第一课时几个常用函数的导数和基本初等函数的导数公式
预习课本P12～14，思考并完成下列问题
(1)函数y＝c，y＝x，y＝x－1，y＝x2，y＝x的导数分别是什么？能否得出y＝x n的导数公式？
(2)正余弦函数的导数公式、指数函数、对数函数的导数公式是什么？
[新知初探]
1．几种常用函数的导数
[点睛]
(1)以上几个常用函数的导数是求解其他函数的导数的基础，都是通过导数的定义求得的，都属于幂函数的导数．
(2)以上几个常见的导数公式需记牢，在求导数时，可直接应用，不必再用定义去求导．
2．基本初等函数的导数公式
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若y ＝2，则y ′＝1
2×2＝1.( )
(2)若f ′(x )＝sin x ，则f (x )＝cos x ．( ) (3)f (x )＝1x 3，则f ′(x )＝－3
x 4.( )
答案：(1)× (2)× (3)√ 2．下列结论不正确的是( ) A ．若y ＝0，则y ′＝0 B ．若y ＝5x ，则y ′＝5 C ．若y ＝x －
1，则y ′＝－x －
2
D ．若y ＝x 12，则y ′＝12x 1
2
答案：D
3．若y ＝cos 2π
3，则y ′＝( )
A ．－
3
2
B ．－1
2
C ．0 D.12
答案：C
4．函数y ＝x 在点????
14，12处切线的倾斜角为( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4
答案：B
[典例] 求下列函数的导数．
(1)y ＝x 12；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5
x 3；(4)y ＝3x ；
(5)y ＝log 5x .
[解] (1)y ′＝(x 12)′＝12x 11.
(2)y ′＝????1x 4′＝(x －4)′＝－4x －5
＝－4x 5. (3)y ′＝(5
x 3
)′＝(x 35)′＝35
x -2
5
.
(4)y ′＝(3x )′＝3x ln 3. (5)y ′＝(log 5x )′＝
1x ln 5
.
求简单函数的导函数有两种基本方法 (1)用导数的定义求导，但运算比较繁杂；
(2)用导数公式求导，可以简化运算过程、降低运算难度．解题时根据所给问题的特征，将题中函数的结构进行调整，再选择合适的求导公式．
[活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y ＝lg x ；(2)y ＝????12x ；(3)y ＝x x ；(4)y ＝log 1
3x . 解：(1)y ′＝(lg x )′＝????ln x ln 10′＝
1
x ln 10
. (2)y ′＝????????12x ′＝????12x ln 12＝－???
?12x ln 2. (3)y ′＝(x x )′＝(x 32)′＝32x 12＝3
2x .
(4)y ′＝????log 13x ′＝1x ln 13
＝－1
x ln 3
.
利用导数公式求切线方程
[典例] 已知曲线y ＝1
x
.
(1)求曲线在点P (1,1)处的切线方程； (2)求曲线过点Q (1,0)处的切线方程． [解] ∵y ＝1x ，∴y ′＝－1
x
2.
(1)显然P (1,1)是曲线上的点，所以P 为切点，所求切线斜率为函数y ＝1
x 在点P (1,1)的导数，即k ＝f ′(1)＝－1.
所以曲线在P (1,1)处的切线方程为y －1＝－(x －1)，即为y ＝－x ＋2. (2)显然Q (1,0)不在曲线y ＝1
x 上，
则可设过该点的切线的切点为A ????a ， 1a ， 那么该切线斜率为k ＝f ′(a )＝－1
a 2.
则切线方程为y －1a ＝－1
a 2(x －a )．①
将Q (1,0)代入方程：0－1a ＝－1
a
2(1－a )．
将得a ＝1
2
，代入方程①整理可得切线方程为y ＝－4x ＋4.
利用导数的几何意义解决切线问题的两种情况
(1)若已知点是切点，则在该点处的切线斜率就是该点处的导数．
(2)如果已知点不是切点，则应先设出切点，再借助两点连线的斜率公式进行求解． [活学活用]
当常数k 为何值时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切？请求出切点． 解：设切点为
A (x 0，x 2
0＋k )．∵y ′＝2x ，∴?????
2x 0＝1，
x 2
0＋k ＝x 0，
∴???
x 0＝12
，
k ＝1
4，
故当k ＝1
4
时，直线y ＝x 与曲线y ＝x 2＋k 相切，且切点坐标为????12， 12.
导数的简单综合应用
[典例] (1)质点的运动方程是S ＝sin t ，则质点在t ＝π
3时的速度为________；质点运动
的加速度为________．
(2)已知两条曲线y ＝sin x ，y ＝cos x ，是否存在这两条曲线的一个公共点，使在这一点处，两条曲线的切线互相垂直？并说明理由．
[解析] (1)v (t )＝S ′(t )＝cos t ， ∴v ????π3＝cos π3＝12. 即质点在t ＝π3时的速度为12.
∵v (t )＝cos t ，
∴加速度a (t )
＝v ′(t )＝(cos t )′＝－sin t . 答案：1
2
－sin t
(2)解：由于y ＝sin x ，y ＝cos x ，设这两条曲线的一个公共点为P (x 0，y 0)．∴两条曲线在P (x 0，y 0)处的斜率分别为k 1＝cos x 0，k 2＝－sin x 0.
若使两条切线互相垂直，必须cos x 0·(－sin x 0)＝－1， 即sin x 0·cos x 0＝1，也就是sin 2x 0＝2，这是不可能的． ∴两条曲线不存在公共点，使在这一点处的两条切线互相垂直．
导数的综合应用的解题技巧
(1)导数的几何意义为导数和解析几何的沟通搭建了桥梁，很多综合问题我们可以数形结合，巧妙利用导数的几何意义，即切线的斜率建立相应的未知参数的方程来解决，往往这是解决问题的关键所在．
(2)导数作为重要的解题工具，常与函数、数列、解析几何、不等式等知识结合出现综合大题．遇到解决一些与距离、面积相关的最值、不等式恒成立等问题．可以结合导数的几何意义分析．
[活学活用]
曲线y ＝x 2
3在点(1,1)处的切线与x 轴、直线x ＝2所围成的三角形的面积为( )
A.53
B.89
C.2512
D.412
解析：选C 可求得y ′＝23x －13，即y ′|x ＝1＝2
3，切线方程为2x －3y ＋1＝0，与x 轴
的交点坐标为????－12，0，与x ＝2的交点坐标为????2，53，围成三角形面积为12×????2＋12×53＝2512
.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f (x )＝x 3的切线的斜率等于3，则切线有( ) A ．1条 B ．2条 C ．3条
D ．不确定
解析：选B ∵f ′(x )＝3x 2＝3，解得x ＝±1.切点有两个，即可得切线有2条． 2．曲线y ＝e x 在点A (0,1)处的切线斜率为( ) A ．1 B ．2 C ．e
D.1
e
解析：选A 由条件得y ′＝e x ，根据导数的几何意义，可得k ＝y ′|x ＝0＝e 0＝1. 3．已知f (x )＝－3x 5
3，则f ′(22)＝( )
A ．10
B ．－5x 2
3
C ．5
D ．－10
解析：选D ∵f ′(x )＝－5x 23，∴f ′(22)＝－5×232×2
3＝－10，故选D.
4．已知f (x )＝x α，若f ′(－1)＝－2，则α的值等于( ) A ．2 B ．－2 C ．3
D ．－3
解析：选A 若α＝2，则f (x )＝x 2，∴f ′(x )＝2x ， ∴f ′(－1)＝2×(－1)＝－2适合条件．故应选A. 5. 曲线y ＝1
3x 3在x ＝1处切线的倾斜角为( )
A ．1
B ．－π4
C.π4
D.5π4
解析：选C ∵y ′＝x 2，∴y ′|x ＝1＝1，
∴切线的倾斜角α满足tan α＝1，∵0≤α<π，∴α＝π
4
.
6．曲线y ＝ln x 在点M (e,1)处的切线的斜率是________，切线方程为____________． 解析：∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴y ′|x ＝e ＝1
e .
∴切线方程为y －1＝1
e (x －e)，即x －e y ＝0.
答案：1
e
x －e y ＝0
7．已知f (x )＝a 2(a 为常数)，g (x )＝ln x ，若2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝1，则x ＝________. 解析：因为f ′(x )＝0，g ′(x )＝1
x ， 所以2x [f ′(x )＋1]－g ′(x )＝2x －1
x ＝1. 解得x ＝1或x ＝－1
2，因为x ＞0，所以x ＝1.
答案：1
8．设坐标平面上的抛物线C ：y ＝x 2，过第一象限的点(a ，a 2)作抛物线C 的切线l ，则直线l 与y 轴的交点Q 的坐标为________．
解析：显然点(a ，a 2)为抛物线C ：y ＝x 2上的点，∵y ′＝2x ，∴直线l 的方程为y －a 2
＝2a (x －a )．
令x ＝0，得y ＝－a 2，∴直线l 与y 轴的交点的坐标为(0，－a 2)． 答案：(0，－a 2) 9．求下列函数的导数：
(1)y ＝x 8；(2)y ＝4x ；(3)y ＝log 3x ； (4)y ＝sin ????x ＋π
2；(5)y ＝e 2. 解：(1)y ′＝(x 8)′＝8x 8－
1＝8x 7.
(2)y ′＝(4x )′＝4x ln 4. (3)y ′＝(log 3x )′＝
1
x ln 3
. (4)y ′＝(cos x )′＝－sin x . (5)y ′＝(e 2)′＝0.
10．已知P (－1,1)，Q (2,4)是曲线y ＝x 2上的两点， (1)求过点P ，Q 的曲线y ＝x 2的切线方程． (2)求与直线PQ 平行的曲线y ＝x 2的切线方程．
解：(1)因为y ′＝2x ，P (－1,1)，Q (2,4)都是曲线y ＝x 2上的点． 过P 点的切线的斜率k 1＝y ′|x ＝－1＝－2， 过Q 点的切线的斜率k 2＝y ′|x ＝2＝4，
过P 点的切线方程：y －1＝－2(x ＋1)，即2x ＋y ＋1＝0. 过Q 点的切线方程：y －4＝4(x －2)，即4x －y －4＝0. (2)因为y ′＝2x ，直线PQ 的斜率k ＝4－1
2＋1
＝1， 切线的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0＝1， 所以x 0＝1
2，所以切点M ????12，14， 与PQ 平行的切线方程为： y －14＝x －1
2
，即4x －4y －1＝0. 层级二 应试能力达标
1．质点沿直线运动的路程s 与时间t 的关系是s ＝5t ，则质点在t ＝4时的速度为( ) A.
125
23
B.
1105
23
C.25
523 D.110
523
解析：选B ∵s ′＝15t －4
5.∴当t ＝4时，
s ′＝15·1544＝1105
23
.
2．直线y ＝1
2x ＋b 是曲线y ＝ln x (x ＞0)的一条切线，则实数b 的值为( )
A ．2
B ．ln 2＋1
C ．ln 2－1
D ．ln 2
解析：选C ∵y ＝ln x 的导数y ′＝1
x ，
∴令1x ＝1
2，得x ＝2，∴切点为(2，ln 2)．
代入直线y ＝1
2
x ＋b ，得b ＝ln 2－1.
3．在曲线f (x )＝1x 上切线的倾斜角为3
4π的点的坐标为( )
A ．(1,1)
B ．(－1，－1)
C ．(－1,1)
D ．(1,1)或(－1，－1)
解析：选D 因为f (x )＝1x ，所以f ′(x )＝－1x 2，因为切线的倾斜角为3
4π，所以切线斜率
为－1，
即f ′(x )＝－1
x 2＝－1，所以x ＝±1，
则当x ＝1时，f (1)＝1；
当x ＝－1时，f (1)＝－1，则点坐标为(1,1)或(－1，－1)．
4．设曲线y ＝x n ＋
1(n ∈N *)在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n ，则x 1·x 2·…·x n
的值为( )
A. 1n
B.1n ＋1
C.n n ＋1
D ．1
解析：选B 对y ＝x n ＋
1(n ∈N *)求导得y ′＝(n ＋1)x n . 令x ＝1，得在点(1,1)处的切线的斜率k ＝n ＋1，∴在点(1,1)处的切线方程为y －1＝(n ＋1)(x n －1)．令y ＝0，得x n ＝n
n ＋1
，∴x 1·x 2·…·x n ＝12×23×34×…×n －1n ×n n ＋1＝1
n ＋1
， 故选B.
5．与直线2x －y －4＝0平行且与曲线y ＝ln x 相切的直线方程是________． 解析：∵直线2x －y －4＝0的斜率为k ＝2，
又∵y ′＝(ln x )′＝1x ，∴1x ＝2，解得x ＝1
2.
∴切点的坐标为????1
2，－ln 2. 故切线方程为y ＋ln 2＝2????x －1
2. 即2x －y －1－ln 2＝0. 答案：2x －y －1－ln 2＝0
6．若曲线y ＝x 在点P (a ，a )处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为2，则实数a 的值是________________．
解析：∵y ′＝
1
2x ，∴切线方程为y －a ＝1
2a (x －a )，令x ＝0，得y ＝a 2，令y ＝0，
得x ＝－a ，由题意知12·a
2
·a ＝2，∴a ＝4.
答案：4
7．已知曲线方程为y ＝f (x )＝x 2，求过点B (3,5)且与曲线相切的直线方程．
解：设切点P 的坐标为(x 0，x 2
0)．
∵y ＝x 2，∴y ′＝2x ，∴k ＝f ′(x 0)＝2x 0， ∴切线方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)．
将点B (3,5)代入上式，得5－x 20＝2x 0(3－x 0)，
即x 20－6x 0＋5＝0，∴(x 0－1)(x 0－5)＝0，
∴x 0＝1或x 0＝5，
∴切点坐标为(1,1)或(5,25)，
故所求切线方程为y －1＝2(x －1)或y －25＝10(x －5)， 即2x －y －1＝0或10x －y －25＝0.
8．求证：双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积等于常数． 证明：设P (x 0，y 0)为双曲线xy ＝a 2上任一点． ∵y ′＝????a 2
x ′＝－a 2
x 2
. ∴过点P 的切线方程为y －y 0＝－a 2
x 20(x －x 0)．
令x ＝0，得y ＝2a 2
x 0；令y ＝0，得x ＝2x 0.
则切线与两坐标轴围成的三角形的面积为
S ＝12·???
?2a 2
x 0·|2x 0
|＝2a 2.
即双曲线xy ＝a 2上任意一点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为常数2a 2.
第二课时 导数的运算法则
预习课本P15～18，思考并完成下列问题
(1)导数的四则运算法则是什么？在使用运算法则时的前提条件是什么？
(2)复合函数的定义是什么，它的求导法则又是什么？
[新知初探]
1．导数的四则运算法则 (1)条件：f (x )，g (x )是可导的．
(2)结论：①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )． ②[f (x )g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )． ③????f (x )g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． [点睛] 应用导数公式的注意事项
(1)两个导数的和差运算只可推广到有限个函数的和差的导数运算． (2)两个函数可导，则它们的和、差、积、商(商的分母不为零)必可导． (3)若两个函数不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导．
(4)对于较复杂的函数式，应先进行适当的化简变形，化为较简单的函数式后再求导，可简化求导过程．
2．复合函数的求导公式
(1)复合函数的定义：①一般形式是y ＝f (g (x ))． ②可分解为y ＝f (u )与u ＝g (x )，其中u 称为中间变量．
(2)求导法则：复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为：y x ′＝y u ′·u x ′.
[小试身手]
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)f ′(x )＝2x ，则f (x )＝x 2.( )
(2)函数f (x )＝x e x 的导数是f ′(x )＝e x (x ＋1)．( ) (3)函数f (x )＝sin(－x )的导数为f ′(x )＝cos x ．( )
答案：(1)× (2)√ (3)×
2．函数y ＝sin x ·cos x 的导数是( ) A ．y ′＝cos 2x ＋sin 2x B ．y ′＝cos 2x C ．y ′＝2cos x ·sin x D ．y ′＝cos x ·sin x
答案：B
3．函数y ＝x cos x －sin x 的导数为________． 答案：－x sin x
4．若f (x )＝(2x ＋a )2，且f ′(2)＝20，则a ＝________. 答案：1
利用导数四则运算法则求导
[典例] 求下列函数的导数： (1)y ＝x 2＋log 3x ；(2)y ＝x 3·e x ；(3)y ＝
cos x
x
. [解] (1)y ′＝(x 2＋log 3x )′＝(x 2)′＋(log 3x )′ ＝2x ＋
1
x ln 3
. (2)y ′＝(x 3·e x )′＝(x 3)′·e x ＋x 3·(e x )′ ＝3x 2·e x ＋x 3·e x ＝e x (x 3＋3x 2)．
(3)y ′＝????cos x x ′＝(cos x )′·x －cos x ·(x )′x 2
＝
－x ·sin x －cos x x 2
＝－x sin x ＋cos x
x 2
.
求函数的导数的策略
(1)先区分函数的运算特点，即函数的和、差、积、商，再根据导数的运算法则求导数．
(2)对于三个以上函数的积、商的导数，依次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． [活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y ＝sin x －2x 2
；(2)y ＝cos x ·ln x ；(3)y ＝e x
sin x
.
解：(1)y ′＝(sin x －2x 2)′＝(sin x )′－(2x 2)′＝cos x －4x . (2)y ′＝(cos x ·ln x )′＝(cos x )′·ln x ＋cos x ·(ln x )′
＝－sin x ·ln x ＋
cos x
x
. (3)y ′＝????e x
sin x ′＝(e x )′·sin x －e x ·(sin x )′sin 2
x
＝e x ·sin x －e x ·cos x sin 2x ＝e x (sin x －cos x )
sin 2x
复合函数的导数运算
[典例] 求下列函数的导数： (1)y ＝
11－2x
2；(2)y ＝e sin(ax ＋b )
； (3)y ＝sin 2????2x ＋π
3；(4)y ＝5log 2(2x ＋1)． [解] (1)设y ＝u －1
2
，u ＝1－2x 2，
则y ′＝(u －1
2)′ (1－2x 2)′＝????－12u －32·(－4x ) ＝－12(1－2x 2)－32 (－4x )＝2x (1－2x 2)－3
2.
(2)设y ＝e u ，u ＝sin v ，v ＝ax ＋b ， 则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝e u ·cos v ·a ＝a cos(ax ＋b )·e sin(ax
＋b )．
(3)设y ＝u 2，u ＝sin v ，v ＝2x ＋π3，
则y x ′＝y u ′·u v ′·v x ′＝2u ·cos v ·2 ＝4sin v cos v ＝2sin 2v ＝2sin ????4x ＋2π
3. (4)设y ＝5log 2u ，u ＝2x ＋1， 则y ′＝5(log 2u )′·(2x ＋1)′ ＝
10u ln 2＝10
(2x ＋1)ln 2
.
1．求复合函数的导数的步骤
2．求复合函数的导数的注意点 (1)内、外层函数通常为基本初等函数．
(2)求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． [活学活用]
求下列函数的导数：
(1)y ＝(3x －2)2； (2)y ＝ln(6x ＋4)； (3)y ＝e 2x
＋1；
(4)y ＝2x －1；
(5)y ＝sin ?
???3x －π
4；(6)y ＝cos 2x . 解：(1)y ′＝2(3x －2)·(3x －2)′＝18x －12； (2)y ′＝
16x ＋4·(6x ＋4)′＝3
3x ＋2
； (3)y ′＝e 2x ＋
1·(2x ＋1)′＝2e 2x ＋
1； (4)y ′＝
122x －1·(2x －1)′＝1
2x －1
.
(5)y ′＝cos ????3x －π4·????3x －π4′＝3cos ????3x －π
4. (6)y ′＝2cos x ·(cos x )′＝－2cos x ·sin x ＝－sin 2x .
与切线有关的综合问题
[典例] (1)函数y ＝2cos 2x 在x ＝π
12处的切线斜率为________．
(2)已知函数f (x )＝ax 2＋ln x 的导数为f ′(x )， ①求f (1)＋f ′(1)．
②若曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，求实数a 的取值范围．
[解析] (1)由函数y ＝2cos 2x ＝1＋cos 2x ，得y ′＝(1＋cos 2x )′＝－2sin 2x ，所以函数在x ＝π
12
处的切线斜率为－2sin ????2×π12＝－1. 答案：－1
(2)解：①由题意，函数的定义域为(0，＋∞)，
由f (x )＝ax 2＋ln x ，得f ′(x )＝2ax ＋1
x ，
所以f (1)＋f ′(1)＝3a ＋1.
②因为曲线y ＝f (x )存在垂直于y 轴的切线，故此时切线斜率为0，问题转化为在x ∈(0，＋∞)内导函数f ′(x )＝2ax ＋1
x 存在零点，
即f ′(x )＝0?2ax ＋1
x
＝0有正实数解，
即2ax 2＝－1有正实数解，故有a <0，所以实数a 的取值范围是(－∞，0)．
关于函数导数的应用及其解决方法
(1)应用：导数应用主要有：求在某点处的切线方程，已知切线的方程或斜率求切点，以及涉及切线问题的综合应用．
(2)方法：先求出函数的导数，若已知切点则求出切线斜率、切线方程﹔若切点未知，则先设出切点，用切点表示切线斜率，再根据条件求切点坐标．总之，切点在解决此类问题时起着至关重要的作用．
[活学活用]
若存在过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3和y ＝ax 2＋15
4x －9都相切，则a 的值为( ) A ．－1或－25
64
B ．－1或
214
C ．－74或－2564
D ．－74
或7
解析：选A 设过点(1,0)的直线与曲线y ＝x 3相切于点(x 0，x 30)，
则切线方程为y －x 30＝3x 20(x －x 0)，即y ＝3x 20x －2x 30.
又点(1,0)在切线上，代入以上方程得x 0＝0或x 0＝32.
当x 0＝0时，直线方程为y ＝0. 由y ＝0与y ＝ax 2＋
154x －9相切可得a ＝－2564
. 当x 0＝32时，直线方程为y ＝274x －27
4
.
由y ＝274x －274与y ＝ax 2＋15
4
x －9相切可得a ＝－1.
层级一 学业水平达标
1．已知函数f (x )＝ax 2＋c ，且f ′(1)＝2，则a 的值为( ) A ．1 B. 2 C ．－1
D ．0
解析：选A ∵f (x )＝ax 2＋c ，∴f ′(x )＝2ax ， 又∵f ′(1)＝2a ，∴2a ＝2，∴a ＝1.
2．函数y ＝(x ＋1)2(x －1)在x ＝1处的导数等于( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选D y ′＝[(x ＋1)2]′(x －1)＋(x ＋1)2(x －1)′＝2(x ＋1)·(x －1)＋(x ＋1)2＝3x 2＋2x －1，∴y ′|x ＝1＝4.
3．曲线f (x )＝x ln x 在点x ＝1处的切线方程为( ) A ．y ＝2x ＋2 B ．y ＝2x －2 C ．y ＝x －1
D ．y ＝x ＋1
解析：选C ∵f ′(x )＝ln x ＋1，∴f ′(1)＝1，又f (1)＝0，∴在点x ＝1处曲线f (x )的切线方程为y ＝x －1.
4. 已知物体的运动方程为s ＝t 2＋3
t (t 是时间，s 是位移)，则物体在时刻t ＝2时的速度
为( )
A.194
B.174
C.154
D.134
解析：选D ∵s ′＝2t －3t 2，∴s ′|t ＝2＝4－34＝13
4
.
5．设曲线y ＝ax －ln(x ＋1)在点(0,0)处的切线方程为y ＝2x ，则a ＝( ) A ．0 B ．1 C ．2
D ．3
解析：选D y ′＝a －
1
x ＋1
，由题意得y ′|x ＝0＝2，即a －1＝2，所以a ＝3. 6．曲线y ＝x 3－x ＋3在点(1,3)处的切线方程为________． 解析：∵y ′＝3x 2－1，∴y ′|x ＝1＝3×12－1＝2. ∴切线方程为y －3＝2(x －1)，即2x －y ＋1＝0. 答案：2x －y ＋1＝0
7．已知曲线y 1＝2－1
x 与y 2＝x 3－x 2＋2x 在x ＝x 0处切线的斜率的乘积为3，则x 0＝________.
解析：由题知y ′1＝1x 2，y ′2＝3x 2－2x ＋2，所以两曲线在x ＝x 0处切线的斜率分别为1
x 20
，
3x 2
0－2x 0＋2，所以3x 20－2x 0＋2x 20
＝3，所以
x 0＝1.
答案：1
8．已知函数f (x )＝f ′????π4cos x ＋sin x ，则f ????π4的值为________． 解析：∵f ′(x )＝－f ′????
π4sin x ＋cos x ， ∴f ′????π4＝－f ′????π4×22＋22， 得f ′????π4＝2－1.
∴f (x )＝(2－1)cos x ＋sin x . ∴f ????π4＝1. 答案：1
9．求下列函数的导数： (1)y ＝x sin 2
x ；(2)y ＝e x ＋1e x －1
；
(3)y ＝
x ＋cos x
x ＋sin x
；(4)y ＝cos x ·sin 3x .
解：(1)y ′＝(x )′sin 2x ＋x (sin 2x )′ ＝sin 2x ＋x ·2sin x ·(sin x )′＝sin 2x ＋x sin 2x . (2)y ′＝(e x ＋1)′(e x －1)－(e x ＋1)(e x －1)′(e x －1)2
＝－2e x (e x －1)2 . (3)y ′＝(x ＋cos x )′(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(x ＋sin x )′
(x ＋sin x )2
＝(1－sin x )(x ＋sin x )－(x ＋cos x )(1＋cos x )
(x ＋sin x )2
＝
－x cos x －x sin x ＋sin x －cos x －1
(x ＋sin x )2
.
(4)y ′＝(cos x ·sin 3x )′
＝(cos x )′sin 3x ＋cos x (sin 3x )′ ＝－sin x sin 3x ＋3cos x cos 3x ＝3cos x cos 3x －sin x sin 3x .
10．偶函数f (x )＝ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e 的图象过点P (0,1)，且在x ＝1处的切线方程为
y ＝x －2，求f (x )的解析式．
解：∵f (x )的图象过点P (0,1)，∴e ＝1. 又∵f (x )为偶函数，∴f (－x )＝f (x )．
故ax 4＋bx 3＋cx 2＋dx ＋e ＝ax 4－bx 3＋cx 2－dx ＋e . ∴b ＝0，d ＝0.∴f (x )＝ax 4＋cx 2＋1.
∵函数f (x )在x ＝1处的切线方程为y ＝x －2， ∴切点为(1，－1)．∴a ＋c ＋1＝－1. ∵f ′(x )|x ＝1＝4a ＋2c ，∴4a ＋2c ＝1. ∴a ＝52，c ＝－92
.
∴函数f (x )的解析式为f (x )＝52x 4－9
2
x 2＋1.
层级二 应试能力达标
1．若函数f (x )＝ax 4＋bx 2＋c 满足f ′(1)＝2，则f ′(－1)等于( ) A ．－1 B ．－2 C ．2
D ．0
解析：选B ∵f ′(x )＝4ax 3＋2bx 为奇函数，∴f ′(－1)＝－f ′(1)＝－2. 2．曲线y ＝x e x －1
在点(1,1)处切线的斜率等于( )
A ．2e
B ．e
C ．2
D ．1
解析：选C 函数的导数为f ′(x )＝e x －
1＋x e x －
1＝(1＋x )e x －
1， 当x ＝1时，f ′(1)＝2，即曲线y ＝x e x
－1
在点(1,1)处切线的斜率k ＝f ′(1)＝2，故选C.
3．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e －
1
B ．－1
C ．－e －
1
D ．－e
解析：选C ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ， ∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1
x
，
∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1e ，解得f ′(e)＝－1
e ，故选C.
4．若f (x )＝x 2－2x －4ln x ，则f ′(x )＞0的解集为( ) A ．(0，＋∞) B ．(－1,0)∪(2，＋∞) C ．(2，＋∞)
D ．(－1,0)
解析：选C ∵f (x )＝x 2－2x －4ln x ， ∴f ′(x )＝2x －2－4
x ＞0，
整理得(x＋1)(x－2)
x＞0，解得－1＜x＜0或x＞2，
又因为f(x)的定义域为(0，＋∞)，所以x＞2.
5．已知直线y＝2x－1与曲线y＝ln(x＋a)相切，则a的值为________________．
解析：∵y＝ln(x＋a)，∴y′＝
1
x＋a
，设切点为(x0，y0)，
则y0＝2x0－1，y0＝ln(x0＋a)，且
1
x0＋a
＝2，
解之得a＝1
2ln 2.
答案：1
2ln 2
6．曲线y＝
x
2x－1
在点(1,1)处的切线为l，则l上的点到圆x2＋y2＋4x＋3＝0上的点的
最近距离是____________．
解析：y′＝－
1
(2x－1)2
，则y′|x＝1＝－1，∴切线方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2
＝0，圆心(－2,0)到直线的距离d＝22，圆的半径r＝1，∴所求最近距离为22－1.
答案：22－1
7．已知曲线f(x)＝x3＋ax＋b在点P(2，－6)处的切线方程是13x－y－32＝0.
(1)求a，b的值；
(2)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线l：y＝－1
4x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．
解：(1)∵f(x)＝x3＋ax＋b的导数f′(x)＝3x2＋a，
由题意可得f′(2)＝12＋a＝13，f(2)＝8＋2a＋b＝－6，解得a＝1，b＝－16.
(2)∵切线与直线y＝－1
4x＋3垂直，
∴切线的斜率k＝4.
设切点的坐标为(x0，y0)，
则f′(x0)＝3x20＋1＝4，∴x0＝±1.
由f(x)＝x3＋x－16，可得y0＝1＋1－16＝－14，
或y0＝－1－1－16＝－18.
则切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.
即y＝4x－18或y＝4x－14.
8．设f n(x)＝x＋x2＋…＋x n－1，x≥0，n∈N，n≥2.
(1)求f n ′(2)；
(2)证明：f n (x )在????0， 23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜2n
3n ＋1. 解：(1)由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －
1.
所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －
2＋n ·2n －
1，①
则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2n －
1＋n ·2n ，②
①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22＋…＋2n －
1－n ·2n
＝1－2n
1－2－n ·2n ＝(1－n )·2n －1， 所以f n ′(2)＝(n －1)·2n ＋1. (2)因为f (0)＝－1＜0，
f n ????23＝23????
1－????23n 1－23－1＝1－2×????23n ≥1－2×????232＞0， 因为x ≥0，n ≥2.
所以f n (x )＝x ＋x 2＋…＋x n －1为增函数， 所以f n (x )在???0， 2
3内单调递增， 因此f n (x )在????0， 2
3内有且仅有一个零点a n . 由于f n (x )＝x －x n ＋
1
1－x
－1，
所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋
1
n
1－a n
－1，
由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞12，故12＜a n ＜2
3. 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×????23n ＋1＝2n
3
n ＋1.
高等数学常用导数和积分公式 导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： （一）含有的积分() 1.＝ 2.＝（） 3.＝ 4.＝ 5.＝ 6.＝ 7.＝ 8.＝ 9.＝ （二）含有的积分10.＝11.＝12.＝13.＝14.＝15.＝16.＝17.＝18.＝ （三）含有的积分19.=20.=21.= （四）含有的积分22.＝23.＝24.＝25.＝26.＝27.＝28.＝ （五）含有的积分29.＝30.＝ （六）含有的积分31.＝＝32.＝33.＝34.＝35.＝36.＝37.＝38.＝39.＝40.＝41.＝42.＝43.＝44.＝ （七）含有的积分45.＝=46.＝47.＝48.＝49.＝50.＝51.＝52.＝53.＝54.＝55.＝56.＝57.＝58.＝
（八）含有的积分59.＝60.＝61.＝62.＝63.＝64.＝65.＝66.＝67.＝68.＝69.＝70.＝71.＝72.＝（九）含有的积分73.＝74.＝75.＝76.＝77.＝78.＝（）含有或的积分79.＝80.＝81.＝82.＝（一）含有三角函数的积分83.＝84.＝85.＝86.＝87.＝＝88.＝＝89.＝90.＝91.＝92.＝93.＝94.＝95.＝96.＝97.＝98.＝99.＝＝100.＝101.＝102.＝103.＝104.＝105.＝106.＝107.＝108.＝109.＝110.＝111.＝112.＝（二）含有反三角函数的积分（其中）113.＝114.＝115.＝116.＝117.＝118.＝119.＝120.＝121. ＝（三）含有指数函数的积分122.＝123.＝124.＝125.＝126.＝127.＝128.＝129.＝130.＝131.＝（四）含有对数函数的积分132.＝133.＝134.＝135.＝136.＝（五）含有双曲函数的积分137.＝138.＝139.＝140.＝141.＝（六）定积分142.＝＝0143.＝0144.＝145.＝146.＝＝147. ＝＝＝（为大于1的正奇 数），＝1 （为正偶数），＝
高等数学公式 导数公式： 基本积分表： 三角函数的有理式积分： 2 222122an 11cos 12sin u du dx x t u u u x u u x +==+-=+=， ， ， a x x a a a ctgx x x tgx x x x x x x a x x ln 1 )(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(cot sec )(tan 22= '='?-='?='-='='2 2 22 11 )cot (11 )(arctan 11 )(arccos 11 )(arcsin x x arc x x x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x xdx x C x dx x x C x xdx x dx C x xdx x dx x x )ln(ln csc cot csc sec tan sec cot csc sin tan sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x a x a dx C x x xdx C x x xdx C x xdx C x xdx t +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 21arctan 1cot csc ln csc tan sec ln sec sin ln cot cos ln an 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
高等数学公式大全 导数公式： 基本积分表： a x x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22 = '='?-='?='-='='2 2 22 11 )(11 )(11 )(arccos 11 )(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +- ='+= '-- ='-= '? ?????????+±+=±+=+=+=+-=?+=?+-==+==C a x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx C a a dx a C x ctgxdx x C x dx tgx x C ctgx xdx x dx C tgx xdx x dx x x )ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 222 22 22 2C a x x a dx C x a x a a x a dx C a x a x a a x dx C a x arctg a x a dx C ctgx x xdx C tgx x xdx C x ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=????????arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 2 2222222? ????++-=-+-+--=-+++++=+-= ==-C a x a x a x dx x a C a x x a a x x dx a x C a x x a a x x dx a x I n n xdx xdx I n n n n arcsin 22ln 22)ln(221 cos sin 22 2222222 2222222 22 2 22 2 π π
第1讲 导数的概念及其运算 1.已知函数3 2 ()32f x ax x =++,若f′(-1)=4,则a 的值等于( ) A.193 B.163 C.133 D.103 【答案】 D 【解析】 f′2 ()36x ax x f =+,′(-1)=3a 10643 a -=,=. 2.设y=-2e x sinx,则y′等于( ) A.-2e x cosx B.-2e x sinx C.2e x sinx D.-2e (x sinx+cosx) 【答案】 D 【解析】 ∵y=-2e x sinx, ∴y′=(-2e )x ′sinx+(-2e )(x sinx)′ =-2e x sinx-2e x cosx =-2e (x sinx+cosx). 3.已知3 270()x m f x mx m <,=+,且f′(1)18≥-,则实数m 等于( ) A.-9 B.-3 C.3 D.9 【答案】 B 【解析】 由于f′2 27()3x mx m =+,故f′27(1)183m m ≥-?+≥ -18 , 由m<0得2 27318318270m m m m +≥-?++≤?2 3(3)m +0≤,故m=-3. 4.设曲线11 x y x +=-在点(3,2)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a 等于( ) A.2 B.12 C.12 - D.-2 【答案】 D 【解析】 因为y′22(1) x -= ,-所以切线斜率k=y′|3 x ==1 2-,而此切线与直线ax+y+1=0垂直, 故有()1k a ?-=-,因此12a k ==-. 5.已知12()f x =sin2x+sinx,则f′(x)是( ) A.仅有最小值的奇函数 B.既有最大值又有最小值的偶函数 C.仅有最大值的偶函数 D.非奇非偶函数 【答案】 B 【解析】 f′12()x =cos 22x ?+cosx=cos2x+cosx =2cos 21x -+cosx=2(cos 29148)x +-. 故f′(x)是既有最大值2,又有最小值98-的偶函数,选B 项.
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 声明：第一次弄这些，花了本人好些时间，o(∩_∩)o ，版权所有，严禁将本人的劳动成果用于商业用途。 导数公式 (1) (C)'=0 (2) (x μ )'=μ1 x μ- (3) (sinX)'=cosX (4) (cosX)'=-sinX (5) (tanA)'=2 sec A (6) (cotA)'=-2 csc A (7) (secA)'=secAtanA (8) (cscA)'=-cscAcotA (9) (x a )'=x a ln a (10) (x e )'=x e (11) (㏒a x)'= 1 ln x a (12)(lnx)'= 1x (13) (arcsinX)' (14) (arccosX)'= - (15) (arctanX)'= 2 1 1X + (16) (arccotX)'=- 2 11X +10 2 2 33331lim(1)1~ (1) 123 (4) n x x x n n n n →+-+++++= 等价公式 10 1lim(1)1~ n x x x n →+- 当0x →时,ln(1+x)~x 201cos 1 lim 2 x x x →-= 当0x →时,1~x e x - 0sin lim 1x x x →= 当0x →时,1~ln x a x a - 1 lim(1)x x e x →∞+= 22221 123...(1)(21)6 n n n n ++++=++ 0tan lim 1x x x →= 22 3 3 3 3 (1)123 (4) n n n +++++= 0arcsin lim 1x x x →= 220 sin cos n n xdx xdx π π =?? 0ln(1) lim 1x x x →+= 01lim 1ln x x a x a →-= 高中数学选修2-2导数--导数的运算（解析版） 1．若f (x )＝sin π 3 －cos x ，则f ′(α)等于( ) A ．Sin α B ．Cos α C ．sin π3＋cos α D ．cos π 3＋sin α [答案] A [解析] ∵f (x )＝sin π 3 －cos x ，∴f ′(x )＝sin x ，∴f ′(α)＝sin α，故选A. 2．设函数f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，则数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和是( ) A.n n ＋1B ．n ＋2n ＋1C.n n －1 D ．n ＋1n [答案] A [解析] ∵f (x )＝x m ＋ax 的导数为f ′(x )＝2x ＋1，∴m ＝2，a ＝1，∴f (x )＝x 2＋x ， ∴f (n )＝n 2＋n ＝n (n ＋1)，∴数列{1 f (n ) }(n ∈N *)的前n 项和为： S n ＝11×2＋12×3＋13×4＋…＋1 n (n ＋1)＝????1－12＋????12－13＋…＋????1n －1n ＋1 ＝1－1n ＋1＝n n ＋1 ，故选A. 3．已知二次函数f (x )的图象如图所示，则其导函数f ′(x )的图象大致形状是( ) [答案] B [解析] 依题意可设f (x )＝ax 2＋c (a <0，且c >0)，于是f ′(x )＝2ax ，显然f ′(x )的图象为直线，过原点，且斜率2a <0，故选B. 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，则f ′(e)＝( ) A ．e － 1B ．－1C ．－e － 1 D ．－e [答案] C [解析] ∵f (x )＝2xf ′(e)＋ln x ，∴f ′(x )＝2f ′(e)＋1x ，∴f ′(e)＝2f ′(e)＋1 e ， 解得f ′(e)＝－1 e ，故选C. (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) (e )e x x '= (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则 设)(x u u =， )(x v v =都可导，则 （1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数） （3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? 反函数求导法则 若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数)(x f y =在对应 区间x I 内也可导，且 )(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1= 复合函数求导法则 设 ) (u f y= ，而 ) (x u? = 且 ) (u f 及 ) (x ? 都可导，则复合函数 )] ( [x f y? = 的导数为 dy dy du dx du dx = 或 ()() y f u x ? ''' = 高中数学-导数的概念及运算练习 1．y ＝ln 1 x 的导函数为( ) A ．y ′＝－1 x B ．y ′＝1 x C ．y ′＝lnx D ．y ′＝－ln(－x) 答案 A 解析 y ＝ln 1x ＝－lnx ，∴y ′＝－1 x . 2．(·东北师大附中摸底)曲线y ＝5x ＋lnx 在点(1，5)处的切线方程为( ) A ．4x －y ＋1＝0 B ．4x －y －1＝0 C ．6x －y ＋1＝0 D ．6x －y －1＝0 答案 D 解析 将点(1，5)代入y ＝5x ＋lnx 成立，即点(1，5)为切点．因为y ′＝5＋1x ，所以y ′|x ＝1＝5＋1 1＝6. 所以切线方程为y －5＝6(x －1)，即6x －y －1＝0.故选D. 3．曲线y ＝x ＋1 x －1在点(3，2)处的切线的斜率是( ) A ．2 B ．－2 C.12 D ．－12 答案 D 解析 y ′＝（x ＋1）′（x －1）－（x ＋1）（x －1）′（x －1）2＝－2 （x －1）2，故曲线在(3，2)处的切线的斜率k ＝ y ′|x ＝3＝－2（3－1）2＝－1 2 ，故选D. 4．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t 秒后的位移为s ＝13t 3－32t 2 ＋2t ，那么速度为零的时刻是( ) A ．0秒 B ．1秒末 C ．2秒末 D ．1秒末和2秒末 答案 D 解析 ∵s＝13t 3－32t 2＋2t ，∴v ＝s ′(t)＝t 2 －3t ＋2. 令v ＝0，得t 2 －3t ＋2＝0，t 1＝1或t 2＝2. 5．(·郑州质量检测)已知曲线y ＝x 2 2－3lnx 的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D.12 答案 A 导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点： 能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用 一、 用定义计算导数 问题1：如何求函数()y f x c ==的导数？ 2．求函数()y f x x ==的导数 3．函数2()y f x x ==的导数 4．函数1()y f x x == 的导数 5 ．函数y = 二 1.基本初等函数的导数公式表 分几类 1、幂函数 2.三角函数 3指数函数 4.对数函数 补充 1 ()f x x = '21 ()f x x =- ( )f x = '()f x = 2公式的应用 典型题一、求导数 A x y x y x y x y y x y cos )6(log )5(ln )4(1)3(5 )2()1(125==== ==、求下列函数的导数 例 思考 求()f x '的方法有哪些？ 3.导数的四则运算法则： 问题 ln x x ?如何求？ 推论：[]''()()cf x cf x = 提示：积法则,商法则, 都是 前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加 号, 商法则中间是减号.。 常见错误：[]'''()()()()f x g x f x g x ?= ' ''()()(()0)()()f x f x g x g x g x ??=≠???? 典型题二、导数的四则运算法则 例题3根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． （1）323y x x =-+ （2）sin y x x =?； （3）2(251)x y x x e =-+?； （4）cos x y x lnx =- A 变式练习1 1y x x =+ sin (cos )x y x x e =- cos x y x = +lnx 2sin y x x = sin cos x y x = A 变式2.求下列函数的导数 （1）y=23x +3cosx, (2)y=(1+2x)(2x-3) (3)y=sin x x (4)y=2 ln 1x x + A 变式3．已知f （x ）=xcosx ﹣sinx ，则f′（x ）=（ ） 解：∵f （x ）=xcosx ﹣sinx ， ∴f ′（x ）=cosx ﹣xsinx ﹣cosx=﹣xsinx ， 已知函数f （x ）=2 x lnx ，则f′（x ）等于（ ） 函数y=e x sinx 的导数等于（ ） A ． e x cosx B ． e x sinx C ． ﹣e x cosx D ． e x （sinx+cosx ） 分析： 利用导数乘法法则进行计算，其中（e x ）′=e x ，sin ′x=cosx ． 解答： 解：∵y=e x sinx ， ∴y ′=（e x ）′sinx+（e x ）?（sinx ）′ =e x sinx+e x cosx 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” I.基本函数的导数 01.()0C '=； 02.()1x x μμμ-'=； 03.()sin cos x x '=； 04.()cos sin x x '=-； 05. ()2tan sec x x '=； 06.()2 cot csc x x '=-； 07.()sec sec tan x x x '=； 08.()csc csc cot x x x '=-； 09.() ln x x a a a '=； 10.()x x e e '=； 11.()1 log ln a x x a '=； 12.()1ln x x ' =； 13. ( )1 arcsin x '= ； 14.( )arccos x ' =-； 15.()2 1 arctan 1x x ' = +； 16. ()2 1 arc cot 1x x '=-+。 II.和、差、积、商的导数 01.()u v u v '''±=±； 02.()Cu Cu ''=； 03.()uv u v uv '''=+； 04.2(0)u u v uv v v v ''' -??=≠ ??? 。 III 复合函数的导数 若()(),y f u u x ?==，则 dy dy du dx du dx = 或 ()()()y x f u x ?'''=。 ● 计算极限时常用的等价无穷小 0lim sin x x x → 0lim tan x x x → ()2 01lim 1cos 2 x x x →- ()0 lim 1x x e x →- ()0lim ln 1x x x →+ 01 1x x n →- ● 两个重要极限: 0 sin lim 1x x x →= 1lim 1x x e x →∞?? += ??? ● 若 ()()lim 0, lim f x A g x B =>=，则 () () lim g x B f x A = ● 罗尔定理：()0F x '≠若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则存在一(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。 ● 拉格朗日中值定理：若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，则存在一 (),a b ξ∈，使得()()()()f b f a f b a ξ'-=-。 ● 柯西中值定理：若()f x 、()F x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0 F x '≠则存在一(),a b ξ∈，使得0x x δ-<，则()()()()() () f b f a f F b F a F ξξ'-= '-。 ● 罗必达法则：若（1）()()()() lim lim 0()x a x a f x F x →∞→∞==∞或或或，（2）()f x '及()F x '在00x x δ<-<（或x X >）处存在，且()0F x '≠，（3）() () lim () x a f x F x →∞''或存在（或∞），则()() ()()lim lim ()() x a x a f x f x F x F x →∞→∞'='或或。 ● 泰勒公式： ()()()()()()()()()()200000001!2!! n n n f x f x f x f x f x x x x x x x R x n '''=+-+-++-+ 其中：()()()()()11 01! n n n f R x x x n ξ++=-+ ,()0,x x ξ∈。 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）． （A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）． （A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）． （A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立； （B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立； （D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果． （A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）． （A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值； 高中数学-导数的计算练习 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列求导运算正确的是 A ．211()1x x x '+=+ B ．21 (log )ln 2 x x '= C ．3(3)3log x x x '= D ．2 (cos )2sin x x x x '=- 【答案】B 【解析】因为211()x x '=- ，所以A 项应为2 11x -；由1(log )ln a x x a '=知B 项正确；由()ln x x a a a '=可知C 项错误；D 项中，2 2 (cos )2cos sin x x x x x x '=-，所以D 项是错误的，综上所述，正确选项为B ． 2．已知函数3 ()f x x =在点P 处的导数值为3，则P 点的坐标为 A ．(2,8)-- B ．(1,1)-- C ．(2,8)--或(2,8) D ．(1,1)--或(1,1) 【答案】D 3．已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln xf f x x ='+，则(1)f '等于 A ．e - B ． 1- C ．1 D ．e 【答案】B 【解析】∵函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()(1)2ln (0)f x x xf x ='+>， ∴1 ()1()2f x f x '='+ ，把1x =代入()f x '可得(1)2(1)1f f '='+，解得(1)1f '=-．故选B ． 4．曲线e x y =在点2 (2,e )处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为 A ．2e 2 B ．23e C ．26e D ．29e 【答案】A 第11节 导数的定义及导数的计算 (14) 一．知识要点： 1.导数的定义：割线1l 的斜率=00()() f x x f x y x x +?-?=??，当x ? 趋于0时得到()f x 在0x 处切线的斜率：0000()()lim lim l x x f x x f x y k x x ?→?→+?-?==??也称()f x 在0x 处的导数。 2.导函数的定义:若()f x 在区间(,)a b 上的每一点x 处都有导数，导数记为 ()f x '，则0 ()() ()lim x f x x f x f x x ?→+?-'=?，称()f x '为()f x 的导函数。 3.导数的几何意义：()f x 在0x 处的导数值等于曲线()f x 在点00(,())P x f x 处切线的斜率。即：0()l k f x '=. 4.常见导数公式：0C '= 1 ()x x α αα-'= (sin )cos x x '= (cos )sin x x '=- ()ln x x a a a '=()x x e e '= 1(log )ln a x x a '= 1 (ln )x x '= 5.导数运算法则： （1）.[]()()()()f x g x f x g x '''±=± （2）[]()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''?=?+? （3）2 ()()()()()()()f x f x g x f x g x g x g x ''' ??-=???? 6.复合函数求导：(理) (()),(),()y f g x y f u u g x ===设，则()().y f u u x '''=? 二．考点评析 例1.利用导数定义求函数的导数 （1）2 348y x x =-+ （2）1y x x =+ y x l 1 l f(x 0) f(x 0+x) y x x 0x 0+x O y x L f(x) P(x 0,f(x 0)) o x 0 最新整理高二数学教案导数的计算导学案及练习题学习要求1.能根据定义求函数y＝c，y＝x，y＝x2，y＝1x的导数. 2.能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数. 学法指导 1.利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想.通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣. 2.本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键.记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式6是公式5的特例，公式8是公式7的特例.公式5与公式7中lna的位置的不同等. 1.几个常用函数的导数 原函数导函数 f(x)＝cf′(x)＝ f(x)＝xf′(x)＝ f(x)＝x2f′(x)＝ f(x)＝1x f′(x)＝ f(x)＝x f′(x)＝ 2.基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)＝cf′(x)＝ f(x)＝xα(α∈Q*)f′(x)＝ f(x)＝sinxf′(x)＝ f(x)＝cosxf′(x)＝ f(x)＝axf′(x)＝(a》0) f(x)＝exf′(x)＝ f(x)＝logax f′(x)＝(a》0且a≠1) f(x)＝lnxf′(x)＝ 探究点一几个常用函数的导数 问题1怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？ 问题2利用定义求下列常用函数的导数：(1)y＝c(2)y＝x(3)y＝x2(4)y＝1x(5)y＝x 问题3导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率.物理意义是运动物体在某一时刻的瞬时速度.(1)函数y＝f(x)＝c(常数)的导数的物理意义是什么？ (2)函数y＝f(x)＝x的导数的物理意义呢？ 问题4画出函数y＝1x的图象.根据图象，描述它的变化情况，并求出曲线在点(1,1)处的切线方程. 探究点二基本初等函数的导数公式 问题1利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？ 问题2你能发现8个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 例1求下列函数的导数：(1)y＝sinπ3；(2)y＝5x；(3)y＝1x3；(4)y＝4x3； (5)y＝log3x. 跟踪1求下列函数的导数：(1)y＝x8；(2)y＝(12)x；(3)y＝xx；(4)y＝例2判断下列计算是否正确. 1 导数的计算 教学目标：1、能根据导数的定义推导部分基本初等函数的导数公式； 2、能利用导数公式求简单函数的导数。 教学重难点：能利用导数公式求简单函数的导数，基本初等函数的导数公式的应用一、用定义计算导数 问题1：如何求函数y =f (x) =c 的导数？ 2.求函数y =f (x) =x 的导数 3.函数y =f (x) =x2的导数 4.函数 y = 5.函数 y = f (x) =的导数 x 的导数 二 1.基本初等函数的导数公式表 函数导数 y =c y'= 0 y =f (x) =x n(n ∈Q*) y' =nx n-1 y = sin x y'= cos x y = cos x y'=-sin x y =f (x) =a x y'=a x? ln a (a > 0) y =f (x) =e x y'=e x f (x) = log a x f '(x) = 1 (a > 0且a ≠ 1) x l n a f (x) = ln x f ' (x) =1 x 分几类1、幂函数 2.三角函数 3 指数函数 4.对数函数 补充 f (x) =1 x f ' (x) =- 1 x2 x x 2 x x ? ? = f (x ) (g (x ) ≠ 0) 2 ] g (x ) [ f ' (x )g (x ) - f (x )g ' (x ) = ? ? g (x ) ? ? ? f (x ) ?' 3、 1、 [ f (x ) ± g (x )]' = f ' (x ) ± g ' (x ) 2、[ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g (x ) ± f (x )g ' (x ) 导数运算法则 f ( x ) = 1 f ' (x ) = 1 2 公式的应用 典型题一、求导数 例1、求下列函数的导数 A (1) y = x 5 (2) y = 5 (3) y = 1 (4) y = ln x (5) y = log 2 x (6) y = cos x 思考 求 f '(x ) 的方法有哪些？ 3. 导数的四则运算法则： 问题 x ? l n x 如何求？ 推论： [cf (x )]' = cf ' (x ) 提示：积法则,商法则, 都是前导后不导, 前不导后导, 但积法则中间是加号, 商法则中间是减号.。 常见错误： [ f (x ) ? g (x )]' = f ' (x )g ' (x ) ? f (x ) ?' ? g (x ) ? ' (g (x ) ≠ 0) g ' (x ) 典型题二、导数的四则运算法则 例题 3 根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数． 高中数学导数的计算精选题目（附答案） (1)基本初等函数的导数公式 (2)导数运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； 当g (x )＝c 时，[cf (x )]′＝cf ′(x )． ③?????? f (x ) g (x )′＝f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )[g (x )]2(g (x )≠0)． （3）复合导数 复合函数y ＝f (g (x ))的导数和函数y ＝f (u )，u ＝g (x )的导数间的关系为y x ′＝y u ′·u x ′，即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积． 1．求下列函数的导数： (1)y ＝10x ； (2)y ＝lg x ； (3)y ＝log 1 2x ； (4)y ＝4 x 3； (5)y ＝? ????sin x 2＋cos x 22－1. 2．求下列函数的导数： (1)y ＝? ????1e x ； (2)y ＝? ????110x ； (3)y ＝lg 5； (4)y ＝3lg 3 x ； (5)y ＝2co S 2x 2－1. 3.(1)y ＝x 3·e x ； (2)y ＝x －S i n x 2co S x 2； (3)y ＝x 2＋log 3x; (4)y ＝e x ＋1e x －1 . 4．求下列函数的导数： (1)y ＝cos x x ； (2)y ＝xS i n x ＋x ； (3)y ＝ 1＋x 1－x ＋1－x 1＋x ； (4)y ＝lg x －1 x 2. 5．点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 6．求过曲线y ＝co S x 上点P ? ???? π3，12且与曲线在这点处的切线垂直的直线方 程． 7．求下列函数的导数． (1)y ＝1－2x 2； (2)y ＝e S i n x ；高等数学中的导数公式和等价无穷小公式
高中数学选修2-2导数--导数的运算(解析版)
最新(高等数学)第四章导数的应用
高等数学中的求导公式
高中数学-导数的概念及运算练习
高二数学选修2-2导数的计算
高等数学中导数的求解及应用
高等数学求导公式
《高等数学》训练题：导数的应用及答案
高中数学-导数的计算练习
14导数的定义及导数的计算
最新整理高二数学教案导数的计算导学案及练习题_1.docx
高二数学选修2-2导数的计算(可编辑修改word版)
高中数学导数的计算精选题目(附答案)
相关主题
文本预览