河南省郑州一中2020届高三名校联考
数学（理科）
（本试卷考试时间120分钟，满分150分）
★祝考试顺利★
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡和试卷指定位置上.
2.全部答案在答题卡上完成，答在本试卷上无效.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案用0.5毫米及以上黑色笔迹签字笔写在答题卡上.
4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 参考公式：
锥体的体积公式：1
3
V Sh =
（其中S 为锥体的底面积，h 为锥体的高）. 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知i 是虚数单位，z 是复数z 的共轭复数，若2i
z i
+=，则z =（ ） A.12i -
B.12i +
C.2i +
D.2i -
2.设集合{}12A x x =-<，[]{}
2,0,2x
B y y x ==∈，则下列选项正确的是（ ）
A.()1,3A B =
B.[)1,4A
B =
C.(]1,4A
B =-
D.{}0,1,2,3,4AUB =
3.某科研型企业，每年都对应聘入围的大学生进行体检，其中一项重要指标就是身高与体重比，其中每年入围大学生体重y （单位：kg ）与身高x （单位：cm ）基本都具有线性相关关系，根据今年的一组样本数据
()()1,,2,
,50i i x y i =，用最小二乘法建立的回归方程为?0.8385.71y
x =-，则下列结论中不正确的是（ ）
A.y 与x 具有正的线性相关关系
B.回归直线过样本点的中心(),x y
C.若某应聘大学生身高增加1cm ，则其体重约增加0.83kg
D.若某应聘大学生身高为170cm ，则可断定其体重必为55.39kg
4.“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()2
2
112x y -+-=相切”的（ ）
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
5.已知向量(
)
3,1a =
，()1,3b m =-，若向量a ，b 的夹角为锐角，则实数m 的取值范围为（ ）
A.()
1+∞
B.()
1++∞
C.(()
113
3,+++∞
D.(()
113
3,+++∞
6.设函数
()sin f x x x =，[]0,2x π∈，若01a <<，则方程()f x a =的所有根之和为（ ）
A.
43
π B.2π
C.
83π D.
73
π 7.若对任意正数x ，不等式2221
4a x x
+≤
+恒成立，则实数a 的取值范围为（ ） A.[)0,+∞
B.1,4??-
+∞???? C.1
,4??+∞????
D.1,2??+∞????
8.某地一重点高中为让学生提高遵守交通的意识，每天都派出多名学生参加与交通相关的各类活动.现有包括甲、乙两人在内的6名中学生，自愿参加交通志愿者的服务工作这6名中学生中2人被分配到学校附近路口执勤，2人被分配到医院附近路口执勤，2人被分配到中心市场附近路口执勤，如果分配去向是随机的，则甲、乙两人被分配到同一路口的概率是（ ） A.
1
5
B.
25
C.
35
D.
45
9.已知函数()[]2
2ln 33f x x x =-+，其中[]x 表示不大于x 的最大整数（如[]1.61=，[]2.13-=-），则
函数()f x 的零点个数是（ ） A.1
B.2
C.3
D.4
10.已知过双曲线22
:184
x y C -=的左焦点F 的直线l 与双曲线左支交于点A ，B ，过原点与弦AB 中点D 的
直线交直线x =于点E ，若AEF △为等腰直角三角形，则直线l 的方程可以为（ ）
A.
(30x y +-+
=
B.(30x y -++
=
C.(30x y +--=
D.
(30x y +++=
11.设n S ，n T 分别为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和，且
3245
n n S n T n +=+.设点A 是直线BC 外一点，点P 是
直线BC 上一点，且14
3
a a AP AB AC
b λ+=
?+?，则实数λ的取值为（ ） A.
2825
B.325
-
C.
328
D.1825
-
12.《九章算术》中《方田》章给出计算弧田面积的经验公式为：211
22
S =
??+?弦矢矢.弧田（如图1阴影部分）由圆弧和其所对弦围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.类比弧田面积公式得到球缺（如图2）近似体积公式311
22
V =
??+?圆面面积矢矢.球缺是指一个球被平面截下的一部分，厦门嘉庚体育馆近似球缺结构，若该体育馆占地面积约为218000m ，建筑容积约为
3340000m ，估计体育馆建筑高度（单位：m ）所在区间为（ ）
参考数据：3321800032608768+?=，3341800034651304+?=，3361800036694656+?=，
3381800038738872+?=，3401800040784000+?=.
A.()32,34
B.()34,36
C.()36,38
D.()38,40
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.若x ，y 满足线性约束条件60
4400x y x y y +-≤??
--≥??≥?
，则2z x y =+的最大值为_______________.
14.过抛物线2
16x y =的焦点F 的直线AB 被F 分成长度为m ，n 的两段()m n >，请写出一个m ，n 满足
的等量关系式_________________.
15.习近平同志提出：乡村振兴，人才是关键.要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业.2020年1月8日，人力资源和杜会保障部、财政部、农业农村部印发《关于进一步推动返乡入乡创业工作的意见》.《意见》指出，要贯彻落实党中央、国务院的决策部署，进一步推动返乡入乡创业，以创新带动创业，以创业带动就业，促进农村一、二、三产业融合发展，实现更充分、更高质量就业.为鼓励返乡创业，某镇政府决定投入“创业资金”和“创业技术培训”帮扶返乡创业人员.预计该镇政府每年投入的“创业资金”构成一个等差数列{}n a （单位：万元），每年“创业技术培训”投入为第一年创业资金1a （万元）的3
倍，已知
2212200a a +=，则该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为_______________万元.
16.函数()2
222ln x f x x e x ax =--，若0a =，则()f x 在[]1,2的最小值为____________；当0x >时，
()1f x ≥恒成立，则a 的取值范围是________________.
三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.
17.（12分）在平面中，四边形ABCD 满足AB AD ⊥，4AB =，AC =2BCD BCA ∠=∠，ABC △的面积为4. （1）求BC 的长； （2）求ACD △的面积.
18.（12分）人类非物质文化遗产是经联合国教科文组织评选确定而列入《人类非物质文化遗产代表作名录》的遗产项目.记录着人类社会生产生活方式、风俗人情、文化理念等，非物质文化遗产蕴藏着世界各民族的文化基因、精神特质、价值观念、心理结构、气质情感等核心因素，是全人类共同的宝贵财富.中国作为东方文明大国，有39个项目入选，总数位居世界第一.现已知某地市是非物质文化遗产项目大户，有7项人选，每年都有大批的游客前来参观学习，同时也带动了当地旅游经济的发展.某土特产超市对2019年春节期间的90位游客购买情况进行统计，得到如下人数分布表：
（1）根据以上数据完成2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.
（2）为吸引游客，超市推出一种优惠方案，举行购买特产，抽奖赢取非物质文化遗产体验及返现的活动，凡是购买金额不少于60元可抽奖三次，每次中奖概率为P （每次抽奖互不影响，且P 的值等于人数分布表中购买金额不少于60元的频率），每中奖一次体验1次，同时减免5元；每中奖两次体验2次，减免10元，每中奖三次体验2次，减免15元，若游客甲计划购买80元的土特产，请列出实际付款数X （元）的分布列
并求其数学期望.
附参考公式和数据：()()()()()
2
2
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.
19.（12分）如图，已知五面体 ABCDEF 中，四边形BCEF 为等腰梯形，//BC AD ，AB BC ⊥，
且2BC =，
1BF EF CE AD ====，AB =ABF ⊥平面BCEF .
（1）证明：AB CE ⊥；
（2）求二面角A DF C --的余弦值.
20.（12分）已知圆(2
2:16C x y +=，点()
G ，P 是圆C 上一动点，若线段PG 的垂直平分
线和CP 相交于点M . （1）求点M 的轨迹方程E .
（2）已知直线():0l y kx m m =+≠交曲线E 于A ，B 两点.
①若射线BO 交椭圆
22
1164
x y +=于点Q ，求ABQ △面积的最大值； ②若OA OB ⊥，OD 垂直AB 于点D ，求点D 的轨迹方程. 21.（12分）已知函数()()x
f x xe
x R -=∈.
（1）判断函数()f x 的单调性；
（2）若方程()2
2310f x a a +-+=有两个不同的根，求实数a 的取值范围；
（3）如果12x x ≠，且()()12f x f x =，求证：()12ln ln 2x x +>.
（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22.【选修4-4：坐标系与参数方程】（10分）
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C
的参数方程为2cos x y α
α
=???
=??（α为参数），直线l 的参数方程为
1cos sin x t a
y t α
=+??
=?（t 为参数）. （1）求曲线C 和直线l 的一般方程；
（2）已知点()1,0P ，直线l 和曲线C 交于A ，B 两点，若12
5
PA PB ?=，求直线l 的一般方程. 23.【选修4-5：不等式选讲】（10分） 已知函数()2f x x x m =-++.
（1）若1m =，求不等式()3f x x ≥的解集；
（2）若关于x 的不等式()1f x ≥恒成立，求实数m 的取值范围.
数学（理科）参考答案
1.解析：()22212i i
i z i i i
++===-，12z i =+. 答案：B
2.解析：{}{
}
1213A x x x x =-<=-<<，[]{}{
}2,0,214x
B y y x y y ==∈=≤≤，所以[)1,3A
B =，
(]1,4A B =-.
答案：C
3.解析：由于线性回归方程中x 的系数为0.83，因此y 与x 具有正的线性相关关系，故A 正确；又线性回归方程必过样本中心点(),x y ，故B 正确；由线性回归方程中系数的意义知，x 每增加1cm ，其体重约增加0.83kg ，故C 正确；当某大学生的身高为170cm 时，其体重估计值是55.39kg ，而不是具体值，故D 不正确. 答案：D
4.解析：若0m =，则圆()()2
2
112x y -+-=的圆心()1,1到直线0x y +=
，等于半径，此时
直线与圆相切，即“0m =”?“直线0x y m +-=与圆()()22
112x y -+-=相切”；若直线0x y m +-=与圆()()22
112x y -+-=相切，
=，解得0m =或4m =，即“0m =”
是“直线0x y m +-=与圆()()2
2
112x y -+-=相切”的不必要条件，所以“0m =”是“直线0x y m +-=与圆()()2
2
112x y -+-=相切”的充分不必要条件.故选B.
答案：B 5.解析：因为(
)
3,1a =
，()1,3b m =-，所以()313a b m ?=-+
..因为向量a ，b 的夹角为锐角，所以
)
130m -+>，解得1m >
又当向量a ，b 共线时，
1m =+
m 的取值范围为
(()
113
3,+++∞.
答案：C
6.解析：∵()2sin 3f x x π??
=+
??
?
，[]0,2x π∈，∴()[]2,2f x ∈-，又01a <<，∴方程()f x a =有两根1x ，2x ，由对称性得1233322x x πππ????+++ ? ?????=，解得1273
x x π+=.
答案：D
7.解析：依题意得当0x >时，2
22
2144x a x x x
+≥=++恒成立，又因为44x x +≥，当且仅当2x =时取等号，所以24x x
+的最大值为12，所以1212a +≥，解得a 的取值范围为1,4??
-+∞????.
答案：B
8.解析：现把6名同学平均分配到三个不同的路口，共有2223
6233
3490C C C A A =种分配方案，甲、乙两人被分配到同一路口有12
3418C C =种可能，所以甲、乙两人被分配到同一路口的概率为
181905
=. 答案：A
9.解析：设()2
2ln g x x =且为偶函数，()[]33h x x =-，当10x <<时，()6h x =-，两函数有一个交点，
即个零点；当01x <<时，()3h x =-，作出图象（图略），两函数有一个交点，即一个零点；当1x =时，
()()0g x h x ==，两函数有一个交点，即一个零点；当23x ≤<时，()3h x =，()4ln 24ln3g x ≤<，
此时两函数有一个交点，即一个零点，共
4个零点. 答案：D
10.
解析：易知()
F -，则由题意可设:l x my m =-≠
，代入双曲线C 的方程，消去x ，整理得()
22240m y --+=.设()11,A x y ，(
)22,B x y ，由根与系数的关系，得12y y +=
，
∴
12222y y m +=-，(
)12122222m y y x x m ++=-=-，
即22,22D m m ?? ? ?--??∴直线QD 的方程为2m
y x =
.
令3x =-，
得3y m =-，
即E ?? ? ???
，∴直线EF 的斜率
为0
m m -=-，∴EF l ⊥，则必有EF AF =，
==
解得1y =.又2211184
x y -=
，∴1x =
，∴(3m =±-，从而直线l 的方
程为
(30x y +-+
=或
(30x y --+=.故选A.
答案：A
1l.解析：不妨取2
32n S n n =+，245n T n n =+，当1n =时，115a S ==，当2n ≥时，
161n n n a S S n -=-=-，验证得当1n =时上式成立，综上，61n a n =-. 同理可得81n b n =+，则
14328
25
a a
b +=. 点P 在直线BC 上，设BP k BC =，()
()1AP AB BP AB kBC AB k AC AB k AB k AC =+=+=+-=-+2825AB AC λ=
+?，即28125k -=
，3
25
k λ==-，故选B. 答案：B
12.解析：设体育馆建筑高度为()m h ，则311
180022
V h h =
?+?，若32h =，则304384V =；若34h =，则325652V =；若36h =，则347328V =，325652340000347328<<，∴3436h <<，故选B. 答案：B
13.解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，作直线20x y +=，平移该直线，当直线经
过点()6,0时，2z x y =+取得最大值，即max
z 26012=?+=.
答案：12
14.答案：()4mn m n =+（开放型答案，与其等价的均可）
15.解析：设等差数列{}n a 的公差为d ，则该镇政府帮扶5年累计总投入
()()
111125455310210102002
a d a a d a a ?+
?+?=+=+≤==，当且仅当1210a a ==时等号成立.
故该镇政府帮扶5年累计总投入的最大值为200万元. 答案：200
16.解析：当0a =时，∵()2
22ln x f x x e x =-，∴()2
2
22
22x x f x xe x x e x
'=+?-
. 当1x >时，()0f x '=恒成立，∴()f x 在[]1,2上单调递增. ∴()f x 在[]1,2上最小值为()1f e =.又0x >时，()1f x ≥恒成立，
∴()()2
2
222ln 22222ln 2ln 2ln 12ln 111x x x f x x e x ax e x ax x x x ax a x +=--=--≥++--=-+≥， ∴1a ≤.
答案：e (],1-∞
17.解：（1）由已知11
sin 4sin 422
ABC S AB AC BAC BAC =??∠=??∠=△，
可得sin BAC ∠=
.……………………………………2分 又AB AD ⊥，所以0,
2BAC π??
∠∈ ??
?
，.……………………………………3分
所以cos 5
BAC ∠=
.………………………………4分
在ABC △中，由余弦定理2222cos BC AB AC AB AC BAC =+-??∠，可得24BC =， 所以2BC =.……………………………………6分
（2）由（1）可得：222AC AB BC =+，所以AB BC ⊥，故2
BAC BCA π
∠+∠=.…………7分
由AB AD ⊥，得2
BAC CAD π
∠+∠=
，所以BCA CAD ∠=∠，.……………………8分
又2BCD BCA ∠=∠，所以DCA BCA CAD ∠=∠=∠，
所以ACD △为等腰三角形，即AD CD =.…………………………………………9分
在ACD △中，过顶点D 作AC 的垂线，垂足为E .在直角三角形ADE 中由正弦定理
sin sin DE AE
CAD ADE
=
∠∠可求得DE =.………………………………11分 所以1
102
ACD S AC DE =?=△.……………………………………12分
18.解：（1）2×2列联表如下：
()2
2901220401814405 3.84130605238247
K ??-?==>>???，.………………………………4分
因此能在犯错误的概率不超过0.05的情况下认为购买金额是否少于60元与年龄有关.………………5分 （2）X 的可能取值为65，70，75，80，且10201
903
P +=
=.………………………………6分 ()3
331165327P X C ??=== ?
??，.…………………………………………7分 ()2
23
122
70339
P X C ????=== ? ?????，.…………………………………………8分
()2
1312475C 339P X ????
=== ???
????，.……………………………………9分 ()3
03
2880327
P X C ??
===
???.……………………………………10分 X 的分布列为
()6570758075279927
E X =?+?+?+?=.………………………………12分
19.解：（1）证明：取BC 中点M ，连接CF ，MF ，因为四边形BCFF 为等腰梯形，2BC =，
1BF EF CE AD ====，所以//CM EF ，1CM EF ==，所以四边形EFMC 为平行四边形，所以
EC MF =，
三角形BMF 为等边三角形，所以60CBF ∠=?，30BCF ∠=?，90BFC ∠=?，CF BF ⊥，又因为CF ?平面BCEF ，平面ABF ⊥平面BCEF ，平面ABF
平面BCEF BF =，所以CF ⊥平面
ABF ，因为AB ?平面ABF ，所以CF AB ⊥，又因为
AB BC ⊥，BC CF C =，BC
?平面BCEF ，
CF ?平面BCEF ，所以AB ⊥平面
BCEF ，又因为CE ?平面BCEF ，所以AB CE ⊥.…………5分
（2）据（1）可建立如图所示的空间直角坐标系，所以可求得(A
，(D ，1,02F ?
????
，()0,2,0C
.……………………6分
则31,2DF ?=- ?，()0,1,0AD =，(
0,1,DC =
.
设向量()111,,a x y z =为平面ADF 的法向量，
则00
a DF a AD ??=???
=??
，即1111
1020x y y -=?=?， 所以令z =
=43,0,3a ?=
?
；.…………………………8分
设向量(
)222,,b x y z =为平面DFC 的法向量，则0
b DF b DC ??=???=??
，即22222
1022
0x y y --=??=?，……10分 令z =
(
23,2b =，所以533
cos ,a b a b a b
?=
=
，.……………………11分
又二面角A DF C --的平面角为钝角， 所以二面角A DF C --
的余弦值为
33
.………………………………12分 20.解：（1
）∵4GC =<，∴点G 在圆C 内. 又∵点M 在线段PG 的垂直平分线上，
∴GM PM =，∴4GM MC PM MC GC +=+=>.
由椭圆的定义知，点M 的轨迹是以G ，C 为焦点的椭圆，其中2a =
，c =2431b =-=，
∴点M 的轨迹方程为2
214
x y +=.…………………………4分 （2）①当BO 所在直线斜率存在时，设BO 所在直线方程为y nx =，由22
1
4y nx
x y =???+=??，得2
2414B x n =+，同理2
2
16
14Q
x n =+，21Q B
x x =，∴2OQ OB =，即Q 到直线l 的距离是点O 到直线l 距离的3倍.……………………5分
设()11,A x y ，()22,B x y ，联立22
14
y kx m x y =+??
?+=??，得()()222418410k x kmx m +++-=.
由0?>得22410k m +->，且122841km
x x k +=-+，()
2
122
4141
m x x k -=+， 则
AB ==
O 到直线l
的距离d =
∴
222214141212
OAB m m k k S ??+- ?++??==≤=△. 当且仅当222214141
m m k k =-++，即22
241m k =+时等号成立.
故ABQ △面积的最大值为33OAB S =△.
当BO 所在直线斜率不存在时，假设()0,1B ，则()0,2Q -，l 的方程为1y kx =+（其中0k >）.
联立22
1
1
4
y kx x y =+??
?+=??，得()224180k x kx ++=，则2841A k x k -=+. ∴211212123124122
4ABQ A k S BQ x k k k
=
?==≤=+?+△.其他情况同理可得. 综上，ABQ △面积的最大值为3.……………………………………8分
②∵OA OB ⊥，∴0OA OB ?=，∴12120x x y y +=，即()()12120x x kx m kx m +++=. 解得()
22415k m +=
，又OD =
=
∴点D 的轨迹是以O
的圆（去掉x 轴上的两个点），.………………11分 故点D
的轨迹方程为2
2
455x y x ??
+=≠± ? ???
.…………………………12分 21.解：（1）因为()x
f x xe -=，所以()()1x
f x x e -'=-，.…………………………1分
可得函数()x
f x xe -=在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减.……………………3分
（2）由第一问可得函数()x
f x xe -=在1x =处取得最大值，
()()max 1
1f x f e
==
， 所以函数()f x 的图象大致如下：
.………………………………4分
易知函数()x
f x xe -=的值域为1,e
??-∞ ??
?
.………………………………6分
因为方程()2
2310f x a a +-+=有两个不同的根，
所以212310,a a e ??-+-∈ ???
，即22310a a -+->，21231a a e -+-<
，解得1
12
a <<. 即实数a 的取值范围为1,12??
???
.……………………………………8分 （3）证明：由()()12f x f x =，12x x ≠，不妨设12x x <，
构造函数()()()11F x f x f x =+--，(]0,1x ∈，.………………………………9分 则()()()()21
1110x
x x F x f x f x e
e
+'''=++-=
->，
所以()F x 在(]0,1x ∈上单调递增，()()00F x F >=， 也即()()11f x f x +>-对(]0,1x ∈恒成立. 由1201x x <<<，则(]110,1x -∈，
所以()()()()()
()()1111211211f x f x f x f x f x +-=->--==，.…………………………10分 即()()122f x f x ->，又因为12x -，()21,x ∈+∞，且()f x 在()1,+∞上单调递减，所以122x x -<， 即证122x x +>.
即()12ln ln 2x x +>.…………………………12分
22.解：（1）曲线C 的一般方程为22
143
x y +=.…………………………1分 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为()tan 1y x α=?-；.……………………3分 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =.………………………………4分 （2）将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程
()2
224sin
3cos 6cos 90t t ααα++?-=，设A ，B 对应的参数为1t ，2t ，
则1222
9
4sin 3cos t t αα
?=-
+，.…………………………6分 ∴22
9124sin 3cos 5
PA PB αα?==+，解得2
tan 3α=.……………………8分 于是直线l
0y -=
或0y +-=.……………………10分
23.解：（1）当1m =时，()12,13,1221,2x x f x x x x -≤-??
=-<
.…………………………2分
当1x ≤-时，由()3f x x ≥，得51x ≤，解得1x ≤-；.………………3分
当12x -<<时，由()3f x x ≥，得33x ≤，解得11x -<≤；.……………………4分 当2x ≥时，()3f x x ≥，无解.…………………………5分 所以()3f x x ≥的解集为{}
1x x ≤.…………………………6分
（2）()222x x m x x m m -+≥--+=++，当且仅当2x =时等号成立，.…………7分 故()1f x ≥恒成立等价于21m +≥恒成立，由21m +≥可得3m ≤-或1m ≥-， 所以m 的取值范围是(]
[),31,-∞--+∞.…………………………10分