6．(2016·山西模拟)已知平面向量a ，b ，c 满足a ·b ＝1，a ·c ＝2，b ·c ＝1，则
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|a ＋b ＋c |的取值范围为( ) A ．[0，＋∞) B ．[22，＋∞) C ．[23，＋∞) D ．[4，＋∞)
答案 D
解析 建立平面直角坐标系，设a ＝(1，0)，由于a ·b ＝1，a ·c ＝2，可设b ＝(1，m)，c ＝(2，n)，而b ·c ＝1，则有2＋mn ＝1，即mn ＝－1，由于|a ＋b ＋c |2＝|a |2＋|b |2＋|c |2＋2a ·b ＋2a ·c ＋2b ·c ＝|b |2＋|c |2＋9＝1＋m 2＋4＋n 2＋9＝m 2＋n 2＋14≥－2mn ＋14＝16，故|a ＋b ＋c |≥4.
7．(2016·北京)将函数y ＝sin(2x －π3)图像上的点P(π4，t)向左平移s(s>0)个单位长度得到点P ′.若P ′位于函数y ＝sin2x 的图像上，则( ) A ．t ＝1
2，s 的最小值为π6 B ．t ＝3
2，s 的最小值为π6 C ．t ＝1
2，s 的最小值为π3 D ．t ＝3
2，s 的最小值为π3
答案 A
解析 因为点P(π4，t)在函数y ＝sin(2x －π3)的图像上，所以t ＝sin(2×π4－π
3)＝sin π6＝12.又P ′(π4－s ，12)在函数y ＝sin2x 的图像上，所以1
2＝sin2(π4－s)，则2(π4－s)＝2k π＋π6或2(π4－s)＝2k π＋5π6，k ∈Z ，得s ＝－k π＋π
6或s ＝－k π－π6，k ∈Z .又s>0，故s 的最小值为π
6.故选A.
8．(2016·太原模拟)已知函数f(x)＝log 2x ，若在[1，8]上任取一个实数x 0，则不等式1≤f(x 0)≤2成立的概率是( ) A.14 B.13 C.27 D.12
答案 C
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解析 1≤f(x 0)≤2?1≤log 2x 0≤2?2≤x 0≤4，∴所求概率为
4－28－1＝2
7
. 9．棱长为a 的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的八面体的体积为( ) A.a 33 B.a 3
4 C.a 36 D.a 312
答案 C
解析 所得图形是一个正八面体，可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为2
2a ，高为正方体边长的一半， ∴V ＝2×13(22a)2·a 2＝a 3
6.
10．(2016·武汉调研)设F 为抛物线C ：x 2＝12y 的焦点，A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，若FA
→＋FB →＋FC →＝0，则|FA|＋|FB|＋|FC|＝( ) A ．3 B ．9 C ．12 D ．18
答案 D
解析 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，C(x 3，y 3)，因为A ，B ，C 为抛物线上不同的三点，则A ，B ，C 可以构成三角形．
抛物线C ：x 2＝12y 的焦点为F(0，3)，准线方程为y ＝－3.
因为FA →＋FB →＋FC →＝0，所以利用平面向量的相关知识可得点F 为△ABC 的重心，从而有x 1＋x 2＋x 3＝0，y 1＋y 2＋y 3＝9.
又根据抛物线的定义可得|FA|＝y 1－(－3)＝y 1＋3， |FB|＝y 2－(－3)＝y 2＋3，|FC|＝y 3－(－3)＝y 3＋3，
所以|FA|＋|FB|＋|FC|＝y 1＋3＋y 2＋3＋y 3＋3＝y 1＋y 2＋y 3＋9＝18. 11．(2016·保定模拟)已知函数f(x)满足f(x)＋1＝
1
f （x ＋1）
，当x ∈[0，1]时，f(x)
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＝x ，若在区间(－1，1]上方程f(x)－mx －m ＝0有两个不同的实根，则实数m 的取值范围是( ) A ．[0，1
2) B ．[1
2，＋∞) C ．[0，1
3) D ．(0，1
2]
答案 D
解析 方程f(x)－mx －m ＝0有两个不同的实根等价于方程f(x)＝m(x ＋1)有两个不同的实根，等价于直线y ＝m(x ＋1)与函数f(x)的图像有两个不同的交点．因为当x ∈(－1，0)时，x ＋1∈ (0，1)，所以f(x)＝
1
x ＋1
－1， 所以f(x)＝????
?x ，x ∈[0，1]，1x ＋1－1，x ∈（－1，0）.在同一平面直角坐标系内作出直线y ＝m(x
＋1)与函数f(x)，x ∈(－1，1]的图像，由图像可知，当直线y ＝m(x ＋1)与函数f(x)的图像在区间(－1，1]上有两个不同的公共点时，实数m 的取值范围为(0，1
2]． 二、填空题
12．(2016·衡水调研)已知x ＋y ＝－1，且x ，y 都是负数，则xy ＋1
xy 的最小值为________． 答案
17
4
解析 设x ＝－sin 2α(sin 2α≠0)，y ＝－cos 2α(cos 2α≠0)，则xy ＋1
xy ＝ sin 2αcos 2α＋1sin 2αcos 2α＝14sin 22α＋4sin 22α＝14(sin 2
2α＋16sin 22α)．
∵sin 22α＋16
sin 22α
在sin 22α∈(0，1]上是减函数，
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∴sin 2
2α＝1时，取得最小值，∴xy ＋1xy 的最小值为14(1＋161)＝17
4.
13．已知正三棱锥P －ABC ，点P ，A ，B ，C 都在半径为3的球面上，若PA ，PB ，PC 两两相互垂直，则球心到截面ABC 的距离为________． 答案 3
3
解析 先在一个正方体中找一个满足条件的正三棱锥，再利用正方体的性质解题．如图，满足题意的正三棱锥P －ABC 可以是正方体的一部分，其外接球的直径是正方体的体对角线，且面ABC 与体对角线的交点是体对角线的一个三等分点，所以
球心到平面ABC 的距离等于体对角线长的16，故球心到截面ABC 的距离为1
6×23＝3
3.
14．过点(1，2)的直线l 将圆(x －2)2＋y 2＝4分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k ＝______． 答案 2
2
解析 由题意得，劣弧所对圆心角最小，则劣弧对应的弦长最短，此时圆心到直线l 的距离最大，所以当圆心(2，0)与点(1，2)的连线与直线l 垂直时，弦长最短．此时直线l 的斜率k ＝2
2.
15．(2016·盐城)在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2＝4上有且只有四个点到直线12x －5y ＋c ＝0的距离为1，则实数c 的取值范围是________． 答案 (－13，13)
解析 由题设得，若圆上有四个点到直线的距离为1，则需圆心(0，0)到直线的距离d 满足0≤d<1.
∵d ＝|c|122＋52＝|c|13
，∴0≤|c|<13，即c ∈(－13，13)．
16．若函数f(x)＝(a 2＋4a －5)x 2－
4(a －1)x ＋3的图像恒在x 轴上方，则a 的取值
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范围是________． 答案 [1，19)
解析 函数图像恒在x 轴上方，即不等式(a 2＋4a －5)x 2－4(a －1)x ＋3>0对于一切x ∈R 恒成立．
(1)当a 2＋4a －5＝0时，有a ＝－5或a ＝1. 若a ＝－5，不等式化为24x ＋3>0，不满足题意； 若a ＝1，不等式化为3>0，满足题意． (2)当a 2＋4a －5≠0时，应有
?
??a 2＋4a －5>0，16（a －1）2－12（a 2＋4a －5）<0，解得117．已知f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2)＝0，当x>0时，xf ′(x)－f(x)>0，则不等式xf(x)<0的解集是________． 答案 (－∞，－2)∪(0，2)
解析 显然x ≠0，故不等式xf(x)<0与不等式
f （x ）x <0同解．记g(x)＝f （x ）
x ，
可知g(x)是奇函数，且当x>0时，g ′(x)＝xf ′（x ）－f （x ）
x 2>0，此时g(x)为增
函数，又g(2)＝
f （2）2＝0，所以不等式g(x)＝f （x ）
x <0的解集为(－∞，
－2)∪(0，2)，即不等式xf(x)<0的解集为(－∞，－2)∪(0，2)．
18．已知抛物线y ＝x 2－1上有一定点B(－1，0)和两个动点P 、Q ，若BP ⊥PQ ，则点Q 横坐标的取值范围是________． 答案 (－∞，－3]∪[1，＋∞)
解析 设P(x P ，x P 2－1)，Q(x Q ，x Q 2－1)， 由k BP ·k PQ ＝－1，得x P 2－1x P ＋1·x Q 2－x P 2
x Q －x P ＝－1.
所以x Q ＝－x P －1x P －1＝－(x P －1)－1
x P －1
－1.
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因为|x P －1|＋1
|x P －1|
≥2，所以x Q ≥1或x Q ≤－3.
