第1课时平面向量的概念及线性运算
1．了解向量的实际背景．
2．理解平面向量的概念和向量相等的含义．
3．理解向量的几何表示．
4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义．
5．掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义．
6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．
1．向量的有关概念及表示方法
2.
3.向量共线的判定定理和性质定理
(1)判定定理：a 是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b ＝λa ，则向量b 与非零向量a 共线． (2)性质定理：若向量b 与非零向量a 共线，则存在一个实数λ，使得b ＝λa . [基础自测]
1．设a 0，b 0分别是与a ，b 同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A ．a 0＝b 0 B ．a 0·b 0＝1 C ．|a 0|＋|b 0|＝2
D ．|a 0＋b 0|＝2
解析：因为a 0，b 0是单位向量，所以|a 0|＝|b 0|＝1. 答案：C
2．下列命题中正确的是( ) A.OA →－OB →＝AB → B ．AB →＋BA →
＝0 C ．0·AB →＝0
D ．AB →＋BC →＋CD →＝AD →
解析：OA →－OB →＝BA →；AB →、BA →是一对相反向量，它们的和应该为零向量，即AB →＋BA →
＝0；零向量与任意向量的数量积都为0，故选D.
答案：D
3．判断下列四个命题：
①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a |＝|b |，则a ＝b ；③若|a |＝|b |，则a ∥b ；④若a ＝b ，则|a |＝|b |. 正确的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：只有④正确． 答案：A
4．(教材改编题)在平行四边形ABCD 中，AB →＝a ，AD →＝b ，AN →＝3NC →，M 为BC 的中点，则MN →
＝________.(用a ，b 表示) 解析：∵AC →
＝a ＋b ， ∴CN →＝－1
4(a ＋b )，
∴MN →＝MC →＋CN →＝12b －14(a ＋b )＝1
4(b －a )． 答案：1
4(b －a )
5．设a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与2a －b 共线，则λ＝________. 解析：由题意知：a ＋λb ＝k (2a －b )， 则有???
1＝2k ，λ＝－k ，
∴k ＝12，λ＝－12.
答案：－1
2
考点一 平面向量的概念
大一轮复习 BSD 数学(文)第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入[例1] 给出下列六个命题 ①向量AB →的长度与向量BA →
的长度相等；
②向量a 与b 平行，则a 与b 的方向相同或相反； ③两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同； ④两个有公共终点的向量，一定是共线向量；
⑤向量AB →与向量CD →
是共线向量，则点A 、B 、C 、D 必在同一条直线上； ⑥有向线段就是向量，向量就是有向线段． 其中假命题的个数为( ) A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
审题视点 理解向量基本概念的内涵，按照定义逐个判定，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可． 解析 ①真命题；②假命题，若a 与b 中有一个为零向量时，其方向是不确定的；③真命题；④假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；⑤假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑥假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．
答案 C
解决这类与平面向量的概念有关的命题真假判定问题，其关键在于透彻理解平面向量的概念，还应注意零向量的特殊性，
以及两个向量相等必须满足；(1)模相等；(2)方向相同．
1．给出下列命题：
①两个具有公共终点的向量，一定是共线向量； ②两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小； ③λa ＝0(λ为实数)，则λ必为零；
④λ，μ为实数，若λa ＝μb ，则a 与b 共线． 其中错误的命题的个数为( ) A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解析：①错误，两向量共线要看其方向而不是起点与终点．
②正确．因为向量既有大小，又有方向，故它们不能比较大小，但它们的模均为实数，故可以比较大小． ③错误，当a ＝0时，不论λ为何值，λa ＝0.
④错误，当λ＝μ＝0时， λa ＝μb ＝0，此时，a 与b 可以是任意向量． 答案：C
2．给出下列命题：
①若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则AB →＝DC →
是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； ②若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ③a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b ；
④若a 与b 均为非零向量，则|a ＋b |与|a |＋|b |一定相等． 其中正确命题的序号是________． 解析：①②正确，③④错误． 答案：①②
考点二 平面向量的线性运算
[例2] (1)
如图，已知AB 是圆O 的直径，点C 、D 是半圆弧的两个三等分点，AB →＝a ，AC →＝b ，则AD →
＝( ) A ．a －1
2b B ．1
2a －b C ．a ＋1
2b
D ．1
2a ＋b
(2)(2016·烟台模拟)若O 是△ABC 所在平面内一点，D 为BC 边的中点，且2OA →＋OB →＋OC →
＝0，那么( ) A.AO →＝OD → B ．AO →＝2OD → C.AO →＝3OD →
D ．2AO →＝OD →
审题视点 (1)用平行四边形法则求解． (2)利用三角形性质及向量的运算法则求解． 解析 (1)连接OC 、OD 、CD ，
由点C 、D 是半圆弧的三等分点，有∠AOC ＝∠COD ＝∠BOD ＝60°，且OA ＝OC ＝OD ，则△OAC 与△OCD 均为边长等于圆O 的半径的等边三角形，所以四边形OACD 为菱形，所以AD →＝AO →＋AC →＝12AB →＋AC →＝1
2a ＋b .
(2)
如图，OB →＋OC →＝2OD →
， 又∵2OA →＋OB →＋OC →
＝0，
∴OB →＋OC →＝－2OA →. ∴2OD →＝－2OA →，∴OD →＝AO →. 答案 (1)D (2)A
1．平面向量的线性运算法则的应用
三角形法则和平行四边形法则是向量线性运算的主要方法，共起点的向量和用平行四边形法则，差用三角形法则． 2．两个重要结论
(1)向量的中线公式：若P 为线段AB 中点， 则OP →＝12(OA →＋OB →)． (2)向量加法的多边形法则
A 1A 2→＋A 2A 3→＋A 3A 4→＋…＋A n －1A n ＝A 1A n →.
1．(2016·衡水中学质检)若点M 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|3 AM →－AB →－AC →
|＝0，G 为BC 的中点，则△ABM 与△ABC 的面积之比等于( )
A.34 B ．14 C.13
D ．12
解析：选C.如图，G 为BC 的中点，则AB →＋AC →＝2 AG →
， ∵|3 AM →－AB →－AC →|＝0，∴3 AM →－AB →－AC →
＝0， ∴3 AM →＝AB →＋AC →＝2 AG →，
∴|AM →
||AG →|＝23，∴S △ABM S △ABG ＝23，又S △ABG ＝1
2S △ABC ， ∴△ABM 与△ABC 的面积之比等于12×23＝1
3，故选C.
答案：C
2．(2016·大连高三检测)如图，在△ABC 中，AB ＝2，BC ＝3，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →
＝λAB →＋μBC →
，则λ＋μ＝________.
解析：因为AB ＝2，∠ABC ＝60°，AH ⊥BC ，所以BH ＝1.因为点M 为AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12(AB →＋BH →)＝12? ???
?
AB →＋13BC →＝12AB →＋16BC →，又AM →＝λAB →＋μBC →，所以λ＝12，μ＝16，所以λ＋μ＝2
3.
答案：2
3
考点三 共线向量定理及其应用
[例3] 已知a 、b 不共线，OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，OE →
＝e ，设t ∈R ，如果3a ＝c,2b ＝d ，e ＝t (a ＋b )，是否存在实数t 使C ，D ，E 三点在一条直线上？若存在，求出实数t 的值，若不存在，请说明理由．
审题视点 先假设存在，再利用a ，b 表示目标向量，最后判断是否有CE →＝kCD →
成立即可．
解 由题设知，CD →＝d －c ＝2b －3a ，CE →
＝e －c ＝(t －3)a ＋t b ，C ，D ，E 三点在一条直线上的充要条件是存在实数k ，使得CE →＝kCD →
，即(t －3)a ＋t b ＝－3k a ＋2k b ，
整理得(t －3＋3k )a ＝(2k －t )b .
因为a ，b 不共线，所以有???
t －3＋3k ＝0，t －2k ＝0，解之得t ＝6
5.
故存在实数t ＝6
5使C ，D ，E 三点在一条直线上．
(1)向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法
的运用和方程思想．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决．但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且存在公共点时，才能得出三点共线．
1．(2016·四川资阳模拟)已知向量AB →＝a ＋3b ，BC →＝5a ＋3b ，CD →
＝－3a ＋3b ，则( ) A ．A ，B ，C 三点共线 B ．A ，B ，D 三点共线 C ．A ，C ，D 三点共线
D ．B ，C ，D 三点共线
解析：∵BD →＝BC →＋CD →＝2a ＋6b ＝2(a ＋3b )＝2AB →
，∴A ，B ，D 三点共线．故选B. 答案：B
2．(2015·高考课标卷Ⅱ)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝__________. 解析：∵λa ＋b 与a ＋2b 平行， ∴λa ＋b ＝t (a ＋2b )，
即λa ＋b ＝t a ＋2t b ，∴??
?
λ＝t ，1＝2t ，解得?????
λ＝12，t ＝1
2.
答案：1
2
以向量为背景的新定义问题
[典例] 设A 1、A 2、A 3、A 4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→(μ∈R )，且1λ＋1
μ＝2，则称A 3，A 4调和分割点A 1，A 2，已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是( )
A ．C 可能是线段A
B 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点
C ．C ，
D 可能同时在线段AB 上
D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上
解题指南 本题为信息题，由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )知：A 1，A 2，A 3，A 4四点共线，且不重合．因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1
d ＝2，然后逐项代入验证．
解析 由A 1A 3→＝λA 1A 2→(λ∈R )，A 1A 4→＝μA 1A 2→
(μ∈R )知：四点A 1，A 2，A 3，A 4在同一条直线上，且不重合．
因为C ，D 调和分割点A ，B ，所以A ，B ，C ，D 四点在同一直线上，设AC →＝cAB →，AD →＝dAB →，则1c ＋1
d ＝2，选项A 中c ＝12，此时d 不存在，故选项A 不正确；同理选项B 也不正确；选项C 中，0 d >2，也不正确，故选D. 答案 D 阅卷点评 本小题考查了对向量共线的理解及应用、利用所学知识分析解决问题的能力以及推理论证能力，求解时应明确，若点C 在线段AB 上，则当AC →＝λAB →时，0<λ<1，而当点C 在线段AB 的延长线上时，若AC →＝λAB → ，则有λ>1，求解本题时还要注意不等式性质及反证法思想的应用．难度适中． 创新点评 本题有以下创新点： (1)命题背景新颖，本题为新定义题目，用新定义考查阅读能力与知识迁移能力； (2)考查内容创新：以共线向量为背景，结合不等式，通过创新情境，考查化归与转化的数学思想方法和分析问题、解决问题的能力． 备考建议 (1)可通过特例、验证等方法理解新定义问题； (2)化生为熟、化新为旧，设法把新定义问题转化为熟悉的问题来解决； (3)“按规则办事”，新定义问题怎么规定，就怎么办． ◆一条规律 一般地，首尾顺次连接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量． ◆向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线和重合的情况，而直线平行不包括共线的情况．因而要利用向量平行证明向量所在直线平行，必须说明这两条直线不重合． 课时规范训练 [A 级 基础演练] 1．(2016·吉林省实验中学一模)已知向量e 1，e 2是两个不共线的向量，若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则λ＝( ) A ．2 B ．－2 C ．－12 D ．12 解析：若a ＝2e 1－e 2与b ＝e 1＋λe 2共线，则有2e 1－e 2＝k (e 1＋λe 2)＝k e 1＋λk e 2，得??? k ＝2，λk ＝－1，解得λ＝－1 2，故选C. 答案：C 2．(2016·四川泸州检测)已知D 为△ABC 的边BC 的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足P A →＝PB →＋PC →，则|PD → | |AD →|的值 为( ) A ．1 B ．13 C.1 2 D ．2 解析：因为P A →＝PB →＋PC → ，所以P A 必为以PB ，PC 为邻边的平行四边形的对角线，因为D 为边BC 的中点，所以D 为边P A 的中点，|PD →| |AD →| 的值为1，故选A. 答案：A 3．(2016·贵阳检测)已知向量a ，b ，c 中任意两个都不共线，但a ＋b 与c 共线，且b ＋c 与a 共线，则向量a ＋b ＋c ＝( ) A ．a B ．b C ．c D ．0 解析：依题意，设a ＋b ＝m c ，b ＋c ＝n a ，则有(a ＋b )－(b ＋c )＝m c －n a ，即a －c ＝m c －n a .又a 与c 不共线，于是有m ＝－1，n ＝－1，a ＋b ＝－c ，a ＋b ＋c ＝0. 答案：D 4．(2016·郑州模拟)已知向量a ，b 不共线，且c ＝λa ＋b ，d ＝a ＋(2λ－1)b ，若c 与d 同向，则实数λ的值为________． 解析：由于c 与d 同向，所以c ＝k d (k ＞0)， 于是λa ＋b ＝k [a ＋(2λ－1)b ]， 整理得λa ＋b ＝k a ＋(2λk －k )b . 由于a ，b 不共线，所以有??? λ＝k ，2λk －k ＝1， 整理得2λ2－λ－1＝0，所以λ＝1或λ＝－1 2. 又因为k ＞0，所以λ＞0，故λ＝1. 答案：1 5．若点O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足|OB →－OC →|＝|OB →＋OC →－2OA → |，则△ABC 的形状为________． 解析：OB →＋OC →－2OA → ＝OB →－OA →＋OC →－OA →＝AB →＋AC →， OB →－OC →＝CB →＝AB →－AC →， ∴|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|， 故A 、B 、C 为矩形的三个顶点，△ABC 为直角三角形． 答案：直角三角形 6．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AB →＋AD →＝λAO → ，则λ＝________. 解析：由向量加法的平行四边形法则，得AB →＋AD →＝AC → . 又O 是AC 的中点，∴AC ＝2AO ，∴AC →＝2AO → ， ∴AB →＋AD →＝2AO →.又AB →＋AD →＝λAO → ，∴λ＝2. 答案：2 7．设a ，b 是两个不共线的非零向量，若a 与b 起点相同，t ∈R ，t 为何值时，a 、t b 、1 3(a ＋b )三向量的终点在一条直线上？ 解：设a －t b ＝λ?????? a －13(a ＋ b )(λ∈R )， 化简整理得? ????23λ－1a ＋? ???? t －13λb ＝0， ∵a 与b 不共线，∴由平面向量基本定理有 ????? 2 3λ－1＝0，t －λ3＝0， ∴????? λ＝3 2，t ＝1 2. 故t ＝12时，a 、t b 、1 3(a ＋b )的终点在一条直线上． 8．如图所示，在△ABC 中，在AC 上取点N ，使得AN ＝13AC ，在AB 上取点M ，使得AM ＝1 3AB ，在BN 的延长线上取一点P ，使得NP ＝1 2BN ，在CM 的延长线上取一点Q ，使得MQ ＝λCM 时，AP →＝QA →，试确定λ的值． 解：∵AP →＝NP →－NA →＝12(BN →＋NC →)＝12BC → ， QA →＝MA →－MQ →＝12BM →＋λMC →， 又∵AP →＝QA →， ∴12BM → ＋λMC →＝12BC →， 即λMC →＝12(BC →－BM →)＝12MC → ∴λ＝12. [B 级 能力突破] 1．(2016·山师大附中模拟)已知平面内一点P 及△ABC ，若P A →＋PB →＋PC →＝AB → ，则点P 与△ABC 的位置关系是( ) A ．点P 在线段AB 上 B ．点P 在线段BC 上 C ．点P 在线段AC 上 D ．点P 在△ABC 外部 解析：由P A →＋PB →＋PC →＝AB →得P A →＋PC →＝AB →－PB →＝AP →，即PC →＝AP →－P A →＝2 AP → ，所以点P 在线段AC 上． 答案：C 2．(2016·威海模拟)已知a ，b 是不共线的向量，AB →＝λa ＋b ，AC → ＝a ＋μb (λ、μ∈R )，那么A 、B 、C 三点共线的充要条件是( ) A ．λ＋μ＝2 B ．λ－μ＝1 C ．λμ＝－1 D ．λμ＝1 解析：由AB → ＝λa ＋b ， AC → ＝a ＋μb (λ、μ∈R )及A 、B 、C 三点共线得： AB →＝tAC → ，所以λa ＋b ＝t (a ＋μb )＝t a ＋tμb ， 即可得??? λ＝t ， 1＝tμ，所以λμ＝1.故选D. 答案：D 3．(2016·孝感模拟)如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A 、B 、C 在一条直线上，且AC →＝－3CB → ，则( ) A ．c ＝－12a ＋32b B ．c ＝32a －1 2b C ．c ＝－a ＋2b D ．c ＝a ＋2b 解析：∵OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋3BC → ＝OA →＋3(OC →－OB →)＝3OC →＋OA →－3OB → ∴2OC →＝－OA →＋3OB → ∴c ＝OC →＝－12a ＋32b . 答案：A 4．设O 在△ABC 的内部，且有OA →＋2OB →＋3OC → ＝0，则△ABC 的面积与△AOC 的面积之比为__________． 解析：设AC ，BC 的中点分别为M ，N ，则已知条件可化为(OA →＋OC →)＋2(OB →＋OC →)＝0，即2OM →＋4ON →＝0，所以OM → ＝－2ON →，说明M ，O ，N 三点共线，即O 为中位线MN 上的一个三等分点，S △AOC ＝23S △ANC ＝23· 12S △ABC ＝13S △ABC ，所以S △ABC S △AOC ＝3. 答案：3 5．如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，若AD →＝xAB →＋yAC → ，则x ＝________，y ＝________. 解析：过点D 作DF ⊥AB 的延长线于点F ，设AB ＝1， 则AC ＝1，BC ＝2，ED ＝2，BD ＝6 2， ∴DF ＝32，BF ＝3 2. ∴AD →＝? ????1＋32AB → ＋32AC →.∴x ＝1＋32，y ＝32. 答案：1＋32 3 2 6．(2016·山西四校第三次联考)在△ABC 中，点D 在线段BC 的延长线上，且BC →＝3CD → ，点O 在线段CD 上(与点C 、D 不重合)，若AO →＝xAB → ＋(1－x )AC ，则x 的取值范围是________． 解析：∵AO →＝xAB →＋AC →－xAC → ， ∴AO →－AC →＝x (AB →－AC →)，即CO →＝xCB →＝－3xCD →， ∵O 在线段CD 上(不含C 、D 两点)运动， ∴0<－3x <1， ∴－1 3 ?? －13，0 7．如图，过△OAB 的重心G 的直线与OA 、OB 分别交于P 、Q ，设OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →，求证：1h ＋1 k 是常数． 证明：OG →＝λ1OP →＋(1－λ1)OQ →(λ1∈R )，OM →＝12OA →＋12OB →，且O 、G 、M 三点共线，G 为重心，故OG →＝23OM → ， 即λ1OP →＋(1－λ1)OQ →＝23×12(OA →＋OB →)． 又∵OP →＝hOA →，OQ →＝kOB →， ∴λ1(hOA →)＋(1－λ1)(kOB →)＝13(OA →＋OB →)． 而OA →与OB →为三角形两邻边，∴OA →、OB → 不共线． ∴????? λ1h ＝13，(1－λ1)k ＝1 3. 消去λ1得13h ＝3k －13k ，即1h ＋1 k ＝3. 第2课时 平面向量基本定理及其坐标表示 1．了解平面向量的基本定理及其意义． 2．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示． 3．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算． 4．理解用坐标表示的平面向量共线的条件． 1．平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示 (1)在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，a 为坐标平面内的任意向量，以坐标原点O 为起点作OP →＝a .由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得OP → ＝x i ＋y j .因此a ＝x i ＋y j . 我们把实数对(x ，y )叫作向量a 的坐标．记作a ＝(x ，y )． (2)设OA →＝x i ＋y j ，则向量OA →的坐标(x ，y )就是点A 的坐标，即若OA → ＝(x ，y )，则A 点坐标为(x ，y )，反之亦成立．(O 为坐标原点) 3．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 2 1＋y 21. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB → |＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ?x 1y 2－x 2y 1＝0. [基础自测] 1．下列各组向量：①e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)；②e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)；③e 1＝(2，－3)，e 2＝? ????1 2，－34，能作为表示它们所 在平面内所有向量基底的是( ) A ．① B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 解析：②③中e 1与e 2均共线． 答案：A 2．已知平面向量a ＝(x,1)，b ＝(－x ，x 2)，则向量a ＋b ( ) A ．平行于x 轴 B ．平行于第一、三象限的角平分线 C ．平行于y 轴 D ．平行于第二、四象限的角平分线 解析：∵a ＋b ＝(0,1＋x 2)，∴平行于y 轴． 答案：C 3．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，x )，若a ＋b 与4b －2a 平行，则实数x 的值是( ) A ．－2 B ．0 C ．1 D ．2 解析：a ＋b ＝(3,1＋x )，4b －2a ＝(6,4x －2)，由a ＋b 与4b －2a 平行得3×(4x －2)－6×(1＋x )＝0解得x ＝2. 答案：D 4．(教材改编题)若点O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，且OA ′→＝2OA →，OB ′→＝3OB → ，则点A ′的坐标为________，点B ′的坐标为__________，向量A ′B ′→ 的坐标为________． 解析：∵O (0,0)，A (1,2)，B (－1,3)，∴OA →＝(1,2)，OB →＝(－1,3)，OA ′→＝2×(1,2)＝(2,4)，OB ′→ ＝3×(－1,3)＝(－3,9)． ∴A ′(2,4)，B ′(－3,9)，A ′B ′→ ＝(－3－2,9－4)＝(－5,5)． 答案：(2,4) (－3,9) (－5,5) 5．e 1，e 2是不共线向量，且a ＝－e 1＋3e 2，b ＝4e 1＋2e 2，c ＝－3e 1＋12e 1，若b ，c 为一组基底，则a ＝________. 解析：设a ＝λ1b ＋λ2c ， 则－e 1＋3e 2＝λ1(4e 1＋2e 2)＋λ2(－3e 1＋12e 2) 即－e 1＋3e 2＝(4λ1－3λ2)e 1＋(2λ1＋12λ2)e 2， ∴?? ? 4λ1－3λ2＝－12λ1＋12λ2＝3 解得????? λ1＝－1 18，λ2＝7 27 ∴a ＝－118b ＋7 27c . 答案：－118b ＋7 27c 考点一 平面向量基本定理的应用 [例1] (1)如图(1)所示，P 点是其阴影部分任意一点(其中OM ∥AB )，且OP →＝xOA →＋yOB → ，则x 、y 应满足的条件是________． (1) (2) (2)如图(2)所示，在△ABC 中，H 为BC 上异于B ，C 的任一点，M 为AH 的中点，若AM →＝λAB →＋μAC → ，则λ＋μ＝________. 审题视点 (1)先由平面向量基本定理设出OP →＝mOB →＋nAB → ，再由向量共线的条件列方程求解． (2)由B ，H ，C 三点共线，可用向量AB →，AC →来表示AH → . 解析 (1)设OP →＝mOB →＋nAB →，由图可知，OP →＝OB ′→＋OM ′→，∴OB ′→＝mOB →，OM ′→＝nAB →，∴0≤m ≤1且n ≥0.又OP → ＝mOB →＋n (OB →－OA →)＝(m ＋n )OB →－nOA →＝xOA →＋yOB →，而OA →与OB → 不共线，∴x ＝－n ≤0，y ＝m ＋n ，即m ＝x ＋y .故应填：x ≤0且 0≤x ＋y ≤1. (2)由B ，H ，C 三点共线，可令AH →＝xAB →＋(1－x )AC →，又M 是AH 的中点，所以AM →＝12AH →＝12xAB →＋12(1－x )AC →，又AM →＝λAB → ＋μAC →，所以λ＋μ＝12x ＋12(1－x )＝12. 答案 (1)x ≤0且0≤x ＋y ≤1 (2)1 2 1．以平面内任意两个不共线的向量为一组基底，该平面内的任意一个向量都可以表示成这组基底的线性组合，基底不同， 表示也不同． 2．利用已知向量表示未知向量，实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或数乘运算． 1．(2015·高考课标卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B ．AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D ．AD →＝43AB →－13AC → 解析：AD →＝AC →＋CD →＝AC →＋13BC →＝AC →＋13(AC →－AB →)＝43AC →－13AB →＝－13AB →＋43AC → .故选A. 答案：A 2．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC → ＝( ) A ．(－7，－4) B ．(7,4) C ．(－1,4) D ．(1,4) 解析：法一：设C (x ，y )，则AC → ＝(x ，y －1)＝(－4，－3)， 所以??? x ＝－4， y ＝－2，从而BC →＝(－4，－2)－(3,2)＝(－7，－4)． 故选A. 法二：AB → ＝(3,2)－(0,1)＝(3,1)， BC →＝AC →－AB → ＝(－4，－3)－(3,1)＝(－7，－4)． 答案：A 考点二 平面向量的坐标运算 [例2] 若向量BA →＝(2,3)，CA →＝(4,7)，则BC → ＝( ) A ．(－2，－4) B ．(2,4) C ．(6,10) D ．(6，－10) 审题视点 利用向量加法的坐标运算． 解析 ∵CA →＝(4,7)，∴AC → ＝(－4，－7) ∵BC →＝BA →＋AC → ∴BC → ＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4) 答案 A 向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行．若已知有向线段两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题 过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则． 1．在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝1，AC ＝2.设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R .若BQ →·CP → ＝－2，则λ＝________. A.1 3 B.23 C.43 D ．2 解析：法一(坐标法)：建立如图所示直角坐标系，则A (0,0)，B (1,0)，C (0,2)， 由AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC → 可得P (λ，0)，Q (0,2－2λ)， 则BQ →＝(－1,2－2λ)，CP → ＝(λ，－2)， 所以BQ →·CP →＝－λ＋4λ－4＝3λ－4＝－2，即λ＝23，故选B. 高考微点二 复数、平面向量与算法 牢记概念公式，避免卡壳 1.复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R )概念 (1)分类：当b ＝0时，z ∈R ；当b ≠0时，z 为虚数；当a ＝0，b ≠0时，z 为纯虚数. (2)z 的共轭复数z － ＝a －b i. (3)z 的模|z |＝a 2＋b 2. 2.复数的四则运算法则 (a ＋b i)±(c ＋d i)＝(a ±c )＋(b ±d )i ； (a ＋b i)(c ＋d i)＝(ac －bd )＋(bc ＋ad )i ； (a ＋b i)÷(c ＋d i)＝ ac ＋bd c 2＋d 2＋bc －ad c 2＋ d 2 i(a ，b ，c ，d ∈R ，c ＋d i ≠0). 3.平面向量的有关运算 (1)两个非零向量平行(共线)的充要条件：a ∥b a ＝λb . 两个非零向量垂直的充要条件：a ⊥b a ·b ＝0|a ＋b |＝|a －b |. (2)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a ·a ＝x 2＋y 2. (3)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则|AB →|＝（x 2－x 1）2＋（y 2－y 1 ）2. (4)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 2 2. 4.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构；(2)条件结构；(3)循环结构. 活用结论规律，快速抢分 1.复数的几个常用结论 (1)(1±i)2＝±2i ； (2) 1＋i 1－i ＝i ，1－i 1＋i ＝－i ； (3)i 4n ＝1，i 4n ＋1＝i ，i 4n ＋2＝－1，i 4n ＋3＝－i. 2.复数加减法可按向量的三角形、平行四边形法则进行运算. 3.z ·z － ＝|z |2 ＝|z － |2. 4.三点共线的判定 高中数学复习讲义第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第1课 向量的概念及基本运算 【考点导读】 1. 理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2. 掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则DC AB =是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，BC =－4a －b ，CD =－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA u u u r ＝a ，OB u u u r ＝b ，则OP u u u r ＝21 33 +a b ， OQ u u u r ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 【范例导析】 例1 .已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得，EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （1） 由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得，ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r （2） （1）+（2）得， 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r （3） ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点，∴0EA ED +=u u u r u u u r r ，0FB FC +=u u u r u u u r r ， 代入（3）式得，2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r 点拨:运用向量加减法解决几何问题时,需要发现或构造三角形或平行四边形. 例1 复数的向量表示(一)·教案示例 目的要求 1．掌握复数的几何表示法，理解复平面、实轴、虚轴等概念的意义． 2．理解共轭复数的概念，了解共轭复数的几个简单性质． 内容分析 1．如图5－1，复数的几何表示就是指用复平面内的点Z(a，b)来表示复数z＝a＋bi．其中复数z＝a＋bi中的z，书写时用小写，复平面内的点Z(a，b)中的Z，书写时用大写． 建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．复平面除了是用来表示复数的平面这一特点之外，其他与直角坐标系是一样的．比如它也有四个象限，在此平面内也可研究曲线方程、曲线性质等． 因为任何一个复数z＝a＋bi，都是由一个有序实数对(a，b)唯一确定，所以复数集与复平面内所有的点所成的集合是一一对应的．比如点(a，0)与实数a对应，点(0，b) 与纯虚数bi对应，点(a，b)与复数a＋bi对应． 2．当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．共轭复数有许多有用的性质，随着后续学习，我们会逐步体会到应用这些性质来解题的优越性． 由共轭复数的定义，我们可以得到： (4)互为共轭复数的两个复数在复平面内对应的点关于实轴对称． 3．本课补充了三道例题．例1是为巩固共轭复数和复数相等的定义等知识而设计的．例2涉及复数的几何表示及解析几何等有关知识，其难点是解一元二次不等式组．估计部分学生会有些困难，教学中，教师要根据实际情况对学生进行启发和指导．例3涉及共轭复数的性质及解析几何中曲线与方程等有关知识，解题的关键是将问题化归成学生熟悉的问题——解析几何中动点轨迹问题． 教学过程 1．复习提问 (1)虚数单位i的两个规定的内容是什么？ (2)填空： 复数z的代数形式是________；当________时，z为实数；当________时，z为虚数；当________时，z为纯虚数；z的实部为________；虚部为________． 第六章 平面向量与复数 , 第32课 向量的概念与线性运算 激活思维 1. (必修4P 67练习4改编)化简：AB →＋CD →＋DA →＋BC → ＝________． 2. (必修4P 62习题5改编)判断下列四个命题：①若a ∥b ，则a ＝b ；②若|a|＝|b |，则a ＝b ；③若|a|>|b|，则a>b ；④若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .其中正确的个数是________． 3. (必修4P 57习题2改编)对于非零向量a ，b ，“a ∥b ”是“a ＋b ＝0”成立的________条件． (第4题) 4. (必修4P 60例1改编)如图，在正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF → ＝________． 5. (必修4P 68习题10改编)在△ABC 中，若|AB →|＝|AC →|＝|AB →－AC → |，则△ABC 的形状是________． 知识梳理 1. 向量的有关概念 向量：既有大小又有方向的量叫作向量．向量的大小叫向量的________(或模)． 2. 几个特殊的向量 (1) 零向量：____________，记作____，其方向是任意的． (2) 单位向量：________________________． (3) 平行向量：________________________，平行向量又称为共线向量，规定0与任一向量共线． (4) 相等向量：________________________． (5) 相反向量：________________________． 3. 向量的加法 (1) 运用平行四边形法则时，将两个已知向量平移到公共起点，和向量是____________的对角线所对应的向量． (2) 运用向量加法的三角形法则时，要特别注意“首尾相接”，即第二个向量要以____________为起点，即由第一个向量的起点指向____________的向量为和向量． 4. 向量的减法 将两个已知向量平移到公共起点，差向量是________的终点指向________的终点的向量．注意方向指向被减向量． 重视复平面上复数与向量的联系作用 平面向量与复数是高中数学的重要内容,联系紧密,联系是在复平面进行的。随着知识的发展，相互对应相互促进是联系的主要体现。复数中的概念、运算等在向量中可以作出几何解释；向量的运算，可以对应有关的复数运算.复数与向量的这种联系，只要我们需要,可以将它们组合起来，在计算推理中发挥它们的联系作用，将是一件高效快乐的事情. 一 复数商与内积的联系 复数运算，向量运算之间的许多联系，在现有课本里是可以学习到的，下面我们来看复数商与内积的联系. 例1 复数z 1=a 1+b 1i, z 2=a 2+b 2i ，它们的三角式分别为z 1=|z 1|(cos θ1+isin θ1), z 2=|z 2|(cos θ2+isin θ2),对应的向量分别是1oz =(a 1,b 1)、2oz =(a 2,b 2). 然后复数作商: 代数式作商: 21z z =2221122121||)()(z i b a b a b b a a -++；-------------(1) 三角式作商： 21z z =| || |21z z [cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)],------(2) 比较(1)(2)式,可得 ||||21z z [cos(θ1-θ2)]=222121||z b b a a +, ……(3) ||||21z z [sin(θ1-θ2)]=222112| |z b a b a -………(4) 则从中可得下列变式： (1) 复数对应向量间的夹角余弦公式: cos(θ1-θ2| |||212121oz oz ? ,( 我們总可以适当选择θ1、θ2的主值范围，使得|θ 1-θ2 |∈),0[π，所以1oz 与2oz 的夹角就是|θ1-θ2|). (2) 向量内积: 1oz ·2oz =a 1a 2+b 1b 2=|1oz |·|oz 2|cos(θ1-θ2). 若对(4)取绝对值得到:|1oz ×2oz |=|a 1b 2 -a 2b 1|=|1|oz |·2|oz |sin(θ1-θ2)|, 这是空间xoy 平面上向量)0,,(),0,,(2121b b a a ==叉积的绝对值,是以线段oz 1、oz 2为邻边的平行四边形的面积公式. 复数商运算式中,隐含着向量间的夹角公式，向量的内积，平行四边形面积的公式. 若复数代数式i y x z i y x z 222111,-=+=的三角式分别是)sin (cos 1111θθi r z +=, 复数的向量表示 各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 教学目标 掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量； 理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系； 掌握复数的模的定义及其几何意义； 通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想； 通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法． 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式． 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离． 三、教学建议 1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视． 2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有的向量相成—一对应关系．复数集只能与 复数的向量表示数学教案 教学目标 (1)掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量; (2)理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系; (3)掌握复数的模的定义及其几何意义; (4)通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想; (5)通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法. 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式. 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难点是复数模的概念.复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离. 三、教学建议 1.在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视. 2.理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成―一对应关系，而点又与复平面的向量构成―一对应关系.因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形 第06练-平面向量与复数 一、单选题 1．已知复数2a i i +-是纯虚数（i 是虚数单位），则实数a 等于 A ．-2 B ．2 C ．1 2 D ．-1 【答案】C 【解析】 2a i i +-21255a a i -+=+是纯虚数,所以2121 0,0552 a a a -+=≠∴=，选C. 2．设i 为虚数单位，复数z 满足21i i z =-，则复数z 的共轭复数等于（ ） A ．1-i B ．-1-i C ．1+i D ．-1+i 【答案】B 【解析】 【分析】 利用复数的运算法则解得1i z =-+，结合共轭复数的概念即可得结果. 【详解】 ∵复数z 满足 21i i z =-，∴ ()()()2121111i i i z i i i i +===---+， ∴复数z 的共轭复数等于1i --，故选B. 【点睛】 本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 3．虚数()2++x yi ，,x y R ∈，当此虚数的模为1时，y x 取值范围为（ ） A ．???? B ．???? ?? ???? U C ．?? D ．)( ??? 【答案】B 【解析】 【分析】 虚数()2++x yi ，得0y ≠，根据模长公式可得2 2 (2)1,0x y y ++=≠， y x 表示圆上点（去掉与x 轴交 点）与坐标原点的连线的斜率，当连线为圆的切线时为最大和最小值，即可求出结论. 【详解】 虚数()2++x yi ，得0y ≠， 虚数()2(,)x yi x y R ++∈的模为1， 2222(2)1,(2)1,0x y x y y ∴++=++=≠， y x ∴表示圆上的点（去掉与x 轴交点）与坐标原点的连线斜率， 0y x ∴≠，当过原点的直线与22(2)1x y ++=相切时， y x 取得最值，如下图所示，圆心C ，切点分别为,A B ， 3tan tan 3 BOC AOC ∠=∠= ， 切线,OA OB 的斜率分别为33 ,33 - ， 所以30y x - ≤<或30y x <≤ . 故选:B. 【点睛】 本题以虚数的模的背景，考查斜率的几何意义和直线与圆的位置关系，要注意虚数条件，不要忽略，属于中档题. 4．设复数11i z i =+，21z z i =，12,z z 在复平面内所对应的向量分别为OP uuu v ，OQ uuu v （O 为原点），则OP OQ ?=u u u v u u u v （ ） A ．1 2 - B ．0 复数的各类表达形式 一、代数形式 表示形式：表示一个复数 复数有多种表示形式，常用形式z=a+bi 叫做代数形式。 二、几何形式 点的表示形式：表示复平满的一个点 在直角坐标系中，以x为实轴，y为虚轴，O为原点形成的坐标系叫做复平面，这样所有复数都可以复平面上的点表示被唯一确定。 复数z=a+bi 用复平面上的点z(a，b )表示。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。 三、三角形式 表示形式 复数z＝a+bi化为三角形式，z＝r(cosθ+sinθi)。式中r=∣z∣=√(a^2+b^2)，是复数的模(即绝对值)；θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，记作argz，即argz=θ=arctan(b/a)。这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。 四、指数形式 表示形式 将复数的三角形式z＝r( cosθ+isinθ)中的cosθ+isinθ换为exp(iθ)，复数就表为指数形 式z＝rexp (iθ) 。 向量 在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量（亦称矢量），在数学中与之相对的是数量，在物理中与之相对的是标量。 向量的运算法则 1、向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。 OB+OA=OC。 a+b=(x+x'，y+y')。 a+0=0+a=a。 向量加法的运算律： 交换律：a+b=b+a； 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的减法 如果a、b是互为相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量为0 AB-AC=CB. 即“共同起点，指向被减” a=(x,y)b=(x',y') 则a-b=(x-x',y-y'). 如图：c=a-b 以b的结束为起点，a的结束为终点。 平面向量与复数 [A 组——“12＋4”限时提速练] 一、选择题 1．(2016·全国乙卷)设(1＋2i)(a ＋i)的实部与虚部相等，其中a 为实数，则a ＝( ) A ．－3 B ．－2 C ．2 D ．3 解析：选A 由题意知(1＋2i)(a ＋i)＝a －2＋(1＋2a )i ，则a －2＝1＋2a ，解得a ＝－3，故选A ． 2．(2016·全国丙卷)若z ＝4＋3i ，则z |z | ＝( ) A ．1 B ．－1 C ．45＋35 i D ．45－35 i 解析：选D ∵z ＝4＋3i ，∴z ＝4－3i ，|z |＝42＋32＝5， ∴z |z |＝4－3i 5＝45－35i. 3．(2016·武汉调研)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内的任意一点，则OA ―→＋OB ―→＋OC ―→＋OD ―→ 等于( ) A ．OM ―→ B ．2OM ―→ C ．3OM ―→ D ．4OM ―→ 解析：选D 因为M 是平行四边形ABCD 对角线AC ，BD 的交点，所以OA ―→＋OC ―→ ＝2OM ―→，OB ―→＋OD ―→＝2OM ―→，所以OA ―→＋OB ―→ ＋OC ―→＋OD ―→＝4OM ―→ ，故选D ． 4．(2016·全国丙卷)已知向量BA ―→＝????12，32，BC ― →＝????32，12，则∠ABC ＝( ) A ．30° B ．45° C ．60° D ．120° 解析：选A 因为BA ―→＝????12，32，BC ― →＝ ????32，12， 所以BA ―→·BC ―→ ＝34＋34＝32 . 复数的向量表示及复数的三角形式 基础概念 一、基础知识概述 由于解方程的需要，我们引进了复数和及其四则运算，并建立了复数集C 和复平面内所有的点构成的集合之间的一一对立，我们还学过向量及其运算，在些基础上，我们现在一起来学习复数的向量表示、复数的三角形式及其运算、复数的指数形式、复数的运算的几何意义． 二、重点知识归纳及讲解 1、复数的向量表示： 复数集C 与复平面内的向量集合OZ （O 为原点）一一对应． 说明： （1）零向量表示复数0，相等的向量表示同一个复数； （2）向量OZ 的模r 就是复数bi a Z +=（a 、R b ∈）的模，即2 2||||b a r bi a Z += =+=． 2、复数的三角形式及运算： （1）复数的幅角：设复数bi a Z +=对应向量OZ ，以x 轴的正半轴为始边，向量OZ 所在的射线（起点为O ）为终边的角θ，叫做复数Z 的辐角，记作ArgZ ，其中适合πθ20<≤的辐角θ的值，叫做辐角的主值，记作Z arg ． 说明： 不等于零的复数Z 的辐角有无限多个值，这些值中的任意两个相差π2的整数倍． （2）复数的三角形式：)sin (cos θθi r +叫做复数bi a Z +=的三角形式，其中02 2 ≥+= b a r ，r a = θcos ，r b = θsin ． 说明： 任何一个复数bi a Z +=均可表示成)sin (cos θθi r +的形式．其中r 为Z 的模，θ为Z 的一个辐角． （3）复数的三角形式的运算： 设)sin (cos θθi r Z +=，)sin (cos 1111θθi r Z +=，)sin (cos 2222θθi r Z +=．则 1）乘法：)]sin()[cos(21212121θθθθ+++=?i r r Z Z ； 第四章 平面向量与复数第4课时 复 数 1. (2013·南通期末)已知复数z ＝3－2i i (i 是虚数单位)，则复数z 所对应的点位于复平面的第________象限． 答案：三 解析：z ＝3－2i i ＝（3－2i ）（－i ）i （－i ） ＝－2－3i. 2. (2013·苏州期末)设复数z 满足z(2＋i)＝1－2i(i 为虚数单位)，则|z|＝________． 答案：1 解析：由z(2＋i)＝1－2i ，得z ＝1－2i 2＋i ＝（1－2i ）（2－i ）（2＋i ）（2－i ） ＝0－5i 5＝－i ，故|z|＝1. 3. (2013·徐州三模)已知i 是虚数单位，若a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，则ab 的值为________． 答案：－3 解析：由a ＋3i i ＝b ＋i(a 、b ∈R )，得a ＋3i ＝bi －1，根据复数相等的条件得a ＝－1，b ＝3，ab ＝－3. 4. (2013·常州期末)已知复数z ＝－1＋i(i 为虚数单位)，计算：z·z －z －z －＝________． 答案：－i 解析：z ＝－1＋i ，z·z －z －z － ＝（－1＋i ）（－1－i ）（－1＋i ）－（－1－i ）＝22i ＝－i. 5. (2013·苏锡常镇一模)若实数a 满足2＋ai 1－i ＝2i ，其中i 是虚数单位，则a ＝________． 答案：2 解析：由2＋ai 1－i ＝2i 得2＋ai ＝(1－i)2i ，即2＋ai ＝2＋2i ，根据实部、虚部分别相等，可知a ＝2. 6. 若z －·z ＋z ＝154 ＋2i(i 为虚数单位)，则复数z ＝________． 答案：－12 ＋2i 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由z －·z ＋z ＝154＋2i ，得x 2＋y 2＋x ＋yi ＝154 ＋2i ，所以?????x 2＋y 2＋x ＝154，y ＝2，解得?????x ＝－12，y ＝2， 所以z ＝－12 ＋2i. 7. 若复数z 满足|z －i|＝1(其中i 为虚数单位)，则|z|的最大值为________． 答案：2 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R )，则由|z －i|＝1，得x 2＋(y －1)2＝1，由画图可知|z|的最大值为2. 8. 已知x ＝－3－2i(i 为虚数单位)是一元二次方程x 2＋ax ＋b ＝0(a ，b 均为实数)的一个根，则a ＋b ＝________. 答案：19 第四章平面向量与复数 【知识图解】 Ⅰ.平面向量知识结构表 Ⅱ.复数的知识结构表 【方法点拨】 由于向量融形、数于一体，具有几何形式与代数形式的“双重身份”，使它成为了中学数学知识的一个重要交汇点，成为联系众多知识内容的媒介。所以，向量成为了“在知识网络交汇处设计试题”的很好载体。从高考新课程卷来看，对向量的考查力度在逐年加大，除了直接考查平面向量外，将向量与解析几何、向量与三角等内容相结合，在知识交汇点处命题，既是当今高考的热点，又是重点。 复习巩固相关的平面向量知识，既要注重回顾和梳理基础知识，又要注意平面向量与其他知识的综合运用，渗透用向量解决问题的思想方法，从而提高分析问题与综合运用知识解决问题的能力，站在新的高度来认识和理解向量。 1.向量是具有大小和和方向的量，具有“数”和“形”的特点，向量是数形结合的桥梁，在处理向量问 题时注意用数形结合思想的应用. 2.平面向量基本定理是处理向量问题的基础，也是平面向量坐标表示的基础，它表明同一平面内任意向 量都可以表示为其他两个不共线向量的线性组合. 3.向量的坐标表示实际上是向量的代数形式，引入坐标表示，可以把几何问题转化为代数问题解决. 4.要了解向量的工具作用，熟悉利用向量只是解决平面几何及解析几何中的简单问题的方法. 第1课向量的概念及基本运算 【考点导读】 1.理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示. 2.掌握向量的加法、减法、数乘的运算，并理解其几何意义. 3. 了解平面向量基本定理及其意义. 【基础练习】 1.出下列命题：①若=a b ，则=a b ；②若A 、B 、C 、D 是不共线的四点，则=是四边形为平行四边形的充要条件；③若,==a b b c ，则=a c ；④=a b 的充要条件是=a b 且//a b ；⑤若//a b ， //b c ，则//a c 。其中，正确命题材的序号是②③ 2. 化简AC - BD + CD - AB 得0 3.在四边形ABCD 中，=a +2b ，=－4a －b ，=－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为梯形 4.如图，设点P 、Q 是线段AB 的三等分点， 若OA ＝a ，OB ＝b ，则OP ＝21 33 +a b ， OQ ＝12 33+a b (用a 、b 表示) 5.设12,e e 是不共线的向量,已知向量121212AB 2,CB 3,CD 2=+=+=- e ke e e e e ,若A,B,D 三点共线,求k 的值为8k =- 【范例导析】 例1. 如图，ABCD 中，,E F 分别是,BC DC 的中点，G 为交点，若AB =a ，=b ，试以a 、b 为基底表示DE 、BF 、CG 分析：本题可以利用向量的基本运算解决. 解：11 22 =-=+-=+-=- DE AE AD AB BE AD a b b a b 1122 =-=+-=+-=- BF AF AB AD DF AB b a a b a G 是△CBD 的重心，111 ()333 ==-=-+ CG CA AC a b 点拨: 利用一直向量表示未知向量的依据是平面向量基本定理，在解题中，应尽可能地转化到平行四边形 或三角形中，结合向量的加减法、数乘运算解决. 例2.已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ， 求证：2AB DC EF += . 分析:构造三角形,利用向量的三角形法则证明. 证明：如图，连接EB 和EC ， 由EA AB EB += 和EF FB EB += 可得，EA AB EF FB +=+ （1） 例1 例2 专题5.平面向量与复数 1.平面向量是高考考查的重点、热点，六年六考.往往以选择题或填空题的形式出现.突出其“几何味”，常以平面图形为载体，考查线性运算、数量积、夹角、垂直的条件等问题； 2.近几年浙江卷涉及模及角的最值问题，六年五考！同三角函数、解析几何、不等式等知识相结合，考查数形结合思想、函数方程思想以及分析问题解决问题的能力．难度为中等或中等偏难. 3.复数的概念运算，六年四考（近四年）.常见题型有选择题、填空题，重点考查除法、乘法等运算，同时考查复数的概念. 预测2021年将侧重平面向量的运算及其应用的考查，综合性依然会较强，难度不会降低.复数考查将保持稳定. 1．（2020·浙江省高考真题）已知a∈R，若a–1+(a–2)i(i为虚数单位)是实数，则a=（） A．1 B．–1 C．2 D．–2 2．（2020·全国高考真题（理））设,a b为单位向量，且||1 a b +=，则|| a b -=______________. 3．（2020·浙江省高考真题）设 1 e， 2 e为单位向量，满足 2 1 |22 | -≤ e e， 12 a e e =+， 12 3 b e e =+，设a，b的夹角为θ，则2 cosθ的最小值为_______． 4．（2020·天津高考真题）如图，在四边形ABCD中，60,3 B AB ? ∠==，6 BC=，且 3 , 2 AD BC AD AB λ =?=-，则实数λ的值为_________，若, M N是线段BC上的动点，且||1 MN=，则DM DN ?的最小值为_________． 5．（2020·全国高考真题（理））设复数1z，2z满足12 ||=||=2 z z， 12 3i z z +=，则12 || z z -=__________. 平面向量、复数 【命题趋势】复数及其运算时高考的一个必考点，内容比较简单，主要是考查共轭复数，复平面以及复数之间的一些运算.一般出现在选择题的第一或者是第二题.平面向量也是高考的一个重要考点，主要涉及到向量的代数运算以及线性运算.1+1模式.两者结合的综合性题目也是高考填空第三题的一个重要方向.本专题也是学生必回的知识点.通过选取了高考出现频率较高的复数、向量知识点采用不同的题型加以训练，题型与高考题型相似并猜测一部分题型，希望通过本专题的学习，学生能够彻底掌握复数与平面向量. 【知识点分析以及满分技巧】 复数一般考查共轭复数以及复平面的意义比较多，中间夹杂着复数之间的运算法则，这类题目相对比较简单，属于送分题目.牵涉到知识点也是比较少.主要注重基本运算.特别会求复数类题目可采取答案带入式运算. 平面向量代数运算类题目一般采用基本运算法则，只要简单记住向量的坐标运算以及模长运算即可. 平面向量的线性运算一般采用三角形法则，应掌握一些常识性结论，如三点共线问题，重心问题等，在解决此类题目中记住三角形法则核心即可. 平面向量综合性的题目一般是代数运算与线性运算相结合.此类题目简便解法是采用数形结合的方式去求解. 【考查题型】选择题，填空 【限时检测】（建议用时：45分钟） 1．（2018·河北衡水中学高考模拟（理））已知i是虚数单位，则复数 37i z i + =的实部和 虚部分别为 A．7，3i -B．7-，3C．7-，3i D．7，3-【答案】D 【解析】先化简复数z,再确定复数z的实部和虚部. 【详解】 由题得2373737 731 i i i z i i i +--= ===--，所以复数z 的实部和虚部分别为7和-3. 故答案为：D 【名师点睛】 (1)本题主要考查复数的除法运算和复数的实部虚部的概念，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算推理能力.(2) 注意复数(,)z a bi a b R =+∈的实部是a,虚部是“i”的系数b ，不包含“i”,不能写成bi. 2．（2019·河北衡水中学高考模拟（理））已知i 为虚数单位，若复数11ti z i -=+在复平面内对应的点在第四象限，则t 的取值范围为（ ） A ．[1,1]- B ．(1,1)- C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 【答案】B 【解析】 由题()()()()1-ti 1-i 1-ti 1-t 1+t z= ==-i 1+i 1+i 1-i 22 ．又对应复平面的点在第四象限，可知110022 t t 且-+>-<，解得11t -<<．故本题答案选B ． 3．（2019·河南高三月考（理））若1312i i -+与1 ()2 i a ai -的虚部互为相反数，则实数a 的值为（ ） A ．2- B ．2 C ．1- D ．1 【答案】D 【解析】分别对两个复数进行四则运算化成复数的标准形式，分别得到得复数的虚部，再相加等于0，从而求得a 的值. 【详解】 高中数学标准教材 高二数学：复数的向量表示(教 学实录) Mathematics is the door and key to science. Learning mathematics is a very important measure to make yourself rational. 学校：______________________ 班级：______________________ 科目：______________________ 教师：______________________ --- 专业教学设计系列下载即可用 --- 高二数学：复数的向量表示(教学实录) 教学目标 (1)把握向量的有关概念:向量及其表示法、向量的模、向量的 相等、零向量; (2)理解并把握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系; (3)把握复数的模的定义及其几何意义; (4)通过学习复数的向量表示,培养学生的数形结合的数学思想; (5)通过本节内容的学习,培养学生的观察能力、分析能力,帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法. 教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所碰到的一些矢量出发引出向量的概念,介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念,接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系,指出了复数的模的定义及其计算公式. 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解;难 点是复数模的概念.复数可以用向量表示,二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的向量的集合一一对应关系,而不能说 与复平面内的向量一一对应,对这一点的理解要加以重视.在复数向量的表示中,从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之 间的一一对应关系是本节教学的难点.复数模的概念是一个难点,首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质,其次要理解 它的几何意义是表示向量的长度,也就是复平面上的点到原点的距离. 三、教学建议 专题复习___________平面向量与复数 【例题选讲】 例1. 设z ∈C ，求满足z+z 1 ∈R 且|z －2|=2的复数z. 解法一：设z=a+bi ，则z+z 1=a+bi+i 1 b a +=a+bi+2 2i b a b a +- =a+ 22 a a b ++(b －22b a b +)i ∈R ∴b=22b a b +∴b=0或a 2+b 2 =1 当b=0时，z=a ， ∴|a －2|=2∴a=0或4 a=0不合题意舍去，∴z=4 当b ≠0时，a 2+b 2=1 又∵|z －2|=2，∴(a －2)2+b 2 =4 解得a=41，b=±415，∴z=41±415i 综上，z=4或z=41 ±415i 解法二：∵z+z 1∈R ，∴z+z 1 =z +z 1 ∴(z －z )－z z z z -=0，(z －z )·2 2||1||z z -=0 ∴z=z 或|z|=1，下同解法一 例 2. 四边形ABCD 中,AB a = , BC b = ,CD c = , DA d = ,且a b b c c d d a ?=?=?=? ，判断四边形ABCD 是什么图形？ 分析：在四边形ABCD 中，a+b+c+d=0，这是一个隐含条件， 对a+b=－（c+d ），两边平方后，用a ·b=b ·c=d ·c 代入， 从四边形的边长与内角的情况来确定四边形的形状. 解：∵a+b+c+d=0， ∴a+b=－（c+d ）， ∴（a+b ）2=（c+d ）2，即|a|2+2a ·b+|b|2=|c|2+2c ·d+|d|2 ， ∵a ·b=c ·d ， ∴|a|2+|b|2=|c|2+|d|2……① 同理：|a|2+|d|2=|b|2+|c|2 ……② ①，②两式相减得：|b|2=|d|2，|a|2=|c|2 ，即|b|=|d|，|a|=|c|. ∴ABCD 为平行四边形. 又∵a ·b=b ·c ，即b ·（a －c ）=0，而a=－c ，∵b ·（2a ）=0 ∴a ⊥b ， ∴四边形ABCD 为矩形. 例3. 已知A(0，a),B(0,b),(0＜a ＜b)，在x 轴的正半轴上求点C ，使∠ACB 最大，并求出最大值、 解，设C(x,0)(x ＞0) 则=(－x,a), =(－x,b) 则·=x 2 +ab cos ∠ 22222b x a x ab x +++ 令t=x 2 +ab 故cos ∠ACB= 11)(1 )(1 222 +?-+--t b a t b a ab 当t 1=ab 21即t=2ab 时，cos ∠ACB 最大值为b a ab +2、 考点专题二平面向量与复数(2) 【考情分析】 从近四年高考试卷分析来看，本专题知识理科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.8%, 难易度以容易题、中等题为主，文科每年考查 1 —2题，所占分值比例约为4.5%，难易度以容易题为主，此知识是高考中的必考容 此知识在近四年常以填空题、选择题、解答题的形式在高考题中出现，主要考查复数的四则运算，复平面等相关知识?复数在高考试卷中的考查形式比较单一 【知识梳理】 ［重难点］ 1.复数的相等：两个复数乙a bi(a,b R), z2 c di(c,d R)，当且仅当a c且 b d时，z i Z2.特别地，当且仅当a b 0时，a bi 0. 2.复数的模：复数Z i a bi (a, b R)的模记作z或a bi ，有 z l a bi b2. 3.共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做共轭复数.复数 Z的共轭复数记作乙Z、Z互为共轭复数. 如果Z a bi,Z a bi(a,b R)，则有Z R的充要条件是Z Z; Z是纯虚数的充要条件是z z且z 0. 4.复平面 在平面直角坐标系中，可以用点Z(a,b)表示复数Z1 a bi(a,b R)，建立直角坐标系来 表示复数的平面叫做复平面，在复平面上，称x、y轴分别为实轴和虚轴，并且复数集C和复平面所有的点构成的集合建立-- 对应关系 5.实系数一元二次方程 实系数一元二次方程在复数集中恒有解，当判别式b2 4ac 0时，实系数一元二次方 程ax2 bx c 0(a,b,c R且a 0)在复数集中有一对互相共轭的虚数根b V4ac b2 . x i. 2a 2a ［易错点］ 复数的向量表示 教学目标 （1）掌握向量的有关概念：向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量； （2）理解并掌握复数集、复平面内的点的集合、复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系； （3）掌握复数的模的定义及其几何意义； （4）通过学习复数的向量表示，培养学生的数形结合的数学思想； （5）通过本节内容的学习，培养学生的观察能力、分析能力，帮助学生逐步形成科学的思维习惯和方法．教学建议 一、知识结构 本节内容首先从物理中所遇到的一些矢量出发引出向量的概念，介绍了向量及其表示法、向量的模、向量的相等、零向量的概念，接着介绍了复数集与复平面内以原点为起点的向量集合之间的一一对应关系，指出了复数的模的定义及其计算公式． 二、重点、难点分析 本节的重点是复数与复平面的向量的一一对应关系的理解；难点是复数模的概念．复数可以用向量表示，二者的对应关系为什么只能说复数集与以原点为起点的 向量的集合一一对应关系，而不能说与复平面内的向量一一对应，对这一点的理解要加以重视．在复数向量的表示中，从复数集与复平面内的点以及以原点为起点的向量之间的一一对应关系是本节教学的难点．复数模的概念是一个难点，首先要理解复数的绝对值与实数绝对值定义的一致性质，其次要理解它的几何意义是表示向量的长度，也就是复平面上的点到原点的距离． 三、教学建议 1．在学习新课之前一定要复习旧知识，包括实数的绝对值及几何意义，复数的有关概念、现行高中物理课本中的有关矢量知识等，特别是对于基础较差的学生，这一环节不可忽视． 2．理解并掌握复数集、复平面内的点集、复平面内以原点为起点的向量集合三者之间的关系 如图所示，建立复平面以后，复数与复平面内的点形成—一对应关系，而点又与复平面的向量构成—一对应关系．因此，复数集与复平面的以为起点，以为终点的向量集形成—一对应关系．因此，我们常把复数说成点Z或说成向量．点、向量是复数的另外两种表示形式，它们都是复数的几何表示． 相等的向量对应的是同一个复数，复平面内与向量相等的向量有无穷多个，所以复数集不能与复平面上所有复数、平面向量与算法(教师版)
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