D
A
B C 2018北京十四中初三（上）期中
数学
考
生
须
知
1．本试卷共3页，共三道大题，28道小题，满分100分。考试时间100分钟。
2．在答题卡上指定位置贴好条形码。
3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。
4．在答题卡上，选择题、作图题用2B铅笔作答，其他试题用黑色字迹签字笔作答。
5．考试结束，将答题卡按页码顺序排好交回。
一、选择题（共8小题，每题2分，共16分）
1．抛物线2
(2)1
=-+
y x的顶点坐标是（）．
A．（-2，-1）B．（-2， 1）C．（2，-1）D．（2， 1）
2．如图，线段BD，CE相交于点A，DE∥BC．若AB=4，AD=2，DE=1.5，
则BC的长为（）．
A．1 B．2 C．3 D．4
3．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(4,3)
-，如果射线OA与x轴正半轴的夹角为α，那么α
∠的正弦值是（）．
A．
3
5
B．
3
4
C．
4
5
D．
4
3
4．将抛物线2
3
=-
y x平移，得到抛物线2
3(1)2
=---
y x，下列平移方式中，正确的是（）． A．先向左平移1个单位，再向上平移2个单位 B．先向左平移1个单位，再向下平移2个单位
C．先向右平移1个单位，再向上平移2个单位 D．先向右平移1个单位，再向下平移2个单位
5．已知函数2
=-++
y x bx c，其中0,0
><
b c，此函数的图象可以是（）．
6. 如图，在△ABC中，∠ACD=∠B，若AD=2,BD=3,则AC长为（）
A．10 B．23 C．6 D．6
7．下列图形中△ABC∽△DEF，则这两个三角形不是位似图形的是（）．
A． B． C．
8. 为了锻炼学生身体素质，训练定向越野技能，某校在奥林匹克森林公园内举行定向越野挑战赛．路线图如图1
所示，点E为矩形ABCD边AD的中点，在矩形ABCD的四个顶点处都有定位仪，可监测运动员的越野进程，其中
D
E
C
B
A
一位运动员P从点B出发，沿着B-E-D的路线匀速行进，到达点D．设运动员P的运动时间为t，到监测点的距离为y．现有y与t的函数关系的图象大致如图2所示，则这一信息的来源是（）．
图1
A．监测点A B．监测点B C．监测点C D．监测点D
二．填空题（共8小题，每题2分，共16分）
9. 如图，在△ABC中，D，E两点分别在AB，AC边上，DE∥BC，如果
2
3
=
DB
AD
，AC=10，那么EC= .
9题图 10题图 11题图
10. 如图，是某商场一楼与二楼之间的手扶电梯示意图．其中AB、CD分别表示一楼、二楼地面的水平线，∠ABC=150°，
BC的长是8 m，则乘电梯从点B到点C上升的高度h是_________m .
11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90?，AC=12，BC=5，CD⊥AB于点D，那么sin BCD
∠的值是 . 12．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是．（只填一个即可）
13. 如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，
则∠ABC的正弦值为 .
14. 已知二次函数2
=++
y ax bx c的y与x的部分对应值如下表：其图象的对称轴为 .
x ﹣1 0 1 3
y ﹣3 1 3 1
15. 在△ABC中，AB=AC=8,BC=6,点D为BC上一点，BD=2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE=∠B. 则线段EC 的长度 .
15题图 16题图
P
E D
C
B
A
C
B
A
t
y
O
16. 如图，抛物线2
(0)y ax bx c a =++≠与y 轴交于点C ，与x 轴交于A ，B 两点，其中点B 的坐标为(4,0)B ，抛物线的对称轴交x 轴于点D ，CE ∥AB ，并与抛物线的对称轴交于点E .现有下列结论： ①0a >；②0b >；③420a b c ++<；④4AD CE +=.其中所有正确结论的序号是 .
三、解答题（共68分）
17.（5分）23tan30cos 452sin60?+?-?
18.（5分）如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，4
3
=
A tan ，BC =12， 求A
B 和A
C 的长．
19.（5分）如图，在四边形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，点E 在AB 上，∠DEC =90°. （1）求证：△ADE ∽△BEC .
（2）若AD =1，BC =3，AE =2, 求AB 的长.
20．（5分）已知二次函数268y x x =-+.
（1）将268y x x =-+化成2()y a x h k =-+的形式；
（2）当04x ≤≤时，y 的最小值是 ，最大值是 ； （3）当0y ＜时，直接写出x 的取值范围.
21．（5分） 如图，在Rt △ABC 中，∠C =90°，点D 是BC 边的中点，CD =2，tan B =
34
. （1）求AD 和AB 的长； （2）求sin ∠BAD 的值.
22．（5分）如图所示平面直角坐标系中，点A （﹣3，﹣3），点B （﹣1，﹣3），点C （﹣1，﹣1）． （1）画出△ABC ；
（2）画出△ABC 关于x 轴对称的△A 1B 1C 1，并写出A 1点的坐标： ；
（3）以O 为位似中心，在第一象限内画出△ABC 扩大到原来的两倍的△A 2B 2C 2，并写出A 2点的坐标： ．
23．（6分）如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400
米的B 处，测得海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于多少米？（3取1.732，结果精确到1米）
24. （6分）“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝
文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现，这种文化衫每天的销售件数y （件）与销售单价x （元）满足一次函数关系：()31082036y x x =-+<<．如果义卖这种文化衫每天的利润为p （元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？
25．（6分）在数学活动课上，老师提出了一个问题：把一副三角尺如图1摆放，直角三角尺的两条直角边分别垂直
或平行，60°角的顶点在另一个三角尺的斜边上移动，在这个运动过程中，有哪些变量，能研究它们之间的关系吗？小林选择了其中一对变量，根据学习函数的经验，对它们之间的关系进行了探究． 下面是小林的探究过程，请补充完整：
（1）画出几何图形，明确条件和探究对象；
如图2，在Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =BC =6cm ，D 是线段AB 上一动点，射线DE ⊥BC 于点E ，∠EDF = °，射线DF 与射线AC 交于点F ．设B ，E 两点间的距离为x cm ，E ，F 两点间的距离为y cm ．
（2）通过取点、画图、测量，得到了x 与y 的几组值，如下表：
图1 图2
x/cm 0 1 2 3 4 5 6
y/cm 6.9 5.3 4.0 3.3 4.5 6 （说明：补全表格时相关数据保留一位小数）
（3）建立平面直角坐标系，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象；
（4）结合画出的函数图象，解决问题：当△DEF为等边三角形时，BE的长度约为 cm.
26．（6分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线2(1)
y x m x m
=---(0)
m>与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A的坐标；
（2）当15
ABC
S
△
=时，求该抛物线的表达式；
（3）在（2）的条件下，经过点C的直线l:y kx b
=+(0)
k<与抛物线
的另一个交点为D. 该抛物线在直线l上方的部分与线段CD组成一个
新函数的图象. 请结合图象回答：若新函数的最小值大于8
-，求k的
取值范围．
27．（7分）在正方形ABCD中，M是BC边上一点，点P在射线AM上，将线段AP绕点A顺时针旋转90°得到线段AQ，连接BP，DQ．
（1）依题意补全图1；
（2）连接DP，若点P，Q，D恰好在同一条直线上，求证：222
2
DP DQ AB
+=.
B
A
C
M
B
A
C
M
P
x
y
123456
–1
–2
–3
–4
–5
–6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
–1
–2
–3
–4
–5
–6
–7
–8
–9
–10
O
28. （7分）在平面直角坐标系xOy 中，对于点P （x ，y ）和Q （x ，y′），给出如下定义：
若()()
??
?<-≥='00x y x y y ，则称点Q 为点P 的“可控变点”．
例如：点（1，2）的“可控变点”为点（1，2），点（﹣1，3）的“可控变点”为点（﹣1，﹣3）．
（1）点（﹣5，﹣2）的“可控变点”坐标为 ；
（2）若点P 在函数162
+-=x y 的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′是7，求“可控变点”Q 的横坐标； （3）若点P 在函数162
+-=x y （a x ≤≤-5）的图象上，其“可控变点”Q 的纵坐标y′ 的取值范围是
1616≤'≤-y ，求实数a 的取值范围.