第十章 分式的计算复习专题课
一、课堂小测验
姓名：______________得分：______________
（1）32422a b c bc c ab a ????-??-?÷ ? ? ??????? (2) 2x x y x y -++;(3) 231221.2422a a a a ????+÷- ? ?---+???? 解方程：二、数学思想方法
(一)类比的思想
【思维解读】本章知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点，利用已有的知识来认识新知识.由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类比引入学习分式的相关知识;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧。
【例1】已知y=，当x 取哪些值时：x
x 321--(1)y 的值是正数;(2)y 的值是负数;(3)y 的值是零;(4)分式无意义
分析:本题要判断函数值y 的正负性,可类比数的运算法则“同号相除得正、异号相除得负”,从而将问趣转化为解不等式(组)而求解。
【例2】解方程: +=+21++x x 98++x x 32++x x 8
7++x x 分析:如果本题直接去分母,运算量较大,但联想到分数中,当分子大于分母时，假分数可化为带分数如,可化为2+,类比到分式中,当分子的次数不小于分母的次数时,可分离系数,即383
2=1-，从而减少运算量。21++x x 2
1+x 【练习】－=－1-x x 21--x x 43--x x 5
4--x x x x x x x -+=+-22
11)4(
(二)整体代换的思想
【思维解读】在解答分式题中,适当运用整体思想,会使问题巧妙解决,如分式化简求值中经常运用整体代换法。分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类,给出一定的条件并在此条件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值。解这类问题,既要瞄准目标,又要抓住条件,既要依据条件逼近目标,又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略:
①适当引入参数;
②消元或整体代换
③整体代入;
④取倒数或利用倒数关系等。
【例】
①适当引入参数;
(1)若==,则=_________3a 4b 5c c
b a
c b a 3223--++(2)已知abc ≠0,且==,则=_________b a c b a c c b a c b a 3223--++②消元或整体代换
(1)若知x-2y=0(x ≠0),则=___________2
22
2323y xy x y xy x -++-③整体代入;
若x 2-x-1=0,则=_________5412x
x x ++④取倒数或利用倒数关系等。
已知a,b,c 为实数,且=, =, =,那么代数式的值为b a ab +31c b bc +41a c ca +51ca
bc ab abc ++______________练习：（1）已知=，则=___________a b 135b
a b a +-(2)若+=5,则=__________x 1y
1y xy x y xy x +++-2252
（3）已知实数m 满足 m 2－3m+1=0,则代数式m 2+的值为________2
192+m (4)已知三个数x,y,z 满足=－2,=,=－,求的值。y x xy +z y yz +34x z zx +3
4zx yz xy xyz ++(三)转化与化归的思想
【思维解读】在分式学习的过程中,有许多问题运用了转化与化归的思想.如分式的除法转化为分式乘法;异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法;分式方程转化为整式方程等。
【例1】
(1)已知=-，其中A,B 为常数,则4A-B 的值为——————（ ）2432--+x x x 2-x A 1
+x B A 、7
B 、9
C 、13
D 、5 (2)已知x 为整数,且++ 为整数，求所有符合条件的x 的值。32+x x -329
1822-+x x 【练习1】当m 取什么值时，分式的值是正整数。1
72-+m m 【练习2】化简代数式÷，并判断当x 满足不等式组 x+2<1 时，该代x x x 2122+-x
x 1-数式的符号。
2(x-1)>－6
【例2】
(1)若关于x 的方程= -1的解为正数,则a 的取值范围是____________2
2-+x a x (2)若关于x 的方程－=无解,求a 的值.21++x x 1-x x )
2)(1(2+-+x x ax
分析:(1)本题为分式方程,首先通过去分母,将其转化为整式方程,然后求解,并代入原方程进行检验,最后根据题意进行解答.
(2)根据“原方程无解”这一条件,可知要么此整式方程无解,即未知数的系数为零,要么此整式方程的解使原方程中的分母为零,即解为增根,从而可求系数a 的值或范围.
【练习1】若关于x 的分式方程=2有正数解，则m 的取值范围是__________5
--x m x 【练习2】若关于x 的方程+=无解，求k 的值。21-x 2-x k 4
32-x (四)归纳猜想的思想
【思维解读】在有关分式的运算中,当项数较多时,可利用归纳与猜想的思想寻找这些式子的一般规律,从而减少运算量,解决问题
【例】设A=
÷（a －）2212a
a a ++-13+a a (1)化简A （2）记A=f(a).当a=3时,A 的值为f(3);当a=4时,记此时A 的值为f(4);…;
解关于x 的不等式: －≤f(3)+f(4)+……+f(11)22-x 4
7x -分析:本题第(2)小题属于新定义型,对于本题中的f(a),可利用“一分为二”的裂项法进行化简,即f(a)= ==－a a +21)1(1+a a a 11
1+a 【练习】一列数，，，...,其中=
， =（n 为不小于2的整数），则1a 2a 3a 1a 21n a 1
11-+n a 4a =_____本课小结：
本课根据常用的四种数学思想方法对分式的计算题作了分类、归纳和总结。在解题中要善于观察、学会灵活运用。