题型一 子集与真子集
【例1】下列四个命题：①＝Φ｛0｝；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两
个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有（ ）
A ．0个
B ．1个
C ．2个
D ．3个
【例2】用适当的符号填空
⑴ {1}___2{|320}x x x -+=
⑵ {1,2}___2{|320}x x x -+=
⑶ {|2,}x x k k =∈N ___{|6,}x x ττ=∈N ⑷ ?___2{R |20}x x ∈+=
【例3】用适当的符号填空：
⑴ ___{0}? ⑵ 2___{(1,2)}
⑶ 0___2{|250}x x x -+= ⑷ {3,5}____2{|8150}x x x -+= ⑸ {3,5}___N
⑹ {|21,}___{|41,}x x n n x x k k =+∈=±∈Z Z ⑺
{(2,3)}___{(3,2)}
【例4】若集合{|1}X x x =>-，下列关系式中成立的为（ ）
A ．0X ?
B ．{}0X ∈
C ．X ?∈
D ．{}0X ?
【例5】用适当的符号填空
⑴{}()(){}3______|2,1,2____,|1x x x y y x =+≤ ⑵{}
25_______|23x x +≤+， ⑶{}31|,_______|0x x x x x x x ??
=∈-=????
R 【例6】下列说法中，正确的是（ ）
A ．任何一个集合必有两个子集；
B ．若,A B =?I 则,A B 中至少有一个为?
C ．任何集合必有一个真子集；
D ．若S 为全集，且,A B S =I 则A B S ==
【例7】已知集合2{,,2},{,,}A a a d a d B a aq aq =++=，其中0a ≠，且A B =，则q 等于
___．
【例8】设{|13},{|}A x x B x x a =-<<=>，若A
B ，则a 的取值范围是______
【例9】已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?，求m 的取值范围．
集合间的关系典例分析
【例10】设集合1
,,}22
{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B
关系的是（ ）.
【例11】若集合2{|20}M x x x =-->，{|10}T x mx =+<，且M T ?．求实数m 的取值
范围．
【例12】若集合{}{}2|60,|10M x x x N x ax =+-==-=，且N M ?，求实数a 的值. 【例13】已知集合A ＝{x |x 2－2x －8≤0，x ∈R }，B ＝{x |x 2－(2m －3)x ＋m 2－3m ≤0，x ∈
R ，m ∈R }，全集为R ，若A ??R B ，则实数m 的取值范围是
【例14】已知集合A ＝{}
20,,x x ax a x R a R -+<∈∈，Z ＝{}整数，全集为R ，若
}{0A Z R ??=，则实数a 的取值范围是 ．
【例15】已知,a b 均为实数，设数集41,53A x a x a B x b x b ??
??
=≤≤+=-
≤≤??????
??
，
且A 、B 都是集合{}
10≤≤x x 的子集.如果把n m -叫做集合{}
x m x n ≤≤的“长度”，那么集合A B ?的“长度”的最小值是 .
【例16】已知集合A ={a ,a +b ,a +2b }，B ={a ,ax ,ax 2}. 若A =B ，求实数x 的值.
题型二 子集的列举与个数
【例17】集合{1，2，3}的真子集共有（ ）
A 、5个
B 、6个
C 、7个
D 、8个
【例18】已知集合},3
sin
|{Z n n x x A ∈==π
，则集合A 的真子集的个数为 ．
【例19】已知集合A ＝｛x ｜ax 2＋2x ＋1＝0，a ∈R ，x ∈R ｝．
（1）若A 中只有一个元素，求a 的值，并求出这个元素；
（2）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．
【例20】求满足条件{1,2}A ?{1,2,3,4,5}的集合A 的个数 【例21】{,,}
a b c A {,,,,,}a b c d e f ，求满足条件的A 的个数．
【例22】集合{a,b,c}的所有子集是 真子集是 ；非空真子集是
A B
B
A A
B A B A ． B ．
C ．
D ．
【例23】同时满足{1}A {1,2,3,4,5}，且A 中所有元素之和为奇数的集合A 的个数（）
A. 5
B. 6
C. 7
D. 8
【例24】3、设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1
n i i a =∑叫做集合A 的和，记
作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P L 、、，则1
i
k
p i S =∑= ．
【例25】求集合{,}a b 的子集的个数，真子集的个数，非空真子集的个数，并推导出
{1,2,3,4,5,,100}L 的子集和真子集的个数．
【例26】（2010湖南文数）15.若规定E={}
1,210...a a a 的子集{}
12...,n k k k a a a 为E 的第k
个子集，其中k=12
11
222n k k k
--+++L ，则
（1）{}
1,3,a a 是E 的第 个子集； （2）E 的第211个子集是_______
【例27】求集合{1,2,3,,100}M =L 的所有子集的元素之和的和（规定空集的元素和为
零）．
【例28】（2006上海模拟）
设S 为满足下列两个条件的实数所构成的集合：①1S ?，②若a S ∈，则1
1S a
∈-．求解下列问题： ⑴若数列{2(1)}n ?-中的项都在S 中，求S 中所含元素个数最少的集合S *；
⑵S 中所含元素个数一定是3()n n *∈N 个吗?若是，请给出证明；若不是，请说明理由．
【例29】集合S ={0，1，2，3，4，5}，A 是S 的一个子集，当x ∈A 时，若有x -1?A 且
x +1?A ，则称x 为A 的一个“孤立元素”，写出S 中所有无“孤立元素”的4元子集.