第二节 双曲线
考点一 用双曲线的定义解决相关问题
1.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=2的左、右焦点,点P 在C 上,|PF 1|=2|PF 2|,则cos ∠F 1PF 2=( ) (A)
14 (B)35 (C)34 (D)4
5
2.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则P 到x 轴的距离为( )
(A)
2 (B)2
3.已知F 1、F 2为双曲线C:x 2
-y 2
=1的左、右焦点,点P 在C 上,∠F 1PF 2=60°,则|PF 1|·|PF 2|=( ) (A)2
(B)4
(C)6
(D)8
4.已知F 是双曲线24x -2
12
y =1的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的动点,则|PF|+|PA|的最小值为 .?
考点二 双曲线标准方程的求法
1.已知双曲线C:22x a -2
2y b =1的焦距为10,点P(2,1)在C 的渐近线上,则C 的方程为( )
(A) 220x -25y =1 (B) 25x -220y =1 (C) 280x -2
20
y =1 (D) 220x -280y =1
2.已知双曲线22x a -22y b
=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x 2+y 2
-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,
则该双曲线的方程为( )
(A) 25x -24y =1 (B) 24x -25y =1 (C) 23x -26y =1 (D) 26x -2
3
y =1
3.(2010年新课标全国卷,理12)已知双曲线E 的中心为原点,F(3,0)是E 的焦点,过F 的直线l 与E 相交于A 、B 两点,且AB 的中点为N(-12,-15),则E 的方程为( )
(A)23x -26y =1
(B) 24x -25y =1 (C)26x -2
3y =1
(D) 25x -2
4
y =1
4.已知双曲线C 1: 22x a -22y b =1(a>0,b>0)与双曲线C 2: 24x -2
16
y =1有相同的渐近线,且C 1的右焦点为F(5,0),
则a= ,b= .?
考点三 双曲线离心率的求法
1.设直线l 过双曲线C 的一个焦点,且与C 的一条对称轴垂直,l 与C 交于A 、B 两点,|AB|为C 的实轴长的2倍,则C 的离心率为( ) (A)2 (B)3 (C)2
(D)3
2.过双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的右顶点A 作斜率为-1的直线,该直线与双曲线的两条渐近线的交点分别为
B,C.若AB u u u r
=
12
BC u u u
r ,则双曲线的离心率是( ) (A)2 (B)3 (C)5 (D)10
3.设F 1,F 2是双曲线C:22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的两个焦点,P 是C 上一点.若|PF 1|+|PF 2|=6a,且△PF 1F 2的最小内角
为30°,则C 的离心率为 .?
4.如图所示,F 1、F 2分别是双曲线C: 22
221x y a b
-= (a,b>0)的左,右焦点,B 是虚轴的端点,直线F 1B 与C 的两条渐近
线分别交于P,Q 两点,线段PQ 的垂直平分线与x 轴交于点M.若|MF 2|=|F 1F 2|,则C 的离心率是( )
(A)23 (B)6
(C)2 (D) 3
5.已知双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的左、右焦点分别为F 1(-c,0),F 2(c,0).
若双曲线上存在点P,使
1221sin sin PF F PF F ∠∠=a
c
,则该双曲线的离心率的取值范围是 ——.?
考点四 与渐近线有关问题的解法?
1.设双曲线22x a
-2
9y =1(a>0)的渐近线方程为3x ±2y=0,则a 的值为( ) (A)4 (B)3
(C)2
(D)1
2.设双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的虚轴长为2,焦距为,则双曲线的渐近线方程为( )
(A)y=
(B)y=±2x (C)y=x (D)y=±1
2
x
3.已知双曲线C:22
221x y a b
-=(a>0,b>0),则C 的渐近线方程为( )
(A)y=±1
4x (B)y=±13x (C)y=±12
x (D)y=±x
4.设F 1、F 2分别为双曲线22
221x y a b
-= (a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF 2|=|F 1F 2|,且
F 2到直线PF 1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( ) (A)3x ±4y=0 (B)3x ±5y=0 (C)4x ±3y=0
(D)5x ±4y=0
考点五 双曲线几何性质的简单应用?
1.(2013年湖北卷,理5)已知0<θ<π
4
,则双曲线C 1: 22cos x θ-22sin y θ=1与C 2: 22cos y θ-222sin tan x θθ=1的( )
(A)实轴长相等 (B)虚轴长相等 (C)焦距相等 (D)离心率相等 2.双曲线2x 2
-y 2
=8的实轴长是( )
(A)2
(C)4
3.在平面直角坐标系xOy 中,若双曲线2
x m -224
y m +=1则m 的值为 .?
4.(2010年福建卷,理7)若点O 和点F(-2,0)分别为双曲线22x a
-y 2
=1(a>0)的中心和左焦点,点P 为双曲线右支上的任意一点,OP FP ?u u u r u u u r
的取值范围为( )
∞,+∞) (C) 7,4
??-+∞????
(D)7,4
??
+∞??
??
考点六 直线与双曲线位置关系的判定及应用?
1.已知椭圆C 1的方程为2
4x +y 2
=1,双曲线C 2的左、右焦点分别是C 1的左、右顶点,而C 2的左、右顶点分别是C 1
的左、右焦点. (1)求双曲线C 2的方程;
(2)若直线C 2恒有两个不同的交点A 和B,且OA u u u r ·OB u u u r
>2(其中O 为坐标原点),求k 的取值
范围.
2.已知双曲线22
x -y 2
=1的左、右顶点分别为A 1,A 2,点P(x 1,y 1),Q(x 1,-y 1)是双曲线上不同的两个动点.
(1)求直线A 1P 与A 2Q 交点的轨迹E 的方程;
(2)若过点H(0,h)(h>1)的两条直线l 1和l 2与轨迹E 都只有一个交点,且l 1⊥l 2,求h 的值.
3.已知以原点O为中心,F(5,0)为右焦点的双曲线C的离心率e=5.
(1)求双曲线C的标准方程及其渐近线方程;
(2)如图,已知过点M(x1,y1)的直线l1:x1x+4y1y=4与过点N(x2,y2)(其中x2≠x1)的直线l2:x2x+4y2y=4的交点E在双曲线C上,直线MN与两条渐近线分别交于G、H两点,求△OGH的面积.
4.如图,已知双曲线C:-y2=1(a>0)的右焦点为F,点A,B分别在C的两条渐近线上,AF⊥x轴,AB ⊥OB,BF∥OA(O为坐标原点).
(1)求双曲线C的方程;
(2)过C上一点P(x
0,y
)(y
≠0)的直线l:-y
y=1与直线AF相交于点M,与直线x=相交于点N.
证明:当点P在C上移动时,恒为定值,并求此定值.