点，连接EB 、ED ． （1）求证：△BEC ≌△DEC ； （2）延长BE 交AD 于F ，当∠BED =120°时，求∠EFD 的度数． 4. 已知：如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 和CD 上，AE = AF ． （1）求证：BE = DF ； （2）连接AC 交EF 于点O ，延长OC 至点M ，使OM = OA ，连接EM 、FM ．判断四边形AEMF 是什么特殊四边形？并证明你的结论． A F D B E O A D B E F O C
5.如图，四边形ABCD 是边长为a 的正方形，点G ，E 分别是边AB ，BC 的中点，∠AEF =90o ，且EF 交正方形外角的平分线CF 于点F ． （1）证明：∠BAE =∠FEC ； （2）证明：△AGE ≌△ECF ； （3）求△AEF 的面积． 6. 已知梯形ABCD 中，BC AD //，AD AB = (如图所示)．BAD ∠的平分线AE 交BC 于点E ，联结DE ． (1) 在图中，用尺规作BAD ∠的平分线AE (保留作 图痕迹，不写作法)，并证明四边形ABED 是菱形； (2) 若?=∠60ABC ，BE EC 2=，求证：DC ED ⊥． 7. 如图，正方形ABCD 中，E F 、分别是AB BC 、边上的点，且.AE BF =求证.AF DE ⊥ 8. 如图，将矩形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 与点C 重合，点D 落在点G 处，EF 为折痕． （1）求证：FGC EBC △≌△； （2）若84AB AD ==，，求四边形ECGF （阴影部分）的面积． A B C D D C F B E A
1、如图,四边形AB ＣD 是边长为2的正方形，点G 是 BC 延长线上一点,连结AG ,点Ｅ、F 分别在A Ｇ上，连接B Ｅ、DF ，∠1=∠２ ， ∠3=∠4. (１)证明:△ABE ≌△DAF ； （２）若∠A ＧＢ=30°，求E Ｆ的长. 【解析】 (1）∵四边形AB ＣＤ是正方形, ∴AB=A Ｄ, 在△ABE 和△D ＡF 中,??? ??∠=∠=∠=∠3 41 2DA AB ， ∴△ＡＢE ≌△DAF. (2)∵四边形ABC Ｄ是正方形， ∴∠1+∠４＝90o ∵∠３=∠４, ∴∠1＋∠３=90o ∴∠ＡFD=9０o 在正方形ABC Ｄ中， ＡＤ∥ＢC ， ∴∠1=∠ＡＧB=30ｏ 在Rt △ＡD Ｆ中，∠AFD ＝90o A Ｄ=２ , ∴AF= 3 , ＤF =1, 由（1）得△ABE ≌△A ＤF, ∴AE ＝DF=１， ∴EF=AF －AE=13-. 2、如图， ,AB AC AD BC D AD AE AB DAE DE F =⊥=∠于点，，平分交于点,请你写出图中三对全等三角形,并选取其中一对加以证明. 【解析】 （１）ADB ADC △≌△、 ABD ABE △≌△、AFD AFE △≌△、BFD BFE △≌△、 ABE ACD △≌△(写出其中的三对即 可). (２)以△ADB ≌ADC 为例证明. 证明： ,90AD BC ADB ADC ⊥∴∠=∠=°. 在Ｒt ADB △和Rt ADC △中, ,,AB AC AD AD == ∴ Rt ADB △≌Rt ADC △. ３、在△ABC 中,AB=CB,∠A ＢC=90o,F 为AB 延长线上一点,点E 在BC 上,且A Ｅ=ＣF. (1)求证:R ｔ△ＡＢE ≌Rt △C ＢF ； (２)若∠CAE=30o,求∠ACF 度数. A C B D E F G 1 423
八年级下册第一章三角形的证明测试题 一．选择题 1．如图，已知△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠2等于( ) A ．270° B ．135° C ．90° D ． 315° 2．如图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次翻折，若DE ＝a ，则下列说法正确的个数有（ ） ①DC ′平分∠BDE ；②BC 长为a )22( ；③△B C ′D 是等腰三角形；④△CED 的周长等于BC 的长。 A ． 1个； B ．2个； C ．3个； D ．4个。 3．如图，△ABC 中，∠C=90°，AC=BC ，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ，且AB=6cm ，则△DEB 的周长为（ ） A ．4cm B ．6cm C ．8 cm D ．10cm 4．如图，EA ⊥AB ，BC ⊥AB ，EA=AB=2BC ，D 为AB 中点，有以下结论： (1)DE=AC ；(2)DE ⊥AC ；(3)∠CAB=30°；(4)∠EAF=∠ADE 。其中结论正确的是（ ） A ．(1)，(3) B ．(2)，(3) C ．(3)，(4) D ．(1)，(2)，(4) 5．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交CB 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 6等腰三角形底边长为7，一腰上的中线把其周长分成两部分的差为3，则腰长是（ ） A ．4 B ．10 C ．4或10 D ．以上答案都不对 7．如图，△ABC 中，AB=AC ，点D 在AC 边上，且BD=BC=AD ，则∠A 的度数为 A B C A B C B C D E C ′ E
H G F E D C B A H G F E D C B A 图 特殊的平行四边形复习 探究一：中点四边形 1、探究证明： （1）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC=BD ，点E 、F 、G 、H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么样的图形，并证明； （2）如图，四边形ABCD 的对角线为AC 、BD ，且AC ⊥BD ，点 E 、 F 、 G 、 H 分别为边AB 、BC 、CD 、AD 边上的中点，猜想四边形EFGH 是什么的图形，并证明； 探究二、矩形的折叠问题 一、求角度 例1、如图，把一张矩形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点C D ，分别落在C D ''，的位置上，EC '交AD 于点G ．已知58EFG ∠=°，那么BEG ∠= °． 例2、将一长方形纸片按如图的方式折叠，BC 、BD 为折痕，则∠CBD 的度数为( )．(A)60° (B)75° (C)90° (D)95° 二、求线段长度 例3、如图，四边形ABCD 为矩形纸片．把纸片ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF ．若CD ＝6，则AF 等于 （ ） （A ）34 （B ）33（C ）2 4 （D ）８ 三、求图形面积 例4、如图，将长为20cm ，宽为2cm 的长方形白纸条，折成右图并在其一面着色，则着色部分的面积为（ ） A ．234cm B ．236cm C ．238cm D ．240cm 【折叠问题练习】 1．如图，四边形ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点B 恰好落在CD 边的中点E 处，折痕为AF 。若CD=6，则AF=（ ）. A B D E F
三角形证明题练习 1．如图，在△ABC 中，∠C=90°，AB 的垂直平分线交AB 与D ，交BC 于E ，连接AE ，若CE=5，AC=12，则BE 的长是（ ） 2．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，BD 、CE 分别是∠ABC 、∠BCD 的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ） 3．如图，在△ABC 中，AD 是它的角平分线，AB=8cm ，AC=6cm ，则 S △ABD ：S △ACD =（ ） 4．如图，在△ABC 中，AB=AC ，∠A=40°，AB 的垂直平分线交AB 于点D ，交AC 于点E ，连接BE ，则∠CBE 的度数 为（ ） 5．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为（ ） 6．如图，点O 在直线AB 上，射线OC 平分∠AOD ，若∠AOC=35°，则∠BOD 等于（ ） 7．如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BA 的垂直平分线交BC 边于D ，若AB=10，AC=5，则图中等于60°的角的个数是（ ） 8．如图，已知BD 是△ABC 的中线，AB=5，BC=3，△ABD 和△BCD 的周长的差是（ ） 9．在Rt △ABC 中，如图所示，∠C=90°，∠CAB=60°，AD 平分∠CAB ，点D 到AB 的距离DE=3.8cm ，则BC 等于（ ） A ． 13 B ． 10 C ． 12 D ． 5 A ． 5个 B ． 4个 C ． 3个 D ． 2个 A ． 4：3 B ． 3：4 C ． 16：9 D ． 9：16 A ． 70° B ． 80° C ． 40° D ． 30° A ． 30° B ． 36° C ． 40° D ． 45° A ． 145° B ． 110° C ． 70° D ． 35° A ． 2 B ． 3 C ． 4 D ． 5 A ． 2 B ． 3 C ． 6 D ． 不能确定