2020年江苏省南京市、盐城市高考数学二模试卷
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，计70分不需写出解答过程，请把答案写在答题卡的指定位置上）
1．（5分）已知集合{|21A x x k ==+，)k Z ∈，{|(5)0)B x x x =-?，则A B =I ． 2．（5分）已知复数12z i =+，其中i 为虚数单位，则2z 的模为 ．
3．（5分）如图是一个算法流程图，若输出的实数，y 的值为1-，
则输入的实数x 的值为 ．
4．（5分）某校初三年级共有500名女生，为了了解初三女生1分钟“仰卧起坐“项目训练情况，统计了所有女生1分钟“仰卧起坐“测试数据（单位：个），并绘制了如下频率分布直方图，则1分钟至少能做到30个仰卧起坐的初三女生有 个．
5．（5分）从编号为1，2，3，4的4张卡片中随机抽取一张，放回后再随机抽取一张，则第二次抽得的卡片上的数字能被第一次抽得的卡片上数字整除的概率为 ． 6．（5分）已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且周期为2，当(0x ∈，1]时，()3
a f x x =+，则f （a ）的值为 ．
7．（5分）若将函数()sin(2)3
f x x π
=+的图象沿x 轴向右平移(0)??…个单位后所得的图象与
()f x 的图象关于x 轴对称，则?的最小值为 ．
8．（5分）在ABC ?中，AB =AC =，90BAC ∠=?，则ABC ?绕BC 所在直线旋转一周所形成的几何体的表面积为 ．
9．（5分）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足1{a ，2a ，31}{a b =，2b ，3){b a =，b ，2}-，其中0a >，0b >，则a b +的值为 ．
10．（5分）已知点P 是抛物线24x y =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为(0,1)-，则
PF
PA
的最小值为 ． 11．（5分）已知x ，y 为正实数，且2441xy x y ++=，则x y +的最小值为
12．（5分）在平面直角坐标系xOy 中，圆222:()(0)C x m y r m -+=>．已知过原点O 且相互垂直的两条直线1l 和2l ，其中1l 与圆C 相交于A ，B 两点，2l 与圆C 相切于点D ．若
AB OD =，则直线1l 斜率为 ．
13．（5分）在ABC ?中，BC 为定长，|2|3||AB AC BC +=u u u r u u u r u u u r ，若ABC ?的面积的最大值为2，
则边BC 的长为 ．
14．（5分）函数()(x f x e x b e =--为自然对数的底数，)b R ∈，若函数1()(())2g x f f x =-恰
有4个零点，则实数b 的取值范围为 ．
二、解答题：本大题共6小题，计90分.解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤，请把答案写在答题卡的指定区域内.
15．（14分）如图，三棱锥P ABC -中，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，且平面PDE ⊥平面ABC ．
（1）求证：//AC 平面PDE ；
（2）若2PD AC ==，PE ，求证：平面PBC ⊥平面ABC ．
16．（14分）在ABC
?中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos sin
a b C c B
=+．（1）求B的值．
（2）设BAC
∠的平分线AD与边BC交于点D，已知
17
7
AD=，
7
cos
25
A=-，求b的值．
17．（14分）如图，湖中有一个半径为1千米的圆形小岛，岸边点A与小岛圆心C相距3千米，为方便游人到小岛观光，从点A向小岛建三段栈道AB，BD，BE，湖面上的点B在线段AC上，且BD，BE均与圆C相切，切点分别为D，E，其中栈道AB，BD，BE和小岛在同一个平面上．沿圆C的优弧（圆C上实线部分）上再修建栈道?DE．记CBD
∠为θ．（1）用θ表示栈道的总长度()
fθ，并确定sinθ的取值范围；
（2）求当θ为何值时，栈道总长度最短．
18．（16分）如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆
22
22
:1(0)
x y
C a b
a b
+=>>的离心率为
1
2
且
过点3)．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知BMN ?是椭圆C 的内接三角形，
①若点B 为椭圆C 的上顶点，原点O 为BMN ?的垂心，求线段MN 的长； ②若原点O 为BMN ?的重心，求原点O 到直线MN 距离的最小值．
19．（16分）已知函数32()(16)f x x x a x =---，()g x alnx =，a R ∈．函数()
()()f x h x g x x
=
-的导函数()h x '在5
[,4]2存在零点．
（1）求实数a 的取值范围；
（2）若存在实数a ，当[0x ∈，]b 时，函数()f x 在0x =时取得最大值，求正实数b 的最大值；
（3）若直线l 与曲线()y f x =和()y g x =都相切，且l 在y 轴上的截距为12-，求实数a 的值．
20．（16分）已知无穷数列{}n a 的各项均为正整数，其前n 项和为n S ，记n T 为数列{}n a 的前n a 项和，即12n n a T a a a =++?+．
（1）若数列{}n a 为等比数列，且11a =，425S S =，求3T 的值； （2）若数列{}n a 为等差数列，且存在唯一的正整数(2)n n …，使得2n
n
T a <求数列{}n a 的通项公式；
（3）若数列()n T 的通项为(1)
2
n n n T +=
，求证：数列{}n a 为等差数列． 【选做题】在A ，B ，C 三小题中只能选做2题，每小题0分，共计20分.请在答题卡指定区域内作答.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.[选修4-24矩阵与变换] 21．已知矩阵1221M ??=????，1001MN ??
=????
．
（1）求矩阵N ； （2）求矩阵N 的特征值．