离散型随机变量及其分布列
【考点梳理】
1．离散型随机变量
随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量，所有取值可以一一列出的随机变量，称为离散型随机变量.
2．离散型随机变量的分布列及性质
(1)一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则表
X x 1 x 2 … x i … x n P
p 1
p 2
…
p i
…
p n
称为离散型随机变量X 的概率分布列. (2)离散型随机变量的分布列的性质：
①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②p 1＋p 2＋…＋p n ＝1. 3．常见离散型随机变量的分布列
(1)两点分布：若随机变量X 服从两点分布，其分布列为
X 0 1
P
1－p
p
，其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率.
(2)超几何分布：在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －k
N －M
C n N ，k ＝0，1，2，…，m ，其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *，称随机
变量X 服从超几何分布.
X 0 1 … m
P
C 0M C n －0
N －M
C n N
C 1M C n －1
N －M
C n N
…
C m M C n －m
N －M
C n N
【考点突破】
考点一、离散型随机变量分布列的性质
【例1】(1)设X 是一个离散型随机变量，其分布列为：
X －1 0 1
P
13
2－3q
q 2
则q 的值为( )
A ．1
B ．32±336
C ．32－336
D ．32＋33
6
(2)离散型随机变量X 的概率分布规律为P (X ＝n )＝a
n n ＋1
(n ＝1，2，3，4)，其中a 是
常数，则P ? ????1
2
＜X ＜52的值为( )
A ．23
B ．34
C ．45
D ．5
6 [答案] (1) C (2) D
[解析] (1)由分布列的性质知???
??
2－3q ≥0，
q 2
≥0，
13＋2－3q ＋q 2
＝1，
∴q ＝32－336.
(2)由?
??
??11×2＋12×3＋13×4＋14×5×a ＝1，知45a ＝1.∴a ＝54.
故P ? ????1
2＜X ＜52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝12×54＋16×54＝56.
【类题通法】
分布列性质的两个作用
(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性.
(2)随机变量X 所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率. 【对点训练】
1．设随机变量X 的分布列如下：
X 1 2 3 4 5
P
112
16
13
16
p
则p 为( )
A ．16
B ．13
C ．14
D ．112 [答案] C
[解析] 由分布列的性质，
112＋16＋13＋16＋p ＝1，∴p ＝1－34＝1
4
. 2．已知随机变量X 的分布列为：P (X ＝k )＝1
2
k ，k ＝1，2，…，则P (2 [答案] 3 16 [解析] ∵P (X ＝k )＝12k ，k ＝1，2，…，∴P (2 1 16＝3 16 . 考点二、超几何分布的应用 【例2】某外语学校的一个社团中有7名同学，其中2人只会法语，2人只会英语，3人既会法语又会英语，现选派3人到法国的学校交流访问. (1)在选派的3人中恰有2人会法语的概率； (2)在选派的3人中既会法语又会英语的人数X 的分布列. [解析] (1)设事件A ：选派的三人中恰有2人会法语，则P (A )＝C 25C 1 2C 37＝4 7. (2)依题意知X 的取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 3 4C 37＝4 35， P (X ＝1)＝C 24C 13C 37＝18 35， P (X ＝2)＝C 14C 23C 37＝12 35， P (X ＝3)＝C 37＝35， ∴X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 435 1835 1235 135 【类题通法】 1．随机变量是否服从超几何分布的判断 若随机变量X 满足如下条件，则X 服从超几何分布：第一，该试验是不放回地抽取n 次；第二，随机变量X 表示抽取到的某类个体的个数(如次品件数或类似事件)，反之亦然． 2．超几何分布的特征 (1)考察对象分两类； (2)已知各类对象的个数； (3)从中抽取若干个个体，考查某类个体数X 的概率分布． 3．超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其实质是古典概型. 【对点训练】 在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用.现有6名男志愿者A 1，A 2， A 3，A 4，A 5，A 6和4名女志愿者 B 1，B 2，B 3，B 4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接 受乙种心理暗示. (1)求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的概率； (2)用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X 的分布列. [解析] (1)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 1的事件为M ， 则P (M )＝C 4 8C 510＝5 18 . (2)由题意知X 可取的值为0，1，2，3，4，则 P (X ＝0)＝C 56C 510＝1 42 ， P (X ＝1)＝C 510＝21， P (X ＝2)＝C 36C 24C 510＝10 21， P (X ＝3)＝C 26C 34C 510＝5 21， P (X ＝4)＝C 16C 44C 510＝1 42. 因此X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 142 521 1021 521 142 【例3】已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率； (2)已知每检测一件产品需要费用100元，设X 表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用(单位：元)，求X 的分布列. [解析] (1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A ，P (A )＝A 12A 1 3A 25 ＝ 310 . (2)X 的可能取值为200，300，400. P (X ＝200)＝A 2 2A 25＝1 10， P (X ＝300)＝A 3 3＋C 12C 13A 2 2A 3 5＝3 10 ， P (X ＝400)＝1－P (X ＝200)－P (X ＝300)＝1－1 10－310＝35 . 故X 的分布列为 X 200 300 400 P 110 310 35 【类题通法】 离散型随机变量分布列的求解步骤 (1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义. (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率. (3)画表格：按规范要求形式写出分布列. (4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确. 【对点训练】 从装有大小相同的2个红球和6个白球的袋子中，每摸出2个球为一次试验，直到摸出的球中有红球(不放回)，则试验结束． (1)求第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球的概率； (2)记试验次数为X ，求X 的分布列． [解析] (1)记“第一次试验恰好摸到一个红球和一个白球”为事件A ，则P (A )＝C 12C 1 6C 28＝3 7. (2)由题知X 的可能取值为1，2，3，4.则 P (X ＝1)＝C 12C 1 6＋C 2 2C 2 8＝13 28， P (X ＝2)＝C 2 6C 28·C 14C 1 2＋C 2 2C 2 6＝9 28， P (X ＝3)＝C 2 6C 28·C 2 4C 26·C 12C 1 2＋C 2 2C 2 4＝5 28， P (X ＝4)＝C 2 6C 28·C 2 4C 26·C 2 2C 24＝1 28 . X 的分布列为 X 1 2 3 4 P 1328 928 528 128
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