2017年考研数学二真题
一、选择题 1—8小题.每小题4分,共32分.
1
.若函数0(),0x f x b x >=?≤?
在0x =处连续,则 (A )12ab =
(B )1
2
ab =- (C )0ab = (D )2ab = 【详解
】0001112lim ()lim lim 2x x x x
f x ax ax a +++→→→-===
,0lim ()(0)x f x b f -→==,要使函数在0x =处连续,必须满足11
22
b ab a =?=.所以应该选(A )
2.设二阶可导函数()f x 满足(1)(1)1f f =-=,(0)1f =-,且()0f x ''>,则( ) (A )1
1()0f x dx ->? (B )1
1
()0f x dx -
(C )
11
()()f x dx f x dx ->?
? (D )01
1
()()f x dx f x dx -?
【详解】注意到条件()0f x ''>,则知道曲线()f x 在[][]1,0,0,1-上都是凹的,根据凹凸性的定义,显然当[]1,0x ∈-时,()21f x x ≤--,当[]0,1x ∈时,()21f x x ≤-,而且两个式子的等号不是处处成立,否则不满足二阶可导.所以
1
01
1
1
()(21)(21)0f x dx x dx x dx --<--+-=?
??.所以选择(B ).
当然,如果在考场上,不用这么详细考虑,可以考虑代一个特殊函数2
()21f x x =-,此时
11011
(),()33
f x dx f x dx -=-=-??,可判断出选项(A ),(C ),(D )都是错误的,当然选择(B ).希望同学们在复习基础知识的同时,掌握这种做选择题的技巧. 3.设数列{}n x 收敛,则
(A )当limsin 0n n x →∞
=时,lim 0n n x →∞
= (B
)当lim(0n n x →∞
+
=时,lim 0n n x →∞=
(C )当2
lim()0n n n x x →∞
+=时,lim 0n n x →∞
= (D )当lim(sin )0n n n x x →∞
+=时,lim 0n n x →∞
=
【详解】此题考核的是复合函数的极限运算法则,只有(D )是正确的. 其实此题注意,设lim n n x A →∞
=,则
2
2limsin sin ,lim(),lim(sin )sin n n n n n n n n n n x A x A x x A A x x A A →∞
→∞
→∞
→∞
==+=++=+
分别解方程2sin 0,0,0,sin 0A A A A A A ==+=+=时,发现只有第四个方程sin 0A A +=有唯
一解0A =,也就是得到lim 0n n x →∞
=.
4.微分方程2489(1cos 2)x
y y e x '''-+=+的特解可设为*y =( ) (A )22(cos 2sin 2)x
x Ae e B x C x ++ (B )22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++ (C )22(cos 2sin 2)x
x Ae
xe B x C x ++ (D )22(cos 2sin 2)x x Axe xe B x C x ++
【详解】微分方程的特征方程为2
480r r -+=,有一对共轭的复数根22r i =±.
所以12λ=不是特征方程的根,所以对应方程2489x
y y e '''-+=的特解应该设为21*x y Ae =;
而222i λ=+是方程的单根,所以对应方程2489cos 2x
y y e x '''-+=的特解应该设为22*(cos 2sin 2)x y xe B x C x =+;从而微分方程2489(1c o s 2)x
y y e
x '''-+=+的
特解可设为2212***(cos 2sin 2)x x y y y Ae xe B x C x =+=++,应该选(C ).
5.设(,)f x y 具有一阶偏导数,且对任意的(,)x y 都有
(,)(,)
0,0f x y f x y x y
??>?,则( ) (A )(0,0)(1,0)f f > (B )(0,0)(1,1)f f < (C )(0,1)(1,0)f f > (D )(0,1)(1,0)f f <
【详解】由条件对任意的(,)x y 都有
(,)(,)0,0f x y f x y x y
??>?可知(,)f x y 对于x 是单调增加的,对y 就单调减少的.所以(1,1)(1,0)(0,0),(1,1)(0,1)(0,0),(0,1)(0,0)(1,0)f f f f f f f f f <>><<<,只有第三个不等式可得正确结论(D ),应该选(D ).
6.甲、乙两人赛跑,计时开始时,甲在乙前方10(单位:米)处,如图中,实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位:米/秒),虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位:米/秒),三块阴影部分的面积分别为10,20,3,计时开始后乙追上甲的时刻为0t ,则( ) (A )010t = (B )01520t << (C )025t = (D )025t >
【详解】由定积分的物理意义:当曲线表示变速直线运动的速度函数时,2
1
()()T T S t v t dt =
?
表示时刻[]
12,T T 内所走的路程.本题中的阴影面积123,,S S S -分别表示在时间段[][][]0,10,10,25,25,30内甲、乙两人所走路程之差,显然应该在25t =时乙追上甲,应该选(C ).
7.设A 为三阶矩阵,()123,,P ααα=为可逆矩阵,使得1
000010002P AP -?? ?= ? ???
,则123()A αα
α++=( ) (A )12αα+ (B )232αα+ (C )23αα+ (D )132αα+ 【详解】显然这是矩阵相似对角化的题目.可知
()()12312323000000(,,)010,,0100,,2002002A AP P αααααααα????
? ?
==== ? ? ? ?????
所以12312323()2A A A A αααααααα++=++=+,所以可知选择(B ).
8.已知矩阵200021001A ?? ?= ? ???,210020001B ?? ?= ? ???,100020002C ??
?
= ? ???
,则
(A ),A C 相似,,B C 相似 (B ),A C 相似,,B C 不相似 (C ),A C 不相似,,B C 相似 (D ),A C 不相似,,B C 不相似
【详解】矩阵,A B 的特征值都是1232,1λλλ===.是否可对解化,只需要关心2λ=的情况.
对于矩阵A ,0002001001E A ??
?
-=- ? ???
,秩等于1 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=存在两个线性无关的特
征向量,也就是可以对角化,也就是~A C .
对于矩阵B ,010*******E B -?? ?
-= ? ???
,秩等于2 ,也就是矩阵A 属于特征值2λ=只有一个线性无关的特
征向量,也就是不可以对角化,当然,B C 不相似故选择(B ).
二、填空题(本题共6小题,每小题4分,满分24分. 把答案填在题中横线上) 9.曲线2(1arcsin )y x x
=+的斜渐近线为 .
解:2
(1arcsin )
lim lim
1x x x y x x x
→∞→∞+==,2lim()lim arcsin 2x x y x x x →∞→∞-==,所以斜渐近线为2y x =+. 10.设函数()y y x =由参数方程sin t x t e y t
?=+?=?确定,则202|t d y
dx == .
【详解】223cos 1cos (1)sin cos ,1(1)t t t t t t d e dy t d y e t e t dt dx dx e dx e dt
?? ?+??
++===-++,所以20
21|8t d y dx ==-. 11
2
ln(1)
(1)x dx x +∞
++?
.
【详解】
0220
00ln(1)1ln(1)1
ln(1)|1(1)11(1)
x x dx x d dx x x x x +∞
+∞+∞+∞++=-+=-+=++++?
?? 12.设函数(,)f x y 具有一阶连续的偏导数,且已知(,)(1)y y
df x y ye dx x y e dy =++,(0,0)0f =,则
(,)f x y =
【详解】(,)(1)()y
y
y
df x y ye dx x y e dy d xye =++=,所以(,)y
f x y xye C =+,由(0,0)0f =,得0C =,所以(,)y
f x y xye =. 13.
1
1
tan y x
dy dx x
=?
?
. 【详解】交换二重积分的积分次序得:
1
1
111
00000tan tan tan ln cos ln cos1.x y x x dy dx dx dy xdx x x x ===-=-?????
14.设矩阵41212311A a -?? ?= ? ?-??的一个特征向量为112?? ?
? ???
,则a = .
【详解】根据特征向量的定义,有
412111121132311222A a a αλ-????????
??? ? ?
===+ ??? ? ? ??? ? ?-????????
,解得1a =-.
三、解答题 15.(本题满分10分)
求极限0
lim t x dt +
→【详解】令x t u -=,则,t x u dt du =-=-
,
t x u dt du -=?
?
00
002
lim
lim lim
lim 3
3t x u u x x x x x dt e du du +
+
+
+---→→→→==== 16.(本题满分10分)
设函数(,)f u v 具有二阶连续偏导数,(,cos )x
y f e x =,求0|x dy
dx
=,202|x d y dx =.
【详解】
12(,cos )(,cos )(sin )x x x dy f e x e f e x x dx ''=+-,01|(1,1)x dy
f dx
='=; 2111122
222122(,cos )((,cos )sin (,cos ))cos (,cos )sin (,cos )sin (,cos )x x x x x x x x x x d y e f e x e f e x e xf e x xf e x dx xe f e x xf e x ''''''=+--''''-+
20111
22|(1,1)(1,1)(1,1)x d y
f f f dx
=''''=+-.
17.(本题满分10分) 求2
1
lim
ln 1n
n k k
k n
n →∞
=??
+ ???
∑ 【详解】由定积分的定义
1
20111201lim ln 1lim ln 1ln(1)11ln(1)24
n
n n n k k k k k k x x dx n n n n n x dx →∞
→∞==????+=+=+ ? ?????=+=∑∑??
18.(本题满分10分)
已知函数()y x 是由方程3
3
3320x y x y +-+-=. 【详解】在方程两边同时对x 求导,得
2233330x y y y ''+-+= (1)
在(1)两边同时对x 求导,得
2222()0x y y y y y '''''+++=
也就是22
2(())
1x y y y y '+''=-+
令0y '=,得1x =±.当11x =时,11y =;当21x =-时,20y = 当11x =时,0y '=,10y ''=-<,函数()y y x =取极大值11y =; 当21x =-时,0y '=,10y ''=>函数()y y x =取极小值20y =. 19.(本题满分10分)
设函数()f x 在区间[]0,1上具有二阶导数,且(1)0f >,0
()
lim 0x f x x
-
→<,证明: (1)方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;
(2)方程2
()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实根.
证明:(1)根据的局部保号性的结论,由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知,存在01δ<<,及1(0,)x δ∈,使得1()0f x <,由于()f x 在[]1,1x 上连续,且1()(1)0f x f ?<,由零点定理,存在1(,1)(0,1)x ξ∈?,使得
()0f ξ=,也就是方程()0f x =在区间()0,1至少存在一个实根;
(2)由条件0
()
lim 0x f x x
-
→<可知(0)0f =,由(1)可知()0f ξ=,由洛尔定理,存在(0,)ηξ∈,使得()0f η'=;
设()()()F x f x f x '=,由条件可知()F x 在区间[]0,1上可导,且(0)0,()0,()0F F F ξη===,分别在区间[][]0,,,ηηξ上对函数()F x 使用尔定理,则存在12(0,)(0,1),(,)(0,1),ξηξηξ∈?∈?使得
1212,()()0F F ξξξξ''≠==,也就是方程2()()(())0f x f x f x '''+=在区间()0,1内至少存在两个不同实
根.
20.(本题满分11分)
已知平面区域{}
22(,)|2D x y x y y =+≤,计算二重积分
2
(1)D
x d σ+?? 【详解】由于积分区域关于y 轴左右对称,所以由二重积分对称性可知
20D
xd σ=??.所以
2sin 22
220
4422
4620
(1)(1)(cos 1)2sin cos 2sin 4(4sin 4sin 2sin )54
D
D
x d x d d r rdr
d d πθ
π
π
σσθθθθθθθθθθ
π+=+=+??=+ ???
=-+=???????
?
其中利用瓦列斯公式,知
2
460
0013135315sin ,sin ,sin 2242864216
d d d π
πππππ
θθπθθπθθπ???=?==?==?=
????
?? 21.(本题满分11分)
设()y x 是区间30,2?? ???
上的可导函数,且(
1)0y =.点P 是曲线:()L y y x =上的任意一点,L 在点P 处的切线与y 轴相交于点()0,P Y ,法线与X 轴相交于点(),0P X .若P p X Y =,求L 上的点的坐标(,)x y 满足的方程.
【详解】曲线过点(,)P x y 的切线方程为()()()Y y x y x X x '-=-,令0X =,得()()p Y y x xy x '=-;
曲线过点(,)P x y 的法线方程为1
()()()
Y y x X x y x -=-
-',令0Y =,得()p X x yy x '=+. 由条件P p X Y =,可得微分方程y xy x yy ''-=+
标准形为1
1y dy x y x
y y dx x y x
--+'===
++,是个一阶齐次型微分方程.
设y u x =,方程化为1
1
du u u x dx u -+=
+,整理,得211du u x dx u +=-+
分离变量,两边积分,得1
arctan ln ln ln 2
u u x C +
=-+ 由初始条件(1)0y =,得1,0,0x y u ===,确定常数1C = 所以曲线的方程为1arctan ln ln 2y y
x x x
+=-. 22.(本题满分11分)
设三阶矩阵()123,,A ααα=有三个不同的特征值,且3122.ααα=+ (1)证明:()2r A =;
(2)若123,βααα=+,求方程组Ax β=的通解.
【详解】(1)证明:因为矩阵有三个不同的特征值,所以A 是非零矩阵,也就是()1r A ≥.
假若()1r A =时,则0r =是矩阵的二重特征值,与条件不符合,所以有()2r A ≥,又因为
31220ααα-+=,也就是123,,ααα线性相关,()3r A <,也就只有()2r A =.
(2)因为()2r A =,所以0Ax =的基础解系中只有一个线性无关的解向量.由于31220ααα-+=,所
以基础解系为121x ?? ?
= ? ?-??
;
又由123,βααα=+,得非齐次方程组Ax β=的特解可取为111?? ?
? ???;
方程组Ax β=的通解为112111x k ???? ? ?
=+ ? ? ? ?-????
,其中k 为任意常数.
23.(本题满分11分)
设二次型2
2
2
12312
312
1323(,,)2282f x x x x x a x x x x x x x =
-
++-+在正交变换x Qy =下的标准形为22
1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .
【详解】二次型矩阵21411141A a -??
?
=- ? ?-??
因为二次型的标准形为22
1122y y λλ+.也就说明矩阵A 有零特征值,所以0A =,故 2.a =
1
141
1
1
(3)(6)4
1
2
E A λλλλλλλ---=+=+---
令
0E A λ-=得矩阵的特征值为1233,6,0λλλ=-==.
通过分别解方程组()0i E A x λ-=得矩阵的属于特征值13λ=-
的特征向量1111ξ???
=-???,属于特征值特征值26λ=
的特征向量2101ξ-???=???,30λ=
的特征向量3121ξ???
=???. 所以(
)123,,0Q ξξξ? == ?为所求正交矩阵.