第十章 分式的计算复习专题课
一、课堂小测验
姓名： ______________得分： ______________
3
c
2
2
4
x
2
（ 1）
a 2
b
bc
(2)
c ab a x y ;
x y
3 12
2 1
.
x
x 2
(3)
2 4
a 2 a 2解方程： (4)
1
2 x
a 2 a
1 x x 二、数学思想方法 (一 )类比的思想
【思维解读】 本章知识一般情况下都要通过类比才可以发现新旧知识的相同点， 利用已有的知识来认识新知识 .由分数的定义、基本性质、通分、约分、分数的加减乘除等运算法则类
比引入学习分式的相关知识 ;从分数的一些运算技巧类比引入了分式的运算技巧。
【例 1】已知 y=
x
1
，当 x
取哪些值时：
2 3x
(1)y 的值是正数 ;(2)y 的值是负数 ;(3)y 的值是零 ;(4)分式无意义
分析 :本题要判断函数值 y 的正负性 ,可类比 数的运算法则“同号相除得正、异号相除得负” , 从而将问趣转化为解不等式 (组 )而求解。
【例 2】解方程 :
x
1 + x 8 = x
2 + x 7
x
2 x 9 x
3 x 8
分析 :如果本题直接去分母 ,运算量较大 ,但联想到分数中 ,当分子大于分母时，假分数可化为
带分数如 8
,可化为 2+
2 ,类比到分式中 ,当分子的次数不小于分母的次数时 ,可分离系数 ,即
3
3
x 1
1
，从而减少运算量。
=1-
x 2
x 2
【练习】
x － x
1 = x 3 － x 4 x 1 x
2 x 4 x 5
(二 )整体代换的思想
【思维解读】 在解答分式题中 ,适当运用整体思想 ,会使问题巧妙解决 ,如分式化简求值中经常
运用整体代换法。分式的化简求值通常分为有条件和无条件两类 ,给出一定的条件并在此条
件下求分式的值的问题称为有条件的分式化简求值。解这类问题 ,既要瞄准目标 ,又要抓住条
件,既要依据条件逼近目标 ,又要能根据目标变换条件。常常用到如下策略
:
①适当引入参数 ;
②消元或整体代换
③整体代入 ;
④取倒数或利用倒数关系等。
【例】
①适当引入参数 ;
a b c
3a 2b c
(1) 若
=
= ,则
=_________
3 4 5
a 2
b 3c
a b c 3a 2b c
(2) 已知 abc ≠ 0,且
= =
,则
2b
=_________
b
c a
a 3c
②消元或整体代换
(1) 若知 x-2y=0(x ≠ 0),则 x 2 3xy y 2
=___________
2x
2
xy 3y 2
③整体代入 ;
x 4
2x 1 =_________
若 x 2-x-1=0, 则
x 5
④取倒数或利用倒数关系等。
已知 a,b,c 为实数 ,且 ab
= 1 ,
bc = 1 , ca = 1 ,那么代数式
abc 的值为 a b 3
b c 4 c a 5 ab bc ca
______________
练习：
（1）已知 b
=
5 ，则 a b
=___________
a 13 a b
1 1 2x 5xy
2 y (2) 若 +
=5,则 x
2xy
=__________
x
y
y
（3）已知实数 m 满足 m2－ 3m+1=0,则代数式 m2+19的值为 ________
m22
xy yz4zx4xyz
的值。
(4) 已知三个数 x,y,z 满足=－2,=,=－ ,求
xy yz zx
x y y z 3z x3
(三 )转化与化归的思想
【思维解读】在分式学习的过程中,有许多问题运用了转化与化归的思想.如分式的除法转化为分式乘法 ;异分母分式的加减法转化为同分母分式的加减法;分式方程转化为整式方程等。【例 1】
(1) 已知3x4=A-B，其中 A,B 为常数 ,则 4A-B 的值为——————（）
x2x2x2x1
A 、7
B 、 9C、 13 D 、 5
2
+22x18
x 的值。
(2) 已知 x 为整数 ,且+
x2为整数，求所有符合条件的
x 3 3x9
【练习 1】当 m 取什么值时，分式2m7
的值是正整数。m1
【练习 2】化简代数式x2 1 ÷x 1
，并判断当x 满足不等式组x+2<1时，该代
x22x x
数式的符号。2(x-1)> － 6
【例 2】
2x a
(1) 若关于 x 的方程
x2
= -1 的解为正数 ,则 a 的取值范围是____________
(2) 若关于 x 的方程x
1 －x=ax 2无解 ,求 a 的值 . x2x1( x 1)( x2)
分析 :(1)本 分式方程 ,首先通 去分母 ,将其 化 整式方程 ,然后求解 ,并代入原方程 行,最后根据 意
行解答 .
(2)根据“原方程无解” 一条件 ,可知要么此整式方程无解 ,即未知数的系数 零 ,要么此
整式方程的解使原方程中的分母 零 ,即解 增根 ,从而可求系数 a 的 或范 .
【 1】若关于
x 的分式方程
x
m
=2 有正数解，
m 的取 范 是 __________
x 5
【 2】若关于
x 的方程
1 +
k
3
无解，求 k 的 。
x 2
=
x
2 x 2
4
(四 ) 猜想的思想
【思 解 】 在有关分式的运算中 ,当 数 多 ,可利用 与猜想的思想 找 些式子的一般 律 ,从而减少运算量 ,解决
【例】 A=
a 2 ÷（ a － 3a
） 1 2a a 2 a 1
(1) 化 A
（ 2） A=f(a). 当 a=3 ,A 的 f(3); 当 a=4 , 此 A 的 f(4); ? ; 解关于 x 的不等式 :
x 2 － 7
x
≤f(3)+f(4)+ ?? +f(11)
2 4
分析 :本 第 (2)小 属于新定 型 , 于本 中的
f(a),可利用“一分 二”的
裂 法 行
化 ,即 f(a)=
1 =
1 1) = 1 － 1 a 2
a
a(a a a 1
【 】一列数 a 1 ，a 2 ，a 3 ，...,其中 a 1 =
1 ， a n = 1 （ n 不小于
2 的整数）， a 4 =_____
2
1 a n 1 本 小 ：
本 根据常用的四种数学思想方法 分式的 算 作了分 、 和 。 在解 中要善于 察、学会灵活运用。