毕业设计（论文）
数学归纳法及其在中学数学中的应用Mathematical Induction and the Application in Middle School
学院：理学院
专业：数学与应用数学
学号：
姓名：
指导教师：
二〇一二年六月
摘要
数学归纳法是一种非常重要的数学方法，它不仅对我们中学数学的学习有着很大的帮助,而且在高等数学的学习及研究中也是一种重要的方法，数学归纳法对公式的正确性检验中也有着很大的应用。数学归纳法是将无限化为有限的桥梁,主要探讨关于自然数集的有关命题或者恒等式，数学归纳法在中学数学中的整除问题，恒等式证明，公理证明,排列和组合,几何领域等都有着广泛的应用,这里我们主要结合初中教材来详细列举数学归纳法在中学数学中的应用，要准确的运用数学归纳法，首先必须准确的理解其意义以及熟练的掌握解题步骤，而在三个步骤中运用归纳假设尤为关键,运用归纳假设推出猜想最为重要。最后我们在通过用数学归纳法证明简单恒等式的过程中，可以更加深刻理解和掌握“归纳——猜想——证明”这一探索发现的思维方法。
关键词：归纳法；数学归纳法；中学数学；证明
ABSTRACT
Mathematical induction is a very important mathematical methods, it is not only to our middle school mathematics learning have great help, but also in higher mathematics after the study and research is also an important way. Mathematical induction to the correctness of the formulas of the inspection of the application of also has the very big. Mathematical induction into the limited is infinite bridge, mainly discusses the relevant proposition about natural number set or identities, Mathematical induction has wide application in middle school mathematics，such as ,the problem of division,the proof of identity,the proof of axiom,permutations and combinations,geometry.here we main combination junior middle school teaching material to a detailed list mathematical induction in the middle school mathematics application .To the application of mathematical induction skilled, we must first accurately understand its significance and skilled The master problem-solving steps, and in three steps into the use of assumptions is particularly critical, the use of assumptions summarized introduced guess the most important. In the end we proved that by using a simple mathematical induction identities in the process, can more deeply understand and master, "summed up - guess - prove" this discovery to explore ways of thinking.
Key words: induction; mathematical induction; middle school mathematics; proof
目录
绪论 (1)
0.1问题的提出与课题意义 (1)
0.1.1问题的提出 (1)
0.1.2课题的研究意义 (1)
1.数学归纳法概述 (2)
1.1数学归纳法的相关概念 (2)
1.1.1归纳法和演绎法 (2)
1.1.2数学归纳法 (3)
1.1.3数学归纳法与归纳法的关系 (3)
1.2数学归纳法的基本原理及其其它形式 (4)
1.2.1数学归纳法的基本原理 (4)
1.2.2数学归纳法的其它形式 (5)
1.3数学归纳法的步骤 (8)
1.3.1数学归纳法的步骤 (8)
1.3.2 三者缺一不可 (8)
2.数学归纳法在中学数学中的应用 (11)
2.1数学归纳法在中学数学中的具体应用 (11)
2.1.1运用数学归纳法解决整除问题 (11)
2.1.2运用数学归纳法证明恒等式 (11)
2.1.3运用数学归纳法解决不等式问题 (13)
2.1.4 数学归纳法在排列和组合中的应用 (15)
2.1.5 运用数学归纳法解决几何领域问题 (15)
2.2毕业实习中的案例 (16)
2.2.1k
n时的变化 (16)
=k
n=到1
+
2.2.2忽略k
n=时的假设条件 (17)
总结 (19)
致谢 (20)
参考文献 (21)
绪论
0.1 问题的提出与课题意义
0.1.1 问题的提出
高中数学教科书中，我们已经学习过数学归纳法，在高中阶段，学生主要是通过了解数学归纳法的证明三步骤来模仿证明其他表达式的成立，学生也往往满足于“k 时命题成立，那么1+k 时命题也成立”的证明方法。数学归纳法是一种重要且独特的证明方法,对与自然数n 有关的命题证明是可行有效的，它使学生了解一种“化无限为有限”的辩证思维方法，而且它又不是那么直观易懂的，学生在学习数学归纳法的过程中，总会产生一个这样的疑问，在用数学归纳法证明表达式中，证明三步骤是不是真的完整呢，)(k p 真仅是纯粹的假设,一旦不真,用它去推真，岂不是“无稽之谈”，即使推出)1(+k p 真能保证)(n p 真吗？如果让学生带着这种疑问去学习数学归纳法肯定会影响他们的学习情感的。当然老师会说这是非常完整的,那么他们又是根据什么原理来说明自己是正确的呢。我想如果能够对学生们讲清楚数学归纳法的本质和由来，可以使学生更好的理解数学归纳法和它的运用，在用数学归纳法证明恒等式时，当然我们会知道这个恒等式肯定是正确的，那么它又是如何被前人计算出来的呢，数学归纳法只是证明这个等式的正确性而不能求解，可见数学归纳法也有着自己的限制和适用范围，那么在这个等式的成立过程中数学归纳法到底扮演一个什么样的角色呢。要解决这些问题都要求我们对数学归纳法有着深刻的理解。
0.1.2 课题的研究意义
数学归纳法学好了，学透了，对进一步学好高等数学有所帮助，甚至对认识数学的性质也会有所裨益[1]。数学归纳法应用比较广泛，可以说是关系到自然数的结论都可以用它来验证，弄懂数学归纳法的本质可以使学生更好地掌握数学归纳法，学习和应用数学归纳法能够培养学生的运算能力，观察能力，数学化能力，逻辑思维能力和解决综合性问题的能力，另外，它也是初等数学与高等数学衔接的一个纽带，是初等数学中非常重要的一部分了。
1. 数学归纳法概述
1.1 数学归纳法的相关概念
1.1.1 归纳法和演绎法
归纳法是以考察特殊，个别的情况后作出的论断作为基础，再从这些个别情况的论断归纳出一般的结论，也可以说它是从特殊到一般的推理方法，一般的说，归纳法可分为两种，一种是不完全归纳法，另一种是完全归纳法。
(1)不完全归纳法：它是只验证了部分特殊情况而推测出一般情况也成立的归纳法，不完全归纳法的推理模式是：
设{}n x x x A Λ,,21=是研究对象的所有情况的集合
若1x 具有属性C ；
若2x 具有属性C ；
若n x 具有属性C ；
则集合{}ΛΛ,,,21n x x x A =中任一元素都具有属性C ,注意，在对研究对象的考察是不完全的。
归纳法中的不完全归纳法只能提供一种推测，这时可能猜对，也可能猜错，例如，法国数学家费马曾考察如)(12)(2N n n F n
∈+=的数，他发现,当4,3,2,1,0=n 时，)(n F 的值分别为65537,257,17,5,3是质数，于是归纳法结论：所有形如这样的数都是质数，然而欧拉发现，当5=n 时，670041641)5(?=F 是个合数，这就证明费马的猜测是错误的。
尽管不完全归纳法提供的猜测可能出错，但它却是发现真理的强有力手段，德国数学家高斯就说过，他的许多定理就是靠归纳法发现的，作为一种创造思维方法，它在数学真理概括方面有着很重要的作用。
(2)完全归纳法：它是验证了全部特殊情况，从而断言结论成立的归纳法，它的推理模式是：
设{}ΛΛ,,,21n x x x A =是研究对象的全面几种情况的集合
若1x 具有属性C ；
若2x 具有属性C ；
…
则集合中{}ΛΛ,,,21n x x x A =的任一元素都具有属性C 。
显然，完全归纳法得到的结论是可靠的，它可以比作为数学严格推理论证方法，初中平面教材中的“圆周角定理”的证明就是利用完全归纳法，证明分三种情况：(1)圆心在圆周角一边上；(2)圆心在圆周的内部；(3)圆心在圆周的外部，因为只有三种情况，因此把每种情况证明以后，就可归纳出圆周角定理。
演绎法，它主要是从一般的定义，公理和已经被证明了的定理基础上，推理导出特殊的判断，也可以说它是一般到特殊的推理方法。如在初中教材中，下面的一个例子就是运用了演绎法。
例1.1.1：已知直线b a //与L 相交，求证：
31∠=∠。
证明：因为b a //
所以21∠=∠（同位角相等）
又因为32∠=∠（对顶角相等）所以31∠=∠（等量代换）
图1 平行相交
1.1.2 数学归纳法
数学归纳法是数学中最基本也是最重要的方法之一，它在数学各个分支里都有广泛应用，该方法早期叫逐次归纳法（始见于英国数学家得摩根，1806-1871）或完全归纳法（始见于德国数学家戴德金，1831-1916），但后来人们更喜欢用数学归纳法的名称，因为它更能体现论证的严格性和科学性，而不与逻辑学中的“归纳法”混淆，数学上最早使用数学归纳法的人首推法国数学家帕斯卡（1623-1662），但他并未确立方法的理论依据，直到意大利数学家皮亚诺（Peano,1855-1932）建立了自然数理论，标志着数学归纳法逻辑基础的奠定[2]。
在高中阶段，我们把这样的一种证明方法定义为数学归纳法，即“1=n 时成立，假设当k n =时成立，能够推出当1+=k n 时也成立。
数学归纳法其实还有着它的变着，后面我们将对数学归纳法的其它形式进行探讨。
1.1.3 数学归纳法与归纳法的关系
归纳法通过观察和组合特殊的例子来发现普遍规律的过程的方法，在所有学科中
都有应用，其结论往往超出前提控制的范围，所以人们称它是“开拓性”的思维方法，也正因为结论超出了前提的管辖范围，前提就无法保证结论为真，所以归纳法只能是或必然性的真理，和归纳法不同，数学归纳法所证明的结论是完全可靠的，所得的结论完全蕴含于前提中，所以人们称它为“封闭式”或“收敛性”的推理方法，只要前提真实，逻辑形式正确，结论必然真实，但数学归纳法只用于数学，用来证明某种定理，属于“论证”的范畴，是一种演绎法，因此，把数学归纳法称为“归纳法”实在是不适宜的，因为在这两种过程之间没有什么逻辑联系，然而，在数学中，两种方法常常结合使用，归纳法由于所考察的对象不完备性，它所得的结论不一定可靠，这就需要数学归纳法对其进行证明，从而保证结论的正确，可以说归纳法与数学归纳法是相互联系互为补充的两种推理方法，归纳法是数学归纳法的基础，数学归纳法是归纳法的前导，归纳法为数学归纳法准备条件，数学归纳法为归纳法提供理论依据。
恩格斯指出：“归纳和演绎，正如分析和综合一样，是必然相互联系着的，不应该牺牲一个而把另一个捧到天上去，应当把每一个都用到该用的地方，而要做到这一点，就只有注意它们的相互联系和相互补充[3]。”
1.2 数学归纳法的基本原理及其其它形式
1.2.1 数学归纳法的基本原理
在了解数学归纳法的基本原理前，我们不妨先来回想一下小时候对正整数的认识过程，首先，父母叫我们数1,后来数2,有2必有3，每一个正整数后面都有一个正整数，于是我们说：会数数了。事实上，数学归纳法正是基于这样一个简单原理。
数学归纳法来源于皮亚诺自然公理，自然数有以下性质：
(1)1是自然数
(2)每一个确定的自然数a,都有一个确定的随从'a，'a也是自然数
(3)1非随从，即'
1a
≠
(4)一个数只能是某一个数的随从，或者根本不是随从，即由
'b
'
a=
一定能推得
a=
b
(5)任意一个自然数的集合，如果包含1，并且假设包含a，也一定包含a的随从
'
a,那么这个集合包含所有的自然数。
后来因为把0也作为自然数，所以公理中的1要换成0。
其中的性质(5)是数学归纳法的根据，有了这一原理，就有了数学归纳法：
设是与正整数有关的数学命题，如果
(1)命题当k
n=时正确，即1
n正确
=k
+
(2)在假设正确的前提下，可以证明命题也正确，那么命题对任意正整数都是正确的
数学归纳法的正确性验证是根据数学归纳法的原理，能否完成对与自然数有关命题的无限次论证，即数学归纳法是否可靠，下面我将结合“正整数最小原理”，即“任何非空正整数集合一定含有最小数”来验证数学归纳法是否正确。
命题：任何非空正整数集合一定含有最小数
证明：在这集合里任意取一个数n,大于n的不必讨论了，我们需要讨论的是那些不大于n的自然数里一定有一个最小的数。
应用归纳法，如果1
n,它本身就是自然数里的最小的数，如果这集合里没有小
=
于n的自然数存在，那么n就是最小的，也不必讨论了，如果有一个,那么由数学归纳法的假设知道集合里不大于m的自然数一定有一个最小的数存在，这个数也就是原集合里最小的数，即得证。
反过来，也可以用这个性质来推出数学归纳法。
假设对于某些自然数是不正确的，那么，一定有一个最小的自然数k
n=使这个命题不正确，也就是，当1
n=的时候，这个命题也
n的时候，命题正确，而当k
=k
-
不正确，这与归纳法的假定是矛盾的。
也许从理论上来看，我们有可能还不是很懂得数学归纳法原理的正确性，我们可以从我们生活上的例子比较直观的理解它。
例1.2.1:从袋子里摸球问题
如果袋子里的东西是有限的，总可以把它摸完而得出一个确定的结论，但是，当东西是无穷的，怎么办？如果有这样一个论证：“当你这一次摸出红玻璃球的时候，下一次摸出的，也一定是红玻璃球”，那么，在这样的保证下，只要第一次摸出的确定是红玻璃球，就可以不再检查地作出正确的结论：“袋里的东西，全部是红玻璃球”。
上面的道理采用形式上的讲法，也就是：有一批编了号码的数学命题，能够证明第1号命题正确，如果能够证明在第k号命题正确的时候，第1
k号命题也正确，那
+
么，这一批命题就全部正确。
1.2.2 数学归纳法的其它形式
数学归纳法原理本质上来看由两个重要步骤构成，首先是奠基步，这往往比较容易，但却是必须的，然后需要一个一般意义的演绎规则，按照这个演绎规则，反复应用，从奠基步开始，在有限步之内达到任意指定的情形，通常，这个一般的演绎规则是从所谓的归纳法假设开始，从较少规模成立的假设推导出较大规模的情形成立，从
而建立一个一般的演绎规则，因此，从这一本质出发，数学归纳法可演绎出丰富的“变着”，概括起来有两个方面：一是奠基点的前提或后推，增多或减少：二是递推跨度和递推途径的变通，而正是因为是“变着”的多样性和应用技巧的灵活性，才使数学归纳法显示出广泛的应用性。
(1)不一定从1开始，也就是数学归纳法里的两句话，可以改成：如果当0k n =的时候，这个命题是正确的，又从假设当)(0k k k n ≥=时，这个命题是正确的，可以推出当1+=k n 时，这个命题也是正确的，那么这个命题0k n ≥时都正确。这是第一数学归纳法的“变着”，也叫做跳跃数学归纳法。
例1.2.2：求证：n 边形n 个内角的和等于π)2(-n
这里就要假定3≥n
证明：当3=n 时，我们知道三角形三个内角的和是π，所以当3=n 时，命题是正确的，假设当)3(≥=k k n 时命题也是正确的，设121,,+k A A A Λ是1+k 边形的顶点，做线段k A A 1，它把这个1+k 边形分成两个图形，一个是k 边形k A A A Λ21,另一个是三角形11A A A k k +,并且1+k 边形内角的和等于后面两个图形的内角和的和，就是
[]ππππ2)1()1()2(-+=-=+-k k k )11(-
也就是说，当1+=k n 时这个命题也是正确的，因此，定理得证。
（2）第二句话也可以改为“如果当n 适合于k n ≤≤1时命题正确，那么当1+=k n 时，命题也正确”，由此同样可以证明对于所有命题都正确。这种属于第二数学归纳法的“变着”。
例 1.2.3：我们知道，对于任意自然数n ，有2113)(∑∑==n
n i i i ,反之，若0>n a ，且2131)(∑∑==n i n i i a a ,有n a n =成立吗？
证明：当1=n 时，由2131a a =及01>a ,得11=a 。命题成立。
假设当k n ≤时，命题成立，即i a i =，k i Λ,2,1=
当1+=k n 时，因为
3
12131311)(+==+=+==∑∑∑k k i i k k i k i i a a a a )21(- 又
211211311)()(∑∑∑+++=+=+==k
i k i k i i k i i a a a a
2111212)(∑∑=++=++=k i k i k k i i a a a a )31(- 于是
2
111312∑=++++=k i k i k k a a a a )41(-
因为k i i a i Λ,2,1,==所以∑=+=
k i i k k a 12
)1( 又因为01>+k a ,故 0)1(12
1=+--++k k a a k k )51(-
解得
11+=+k a k 或 )(1舍去k a k -=+
所以1+=k n 时命题也成立，从而对任意自然数n ，命题成立。
(3)设)(n p 是关于自然数N 的命题，若)(n p 对无限多个自然数成立；假设)1(+k p 成立可推出)(k p 成立，则命题一切自然数n 都成立。
例1.2.4：已知)(x f 是定义在N 上，又在N 上取值的函数，并且2)2(=f ；(2)对于任何N n m ∈,，有)()()(n m mn f f f =；当n m >时，有)()(n m f f >。求证：x f x =)(在上恒成立。
证明： 先证有无限多个自然数x ，使得x f x =)(取m x 22=(m 是任意自然数)，对m 用第一数学归纳法证明 m m f 2)2(= )61(-
（1）由条件可知，当1=m 时，公式)61(-成立；
（2）考虑情形1+m 时,由1)2()2()2(2221+=?=?=+m m m m f f f 可见公式)61(-对
1+m 成立，这就证明了有无限多个自然数???==,3,2,1,2m x m ,使得x f x =)(。
再证若)1()(>=x x f x ，则1)1(-=-x f x ，
由)1()(->=x x f f x ，得
1)1(-≤-x f x )71(- 另一方面，由条件(3)可得
Λ≥+≥+≥---21)3()2()1(x x x f f f
12)1(-≥-+≥x x f )81(-
比较公式)71(-，)81(-，得
1)1(-=-x f x )91(-
这便完成了反向归纳法，从而x f x =)(对一切自然数都成立。
总之，数学归纳法原理还隐含着许多“变着”，这便使得数学归纳法在证题中发挥着重要的作用，除此之外，还有其它其实的数学归纳法，如跷跷板数学归纳法，双重数学归纳法。
1.3 数学归纳法的步骤
1.3.1 数学归纳法的步骤
在高中阶段，我们把数学归纳法的步骤分为三步，但是从实质上来说，数学归纳法也可以分为两个步骤：
（1）当1=n 时，这个命题是正确的，
（2）假设当k n =时，这个命题是正确的，
（3）证明当1+=k n 时，这个命题也是正确的。
从而推出这个命题在1≥n 自然数中都是成立的。
例1.3.1：对任意正自然数n ，有2)12(531n n =-++++Λ。
证明：(1)当1=n 时，1=左，1=右，所以等式成立。
(2)假设当k n =时，等式也成立，则有
2)12(531k k =-+++Λ
(3)当1+=k n 时，
)12()12(531++-++++k k Λ
122++=k k
2)1(+=k )101(- 1+=∴k n 时，等式也成立
综上所述，等式对一切正自然数n 都成立。
在实际的教学过程中，重点在于如何利用假设k n =时命题的结论来推出1+=k n 时命题也成立，因为之前的两部相当于第三步而言比较简单，因此，学生做题时往往会在第三步感到困难，然而，即使学生经过一段时间的训练，能够一步不漏正确的做下来，学生多半仍处于知其然不知所以然的处境，有不少学生心中疑问：为什么要有三步？尤其第一步，看上去很“傻”，只不是是代个最简单的数字进去看看命题对不对，这一步会有多少作用，为什么非要不可。并且用k n =的假设命题去推1+=k n 的必要性。
以上问题都涉及到数学归纳法的原理，本质，也是它能够成为一种重要的数学证明方法的巧妙之处。其实，数学归纳法的三个步骤有着十分密切的关系，三个步骤缺一不可。
1.3.2 三者缺一不可
首先我们来讨论如果在一个表达式中，如果我们不考虑1+k 时命题的正确性会发
生什么情况。
例1.3.2：所有的正整数都相等。
这个命题显然是荒谬的，但是如果我们丢开“当1+k 的时候，这个命题是正确的”不管，那么可以用“数学归纳法”来“证明”它。
这里，第k 号命题是：“第1-k 个正整数等于第k 个正整数”，就是
k k =-1
两边都加上1，就得
1+=k k
这就是说，第k 个正整数等于第1+k 个正整数，这不是说明了所有的正整数都相等了吗？
错误就在于，我们没有考虑1=k 的情况。
例1.3.3：如果我们不考虑1=n 的情况，可以证明
λΛ+??
????+=+++2333)1(2121n n n 这里，λ是任何的数
事实上，假设第k 号命题
λΛ+??????+=+++23
33)1(2121k k k 正确，就像例1.2.3里证过一样，那么
λΛ++++++3333)1(21k k
λ+++??
????+=32)1()1(21k k k λ+??
????++=2
)2)(1(21k k )111(- 也就正确。
可当我们将1=k 代进去，λ+==11，右左，而是可取任何数的，明显知道这个命题是不正确的。
用假设k n =时命题的正确性推出1+=k n 的正确性，是为了保证命题在正自然数的正确性。这样的证明步骤才表现出它的正确性和完整性。有些命题即使在前几个自然数中是正确的，但是代入后面的自然数后这个命题就错了。
例1.3.4：412++n n 在正自然数上都是素数。
分析：当39,3,2,1Λ=n 的时候，式子
412++n n 的值都是素数，但是，当40=n 的时候，它的值就不是素数。
例1.3.5：724912++n n 在正自然数上都是素数。
分析：当11000,,3,2,1Λ=n 的时候，式子724912++n n 的值都是素数,即使如此，我们还不能确立是任何正整数的时候，这个式子的值都是素数，事实上，只要72490=n 的时候它的值就不是素数。
这也就是说，即使我们试了11000次，式子724912++n n 的值都是素数，我们仍旧不能断定这个命题一般的正确性。
这就足够说明了1=n 是递推的基础,二，三两步相互循环论证关系是递推的过程，它解决了从特殊值0n n =到一般0n n ≥的过渡。这三个步骤密切相关，缺一不可。如果只有奠基步骤，而无归纳步骤，那就属于不完全归纳法，因而，论断的普遍性是不可靠的。反之，如果只有归纳步骤而无奠基步骤，那么归纳步骤的假设就失去了依据，从而使归纳法步骤的证明失去意义，这一步即使得以证出，其结果也是建立在不可靠的基础上，所以仍然不能断定原命题是否正确。
用数学归纳法证题时，关键在归纳步骤，而归纳步骤的关键在于合理应用假设。因此，熟悉归纳步骤的证明思路是十分必要的，就中学教材而论，应用数学归纳法证明命题大概有两种类型：
)1(能直接应用归纳假设来证明的，证明这类问题时，通常在归纳假设的两边同加（或同减）某项，通过适当变换完成证明，对于这种类型的题目，在中学的课本中比较常见。
)2(不能直接应用归纳假设来证明的，这类命题解题时，一般通过下面的两种途径为应用归纳假设创造条件,先将1+=k n 代入原式，然后将所得表达式作适当的变换，从而得到结论；利用其它数学知识，建立)(k p 与)1(+k p 的联系，从而得到结论成立，对于这种类型题目在中学数学的学习中出现的概率也是很大的。
2. 数学归纳法在中学数学中的应用
2.1 数学归纳法在中学数学中的具体应用
2.1.1 运用数学归纳法解决整除问题
运用数学归纳法来证明整除问题,是充分运用整除的性质，即：f 能被h 整除，g 能被h 整除，则)(g f +能被h 整除。
例2.1.1：证明n n n 33622+++能被11整除。
证明： 1) 1=n 时，663363363222=++=+++n n n 能被11整除。
2) 假设k n =时，n n n 33622+++能被11整除。
3）则当1+=k n 时，有
121)1(2336++++++k k k
k k k k k k
k k 33333633333663633336362222?-?+?-?+?=?+?+?=++
)33(33)336(36222k k k k k +-++=++ )12(- 由于122336++++k k k 能被11整除，)33(332k k ++能被11整除
所以1+=k n 时命题成立。
即证。
2.1.2 运用数学归纳法证明恒等式
例2.1.2：)2)(1(6
1)1(21631++=+++++n n n n n Λ 证明：1)1=n 时，
时命题成立右，，左）（，右左11)21(116
11===++?==n 2)假设k n =时，等式成立。
3)则当1+=k n 时，有
)2)(1(2
1)1(21631++++++++=k k k k Λ左 )2)(1(2
1)2)(1(61+++++=k k k k k
)3)(2)(1(6
1+++=k k k )22(- )3)(2)(1(61
+++=k k k 右
右左=
则有1n +=k 时，等式也成立。
即证。
同时，在数列中的等式问题也可以用数学归纳法证明。
例2.1.3：等差数列的第n 项，可以用公式
d n a a n )1(1-+=
表示，这里，1a 是它的首项，d 是公差。
证明：1）当1=n 的时候，11a a =等式是成立的。
2）假设k n =时候，d k a a k )1(1-+=成立
3）则当1+=k n 时，有
d a a k k +=+1
d d k a +-+=)1(1
kd a +=1 )32(- 则当1+=k n 时，等式也成立，
所以等式在正自然数上都是成立的。
例2.1.4：等差数列前项的和，可以用公式
d n n na S n )1(21
1-+=
表示，这里，1a 是它的首项，d 是公差。
证明：1）当1=n 的时候，11a S =等式成立。
2）假设k n =，d k k ka S k )1(21
1-+=成立。
3）则当1+=k n 时，有
11+++=k k k a S S kd a d k k ka ++-+=11)1(21
)21(21
)1(+-++=k kd d k kd k d k )1(21
)1(+++=
)42(- 则1+=k n 时等式也是成立的，所以等式在正自然数都是成立的。
等比数列的通项公式和求和公式都可以用数学归纳法证明它的正确性。
例2.1.5：数列{}n a 满足n
n a a -=+21
1是自然数，试用1a 和n 表示n a 。 解：因为1
1
1220121a a a a --=-= 1
1
1
232322111
21a a a a a --=--=-= 1
1
1
134342
32321121a a a a a a --=---=
-=
猜想：1
1
)1()2()1(a n n a n n
a n -----=
运用数学归纳法证明以上的假设猜想：
1)当2=n 时，1
1
12)12(2)22()12(21a a a a -----=-=等式成立。
2）假设当k n =时，等式成立
3）则当1+=k n 时，则有
k
k a a -=+21
1 1
1
)1()2()1_(21
a k k a k k -----= 1
1
1)1()2()1()1(221
a k k a k k a k k --+++-+-= 1
1
)1()1(ka k a k k -+--=
)52(-
则当1+=k n 时，等式也成立 由此可知：1
1
)1()2()1(a n n a n n a n -----=
2.1.3 运用数学归纳法解决不等式问题
例2.1.6：)0(1>+<++a a a a a Λ