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5数列-1981-2019年历年数学联赛50套真题WORD版分类汇编含详细答案

1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编

数列部分

2019B 8. 设等差数列{}n a 的各项均为整数，首项12019a =，且对任意正整数n ，总存在正整数m ，使得12n m a a a a +++=L ．这样的数列{}n a 的个数为． ◆答案：5

★解析：设{}n a 的公差为d ．由条件知12k a a a +=（k 是某个正整数），

则()1121a d a k d +=+-，即()12k d a -=，因此必有2k ≠，且1

a d k =-．这样就有()1111

n n a a n d a a k -=+-=+

-，而此时对任意正整数n ， ()()()()1211111222n n n n n a a a na d a n k d --?

?+++=+=+--+????L ，确实为{}n a 中的一项．

因此，仅需考虑使()12|k a -成立的正整数k 的个数．注意到20193673=?，易知2k -可取1,1,3,673,2019-这5个值，对应得到5个满足条件的等差数列．

2019B 二、（本题满分40分）求满足以下条件的所有正整数n ：

(1) n 至少有 4 个正约数；

(2) 若12k d d d <<

★证明：由条件可知4k ≥，且

321

2112

k k k k d d d d d d d d -----=--……………10 分易得11,k d d n ==，12

k n

d d -=

，23

k n

d d -=，代入上式得3222123

n d d d n n d d d d -

-=--，即()()22

32231d d d d -=-，由此可知3d 是完全平方数．由于2d p =是n 的最小素因子，3

d 是平方数，故只能23d p =． ………………30 分

从而序列21321,,,k k d d d d d d ----L 为232121,,,,k k p p p p p p p ------L ，即12,,,k d d d L 为211,,,,k p p p -L ，而此时相应的n 为1k p -.

综上可知，满足条件的n 为所有形如a p 的数，其中p 是素数，整数3a ≥．………40分。

2018A 8、设整数数列1021,,,a a a Λ满足1103a a =，5822a a a =+，且{

}i i i a a a ++∈+2,11，9,,2,1Λ=i ，则这样的数列的个数为

◆答案：80

★解析：记{}2,11∈-=+i i i a a b （9,,2,1Λ=i ），则有92111012b b b a a a +++=-=Λ①

7655825432b b b a a a a b b b ++=-=-=++②

下面用t 表示432,,b b b 中2的项数。由②知，t 也是765,,b b b 中2的项数，其中{}3,2,1,0∈t ，因此

432,,b b b ，765,,b b b 的取法数为()()()()

202

232

132

03=+++C C C C ；接下来，确定98,b b ，有4

22=种方式，最后由①知，应取{

}2,11∈b 使得921b b b +++Λ为偶数，这样的1b 的取法是唯一的，并且确定了整数1a 的值，进而数列921,,,b b b Λ唯一对应一个满足条件的数列1021,,,a a a Λ。

综上可知，满足条件的数列的个数为80420=?。

2018A 一、（本题满分40分）设n 是正整数，n a a a ,,,21Λ，n b b b ,,,21Λ，B A ,均为正实数，满足：

i i b a ≤，A a i ≤，n i ,,2,1Λ=，且

a a a

b b b n n ≤ΛΛ2121。

证明：

)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n ΛΛ。

★证明：记i i i a b k =

，则1≥i k ，（n i ,,2,1Λ=），记k A

=，则不等式A B a a a b b b n n ≤ΛΛ212

1即k k k k n ≤Λ21，要证11

)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A B a a a b b b n n ΛΛ成立，

也就转化为证：1

)1()1)(1()1()1)(1(212211++≤++++++A kA a a a a k a k a k n n n ΛΛ。

对于n i ,,2,1Λ=，1≥i k 及A a i ≤<0知，1

111111++=+--≤+--=++A A k A k k a k k a a k i i i i i i i i i . 由k k k k n ≤Λ21，则只需证1

)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A A k k k A A A A k A k A k n n ΛΛΛ

下面用数学归纳法证明之：

①当1=n 时，不等式显然成立； ②当2=n 时，

()()()

011111

)1)(1()1)(1(2

212121≤+---=++-++++A A k k A A k k A A A k A k ,所以2=n 时也成立； ③设m n =时结论成立，即1

)1()1)(1()1()1)(1(2121++≤++++++A A k k k A A A A k A k A k m m ΛΛΛ，

则当1+=m n 时，1

11)1)(1()1)(1()1)(1()1)(1(121121++?++≤++++++++++A A k A A k k k A A A A A k A k A k A k m m m m ΛΛΛ

1121++≤+A A k k k k m m Λ（将m k k k Λ21看成一个整体，与1+m k 一起替换2=n 时的做法一样可得）

所以1+=m n 结论也成立。

由数学归纳法可知，原命题成立。

2018A 三、（本题满分50分）设m k n ,,是正整数，满足2≥k ，且n k

k m n 1

2-<≤，

设A 是{}m ,,2,1Λ的n 元子集，证明：区间??

? ?

?-1,

0k n 中的每个整数均可表示为/

a a -，其中A a a ∈/,。 ★证明：用反证法。假设存在整数??

? ??-∈1,0k n x 不可表示为/

a a -，其中A a a ∈/,。作带余除法

r xq m +=，其中x r <≤0.将m ,,2,1Λ按模x 的同余类划分成x 个公差为x 的等差数列，其中r 个等差数列有1+q 项，r x -个等差数列有q 项.由于A 中没有两数之差为x ，故A 不能包含公差为x

的等差数列的相邻两项.从而()q q r q x q x q r x q r A n |2|22

21221/?????+?+?=??????-+??????+≤=①。由条件，我们有()r xq k k

m k k n +-=

->1

212② 又??

? ??

-∈1,0k n x ，故()x k n 1->③

⑴若q 是奇数，则由①知，21+?≤q x n ④，结合②知xq k k

n q x 1

221->≥+?，从而12-

再由q 是奇数得32-≤k q ，于是()x k q x n 12

-≤+?≤，与③矛盾；

⑴若q 是偶数，则由①知，r q x n +?≤2⑤，结合②知()r xq k k

n r q x +->

≥+?1

22 从而1

2)1(121)12(2--<--<-k x

k r k k k xq ，得)1(2-

于是()x k r x k r q

x n )1(22

-<+-≤+?≤，与③矛盾；

综上，反证法得到的结论不成立，即原命题成立。

2018B 4、在平面直角坐标系xOy 中，直线l 通过原点，)1,3(=是l 的一个法向量．已知数列{}n a 满足：对任意正整数n ，点),(1n n a a +均在l 上．若62=a ，则54321a a a a a 的值为 ◆答案： 32-