例：一等截面简支梁质量不计，长度3l m =，258800EI N m =?。有一质量90m kg
=的物块从梁的中点上方10h mm =处落下，且物块与梁接触后不分开，试计算接触后系统自由振动的固有频率及振幅。
解：（1）梁中点受竖直向下单位力作用的挠度即为柔度系数3
48l EI
δ=，因此固有
频率为
：134.1n s ω-=
== （2）重物落下与梁接触时开始振动，初始条件为
33
30909.838.44108.44484858800
st mgl y m mm EI -??=-?=-=-=-?=-?
02y gh =
2
0222st n n y gh
h ωω??==? ???
振幅为
08.4415.5A mm ===?
梁中点的最大位移为15.58.4423.9st s A mm =+?=+=
瑞利法（Rayleigh ）:等效质量的计算方法。应用这种方法时，必须做有关振动过程中系统形态的某些假设，称之为形状函数或振型。相当于对系统附加了某些约束，增加了系统的刚度，固有频率略高于精确值。以静变形曲线作为振动形状，所得结果误差很小。如果对结构的弹性曲线假设任一适当形状，可以期望得到接近振动真实周期的近似值，如果选的形状精确，就会得到精确的周期。
插P10
例1.4.1 如图示，悬臂梁（棱柱形）自由端处带有重量mg ，设梁的密度为
ρ，求考虑梁的质量时，系统的固有频率。
x y
m
解：无重悬臂梁端有荷载mg时的静力挠曲线方程为：
23
(3)(0)
6
mg
y lx x x l
EI
=-≤≤
由此可得B端挠度
EI
mgl
y
m3
3
=
令??
?
?
?
?-
=
3
3
2
2
3
)(
l
x
lx
t
y
y
m
则
23
2
3
3
()
22
l
m
lx x
T y dx
l
ρ-
'=?
22
11
3333
,
14022140
m m
y y
l m m l
ρρ
=?==为梁作用在B点的等效质量
对于这种情况，振动的周期与端点处承受下列质量的无质量悬臂梁相同1
33
140
M m m m lρ
=+=+
∴ B端总重为:
1
33
()()
140
Mg m m g m l
g
ρ
=+=+
即使在
lρ不太小的情况下，等效质量
33
140
l
ρ也可以应用
将结果用于0
=
m的极端情况（悬臂段的集中质量为零），
可有：
3
33
()
1403
st
l
l g
EI
δρ
=
所得的振动周期则为：22
τπ
===
同一情况的精确解为：τ'=
(此处参看Timoshenko,工程中的振动问题，P ２89，式（m ）)
近似解的误差约为1.5%，ττ'<，故'n n ωω>，即近似解的周期小于精确解的周期，固有频率大于精确解的固有频率。原因近似解是对梁的变形做了假设，相当于增加了约束，即增加了系统的刚度，所以固有频率略大，周期略小。
若不考虑梁的质量,则：3
1732
.1ml EI
=ω 若3
255813
.1,ml EI
m l ==ωρ，误差10.0% 若3
3638.1,21ml EI
m l ==ωρ，误差5.7%
等效质量、等效刚度：使系统在选定的坐标上产生单位位移而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效刚度；使系统在选定的坐标上产生单位加速度而需要在此坐标方向上施加的力，叫做系统在这个坐标上的等效质量。
例1.4.2假设图示系统中的杠杆是不计质量的刚体，求系统对于坐标ｘ的等效质量和等效刚度。
x
图1
解：（1）能量法，动能 ：2
2
22221212211
111()()222l l T m x m x m m x l l =+=+
取静平衡位置为零势能点：3222231212211
111
()()222l l V k x k x k k x l l =+=+
（对于有重力势能影响的弹性系统，如果以平衡位置为零
势能位置，则重力势能与弹性势能之和相当于由平衡位置（不
由自然位置）处计算变形的单独弹性力的势能。
） 因此简化后的弹簧质量系统的等效质量及等效刚度为：
2
2
32
1212221
1
,
l l Me m m Ke k k l l =+=+
如果 21l l >，那么质量2m 振动中的速度将比质量1m 的速度大。由上面公式可知，由高速部分向低速部分简化（以1m 的位移为广义坐标，表示2m 的位移）时，质量将被放大；由低速向高速部分简化时，质量将被缩小。
（2）按定义方法：设使系统在ｘ方向上产生单位加速度需要施加力P （图2），
则在质量1m 及2m 上将有图2所示的惯性力对点Ｏ取矩：
x=1
oy
图2
02
111221
00M l P l m l m l l ∑=-?+?+?
?= ∴ 21
22
21l l m m P += P 即为系统在x 坐标上的等效质量，故
22
1221
l Me m m l =+
设使系统在x 方向上产生单位位移需要施加力P （图3）
k 2
1
oy
图3 由图3：00=∑M
3
112311
0l k l k l Pl l +?
?-= （从静平衡位置开始计算，平衡位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）
2
31221
l P k k l =+
2
31221
l Ke k k l →=+
（3）动量矩定理
图4
由图4，取 θ为广义坐标，应用质点系对固定点Ｏ的动量距定理，有：
()0
0()e i dL m F dt
=∑ 2
202211()L m l m l θ=?+ （取逆时针为正）
2
202211()dL m l m l dt
θ=?+
()022111123()e i k k M F m gl m gl F l F l ∑=---
221111112233()()st st m gl m gl k l l k l l δθδθ=--+?-+?
22112211232211
21112233
st st m gl m gl k l k k l k l k l k l l θθθθ
δδ=-------=
（从静平衡位置开始计算，平衡位置时的弹性力矩和重力矩相抵消）
222222111123()()0m l m l k l k l θθ+++=
即：22
32
12122211()()0l l m m k k l l θθ+++=
故有 22
32
12122211
,l l Me m m Ke k k l l =+=+
同学们可取x 2为广义坐标试算结果 插P15
例1.5.1 图示为一阻尼缓冲器，静载荷P 去除后质量越过平衡位置的最大位移为初始位移的10%，求缓冲器的相对阻尼系数ξ。
静平衡位置
解：
000P x x t k
x x ?
==?=??==?
将初始条件式代入式（1.3.13）,并注意到：)1(2
2
2
ξωω-=n d ，得
0()(cos sin )n t
n d d d
x x t e
x t t ξωξωωωω-=+
求导得速度为：
20sin n
t
n d d
x x e t ξωωωω-=-
设在时刻1t ，质量越过平衡位置到达最大位移，这时速度为
0sin )(10211
=-=-t e x t x d t
d
n n ωωωξω
由此求出 112(),2d d d
d
t T T t
ππ
ωω=
=
=得
即经过半个周期后出现第一个振幅1X ，求得
1
1100()n t X x t x e
x e
ξω
-==-=-
由此题已知条件得
1
10100
X e x ==
解得：59.030.230.2)10(ln )10(ln 2
22
222=+=+=π
πξ (由（1.4.4）0010211ln ln 2ln1012
n X x n X x δδ+
====，得：，同样得
0.59ξ=)
做此类题目特别是考虑阻尼的系统，运动方程都比较复杂，要细心推导各个公式。
此题关键是求得1()x t 插P22
例2.2.1：此题中（P21，例2-2），若通过改变转速，测得共振时的垂直振幅为1.07cm ，而超过共振很远时，垂直振幅值趋于0.32cm 。若偏心质量为12.7kg ，偏心距为15cm ，支承弹簧总刚度cm N k /7.976=，计算支承阻尼器的阻尼比ξ以及转速min /300r N =时机器的垂直振幅。
解：机器与偏心总质量为M （是个未知量），由式（2.1.4
）
2
2001)2222n n F k F ml ml ml X k k k M ωωωωξξξξ
=
=====??? (共振时， 推导出 1 1.07(1)2ml
X cm M γξ
=
== ① 当式（2.1.4）中γ>>1时，有2022F ml ml
X M M M
ωωω=== ， 故：20.32ml
X cm M
== ② ①/②得：15.0207.132
.0=?=ξ ③
由②得：0.32
ml
M =
12.8n r s ω=
===
激励频率 22300
31.4/6060
N r s ππω?=== 故 31.4 2.4512.8
n ωγω=
=≈ 又由：22
02n F ml ml k M
M ωγω==
得垂直振幅
2
30.38X cm =
=
若11012.8128(1222/min)10n
N r s
ω
ωγω=?=≈=
=，则
2
2
340.32 3.2610X cm
-=
==?34/116
X X =
此结果亦说明激扰力频率愈高，振幅愈小。
例 2.2.2 有四根钢杆悬挂着一块刚性平板，在平板上搁置一台电动机，每一钢杆的刚度为k =2KN/mm ，截面积A =3cm 2，电动机与平板的总质量M =12t （钢杆质量不计），当电动机开动后产生垂直简谐激励力t P ωsin ，激励力幅值为
P =2KN ，激励力频率为245r/min 。阻尼的对数衰减系数0.1δ=。试求钢杆的最大应力。
解：因平板绝对刚性，故电动机与平板（视为一个质量）的竖向位移，即为钢杆的竖向位移。
重力产生的静变形为 129.8
15442
st Mg mm k δ?==≈?
系统的固有频率：25.56/245/min n r s N r ω=
=
=≈相当于 故激振力频率与固有频率近似相等，产生共振 式（2.1.15）为共振时的动力放大系数
4.31221
2/1==
?=
=δ
π
π
δξβ （2δπξ≈）
故钢杆中的最大动应力为
3
max
4
21031.452.344310
d P MPa A σβ-?=?=?=?? 钢杆中总的最大应力
36
max
4
12109.852.310152.3444310
Mg P MPa A A δβ-??=+?=+?=?? 注意：计算此类题目时，一定注意各力学量单位的统一。
例 2.2.3 如图是汽车的拖车在波形道路上行驶时于垂直方向上振动的力学模型。已知拖车的质量满载时为m 1=1000kg ，空载时为m 2=250kg ，悬挂弹簧的
刚度是k =350KN /m ，阻尼比在满载时为5.01=ξ，车速为V =100Km/h ，路面呈正弦波形，可表示为2sin
s z
x a l
π=，其中l =5m 。求拖车在满载和空载时的振幅比。
x
图1
解：拖车行驶的路程可表示为：z vt = 因此：2sin
s v
x a t l
π= 所以路面的激励频率
3
221001034.9/53600
v r s l ππω??===?
运动微分方程：
0)()(=-+-+s s x x k x x c x
m 即：t ca t ka kx x c x
m ωωωcos sin +=++ ① 得：X =②
由式1.3.12，得2cr c c ξ==③
c 、k 为常数，因此ξ与m 成反比 ∴ 20.5 1.0ξξ=== 故满载及空载时的频率比 1134.9 1.87n ωγω=
===
2234.90.93n ωγω=
==?=
1
0.68X a
== 同理
2
1.13X a
= 于是得满载和空载时的振幅比120.680.601.13
X X == 插P24
例2.3.1 对图示的周期性方波作谐波分析。设其周期n
T ωπ
12=，求系统（无阻
尼）的稳态响应，并且画出响应的频谱图。
图1 解：在一个周期内，)(t P 可表示为：
002
()2
T
P t P t T
P
t T ?<<
??=?
?-<
因为)(t P 为奇函数，故有 00,
012a n ==，，
由于)()2(t P T
t P -=±，故有0,
246n b n ==，，
当
n 取奇数时则有
：
21111002
2222()sin ()sin +()sin ()6
T T T
n
T n b P t n tdt P t n tdt P t n tdt
T T T T ωπωωωω===
=??? 04135P n n π
=
=，，，
于是，周期性方波的富氏级数为：
1111,3,
41
()sin sin n n n P P t b n t n t n
ωωπ
∞
====
∑∑
0111411
(sin sin 3sin 5)35
P t t t n ωωω=
+++
下图表示了富氏级数的前三项对方波的贡献
图2
记 π
n P P n 04=
（n 为奇数），则周期性方波的振幅频谱图为：
图3
0113,54()sin n
n P x t n t k
n
βωπ==
∑
，，
22121()
n n
n t βπω=
-
由式（2.2.9），得：21221
[1()]261()n n
n
n T βπω-=
=-- ， 令n n B n β= 从频谱图看到，系统只对激励所包含的谐波分量有响应，对于频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 插P24
任意干扰力
F(t)
图1
Q kx x c x
m +--= q x x n x n =++22ω
)()
(/,/,/22t f m
t F m Q q m k m c n n '='=
===ω q 是单位质量的干扰力，且表达为虚构时间变数t '的函数，如图示，于是在
图2
任何时刻t '，可以计算图解中阴影线窄条所代表的增量冲量t qd '，冲量给每一单
位质量的速度瞬时增加（或增量速度）等于1?t qd x
d '= （t d q x md '?= 增量动量，m=1），无论有何力作用它上面（例如弹簧力），也不管时刻t '处质量的位移和速度，将此速度增量做为初始速度（在时刻t '）那样来处理，应用式（1.3.13）、（1.3.15）可得出结论：在任何后面时间t 处，系统的增量位移为：
))(1sin(122
)
(t t t qd e dx n n t t n '---'
='--ξωξω ))(1sin(122
)
(t t t qd e n n t t n '---'
='--ξωξωξω
)(sin )
(t t t qd e d d
t t n '-'
='--ωωξω
由于0='t 和t t ='之间，每一增量冲量t qd '有这样一种效应，于是干扰力q 的连续作用，得到总位移为：
t d t t q e e x d t
t d
t
n n ''-=
?
'--)(sin 0
ωωξωξω 即得本书式（2.3.10）
这种数学形式，称为杜哈梅积分（Duhamel ’s integral ）
上式代表由于作用在时间间隔0至t 过程中，干扰力q 所产生的整个位移，包括稳态项和瞬态项。如果函数()q f t '=不能用解析函数来表达，则上式总可以用一适当的图解或积分的数值法来近似求算，为了考虑0=t 处初始位移0x 和初
始速度0x
的影响，其全解为： ])(sin 1
sin cos [0
000t d t t q e
t nx x
t x e x d t
t n d
d d
d nt
''-+
++
=?'
-ωωωωω
插P43
例3.2.1：图中表示一个带有附于质量1m 和2m 上的约束弹簧的双摆。采用质量的微小水平平动1x 和2x 作为位移坐标。试对此系统导出刚度矩阵k 和重力矩阵G ，按矩阵形式写出运动的作用力方程（不考虑阻尼）。
2
图1
解： ??
?
???=????
??=22211211
2100m m m m m m M 也可给j 点一个单位加速度，计算i 点所需的力，即ij m 对图2
m g 1
k X=11
2
图2 [AB] 0=∑A m
22212sin 0m g l k l θ?+=
∴ θsin 221g m k -=
2111
sin ,sin l l θα≈
≈ ∴ 2212
m g
k l -=
[整体] 0O m ∑=
21121111111()sin 0k l l m gl k l k l α+-?+?-?=
即：212111111121
1
()0m g l l m gl k l k l l l -
+-?+?-?= ∴ 1
221111112
0l m g
m g m g k l k l l ---+-=
∴ 11112112
11
()m g k k m g l l l =+
++ 112212
()
g g
k m m m l l =+++ 对图3
X=122
图3
[AB] 0=∑A m
2222222sin 0k l k l m g l α?-?-?=
∴
222222222
11sin g k k m g k m l l l α=+?
=+≈， [整体] 0O m ∑=
121222122122()()sin 0k l k l l k l l m g l α?++-+-?=
∴ 12122121k l k l k l =-+ ∴ 12222
222
()g g k k k m m l l =-+=-
∴ 1
1222
1
22
*22222()[]g g g k m m m m l l l K g g m k m l l ?
?+++-???
?=?
?
-+??
?
?
令
21
221
12222222() -0[],[]0
- m g g g m m m k l l l K G k g g m m l l ?
?++??
????==?
??
???????
∴ ][][][*G K K += 作用力方程：
112221
1122
11222222222() -00 - q q q k m m m m m x l l l x Q m x q q x Q m k m l l ??
+++????????????+=???????????
???????
+???
? 例3.3.2 试对图中两层楼建筑框架确定其刚度矩阵S ，并按矩阵形式写出运动的作用力方程。为此目的，假设梁是刚性的，并采用微小的水平平动1x 和2x 作为位移坐标。框架中诸柱均为棱柱形的，下层的弯曲刚度为1EI ，上层为2EI 。
解：
图1
1
24EI 2
h 2
311
m 2
m 1
24EI 2h 23
24EI 1h 13
图2
图2中，
2
3
2
24EI h 为剪力，悬臂梁自由端转角为零时的刚度系数 对图2，0=∑x F ， 0243
2
2
21=+
h EI k → 2
213
2
24EI k h =-
024243
1
2
32211=--
h EI h EI k → 3
2
2
312112424h EI h EI k +=
对图
3
K
12
24EI 2
h 2
324EI 2
h 23
m 2
m 1
图3
0=∑x F ， 0243
2
2
22=-
h EI k
∴ 2
223
2
24EI k h =
0243
2
2
12=+
h EI k ∴ 3
2
2
1224h EI k -
=
2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2 1121y m T = m 2动能：2222222 22 222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 323 33)2 1(21))(21(212 1y m R y R m J T === ω 系统势能： 2 21)21(21)21( y k y g m gy m V + +-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =+ +-++= +2 212 321) 2 1(2 12 1)2 13 1(2 1 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+ + +) 2 131(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k + + = ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2 212 1x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 2 1= ，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21= θ。轮子动能： )83(21)41)(21(21)4 1( 2 12 1212 122 21212 2 12x m x R R m x m J v m T c =+= + = ω 系统势能： x
《振动力学》习题集（含答案） 1.1 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图E1.1所示。求系统的固有频率。 图E1.1 解： 系统的动能为： ()2 22 121x I l x m T += 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2212212236 16121x l m m x l m x ml T +=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω= 和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
1.2 质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图E1.2所示。求系统的固有频率。 图E1.2 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 22222243212121θθθ mR mR mR I T B =??? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθn = 和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
1.3 转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图E1.3所示。 求系统的固有频率。 图E1.3 解： 系统的动能为： 2 2 1θ J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()2 32323212332222121212121θθθθ?? ????+++=++= k k k k k k k k k k U 利用θωθn = 和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
一、 1.在单自由度振动系统中，结构振动响应的频率与外加荷载的频率无关（×） 2.在含有阻尼的单自由度振动系统中，结构振动的固有频率与阻尼无关（×） 3.对于图示简支梁，不计梁的质量，分别将物体M 从在距梁中点正上方高H1和H2处 自由释放，H1=2H2,则振动的频率是一样的（√） 二、 1.如图所示，除支撑不同外，其余均相同。（B ） A.图a 振动周期大 B.图b 振动周期大 C.振动周期一样 D.不能判断 2.一物体从高度为h 的地方落下，系统振动频率是（C ） A.h 越大，频率越大 B.h 越大，频率越小 C.与h 无关 D.不能断定 3.对于一个有阻尼的单自由度强迫振动系统来讲，振动响应频率（C ） A.仅由外荷载频率确定 B.仅由系统固有频率确定 C.在系统振动响应一段时间后，仅与外荷载频率有关 D.在系统振动响应一段时间后，仅与系统固有频率有关 4.对于多自由度系统来讲，假设无重频现象，则两个不同的振型φi 和φj 的关系为（C ） A.j T i φφ?一定为零 B.j T i φφ?一定不为零 C.j T i M φφ一定为零 D.j T i K φφ可能不是零 5.对于一个三自由度系统，设某阶段振型为[]T 1,2,1=φ，骑广义质量为4，则其正则振型为（A ）
A.[]T 5,0,1,5.0=φ B.[]T 25.0,5.0,25.0=φ C. []T 1,2,1=φ D.[]T 2,4,2=φ 三、一个单自由度振动系统，自由振动试验测得经过6周后振幅降为原来的1/10，试求阻尼比和在简谐荷载作用下发生共振时的放大系数（15） 解：ξπδm y y m i i y 2ln '==+ m=6 ∴10ln ln 6 =+i i y y ∴0611.06210ln =?=πξ 197.821==ξ μ 四、试写出图示结构的运动方程和位移动力系数（EI 为常数， t F t F θsin )(=） 解：a 12=F a 2 11=F 2____ M 1____M EI a 38311=δ EI a 65312=δ )(16 5)(1112t F t F Fe ==δδ )(16 5t F ky y m =+?? 3 383)2(3a EI a EI k == 383ma EI m k ==ω 211βμ-= EI ma 322θω?β== 32833a m EI EI θμ-= 五、如图所示结构，层间高度均为L ，m1=m2=m ，求系统的固有圆
《振动力学》习题集（含答案） 质量为m 的质点由长度为l 、质量为m 1的均质细杆约束在铅锤平面内作微幅摆动，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 系统的动能为： ()22 2 121x I l x m T &&+= 其中I 为杆关于铰点的转动惯量： 2102120131l m dx x l m x dx l m I l l ??==?? ? ??= 则有： ()2 212212236 16121x l m m x l m x ml T &&&+=+= 系统的势能为： ()()()2 1212124 1 4121 cos 12 cos 1glx m m glx m mglx x l g m x mgl U +=+=-? +-= 利用x x n ω=&和U T =可得： ()()l m m g m m n 113223++= ω
质量为m 、半径为R 的均质柱体在水平面上作无滑动的微幅滚动，在CA=a 的A 点系有两根弹性刚度系数为k 的水平弹簧，如图所示。求系统的固有频率。 图 解： 如图，令θ为柱体的转角，则系统的动能和势能分别为： 2222224321212 1θθθ&&&mR mR mR I T B =?? ? ??+== ()[]()22 22 12θθa R k a R k U +=+?= 利用θωθ n =&和U T =可得： ()m k R a R mR a R k n 34342 2 +=+=ω
转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k ，2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统 的固有频率。 图 解： 系统的动能为： 22 1θ& J T = 2k 和3k 相当于串联，则有： 332232 , θθθθθk k =+= 以上两式联立可得： θθθθ3 22 33232 , k k k k k k +=+= 系统的势能为： ()232323212 332222*********θθθθ?? ????+++=++=k k k k k k k k k k U 利用θωθ n =&和U T =可得： ()() 3232132k k J k k k k k n +++= ω
… 2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角： 系统动能： % m 1动能： m 2动能： m 3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ~ ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时 x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω \ x
2005级 《振动力学》 课程试题（A 卷） 二、基本概念与简单计算题：（共 50 分） 1．（5分）某粘滞阻尼振动系统，8个振动周期后振幅由10mm 减为1mm ，求 阻尼比。 解：对数衰减率01 ln n X n X δ ??= ???110ln 81??= ???1 ln 108 = ………………..（3分） 而2 21πξδ ξ = -，则阻尼比2 2 4δ ξ π δ = +＝0.046……………………（2分） 2. （10分）求图示系统微幅振动的微分方程和固有频率。已知l 、k 、m 、c 、F 。 不计水平杆的质量。 解：方程 493ml cl kl F θ θθ=--+ …………….（6分） 固有频率 3 n k m ω= …………………… …………….（4分） 或 2 2 2194d n mk c m ωωξ =-=-……………………….（4分） 3. （10分）求单自由度无阻尼标准m -k 振动系统在图示干扰力作用下的零初值 响应。 解：干扰力0000 10()0 t F t t F t t t t ??? -≤≤? ? =??? ? >?….（2分） 000 01 ()(1cos )sin 0n n n n F x t t t t t t t t ωωωω??= --+≤≤ ??? ………..（4分） 题二.2图 m c k F l l l 题二、3图 F (t ) F 0 t 0 t
0000 01 ()cos [sin ()sin ]n n n n n F x t t t t t t t t t ωωωωω??=- + --> ??? ……………………..（4分） 4. （15分）图示系统，均质杆 长为l 质量为m ，上端由铰链悬挂，下端用弹性系数为k 1和k 2的弹簧与光滑水平面上的质量m 1和m 2相连处于自然平衡状态。（1）建立系统的微振动微分方程。（2）写出频率方程（可以不求出固有频率） 解：（1）1 12 2213 m x m l x m θ????? ??? ? ???????????? ? 1112 1122222001()02 00k k l x k l k k l m gl k l x k l k θ-?? ?????????? ??+-++ -=????????????????-? ? .（10分） （2）频率方程…… ………（5分） 5. （10分）左端固定，右端自由的均匀杆，长度为l ，轴向拉压刚度为EA ，单 位长度杆的质量为m ，轴向位移用u 表示，轴向力用P 表示。求杆纵向振动（一维波动方程）的固有频率与固有振型。 解：一维波动方程： 2 2(,)u x t x ??2 2 2 1(,)u x t a t ?= ?，0 1.转动惯量为J 的圆盘由三段抗扭刚度分别为1k 、2k 和3k 的轴约束，如图所示。求系统的固有频率。 解： 系统的动能为 2 2 1?=θJ T 2k 和3k 相当于串联，则 32θθθ += 3322θθk k = 联立以上两式得 θθ3 23 2k k k += θθ3223k k k += 系统的势能为 ( )[]2 2 33222213 23 23212 1212121θ θθθk k k k k k k k k k U +++= ++= 利用θωθn =? 和U T =可得 () () 3232132n k k J k k k k k +++= ω 2.面积为S ，质量为m 的薄板连接于弹簧下端，在粘性流体中振动，如图所示。作用于薄板的阻尼力为νμS F d 2=，S 2为薄板总面积，ν为速度。若测得薄板无阻尼自由振动的周期为0T ，在粘性流体中自由振动的周期为d T 。求系数μ。 解： 平面在液体中上下振动时： 02=++? ? ?kx x S x m μ d n d n T T m k πξ ωωπω2-1,220==== k S m S m S n n 222,22μξωμξξωμ==?= k S k 2 22 --1μξ= 2020220 -2-22T T T ST m k S k T T T T d d d πμμ=?= 3.如图所示均匀刚性杆质量为1m ，求系统的频率方程。 解： 先求刚度矩阵。 令0x 1,==θ得： 22212111a k b k a a k b b k k +=?+?= b k 221-k = 令1,0==x θ得： a k k 212-= 222-k k = 则刚度矩阵为：?? ? ? ??+=2222221--k a k a k a k b k K 再求质量矩阵。 令0,1==? ?? ?x θ ，得： 0,3 1 212111==m a m m 《振动力学》——习题 第二章 单自由度系统的自由振动 2-1 如图2-1 所示，重物1W 悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物2W 从高度为h 处自由下落到1W 上且无弹跳。试求2W 下降的最大距离和两物体碰撞后的运动规律。 解： 2 22221v g W h W = ，gh v 22= 动量守恒： 122 122v g W W v g W +=，gh W W W v 221212+= 平衡位置： 11kx W =，k W x 1 1= 1221kx W W =+，k W W x 2 112+= 故： k W x x x 2 1120= -= ()2 121W W kg g W W k n +=+= ω 故： t v t x t x t x x n n n n n n ωωωωωωsin cos sin cos 12 000+ -=+-= x x 0 x 1 x 12 平衡位置 2-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ 2a θ＝h α 2F ＝mg 由动量矩定理： a h a mg a mg Fa M ml I M I 822cos sin 12 1 2 2-=-≈?-=== =αθ αθ 其中 1 2c o s s i n ≈≈θ αα h l ga p h a mg ml n 2 22 22304121==?+θθ g h a l ga h l p T n 3π23π2π22 2= == 2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 振动力学期末考试试题和答案 振动力学(试题) 2008 一、填空(每空2分) 1、设周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为,T ,,, 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为,,, , 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 动的幅值为,,, 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,,,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为,,,,,, 6、写出多自由度系统再频率域的输入与输出之间的关系,,,,, 7、写出瑞利商的表达式,,,,,, r8、多自由度系统中共存在个主固有频率，其相应的主振型,,, 正交。 9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于M、K是 否正交,,,,(答是或否) 10、写出如图T-1所示梁的左端边界条件,,,,,,,,,, y L x K 图T-1 二、(20分)系统如图T-2所示，杆AB为刚性、均质，长度为,总L 质量为，弹簧刚度为，阻尼系数为。求系统的固有频率及阻mck 尼因子。 图T-2 三、系统如图T-3所示。求系统的固有频率与主振型。 k k k k k m m m X X X 123 图T-3 四、 五、(20分)简支梁如图T-5所示，弹性模量为E，质量密度为，, 横截面积为A，截面惯性矩为J。求梁在中央受集中弯矩M下的响应。(假设梁的初始状态为零) 图T-5 答案 一、填空(每空2分) 1、周期振动信号的周期为，则其傅里叶级数的展开的基频为 T2/,T 2、单自由度粘性阻尼系统的阻尼因子与阻尼系数的关系为, c ,, 2mk 作用下系统响应的稳态振3、单自由度粘性阻尼系统在简谐力ptsin,0 p10动的幅值为 ,,B222k,,,,，(1)(2) 4、粘性阻尼一周期内所消耗的能量与频率成,正,比。 5、无阻尼多自由度系统的主振型正交关系为加权(M,K)正交: 0()ij,0()ij,,,TTTT ,,,,M,K,,,ijijMij(),Kij(),pipi,, 6、写出多自由度系统在频率域的输入与输出之间的关系 21,其中 xHP()()(),,,,HKMiC()(),,,,,， TXKX7、写出瑞利商的表达式 ()RX,TXMX r8、多自由度系统中共存在个重固有频率，其相应的主振型,,加 权(M,K)正交。 MK9、无阻尼多自由度系统，利用里兹法计算出的主振型关于、是 上海交通大学2008年振动力学期末考试试题 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1，匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而 有： 上式求导，得系统的微分方程为： 固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过 定滑轮A连在质量为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求 系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程： 固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m，每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 系统动力学方程为： 频率方程为： 解出系统2个固有频率： ， 2008年振动力学期末考试试题 大学期末考试https://www.doczj.com/doc/c67006159.html, 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C的质量m1， 匀质杆AB的质量m2，长为L，匀质轮O的质量 m3，弹簧的刚度系数k。当AB杆处于水平时为 系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振 时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C的位移y作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y＝0，此时系统的势能为零。 AB转角： 系统动能： m1动能： m2动能： m3动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： 上式求导，得系统的微分方程为： 固有频率和周期为： 2、质量为m1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘 上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A连在质量 为m2的物块B上；轮心C与刚度系数为k的水平 弹簧相连；不计滑轮A，绳及弹簧的质量，系统自 弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固 有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B的位移x作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x＝0，此时系统的势能为零。 物体B动能： 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，转过的角度为。轮子动能： 系统势能： 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： 上式求导得系统的运动微分方程： 固有频率为： 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m，外壳质量为2m， 每个弹簧的刚度系数均为k。设外壳只能沿铅垂方向运 动。采用影响系数方法：（1）以x1和x2为广义坐标， 建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： 系统为二自由度系统。 当x1＝1，x2＝0时，有：k11＝2k，k21＝－2k 当x2＝1，x2＝1时，有：k22＝4k，k12＝－2k 因此系统刚度矩阵为： 系统质量矩阵为： 西南交通大学2009－2010学年第( 1 )学期考试试卷 课程代码 6332200 课程名称 振动力学 考试时间 120 分钟 阅卷教师签字： 一、如图所示系统，设杆AB 为刚性杆，其对A 点的转动惯量为I =1 kgm 2，杆长L =1 m 。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B 端分别有弹簧支承。已知质量块质量m =10 kg ，弹簧系数k 1=40 N/m ，k 2=100 N/m 。试以集中质量块的位移x 为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。 （15分） 班 级 学 号 姓 名 密封装订线 密封装订线 密封装订线 x 二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为ρ的液体中。设从静平衡位置压低距离x0，然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。(15分) 三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m1=9 kg，m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩I A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k1=k2= k3=1000 N/m。试求： （1）系统的运动方程； （2）系统的频率及振型； （3）验证振型关于质量阵加权正交。（20分） 1 m 四、图所示的弹簧质量系统，x 1为质量m 1的绝对位移，x 2为质量m 2的绝对位移， 取k k k k m m m =====32121,2,m 。已知系统的运动方程为： ?? ? ???=????????????+--++????????????0000213222212121x x k k k k k k x x m m （1） 采用瑞利商估算系统的基频； （2） 采用矩阵迭代法求系统的基频及振型。 （20分） 请打双面 习题与综合训练第一章 2-1一单层房屋结构可简化为题2-1图所示的模型，房顶质量为m，视为一刚性杆；柱子 高h，视为无质量的弹性杆， 其抗弯刚度为EJ。求该房屋 作水平方向振动时的固有 频率。 解：由于两根杆都是弹性的，可以看作是两根相同的弹簧的并联。 等效弹簧系数为k 则 其中为两根杆的静形变量，由材料力学易知 = 则= 设静平衡位置水平向右为正方向，则有 所以固有频率 2-2一均质等直杆，长为 l，重量为W，用两根长h的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如题2-2图所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴作微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。 解：给杆一个微转角θ θ＝hα 2F＝mg 由动量矩定理： 其中 2-3求题2-3图中系统的固有频率，悬臂梁端点的刚度分别是和，悬臂梁的质量忽略不计。 解：悬臂梁可看成刚度分 别为k1和k3的弹簧，因此，k1 与k2串联，设总刚度为k1ˊ。 k 1 ˊ与k3并联，设总刚度为k2 ˊ。k2ˊ与k4串联，设总刚度 为k。即为 ，， mg kδ =δ δ 3 24 mgh EJ = k3 24EJ h " m x kx =- 3 n 24 mh EJ p= 2 a a h a mg a mg Fa M ml I M I 8 2 2 cos sin 12 1 2 2 - = - ≈ ? - = == = α θ α θ&& 1 2 cos sin≈ ≈ θ α α h l ga p h a mg ml n2 2 2 2 2 3 4 12 1 = = ? +θ θ&& g h a l ga h l p T n 3 π2 3 π2 π2 2 2 = = = 1 k3k 2 1 2 1 1k k k k k + = ' 2 1 2 1 3 2k k k k k k + + = ' 4 2 4 1 2 1 3 2 3 1 4 2 1 4 3 2 4 2 1 k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k + + + + + + = θ F sinα 2 θ α F h mg θ F 中北大学 振动力学课程考试试题（课程名称须与教学任务书相同） 2009/2010 学年第 2 学期 试题类别 A 拟题日期2010-5-29 拟题教师关学锋 课程编号02073105 教师编号1120009 教学院长系主任 课程结束时间2010-5-22 印刷份数100 使用班级08070641 08070642 备注：（1）试题要求按指定规格计算机打印，并将其电子稿于课程结束前20天交评估与考试中心命题科。 （2）试题类别指A卷或B卷。 （3）试题印制手续由院教务科统一到评估与考试中心命题科办理。 2009-2010学年第二学期期末考试试题（A 卷） 振动力学（56学时） 使用班级： 08070641 08070642 如图所示是一个倒置的摆。摆球质量为m ，刚杆质量可忽略，每个弹簧的刚度为 2 k 。（1）求倒摆作微幅振动时的固有频率。（2）摆球质量m 为0.9kg 时，测得频率n f 为1.5Hz ，质量m 为1.8kg 时，测得频率n f 为0.75Hz ，问摆球质量为多少千克时恰使系统处于不稳定平衡状态？ 如图所示的系统中，刚杆质量不计，写出运动微分方程，并求临界阻尼系数及阻尼固有频率。 建立如图所示弹簧质量系统运动的作用力方程。 k 5k 6 P 1 2 3 用瑞利法计算图所示系统的基频。 试求一端固定一端自由杆纵向自由振动的固有频率和主振型。 （注：微分方程22 222u u a t x ??=??可的通解为12(,)()()(sin cos )sin()u x y U x T t B x B x b t a a ω ω ω?==++） 《振动力学》——习题第二章 单自由度系统的自由振动2-1 如图2-1 所示，重物悬挂在刚度为k 的弹簧上并处于静止平衡位置，另一重物 1W 2 W 从高度为h 处自由下落到上且无弹跳。试求下降的最大距离和两物体碰撞1W 2W 后 的运动规律。 图2-1 图2-22-2 一均质等直杆，长为l ，重量为w ，用两根长h 的相同的铅垂线悬挂成水平位置，如图2-2所示。试写出此杆绕通过重心的铅垂轴做微摆动的振动微分方程，并求出振动固有周期。2-3 一半圆薄壁筒，平均半径为R , 置于粗糙平面上做微幅摆动，如图2-3所示。试求 其摆动的固有频率。 图2-3 图2-42-4 如图2-4 所示，一质量m 连接在一刚性杆上，杆的质量忽略不计，试求下列情况系统作垂直振动的固有频率： （1）振动过程中杆被约束保持水平位置； （2）杆可以在铅垂平面内微幅转动； （3）比较上述两种情况中哪种的固有频率较高，并说明理由。2-5 试求图2-5所示系统中均质刚性杆AB 在A 点的等效质量。已知杆的质量为 m ，A 、管路敷设技术通过管线敷设技术，不仅可以解决吊顶层配置不规范问题，而且可保障各类管路习题到位。在管路敷设过程中，要加强看护关于管路高中资料试卷连接管口处理高中资料试卷弯扁度固定盒位置保护层防腐跨接地线弯曲半径标高等，要求技术交底。管线敷设技术中包含线槽、管架等多项方式，为解决高中语文电气课件中管壁薄、接口不严等问题，合理利用管线敷设技术。线缆敷设原则：在分线盒处，当不同电压回路交叉时，应采用金属隔板进行隔开处理；同一线槽内，强电回路须同时切断习题电源，线缆敷设完毕，要进行检查和检测处理。、电气课件中调试对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料试卷相互作用与相互关系，根据生产工艺高中资料试卷要求，对电气设备进行空载与带负荷下高中资料试卷调控试验；对设备进行调整使其在正常工况下与过度工作下都可以正常工作；对于继电保护进行整核对定值，审核与校对图纸，编写复杂设备与装置高中资料试卷调试方案，编写重要设备高中资料试卷试验方案以及系统启动方案；对整套启动过程中高中资料试卷电气设备进行调试工作并且进行过关运行高中资料试卷技术指导。对于调试过程中高中资料试卷技术问题，作为调试人员，需要在事前掌握图纸资料、设备制造厂家出具高中资料试卷试验报告与相关技术资料，并且了解现场设备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。、电气设备调试高中资料试卷技术电力保护装置调试技术，电力保护高中资料试卷配置技术是指机组在进行继电保护高中资料试卷总体配置时，需要在最大限度内来确保机组高中资料试卷安全，并且尽可能地缩小故障高中资料试卷破坏范围，或者对某些异常高中资料试卷工况进行自动处理，尤其要避免错误高中资料试卷保护装置动作，并且拒绝动作，来避免不必要高中资料试卷突然停机。因此，电力高中资料试卷保护装置调试技术，要求电力保护装置做到准确灵活。对于差动保护装置高中资料试卷调试技术是指发电机一变压器组在发生内部故障时，需要进行外部电源高中资料试卷切除从而采用高中资料试卷主要保护装置。 2006《振动力学》课程本科生考试试题标准答案 1. 圆筒质量m 。质量惯性矩o J ，在平面上在弹簧k 的限制下作纯滚动，如图所示，求其 固有频率。（10分） 解：令t A x t A x ωωωcos ,sin == t A x r J m x r J m r x J x m J x m T o o o o ωωθ22 2222 2222 2cos )(21)(21)(21212 121 +=+=+=+= t kA kx U ω2 22sin 2121== 2 2 2222max max /2 1)(21r J m k kA A x r J m U T o o += =+∴=ωω 2. 图示的弹簧质量系统，两个弹簧的连接处有一激振力t P t P ωsin )(0=的作用，求质量m 稳态响应的幅值。（10分） )(t 2 x x m 11x k (t P 22x k 解：设m 的位移为x ，则21x x x += (1) 其中,1x 为弹簧1k 的变形，2x 为弹簧2k 的变形 对m 列运动微分方程： 022=+x k x m (2) 对连接点列平衡方程： )(2211t P x k x k += (3) 由(3)式可以得出： 12 21)(k x k t P x += 将上式代入(1)式可得出： 2 112)(k k x k t P x ++-= 将上式代入(2)式可得出：0)(2 12 2121=+-++t P k k k x k k k k x m 令m k k k k k k e e e =+= ω,212 1，有 t k k k P t P k k k x k x m e ωsin )(2 120212 +=+=+ t k P t k k k k P x e e e ωωωωωωsin )(11sin )(11 12 102 2120-?=-??+= ∴ 3. 建立如图所示系统的运动微分方程并求稳态响应。（10分） 解：对物体m 列运动微分方程，有： 0)(1=--+x x k x c x m 即： t kA kx x c x m ωsin =++ t A ωsin 1= x m )x - 1、四个振动系统中，自由度为无限大的是（）。 A. 单摆； B. 质量- 弹簧； C. 匀质弹性杆； D. 无质量弹性梁； 2、两个分别为C i、C2的阻尼原件，并连后其等效阻尼是（）。 A. C.C1+C2； C1-C2； B. D. C1C2/( C1+C2) ； C2-C1； 3、（）的振动系统存在为0 的固有频率。 A.有未约束自由度； B.自由度大于0 C.自由度大于1； D.自由度无限多； 4、多自由度振动系统中，质量矩阵元素的量纲应该是（）。 A. 相同的，且都是质量； B. 相同的，且都是转动惯量； C. 相同的，且都是密度； D. 可以是不同的； 5、等幅简谐激励的单自由度弹簧-小阻尼-质量振动系统，激励频率（）固有频率时，稳态位移响应幅值最大。 A. 等于； B. 稍大于； C. 稍小于； D. 为0； 6、自由度为n 的振动系统，且没有重合的固有频率，其固有频率的数目（ A ）。 A. 为n； B. 为1； C. 大于n； D. 小于n； 7、无阻尼振动系统两个不同的振型u（r）和u（s）, u（r）T Mu⑸的值一定（） A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 8、无阻尼振动系统的某振型u（r）, u（r）T Ku⑴的值一定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 小于0； D. 不能确定； 9、如果简谐激励力作用在无约束振动系统的某集中质量上，当激励频率为无限大时，该集中质量的稳态位移响应一 定（）。 A. 大于0； B. 等于0； C. 为无穷大； D. 为一常数值； 10、相邻固有频率之间的间隔呈近似无限等差数列的振动系统是（）。 A. 杆的纵向振动； B. 弦的横向振动； C. 一般无限多自由度系统； D. 梁的横向振动； 11、两个刚度分别为k1、k2 串连的弹簧, 其等效刚度是（）。 A. k1+k2； B. k1k2/( k1+k2) ； 线订装封密线订装封密 西南交通大学2009—2010学年第（1 ）学期考试试卷课程代码6332200 课程名称振动力学考试时间120 分钟 一、如图所示系统，设杆AB为刚性杆，其对A点的转动惯量为1=1 kgm2，杆长L=1 m。在B 端有一集中质量块，杆的中间和B端分别有弹簧支承。已知质量块质量m=10 kg,弹簧系数k1=40 N/m，k2=100 N/m。试以集中质量块的位移x为参照，（1）求系统的等效质量和等效刚度；（2）系统的周期是多少？（3）建立系统的运动微分方程。（15分） L/2L/2 --------- —--- 予 线订装封密 题号-一一二二二-三四五六七八九十总成绩得分 阅卷教师签字：_________________________________________________________________ 二、横截面面积为A、质量为m的圆柱形浮子，静止在密度为p的液体中。设从静平衡位置压低距离x o,然后无初速地释放，假定阻尼可以忽略不计。 （1）试建立浮子的运动方程； （2）给出浮子的固有频率及初始条件； （3）求浮子自由运动的响应。（15分） o 三、如图所示滑轮系统，在运动过程中，假设不可伸长绳与滑轮之间无相对滑动。已知m i=9 kg , m2=8 kg，滑轮A的半径R A=0.1 m，对其转轴的惯性矩|A=0.01 kgm2，滑轮B的半径R B=0.2 m，对其转轴的惯性矩I B=0.08 kgm2，弹簧系数k i=k2= k3=1000 N/m。试求： 1)系统的运动方程； (2)系统的频率及振型； (3)验证振型关于质量阵加权正交。(20分) 《振动力学》2015春节学期作业 一、无阻尼自由振动 1、如图所示，T型结构可绕水平轴O作微小摆动，已知摆动部分的质量为w，机构绕O轴的转动惯量为J，两弹簧的弹簧系数均为k，且当=0 ?时（即机构处于平衡位置时），两弹簧无伸缩，试求该机构的摆动频率。 （答案：ω） 2、如图所示，长度为L的刚性杆件，在O点铰支，自由端固定一质量为m 的小球。在距离铰支端a处，由两个刚度系数为k/2的弹簧将刚性杆件支持在铅垂面内。求该系统的固有频率。（忽略刚性杆件和弹簧的质量） （答案：ω） 的质量块，弹簧刚度为k，求系统的固有频率。 （答案：ω=） 微摆动，求其固有角频率。 （答案：ω=） 5、如图所示，抗弯刚度为62 EI=??的梁AB，借弹簧支撑于A,B两 3010(N m) 点处，弹簧系数均为300(/) =。忽略梁的质量，试求位于B点左边3m k N m 处，重量为1000() =的物块自由振动的周期。 W N （答案：T=0.533s） 6、一个重W的水箱，借助四根端点嵌固的竖置管柱支撑着。每根柱子的长为L,抗弯刚度为EI。试求该水箱顺水平方向自由振动的周期。（管柱的质量忽略不计） （答案：2 T=） 7、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第1题、第2题、第8题 二、有阻尼自由振动 1、如图所示，库伦曾用下述方法测定液体的粘性系数'c：在弹簧上悬挂 一薄板A ，先测出薄板在空气中的振动周期1T ,然后测出在待测粘性系数的液体中的振动周期2T 。设液体对薄板的阻力等于2A 'c v ，其中2A 为薄板的表面面积，v 为薄板的速度。如薄板重W ，试有测得的数据1T 和2T ，求出粘性系数'c 。空气对薄板的阻力不计。 （答案：'c =） 2、物体质量为2kg ，挂在弹簧下端。弹簧常数k=48.02N/cm,求临界阻尼系数。 （答案：196Ns/m ） 3、挂在弹簧下端的物体，质量为1.96kg ，弹簧常数k=0.49N/cm,阻尼系数c=0.196Ns/cm 。设在t=0时刻将物体从平衡位置向下拉5cm ，然后无初速度地释放，求此后的运动。 （答案:55(15t)cm t x e -=+ ） 4、《结构动力学基础》，第2章课后习题，第12题 三、简谐荷载作用下的强迫振动 1、如图所示，一无重简支梁，在跨中有重W=20kN 的电机，电机偏心所产 2008年振动力学期末考试试卷 第一题（20分） 1、在图示振动系统中，已知：重物C 的质量m 1，匀质杆AB 的质量m 2，长为L ，匀质轮O 的质量m 3，弹簧的刚度系数k 。当AB 杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。 解： 系统可以简化成单自由度振动系统，以重物C 的位移y 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时y ＝0，此时系统的势能为零。 AB 转角：L y /=? 系统动能： m 1动能：2112 1 y m T = m 2动能：2222222 22222)3 1(21))(31(21)31(2121y m L y L m L m J T ====? ω m 3动能：2322 32333)2 1(21))(21(2121y m R y R m J T ===ω 系统势能： 221)2 1 (21)21(y k y g m gy m V ++-= 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有： E y k gy m gy m y m m m V T =++-++= +2212321)2 1 (2121)2131(21 上式求导，得系统的微分方程为： E y m m m k y '=+++) 2 1 31(4321 固有频率和周期为： ) 2 131(43210m m m k ++= ω 2、质量为m 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮A 连在质量为m 2的物块B 上；轮心C 与刚度系数为k 的水平弹簧相连；不计滑轮A ，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。 解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B 的位移x 作为系统的广义坐标，在静平衡位置时x ＝0，此时系统的势能为零。 物体B 动能：2212 1 x m T = 轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为x v c 21=，角速度为x R 21=ω，转过的角度为x R 21 = θ。轮子动能： )83 (21)41)(21(21)41(212121212221212212x m x R R m x m J v m T c =+=+=ω 系统势能： 22228)21(21)(2121x k xR R k R k kx V c ==== θ 在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有： E x k x m m V T =++= +22218 )83(21 上式求导得系统的运动微分方程： 08322 1=++x m m k x 固有频率为： 2 10832m m k += ω 第二题（20分） 1、在图示振动系统中，重物质量为m ，外壳质量为2m ，每个弹簧的刚度系数均为k 。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1）以x 1和x 2为广义坐标，建立系统的微分方程；（2）求系统的固有频率。 解： x(完整版)振动力学试题
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