第二章 分离变量法
§2.1 有界弦的自由振动
为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。
讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题：
22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u
u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤???
这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。
这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω=
的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式
(,)()()u x t X x T t =
的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。
由(,)()()u x t X x T t =得
2222()(),()()u u X x T t X x T t x t
??''''==?? 代入方程（2.1）得
2()()()()X x T t a X x T t ''''=
或
2()()()()
X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有
2()()()()
X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程：
2()()0T t a T t λ''+= （2.4）
()()0X x X x λ''+= （2.5）
再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有
(0)()0,()()0X T t X l T t ==
但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
为平凡解，显然不是我们所要求的。所以，
(0)()0X X l == （2.6）
因此，要求方程（2.1）满足条件（2.2）的变量分离形式的解，就先要从下列常微分方程的边值问题
()()0(0)()0
X x X x X X l λ''+=??==? 中解出X (x )。
现在来求非零解X (x )，但要求出X (x )并不是一个简单的问题，因为方程（2.5）中含有一个待定常数λ，所以既要确定λ取何值时方程（2.5）才有满足条件（2.6）的非零解，又要求出这个非零解X (x )。这样的问题称为常微分方程（2.5）在条件（2.6）下的特征值问题，使问题（2.5），（2.6）有非零解的λ称为称为该问题的特征值，相应的非零解X (x )称为它的特征函数。下面对λ分三种情况来讨论。
1°设λ<0，此时方程（2.5）的通解为
()X x Be =+
由条件（2.6）得
0A B +=
0Be +=
解出A ，B 得
0A B ==
即X (x ) ≡0，不符合非零解得要求，因此λ不能小于零。
2°设λ＝0，此时方程（2.5）的通解为
()X x Ax B =+
由条件（2.6）还是得A ＝B ＝0，所以λ也不能等于零。
3°设λ>0，并令λ＝β2, β为非零实数。此时方程（2.5）得通解为
()cos sin X x A x B x ββ=+
由条件（2.6）得
0sin 0
A B l β== 由于B 不能为零（否则X (x ) ≡0），所以sin βl ＝0，即
(1,2,3,)n n l
πβ== （n 为负整数可以不必考虑，因为例如n ＝－2，2sin
B x l π-实际上还是2sin B x l
π'的形式）从而 22
2n l
πλ= （2.7） 这样，就求出了特征值问题（2.5），（2.6）的一系列特征值及相应得特征函数：
22
2(1,2,3,)n n n l
πλ== ()sin (1,2,3,)n n n X x B x n l
π== （2.8） 确定了λ的值后，再来求函数T （t ），以（2.7）式中的λ值代入方程（2.4）中得
222
2
()()0n n a n T t T t l π''+= 显然，其通解为
()cos sin (1,2,3,)n n n n at n at T t C D n l l
ππ''=+= （2.9） 于是由（2.8），（2.9）得到满足方程（2.1）及边界条件（2.2）得一组
变量被分解得特解
(,)(cos sin )sin n n n n at n at n x u x t C D l l l
πππ=+ （2.10） 其中,n n n
n n n C B C D B D ''==是任意常数。至此，我们的第一步工作已经完成，求出了既满足方程（2.1）又满足边界条件（2.2）的无穷多个特解。为了求原定解问题的解，还需要满足条件（2.3）。由（2.10）式所确定的一组函数虽然已经满足方程（2.1）及条件（2.2），但不一定满足初始条件（2.3）。为了求出原问题的解，首先将（2.10）中所有函数u n (x ,t )叠加起来：
11(,)(,)(cos
sin )sin n n n n n n a n a n u x t u x t C t D t x l l l
πππ∞∞====+∑∑ (2.11) 由叠加原理可知，如果（2.11）右端的无穷级数是收敛的，而且关于x ，t 都能逐项微分两次，则它的和u (x ,t )也满足（2.1）和条件（2.2）。现在要适当选择C n ，D n ，使函数u (x ,t )也满足也满足初始条件（2.3），为此必须有
01(,)(,0)sin
()t n n n u x t u x C x x l
π?∞=====∑ 01sin ()t n
n u
n a n D x x t l l
ππψ∞==?==?∑ 因为φ(x ),ψ(x )是定义在[0,l ]上的函数，所以只要选取C n 为φ(x )的Fourier 正弦级数展开式的系数，n
n a D l
π为ψ(x )的Fourier 正弦级数展开式的系数，也就是说
002()sin 2()sin l n l n n C x xdx l l n D x xdx n a l π?πψπ?=????=???? （2.12）
初始条件（2.3）就能满足。以（2.12）所确定的C n ，D n 代入（2.11）式，即得原定解问题的解。
当然如上所述，要使（2.11）式所确定得函数u (x ,t )确实是（2.1～
2.3）的解，除了其中的系数C n ，D n 满足（2.12）外，还要求这样得到的级数收敛，并且能够对x ,t 逐项微分两次。这些要求只要对φ(x ),ψ(x )附加一些条件就能满足。可以证明：如果φ(x )三次连续可微，ψ(x )二次连续可微，且(0)()(0)()(0)()0l l l ????ψψ''''======，则（2.1～2.3）的解存在，并且这个解可以用（2.11）给出，其中系数C n ，D n 由（2.12）式确定。
需要指出的是，当φ(x ),ψ(x )不满足这里所述的条件时，由（2.11～2.12）所确定的函数u (x ,t )不具备古典解的要求，它只能是原定解问题的一个形式解。由实变函数的理论可知，只要φ(x ),ψ(x )在[0,l ]上是L 2可积的，函数列
1
()sin
n n n k k x C x l π?==∑ 1
()sin n n k k k a k x D x l l ππψ==∑ 分别平均收敛[即按L 2中的“距离”（范数）收敛]于φ(x ),ψ(x )，其中C k ，D k 由（2.12）确定。
如果将初始条件（2.3）代之以00(),()t n t n u u
x x t ?ψ==?==?，则相应的定解问题的解为
1(,)(cos
sin )sin n n k k k k a k a k S x t C t D t x l l l
πππ==+∑ 当n →∞时，它平均收敛于（2.11）所给的形式解u (x ,t )。由于S n (x ,t )
既满足方程（2.1）及边界条件（2.2），有近似地满足初始条件（2.3），所以，当n 很大时，可以把S n (x ,t )看成是原问题的近似解。所谓近似平均收敛的极限u (x ,t )，具有实际意义。
从上面的运算过程可以看出，用分离变量法求解定解问题的关键步骤是确定特征函数与运动叠加原理，这些运算之所以能够进行，就是因为偏微分方程与边界条件都是齐次的，这一点一定要注意。
例1 设有一根长为10个单位的弦，两端固定，初速度为零，初始位移为(10)()1000
x x x ?-=，求弦作微小横向振动时的位移。 解 设位移函数为u (x ,t )，它是定解问题
2222201000,010,0 0,0,0 (10),0,010 1000x x t t u u a x t t x u u t x x u
u x t ====???=<<>?????==>??-??==≤≤???
的解。这时l ＝10，并给定210000a =（这个数字与弦的材料，张力有关）。
显然，这个问题的Fourier 级数形式解可由（2.11）给出，其系数按（2.12）式为
0n D =
10330330,12(10)sin (1cos )450001055n n n C x x xdx n n n n ππππ??=-=-=???
?为偶数，当为奇数 因此，所求的解为
3304
1(21)(,)sin cos10(21)5(21)10
n n x u x t n t n πππ∞=+=++∑ 例2 解定解问题
222220200,0,0 0,0,0 2,0,0 x x l t t u u a x l t t x u u t x u u x lx x l t ====???=<<>??????==>?????=-=≤≤???
解 这里所考虑的方程仍是（2.1），所不同的只是在x ＝l 这一端的边界条件不是第一类齐次边界条件0x l u
==，而是第二类齐次边界条件0x l u
x =?=?。因此，通过分离变量的步骤后，仍得到方程（2.4）与（2.5）2()()0T t a T t λ''+=，()()0X x X x λ''+=，但条件（2.6）应代之以
(0)()0X X l '== （ 2.6）′
相应特征值问题为求
()()0(0)()0X x X x X X l λ''+=??'==?
（2.5） 的非零解。
重复前面的讨论可知，只有当λ＝β2>0时，上述特征值问题才有非零解，此时（2.5）的通解仍为
()cos sin X x A x B x ββ=+
代入条件（2.6）′得
0cos 0A B l β=??=?
由于B ≠0，故cos βl ＝0，即
(21)(0,1,2,3,)2n n l
πβ+== 从而求得了一系列特征值与特征函数
22
2
(21)4n n l πλ+=
(21)()sin (0,1,2,3,)2n n n X x B x n l
π+== 与这些特征值相对应的方程（2.4）的通解为
(21)(21)()cos sin (0,1,2,3,)22n n n n at n at T t C D n l l
ππ++''=+= 于是，所求定解问题的解可表示为
0(21)(21)(21)(,)(cos
sin )sin 222n n n n a n a n u x t C t D t x l l l
πππ∞=+++=+∑ 利用初始条件确定其中的任意常数C n ，D n ，得
0n D =
223302(21)32(2)sin 2(21)l n n l C x lx xdx l l n ππ
+=-=-+? 故所求解为
2
330321(21)(21)(,)cos sin (21)22n l n a n u x t t x n l l πππ∞
=++=-+∑ 为加深理解，下面扼要分析一下级数形式解（2.11）得物理意义。先分析一下级数中每一项
(,)(cos sin )sin n n n n at n at n x u x t C D l l l
πππ=+ 的物理意义。分析的方法时：先固定时间t ，看看在任一指定时刻波是什么形状；再固定弦上一点，看看该点的振动规律。
把括号内的式子改变一下形式，可得
(,)cos()sin n n n n n x u x t A t l
πωθ=-
其中n A =n n a l πω=，arctan n n n
D C θ=。 当时间t 取定值t 0时，得
0(,)sin n n n x u x t A l
π'=
其中0cos()n
n n n A A t ωθ'=-是一个定值。这表示再任一时刻，波0(,)n u x t 的形状都是一些正弦曲线，只是它的振幅随时间的改变而改变。
当弦上点的横坐标x 取定值x 0时，得
0(,)cos()n n n n u x t B t ωθ=- 其中0sin n n n B A x l
π=是一个定值。这说明弦上以x 0为横坐标得点作简谐振动，其振幅为B n ，角频率为ωn ，初位相位θn 。若取x 为另外一个定值时，情况也一样，只是振幅B n 不同。所以u n (x ,t )表示这样一个振动波：在考察得弦上各点以同样的角频率ωn 作简谐振动，各点处的初位相也相同，而各点的振幅这随点的位置改变而改变，此振动波在任一时刻的外形是一正弦曲线。
这种振动波还有一个特点，即在[0,l ]范围内还有n +1个点（包括端点）永远保持不动，这是因为在(0,1,2,,)m ml x m n n =
= 那些点上，sin sin 0m n x m l
ππ==的缘故。这些点在物理上称为节点。这就说明u n (x ,t )的振动是在[0,l ]上的分段振动，其中有n +1个节点，人们把这种包含节点的振动波叫做驻波。另外驻波还在n 个点处振幅达到最大值，这种使振幅达到最大值的点叫做腹点。图2.1画出了在某一时刻n ＝1，2，3的驻波情形。
综上所述，可知u 1(x ,t )，u 2(x ,t )，… u n (x ,t ),…是一系列驻波，它们的频率、位相与振幅都随n 不同而不同。因此我们可以说，一维波动方程用分离变量法解出的结果u (x ,t )是由一系列驻波叠加而成的，而每一个驻波的波形由特征函数确定，它的频率由特征值确定。这完全符合实际情况，因为人们在考察弦的振动时，就发现许多驻波，它们
的叠加又可以构成各种各样的波形，因此很自然地会想到用驻波的叠加表示弦振动方程的解。这就是分离变量法的物理背景，所以分离变量法也称为驻波法。
§2.2 有限长杆上的热传导
设有一均匀细杆，长为l ，两端点的坐标分别为x ＝0与x ＝l ，杆的侧面是绝热的，且在端点x ＝0处的温度是零摄氏度，而在另一端x ＝l 处杆的热量是自由散发到周围温度是零度的介质中去（参考第一章§1.2中第三类边界条件，并注意在杆的x ＝l 端的截面上，外法线方向就是x 轴的正方向），已知初始温度分布为φ（x ）。求杆上的温度变化规律，也就是要考虑下列定解问题：
222,0,0, (2.13)(,)(0,)0,(,)0,0, (2.14)(,0)(),0, (2.15)u u a x l t t x u l t u t hu l t t x u x x x l ????=<<>??????=+=>???=≤≤???
我们仍用分离变量法来解决这个问题。首先求出满足边界条件而且是变量被分离形式的特解，设
(,)()()u x t X x T t =
代入方程（2.13）得
22()()()()
T t X x a T t X x β'''==- （2.16） 从而得到两个线性常微分方程
22()()0T t a T t β'+= （2.16）′
2()()0X x X x β''+= （2.16）″
解方程（2.16）″得
()cos sin X x A x B x ββ=+
由边界条件（2.14）可知
(0)0,()()0X X l hX l '=+=
（2.17） 从X (0)=0得A =0,从()()0X l hX l '+=得
cos sin 0l h l βββ+= （2.17）′
为了求出β，方程（2.17）′可改写成
tan γαγ= （2.18） 其中1,l hl
γβα==-。方程（2.18）的根可以看作是曲线1tan y γ=与直线2y αγ=交点的横坐标（图2.2）
，显然它们的交点有无穷多个，于是方程（2.18）有无穷多个根，由这些根可以确定出特征值β2，设方程（2.18）的无穷多个正根（不取负根是因为负根与正根只差一个符号（图2.2），再根据§2.1中说述的同样理由）为
123,,,,,n γγγγ
于是得到特征值问题（2.16）″，（2.17）的无穷多个特征值
2222
221212222,,,,n n l l l γγγβββ===
及相应的特征函数
()sin n n n X x B x β= （2.19）
再由（2.16）′解得
22
()n a t n n T t A e β-=
（2.20） 由（2.19），（2.20）两式，我们得到方程（2.13）满足边界条件（2.14）
的一组特解
22
(,)()()sin (1,2,3,)n a t n n n n n u x t X x T t C e x n ββ-===
（2.21） 其中n n n C A B =。
由于方程（2.13）与边界条件（2.14）都是齐次的，所以
2211(,)(,)sin n a t n n n n n u x t u x t C e x ββ∞∞-====∑∑
（2.22） 仍满足方程与边界条件。最后考虑u (x ,t )能否满足初始条件（2.15），从（2.22）式得
1(,0)sin n n n u x C x β∞
==∑
现在希望它等于已知函数φ(x )，那么首先要问在[0,l ]上定义得函数φ(x )能否展开为1sin n n n C x β∞
=∑的级数形式，其次要问题系数C n 如何确
定。关于前者，只要φ(x ) 在[0,l ]上满足可以展成Fourier 级数的条件就行了，现在主要谈求系数的问题。回忆Fourier 系数的公式的得来是根据函数系的正交性，所以现在也要考虑函数系{}sin n x β在[0,l ]上的正交性。不难证明（也可以从§2.6中的一般结论得知）
0sin sin 0,l m n x x m n ββ=≠?
令 20sin l n n L xdx β=?，
于是在
1()sin n n n x C x ?β∞
==∑ （2.23）
的两端乘上sin k x β，然后在[0,l ]上积分得
0()sin l k k k x xdx L C ?β=?
即 01
()sin l
k k k C x xdx L ?β=?。 （2.24） 把（2.24）代入（2.22）式即得原定解问题的解。
当然，这样求出的函数u (x ,t )仍是形式解，要想它确实是（2.23～
2.15）的解，还必须对φ(x )加上一定的光滑性和相容性条件。 通过上面两节的讨论，我们对分离变量法已经有了一个初步的了解，它的主要步骤大体为：
一、首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题，这对线性齐次偏微分方程来说是可以做到的。
二、确定特征值与特征函数。由于特征函数是要经过叠加的，所以确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常微分方程满足零边界条件的非零解。
三、定出特征值、特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数相乘成为u n (x ,t )，这时u n (x ,t )中还包含着任意常数。
四、最后为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的u n (x ,t )叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的条件确定。在这最后一步的工作中，需要把已知函数展开为特征函数项的级数，这种展开的合理性，将在§2.6中讨论。
由本节的例子还可以看出，用分离变量法求解第三类边界条件的定解问题时，只要边界条件都是齐次的，其过程与解第一类边界条件的定解问题是相同的，但在确定特征值时，一般来说是比较复杂的。
§2.3 圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题
一个半径为ρ0的薄圆盘，上下两面绝热，圆周边缘温度分布为
已知，求达到稳恒状态时圆盘内的温度分布。
在第一章讲过，热传导问题到达稳恒状态时温度分布与时间无关，应满足拉普拉斯方程
20u ?=
因为边界形状是个圆周，它在极坐标下的方程为ρ=ρ0，所以在极坐
标系下边界条件可表为
0()u f ρρθ==
既然边界条件用极坐标形式表示出来很简单，所以我们就在极坐标系下求解这个定解问题。为此，先将它表示成
2222011(),02 (2.25)(,)(),02 (2.26)u u u u f ρθπρρρρθρθθθπ?????=+≤≤??????=≤≤?
此外，因为自变量ρ，θ的取值范围分别是[0, ρ0]与[0,2π]，而
圆盘内部的温度绝不可能是无限的，特别是圆盘中心点的温度值应该是有限的，并且[ρ,θ]与[ρ,θ+2π]实际上表示同一点，温度应该相同，即应该有
(0,)u θ<+∞ （2.27）
(,)(,2)u u ρθρθπ=+ （2.28）
现在来求满足方程（2.25）及条件（2.26），（2.27），（2.28）的解。先令
(,)()()u R ρθρθ=Φ
代入方程（2.25）得
21
1
0R R R ρρ'''''Φ+Φ+Φ=
即 2R R R ρρ'''
''+Φ=-
Φ 令比值为常数λ即得两个常微分方程
0λ''Φ+Φ=
20R R R ρρλ'''+-=
再由条件（2.27）及（2.28）可得
(0)R <+∞
(2)()θπθΦ+=Φ （2.29）
这样一来，我们得到了两个常微分方程的定解问题
0(2)()
λθπθ''Φ+Φ=??Φ+=Φ? （2.30） 与
20(0)R R R R ρρλ'''?+-=??<+∞
?? （2.31） 先解哪一个呢？要看哪一个可以确定出特征值。由于条件（2.29）满足可加性（即所有满足（2.29）的函数叠加起来仍旧满足（2.29）），所以只能先解（2.30）。
采用与§2.1中同样的方法可以得到
当λ<0时，问题（2.30）无非零解；
当λ=0时，它的解为00()a θ'Φ=（常数）；
当λ>0时，取λ=β2,这时（2.30）的解为
()cos cos a b ββ
βθβθβθ''Φ=+
且为使()θΦ以2π为周期，β必须是整数n ，取n=1,2,3,…（自由取正整数的理由与§2.1相同），这可将上面得到的解表示成
()cos cos n n
n a n b n θθθ''Φ=+ 至此，我们已经定出了特征值问题（2.30）的特征值β2＝n 2，特征函数()n θΦ。接下来的问题是解问题（2.31）。其中的方程是Euler 方程，它的通解是
000ln R c d ρ=+，当0λ=；
n n n n n R c d ρρ-=+，当2(1,2,3,)n n λ== 。 为了保证(0)R <+∞，只有0(0,1,2,)n d n == ，即
(0,1,2,)n n n R c n ρ==
因此利用叠加原理，方程（2.25）满足条件（2.27），（2.28）的解可以表示为级数
01
(,)(cos sin )2n n n n a u a n b n ρθρθθ∞==++∑ （2.32） 此式中的02
a 就是00a c '；,n n a
b 分别是n n a
c '与n n b c '。最后为了确定系数,n n a b ，我们利用边界条件（2.26）得
001
()(cos sin )2n n n a f a n b n θρθθ∞=''=++∑ （2.33） 因此，00
0,,n n a a b ρρ''''就是()f θ的展开为Fourier 级数时的系数，即有 2002002001()1()cos 1()sin n n a f d a f n d a f n d πππθθπθθθρπθθθρπ?=???=?''??=?''?
??? （2.34） 将这些系数代入（2.32）式即得所求的解。
为了以后应用方便，我们还可以将解（2.32）写成另一种形式。为此，将（2.34）式说确定的系数经过简化后可得
2010
1
1(,)()[()cos ()]2n n u f t n t dt π
ρρθθπρ∞==+-∑? （2.35） 利用下面已知的恒等式
2
21111()cos ()(1)2212cos()n n k k n t k k t k
θθ∞=-+-=<--+∑， 可将（2.35）中解(,)u ρθ表达为
22200220001(,)()(02,)22cos()
u f t dt t π
ρρρθθπρρπρρρρθ-=≤≤<+--? （2.36） 公式（2.36）称为圆域内的泊松公式。它的作用在于把解写成了积分形式，这样便于理论上的研究。
例 解下列定解问题
022*******,,02cos ,02,u u u u A A ρρρρθπρρρρθθθπ=????++=<≤≤??????=≤≤?为常数
解 利用公式（2.34）并注意三角函数系的正交性，可得
100,,0(1)n n b a A a n ρ===≠
代入（2.32）即得所求的解为
0(,)cos A u ρ
ρθθρ=。
§2.4 非齐次方程的解法
前面讨论的偏微分方程都限于是齐次的，现在要讨论非齐次方程的解法。为方便起见，以弦的强迫振动为例，所用的方法对其他类型
的方程也适用。
我们研究的问题是一根弦在两端固定的情况下，受强迫力作用所产生的振动现象。即要考虑下列定解问题：
22222000(,),0,0 (2.37)0,0 (2.38)(),(),0 (2.39)x x l t t u u a f x t x l t t x u u t u
u x x x l t ?ψ====???=+<<>?????==>????==≤≤???
在现在的情况，弦的振动是由两部分干扰引起的，一是强迫力，一是初始状态，所以由物理意义可知，此时的振动可以看作为仅由强迫力引起的振动和仅由初始状态引起的振动的合成。
由此得到启发，我们可设解为
(,)(,)(,)U x t V x t W x t =+ （2.40）
其中(,)V x t 表示仅由强迫力引起弦振动的位移，它满足
22222000(,),0,00,0
0,0,0x x l t t V V a f x t x l t t x V V t V
V x l t ====???=+<<>?????==>????==≤≤???
（2.41） 而(,)W x t 表示仅由初始状态引起弦振动的位移，它满足
22222000,0,00,0
(),(),0x x l t t W W a x l t t x W W t W
W x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤???
（2.42） 不难验证，若V 是（2.41）的解，W 是（2.42）的解，这U ＝V +W 一定就是原定解问题的解。
问题（2.42）可以直接用分离变量法求解，因此现在的问题只要
讨论如何解问题（2.41）就行了。
关问题（2.41），我们可以采用类似于线性非齐次常微分方程中所常用的参数变易法，并保持如下的设想，即这个定解问题的解可分解为无穷多个驻波的叠加，而每个驻波的波形仍然由相应齐次方程通过分离变量所得的特征值问题的特征函数所决定。这就是说，我们假设（2.41）的解有如下的形式：
1(,)()sin
n n n V x t v t x l
π∞==∑ （2.43） 其中()n v t 是待定的函数。为了确定()n v t ，将自由项(,)f x t 也按特征函数系展开成如下的级数：
1(,)()sin
n n n f x t f t x l
π∞==∑ （2.44） 其中02()(,)sin l n n f t f x t xdx l l
π=?。 将（2.43）及（2.44）代入（2.41）的第一个式子，得到
22221[()()()]sin 0n n n n a n n v t v t f t x l l ππ∞
=''+-≡∑ （2.45） 由此可得
222
2()()()n n n a n v t v t f t l
π''+= 再将（2.43）代入（2.41）中的初始条件得
(0)0,(0)0n n
v v '==。 这样一来，确定函数()n v t 只需解下列定解问题
222
2()()(),0(0)0,(0)0, (1,2,)n n n n
n a n v t v t f t t l v v n π?''+=>???'===? （2.46）
<<电磁场与电磁波>>读书报告 姓 名： 学 院： 学 号： 专 业： 题 目:分离变量法在求静态场的解的应用 成 绩： 二〇一四年四月 Xxx 工程学院 电子工程类
一．引言 分离变量法是在数学物理方法中应用最广泛的一种方法。在求解电磁场与电磁波的分布型问题和边值型问题有很重要的应用。分布型问题是指已知场源（电荷分布、电流分布）直接计算空间各点和位函数。而边值型问题是指已知空间某给定区域的场源分布和该区域边界面上的位函数（或其法向导数），求场内位函数的分布。求解这两类问题可以归结为在给定边界条件下求解拉普拉斯方程或泊松方程，即求解边值问题。这类问题的解法，例如镜像法，分离变量法，复变函数法，格林函数法和有限差分法，都是很常用的解法。这里仅对在直角坐标系情况下的分离变量法作简单介绍。 二．内容 1.分离变量法的特点： 分离变量法是指把一个多变量的函数表示成几个单变量函数乘积，从而将偏微分方程分离为几个带分离常数的常微分方程的方法，属于解析法的一种。它要求要求所给边界与一个适当的坐标系的坐标面重合.在此坐标系中，待求偏微分方程的解可表示成三个函数的乘积，每一函数仅是一个坐标的函数。我们仅讨论直角坐标系中的分离变量法. 2.推导过程: 直角坐标系中的拉普拉斯方程： 222 222 0 x y z ??? ??? ++=??? 我们假设是三个函数的乘积,即
(,,)()()()x y z X x Y y Z z ?= 其中X 只是x 的函数,同时Y 是y 的函数Z 是z 的函数，将上式带入拉普拉斯方程，得 然后上式同时除以XYZ ，得 0X Y Z X Y Z '''''' ++= 上式成立的唯一条件是三项中每一项都是常数，故可分解为下列三个方程： 即 α,β,γ为分离常数，都是待定常数，与边值有关但不能全为实数或全为虚数 。 由上式得2220αβγ++=，下面以X ”/X =α2式为例，说明X 的形式与α的关系 当α2=0时，则 当α2 <0时，令α=jk x (k x 为正实数)，则 或 当α2 >0时，令α=k x ，则 或 a ，b ，c ，d 为积分常数，由边界条件决定Y(y)Z(z)的解和X(x)类似。 3解题步骤 1,2λα =±00 ()X x a x b =+12()x x jk x jk x X x b e b e -=+12()sin cos x x X x a k x a k x =+12()x x k x k x X x d e d e -=+12() s x x X x c hk x c chk x =+
第三章行波法与积分变换法 」 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 J 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 」 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 作如下代换; X at, X at 利用复合函数求导法则可得 同理可得 2 a 2(￡ 代入(1)可得 =0o u(x,t) F( ) G( ) F(X at) G(X at) 这里F,G 为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 F(X ) G(X ) (X ), aF (X ) aG (X ) (X ). X 2 u -2 )(」 2 2」 2 u ~2 先对求积分，再对 求积分，可得u(X,t)d 的一般形式 § 3.1 一维波动方程的达朗贝尔 (D 'alembert )公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题: 2 u 下 u 2 2 u a 2 ， X (X), u 0, (1) (X ),- (2) 2 ■4), (3)
由(3)第二式积分可得 1 X F(x) G(x) - 0 (t)dt C , a 0 利用(3)第一式可得 所以，我们有 1 1 x at u(x,t) [ (x at) (x at)] (t)dt 2 2a x at 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、 特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 AU xx 2BU xy CU yy DU x EU y Fu 0 称下常微分方程为其特征方程 A(dy)2 2Bdxdy C(dx)2 0。 由前面讨论知道，直线x at 常数为波动方程对应特征方程的积分曲线， 称为特征线。已知，左行波F(x at)在特征线x at G 上取值为常数值F(CJ ， 右行波G(x at)在特征线x at C 2上取值为常数值G(C 2)，且这两个值随着特 征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换( 2)为特征 变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、 公式的物理意义 由 U(x,t) F (x at) G(x at) 其中F(x at)表示一个沿x 轴负方向传播的行波，G(x at)表示一个沿x 轴正方 向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。 四、 依赖区间、决定区域、影响区域 F(x) 1 2(X ) 2a (t)dt G(x) (x) 1 x 2a o (t)dt (4)
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><
其中A ，B 为积分常数，（7）代入（6）中边界条件，得 00 A B Ae +=???-+=?? （8） 由（8）得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故不可能有0λ<。 (2) 当0λ=时，（6）式中方程的通解是 ()X x Ax B =+ 由边界条件得A=B=0，得X （x ）=0，为平凡解，故也不可能有0λ=。 （3）当 02 >=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为 x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(212Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
2019年数学物理方程-第二章分离变量法.doc
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2．1.1 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵，A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （1.1） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（1.1）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（1.1）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （1.2） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（1.2）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或 , 1.i i i A T T i n λ=≤≤ （1.3） 上式说明，正交矩阵T 的每一列都是实对称矩阵A 的特征向量，并且这n 个特征向量是相互正交的. 由于此结论在一定意义下具有普遍性，我们以定理的形式给出. 定理1.1 设A 为一n 阶实对称矩阵，考虑以下特征值问题 ,n Ax x x R λ=∈， 则A 的所有特征值为实数，且存在n 个特征向量,1i T i n ≤≤，它们是相互正交的（正交性orthogonality ），可做为n R 的一组基（完备性completeness ）. 特征值问题在线性问题求解中具有重要的意义，下面举例说明之. 为简单起见，在下面两个例子中取A 为n 阶非奇异实矩阵，故A 的所有特征值非零，并且假设A 有n 个线性无关的特征向量,i T 相应的特征值为, 1i i n λ≤≤. 例1.1 设n b R ∈，求解线性方程组 Ax b =. 解 由于向量组{1}i T i n ≤≤线性无关，故可做为n R 的一组基. 将,x b 按此
§2.2 有限杆上的热传导 定解问题：一均匀细杆，长为l ，两端坐标为l x x == ,0。杆的侧面绝热，且在端点0=x 处温度为零，而在l x = 处杆的热量自由发散到周围温度为0的介质中。初始温度为)(x ?，求杆上的温度变化情况，即考虑下定解问题： .0 ),(u 0, ,0hu ,0u 0, l,0 ,0002 2 2l x x t x u t x x u a t u t l x x ≤≤=>=+??=><<=??-??===? 仍用分离变量法求解。此定解问题的边界条件为第三类边界条件。类似§2.1中步骤，设)()(),(t T x X t x u =，代入上面的方程可得 ?????=+=+?-==. 0)()(,0)()() ()()()( 2 ' '22'2 2'''x X x X t T a t T x T a x T x X x X βββ 从而可得通解 x B x A x X ββsin cos )(+= 由边界条件知 .0)()(,0)0('=+=l hX l X X 从而 ?? ???-=?=+=.tan 0sin cos , 0h l l h l A βββββ 令 αγ γαβγ=?- ==tan 1 ,hl l 上方程的解可以看作曲线γtan 1=y ，αγ=2y 交点的横坐标，显然他们有无穷多个，于是方程有无穷多个根。用下符号表示其无穷多个正根 ,,21n γγγ 于是得到特征值问题的无穷个特征值
1,2,3...) (n ,2 2 2== l n n γβ 及相应的特征函数 x B x X n n n βsin )(= 再由方程0)()(22'=+t T a t T β， 可得 t a n n n e A t T 2 2)(β-=， 从而我们得到满足边界条件的一组特解 x e C t x u n t a n n n ββsin ),(2 2-= 由于方程和边界条件是齐次的，所以 ∑∞ =-=1 sin ),(2 2n n t a n x e C t x u n ββ 仍满足此方程和边界条件。 下面研究一下其是否满足初始条件。 )(sin 1 x x C n n n ?β=∑∞ = 可以证明}{sin x n β在区域[0,l]上具有正交性，即 ?≠=l m n xdx x 0 n m ,0sin sin ββ 证明： ) )((sin cos cos sin ))((2)sin()()sin()( ) (2)sin()(2)sin( ))cos()(cos(2 1sin sin 00=+--- =+-+---+=++- --=--+- =??m n m n m n n m n m m n m n m n m n m n m n m n m n m n m n l m n m n l m n l l l l l l l l dx x x xdx x ββββββββββββββββββββββββββββββββββββ 完成。 令 ?=l n n n xdx x L 0 ,sin sin ββ 于是， ?= l n n n xdx x L C 0 sin )(1β ?
分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式 ()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式 ()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+=有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a <.22B a -≤≤.2C a <.2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第三章 行波法与积分变换法 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ? ? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 22 2 2 2 22 2))((,ηηξξηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2 2222222ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对η求积分，再对ξ求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知
). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x += -?0)(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得 .2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 二、特征方程、特征线及其应用 考虑一般的二阶偏微分方程 02=+++++Fu Eu Du Cu Bu Au y x yy xy xx 称下常微分方程为其特征方程 0)(2)(22=+-dx C Bdxdy dy A 。 由前面讨论知道，直线常数=±at x 为波动方程对应特征方程的积分曲线，称为特征线。已知，左行波)(at x F +在特征线1C at x =+上取值为常数值)(1C F ，右行波)(at x G -在特征线2C at x =-上取值为常数值)(2C G ，且这两个值随着特征线的移动而变化，实际上，波是沿着特征线方向传播的。称变换（2）为特征变换，因此行波法又称特征线法。 注：此方法可以推广的其他类型的问题。 三、公式的物理意义 由 )()(),(at x G at x F t x u -++= 其中)(at x F +表示一个沿x 轴负方向传播的行波， )(at x G -表示一个沿x 轴正方向传播的行波。达朗贝尔公式表明：弦上的任意扰动总是以行波形式分别向两个 方向传播出去，其传播速度为a 。因此此法称为行波法。
七、分离变量法 分离变量法是近年来发展较快的思想方法之一.高考数学试题中，求参数的范围常常与分类讨论、方程的根与零点等基本思想方法相联系.其中与二次函数相关的充分体现数形结合及分类思想方法的题目最为常见.与二次函数有关的求解参数的题目, 相当一部分题目都可以避开二次函数,使用分离变量,使得做题的正确率大大提高.随着分离变量的广泛使用,越来越多的压轴题都需要使用该思想方法. 分离变量法：是通过将两个变量构成的不等式(方程)变形到不等号(等号)两端，使两端变量各自相同,解决有关不等式恒成立、不等式存在（有）解和方程有解中参数取值范围的一种方法.两个变量，其中一个范围已知，另一个范围未知. 解决问题的关键: 分离变量之后将问题转化为求函数的最值或值域的问题.分离变量后，对于不同问题我们有不同的理论依据可以遵循.以下定理均为已知x 的范围，求a 的范围： 定理1 不等式()()f x g a ≥恒成立?[]min ()()f x g a ≥（求解()f x 的最小值）；不等式()()f x g a ≤恒成立?[]max ()()f x g a ≤（求解()f x 的最大值）. 定理2 不等式()()f x g a ≥存在解?[]max ()()f x g a ≥（求解()f x 的最大值）；不等式()()f x g a ≤存在解?[]min ()()f x g a ≤（即求解()f x 的最小值）. 定理3 方程()()f x g a =有解?()g a 的范围=()f x 的值域（求解()f x 的值域）. 解决问题时需要注意：（1）确定问题是恒成立、存在、方程有解中的哪一个；（2）确定是求最大值、最小值还是值域. 再现性题组： 1、已知当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立，求实数a 的取值范围。 2、若f(x)=2 33x x --在[1,4]x ∈-上有()21f x x a ≥+-恒成立，求a 的取值范围。 3、若f(x)=233x x --在[1,4]x ∈-上有2 ()251f x x a a ≥+--恒成立，求a 的取值范围。 4、若方程42210x x a -+= 有解，请求a 的取值范围 5、已知32 11132 y x ax x = -++是(0,)+∞上的单调递增函数，则a 的取值范围是（ ） .0A a < .22B a -≤≤ .2C a < .2D a ≤ 6、求使不等式],0[,cos sin π∈->x x x a 恒成立的实数a 的范围。 再现性题组答案： 1、解：原不等式4sin cos 25x x a ?+<-+当x ∈R 时，不等式a+cos2x<5-4sinx 恒成立max a+5>(4sinx+cos2x)?-，设f(x)=4sinx+cos2x 则 22f(x)= 4sinx+cos2x=2sin x+4sinx+1=2(sinx 1)+3 --- ∴a+5>3a<2-∴
第五讲补充常微分方程求解相关知识。
第二章 分离变量法 偏微分方程定解问题常用解法，分离变量法。 解常微分方程定解问题时，通常总是先求出微分方程的特解，由线性无关的特解叠加出通解，而后用定解条件定出叠加系数 一阶线性偏微分方程的求解问题，基本方法也是转化为一阶线性常微分方程组的求解问题 对于二阶以及更高阶的偏微分方程定解问题，情况有些不同：即使可以先求出通解，由于通解中含有待定函数，一般来说，很难直接根据定解条件定出，因此，通常的办法就是把它转化为常微分方程问题 （第六讲） §2.1 有界弦的自由振动 什么是分离变量法？使用分离变量法应具备那些条件？ 下面通过两端固定的弦的自由振动问题来说明。 定解问题：考虑长为l ，两端固定的弦的自由振动，其数理方程及定解条件为 .0 ),(u ),(u 0, ,0u ,0u 0, l,0 ,0 t 0022 222l x x x t t x x u a t u t t l x x ≤≤==>==><
第三章 分离变量法 3。2 基础训练 3.2.1 例题分析 例1 解下列定解问题： ???? ?????=??-==??=><=βλ时，上述固有值问题有非零解．此时式（6）的通解为
x B x A x X ββsin cos )(+= 代入条件（6）中边界条件，得 0cos ,0==l B A β 由于 0≠B ，故 0cos =l β，即 ),2,1,0(21 2Λ=+= n l n πβ 从而得到一系列固有值与固有函数 2 2 24)12(l n n πλ+= ),2,1,0(2)12(sin )(Λ=+=n x l n B x X n n π 与这些固有值相对应的方程（3）的通解为 ),2,1,0(2)12(sin 2)12(cos )(Λ=+'++'=n t l a n D t l a n C t T n n n ππ 于是，所求定解问题的解可表示为 x l n t l a n D t l a n C t x u n n n 2)12(sin 2)12(sin 2)12(cos ),(0πππ+??? ? ? +++=∑∞ = 利用初始条件确定其中的任意常数n n D C ,，得 0=n D 3 32 02)12(322)12(sin )2(2ππ+- =+-=?n l xdx l n lx x l C l n 故所求的解为 x l n t l a n n l t x u n 2)12(sin 2)12(cos )12(132),(0 3 3 2 π ππ++?+- =∑∞ = 例2 演奏琵琶是把弦的某一点向旁边拨开一小段距离，然后放手任其自由振动。设弦 长为l ，被拨开的点在弦长的0 1 n (0n 为正整数)处，拨开距离为h ，试求解弦的振动，即求解定解问题
第三章 行波法与积分变换法 (第十三讲 ) 分离变量法，它是求解有限区域内定解问题常用的一种方法。 行波法，是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法。 积分变换法，一个无界域上不受方程类型限制的方法。 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔（D ’alembert ）公式 一、达朗贝尔公式 考察如下Cauchy 问题： .- ),(u ),(u 0, ,- ,0t 02 2 222+∞<<∞==>+∞<<∞??=??==x x x t x x u a t u t t ψ? （1） 作如下代换; ?? ?-=+=at x at x ηξ, （2） 利用复合函数求导法则可得 222222 22))((,ηηξξ ηξηξη ξηηξξ??+???+??=??+????+??=????+??=????+????=??u u u u u x u u u x u x u x u 同理可得 ),2(2222222 2ηηξξ ??+???-??=??u u u a t u 代入（1）可得 η ξ???u 2＝0。 先对求积分，再对求积分，可得),(t x u d 的一般形式 )()()()(),(at x G at x F G F t x u -++=+=ηξ 这里G F ,为二阶连续可微的函数。再由初始条件可知 ). ()()(),()()(' ' x x aG x aF x x G x F ψ?=-=+ （3） 由（3）第二式积分可得 C dt t a x G x F x +=-?0 )(1)()(ψ， 利用(3)第一式可得
.2 )(21)(21)(,2 )(21)(21)(00C dt t a x x G C dt t a x x F x x --=++=??ψ?ψ? 所以，我们有 ?+-+-++=at x at x dt t a at x at x t x u )(21)]()([21),(ψ?? （4） 此式称为无限弦长自由振动的达朗贝尔公式。 例 求解柯西问题： ?????+∞≤≤-∞==+∞≤≤-∞>=-+==.,0,3,,0,03202 x u x u x y u u u y y y yy xy xx 解：其特征方程为 0)(32)(22=--dx dxdy dy 由此可得特征线方程为 d y x c y x =+=-3 因此作变换 ?? ?+=-=y x y x μξ, 3 从而可得 η ξ???u 2＝0 从而有 )()3(),(y x G y x F y x u ++-= 由初始条件可得 )()3(3)()3(' ' 2=+-=+x G x F x x G x F 所以有 C x G x F =-)(3)3(， 从而可得 C x x G C x x F +=-=4 3)(4 9)3(2 2
第二章 分离变量法 分离变量法是求解偏微分方程定解问题最常用的方法之一，它和积分变换 法一起统称为Fourier 方法. 分离变量法的本质是把偏微分方程定解问题通过变量分离，转化为一个所谓的特征值问题和一个常微分方程的定解问题，并把原定解问题的解表示成按特征函数展开的级数形式. 本章介绍两个自变量的分离变量法，更多变量的情形放在其他章节中专门讨论. §2?1 特征值问题 2． 矩阵特征值问题 在线性代数中，我们已学过线性变换的特征值问题. 设A 为一n 阶实矩阵， A 可视为n R 到自身的线性变换。该变换的特征值问题（eigenvalue problem ）即是求方程： ,n Ax x x R λ=∈， （） 的非零解，其中C λ∈为待定常数. 如果对某个λ，问题（）有非零解n x R λ∈，则λ就称为矩阵A 的特征值(eigenvalue)，相应的n x R λ∈称为矩阵A 的特征向量(eigenvector). 一般来讲，特征值问题（）有不多于n 个相异的特征值和线性无关的特征向量. 但可证明: 任一n 阶矩阵都有n 个线性无关的广义特征向量，以此n 个线性无关的广义特征向量作为n R 的一组新基，矩阵就能够化为 Jordan 标准型. 若A 为一n 阶实对称矩阵，在线性代数中有一个重要结果，即存在一个正交矩阵T 使得 1T AT D -=， （） 其中D =diag 12(,,...,)n λλλ为实对角阵. 设12[ ... ]n T T T T =，i T 为矩阵T 的第i 列向量(1)i n ≤≤，则式（）可写为如下形式 1212 [ ... ][ ... ]n n A T T T T T T D =， 或
第二章 分离变量法 §2.1 有界弦的自由振动 为了了解什么是分离变量法以及使用分离变量法应该具备什么条件，我们选取两端固定的弦的自由振动问题为例，通过具体地求解逐步回答这些问题。 讨论两端固定的弦的自由振动，归结求解下列定解问题： 22222000,0,0 (2.1)0,0,0 (2.2)(),(),0 (2.3)x x l t t u u a x l t t x u u t u u x x x l t ?ψ====???=<<>?????==>????==≤≤??? 这个定解问题的特点是：偏微分方程是线性齐次的，边界条件也是齐次的。求解这样的问题，可以运用叠加原理。我们知道，在求解常系数线性齐次常微分方程的初值问题时，是先求出足够多个特解（它们能构成通解），再利用叠加原理作这些特解的线性组合，使满足初始条件。这就启发我们，要解问题（2.1～2.3），先寻求齐次方程（2.1）的满足齐次边界条件（2.2）的足够多个具有简单形式（变量被分离的形式）的特解，再利用它们作线性组合使满足初始条件（2.3）。 这种思想方法，还可以从物理模型得到启示。从物理学知道乐器发出的声音可以分解成各种不同频率的单音，每种单音，振动时形成正弦曲线，其振幅依赖于时间t ，即每个单音可以表示成
(,)()sin u x t A t x ω= 的形式，这种形式的特点是：u (x ,t )中的变量x 与t 被分离出来。 根据上面的分析，现在我们就试求方程（2.1）的分离变量形式 (,)()()u x t X x T t = 的非零解，并要求它满足齐次边界条件（2.2），式中X (x )，T （t ）分别表示仅与x 有关及仅与t 有关的待定函数。 由(,)()()u x t X x T t =得 2222()(),()()u u X x T t X x T t x t ??''''==?? 代入方程（2.1）得 2()()()()X x T t a X x T t ''''= 或 2()()()() X x T t X x a T t ''''= 这个式子左端仅是x 的函数，右端仅是t 的函数，只有它们均为常数时才能相等。令此常数为-λ，则有 2()()()() X x T t X x a T t λ''''==- 这样我们得到两个常微分方程： 2()()0T t a T t λ''+= （2.4） ()()0X x X x λ''+= （2.5） 再利用边界条件（2.2），由于u (x ,t )＝X (x ) T （t ），故有 (0)()0,()()0X T t X l T t == 但T （t ）不恒等于零，因为如果T （t ）≡0，则u (x ,t )＝0，这种解称
第三章 贝塞尔函数 对两个自变量的情形，在第二章中比较系统地介绍了分离变量法的基本思想 以及求解偏微分方程定解问题的主要步骤. 本章讨论多于两个自变量的情形，其求解过程和两个自变量情形基本相同，区别仅在于特征值问题的求解要用到一类特殊函数—贝塞尔（Bessel ）函数. 本章前两节围绕一类特征值问题的求解，比较系统地介绍二阶常微分方程的幂级数解法，以及Bessel 函数的一些基本性质. 第三节介绍多于两个自变量情形的分离变量法. §3?1 二阶线性常微分方程的幂级数解法 3.1.1 常系数线性方程的基解组 在高等数学中，同学们已学过常微分方程的一些求解方法. 对于常系数线性常微分方程，只要求出特征方程的根，就很容易写出齐次方程的基解组，由此可得齐次方程通解表达式. 例1.1 求解下列齐次微分方程 (1) '''320y y y -+=. (2) '''4130y y y ++=. (3) '''440y y y ++=. 解 (1) 特征方程为 2320λλ-+=， 特征根为121,2,λλ== 故基解组为 2{, }x x e e . （2）特征方程为 24130λλ++=， 特征根为1223, 23i i λλ=-+=--，是一对共轭复数，基解组为(23)(23){, }i x i x e e -+--， 这两个解为复值函数. 为得到实值函数的基解组，利用齐次微分方程解的线性性质得 2(23)(23)1 cos3 (+ )2x i x i x e x e e --+--=， 2(23)(23)1 sin 3 ( )2x i x i x e x e e i --+--=-， 这两个实值函数22cos3, sin3x x e x e x --也是方程（2）的解,由此得方程（2）的基解组为 22{cos3, sin3}x x e x e x --. （3）特征方程为 2440λλ++=，
分离变量法例题 例：两块半无限大接地平行于xz 平面的导体板，一块位于y = 0，另一块位于y = d ；平行板的有限端x = 0处被与之绝缘并保持常电势φ0的导体板封闭，如图所示。求导体板间的电势。 解：对于本问题，求解区域是x > 0的两平行板之间，区域内无电荷分布，因此电势满足拉普拉斯方程。区域的边界在y = 0、y = d 、x = 0、及x → ∞处。本问题实际是一个二维问题，即静电势与z 无关。因此，本定解问题： 20??= ( x > 0，0 < y < d ) (1) 0x ?→∞= (2) 00y ? == (x > 0) (3) 0y d ?== (x > 0) (4) 00x ??== (0 < y < d ) (5) (2)的条件是我们通常的选择。实际上(2)、(3)、(4)、(5)为边界条件。 因本问题为二维问题，(),x y ??=。(1)在直角坐标系中可写成： 2222 0x y ????+=?? 分离变量法的核心是将多维函数分解为多个一维函数的乘积。令 (,)()()x y X x Y y ?= 将其带入上式得： 2222d d 0d d X Y Y X x y += 将x 变量项和y 变量项整理为： 22221d 1d d d X Y X Y x y =- 上式坐标仅是x 的函数，而右边仅是y 的函数。这样，我们就将变量分离了。在上面的方程中，两半无限大接地平行导体板 y = d
对任意x 和y 成立，方程两边必等于常数。即： 222221d 1d d d X Y k X Y x y ==- (3-3-3) 式中k 为实数常数，称为分离常数。为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2，后面我们将清楚这一点。上式可分为两个微分方程： 2221d d X k X x = 2221d d Y k Y y =- 我们知道上面的微分方程k 为非零时的解为： kx kx X Ae Be -=+ sin()cos()Y C ky D ky =+ 若k = 0，根据边界条件只能得出零解，因此，k 为非零值。式中A 、B 、C 、D 为积分常数，由边界条件确定。这样，我们得到： [][sin()cos()]kx kx Ae Be C ky D ky ?-=++ 由边界条件(2)，我们得到A = 0及k > 0。这就是为什么我们将常数写为k 2而不是-k 2的原因。它可使电势φ在x 方向单调地增加或单调地减少而不是振荡。由边界条件(3)，我们得到D = 0。而边界条件(4)给出： sin()0kd = 由此式及条件k > 0，我们得到： ,1,2,3,n k n d π==? 我们不取n = 0的原因是因为它给出的是零解。因此，我们得到对应n 值的电势解： (,)sin(),1,2,3,n x d n n n x y B e y n d ππ?-==? 其中C 已并入B n 。因拉普拉斯方程是线性方程，任何解的线性叠加也是方程的解。因此，我们将所有n 值的解叠加起来得到了更为一般的解： 1(,)sin()n x d n n n x y B e y d ππ?∞-==∑ 式中B n 为常数。此解满足边界条件(2)、(3)、(4)。由边界条件(5)， 我们有 01sin( )n n n B y d π?∞==∑ 上式是一在[0，d ]区间展开的正弦傅里叶级数，其系数B n 为：