第1次作业
一、填空题
1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： ⑴ A 发生，B 与C 不发生为 ABC ； ⑵ A 与B 都发生，而C 不发生为 ABC ； ⑶ A 、B 、C 中至少有一个发生为 A B C U U ； ⑷ A 、B 、C 都发生为 ABC ； ⑸ A 、B 、C 都不发生为 ABC ；
⑹ A 、B 、C 中不多于一个发生为 AB AC BC U U ； ⑺ A 、B 、C 中不多于两个发生为 A B C U U ； ⑻ A 、B 、C 中至少有两个发生为 AB AC BC U U 。 2.设{}1,2,3,4,5,6Ω=，{}2,3,4A =，{}3,5B =，{}4,6C =，那么A B =U {1,2,3,4,6} ，A B = {1,6} ，()A BC = Φ 。 二、选择题
1.设A 、B 为两个事件，则A B +=（ C ）。
A. A B +
B. A B -
C. AB
D. AB 2.设A 、B 为两个事件，若A B ?，则下列结论中（ C ）恒成立。
A. A 、B 互斥
B. A 、B 互斥
C. A 、B 互斥
D. A 、B 互斥 3.用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ C ）。 A. “甲产品滞销，乙产品畅销”； B. “甲、乙产品都畅销”； C. “甲产品滞销或乙产品畅销”； D. “甲、乙产品都滞销”。 三、计算题
1.写出下列随机试验的样本空间：
⑴ 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)； 0,1,,100i S i n n ??
==?
???
L ，其中n 为小班人数； ⑵ 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； {}10,11,S =L ；
⑶ 在单位圆内任意取一点，记录它的坐标； (){}
2
2,1S x y x
y =
+<；
⑷ 对某工厂出厂的产品进行检查，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”，如连续查出2个次品就停止检查，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。
{}00,100,0100,0101,0110,1100,1010,1011,0111,1101,1110,1111S =， 其中0表示次品，1表示正品。
2. 设样本空间{}
02x x Ω=≤≤，事件{}0.51A x x =≤≤，{}
0.8 1.6B x x =≤≤，具体写出下列各事件：⑴AB ；⑵A B -；⑶A B -；⑷A B U 。 ⑴ {}
0.81AB x x =≤≤；⑵ {}
0.50.8A B x x -=≤<；
⑶ {}
00.50.82A B x x x -=≤<≤≤或；⑷ {}
00.5 1.62A B x x x =≤<<≤U 或。
3. 某建筑倒塌(记为事件A )的原因有以下三个：地震(记为事件1A )、台风(记为事件2A )与暴雨(记为事件3A )。已知台风时必定有暴雨，试用简明的形式用1A ，2A ，3A 来表示事件A 。
解：321A A A A ??=,31332A A A A A A ?=∴=?，
Θ
第2次作业
一、填空题
1. 设事件A 与B 互不相容，且()0.4P A =，()0.7P A B =U ，则()
P B = ____0.7 ___； 2. 设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同颜色
的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于______
55
12
_______； 3. 从0，1，2，3，4五个数中任意取三个数，则这三个数中不含0的概率为___5
2
_______；
4. 一个盒子中有6颗黑棋子、9颗白棋子，从中任取两颗，则这两颗棋子是不同色的概率为________
35
18
_______。 二、选择题
1. 设B A ,为两个事件，则()P A B +=( C )。 A. ()()P A P B + B. ()()()()P A P B P A P B +- C. ()
1P A B - D. ()()
1P A P B -。
2. 一寝室住有4位同学，那么他们中至少有两人的生日在一星期内的同一天的概率是( D )。
A. 0.25
B. 0.35
C. 0.55
D. 0.65
3. 从标号为1，2，…，101的101个灯泡中任取一个，则取得标号为偶数的灯泡的概率为（ A ）
A ． 10150
B ． 10151
C ． 10050
D ． 10051
4. 设事件B A ,满足()
0.2P AB =，()0.6P A =，则()P AB =（ B ） A ． 0.12 B ． 0.4 C ．0.6 D ．0.8 三、计算题
1. 已知()
P A =0.5，()
P AB =0.2，()P B =0.4，求⑴()P AB ；⑵()P A B -；⑶()P A B U ；⑷()
P A B 。
解：（1）()()()0.40.20.2P AB P B P AB =-=-=
(2)()()()1()()0.50.20.3P A B P A P AB P A P AB -=-=--=-= (3)()()()()0.50.40.20.7P A B P A P B P AB ?=+-=+-= (4)()()1()10.70.3P AB P A B P A B =?=-?=-=
2. 将3个球随机放入4个杯子中，问杯子中球的个数最多为1，2，3的概率各是多少？(设杯子的容量不限)？
解：假设球是可区分的！设i A 表示“球的个数最多为i 个”，1,2,3i =
样本空间：3
4。1A 表示4个杯子任选3个，全排列；2A 表示4个杯子中任选2个，其中一个杯子是3个球选2个排列；3A 表示4个杯子任选一个，把3个球都放进去。
34133
4*3*23()448
P P A ===,22
43239()416c P P A ==,14
331()416c P A == 3. 设15名新生中有3名优秀生，现在要将这15名新生随机地分配到三个班级中，其中一班4名，二班5名，三班6名，求：⑴每一个班级各分配到一名优秀生的概率；⑵3名优秀生被分配到同一个班级的概率。
解：15名新生分别分配给一班4名，二班5名，三班6名的分法有：4
5
6
1511615!
4!5!6!
C C C =种。
（1）设事件A 表示“每一个班级各分配到一名优秀生”。
()334531295
456
15116
24
0.263791
P C C C P A C C C =
=
B (2)设事件i A 表示“3名优秀生全部分配到(1,2,3)i i =班”，
事件B 表示“3名优秀生被分配到同一个班级”,123()()()()P B P A P A P A =++
1
5612116
456115116
12!
4
5!6!
()0.087915!455
4!5!6!
C C C
P A C C C =
==
B 4261286
456215116
12!
2
2!4!6!()0.0219815!91
4!5!6!
C C C
P A C C C =
==
B 4531283
456315116
12!4
3!4!5!
()0.0439615!91
4!5!6!
C C C
P A C C C
=
==
B
第3次作业
一、填空题
1. 设()0.5P A =，()
0.4P AB =，则()
P B A =____
5
1
______； 2. 一批产品，由甲厂生产的占3
1
，其次品率为5%，由乙厂生产的占32，其次品率为10%，从
这批产品中随机取一件，恰好取到次品的概率为____
12
1
_________； 3. 设()16P A B =，()12P B =，()1
4
P B A =，则()P A =_____31_______；
4. 某种动物由出生活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，则现年20岁的这种动物活到25岁的概率是_____2
1
________。 二、选择题
1. 设B A ,为两个随机事件，且()0P A >，则()
P A B A =U （ D ） A. ()P AB B. ()P A C. ()P B D. 1
2. 设随机事件A 与B 互不相容，()0.2P A =，()0.4P B =，则()
P B A =（ A ） A . 0 B . 0.2 C . 0.4 D . 1 3. 设()P A =0.6，()P B =0.8，()P B A =0.2，则()
P A B =（ B ） A . 0.1 B . 0.9 C . 0.2 D . 0.8 4. 设()P A =0.6，()P A B =U 0.84，()
P B A =0.4，则()P B =（ A ） A . 0.60 B . 0.36 C . 0.24 D . 0.48
三、计算题
1. 甲、乙两市都位于长江下游，据一百多年来的气象记录，知道在一年中的雨天比例甲市占20%，乙市占18%，两地同时下雨占12%。记事件A 表示“甲市出现雨天”，事件B 表示“乙市出现雨天”，求：⑴两市至少有一市是雨天的概率；⑵乙市出现雨天的条件下，甲市也出现雨天的概率；⑶甲市出现雨天的条件下，乙市也出现雨天的概率。
解：由已知得：()0.2,()0.18,()0.12P A P B P AB === (3) ()3
()()5
P AB B P A
P A =
=
(1)()()()()0.380.120.26P A B P A P B P AB ?=+-=-=(2)()2
()()3
P AB A P B
P B =
=;
2. 某城市有100口水井，其中有14口水井受到严重的污染，现今某环境保护局对这个城市的
水井的污染情况进行调查，他们从中依次任选4口水井进行检验，求挑选出的4口水井都受到严重的污染的概率。
解：设事件i A 表示“第i 次选出的水井受到严重的污染”，1,2,3,4i =
事件B 表示“挑选出的4口水井都受到严重的污染”，显然，1234B A A A A = 由题已知，324111212314131211(),(),(),()100999897
A A A
P A P P P A A A A A A ====
所以
43
2
4
12341112123
14131211
()()()(
)()() 2.55*10100999897
A A A P
B P A A A A P A P P P A A A A A A -===
???B 3. 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准过的枪射击时，中靶的概率为0.3。现从8支枪中任取一支用于射击，求中靶的概率。
解：设B 表示“中靶”， A 表示“已经校准过的枪”。
由已知得：53
(),(),()0.8,()0.388
B B P A P A P P A A =
===
所以由全概率公式：53
()()()()()0.80.30.612588
B B P B P A P P A P A A =+=?+?=
4. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02。
加工出来的零件放在一起。又知第一台加工的零件数是第二台加工的零件数的两倍，求任取一个零件时合格品的概率。
解：设事件i A 表示“由第i 台车床生产的零件”，1,2i =， B 表示“任取一零件是合格品” 由已知：121221
(),(),()0.97,()0.9833
B B P A P A P P A A =
===,
所以由全概率公式：121221
()()()()()0.970.980.973
33
B B P B P A P P A P A A =+=?+?B
第4次作业
一、填空题
1. 设()0.3P A =，()()0.2P B P C ==，且事件A ，B ，C 两两互不相容，则()
P A B C =U U _____0.3_________；
2. 设事件A ，B 相互独立，且()0.2P A =，()0.4P B =，则()P A B =U ___0.52_______；
3. 某射手对一目标独立射击4次，每次射击的命中率为0.5，则4次射击中恰好命中3次的概率为____0.25_____；
4. 设事件A ，B 相互独立，且()P A =0.6，()P B =0.7，则()P A B -=___0.18 _，
()P A B -=___0.12______。
二、选择题
1. 设每次试验成功的概率为p (01p <<)，则在3次独立重复试验中至少成功一次的概率为（ A ）
A ．()311p --
B ．()21p p -
C ．()2
1
31C p p - D ．2
3
p p p ++
2. 设事件A ，B 相互独立，且()P A =0.2，()P B =0.4，则()
P A B =（ D ） A. 0.2 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.8
3. 设事件A ，B 相互独立，且()P A >0，()P B >0，则下列等式成立的是（ B ） A.()()()P A B P A P B =+U B.()()()
1P A B P A P B =-U C.()()()P A B P A P B =U D.()1P A B =U 三、计算题
1. 某工厂有甲、乙两个水泵站供水，甲泵站因事故停工的概率为0.015，乙泵站因事故停工的概率为0.02，甲、乙两个水泵站互不影响，求该工厂全都停水的概率。 解：设A 表示“甲泵站停工”， B 表示“乙泵站停工”。
()()()0.015*0.020.0003P AB P A P B ===
2. 预制钢筋混凝土构件的生产，分4个大的工序，即绑轧钢筋，支模板，搅拌混凝土，浇筑混凝土。现对某预制厂各工序的质量进行检查，这4个工序施工质量不合格的概率分别为0.02，0.018，0.025，0.028。假定这4个工序彼此无关，求这个预制厂生产的构件不合格的概率。 解：设事件A 表示“构件不合格”，事件1B 表示“绑轧钢筋不合格”， 2B 表示“支模板不合格”，
3B 表示“搅拌混凝土不合格”， 4B 表示“浇筑混凝土不合格”。
显然 12341234,A B B B B A B B B B =???=,
()1234()()()()0.98*0.982*0.975*0.9720.912P A P B P B P B P B ==B
()1()0.088P A P A =-=
3. 若干人独立地向一游动目标射击，每人击中目标的概率都是0.6，问至少需要多少人，才能以0.99以上的概率击中目标。 解：设B 为击中目标至少需要n 人，
0()10.40.60.99,0.40.016n n n
n P B C n =-≥≤?=
4. 加工某一零件共需三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别是2%、3%、5%。假定各道工序是互不影响的，求加工出来的零件的次品率。 解：设事件i A 表示“第i 道工序生产的次品” 1,2,3i =
123()2%,()3%,()5%
P A P A P A ===,
()()()()123123123()1110.98*0.97*0.950.09693P A A A P A A A P A P A P A ??=-=-=-=
第5次作业 单元自测题
一、填空题
1. 连续抛一枚均匀硬币5次，则正面都不出现的概率为___
32
1
______； 2. 袋中有红、黄、蓝球各一个，从中任取三次，每次取一个，取后放回，则红球出现的概率为____
27
19
_____； 3. 设事件A ，B 相互独立，()P A B =U 0.6，()P A =0.4，则()P B =____
3
1
_________； 4. 设A ，B 是两个随机事件，已知()P A =0.4，()P B =0.6，()P A B =U 0.7，则
()P A B =___0.3______。
二、选择题
1. 设事件A ，B 相互独立，且()0P A >，()0P B >，则下列等式成立的是（ B ）。 A.AB =Φ B.()()()
P AB P A P B = C.()()1P B P A =- D.()
0P B A =
2. 设A ，B ，C 为三事件，则事件A BC =U （ A ）。
A.A B C
B.A B C U
C.()
A B C U D.()
A B C U U 3. 某人射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多命中一次的概率为（ D ）。 A. 0.002 B. 0.04 C. 0.08 D. 0.104 4. 设事件A ，B 互不相容(即互斥)，则一定有（ A ）。 A.()()P A B P A -= B.()1P A B =U C.A 与B 互不相容 D.A 与B 不可能互不相容 三、计算题
1. 一球队有10名队员，分别穿4号到13号球衣，任选5人上场，求：⑴上场队员的球衣号码最小为8的概率；⑵上场队员的球衣号码最大为10的概率。 解：样本空间：
5
10
C 。
（1）设A 为“上场队员的球衣号码最小为8”。0198.0252
5
)(51045≈==C C A P
（2）设B 为“上场队员的球衣号码最大为10”。0595.084
5
)(51046≈==C C B P
2. 设三事件A 、B 、C 相互独立，试证：A B -与C 相互独立。
证明：由已知：)()()()(C P B P A P ABC P =,
)()()()()()(])[(C P B A P C P B P A P C B A P C B A P -===-
3. 设10件产品中有4件不合格品，现从中连续抽取两次，每次一件，取出后不放回，求第二次取得合格品的概率。
解：设A 为：“第2次取得合格品”。 5
3
9610495106)(=?+?=A P
4. 设某公司有7个顾问，每个顾问提供正确意见的百分比为0.6，现为某事可行与否个别征求顾问意见，并按多数人的意见作出决策，试求作出正确决策的概率。
解：设B 为“作出正确决策”。7654,,,A A A A 为“4、5、6、7个人提供正确意见”。
7777667625575344744.06.0)(,4.06.0)(,4.06.0)(4.06.0)(??=??=??=??=C A P C A P C A P C A P ，则，
0710208.00279936.01306368.02612736.0290304.0)
()()()()(7654=+++=+++=A P A P A P A P B P
第6次作业
一、填空题
1. 已知随机变量1~,
2X B n ?? ???，且{}1532
P X ==，则n =______5_____； 2.设X 服从两点分布，且{}{}10P X aP X ===，其中a >0为一常数，则
{}0.51P X ≤<=_____0__________，{}0.51P X <≤=____
1
+a a
____； 3. 已知离散型随机变量X 服从参数为λ=4的泊松分布，则{}2P X ==______4
8-e ______； 4. 若在3次独立重复试验中，事件A 至少发生1次的概率为26
27
，则事件A 在一次试验中发生的概率为_____
3
2
______； 5. 在相同条件下独立地进行4次射击，设每次射击命中目标的概率为0.7，则在4次射击中命中目标的次数X 的分布律为{}P X i ==__i
i
i
C -??443
.07.0____。
二、选择题
1. 下列各表中可作为某随机变量分布律的是（ C ）
2. 设某时间段内通过一路口的汽车流量满足泊松分布，已知该时间段内没有汽车通过的概率为0.05，则这段时间内至少有两辆汽车通过的概率最接近于（ D ） A. 0.9 B. 0.7 C. 0.6 D. 0.8
3. 设随机变量X 服从二项分布()2,B p ，随机变量Y 服从二项分布()3,B p ，且有
{}5
19
P X ≥=，则{}1P Y ≥=（ A ）
A. 1927
B. 1127
C. 827
D. 1627
三、计算题
1. 一袋中有3个白球，2个红球。采用无放回取球，每次从中任取一球，直到取到白球为止。求取球次数的概率分布。 解：设取球次数为X ，:1,2,3X
13153
{1}5
C P X C ===，233{2}5410P X ===g ，211{3}5410P X ===g
2. 已知一公司生产某零件的次品率为0.01，并设各零件是否为次品是相互独立的，该公司将每10个零件装成一盒出售，并承诺若发现某盒内次品多于1个则可退货。问售出的各盒零件将被退回公司的概率为多少？
解：设X 表示某盒零件中次品的个数，又各零件是否为次品是相互独立的，则(10,0.01)X B :。
1010{}0.010.99,0,1,,10k
k k P X k C k -===L
又因为“售出的各盒零件被退回公司”等价于{1}X >
所以：0110119
1010{1}10.010.990.010.990.00427P X C C >=--B
3. 设离散型随机变量X 服从参数为λ(λ>0)的泊松分布，且已知{}{}12P X P X ===，求⑴参数λ的值；⑵{}26P X <<。
解：（1）因为X :∏()λ,且{1}{2}P X P X ===，所以21!
2!
e e λ
λ
λλ--=
即2
12
λλ=
，又0λ>，求得2λ= (2) {26}{3}{4}{5}P X P X P X P X <<==+=+=
=324252
2223!4!5!
e e e ---++ 0.1804470.0902240.036089=++=0.30676
第7次作业
一、填空题
1. 设随机变量X 的分布函数为()2,0,
0,
0,x a e x F x x -?->=?≤? 则常数a =__1_____；
2. 设离散型随机变量X 的分布函数为()0,1;
1,12;31,2,
x F x x x <-???
=-≤
______
3
2
______； 3. 设随机变量X 的分布函数为()0,1;
0.4,11;
0.7,12;1,
2,
x x F x x x <-??-≤
=?
≤
二、选择题
1. 下列各函数可作为随机变量分布函数的是（ B ） A.???≤≤=.,x ,x )x (F 其他01021 B.???
??≥<≤<=.
x x ,,x ;
x ,)x (F 1101002
C.?????≥<≤--<-=.x x ,x ;x ,)x (F 1111113
D.?????≥<≤<=.x x ,x ;x ,
)x (F 11
02
2004
2. 设随机变量X 的概率密度为()5
,0;0,
0,x
ce x f x x -??≥=??
A. 1
5
- B. 15 C. 1 D. 5
3. 设随机变量X 的取值范围是()1,1-，以下函数可作为X 的概率密度的是（ C ）
A. (),11
0,x x f x -<
C.()1
,11
20,x f x ?-<
D. ()2,110,x f x -<
三、计算题
1. 已知随机变量X 的分布函数为(),0,
0,
0,x ae b x F x x -?+>=?≤? 求常数a ，b 的值。
解：由分布函数的性质：()1F +∞=,且0
lim ()(0)0x F x F +
→==。 又知()lim ()x
x F ae
b b -→+∞
+∞=+=，0
lim ()lim()x
x x F x ae b a b ++
-→→=+=+ 故有：11
01
b a a b b ==-?????
+==??
2. 设随机变量X 的分布函数为()0,
1,ln ,1,1,,x F x x x e x e
=≤
522P X ?
?<
?；⑵概率密度()f x 。
解：（1）{2}(2)ln 2,{03}(3)(0)101P X F P X F F <==<≤=-=-= 5
55
{2}()(2)ln
ln 2ln 52ln 2222
P X F F <<=-=-=- （2）1(ln ),1()()0,
x X e f x F x x
?'=≤
'==???其它
第8次作业
一、填空题
1. 设随机变量()~2,4X N ，则{}0P X ≤=____0.1587______；（附：()10.8413Φ=）
2. 设连续型随机变量X 的分布函数为?
??≤>-=-,x ,;x ,e )x (F x 00013 则当0x >时，X 的概率密度
()f x =_____x e 33-_________；
3. 设随机变量X 服从区间[0,5]上的均匀分布，则{}3P X ≤=_____
5
3
______； 4.设随机变量()~,4X N μ，且{}1P X ≥=0.8888，则
μ=___3.44____，
{}22P X -<=____0.5676__。
二、选择题
1. 设随机变量X 的概率密度为,22()40,,x
x f x ?-<
；
其他 则{}11P X -<<=（ A ）；
A.
41 B. 21 C. 4
3
D. 1 2. 设随机变量X 在区间[2，4]上服从均匀分布，则{}23P X <<=（ C ） A. {}3.5 4.5P X << B. {}1.5 2.5P X << C. {}2.5 3.5P X << D. {}4.5 5.5P X << 3. 设随机变量X 的概率密度为f (x )=??
???≤>,
1,0;1,
2
x x x c
则常数c 等于（ D ）
A. -1
B. 1
2
-
C. 12
D. 1
4. 设随机变量X 服从参数为3的指数分布，其分布函数为()F x ，则13F ??
= ???
（ C ） A.
13e B. 3e C. 1
1e -- D. 1113
e --
三、计算题
1. 已知连续型随机变量X 的密度函数为()0,0,
,0,
x
x g x e x >?=?
≤? 求⑴{}3P X =-；⑵{}11P X -≤<；⑶{}2P X <。
解：（1）{}30P X =-= （2）{}0
1
011
1
01101x
x P X e dx dx e
e ----≤<=+==-?
?
（3）{}0
20
201x P X e dx dx -∞
<=
+=?
?
2. 设一类电子元件的寿命X 服从以
1
600
为参数的指数分布(单位：h)，求⑴任一电子元件寿命超过200h 的概率；⑵某仪器装有三只独立工作的同型号此类电子元件，在仪器使用的最初200h 内，至少有一只电子元件损坏的概率。
解：由于1()600X E :，600
1,0()6000,0x
e x
f x x -?≥?=??
（1）1
600
3200
2001{200}()600
x P X f x dx e dx e -+∞
+∞
>=
==?
?
（2）设Y 表示“三只电子原件中使用寿命小于200小时的个数”，则13
(3,1)Y B e --: 110
3
1
333
{1}1{0}1(1)()1P Y P Y C e e e ---≥=-==--=-
3. 某厂生产的混凝土预制板，从过去试验的大量资料得知该厂预制板承受的弯矩
()~450,100X N ，求弯矩X 落于[435,465]的概率。
解：465450435450
{435465}(465)(435)(
)()1010
P X F F --≤≤=-=Φ-Φ (1.5)( 1.5)2(1.5)120.933210.8664=Φ-Φ-=Φ-=?-=
第9次作业
一、填空题
1. 已知随机变量X 的分布列：
22Z X =+的分布列为_______________________；
2. 设X ()~0,2U ，求2
Y X =在()0,4内的概率密度()Y f y =______。
二、选择题
1. 设随机变量()~1,4X
N ，21Y X =+，则Y 所服从的分布为（ C ） A ．()3,4N B ．()3,8N C ．
()3,16N D ．()3,17N
2. 已知随机变量X 服从正态分布()3,4N ，则X 的函数ln Y X =的概率密度()
Y f y =（ C ） A.()()2
ln 38
ln y Y f
y y --
=
； B.()()238
y y
Y f y --+=
；
C.()()2
38
y
e y
Y f y --
+=
； D.
()()2
38
y
e Y
f y --
=
。
三、计算题
1. 随机变量X 的概率分布见下表，求⑴21X -+的概率分布；⑵2X X -的概率分布。
⑴
⑵
2. 设()~0,1X N ，求2
Y X =的概率密度函数。 解：设Y 的分布函数为()Y F y ，概率密度是()Y f y ，
()X F x 是X 的分布函数，则()X F
x 连续可导。
当
0y ≤时，2
(){}{}0Y F y P Y y P X y =≤=≤=，故()Y f y =()0Y F y '=；
当0y >时，2(
){}{
}{Y F y P
Y y P X y
P X =≤=≤=≤≤
222
2
2x x dx dx -
-
=
=
()Y f y =2(),0y Y F y y -'=>
综上：2
Y X =的概率密度函数：()2,00,0,
y Y y f y y -?>=≤?
第10次作业 单元自测题
1. 袋中有四个标号分别为1，2，3，4的相同小球，从中接连抽取两次，每次抽一球，求下列情况下抽出的两球号码之和X 的分布列：⑴第一次抽出后不放回；⑵第一次抽出后放回。
解（1）第一次抽出后不放回：6
131413141}3{=?+?==X P ，61}4{==X P ，
316161}5{=+==X P ，61}6{==X P ，6
1
}7{==X P
故X 的分布列为：
（2）第一次抽出后放回：
161}2{=
=X P ，163}6{,41}5{,163}4{,81}3{========X P X P X P X P 161
}8{,81}7{====X P X P
2. 设随机变量X 服从二项分布(),B n p ，且已知{}{}12P X P X ===，
{}{}223P X P X ===，求{}4P X =。
解：{}(1),0,1,,k k n k
n P X k C p p k n -==-=L
由{}{}12P X P X ===知：22
1
)1(2
)1()
1(----=
-n n p p n n p np ， 2)1(=+p n ； （1）
由{}{}223P X P X ===知：3322)1(2
*3)2)(1(2)1(2)1(-----=--n n p p n n n p p n n ，
3)12(=-p n （2） 解得：3
1,5=
=p n . 3. 设随机变量ξ服从以2为参数的指数分布，求方程2
40x x ξ++=有实根的概率。
解：)2(~E ξ，00,
0,2)(2<≥???=-ξξξξe f 。方程240x x ξ++=有实根，即0162
≥-=?ξ，
4≥ξ或4-≤ξ（舍）。
所以84
24
22}4{-+∞-+∞
-=-==
≥?
e e d e P ξ
ξξξ.
4. 有一汽车站有大量汽车通过。设每辆汽车在一天某段时间出事故的概率为0.0001，在某天该
段时间内有1000辆汽车通过，求事故次数不少于2的概率。
解：设事故次数X 为随机变量，)0001.0,1000(~B X ，因为次数很大，概率很小，所以用泊松
分布近似替代二项分布。1.0==np λ，λλ-=
=e k k X P k
!
}{。
1.01.01.01.111.01}1{}0{1}2{----=--==-=-=≥e e e X P X P X P
5. 公共汽车车门高度是按男子身高与车门顶碰头的机会在0.01以下来设计的，设男子身高服从
()2170,6N (单位：cm )，试确定车门的高度。
解：设男子身高为X cm ,车门高度为Y cm 。()
2~170,6X N
01.0}61706170{
}{<-≥-=≥Y X P Y X P ,)33.2(99.0}6
170
6170{φ=≥-<-Y X P 即
98.18398.1317033.26
170
=+≥≥-Y Y ，. 6. 设X 服从标准正态分布，求X
Y e =的概率密度。
解：2
2
21)(),1,0(~x e x N X -=π
?。
i 当0>y 时， ?
∞
--
=
<=<=y
x x Y dx e y X P y e P y F ln 2
221}ln {}{)(π
，
2
)(ln 2
)(ln 2
ln 2
2
221
)(ln 21)21(
)()(y y x y
Y Y e y
y e dx e y F y f --
-
∞
-=
'=
'='
=?
ππ
π
ii 当0≤y 时，0)(0)(==y f y F Y Y ，,故??
?
??≤>=-0,00,21)(2)
(ln 2
y y e y f y Y π
·1· 习 题 一 1．写出下列随机试验的样本空间及下列事件中的样本点： （1）掷一颗骰子，记录出现的点数. A =‘出现奇数点’； （2）将一颗骰子掷两次，记录出现点数. A =‘两次点数之和为10’，B =‘第一次的点数，比第二次的点数大2’； （3）一个口袋中有5只外形完全相同的球，编号分别为1,2,3,4,5；从中同时取出3只球，观察其结果，A =‘球的最小号码为1’； （4）将,a b 两个球，随机地放入到甲、乙、丙三个盒子中去，观察放球情况，A =‘甲盒中至少有一球’； （5）记录在一段时间内，通过某桥的汽车流量，A =‘通过汽车不足5台’，B =‘通过的汽车不少于3台’。 解 （1）123456{,,,,,}S e e e e e e =其中i e =‘出现i 点’ 1,2,,6i =L ， 135{,,}A e e e =。 （2）{(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)S = (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6) (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6) (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}； {(4,6),(5,5),(6,4)}A =； {(3,1),(4,2),(5,3),(6,4)}B =。 （ 3 ） {(1,2,3),(2,3,4),(3,4,5),(1,3,4),(1,4,5),(1,2,4),(1,2,5) S = (2,3,5),(2,4,5),(1,3,5)} {(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5),(1,4,5)}A = （ 4 ） {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,),(,,), S ab ab ab a b a b b a =--------- (,,),(,,,),(,,)}b a a b b a ---，其中‘-’表示空盒； {(,,),(,,),(,,),(,,),(,,)}A ab a b a b b a b a =------。 （5）{0,1,2,},{0,1,2,3,4},{3,4,}S A B ===L L 。 2．设,,A B C 是随机试验E 的三个事件，试用,,A B C 表示下列事件：
第1次作业 一、填空题 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： ⑴ A 发生，B 与C 不发生为 ABC ； ⑵ A 与B 都发生，而C 不发生为 ABC ； ⑶ A 、B 、C 中至少有一个发生为 A B C U U ； ⑷ A 、B 、C 都发生为 ABC ； ⑸ A 、B 、C 都不发生为 ABC ； ⑹ A 、B 、C 中不多于一个发生为 AB AC BC U U ； ⑺ A 、B 、C 中不多于两个发生为 A B C U U ； ⑻ A 、B 、C 中至少有两个发生为 AB AC BC U U 。 2.设{}1,2,3,4,5,6Ω=，{}2,3,4A =，{}3,5B =，{}4,6C =，那么A B =U {1,2,3,4,6} ，A B = {1,6} ，()A BC = Φ 。 二、选择题 1.设A 、B 为两个事件，则A B +=（ C ）。 A. A B + B. A B - C. AB D. AB 2.设A 、B 为两个事件，若A B ?，则下列结论中（ C ）恒成立。 A. A 、B 互斥 B. A 、B 互斥 C. A 、B 互斥 D. A 、B 互斥 3.用A 表示“甲产品畅销，乙产品滞销”，则A 表示（ C ）。 A. “甲产品滞销，乙产品畅销”； B. “甲、乙产品都畅销”； C. “甲产品滞销或乙产品畅销”； D. “甲、乙产品都滞销”。 三、计算题 1.写出下列随机试验的样本空间： ⑴ 记录一个小班一次数学考试的平均分数(设以百分制记分)； 0,1,,100i S i n n ?? ==? ??? L ，其中n 为小班人数； ⑵ 生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数； {}10,11,S =L ；
计数原理、概率、随机变量及其分布、统计、统计案例 第Ⅰ卷（选择题 共60分） 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知随机变量ξ服从正态分布N (1，σ2)，P (ξ≤4)＝，则P (ξ≤－2)＝( ) A ． B ． C ． D ． 2．以下茎叶图记录了甲、乙两组各五名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位：分) 已知甲组数据的平均数为17，乙组数据的中位数为17，则x ，y 的值分别为( ) A ．2,6 B ．2,7 C ．3,6 D ．3,7 3．将4个颜色互不相同的球全部收入编号为1和2的两个盒 子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( ) A ．10种 B ．20种 C ．36种 D ．52种 4．已知f (x )、g (x )都是定义在R 上的函数，g (x )≠0，f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )<0，fx gx ＝a x ，f 1g 1＋ f －1 g －1＝52，则关于x 的方程abx 2＋2x ＋5 2＝0(b ∈(0,1))有两个不同实根的概率为( ) 5．用0,1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为( ) A ．243 B ．252 C ．261 D ．279 6．四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论： ①y 与x 负相关且y ^ ＝－； ② y 与x 负相关且y ^ ＝－＋； ③y 与x 正相关且y ^ ＝＋； ④y 与x 正相关且y ^ ＝－－. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③
* 《概率论与数理统计》作业集及答案 第1章 概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H ﹑反面T 出现的情形. 样本空间是：S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是：S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A ：出现奇数点，则A= ；B ：数点大于2，则B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A ：第一次出现正面，则A= ； B ：两次出现同一面，则= ； C ：至少有一次出现正面，则C= . ? §1 .2 随机事件的运算 1. 设A 、B 、C 为三事件，用A 、B 、C 的运算关系表示下列各事件： (1)A 、B 、C 都不发生表示为： .(2)A 与B 都发生,而C 不发生表示为： . (3)A 与B 都不发生,而C 发生表示为： .(4)A 、B 、C 中最多二个发生表示为： . (5)A 、B 、C 中至少二个发生表示为： .(6)A 、B 、C 中不多于一个发生表示为： . 2. 设}42:{},31:{},50:{≤<=≤<=≤≤=x B x x A x x S ：则 （1）=?B A ，（2）=AB ，（3）=B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 \ §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知,3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. — §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则=?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中‘的概率相同。
概率论与数理统计练习题4答案
试卷答案 第 1 页 （共 9 页） 概率论与数理统计 练习题4答案 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、若P(A)=0.3，()0.1P AB =，则P(AB)=__________. 答案：0.2 2、每次试验的成功率为(01)p p <<，进行重复独立试验，直到第10次试验才取得4次试验成功的概率为( )。 A 、4 4610 (1)C p p - C 、3469(1)C p p - C 、4469(1)C p p - D 、336 9(1)C p p - 答案：B 3、若标准正态分布的函数0,1 () F x ，当x a =和x a =-时 相等,且0,1 (0.5)0.6915F =，则0,1() F a 的值是( )。 A 、0.6915 B 、0.5 C 、0 D 、0.3930 答案：B 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布，
试卷答案第 1 页（共 9 页）
试卷答案 第 1 页 （共 9 页） A 、 12 12223 4 ~(2) () X X t X X -+ B 1 22 1 ~(1) n i i n t n X =--∑ C 、 3 21 24 (1)3~(3, 3) i i n i i n X F n X ==--∑∑ D 122 21 2 ~(2) t X X + 答案：D 9、设1 2 ,,,n X X X ???是来自正态总体2 (,)N μσ的简单随机 样本，2 σ未知,X 是样本均值。 ()22 111n i i s X X n ==--∑若用 X k X k n n ?-+ ? 作为μ的1α-置信区间，则k 应取正 态分布的分位数( )。 A 、12 1.96, u α- =或t 分布的分位数 B 、()11t n α -- C 、 1 t α - D 、1 2 (1) t n α-- 答案：D 10、当正态总体X 的方差2 ()D X σ=未知,检验期望 EX μ=用的统计量是( )。 A () ()02 21(1) n k k x n n x x μ=--?? - ??? ∑ B 、 ()()01 2 21n k k x n x x μ=-?? - ??? ∑
习题三 1.将一硬币抛掷三次，以X 表示在三次中出现正面的次数，以Y 表示三次中出现正面次数与 出现反面次数之差的绝对值.试写出X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 222??222 ??= 2.盒子里装有3只黑球、2只红球、2只白球，在其中任取4只球，以X 表示取到黑球的只数，以Y 表示取到红球的只数.求X 和Y 的联合分布律. 【解】X 和Y 的联合分布律如表： 324 C 35= 32 4 C 35= 322 4 C 35= 11322 4 C C 12C 35=132 4 C 2C 35 = 21322 4 C C 6C 35 = 2324 C 3 C 35 = 3.设二维随机变量（X ，Y ）的联合分布函数为 F （x ，y ）=?????≤ ≤≤≤., 020,20,sin sin 其他ππy x y x 求二维随机变量（X ，Y ）在长方形域? ?? ? ??≤<≤<36,40πππy x 内的概率. 【解】如图πππ {0,}(3.2)463 P X Y <≤ <≤公式 ππππππ(,)(,)(0,)(0,)434636 F F F F --+
ππππππ sin sin sin sin sin0sin sin0sin 434636 2 (31). 4 =--+ =- 题3图 说明：也可先求出密度函数，再求概率。 4.设随机变量（X，Y）的分布密度 f（x，y）= ? ? ?> > + - . ,0 ,0 ,0 ,)4 3( 其他 y x A y x e 求：（1）常数A； （2）随机变量（X，Y）的分布函数； （3）P{0≤X<1，0≤Y<2}. 【解】（1）由-(34) 00 (,)d d e d d1 12 x y A f x y x y A x y +∞+∞+∞+∞ + -∞-∞ === ???? 得A=12 （2）由定义，有 (,)(,)d d y x F x y f u v u v -∞-∞ =?? (34)34 00 12e d d(1e)(1e)0,0, 0, 0, y y u v x y u v y x -+-- ??-->> ? == ?? ? ?? ?? 其他 (3) {01,02} P X Y ≤<≤< 12(34)38 00 {01,02} 12e d d(1e)(1e)0.9499. x y P X Y x y -+-- =<≤<≤ ==--≈ ?? 5.设随机变量（X，Y）的概率密度为 f（x，y）= ? ? ?< < < < - - . ,0 ,4 2,2 ), 6( 其他 y x y x k
1 .掷一颗均匀骰子，设A表示所掷结果为“四点或五点”，B表示所 P(A)和P(B)。 2.货架上有外观相同的商品15件，其中12件来自甲产地，3件来自乙产地。先从15件商品中随机的抽取两件，求这两件商品来自同一产地的概率。 3.一批灯泡共100只，其中10只是次品，其余是正品。作不放回抽取，每次取一只，求第三次取到正品的概率。 4.8只步枪中有5只已校准过，3只未校准。一名射手用校准过的枪射击时，中靶的概率为0.8；用未校准的枪射击时，中靶的概率为0.3.现从8只步枪中任取一只用于射击，结果中靶。求所用的枪是校准过的概率。 5.甲乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别是0.9和0.8。求每人射击一次后，目标被射中的概率。 6.写出下列随机试验的样本空间：（2)掷一颗均匀的骰子两次，观察前后两次出现的点数之和；（3）观察某医院一天内前来就诊的人数；（5)检查两件产品是否合格； 7.设A,B,C为三事件，用A,B,C的运算关系表示下列各事件： （1）A与B都发生,但C 不发生； （2）A发生，且B与C 至少有一个发生； （3）A,B,C 中至少有一个发生； （4）A,B,C 中恰有一个发生； （5）A,B,C中至少有两个发生；
（6）A,B,C中至多有一个发生； （7）A,B,C中至多有两个发生； （8）A,B,C中恰有两个发生； 8.若W表示昆虫出现残翅，E表示昆虫有退化性眼睛，且P(W)=0.125,P(E)=0.075,P(WE)=0.025,求下列事件的概率： （1）昆虫出现残翅或退化性眼睛； （2）昆虫出现残翅，但没有退化性眼睛； （3）昆虫未出现残翅，也无退化性眼睛； 9.计算下列各题： （1)设P(A)=0.5,P(B)=0.3,P(AB）=0.6,求P(AˉB); （2)设P(A)=0.8,P(A-B)=0.3,求P(ˉAB）； 10.掷一颗均匀的骰子两次，求前后两次出现的点数之和为3，4，5的概率各是多少？ 11.在整数0，1，2....9中任取三个数，求下列事件的概率： （1）三个数中最小的一个是5； （2）三个数中最大的一个是5； 13.12个乒乓球中有4只是白色的，8只是黄色的。现从这12只乒乓球中随机的取出两只，求下列事件的概率： （1）取到两只黄球；（2）取到两只白球；（3）取到一只白球，一只黄球。 14.已知P(A)=0.7,P(B)=0.4 ,P(AˉB)=0.5,求P(AuB|B). 15.已知P(A)=0.6,P(B)=0.4 ,P(A|B)=0.5，计算下列二式：
数学高考《计数原理与概率统计》复习资料 一、选择题 1．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3 C ．0.58 D ．0.958 【答案】D 【解析】 分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可. 详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ． 点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要. 2．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种 【答案】C 【解析】 【分析】 给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】 甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区， 则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1 3 43C C ?； 第2社区2个、第3社区安排2个，共22 42C C ?； 第2社区3个，第3社区安排1个，共11 41C C ?； 故所有安排总数为132211 4342413()42C C C C C C ??+?+?=. 故选：C.
概率论与数理统计练习题 一、填空题 1、设A 、B 为随机事件，且P (A)=，P (B)=，P (B A)=，则P (A+B)=__ __。 2、θθθ是常数21? ,?的两个 无偏 估计量，若)? ()?(21θθD D <，则称1?θ比2?θ有效。 3、设A 、B 为随机事件，且P (A )=, P (B )=, P (A ∪B )=，则P (B A )=。 4. 设随机变量X 服从[0,2]上的均匀分布，Y =2X +1，则D (Y )= 4/3 。 5. 设随机变量X 的概率密度是： ?? ?<<=其他 103)(2 x x x f ，且{}784 .0=≥αX P ，则α= 。 6. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?????≤≤≤≤=其他 , 010,20, 2 3 ),(2y x xy y x f ，则 E (Y )= 3/4 。 7. 若随机变量X ～N (1，4)，Y ～N (2，9)，且X 与Y 相互独立。设Z ＝X －Y ＋3，则Z ～ N (2, 13) 。 * 8. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=，P (A －B)=，则=?)(B A P 。 9. 设随机变量X ~ N (1, 4)，已知Φ=，Φ=，则{}=<2X P 。 10. 随机变量X 的概率密度函数1 22 1 )(-+-= x x e x f π ，则E (X )= 1 。 11. 已知随机向量（X ，Y ）的联合密度函数 ?? ?≤≤≤≤=其他 , 010,20, ),(y x xy y x f ，则 E (X )= 4/3 。 12. 设A ，B 为随机事件，且P (A)=, P (AB)= P (B A ), 则P (B )= 。 13. 设随机变量),(~2σμN X ，其密度函数6 4 4261)(+-- = x x e x f π ，则μ= 2 。 14. 设随机变量X 的数学期望EX 和方差DX >0都存在，令DX EX X Y /)(-=，则D Y= 1 。 15. 随机变量X 与Y 相互独立，且D (X )=4，D (Y )=2，则D (3X －2Y )＝ 44。 16. 三个人独立地向某一目标进行射击，已知各人能击中的概率分别为3 1 ,41,51，则目标能被击中 的概率是3/5 。 17. 设随机变量X ～N (2，2σ)，且P {2 < X <4}＝，则P {X < 0}＝ 。 ！ 18. 设随机变量X 的概率分布为5.0)3(,3.0)2(,2.0)1(======X P X P X P ，则X 的期望
习题2参考答案 X 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 P 1/36 1/18 1/12 1/9 5/36 1/6 5/36 1/9 1/12 1/18 1/36 解：根据 1)(0 ==∑∞ =k k X P ，得10 =∑∞ =-k k ae ，即111 1 =---e ae 。 故 1-=e a 解：用X 表示甲在两次投篮中所投中的次数，X~B(2, 用Y 表示乙在两次投篮中所投中的次数, Y~B(2, (1)两人投中的次数相同 P{X=Y}= P{X=0,Y=0}+ P{X=1,Y=1} +P{X=2,Y=2}= 1 1 2 2 020********* 2222220.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.3124C C C C C C ?+?+?=(2)甲比乙投中的次数多 P{X>Y}= P{X=1,Y=0}+ P{X=2,Y=0} +P{X=2,Y=1}= 1 2 2 1 110220022011222222 0.70.30.40.60.70.30.40.60.70.30.40.60.5628C C C C C C ?+?+?=解:（1）P{1≤X ≤3}= P{X=1}+ P{X=2}+ P{X=3}=12321515155 ++= (2)P{ 解：（1）P{X=2,4,6,…}=246211112222k +++L =11[1()] 14 41314 k k lim →∞-=- （2）P{X ≥3}=1―P{X<3}=1―P{X=1}- P{X=2}=111 1244 --= 解：设i A 表示第i 次取出的是次品，X 的所有可能取值为0，1，2 12341213124123{0}{}()(|)(|)(|)P X P A A A A P A P A A P A A A P A A A A ====18171615122019181719 ???= 1123412342341234{1}{}{}{}{} 2181716182171618182161817162322019181720191817201918172019181795 P X P A A A A P A A A A P A A A A P A A A A ==+++=???+???+???+???= 12323 {2}1{0}{1}1199595 P X P X P X ==-=-==- -= 解：(1)设X 表示4次独立试验中A 发生的次数，则X~B(4, 34 314044(3)(3)(4)0.40.60.40.60.1792P X P X P X C C ≥==+==+= (2)设Y 表示5次独立试验中A 发生的次数，则Y~B(5, 3 4 5 324150555(3)(3)(4)(5)0.40.60.40.60.40.60.31744P X P X P X P X C C C ≥==+=+==++= （1）X ～P(λ)=P ×3)= P 0 1.51.5{0}0! P X e -=== 1.5 e - （2）X ～P(λ)=P ×4)= P(2) 0122 222{2}1{0}{1}1130!1! P X P X P X e e e ---≥=-=-==--=- 第一阶段在线作业 第1题 您的答案:B 题目分数：0.５ 此题得分：0.5 批注：对立不是独立。两个集合互补。第２题 您的答案:D 题目分数：0．5 此题得分:0.5 批注:A发生，必然导致和事件发生。第３题 您的答案：B 题目分数:0.5 此题得分:0.５ 批注：分布函数的取值最大为1,最小为0. 第4题 您的答案:A 题目分数:０.５ 此题得分:0.5 批注：密度函数在【-1，1】区间积分。第5题 您的答案：Ａ 题目分数:0.5 此题得分：0.5 批注：A答案，包括了ＢC两种情况。 第６题 您的答案：A 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注:古典概型,等可能概型,16种总共的投法。第7题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分:0.5 批注:几何概型,前两次没有命中，且第三次命中,三次相互独立,概率相乘。 第８题 您的答案:D 题目分数:０.5 此题得分：0.5 批注：利用随机变量单调性函数的概率密度求解公式公式。中间有反函数求导数，加绝对值。第9题 您的答案：C 题目分数：0.５ 此题得分:0.5 批注：利用概率密度的性质，概率密度在相应范围上的积分值为1.验证四个区间。 第10题 您的答案：B 题目分数:０.5 此题得分:0.5 批注：利用分布函数的性质，包括分布函数的值域[0，1]当自变量趋向无穷时，分布函数取值应该是1.排除答案。 第1１题 您的答案:C 题目分数:0.5 此题得分：0．5 批注：利用上分位点的定义。 第12题 您的答案：B 题目分数：0.5 此题得分：0.５ 批注：利用和事件的公式,还有概率小于等于1.P（AB)小于等于P（C）。第13题 天津理工大学概率论与数理统计同步练习册答案详解 ————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2 第一章 随机变量 习题一 1、写出下列随机试验的样本空间 (1)同时掷三颗骰子，记录三颗骰子点数之和 Ω= { }1843,,,Λ (2)生产产品直到有10件正品为止，记录生产产品的总件数 Ω= { }Λ,,1110 (3)对某工厂出厂的产品进行检验，合格的记上“正品”，不合格的记上“次品”， 如连续查出2个次品就停止，或检查4个产品就停止检查，记录检查的结果。用“0”表示次品，用“1”表示正品。 Ω={111111101101011110111010110001100101010010000,,,,,,,,,,,} (4)在单位圆内任意取一点，记录它的坐标 Ω= }|),{(122<+y x y x (5)将一尺长的木棍折成三段，观察各段的长度 Ω=},,,|),,{(1000=++>>>z y x z y x z y x 其中z y x ,,分别表示第一、二、三段的长度 (6 ) .10只产品中有3只次品 ，每次从其中取一只(取后不放回) ，直到将3只次品都取出 ， 写出抽取次数的基本空间U = “在 ( 6 ) 中 ，改写有放回抽取” 写出抽取次数的基本空间U = 解: ( 1 ) U = { e3 ， e4 ，… e10 。} 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 …、 10 ( 2 ) U = { e3 ， e4 ，… } 其 中 ei 表 示 “ 抽 取 i 次 ” 的 事 件 。 i = 3、 4、 … 2、互不相容事件与对立事件的区别何在？说出下列各对事件的关系 (1)δ<-||a x 与δ≥-||a x 互不相容 (2)20>x 与20≤x 对立事件 (3)20>x 与18 概率与统计、计数原理专题分析 高中数学课程中的“统计与概率”部分被安排在必修3和选修2-3，历来被老师认为易教、被学生认为易学，一线教师大多走马观花一带而过，以便腾出时间深挖其他章节内容．2017年全国高考概率与我们如约而至，常规内容紧密结合社会实际，以现实生活为背景设置试题，体现数学在解决实际问题中的巨大作用和应用价值，体现高考改革中加强应用性、实贱性的特点．研宄近几年高考试卷中“统计与概率试题，被认为“送分题”分数送不出去的尴尬，引发深思，促使我们重新审视“统计与概率”内容，深感“简单”的内容不简单！ 一、专题考点分析 1.考点分析 2017年高考数学试题，概率与统计、计数原理部分考查的知识点覆盖面广，各卷考查知识点如下. （1）全国Ⅰ卷. 文科：样本的数字特征、几何概型、相关系数、方差均值计算； 理科：几何概型、二项式定理、正态分布、随机变量的期望和方差 （2）全国Ⅱ卷 文科：古典概型、频率分布直方图的应用； 理科：排列与组合、随机变量的期望、独立事件概率公式、独立性检验、频率分布直方图估计中位数. （3）全国Ⅲ卷. 文科：折线图、古典概型； 理科：折线图、离散型随机变量的分布列、数学期望 （4）北京卷. 文科：频率分布直方图的应用；理科：散点图的应用、古典概型、超几何分布、方差 （5）天津卷 文科：古典概型；理科：排列与组合、离散型随机变量的概率分布列及数学期望 （6）江苏卷 几何概型、分层抽样古典概型排列组合、随机变量及其分布、数学期望 （7）浙江卷 随机变量的期望和方差、二项式定理 （8）山东卷 文科：茎叶图、样本的数字特征、古典概型； 理科：回归直线方程、古典概型、随机变量的分布列与数学期望、超几何分布 2. 题量与分值分析 每年全国各地区的高考中都会有各种类型的概率题出现，分值占整套试卷总分的 8%～14%. 2017年各卷考查的题型及分值情况如下 （1）全国Ⅰ卷文、理科分别考查两道选择题和一道解答题，总分值均为22分 （2）全国Ⅱ卷文科考查一道选择题和一道解答题，总分值为17分；理科考查两道选择题和一道解答题，总分值为22分. （3）全国Ⅲ卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为17分. （4）北京卷文科考查一道解答题，分值为13分；理科考查一道填空题和一道解答题，总分值为18分. （5）天津卷文、理科分别考查一道选择题和一道解答题，总分值均为18分. （6）江苏卷考查两道填空题和一道解答题，总分值为20分. 第一章随机事件及其概率 1. 写出下列随机试验的样本空间： （1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标； （3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一汽车通过给定点的速度. 解所求的样本空间如下 （1）S= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）S= {(x, y)| x2+y2<1} （3）S= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）S= {v |v>0} 2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解所求的事件表示如下 3．在某小学的学生中任选一名，若事件A表示被选学生是男生，事件B表示该生是三年级学生，事件C表示该学生是运动员，则 （1）事件AB表示什么？ （2）在什么条件下ABC=C成立？ ?是正确的？ （3）在什么条件下关系式C B （4）在什么条件下A B =成立？ 解所求的事件表示如下 （1）事件AB表示该生是三年级男生，但不是运动员. （2）当全校运动员都是三年级男生时，ABC=C成立. ?是正确的. （3）当全校运动员都是三年级学生时，关系式C B （4）当全校女生都在三年级，并且三年级学生都是女生时，A B =成立. 4．设P (A )＝，P (A －B )＝，试求()P AB 解 由于 A ?B = A – AB , P (A )= 所以 P (A ?B ) = P (A ?AB ) = P (A )??P (AB ) = , 所以 P (AB )=, 故 ()P AB = 1? = . 5. 对事件A 、B 和C ，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝1 4 ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)= 1 8 求A 、B 、C 中至少有一个发生的概率. 解 由于,()0,?=ABC AB P AB 故P(ABC) = 0 则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC) 6. 设盒中有α只红球和b 只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率： A ＝{两球颜色相同}， B ＝{两球颜色不同}. 解 由题意，基本事件总数为2a b A +，有利于A 的事件数为2 2a b A A +，有利于B 的事件数为111111 2a b b a a b A A A A A A +=, 则 2 2 11 2 22()()a b a b a b a b A A A A P A P B A A +++== 单选 题(共 40 分) 1、在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） (C) A、在H0不成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 B、在H0不成立的条件下，经检验H0被接受的概率 C、在H0成立的条件下，经检验H0被拒绝的概率 D、在H0成立的条件下，经检验H0被接受的概率 2、设,AB是两个事件,且P(A)≤P(A|B),则有 (C) A、P(A)=P(A|B) B、P(B)>0 C、P(A|B)≥P(B) D、设,AB是两个事件 3、某中学为迎接建党九十周年,举行了”童心向党,从我做起”为主题的演讲比赛.经预赛,七、八年纪各有一名同学进入决赛,九年级有两名同学进入决赛,那么九年级同学获得前两名的概率是（ ）(A) A、1/6. B、1/5. C、1/4. D、1/3. 4、设,,ABC是三个相互独立的事件，且0 (十三) 计数原理、概率统计(理科)(样稿) 华南师范大学附中罗华张琪 A 组 (1) C22+C23+C24+…+C210= (A) 990 (B) 165 (C) 120 (D) 55 B (2)把3 个不同的小球随意地放入4 个不同的盒子内，则3 个小球恰在三个不同的盒子内的概率为 (A) 3 4(B) 4 5(C) 3 8(D) 7 16 C (3)某学校要派遣6位教师中的4位去参加一个学术会议，其中甲、乙两位教师不能同时参加，则派遣教师的不同方法数共有 A．7种 B．8种C．9种 D．10种 C (4)将3 种农作物都种植在如图的4 块试验田里，每块种植一种农作物，要求相邻的试验田不能种植同一种作物，则不同的种植方法共有几种 (A) 6 (B) 12 (C) 18 (D) 24 C C13C12(1+2) (5)四人报名参加跑步、跳高、和游泳比赛，每人限报一项，不同的报名结果有种？ 34 (6) (1 + x) 30的展开式中，系数最大的项是第__________项。 16； (7) 平面内有10个点，其中每3点不共线，以其中任意2个点为端点的线段有_________条，有向线段有_________条. C210=45 ; A210=90 (8) 某射手射击1次，击中目标的概率是0.9，他连续射击4次，且各次射击是否击中目标相互之间没有影响．有下列结论： ①他第3次击中目标的概率是0.9； ②他恰好击中目标3次的概率是0.93×0.1 ③他至少击中目标1次的概率是1－0.14 其中正确结论的序号是（写出所有正确结论的序号）． ①③ (9) 这是高考第一批录取的一份志愿表。有4所重点院校，每所院校有3个专业是你较为满 意的选择。若表格须填满且规定学校没有重复、同一学校的专业也没有重复的话。你将有种不同的填写方案？ 习题五 1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10 【解】令1,,0,i i X ?? ?若第个产品是合格品其他情形. 而至少要生产n 件，则i =1,2,…,n ,且 X 1，X 2，…，X n 独立同分布，p =P {X i =1}=. 现要求n ,使得 1 {0.760.84}0.9.n i i X P n =≤ ≤≥∑ 即 0.80.9n i X n P -≤≤≥∑ 由中心极限定理得 0.9,Φ-Φ≥ 整理得0.95,Φ≥?? 查表 1.64,10≥ n ≥, 故取n =269. 3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至少供应多少单位电能 才可以95%的概率保证不致因供电不足而影响生产. 【解】要确定最低的供应的电能量，应先确定此车间同时开动的机床数目最大值m ，而m 要满足200部机床中同时开动的机床数目不超过m 的概率为95%, 习题1.1解答 1. 将一枚均匀的硬币抛两次，事件C B A ,,分别表示“第一次出现正面”，“两次出现同一面”，“至少有一次出现正面”。试写出样本空间及事件C B A ,,中的样本点。 解：{=Ω(正，正)，（正，反），（反，正），（反，反）} {=A (正，正)，（正，反）}；{=B （正，正），（反，反）} {=C (正，正)，（正，反），（反，正）} 2. 在掷两颗骰子的试验中，事件D C B A ,,,分别表示“点数之和为偶数”，“点数之和小于5”，“点数相等”，“至少有一颗骰子的点数为3”。试写出样本空间及事件D C B A BC C A B A AB ---+,,,,中的样本点。 解：{})6,6(,),2,6(),1,6(,),6,2(,),2,2(),1,2(),6,1(,),2,1(),1,1( =Ω； {})1,3(),2,2(),3,1(),1,1(=AB ； {})1,2(),2,1(),6,6(),4,6(),2,6(,),5,1(),3,1(),1,1( =+B A ； Φ=C A ；{})2,2(),1,1(=BC ； {})4,6(),2,6(),1,5(),6,4(),2,4(),6,2(),4,2(),5,1(=---D C B A 3. 以C B A ,,分别表示某城市居民订阅日报、晚报和体育报。试用C B A ,,表示以下事件： （1）只订阅日报； （2）只订日报和晚报； （3）只订一种报； （4）正好订两种报； （5）至少订阅一种报； （6）不订阅任何报； （7）至多订阅一种报； （8）三种报纸都订阅； （9）三种报纸不全订阅。 解：（1）C B A ； （2）C AB ； （3）C B A C B A C B A ++； （4）BC A C B A C AB ++; （5）C B A ++； （6）C B A ； （7）C B A C B A C B A C B A +++或C B C A B A ++ （8）ABC ； （9）C B A ++ 4. 甲、乙、丙三人各射击一次，事件321,,A A A 分别表示甲、乙、丙射中。试说明下列事件所表示的结果：2A , 32A A +, 21A A , 21A A +, 321A A A , 313221A A A A A A ++. 解：甲未击中；乙和丙至少一人击中；甲和乙至多有一人击中或甲和乙至少有一人未击中；甲和乙都未击中；甲和乙击中而丙未击中；甲、乙、丙三人至少有两人击中。 5. 设事件C B A ,,满足Φ≠ABC ，试把下列事件表示为一些互不相容的事件的和：C B A ++，C AB +，AC B -. 解：如图：《概率论与数理统计》在线作业
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