第3节变量间的相关关系与统计案例
最新考纲 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用.
知识梳理
1.相关关系与回归分析
回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数.
(1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关.
(3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系.
2.线性回归方程
(1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法.
(2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，
(x n，y n)，其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑
n
i＝1
（x i－x－）（y i－y－）
∑
n
i＝1
（x i－x－）2
＝
∑
n
i＝1
x i y i－nx－y－
∑
n
i＝1
x2i－nx－2
，
a^＝y－－b^x－.其中，b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距.
回归直线一定过样本点的中心(x－，y－).
3.回归分析
(1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
(2)样本点的中心：对于一组具有线性相关关系的数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)，其中(x－，y－)称为样本点的中心.
(3)相关系数
当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关.
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强.
r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系.通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性.
(4)相关指数：R2＝1－∑
n
i＝1
（y i－y^i）2
∑
n
i＝1
（y i－y－）2
.其中∑
n
i＝1
(y i－y^i)2是残差平方和，其值越小，
则R2越大(接近1)，模型的拟合效果越好.
4.独立性检验
(1)利用随机变量K2来判断“两个分类变量有关系”的方法称为独立性检验.
(2)列联表：列出的两个分类变量的频数表，称为列联表.假设有两个分类变量X 和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(2×2列联表)为
则随机变量K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）
n＝a＋b＋c＋d为样本容量.
[常用结论与微点提醒]
1.求解回归方程的关键是确定回归系数a^，b^，应充分利用回归直线过样本中心点
(x－，y－).
2.根据K2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若K2越大，则两分类变量有关的把握越大.
3.根据回归方程计算的y^值，仅是一个预报值，不是真实发生的值.
诊断自测
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)“名师出高徒”可以解释为教师的教学水平与学生的水平成正相关关系.()
(2)通过回归直线方程y^＝b^x＋a^可以估计预报变量的取值和变化趋势.()
(3)因为由任何一组观测值都可以求得一个线性回归方程，所以没有必要进行相关性检验.()
(4)事件X，Y关系越密切，则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.()
答案(1)√(2)√(3)×(4)√
2.(必修3P90例题改编)某研究机构对高三学生的记忆力x和判断力y进行统计分析，所得数据如表：
则y对x的线性回归直线方程为()
A.y^＝2.3x－0.7
B.y^＝2.3x＋0.7
C.y^＝0.7x－2.3
D.y^＝0.7x＋2.3
解析易求x－＝9，y－＝4，样本点中心(9，4)代入验证，满足y^＝0.7x－2.3.
答案 C
3.两个变量y与x的回归模型中，分别选择了4个不同模型，它们的相关指数R2如下，其中拟合效果最好的模型是()
A.模型1的相关指数R2为0.98
B.模型2的相关指数R2为0.80
C.模型3的相关指数R2为0.50
D.模型4的相关指数R2为0.25
解析在两个变量y与x的回归模型中，它们的相关指数R2越近于1，模拟效果越好，在四个选项中A的相关指数最大，所以拟合效果最好的是模型1.
答案 A
4.(2015·全国Ⅱ卷)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化硫年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论不正确的是()
A.逐年比较，2008年减少二氧化硫排放量的效果最显著
B.2007年我国治理二氧化硫排放显现成效
C.2006年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势
D.2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关
解析对于A选项，由图知从2007年到2008年二氧化硫排放量下降得最多，故A正确.对于B选项，由图知，由2006年到2007年矩形高度明显下降，因此B 正确.对于C选项，由图知从2006年以后除2011年稍有上升外，其余年份都是逐年下降的，所以C正确.由图知2006年以来我国二氧化硫年排放量与年份负相关，D不正确.
答案 D
5.为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表：
理科文科
男1310
女720
已知P(K2≥3.841)≈0.05，P(K2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K2的观测值k
＝50×（13×20－10×7）2
23×27×20×30≈4.844.则认为选修文科与性别有关系出错的可能性为
________.
解析K2的观测值k≈4.844，这表明小概率事件发生.根据假设检验的基本原理，应该断定“是否选修文科与性别之间有关系”成立，并且这种判断出错的可能性约为5%.
答案5%
考点一相关关系的判断
【例1】(1)已知变量x和y近似满足关系式y＝－0.1x＋1，变量y与z正相关.下列结论中正确的是()
A.x与y正相关，x与z负相关
B.x与y正相关，x与z正相关
C.x与y负相关，x与z负相关
D.x与y负相关，x与z正相关
(2)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r与残差平方和m如下表：
甲乙丙丁
r 0.820.780.690.85
m 106115124103
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性()
A.甲
B.乙
C.丙
D.丁
解析(1)由y＝－0.1x＋1，知x与y负相关，即y随x的增大而减小，又y与z 正相关，所以z随y的增大而增大，减小而减小，所以z随x的增大而减小，x 与z负相关.
(2)在验证两个变量之间的线性相关关系时，相关系数的绝对值越接近于1，相关性越强，在四个选项中只有丁的相关系数最大；残差平方和越小，相关性越强，只有丁的残差平方和最小，综上可知丁的试验结果体现了A，B两变量有更强的线性相关性.
答案(1)C(2)D
规律方法 1.散点图中如果所有的样本点都落在某一函数的曲线附近，变量之间就有相关关系.如果所有的样本点都落在某一直线附近，变量之间就有线性相关关系.若点散布在从左下角到右上角的区域，则正相关.
2.利用相关系数判定，当|r|越趋近于1相关性越强.当残差平方和越小，相关指数R2越大，相关性越强.若r>0，则正相关；r<0时，则负相关.
3.线性回归直线方程中：b^>0时，正相关；b^<0时，负相关.
【训练1】(1)某公司在2018年上半年的收入x(单位：万元)与月支出y(单位：万元)的统计资料如下表所示：
月份1月份2月份3月份4月份5月份6月份
收入x 12.314.515.017.019.820.6
支出y 5.63 5.75 5.82 5.89 6.11 6.18
根据统计资料，则()
A.月收入的中位数是15，x与y有正线性相关关系
B.月收入的中位数是17，x与y有负线性相关关系
C.月收入的中位数是16，x与y有正线性相关关系
D.月收入的中位数是16，x与y有负线性相关关系
(2)x和y的散点图如图所示，则下列说法中所有正确命题的序号为________.
①x，y是负相关关系；
②在该相关关系中，若用y＝c1e c2x拟合时的相关指数为R21，用y^＝b^x＋a^拟合时的相关指数为R22，则R21>R22；
③x，y之间不能建立线性回归方程.
解析(1)从统计图表中看出，月收入的中位数是1
2(15＋17)＝16，收入增加，则支
出也增加，x 与y 正线性相关.
(2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，因此x ，y 是负相关关系，
故①正确；由散点图知用y ＝c 1e c 2x 拟合比用y ^＝b ^x ＋a ^拟合效果要好，则R 21>R 2
2，
故②正确；x ，y 之间可以建立线性回归方程，但拟合效果不好，故③错误. 答案 (1)C (2)①② 考点二 线性回归方程及应用
【例2】 (2015·全国Ⅰ卷)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响，对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i ＝1，2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.
x －
y －
w －
∑8
i ＝1
(x i －x －
)2
∑8
i ＝1
(w i －w －
)2 ∑8i ＝1
(x i －x －)·(y i －y －
)
∑8i ＝1
(w i －w －)·(y i －y －
)
46.6 563 6.8
289.8
1.6
1 469
108.8
表中w i ＝x i ，w －
＝18∑i ＝1
w i .
(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)? (2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；
(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题：
①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？
附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为：
β^＝∑
n
i＝1
（u i－u－）（v i－v－）
∑
n
i＝1
（u i－u－）2
，α^＝v－－β^u－.
解(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型.
(2)令w＝x，先建立y关于w的线性回归方程，由于
d^＝∑
8
i＝1
（w i－w－）·（y i－y－）
∑
8
i＝1
（w i－w－）2
＝
108.8
1.6＝68，
c^＝y－－d^w－＝563－68×6.8＝100.6，
所以y关于w的线性回归方程为y^＝100.6＋68w，因此y关于x的回归方程为y^＝100.6＋68x.
(3)①由(2)知，当x＝49时，年销售量y的预报值
y^＝100.6＋6849＝576.6，
年利润z的预报值z^＝576.6×0.2－49＝66.32.
②根据(2)的结果知，年利润z的预报值
z^＝0.2(100.6＋68x)－x＝－x＋13.6x＋20.12.
所以当x＝13.6
2＝6.8，即x＝46.24时，z
^取得最大值.
故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大.
规律方法 1.(1)正确理解计算b^，a^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键.
(2)回归直线方程y^＝b^x＋a^必过样本点中心(x－，y－).
2.(1)在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.
(2)本例中y与x不具有线性相关，先作变换，转化为y与w具有线性相关，求出
y 关于w 的线性回归方程，然后进一步求解.
【训练2】 (2018·日照调研)某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款(年底余额)，如下表1：
表1
为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，t ＝x －2 012，z ＝y －5得到下表2：
表2
(1)求z 关于t 的线性回归方程；
(2)通过(1)中的方程，求出y 关于x 的回归方程；
(3)用所求回归方程预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达多少？
(附：对于线性回归方程y ^＝b ^
x ＋a ^，其中b ^
＝
∑n
i ＝1
x i y i －nx －·y
－
∑n i ＝1
x 2i －nx
－
2，a ^
＝y －
－b ^x －
)
解 (1)t －＝3，z －
＝2.2，∑5i ＝1
t i z i ＝45，∑5
i ＝1
t 2i ＝55，
b ^
＝45－5×3×2.255－5×9
＝1.2，
a ^
＝z －
－b ^t －
＝2.2－3×1.2＝－1.4，
所以z ^＝1.2t －1.4.
(2)将t ＝x －2 012，z ＝y －5，代入z ^＝1.2t －1.4， 得y －5＝1.2(x －2 012)－1.4，即y ^＝1.2x －2 410.8. (3)因为y ^＝1.2×2 022－2 410.8＝15.6，
所以预测到2022年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元. 考点三 独立性检验
【例3】(2017·全国Ⅱ卷)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg)，其频率分布直方图如下：
(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg
旧养殖法
新养殖法
(3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较.
附：
K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
解(1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为(0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62，因此，事件A的概率估计值为0.62.
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
箱产量<50 kg箱产量≥50 kg
旧养殖法6238
新养殖法3466
K 2的观测值为k ＝200×（62×66－34×38）
2
100×100×96×104
≈15.705.
由于15.705>6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg 到55 kg 之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg 到50 kg 之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高.因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法.
规律方法 1.在2×2列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足ad －bc ≈0.|ad －bc |越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad －bc |越大，说明两个变量之间关系越强.
2.解决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论.独立性检验的一般步骤：
(1)根据样本数据制成2×2列联表： (2)根据公式K 2＝
n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（a ＋c ）（b ＋d ）（c ＋d ）
计算K 2的观测值k ；
(3)比较观测值k 与临界值的大小关系，作统计推断.
【训练3】 (2018·合肥质检)某校在高一年级学生中，对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查. 现从高一年级学生中随机抽取180名学生，其中男生105名；在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名. (1)试问：从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为多少？ (2)根据抽取的180名学生的调查结果，完成下面的2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关？
附：K 2
＝n （ad －bc ）2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）
，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d .
P(K2≥k0)0.5000.4000.2500.1500.1000.0500.0250.0100.0050.001 k00.4550.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828
解(1)从高一年级学生中随机抽取1人，抽到男生的概率约为105
180＝
7
12.
(2)根据统计数据，可得2×2列联表如下：
选择自然科学类选择社会科学类合计男生6045105
女生304575
合计9090180
则K2的观测值为k＝
105×75×90×90＝36
7≈5.142 9>5.024，
所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关.
基础巩固题组
(建议用时：40分钟)
一、选择题
1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系，应用独立性检验法算得K2的观测值为5，又已知P(K2≥3.841)＝0.05，P(K2≥6.635)＝0.01，则下列说法正确的是()
A.有95%的把握认为“X和Y有关系”
B.有95%的把握认为“X和Y没有关系”
C.有99%的把握认为“X和Y有关系”
D.有99%的把握认为“X和Y没有关系”
解析依题意K2的观测值为k＝5，且P(K2≥3.841)＝0.05，因此有95%的把握认为“X和Y”有关系.
答案 A
2.(2018·石家庄模拟)下列说法错误的是()
A.回归直线过样本点的中心(x－，y－)
B.两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值就越接近于1
C .对分类变量X 与Y ，随机变量K 2的观测值k 越大，则判断“X 与Y 有关系”的把握程度越小
D .在回归直线方程y ^＝0.2x ＋0.8中，当解释变量x 每增加1个单位时，预报变量y
^
平均增加0.2个单位
解析 根据相关定义分析知A ，B ，D 正确，C 中对分类变量X 与Y 的随机变量K 2的观测值k 来说，k 越大，判断“X 与Y 有关系”的把握程度越大，故C 错误. 答案 C
3.(2017·汉中模拟)已知两个随机变量x ，y 之间的相关关系如表所示：
根据上述数据得到的回归方程为y ^＝b ^
x ＋a ^，则大致可以判断( ) A.a ^>0，b ^
>0 B.a ^
>0，b ^
<0 C.a ^<0，b ^>0
D.a ^<0，b ^
<0
解析 作出散点图，画出回归直线直观判定b ^
>0，a ^
<0.
答案 C
4.通过随机询问110名性别不同的学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：
由K 2＝n （ad －bc ）
2
（a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ）算得，
K 2的观测值为k ＝110×（40×30－20×20）
2
60×50×60×50
≈7.8.
附表：
参照附表，得到的正确结论是( )
A .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”
B .有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”
C .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”
D .在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关” 解析 根据独立性检验的定义，由K 2的观测值为k ≈7.8>6.635，可知我们在犯错误的概率不超过0.01的前提下，即有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”. 答案 A
5.(2017·山东卷)为了研究某班学生的脚长x (单位：厘米)和身高y (单位：厘米)的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为y ^
＝b ^
x ＋a ^
.已知∑10
i ＝1
x i ＝225，∑10
i ＝1
y i ＝1 600，b ^
＝
4.该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为( ) A .160
B .163
C .166
D .170
解析 由已知得x －＝22.5，y －＝160，
∵回归直线方程过样本点中心(x －，y －)，且b ^
＝4，
∴160＝4×22.5＋a ^，解得a ^＝70.
∴回归直线方程为y ^＝4x ＋70，当x ＝24时，y ^＝166.
答案 C 二、填空题
6.(2017·西安模拟)某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，
为此进行了5次试验.根据收集到的数据(如下表)，由最小二乘法求得回归方程y ^＝
0.67x ＋54.9.
零件数x (个) 10 20
30 40 50 加工时间y (min)
62
75
81
89
现发现表中有一个数据看不清，请你推断出该数据的值为________.
解析 由x －＝30，得y －＝0.67×30＋54.9＝75. 设表中的“模糊数字”为a ，
则62＋a ＋75＋81＋89＝75×5，∴a ＝68. 答案 68
7.(2018·赣中南五校联考)心理学家分析发现视觉和空间想象能力与性别有关，某数学兴趣小组为了验证这个结论，从所在学校中按分层抽样的方法抽取50名同学(男30，女20)，给所有同学几何题和代数题各一题，让各位同学自由选择一道题进行解答.选题情况如下表：(单位：人)
根据上述数据，推断视觉和空间想象能力与性别有关系，则这种推断犯错误的概率不超过________. 附表：
解析 由列联表计算K 2的观测值k ＝50（22×12－8×8）230×
20×20×30≈5.556>5.024.∴推断犯错误的概率不超过0.025. 答案 0.025
8.(2018·长沙雅礼中学质检)某单位为了了解用电量y (度)与气温x (℃)之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天气温，并制作了对照表：
由表中数据得回归直线方程y ^＝b ^
x ＋a ^
中的b ^
＝－2，预测当气温为－4 ℃时，用电
量约为________度.
解析根据题意知x－＝18＋13＋10＋（－1）
4
＝10，y－＝
24＋34＋38＋64
4
＝40.所以
a^＝40－(－2)×10＝60，y^＝－2x＋60，所以当x＝－4时，y＝(－2)×(－4)＋60＝68，所以用电量约为68度.
答案68
三、解答题
9.(2018·重庆调研)某厂商为了解用户对其产品是否满意，在使用该产品的用户中随机调查了80人，结果如下表：
(1)根据上表，现用分层抽样的方法抽取对产品满意的用户5人，在这5人中任选2人，求被选中的恰好是男、女用户各1人的概率；
(2)有多大把握认为用户对该产品是否满意与用户性别有关？请说明理由.
注：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）
，n＝a＋b＋c＋d.
解(1)用分层抽样的方法在满意产品的用户中抽取5人，则抽取比例为5
50＝
1
10.
所以在满意产品的用户中应抽取女用户20×1
10＝2(人)，男用户30×1
10＝3(人).
抽取的5人中，三名男用户记为a，b，c，两名女用户记为r，s，则从这5人中任选2人，共有10种情况：ab，ac，ar，as，bc，br，bs，cr，cs，rs.
其中恰好是男、女用户各1人的有6种情况：ar，as，br，bs，cr，cs.
故所求的概率为P＝6
10＝0.6.
(2)由题意，得K2的观测值为
k＝80（30×20－20×10）2
（30＋20）（10＋20）（30＋10）（20＋20）
＝16
3≈5.333>5.024. 又P (K 2≥5.024)＝0.025.
故有97.5%的把握认为“产品用户是否满意与性别有关”.
10.(2018·惠州模拟)某市春节期间7家超市广告费支出x i (万元)和销售额y i (万元)数据如下表：
(1)若用线性回归模型拟合y 与x 的关系，求y 与x 的线性回归方程；
(2)若用二次函数回归模型拟合y 与x 的关系，可得回归方程：y ^＝－0.17x 2＋5x ＋
20，经计算，二次函数回归模型和线性回归模型的R 2分别约为0.93和0.75，请用R 2说明选择哪个回归模型更合适，并用此模型预测A 超市广告费支出3万元时的销售额.
参考数据：x －
＝8，y －
＝42，∑7i ＝1
x i y i ＝2 794，∑7
i ＝1
x 2i ＝708.
参考公式：b ^
＝
∑n
i ＝1
x i y i －nx － y
－
∑n
i ＝1
x 2i －nx －
2
，a ^＝y －
－b ^x －
.
解 (1)
b ^
＝∑7
i ＝1
x i y i －7x － y
－
∑7i ＝1
x 2
i －7x
－2＝2 794－7×8×42708－7×82＝1.7. ∴a ^＝y －
－vx －
＝42－1.7×8＝28.4，
故y 关于x 的线性回归方程是y ^＝1.7x ＋28.4.
(2)∵0.75<0.93，∴二次函数回归模型更合适.
当x ＝3时，y ^＝33.47.
故选择二次函数回归模型更合适，并且用此模型预测A 超市广告费支出3万元时的销售额为33.47万元.
能力提升题组
(建议用时：20分钟)
11.(2018·济南调研)济南市地铁R1线预计2019年年底开通运营，地铁时代的到来能否缓解济南的交通拥堵状况呢？某社团进行社会调查，得到的数据如下表：
则下列结论正确的是()
附：K2＝n（ad－bc）2
（a＋b）（a＋c）（b＋d）（c＋d）
A.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
B.有95%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”
C.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”
D.有99%的把握认为“对能否缓解交通拥堵的认识与性别无关”解析由2×2列联表，可求K2的观测值，
k＝（48＋30＋12＋20）（20×48－12×30）2
（48＋30）（48＋12）（12＋20）（30＋20）
≈5.288>3.841.
由统计表P(K2≥3.841)＝0.05，∴有95%的把握认为“能否缓解交通拥堵的认识与性别有关”.
答案 A
12.在2018年3月15日那天，某市物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x元和销售量y件之间的一组数据如下表所示：
销售量y 11 n 8 6 5
由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归方程
是y ^＝－3.2x ＋40，且m ＋n ＝20，则其中的n ＝________.
解析 x －
＝9＋9.5＋m ＋10.5＋115＝8＋
m 5，
y －
＝11＋n ＋8＋6＋55
＝6＋n
5.
回归直线一定经过样本中心(x －，y －)， 即6＋n 5＝－3.2? ?
???8＋m 5＋40，即3.2m ＋n ＝42.
又因为m ＋n ＝20，即?????3.2m ＋n ＝42，
m ＋n ＝20，
解得?????m ＝10，n ＝10，故n ＝10.
答案 10
13.(2018·湖南百所重点中学阶段性诊断)已知某企业近3年的前7个月的月利润(单位：百万元)如下面的折线图所示：
(1)试问这3年的前7个月中哪个月的月平均利润较高？ (2)通过计算判断这3年的前7个月的总利润的发展趋势；
(3)试以第3年的前4个月的数据(如下表)，用线性回归的拟合模式估计第3年8月份的利润.
月份
1 2 3 4 利润y (单位：百万元)
4
4
6
6
相关公式：b^＝∑
n
i＝1
（x i－x－）（y i－y－）
∑
n
i＝1
（x i－x－）2
＝
∑
n
i＝1
x i y i－nx－y－
∑
n
i＝1
x2i－nx－2
，a^＝y－－b^x－.
解(1)由折线图可知5月和6月的平均利润最高.
(2)第1年前7个月的总利润为1＋2＋3＋5＋6＋7＋4＝28(百万元)，第2年前7个月的总利润为2＋5＋5＋4＋5＋5＋5＝31(百万元).
第3年前7个月的总利润为4＋4＋6＋6＋7＋6＋8＝41(百万元)，
所以这3年的前7个月的总利润呈上升趋势.
(3)∵x－＝2.5，y－＝5，12＋22＋32＋42＝30，1×4＋2×4＋3×6＋4×6＝54，
∴b^＝54－4×2.5×5
30－4×2.52
＝0.8，
∴a^＝5－2.5×0.8＝3.
因此线性回归方程为y^＝0.8x＋3.
当x＝8时，y^＝0.8×8＋3＝9.4.
∴估计第3年8月份的利润为9.4百万元.
2.3 变量间的相关关系 (教师用书独具) ●三维目标 1．知识与技能 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系． 2．过程与方法 明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系． 3．情感、态度与价值观 通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想． ●重点难点 重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系； (2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系． 难点：(1)变量之间相关关系的理解； (2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关． 从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点． 通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．
(教师用书独具) ●教学建议 结合本节课的教学内容和学生的认知水平，充分发挥教师的主导作用，让学生真正成为教学活动的主体．通过多媒体辅助教学，充分调动学生参与课堂教学的主动性与积极性．本节课宜采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学生独立自主和合作交流为前提，以“散点图”为基本探究内容，以周围世界和生活实际为参照对象，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，通过例题和变式训练进一步巩固本节知识，将自己所学知识应用于对现实生活的深入探讨．让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在“合作”中增知，在“探究”中创新． ●教学流程 创设问题情境引入问题：人体内脂肪的含量与年龄之间有何关系？?错误!?错误!?错误! ?通过例2及其变式训练，使学生掌握线性回归方程的求法?研究现实生活中的实际问题，应用本节知识完成例3及变式能够对总体进行估计?归纳整理，进行课堂小结，整体把握本节知识?完成当堂双基达标，巩固所掌握的知识，并进行反馈矫正 (见学生用书第41页)
高一数学必修3第二章学案 1 §2.3 变量间的相关关系 高二数学组:万志强 学习目标 了解相关关系与函数关系的异同点；能用不同的估算方法描述两变量的线性相关关系，会画散点图， 学习重难点 重点：图直观认识两个变量间的相关关系。 难点：对两个变量间的相关关系认识。 预习内容： 了解新知：（预习教材P84--P86 ，找出疑惑之处） 1、相关关系：变量与变量之间的关系常见的有两类：一类是确定性关系，如函数关系；另一类是 不确定性关系，即当自变量的取值一定，因变量取值带有一定的随机性，这样的两个变量之间的 关系称为____________。 2、相关关系分类：从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系 称为 ，点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量相关关系为_ ， 典型例题 5个学生的数学和物理成绩如下表： 画出散点图，并判断数学成绩与物理成绩是否有相关关系。 变式：某5 当堂检测 1、下列关系不属于相关关系的是。。。。。。。。（ ） A 人的年龄和身高 B 求的表面积与体积。 C ．家庭的收入与支出。 D 。人的年龄与体积。 2、下列两个变量之间的关系，不是函数关系的是。。。。。（ ）。 A.角度和它的余弦值。 B.正方形的边长和面积。 B ．正n 边形的边数和内角和。 D.人的年龄和身高。 3、 在下列各图中，每个图的两个变量具有相关关系的图是。。（ ） （2）（3）（4） A ：（1）（2） B ：（1）（3） C ：（2）（4） D ：（2）（3） 4、下列变量之间的关系是函数关系的是（ ） A 、光照时间和果树亩产量 B 、圆柱体积和它的底面直径 C 、自由下落的物体的质量与落地时间 D 、球的表面积和它的半径 5、下列关系中，是带有随机性相关关系的是 ① 正方形的边长面积之间的关系； ② 水稻产量与施肥量之间的关系 ③ 人的身高与年龄之间的关系 ④ 降雪量与交通事故的发生率之间的关系。 6、变量与变量之间的关系有两类：一类是 ，另一类是 7、（2007年广东）下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)的几组对照数据 )是什么关系？ 学习反思:
变量间的相关关系的教学设计 本节教学设计主要是使用TI92图形计算器，对普通高中课程标准实验教科书数学③第二章《统计》中的“两个变量的线性相关”进行有益的教与学探究。学生通过对 TI图形计算器的操作，具体形象地利用散点图等直观图形认识变量之间的相关关系，同时，经历描述两个变量的相关关系的过程。学生亲自体验了发现数学、领悟数学的全过程。与此同时，教师在落实新课程标准的相关理念上作了一些有益的探讨。 教学设计与实践： [教学目标]： 1、明确事物间的相互联系。认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系。 2、通过TI技术探究用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系的过程，学会用数学的有关变量来描述现实关系。 3、知道最小二乘法思想，了解其公式的推导。会用TI图形计算器来求回归方程，相关系数。 [教学用具]： 学生每人一台TI图形计算器、多媒体展示台、幻灯 [教学实践情况]： 一、问题引出：请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 然后回答如下问题：①“你的数学成绩对你的物理成绩有无影响？”②“ 如果你的数学成绩好，那么你的物理成绩也不会太差，如果你的数学成绩差，那么你的物理成绩也不会太好。”对你来说，是这样吗？同意这种说法的同学请举手。 根据同学们回答的结果，让学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）教师总结如下：
物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如图所示（幻灯片给出）： （影响你的物理成绩的关系图） 因此，不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。 二、引出相关关系的概念 教师提问：“像刚才这种情况在现实生活中是否还有？” 学生甲：粮食产量与施肥用量的关系； 学生乙：人的体重与食肉数量的关系。 …… 从而得出：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 三、探究线性相关关系和其他相关关系 问题：在一次对人体脂肪和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据： 人体的脂肪百分比和年龄 年龄23 27 39 41 45 49 50 脂肪9．5 17．8 21．2 25．9 27．5 26．3 28．2
课时提升作业15变量之间的相关关系两个变量的线性相关 1.对变量x,y有观测数据(x i ,y i)(i=1,2,…，10),得散点图(1);对变量u,v有观测数据 2.已知回归直线的斜率的估计值是 1.23,样本点中心(即(，))为(4,5),则回归直线的方程是( ) A.网=1.23x+4 B.壯1.23X+5 C. =1.23x+0.08 D』；：I=0.08x+1.23 3.在下列各图中，两个变量具有较强正相关关系的散点图是( ) A.(1) B.(2) C.(3) D.(4) 4.对有线性相关关系的两个变量建立的回归直线 方程」=：，+ ' x中，回归系数'( ) 5.某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) 6.四名同学根据各自的样本数据研究变量x,y之间的相关关系，并求得回归方程，分别得到以下四个 结论：①y与x负相关且 =2.347x-6.423; ②y与x负相关且「=-3.476x+5.648; ③y 与 x 正相关且?’ =5.437x+8.493;④y 与 x 正相关且?’ =-4.326x-4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 7.设某大学的女生体重y(单位:kg)与身高x(单位:cm)具有线性相关关系，根据一组样本数据 (X i,y i)(i=1,2,…,n),用最小二乘法建立的回归方程为=0.85x-85.71,则下列结论中不正确的是 A.y与x具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心(，) (U i,V i)(i=1,2,…,10),得散点图(2).由这两个散点图可以判断 A.变量x与y正相关,u与v正相关 B. 变量x与y正相关,u 与v负 相关 C.变量x与y负相关,u与v正相关 D. 变量x与y负相关,u 与v负 相关 A.不能小于0 B.不能大于0 C.不能等于0 D.只能小于0 A. =-10x+200 B. =10x+200 C. =-10x-200 D. =10x-200 0 1 25 4 5 67 J
2．3变量间的相关关系 ●三维目标 1．知识与技能 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据，认识变量间的相关关系． 2．过程与方法 明确事物间的相互联系．认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外，仍存在大量的非确定性的相关关系，并利用散点图直观体会这种相关关系．3．情感、态度与价值观 通过对事物之间相关关系的了解，让学生们认识到现实中任何事物都是相互联系的辩证法思想．
●重点难点 重点：(1)通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系； (2)利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系． 难点：(1)变量之间相关关系的理解； (2)作散点图和理解两个变量的正相关和负相关． 从现实生活入手，抓住学生们的注意力，引导学生分析得出概念，让学生真正参与到概念的形成过程中来．通过对典型事例的分析，向学生们介绍什么是散点图，并总结出如何从散点图上判断变量之间关系的规律．通过实验让学生们感受散点图的主要形成过程，并由此引出线性相关关系强化本节重点．通过学生讨论、交流，用TI图形计算器展示、对比自己作出的散点图，得出线性相关关系、正负相关关系的概念．教师及时将求线性方程的公式展示出来，通过例题的讲解和训练，进一步加深对散点图和回归方程的理解，突破难点．
下表是水稻产量与施化肥量的一组观测数据： 1. 【提示】散点图如下： 2．施化肥量与水稻产量有关系吗？ 【提示】有关系． 1．相关关系：不像匀速直线运动中时间与路程的关系那样是完全确定的，而是带有不确定性． 2．散点图：将样本中几个数据点(x i，y i)(i＝1,2，…，n)描在平面直角坐标系中得到的图形． 3．正相关与负相关：散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，称它为正相关．若散点图中的点分布在从左上角到右
课题：变量间的相关关系（第2课时） 授课教师：深圳市第二高级中学董正林 教材：数学·人教社A版·必修三·第二章第三节 一、教学内容解析 本课作为“变量间的相关关系”第2课时，主要内容是探究如何用一条直线来近似刻画两个变量之间的相关关系，并且能用所得的直线方程进行预测，在这个过程中渗透多个重要的数理统计思想——最小二乘思想、随机思想与用样本估计总体的思想． 通过第1课时的学习，学生已经能够理解相关关系这一概念，能通过绘制散点图对相关关系进行直观、定性的描述，比如根据散点图判断两个变量间是否存在相关关系，是正相关还是负相关等．本课内容是上节课内容的延续与深入，通过用一条直线来近似代表变量间的线性相关关系，从而实现对相关关系进行定量研究．显然，在整体上与样本点最接近的直线能最大程度地近似代表真实关系．为此我们需要建立一个量化标准，也就是对“从整体上看，直线最接近样本点”进行精准的数学语言刻画．这样量化标准有很多，最经典、最常采用的就是最小二乘思想． 以最小二乘法建立起线性回归方程后，我们就能对所研究的总体情况进行预测．将解释变量代入回归方程计算得到一个数值并不难，更重要地是学生需要正确理解预测值的含义，明确预测值只是实际值的一个近似，是对总体情况的一种估计． 基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解回归直线只是对相关关系的一种近似描述，最小二乘法只是确定回归直线的一种方法，理解回归方程的含义以及背后蕴含的统计思想．教学难点则是对“从整体上看，直线与样本点最接近”进行数学刻画，并在这个过程中引出最小二乘法这一重要数学思想． 二、教学目标设置 1、知识与技能：了解线性相关关系、回归直线、回归方程等基本概念，能熟练操作图形计算器进行绘图、计算，认识最小二乘法． 2、过程与方法：在探究如何用一条直线去很好地近似变量间线性相关关系的过程中，学习如何用数学知识去定量刻画实际问题，掌握线性回归的基本方法． 3、情感、态度与价值观：通过合作探究、类比思考，理解回归方程的随机性以及用样本估计总体的思想，感受“见微知著”、“一叶知秋”的哲学原理以及认识客观事物的一种角度． 三、学生学情分析 本课纯粹知识层面的内容并不多，但涉及许多重要且新颖的数学思想方法，有些思想方法与学生已有的认知基础偏离较远，比如学生已经习惯了一个问题无论有多少种解法，答案都是唯一确定的，但本课需要学生实现由确定性思维向统计思维的转变，因此学生要真正做到建构知识体系、抓住本质问题、理解核心概念不是一件容易的事情．此外，学生对大量的样本数据、复杂的公式结构以及代数运算可能心存畏惧，这些都会影响到课堂教学．有利的地方在于学生已经学习过方差的概念，能够理解用平均数去估计总体数字特征，以此作为其思维的“最近发展区”，便于其更好地认识最小二乘思想．同时，学生对新知识的旺盛求解欲望、对问题进行积极思考的态度也是顺利完成本课的重要保证．
变量间的相关关系 一、教材分析 学生情况分析：学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算基础。 教材地位和作用：变量间的相关关系是高中新教材人教A版必修3第二章2.3节的内容, 本节课主要探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析与预测。为以后更好地研究选修2-3第三章 3.2节回归分析思想的应用奠定基础。 二、教学目标 1、知识与技能：利用散点图判断线性相关关系，了解最小二乘法的思想及线性回归方程系数公式的推导过程，求出回归直线的方程并对实际问题进行分析和预测，通过实例加强对回归直线方程含义的理解。 2 、过程与方法： ①通过自主探究体会数形结合、类比、及最小二乘法的数学思想方法。②通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 3、情感、态度与价值观：类比函数的表示方法，使学生理解变量间的相关关系，增强应用回归直线方程对实际问题进行分析和预测的意识。 三、教学重点、难点 重点：利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关关系，了解最小二乘法的思想并利用此思想求出回归方程。 难点：对最小二乘法的数学思想和回归方程的理解，教学实施过程中的难点是根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程。 四、教学设计） （一）、创设情境导入新课 1、相关关系的理解 我们曾经研究过两个变量之间的函数关系：一个自变量对应着唯一的一个函数值，这两者之间是一种确定关系。生活中的任何两个变量之间是不是只有确定关系呢？如：学生成绩与教师水平之间存在着某种联系，但又不是必然联系，对于学生成绩与教师水平之间的这种不确定关系，我们称之为相关关系。这就是我们这节课要共同探讨的内容————变量间的相关关系。生活中还有很多描述相关关系的成语，如：“虎父无犬子”，“瑞雪兆丰年”。通过学生熟悉的函数关系，引导学生关注生活中两个变量之间还存在的相关关系。让学生体会研究变量之间相关关系的重要性。感受数学来源于生活。 （二）、初步探索，直观感知 1、根据样本数据作出散点图，直观感知变量之间的相关关系。在研究相关关系前，先回忆一下函数的表示方法有哪些——列表，画图象，求解析式。下面我们就用这些方法来研究相关关系。看这样一组数据：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据，根据样本数据,人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？ 一个点。
变量间的相关关系同步练习题 1. 下列两个变量具有相关关系的是（ ） A. 正方体的体积与边长 B. 人的身高与体重 C. 匀速行驶车辆的行驶距离与时间 D. 球的半径与体积 2. 两个变量成负相关关系时，散点图的特征是（ ） A. 点散布在从左下角到右上角的区域内 B. 点散布在某带形区域内 C. 点散布在某圆形区域内 D. 点散布在从左上角到右下角的区域内 3. 由一组样本数据（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ），得到回归方程a bx y +=∧ ，那么下面说法不正确的是（ ） A. 直线a bx y +=∧ 必经过点（x ，y ） B. 直线a bx y +=∧至少经过点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）中的一个点 C. 直线a bx y +=∧的斜率为 ∑∑==--n 1 i 2 2i n 1 i i i x n x y x n y x D. 直线a bx y +=∧ 和各点（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）的偏差 ()[]∑=+-n 1 i 2 i i a bx y 是该坐标平面上所有直线与这些点的偏差中最小的直线 4. 若施化肥量x （单位：kg ）与水稻产量y （单位：kg ）的回归方程为250x 5y +=∧ ，则当施化肥量为80kg 时，预计水稻产量为___________。 5. 相关关系与函数关系的区别是___________。 （1）作出这些数据的散点图； （2）通过观察这两个变量的散点图，你能得出什么结论？ 7. 某化工厂为预测某产品的回收率y ，需要研究回收率y 和原料有效成分含量x 之间的相关关系，现取了8对观察值，计算得： ∑==8 1 i i 52x ， ∑==8 1 i i 228y ， ∑=8 1 i 2 i x 478=， ∑==8 1 i i i 1849y x ，则y 与x 的回归方程是（ ） A. x 62.247.11y +=∧ B. x 62.247.11y +-=∧ C. x 47.2262.2y +=∧ D. x 62.247.11y -=∧
课题：§2.3.1变量之间的相关关系 一．教学任务分析: （1）通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. (2) 通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. (3) 在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二．教学重点与难点： 教学重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 教学难点：理解变量间的相关关系. ↓ ↓ ↓ 1．创设情景，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取
值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 问题4: 在一次对人体的脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据: 问题5:某小卖部为了了解热茶销售量与气温之间的关系，随机统计并制作了某6天卖出热茶的杯数与当天气温的对照表： 根据上述数据,气温与热茶销售量之间的有怎样的关系? 学生活动:为了了解热茶销量与气温的大致关系，我们以横坐标x表示气温，纵坐标y表示热茶销量，建立直角坐标系，将表中数据构成的6个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下
必修三 2.3 变量间的相关关系 一、选择题 1、回归直线方程表示的直线＝＋x必经过点( ) A．(0,0) B．(x，0) C．(x，y) D．(0，y) 2、给出两组数据x、y的对应值如下表，若已知x、y是线性相关的，且回归直线方程：y＝＋x， 经计算知：＝－1.4，则为( ) A. 17.4 C．0.6 D．－0.6 3、某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( ) A. ＝－10x＋200 B. ＝10x＋200 C. ＝－10x－200 D. ＝10x－200 实用文档
4、工人月工资(元)依劳动生产率(千元)变化的回归直线方程为＝60＋90x，下列判断正确的是 ( ) A．劳动生产率为1千元时，工资为50元 B．劳动生产率提高1千元时，工资提高150元 C．劳动生产率提高1千元时，工资约提高90元 D．劳动生产率为1千元时，工资90元 5、下列有关线性回归的说法，不正确的是( ) A．变量取值一定时，因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系 B．在平面直角坐标系中用描点的方法得到表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图 C．回归直线方程最能代表观测值x、y之间的关系 D．任何一组观测值都能得到具有代表意义的回归直线方程 6、下列两个变量之间的关系，哪个不是函数关系？( ) 实用文档
A．匀速行驶车辆的行驶距离与时间 B．圆半径与圆的面积 C．正n边形的边数与内角度数之和 D．人的年龄与身高 二、填空题 7、在研究硝酸钠的可溶性程度时，观测它在不同温度的水中的溶解度，得观测结果如下： 8、期中考试后，某校高三(9)班对全班65名学生的成绩进行分析，得到数学成绩y对总成绩x 的回归直线方程为＝6＋0.4x.由此可以估计：若两个同学的总成绩相差50分，则他们的数学成绩大约相差______分． 9、设有一个回归方程＝3－2.5x，当变量x增加一个单位时，变量y________个单位． 实用文档
第3讲 变量间的相关关系、统计案例 1．变量间的相关关系 常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线． (2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关． (3)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝，a ^＝y －－b ^x －． (4)相关系数 当r >0时，表明两个变量正相关； 当r <0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系，通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 (1)2×2列联表：假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称2×2列联表)为： y 1 y 2 总计 x 1 a b a ＋b x 2 c d c ＋d 总计 a ＋c b ＋d a ＋ b ＋ c ＋d (2)K 2K 2＝ n （ad －bc ）2 （a ＋b ）（c ＋d ）（a ＋c ）（b ＋d ） (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示．( )
第3节变量间的相关关系与统计案例 【最新考纲】 1.会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系；2.了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程(线性回归方程系数公式不要求记忆)；3.了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用；4.了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用. 【高考会这样考】考查回归分析、独立性检验的基本思想和简单应用． 要点梳理 1.相关关系与回归分析 回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法；判断相关性的常用统计图是：散点图；统计量有相关系数与相关指数. (1)在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关. (2)在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，两个变量的这种相关关系称为负相关. (3)如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个变量具有线性相关关系. 2.线性回归方程 (1)最小二乘法：使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法. (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x n，y n)， 其回归方程为y^＝b^x＋a^__，则b^＝∑ n i＝1 （x i－x－）（y i－y－） ∑ n i＝1 （x i－x－）2 ＝ ∑ n i＝1 x i y i－nx－y－ ∑ n i＝1 x2i－nx－2 ，a^＝y－－b^x－.其中， b^是回归方程的斜率，a^是在y轴上的截距. 回归直线一定过样本点的中心(x－，y－). 3.回归分析 (1)定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法.
1.8相关关系 教学目标： 知识与技能： 通过收集现实问题中两个变量的数据作出散点图，利用散点图直观认识变量间的相关关系。 过程与方法： 经历用不同的估算方法来描述两个变量线性相关的过程，能根据得到的近似直线进行简单的估计。 情感态度、价值观： 体会现实生活中大量存在着具有相关关系的两个量，感受统计与日常生活的密切联系。 教学重点：用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系 教学难点：用不同的估算方法描述两个变量的线性相关关系 教学活动 一、创设情境，认识相关关系 1．比较下面问题中两个变量之间的关系，说说它们的异同： 1gt2的关系；（1）真空中的自由落体运动，落体下落的距离h和下落的时间t有着h= 2 （2）一辆行驶在公路上的汽车，每个时刻t都有一个确定的速度v，它们之间的关系。（3）人的身高与体重之间的关系。 （4）人的年龄与血压之间的关系。 生独立思考后，展开全班交流。 学生可能回答这几个问题中两个变量之间都存在着关系，但前两个之间存在着函数关系，后两个之间的关系是不确定的。 变量间相关关系的概念: 自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系. 请同学们回忆一下,我们以前是否学过变量间的关系呢? 两个变量间的函数关系. 相关关系与函数关系的异同点: 相同点:两者均是指两个变量间的关系. 不同点:①函数关系是一种确定的关系;相关关系是一种 非确定的关系.事实上,函数关系是两个非随机变量的关 系,而相关关系是随机变量与随机变量间的关系. ②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关 系,也可能是伴随关系. 2．如何刻画上述的这种关系呢？
2.3 变量间的相关关系 一、选择题 1、下列两个变量之间的关系哪个不是函数关系？（ ） A 、角度和它的余弦值 B 、正方形边长和面积 C 、正n 边形的边数和顶点角度之和 D 、人的年龄和身高 2、下列变量之间的关系是函数关系的是（ ） A 、已知二次函数,2 c bx ax y ++=其中a,c 是已知常数，取b 为自变量，自变量和这个函数的判别式ac b 42-=? B 、光照时间和果树亩产量 C 、降雪量和交通事故发生率 D 、每亩施用肥料量和粮食亩产量 3、近十年来，某市社会商品零售总额与职工工资总额数据如下（单位：亿元）： 建立社会商品零售总额y 与职工工资总额x 的线性回归方程是（ ） A 、y=2.7991x —23.5494 B 、y=2.7992x —23.5493 C 、y=2.6962x —23.7493 D 、y=2.8992x —23.7494 4、对于回归分析，下列说法错误的是（ ） A 、在回归分析中，变量间的关系若是非确定性关系，那么因变量不能由自变量唯一确定 B 、线性相关系数可以是正的或负的 C 、回归分析中，如果2r =1或2r =±1，说明x 与y 之间完全线性相关 D 、样本相关系数r ∈(-1,+1) 5、有一组观测值有22组，则与显著性水平0、05相应的相关系数临界值为（ ） A 、0、404 B 、0、515 C 、0、423 D 、0、537 6、下列说法中正确的是（ ） A ．任何两个变量都具有相关关系 B ．人的知识与其年龄具有相关关系 C ．散点图中的各点是分散的没有规律 D ．根据散点图求得的回归直线方程都是有意义的
§11.3 变量间的相关关系与独立性检验 ?? ? ? ? ???? ?、不相关、非线性相关、线性相关、不确定的相关关系、确定的函数关系两个变量的关系32121 1．相关性 (1)通常将变量所对应的点描出来，这些点就组成了变量之间的一个图，通常称这种图为变量之间的散点图．从 散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关；点散布在从左上角到右下角的区域内，两个变量的这种相关关系称为负相关． (2)从散点图上，如果变量之间存在某种关系，这些点会有一个集中的大致趋势，这种趋势通常可以用一条光滑的曲线来近似，这样的近似过程称为曲线拟合． (3)若两个变量x 和y 的散点图中，所有点看上去都在一条直线附近波动，则称变量间是线性相关，这条直线 叫回归直线． 若所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线)附近波动，称此相关是非线性相关． 如果所有的点在散点图中没有显示任何关系，则称变量间是不相关的． (4)相关系数 ①r ＝ ∑n i ＝1 (x i －x )(y i －y ) ∑n i ＝1 (x i －x )2∑n i ＝ 1 (y i －y )2 或n i i x y nx y r -= ∑ ②当r >0时，表明两个变量正相关；当r <0时，表明两个变量负相关． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常当r 的绝对值>0.75时，认为两个变量有很强的线性相关关系。 2．线性回归方程 (1)最小二乘法 如果有n 个点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )，可以用[y 1－(a ＋bx 1)]2＋[y 2－(a ＋bx 2)]2＋…＋[y n －(a ＋bx n )]2来 刻画这些点与直线???y bx a =+的接近程度，使得上式达到最小值的直线???y bx a =+就是所要求的直线，这种方法称为最小二乘法（使得样本数据的点到回归直线的距离平方和最小的方法）． (2)回归方程 方程???y bx a =+是两个具有线性相关关系的变量的一组数据(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，…，(x n ，y n )的回归方程，其中，是待定参数． 1 2 1 ()()?()n i i i n i i x x y y b x x ==--=-∑∑ [] 1 1 2 2 222 12()()()()...()()()()...()n n n x x y y x x y y x x y y x x x x x x --+--++--=??-+-++-?? 或者1 22 1 ?n i i i n i i x y nx y b x nx ==-=-∑∑ []11222 222 1 2 ..., ...n n n x y x y x y nx y x x x nx ++-?=??+++-??
变量之间的相关关系 第一课时 2.3.1 变量之间的相关关系 教学要求：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系。 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系。 教学难点：变量之间相关关系的理解。 教学过程： 一、新课准备： 1.粮食产量与施肥量有关系吗？ 2. 提问：“名师出高徒”可以解释为教师的水平越高，学生的水平也越高。教师的水平与学生的水平有什么关系？你能举出更多的描述生活中两个变量的相关关系的成语吗？（水滴石穿三人行必有我师等） 二、讲授新课： 1. 问题的提出 1.请同学们如实填写下表（在空格中打“√” ） 学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系。（似乎就是数学好的，物理也好；数学差的，物理也差，但又不全对。）物理成绩和数学成绩是两个变量，从经验看，由于物理学习要用到比较多的数学知识和数学方法。数学成绩的高低对物理成绩的高低是有一定影响的。但决非唯一因素，还有其它因素，如是否喜欢物理，用在物理学习上的时间等等。（总结：不能通过一个人的数学成绩是多少就准确地断定他的物理成绩能达到多少。但这两个变量是有一定关系的，它们之间是一种不确定性的关系。如何通过数学成绩的结果对物理成绩进行合理估计有非常重要的现实意义。） 2．给出相关关系的概念 1.相关关系的概念：两个变量之间的关系可能是确定的关系（如：函数关系），或非确定性关系。当自变量取值一定时，因变量也确定，则为确定关系；当自变量取值一定时，因变量带有随机性，这种变量之间的关系称为相关关系。相关关系是一种非确定性关系。 （分析：两个变量→自变量取值一定→因变量带有随机性→相关关系） 2.例：商品销售收入与广告支出经费之间的关系。（还与商品质量，居民收入，生活环境等有关）
变量间的相关关系 2.3.1 变量之间的相关关系 2.3.2 两个变量的线性相关 整体设计 教学分析 变量之间的关系是人们感兴趣的问题.教科书通过思考栏目“物理成绩与数学成绩之间的关系”,引导学生考察变量之间的关系.在教师的引导下,可使学生认识到在现实世界中存在不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性.随后,通过探究人体脂肪百分比和年龄之间的关系,引入描述两个变量之间关系的线性回归方程（模型）.教科书在探索用多种方法确定线性回归直线的过程中,向学生展示创造性思维的过程,帮助学生理解最小二乘法的思想.通过气温与饮料销售量的例子及随后的思考,使学生了解利用线性回归方程解决实际问题的全过程,体会线性回归方程作出的预测结果的随机性,并且可能犯的错误.进一步,教师可以利用计算机模拟和多媒体技术,直观形象地展示预测结果的随机性和规律性. 三维目标 1.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据认识变量间的相关关系. ) 2.明确事物间的相互联系.认识现实生活中变量间除了存在确定的关系外,仍存在大量的非确定性的相关关系,并利用散点图直观体会这种相关关系. 3.经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程．知道最小二乘法的思想,能根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 重点难点 教学重点：通过收集现实问题中两个有关联变量的数据直观认识变量间的相关关系；利用散点图直观认识两个变量之间的线性关系；根据给出的线性回归方程的系数公式建立线性回归方程． 教学难点：变量之间相关关系的理解；作散点图和理解两个变量的正相关和负相关；理解最小二乘法的思想. 课时安排 2课时 教学过程 、 第1课时 导入新课 思路1 在学校里,老师对学生经常这样说：“如果你的数学成绩好，那么你的物理学习就不会有什么大问题.”按照这种说法，似乎学生的物理成绩与数学成绩之间存在着一种相关关系.这种说法有没有根据呢 学生讨论：我们可以发现自己的数学成绩和物理成绩存在某种关系.（似乎就是数学好
第四节 变量间的相关关系__ 统计案例 1．变量间的相关关系 (1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系． (2)从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________． 2．两个变量的线性相关 (1)从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在通过散点图中心的一条直线附近，称两个变量之间具有________________，这条直线叫做________． (2)回归方程为y ^＝b ^x ＋a ^，其中b ^ ＝ ∑i ＝1 n x i y i －n x － y － ∑i ＝1 n x 2i －n x － 2 ， a ^＝y －－b ^x －． (3)通过求Q ＝∑i ＝1 n y i －bx i －a 2 的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点 到回归直线的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法． (4)相关系数： 当r ＞0时，表明两个变量________； 当r ＜0时，表明两个变量________． r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r 的绝对值越接近于0时，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0．75时，认为两个变量有很强的线性相关性． 3．独立性检验 假设有两个分类变量X 和Y ，它们的取值分别为{x 1，x 2}和{y 1，y 2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为：
K 2 ＝n ad －bc 2 a ＋ b a ＋ c b ＋ d c ＋d (其中n ＝a ＋b ＋c ＋d 为样本容量)． [小题体验] 1．(教材习题改编)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0．95x ＋a ^，则a ^ ＝________． 2．为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到如下2×2列联表： 已知P (K 2≥3．841)≈0．05，P (K 2≥5．024)≈0．025． 根据表中数据，得到K 2 的观测值k ＝50× 13×20－10×7 2 23×27×20×30 ≈4．844．则认为选修文科 与性别有关系出错的可能性为________． 1．易混淆相关关系与函数关系，两者的区别是函数关系是一种确定的关系，而相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． 2．回归分析中易误认为样本数据必在回归直线上，实质上回归直线必过(x －，y － )点，可能所有的样本数据点都不在直线上． 3．利用回归方程分析问题时，所得的数据易误认为是准确值，而实质上是预测值(期望值)． [小题纠偏] 1．设某大学的女生体重y (单位：kg)与身高x (单位：cm)具有线性相关关系，根据一组
§2.3.1变量之间的相关关系教案 一、学习目标: 1.通过具体示例引导学生考察变量之间的关系，在讨论的过程中认识现实世界中存在着不能用函数模型描述的变量关系,从而体会研究变量之间的相关关系的重要性. 2.通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系.会作散点图,并对变量间的正相关或负相关关系作出直观判断. 3.在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，理解统计的作用. 二、学习重点与难点： 学习重点：利用散点图直观认识变量间的相关关系. 学习难点：理解变量间的相关关系. 三、课堂过程: 1．创设情境，揭示课题 客观事物是相互联系的,过去研究的大多数是因果关系，但实际上更多存在的是一种非因果关系.比如说：某某同学的数学成绩与物理成绩，彼此是互相联系的，但不能认为数学是“因”，物理是“果”，或者反过来说,事实上数学和物理成绩都是“果”，而真正的“因”是学生的理科学习能力和努力程度,所以说，函数关系存在着一种确定性关系,但还存在着另一种非确定性关系——相关关系. 生活中存在着许多相关关系的问题: 问题1：商品销售收入与广告支出之间的关系. 问题2:粮食产量和施肥量之间的关系. 问题3:人体内的脂肪含量与年龄之间的关系. 由上述问题我们知道,两个变量之间的关系,可能是确定关系或非确定关系.当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定的随机性时,两个变量之间的关系称为相关关系.相关关系是一种非确定性关系,函数关系是一种确定性的关系. 2.两个变量的线性相关 学生活动:为了了解人体的脂肪含量和年龄大致关系，我们以横坐标x表示年龄，纵坐标y表示人体的脂肪含量，建立直角坐标系，将表中数据构成的14个数对所表示的点在坐标系内标出，得到下图，今后我们称这样的图为散点图(scatterplot).
课题：变量间的相关关系（第2课时）教材：数学·人教社A版·必修三·第二章第三节 一、教学内容解析 本课作为“变量间的相关关系”第2课时，主要内容是探究如何用一条直线来近似刻画两个变量之间的相关关系，并且能用所得的直线方程进行预测，在这个过程中渗透多个重要的数理统计思想——最小二乘思想、随机思想与用样本估计总体的思想． 通过第1课时的学习，学生已经能够理解相关关系这一概念，能通过绘制散点图对相关关系进行直观、定性的描述，比如根据散点图判断两个变量间是否存在相关关系，是正相关还是负相关等．本课内容是上节课内容的延续与深入，通过用一条直线来近似代表变量间的线性相关关系，从而实现对相关关系进行定量研究．显然，在整体上与样本点最接近的直线能最大程度地近似代表真实关系．为此我们需要建立一个量化标准，也就是对“从整体上看，直线最接近样本点”进行精准的数学语言刻画．这样量化标准有很多，最经典、最常采用的就是最小二乘思想． 以最小二乘法建立起线性回归方程后，我们就能对所研究的总体情况进行预测．将解释变量代入回归方程计算得到一个数值并不难，更重要地是学生需要正确理解预测值的含义，明确预测值只是实际值的一个近似，是对总体情况的一种估计． 基于上述分析，本节课的教学重点定为：理解回归直线只是对相关关系的一种近似描述，最小二乘法只是确定回归直线的一种方法，理解回归方程的含义以及背后蕴含的统计思想．教学难点则是对“从整体上看，直线与样本点最接近”进行数学刻画，并在这个过程中引出最小二乘法这一重要数学思想． 二、教学目标设置 1、知识与技能：了解线性相关关系、回归直线、回归方程等基本概念，能熟练操作图形计算器进行绘图、计算，认识最小二乘法． 2、过程与方法：在探究如何用一条直线去很好地近似变量间线性相关关系的过程中，学习如何用数学知识去定量刻画实际问题，掌握线性回归的基本方法． 3、情感、态度与价值观：通过合作探究、类比思考，理解回归方程的随机性以及用样本估计总体的思想，感受“见微知著”、“一叶知秋”的哲学原理以及认识客观事物的一种角度． 三、学生学情分析 本课纯粹知识层面的内容并不多，但涉及许多重要且新颖的数学思想方法，有些思想方法与学生已有的认知基础偏离较远，比如学生已经习惯了一个问题无论有多少种解法，答案都是唯一确定的，但本课需要学生实现由确定性思维向统计思维的转变，因此学生要真正做到建构知识体系、抓住本质问题、理解核心概念不是一件容易的事情．此外，学生对大量的样本数据、复杂的公式结构以及代数运算可能心存畏惧，这些都会影响到课堂教学．有利的地方在于学生已经学习过方差的概念，能够理解用平均数去估计总体数字特征，以此作为其思维的“最近发展区”，便于其更好地认识最小二乘思想．同时，学生对新知识的旺盛求解欲望、对问题进行积极思考的态度也是顺利完成本课的重要保证． 四、教学策略分析