华北电力大学硕士研究生课程考试试题（A 卷）
2013～2014学年第一学期
课程编号：50920021 课程名称：矩阵论 年 级：2013 开课单位：数理系 命题教师：邱启荣 考核方式：闭卷 考试时间：120分钟 试卷页数： 2页
特别注意：所有答案必须写在答题册上，答在试题纸上一律无效
一、判断题（每小题2分，共10分）
1. 方阵A 的任意一个特征值的代数重数不大于它的几何重数。
见书52页，代数重数指特征多项式中特征值的重数，几何重数指不变子空间的维数，前者加起来为n ，后者小于等于n 2. 设12,,
,m ααα是线性无关的向量,则12d im (s p a n {,,
,})m
m ααα=.
正确，线性无关的向量张成一组基
3.如果12,V V 是V 的线性子空间,则12V V ?也是V 的线性子空间. 错误，按照线性子空间的定义进行验证。
4. n 阶λ-矩阵()A λ是可逆的充分必要条件是()A λ的秩是n .
见书60页，需要要求矩阵的行列式是一个非零的数
5. n 阶实矩阵A 是单纯矩阵的充分且必要条件是A 的最小多项式没有重根. 见书90页。
题号 1 2 3 4 5 答案 × √ × × √
二、填空题（每小题3分，共27分） （6）
2100
21,00
3A ?? ?= ? ??
?
则A
e
的Jordan
标准型为2
2
3e
100
e
0,00
e ??
? ? ??
?
。
首先写出A
e
然后对于若当标准型要求非对角元部分为1.
（7）3
01
2
03
0λλλ-?? ?+ ? ?-?
?的Smith
标准型为1
3
00
(3)(2)λλλ?? ?
- ?
?-+?
?
见书61-63页，将矩阵做变换即得
（8）设1000.1
0.30.200.4
0.5A ??
?= ? ?-?
?，则100lim 0
0000
0n
n A →+∞??
?
= ? ??
?
。 见书109页，可将A 对角化再计算即得。
（9）2
34
5??
?-??
在基11120000,,,00001321????????
? ? ? ?-????????
下的坐标为(1,1,2,1)T
。 见书12页，自然基下坐标为（2,3,4，-5）T ，再写出过渡矩阵Ａ，坐标即A 的逆乘以自然基下坐标。对于本题来说。由于第一行实际上只和前两个基有关，第二行只和后两个基有关。因此不用那么麻烦，只需要计算（1,1）x+（1,2）y=（2,3）就可得解为1,1.再解（1，-3）x+（2,1）y=（4，-5）就可以得解为2,1.整理一下即得坐标。
（10）设4232
4353
7A -??
?
= ? ?--?
?
，则A ∞
= 15。
见书100页，计算每行的绝对值的和。
（11）202111
23x x x
x x e x
x →-??
?+-
?
?
+??
s in c o s ln ()
lim s in =2003??
???
。 对矩阵中的每个元素求极限。 （12）设,,m n
p q
m q
A R
B R
C R
???∈∈∈是已知矩阵，则矩阵方程A X B
C
=的极小范数最小二乘解
是+
()T
X
A B C
=
?
见书113-115页，将矩阵方程拉直，再用广义逆的定义去算。 （13）若n 阶方阵A 满足30
A =，则cos A
=
2
12
E
A
-
。
见书121页，3
A =，所以后面的项都为零。
（14）方阵A 的特征多项式是3
3
(2)(3)(5)
λλλ---，最小多项式是2
(2)(3)(5)
λ
λλ---，则A
的Jordan 标准形是3((2,1),(2,2),3,5)d ia g J J E 。
特征多项式决定了A 的阶数以及各个特征值的重根数，即有3个2,3个3，1个5.最小多项式
决定了若当块的大小，如2有1个1阶和1个2阶，3和5都只有1阶的若当块。 三(7分)、设
12132001
021
71,01222501
820
214
0A B C -??????
? ? ?=-== ?
? ? ? ? ?-?
??
??
?
， 证明A X
X B C
+=有唯一解。
见书114页，本题需要验证A 和-B 没有相同的特征值，具体解法如下。 证明： 33+T
A E E B
?
?非奇异。
显然, B - 的特征值为2,1,2--,下证明：2,1,2--不是A 的特征值：
（1） 方法1：用圆盘定理。A 的三个行圆盘分别是(12,4),(7,2),(8,1)B B B - , 2,1,2--都不在
(12,4)(7,2)(8,1)B B B ??-中，因此
A
与
B
-没有相同的特征值，从而0不是
33+T
A E E B
??的特征值，故33+T
A E E B
?
?可逆，从而A X X B C
+=有唯一解。
（2） 方法2：求出A 的特征多项式，再证明2,1,2--不是A 的特征值。 方法3：直接写出33+T
A E E B
?
?，再证明它非奇异。
四(8分)、设3维内积空间在基123,,ααα下的矩阵2
111
5010
3A -?? ?= ? ?-?
?
。求123{++}s p a n ααα 的正
交补空间。
见书28页，内积空间在基下的矩阵是指度量矩阵。按照内积定义给出正交补空间中元素应该满足的条件。然后求解。
解：设112233123=++({++})x x x s p a n βαααααα⊥∈，则123(,,)T x x x 满足方程
123(,,)(1,1,1)
T
x x x A =
1232+6+2=0
x x x
它的基础解系为12=(-3,1,0),=(0,1,3)T T ξξ-，因此
1231223({++})={3+,3}s p a n s p a n ααααααα⊥
--
五(10分)、设5阶实对称矩阵A 满足23(3)(5)0A E A E -+=，(3)1ra n k A E -=，求A 的谱半径和Frobenius 范数F
A
。
注意A 满足的方程说明那个式子是零化多项式，并不是最小多项式，也不是特征多项式。只说明A 的特征根为3和-5，再根据后面的条件才知道有4个3和1个-5.然后根据范数定义得到结果。
解：因为实对称矩阵A 是5阶矩阵，且满足23(3)(5)0A E A E -+=，(3)1ra n k A E -=，因此存在正交矩阵P ,使得
(3,3,3,3,5)
T
P A P d ia g =-
由于正交变换不改变矩阵的Frobenius 范数，因此
(3,3,3,3,5)492561
F
F
A
d ia g =-=?+=
六(10分)、求+
502145
5133
05
1
2
7??
?- ? ?--?
?
。
见书184页，首先对矩阵满秩分解，再按广义逆的计算公式计算得到结果。
七(14分)、3()P t 错误！未指定书签。的线性变换 2
3
2
3
12302132031()()()()()T a a t a t a t a a a a t a a t a a t
+++=-+-+-+-
（1）求()()R T N T ，的基。
（2）求T 的一个三维不变子空间。
见书34-37页，要求相空间及零空间的基即对线性变换在自然基下的矩阵做初等行变换。然后观察可得。 解：（1）求T 在错误！未指定书签。下的矩阵。
解：基2
3
1,,,t t t ，因为
2
3
2
2
3
3
(1)1,(),()1,()1T t T t t t T t t T t t =-=-=-+=-+
所以T 在基23
1,,,t t t 错误！未指定书签。下的矩阵10100101
10100
101A -?
?
?-
?= ?- ?-?
?。 1010101001010101~101000000
1
10
0A --???? ? ?--
? ?= ? ?- ? ?-?
???
因此231,t t t --是()R T 的基，231+,+t t t 是()N T 的基。
（2）取
232
{1,1+}
U s p a n t t t t =--， ,易见
232
1,1+t t t t
--， 线性无关，因此
2
3
2
{1,1+}U s p a n t t t t =--，是三维的，且()=()T U R T U ? ,因此U 是T 的一个三维不变子空间。
八(14分)、已知
3
211
4112
3A ?? ?= ? ??
?
,
本题为三阶矩阵，因此首先计算A 的特征多项式，发现特征根为2和6，然后判断最小多项式，
即可得到若当标准型。见书72-75页。求ln A的方法见书127页。或者126页，或者123页。（1）求A的Jordan标准型。
（2）求ln A .
解：
6
2
2
A
J
??
?
=
?
?
??
12
()(6)(2)
f A f A f A
=+
12
11
(2),(6)
44
A A E A A E
=-=--
ln6ln2
ln(2)(6)
44
A A E A E
=---
第 1 页 共 6 页 （A 卷） 学院 系 专业班级 姓名 学号 (密封线外不要写姓名、学号、班级、密封线内不准答题，违者按零分计) …………………………………………密…………………………封……………………………………线………………………………… 考试方式：闭卷 太原理工大学 矩阵分析 试卷（A ） 适用专业：2016级硕士研究生 考试日期：2017.1.09 时间：120 分钟 共 8页 一、填空选择题（每小题3分，共30分） 1-5题为填空题： 1. 已知??? ? ? ??--=304021101A ，则1||||A =。 2. 设线性变换1T ，2T 在基n ααα ,,21下的矩阵分别为A ，B ，则线性变换212T T +在基n ααα ,,21下的矩阵为_____________. 3．在3R 中，基T )2,1,3(1--=α，T )1,1,1(2-=α，T )1,3,2(3-=α到基T )1,1,1(1=β， T )3,2,1(2=β，T )1,0,2(3=β的过度矩阵为A = 4. 设矩阵??? ? ? ??--=304021101A ，则 5432333A A A A A -++-= . 5．??? ? ? ? ?-=λλλλλ0010 01)(2A 的Smith 标准形为 6-10题为单项选择题： 6．设A 是正规矩阵，则下列说法不正确的是 （ ）. (A) A 一定可以对角化； （B ）?=H A A A 的特征值全为实数； (C) 若E AA H =，则 1=A ； （D ）?-=H A A A 的特征值全为零或纯虚数。 7．设矩阵A 的谱半径1)( 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 武汉理工大学研究生考试试题(2010） 课程 矩阵论 （共６题,答题时不必抄题,标明题目序号） 一，填空题（１５分） 1、已知矩阵A 的初级因子为223 ,(1),,(1)λλ-λλ-，则其最小多项式为 ２、设线性变换T 在基123,,εεε的矩阵为A ,由基123,,εεε到基123,,ααα的过渡矩阵为P ,向量β在基123,,εεε下的坐标为x ,则像()T β在基123,,ααα下的坐标 3、已知矩阵123411102101,,,00113311A A A A -????????==== ? ? ? ?--???????? ,则由这四个矩阵所生成的子空间的维数为 4、已知0100001000011 000A ?? ? ?= ? ???,则1068A A A -+= 5、已知向量(1,2,0,)T i α=--，21i =-,则其范数 1α= ;2α= ;∞α= ； 二，（20）设1112112121220a a V A a a a a ??????==-=?? ?????? ?为22?R 的子集合, 1、证明：V 是22?R 的线性子空间; ２、求V 的维数与一组基； 3、对于任意的1112111221222122,a a b b A B a a b b ????== ? ????? V ∈，定义 2222212112121111234),(b a b a b a b a B A +++= 证明:),(B A 是V 的一个内积; 4、求V 在上面所定义的内积下的一组标准正交基。 三、（15分)设{} 23210[](),0,1,2i F t f t a t a t a a R i ==++∈=为所有次数小于3的实系数 多项式所成的线性空间,对于任意的22103()[]f t a t a t a F t =++∈，定义: 习题 一 1．（1）因 cos sin sin cos nx nx nx nx ?? ? ? -?? cos sin sin cos x x x x ????-??= cos(1) sin(1)sin(1) cos(1)n x n x n x n x ++?? ??-++?? ，故由归纳法知 cos sin sin cos n nx nx A nx nx ?? =??-?? 。 （2）直接计算得4 A E =-，故设4(0,1,2,3)n k r r =+=，则4(1)n k r k r A A A A ==-，即只需算出23,A A 即可。 （3）记J=0 1 0 1 1 0 ?????? ?????????? ，则 ， 112211111 () n n n n n n n n n n n n n n i i n i n n i n n n a C a C a C a C a C a A aE J C a J a C a a -----=-????????=+==?? ???????? n ∑。 2．设11 22 (1,0),0 a A P P a A E λλ-??===?? ?? 则由得 2 1112111 1 1 210 0 0 a λλλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,不可能。 而由2 112222 0 0 000 0 0 a λλλλλλ?? ????==?????????????? 1时,知1i λ=±所以所求矩阵为1i PB P -， 其中P 为任意满秩矩阵，而 1231 0 1 0 1 0,,0 10 1 0 1B B B -??????===?????? --?????? 。 注：2 A E =-无实解，n A E =的讨论雷同。 3．设A 为已给矩阵，由条件对任意n 阶方阵X 有AX=XA ，即把X 看作2 n 个未知数时线 性方程AX -XA=0有2 n 个线性无关的解，由线性方程组的理论知其系数矩阵为零矩阵， 习题二 1．化下列矩阵为Smith 标准型： （1）222211λλλλ λλλλλ?? -?? -????+-?? ; （2）2222 00 000 00(1)00000λλλλλλ ?? ?? -? ? ??-?? -?? ; （3）2222 232321234353234421λλλλλλλλλλλλλλ?? +--+-??+--+-????+---?? ; (4)23014360220620101003312200λλλλλλλλλλλλλλ????++??????--????---?? . 解：（1）对矩阵作初等变换 23221311(1)100 10 000000(1)00(1)c c c c c c r λλλλλλλλλ+--?-???????????→-???→? ??? ????-++???? ， 则该矩阵为Smith 标准型为 ???? ? ?????+)1(1λλλ； （2）矩阵的各阶行列式因子为 44224321()(1),()(1),()(1),()1D D D D λλλλλλλλλλ=-=-=-=, 从而不变因子为 22 2341234123()()() ()1,()(1),()(1),()(1)()()() D D D d d d d D D D λλλλλλλλλλλλλλλλ== =-==-==-故该矩阵的Smith 标准型为 2210000(1)0000(1)00 00(1)λλλλλλ?? ??-????-?? -??； （3）对矩阵作初等变换 故该矩阵的Smith 标准型为 ?? ?? ??????+--)1()1(112 λλλ; (4)对矩阵作初等变换 在最后的形式中，可求得行列式因子 3254321()(1),()(1),()()()1D D D D D λλλλλλλλλ=-=-===, 于是不变因子为 2541234534()() ()()()1,()(1),()(1)()() D D d d d d d D D λλλλλλλλλλλλλ==== =-==-故该矩阵的Smith 标准形为 2 1 0000 010 0000100000(1)00 00 0(1)λλλλ?????????? -?? ??-?? . 2.求下列λ-矩阵的不变因子： （1） 21 0021002λλλ--????--????-??； （2）100 1000 λαββλα λαββ λα+????-+? ???+??-+?? ；南航矩阵论2013研究生试卷及答案
矩阵论武汉理工大学研究生考试试题科学硕士
矩阵论答案
研究生矩阵论课后习题答案(全)习题二
矩阵论试题