力学基础教案
一力学基础（分成8讲，共计16学时）
经典力学的基础,包括质点力学和刚体力学定轴转动部分.着重阐述动量,角动量,和能量等概念及相应的守恒定律.
狭义相对论的时空观是当今物理学的基本概念,它和牛顿力学联系紧密.为此,把狭义相对论归入经典力学的范畴.
第01章质点运动学（4学时）
第02章质点运动定律（1学时）
第03章动量守恒和机械能守恒（3学时）
第04章刚体的定轴转动（4学时）
第05章万有引力场（部分内容穿插到第03章）
第18章相对论（4学时）
第01章质点运动学（4学时）
[教学内容]
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§1-1 质点运动的描述
§1-2 加速度为恒矢量时的质点运动
§1-3 圆周运动
§1-4 相对运动
[基本要求]
1．掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量.理解这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性.
2．理解运动方程的物理意义及作用.掌握运用运动方程确定质点的位置、位移、速度和加速度的方法，以及已知质点运动的加速度和初始条件求速度、运动方程的方法
3．能计算质点在平面内运动时的速度和加速度，以及质点作圆周运动时的角速度、角加速度、切向加速度和法向加速度 .
4．理解伽利略速度变换式, 并会用它求简单的质点相对运动问题
[重点]：
1．掌握位置矢量、位移、速度、加速度、角速度、角加速度等描述质点运动和运动变化的物理量，明确它们的相对性、瞬时性和矢量性。
2．确切理解法向加速度和切向加速度的物理意义；掌握圆周运动的角量和线量的关系，并能灵活运用计算问题。
3．理解伽利略坐标、速度变换，能分析及平动有关的相对运动问题。
[难点]：
1．法向和切向加速度
1 / 1
2．相对运动问题
第01-1讲
§1-1质点运动的描述
§1-2 加速度为恒矢量时的质点运动（内容打乱当例子讲）
[教学过程]
一、参考系
为了确定物体的位置而选作参考的物体称为参考系。要作定量描述，还应在参考系上建立座标系。
二、位矢及位移（为简化，讨论二维情况）
位置矢量（位矢），r xi y j
=+
大小22
||
r r x y
==+方向cos
x
r α=
①运动方程
运动方程()()()()
r r t x t i y t j z t k
==++
分量式
()
()
()
x x t
y y t
z z t
=
?
?
=
?
?=
?
消去参数t，可得轨道方程
②轨道方程（质点运动轨迹的曲线方程）：
1 / 1
1 / 1
(,)0f x y =
位移矢量（位移）：
()()B A B A B A r r r x x i y y j =-=-+-
[注]：一般情况下，路程≠位移，极限0t →时，dr AB =
三、速度
平均速度：r
v t
=，方向：r 瞬时速度：d r dx dy dz v i j k dt dt dt dt
=
=++ 22
2x y z v v v v =++， 方向余弦：cos x
r
α=， 。
。。， 。。。 速率，是质点路程对时间的变化率：ds v dt
=
[例1]：（课本P7，例1）设质点运动方程为()()28
24
t r t t i j +=++， ()SI ， 求（1）3t s =时的v ，（2）运动轨迹。 解：（略）
[例2] （课本P7，例2）A 、B 由刚性杆l 连接，在光滑轨道上滑行。若A 以恒定的速率v
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向左滑，
问：当60α=时B 的速度？
[例3]（课本习题1-3）如图所示，湖中有一小船，有人用绳绕过岸上h 高度处的定滑轮拉湖中的船向岸边运动。设该人以匀速率v 0收绳，绳不伸长、湖水静止，求小船的运动速度u 。
四、加速度，是质点速度对时间的变化率：
22
dv d r a dt dt ==
计算式：y x
x y dv dv a i j a i a j dt dt
=
+=+ 22
x y a a a a ==+
[例3]：已以知一质点作匀加速直线运动，加速度为a 。求：它的运动方程。 解：dv
a dt
=
直线运动 000
t
v
v adt dv at v v v v at =?=-?=+?? ①
1 / 1
又
0dx
v v at dt
?=+ ()2
0000
12
t
x
x v at dt dt x x v t at +=?-=+
?? ② 故2012
x x vt at =++
[小结] 运动学问题有两类：①已知运动学方程求速度、加速度（微分法）
②已知加速度（或速度）和初始条件，求速度、位移。
[例4] 斜抛运动（课本p12-13内容）
第01-2讲 §1-3 圆周运动 §1-4 相对运动
[教学过程] 一、自然坐标系：
沿轨道上某点，取切向t e 和法向n e 为两轴
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二、圆周运动的法向加速度及切向加速度
000lim
lim lim lim n t n t t t t t v v v v v
a t t t t
→→→→+===+ n t n n t t a a a e a e =+=+
先求t a ：显然t v 是速率的变化量，故t dv
a dt
=，方向：切向。 （0t →时，t v 及v 同向，故切向！） 再求n a ：由相似形得
n v v R
BC = 即：n v
v BC R =
当0t →即0θ→时，弦长=弧长。BC BC =
故2
00lim
lim n n t t v v s v a t R t R
→→=== 方向：0t →时，n v v ⊥，故“法向”
2
t t n n t n dv v a a e a e e e dt R
=+=+
2
2
2
2t
t n dv v a a dt R ????=+=+ ? ?????
a=a
推广至一般曲线：
1 / 1
()2
,n t v dv a a dt
ρρ
=
=
曲率半径 说明：t a 由速率变化引起，n a 由速度方向变化引起。
三、圆周运动的角量描述（这是课本第4-1节的内容，为了减少第04章的压力，调整到第1-3节来） 课本.18p ，自己阅读掌握：
线量
角量
关系
r
θ
v rw =
dr v dt = d w dt θ= 2
2n v a rw R
==
dv a dt =
dw dt β= t dv a r dt
β==
匀变速率圆周运动
202200122t t w t t w w w w t θββθβ?=+??=-??
=+??
[例4]（课本P19例）：飞机在高空点A 时的水平速率为1940/km h ，沿近似圆弧的曲线俯冲到B 点，速率2192/km h ，
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经历时间为3s ，设圆弧半径为3.5km ，俯冲过程可视为匀变速率圆周运动，不计重力加速度的影响，
求：（1）B 点加速度 （2）A B →经历的路程。
三、相对运动 1相对运动
a a a =+=+AB AC BC AB AC BC
v v v
2． 时空观： 经典力学中，时间及空间的测量及参考系无关，即绝对。而质点r 、v 和轨迹及参考系的选择有关，
即相对。
经典运用伽利略变换：
[例5]甲在车上发射弹丸，乙在地上看是竖直的。10(/)u m s =，60α=，求：v 。 解：v u v '=+ 103(/)v utg m s α==
'x x vt y y z z t t '=+??
'=??
'=??=?
[例6]火车以36/
km h的速度向东行驶，相对于地面竖直下落的雨滴，在车玻璃上形成的雨滴
及竖直成30。求：雨滴对地、对车的速率分别如何？
解：动体→雨滴
动系→火车
静系→地
第02章质点运动定律（1学时）
[教学基本要求]
一掌握牛顿定律的基本内容及其适用条件.
二熟练掌握用隔离体法分析物体的受力情况,能用微积分方法求解变力作用下的简单质点动力学问题 . [课本内容]
§2-1 牛顿定律
§2-2 物理量的单位和量纲
§2-3 几种常见的力
§2-4 惯性参考系力学相对性原理
§2-5 牛顿定律的应用举例
[知识点]
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1 牛顿三定律
2 单位和量纲
3 常见的力
[重点]：
1. 牛顿三定律的基本内容。
2. 应用牛顿定律解题的基本思路，特别是用微积分方法求解一维变力作用下的质点动力学问题。
3. 在非惯性系中求解力学问题；惯性力的物理意义
[难点]
1．变力作用下的质点运动问题。
[教学过程]
一、牛顿三定律
牛一定律：惯性定律。0
F=时v守恒
牛二定律：
()
d mv
d p dv
F m ma
dt dt dt
=?==
牛三定律：F F'
=-
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二、惯性参照系
牛顿运动定律成立的参照系为惯性参照系。
生活实践和实验表明：地球可视为惯性系。车、地都是惯性系；此时车厢不再是惯性系 1．力学相对性原理
v v u '=+
因：u 是常量，故：a a '= （不同惯性系下，相同的力学形式） 推广：“不同惯性系下，牛顿力学的规律都等价” --力学相对性原理
2．非惯性系及惯性力 质量为m 的物体，在平动加速度为a 0的参照系中受的惯性力为0i F ma =-
第03章 动量守恒、能量守恒（3学时）
[教学基本要求]
1．理解动量、冲量概念,掌握动量定理和动量守恒定律 .
2．掌握功的概念,能计算变力的功,理解保守、力作功的特点及势能的概念,会计算万有引力、重力和弹性力的势能 .
3．掌握动能定理、功能原理和机械能守恒定律, 掌握运用守恒定律分析问题的思想和方法.
4．了解完全弹性碰撞和完全非弹性碰撞的特点 .
[教学内容]
§3-1 质点和质点系的动量定理
§3-2 动量守恒定律
§3-4 动能定理
§3-5 保守力及非保守力势能
§3-6 功能原理机械能守恒定律
§3-7 完全弹性碰撞完全非弹性碰撞
02-1讲及第03-1讲合一）
§3-1 质点和质点系的动量定理
§3-2 动量守恒定律
[知识点]：
1．动量定理：合外力的冲量等于质点（或质点系）动量的增量。其数学表达式为
∑?=
-
=
i
i t
t
P
P
P
P
dt
F
,
1
2
2
1
1 / 1
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2．动量守恒定律
当一个质点系所受合外力为零时，这一质点系的总动量矢量就保持不变。即
在直角坐标系中的分量式（略）
3. 质点的角动量定理
质点的角动量：对某一固定点有
v r m p r L ?=?= 角动量定理：质点所受的合外力矩等于它的角动量对时间的变化率
?
?? ???==∑i i i F r M dt L d M 4.角动量守恒定律
若对某一固定点而言，质点受的合外力矩为零，则质点的角动量保持不变。即
[重点]：
1.掌握动量定理。学会计算变力的冲量，并能灵活应用该定理分析、解决质点在平面内运动时的力学问题。
2.掌握动量守恒定律。掌握系统动量守恒的条件以及运用该定律分析问题的思想和方法，能分析系统在平面内运动的力学问题。
3.掌握质点的角动量的物理意义，能用角动量定理计算问题。
4.掌握角动量守恒定律的条件以及运用该定律求解问题的基本方法。
[难点]：
常矢量时当外===∑∑∑i i i i i v m P F
,0常矢量
时当===∑0,0L L M
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1. 计算变力的冲量。
2. 用动量定理系统动量守恒分析、解决质点在平面内运动时的力学问题。
3. 正确运用角动量定理及角动量守恒定律求解问题。
[教学过程] §3-1 动量定理
引言：牛二定律揭示了力是改变运动状态的原因。此外，力作用于质点或质点组往往还有一段持续时间和持续空间。
一、冲量 质点的动量定理
()
d p F F dt d p d mv dt =
???→==变形21212
1
t
t
F dt p p mv mv ???→=-=-?积分
动量定理：在给定的时间间隔内，外力作用在顶点上的冲量，等于质点在此时间内动量的增量。 矢量性：某方向上的外力只改变该方向的p 。 优点：可忽略中间复杂过程，只看初末状态。
二、质点组的动量定理
()1
1
1
102
1
t t
F f dt p p +=-? ①
()
2
1
2
2120t t F
f dt p p +=-? ②
1 / 1
①+②， ()()()()2
1
1212211020t t
F F f f dt p p p p ??+++=+-+???
由牛三定律得，12f f =
故 ()()()121210202
1t t F F dt p p p p +=+-+?
推广： 02
1
t t F dt p p =-∑∑∑?外
动量定理的微分形式：d p
F dt
=
外（质点组） [例1] 已知:：0.05m kg =的弹性刚球,设碰撞时间0.05t s =,1210/v v m s == 求:平均冲力(钢板所受) 解法一：()21cos cos 2cos x x x F t mv mv mv mv mv ααα=-=--= 210y y y F t mv mv =-=
2cos x y x mv F F F F t
α
=+==
（小球所受） 解法二：据矢量三角形，由几何边角关系求解。 ()F t m v m ==
[例2]（练习册 例3-6）如图，用传送带A 输送煤粉，料斗口在A 上方高h=0.5m 处，煤粉
v
1 / 1
自料斗口自由落在A 上，设料斗口连续卸煤的流量为q m =40kg/s ，A 以v=2.0m/s 的水平速度匀速向右移动。求装煤的过程中，煤粉对A 的作用力的大小和方向. (不计相对传送带静止的煤粉质重)
§3-2 动量守恒定律
0F
=∑外
时，0p =
注：①内外时，近似认为动量守恒。
②0F ≠∑外，但在某一方向上分量为零，则该方向上有动量守恒 ③广泛适用，牛顿运动定律则不适于微观领域。
[例3] 炮车M 以仰角θ发射m ，m 相对于炮筒出口速度为v 。不计车及地面摩擦。求：炮车反冲速度大小。 解：（相对运动+动量守恒）综合题
设所求为V 。①水平方向上动量守恒；②统一参照系（地） ()cos m v V MV θ-= cos m V v M m
θ
∴=
+
[例4]（练习册 例3-5）三个物体A 、B 、C 每个质量都是M 。B 、C 靠在一起，放在光滑水平桌面上，两者间连有一段长为0. 4m 的细绳，原先放松着B 的另一侧用一跨过桌边
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的定滑轮的细绳及A 相连(如图)。滑轮和绳子的质量及轮轴上的摩擦不计，绳子不可伸长。问： (1) A 、B 起动后，经多长时间C 也开始运动?
(2) C 开始运动时速度的大小是多少? (取g=10m ·s -2)
§3-4 动能定理
§3-5 保守力及非保守力 势能 §3-6 功能原理 机械能守恒定律 §3-7 完全弹性碰撞 完全非弹性碰撞
[知识点]：
1．功的定义
质点在力F 的作用下有微小的位移d r （或写为ds ），则力作的功定义为和位移的标积，即
θ
θcos cos Fds r d F r d F dA ==?=
对质点在力作用下的有限运动，力作的功为 ??=
b
a r
d F A
在直角坐标系中，此功可写为
1 / 1
???++=b
a z
b a y b a x dz
F dy F dx F A
应当注意，功的计算不仅及参考系的选择有关，一般还及物体的运动路径有关。只有保守力（重力、弹性力、万有引力）的功才只及始末位置有关，而及路径形状无关。
2. 动能定理
质点动能定理：合外力对质点作的功等于质点动能的增量。
2022121mv mv A -=
质点系动能定理：系统外力的功及内力的功之和等于系统总动能的增量。 0
K K E E A A -=+内外
应当注意，动能定理中的功只能在惯性系中计算。
3.
势能
重力势能：零势面的选择视方便而定。
弹性势能：规定弹簧无形变时的势能为零，它总取正值。
万有引力势能：取无穷远处为零势点，它总取负值。
4.
功能原理
)
()(00P K P K E E E E A A +-+=+非保内外
即：外力的功及非保守内力的功之和等于系统机械能的增量。
5.
机械能守恒定律
1 / 1
外力的功及非保守内力的功之和等于零时，系统的机械能保持不变。即
常量时，当非保内外=+=+P K E E A A 0
[重点]：
1.熟练掌握功的定义及变力作功的计算方法。
2.理解保守力作功的特点及势能的概念，会计算重力势能、弹性势能和万有引力势能。
3.掌握动能定理及功能原理，并能用它们分析、解决质点在平面内运动时的力学问题。
4.掌握机械能守恒的条件及运用守恒定律分析、求解综和问题的思想和方法。
[难点]：
1.计算变力的功。
2.理解一对内力的功。
3.机械能守恒的条件及运用守恒定律分析、求解综和问题的思想和方法。
[教学过程] §3-4 动能定理
前面讲了力对时的积累效果：212
1t t F dt p p =-? 那么，力对空间的积累效果？
由牛顿运动定理：