第七讲 万有引力定律 (二)
1．18世纪，人们发现太阳系的第七个行星——天王星的运动轨道有些古怪：根据 ________________计算出的轨道与实际观测的结果总有一些偏差．据此，人们推测，在 天王星轨道的外面还有一颗未发现的行星，它对天王星的________使其轨道发生了偏离．
2．若不考虑地球自转的影响，地面上质量为m 的物体所受的重力mg 等于________对物体的______，即mg ＝________，式中M 是地球的质量，R 是地球的半径，也就是物体到地心的距离．由此可得出地球的质量M ＝________.
3．将行星绕太阳的运动近似看成____________运动，行星做圆周运动的向心力由 ____________________提供，则有________________，式中M 是________的质量，m 是
________的质量，r 是________________________，也就是行星和太阳中心的距离，T 是________________________．由此可得出太阳的质量为：________________.
4．同样的道理，如果已知卫星绕行星运动的________和卫星与行星之间的________，也可以计算出行星的质量．
________________和____________________确立了万有引力定律的地位．
5．应用万有引力定律解决天体运动问题的两条思路是：(1)把天体(行星或卫星)的运动近似看成是____________运动，向心力由它们之间的____________提供，即F 万＝F 向，可以用来计算天体的质量，讨论行星(或卫星)的线速度、角速度、周期等问题．基本公式：________
＝m v 2r ＝mrω2＝mr 4π2T 2.
(2)地面及其附近物体的重力近似等于物体与地球间的__________，即F 万＝mg ，主要用于计算涉及重力加速度的问题．基本公式：mg ＝______(m 在M 的表面上)，即GM ＝gR 2.
6．下列说法正确的是( )
A ．海王星是人们直接应用万有引力定律计算的轨道而发现的
B ．天王星是人们依据万有引力定律计算的轨道而发现的
C ．海王星是人们经过长期的太空观测而发现的
D ．天王星的运行轨道与由万有引力定律计算的轨道存在偏差，其原因是天王星受到轨 道外的行星的引力作用，由此，人们发现了海王星 7．利用下列数据，可以计算出地球质量的是( ) A ．已知地球的半径R 和地面的重力加速度g
B ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和周期T
C ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的半径r 和线速度v
D ．已知卫星绕地球做匀速圆周运动的线速度v 和周期T
【考点演练】
考点一 发现未知天体
1．科学家们推测，太阳系的第九大行星就在地球的轨道上，从地球上看，它永远在太阳
的背面，人类一直未能发现它，可以说是“隐居”着的地球的“孪生兄弟”．由以上信 息我们可以推知( )
A ．这颗行星的公转周期与地球相等
B ．这颗行星的自转周期与地球相等
C ．这颗行星的质量与地球相等
D ．这颗行星的密度与地球相等 考点二 计算天体的质量
.解决天体圆周运动问题的两条思路
(1)在地面附近万有引力近似等于物体的重力,F 引=mg ,即G =mg ,整理 得GM =gR 2。
(2)天体运动都可以近似地看成匀速圆周运动,其向心力由万有引力提供, 即F 引=F 向。
一般有以下几种表达形式: ①G =m ②G =mω2r ③G =mr 2.天体质量和密度的计算 1．“自力更生”法(g －R)
利用天体表面的重力加速度g 和天体半径R 。
(1)由G Mm R2＝mg 得天体质量M ＝gR2G 。
(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR3
＝3g
4πG R 。
(3)GM ＝gR2称为黄金代换公式。 2．“借助外援”法(T －r)
测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T 和半径r 。
(1)由G Mm r2＝m 4π2r T2得天体的质量M ＝4π2r3GT 2。
(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度ρ＝M V ＝M 43πR3
＝3πr3
GT 2R 3。
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝3π
GT 2，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度。
[典例] 2014年11月1日早上6时42分，被誉为“嫦娥5号”的“探路尖兵”载人返回飞行试验返回器在内蒙古四子王旗预定区域顺利着陆，标志着我国已全面突破和掌握航天器以接近第二宇宙速度的高速载人返回关键技术，为“嫦娥5号”任务顺利实施和探月工程持续推进奠定了坚实基础。已知人造航天器在月球表面上空绕月球做匀速圆周运动，经过时间t(t 小于航天器的绕行周期)，航天器运动的弧长为s ，航天器与月球的中心连线扫过角度为θ，引力常量为G ，则
A ．航天器的轨道半径为θs
B ．航天器的环绕周期为2πt
θ
C ．月球的质量为s3Gt2θ
D ．月球的密度为3θ2
4Gt2
[解析] 根据几何关系得r ＝s
θ，故A 错误；经过时间t ，航天器与月球的中心连线扫过
角度为θ，则t T ＝θ2π，得T ＝2πt θ，故B 正确；由万有引力充当向心力而做圆周运动，所以G Mm
r2
＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r3GT2＝4π2????s θ3
G ???
?2πt θ2
＝s3Gt2θ，故C 正确；月球的体积V ＝43πr3＝43π????
s θ3，月球
的密度ρ＝M V ＝s3Gt2θ43π????s θ3
＝3θ2
4πGt2，故D 错误。
[答案] BC [易错提醒]
(1)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。
(2)区别天体半径R 和卫星轨道半径r ，只有在天体表面附近的卫星才有r≈R ；计算天体
密度时，V ＝4
3πR3中的R 只能是中心天体的半径。
[针对训练] 1．(2015·江苏高考)过去几千年来，人类对行星的认识与研究仅限于太阳系内，行星“51 peg b”的发现拉开了研究太阳系外行星的序幕。“51 peg b”绕其中心恒星做匀速圆周运动，周
期约为4天，轨道半径约为地球绕太阳运动半径的1
20。该中心恒星与太阳的质量比约为 ( )
A ．1
10 B ．1 C ．5 D ．10
解析：行星绕中心恒星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G Mm
r2＝m 4π2T2r ，则M1M2＝????r1r23·????T2T12＝????1203×???
?36542≈1，选项B 正确。
答案：B
2．已知引力常量G 和下列各组数据，能计算出地球质量的是( ) A ．地球绕太阳运行的周期及地球离太阳的距离 B ．月球绕地球运行的周期及月球离地球的距离 C ．人造地球卫星在地面附近绕行的速度及运行周期
D ．若不考虑地球自转，已知地球的半径及重力加速度 3．已知引力常量G ＝×10－11N·m2/kg2，重力加速度g ＝9.8 m/s2，地球半径R ＝×106m ，则可知地球质量的数量级是( )
A ．1018kg
B ．1020kg
C ．1022kg
D ．1024kg
4．一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行，若认为行星是密度均匀的球体，那
么要确定该行星的密度，只需要测量( ) A ．飞船的轨道半径 B ．飞船的运行速度 C ．飞船的运行周期 D ．行星的质量
5．假设在半径为R 的某天体上发射一颗该天体的卫星，若卫星贴近该天体的表面做匀 速圆周运动的周期为T1，已知万有引力常量为G ，则该天体的密度是多少若这颗卫星 距该天体表面的高度为h ，测得在该处做圆周运动的周期为T2，则该天体的密度又是多 少
【方法技巧训练】
应用万有引力定律分析天体运动问题的方法
6．近地人造卫星1和2绕地球做匀速圆周运动的周期分别为T1和T2，设在卫星1、卫 星2各自所在的高度上的重力加速度大小分别为g1、g2，则( ) ＝(T1T2)4/3 ＝(T2T1)4/3 ＝(T1T2)2 ＝(T2T1)2
7．已知地球半径R ＝×106m ，地面附近重力加速度g ＝9.8m/s2.计算在距离地面高为h ＝2×106m 的圆形轨道上的卫星做匀速圆周运动的线速度v 和周期T.
1．若知道太阳的某一颗行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得()
A．该行星的质量B．太阳的质量
C．该行星的平均密度D．太阳的平均密度
2．有一星球的密度与地球的密度相同，但它表面处的重力加速度是地面表面处重力加速
度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的()
B．4倍
C．16倍D．64倍
3．火星直径约为地球直径的一半，质量约为地球质量的十分之一，它绕太阳公转的轨道
半径约为地球绕太阳公转半径的倍．根据以上数据，下列说法中正确的是()
A．火星表面重力加速度的数值比地球表面小
B．火星公转的周期比地球的长
C．火星公转的线速度比地球的大
D．火星公转的向心加速度比地球的大
4．若有一艘宇宙飞船在某一行星表面做匀速圆周运动，设其周期为T，引力常量为G，那么该行星的平均密度为()
5．为了对火星及其周围的空间环境进行监测，我国预计于2011年10月发射第一颗火星
探测器“萤火一号”．假设探测器在离火星表面高度分别为h1和h2的圆轨道上运动时，周期分别为T1和T2.火星可视为质量分布均匀的球体，且忽略火星的自转影响，引力常量为G.仅利用以上数据，可以计算出()
A．火星的密度和火星表面的重力加速度
B．火星的质量和火星对“萤火一号”的引力
C．火星的半径和“萤火一号”的质量
D．火星表面的重力加速度和火星对“萤火一号”的引力
6．设地球半径为R，a为静止在地球赤道上的一个物体，b为一颗近地绕地球做匀速圆周运动的人造卫星，c为地球的一颗同步卫星，其轨道半径为r.下列说法中正确的是()
A．a与c的线速度大小之比为r R
B．a与c的线速度大小之比为R r
C ．b 与c 的周期之比为
r R D ．b 与c 的周期之比为R r R
r
7．2008年9月27日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次太 空行走标志着中国航天事业全新时代的到来．“神舟七号”绕地球做近似匀速圆周运动， 其轨道半径为r ，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的轨道半径为2r ，则可以确定 ( )
A ．卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为1∶4
B ．卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为1∶2
C ．翟志刚出舱后不再受地球引力
D ．翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如一不小心使实验样品脱手，则它 将做自由落体运动
8．“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星．若测得“嫦娥二号”在月球(可
视为密度均匀的球体)表面附近圆形轨道运行的周期为T ，已知引力常量为G ，半径为R
的球体体积公式V ＝4
3πR 3，则可估算月球的( ) A ．密度 B ．质量 C ．半径 D ．自转周期
9.土星周围有许多大小不等的岩石颗粒，其绕土星的运动可视为圆周运动．其中有两个 岩石颗粒A 和B 与土星中心的距离分别为r A ＝×104km 和r B ＝×105km ，忽略所 有岩石颗粒间的相互作用．(结果可用根式表示) (1)求岩石颗粒A 和B 的线速度之比．
(2)土星探测器上有一物体，在地球上重为10N ，推算出它在距土星中心×105km 处 受到土星的引力为．已知地球半径为×103km ，请估算土星质量是地球质量的 多少倍
11．中子星是恒星演化过程中的一种可能结果，它的密度很大．现有一中子星，观测到
它的自转周期为T ＝1
30s ．问该中子星的最小密度应是多少才能维持该星体的稳定，不
致因自转而瓦解(计算时星体可视为均匀球体，万有引力常量G ＝×10－
11m 3/(kg·s 2))
第3节 万有引力定律的应用
课前预习练
1．万有引力定律 吸引
2．地球 引力 GMm R 2 gR 2
G
3．匀速圆周 太阳对行星的万有引力
GMm r 2＝mr (2πT )2
太阳 行星 行星绕太阳运动的轨道半径 行星绕太阳运动的公转周期 M ＝4π2r 3
GT 2
4．周期 距离 海王星的发现 哈雷彗星的“按时回归”
5．(1)匀速圆周 万有引力 GMm r 2 (2)万有引力 GMm
R 2 6．D
7．ABCD [设相对地面静止的某一物体的质量为m ，则有G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2
G ，所以
A 选项正确．设卫星质量为m ，则万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m 4π2r T 2得M ＝4π2r 3
GT 2，所以B
选项正确．设卫星质量为m ，由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝m v 2r ，得M ＝v 2r
G ，所以C 选
项正确．设卫星质量为m ，由万有引力提供向心力，G Mm r 2＝mω2r ＝mvω＝mv 2π
T ，由v ＝rω＝r 2πT ，消去r 得M ＝v 3T
2πG ，所以D 选项正确．]
课堂探究练 1．A 2．BCD 3．D
点评 天体质量的计算仅适用于计算被环绕的中心天体的质量，无法计算围绕中心天体做圆周运动的天体的质量，常见的天体质量的计算问题有如下两种：
(1)已知行星的运动情况，计算太阳质量． (2)已知卫星的运动情况，计算行星质量．
4．C [因为GMm R 2＝m 4π2T 2R ，所以M ＝4π2R 3GT 2，又因为V ＝43πR 3，ρ＝M V ，所以ρ＝3π
GT 2，选项C 正确．]
点评 利用飞船受到行星的万有引力提供飞船做圆周运动的向心力进行分析． 3πR ＋h 3GT 22
R 3
解析 设卫星的质量为m ，天体的质量为M .卫星贴近天体表面做匀速圆周运动时有 G Mm R 2＝m 4π2T 21R ，则M ＝4π2R 3GT 21
根据数学知识可知星球的体积V ＝4
3πR 3
故该星球密度ρ1＝M V ＝4π2R 3GT 21·43πR
3＝3π
GT 21
卫星距天体表面距离为h 时有 G Mm R ＋h 2＝m 4π2T 22
(R ＋h )
M ＝4π2R ＋h 3GT 22
ρ2＝M V ＝4π2R ＋h 3GT 22·43
πR 3
＝3πR ＋h 3GT 22R 3 点评 利用公式M ＝4π2r 3GT 2计算出天体的质量，再利用ρ＝M
43πR
3计算天体的密度，注意r
指绕天体运动的轨道半径，而R 指中心天体的半径，只有贴近中心天体运动时才有r ＝R .
6．B [卫星绕天体做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有GMm R 2＝m (2πT )2R ，可得T 2
R 3
＝k 为常数，由重力等于万有引力有GMm R 2＝mg ，联立解得g ＝GM 3T 4k
2＝GMk 23
T 43
，则g 与T 4
3成
反比．]
7．×103m/s ×103s
解析 根据万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，有 G Mm R ＋h 2＝m v 2R ＋h
知v ＝GM
R ＋h
①
由地球表面附近万有引力近似等于重力，即G Mm
R 2＝mg 得GM ＝gR 2② 由①②两式可得
v ＝gR 2
R ＋h ＝×106×错误!m/s
＝×103m/s
运动周期T ＝2πR ＋h
v ＝2×××106＋2×106×103
s ＝×103s 方法总结 解决天体问题的两种思路
(1)所有做圆周运动的天体，所需要的向心力都来自万有引力．因此，向心力等于万有
引力是我们研究天体运动建立方程的基本关系式，即G Mm
r 2＝ma ，式中的a 是向心加速度．
(2)物体在地球(天体)表面时受到的万有引力近似等于物体的重力，即：G Mm
R 2＝mg ，式中的R 为地球(天体)的半径，g 为地球(天体)表面物体的重力加速度．
课后巩固练 1．B
2．D [由G Mm R 2＝mg 得M ＝gR 2
G ，
ρ＝M V ＝gR 2G 43πR 3＝3g
4πGR
所以R ＝3g 4πGρ，则R R 地＝g
g 地
＝4
根据M ＝gR 2G ＝4g 地·4R 地2G ＝64g 地R 2地
G ＝64M 地，所以D 项正确．]
3．AB [由G mm 物R 2＝m 物g 得g ＝G m R 2，计算得火星表面的重力加速度约为地球表面的2
5，
A 正确；由G Mm r 2＝m (2πT )2r 得T ＝2πr 3
GM ，公转轨道半径大的周期长，B 对；周期长的线
速度小(或由v ＝GM r 判断轨道半径大的线速度小)，C 错；公转向心加速度a ＝GM
r 2，
D 错．] 4．B [设飞船的质量为m ，它做匀速圆周运动的半径为行星半径R ，则G Mm R 2＝m (2π
T )2R ，
所以行星的质量M ＝4π2R 3GT 2，行星的平均密度ρ＝M 43πR 3＝4π2R 3GT 243πR
3＝3π
GT 2，B 项正确．]
5．A [设火星质量为M ，半径为R ，“萤火一号”的质量为m ，则有 G Mm R ＋h 12
＝m ????2πT 12(R ＋h 1
) ① G Mm R ＋h 22
＝m ????2πT 22(R ＋h 2
) ② 联立①②两式可求得M 、R ，由此可进一步求火星密度，由于mg ＝GMm R 2，则g ＝GM
R 2，显然火星表面的重力加速度也可求出，m 无法求出，故火星对“荧火一号”的引力也无法求出，正确答案为A.]
6．D [物体a 与同步卫星c 角速度相等，由v ＝rω可得，二者线速度之比为R
r ，选项A 、
B 均错误；而b 、c 均为卫星，由T ＝2πr 3GM 可得，二者周期之比为R r R
r ，选项C 错误，D 正确．]
7．AB [根据a ＝GM r 2，可知a 1∶a 2＝1∶4，故A 正确；根据v ＝GM
r ，可知v 1∶v 2＝1∶2，故B 正确；根据万有引力定律，翟志刚不论是在舱里还是在舱外，都受地球引力的作用，故C 错；样品脱手时具有和人同样的初速度，并不会做自由落体运动，故D 错．]
8．D [物体随天体一起自转，当万有引力全部提供向心力使之转动时，物体对天体的
压力恰好为零，则G Mm R 2＝m 4π2T 2R ，又ρ＝M 43
πR 3
，所以T ＝????3πGρ1
2，D 正确．]
9．A [对“嫦娥二号”由万有引力提供向心力可得：GMm R 2＝m 4π2
T 2R .故月球的质量M ＝4π2R 3
GT 2，因“嫦娥二号”为近月卫星，故其轨道半径为月球的半径R ，但由于月球半径未知，故
月球质量无法求出，故B 、C 项均错；月球的密度ρ＝M V ＝4π2R 3GT 243πR
3＝3π
GT 2，故A 正确．]
10．(1)6
2 (2)95
解析 (1)万有引力提供岩石颗粒做圆周运动的向心力，所以有G Mm
r 2＝mv 2/r .故v ＝GM r 所以v A v B ＝r B
r A ＝错误!＝错误!.
(2)设物体在地球上重为G 地，在土星上重为G 土，则由万有引力定律知：
G 地＝G M 地m R 2地，G 土＝G M 土m
R 2土
又F 万＝G M 土m r 2，故G 土R 2土＝F 万r 2
所以M 土M 地＝G 土R 2土
G 地R 2地＝F 万r 2G 地R 2地
＝错误!
＝95.
11．×1014kg/m 3
解析 考虑中子星赤道处一小块物体，只有当它受到的万有引力大于或等于它随星体一起旋转所需的向心力时，中子星才不会瓦解．
设中子星的密度为ρ，质量为M ，半径为R ，自转角速度为ω，位于赤道处的小块物体质量为m ，则有
GMm R 2＝mω2R ，ω＝2πT ，M ＝43πR 3
ρ
由以上各式得ρ＝3π
GT 2
代入数据解得ρ＝×1014kg/m 3
点评 因中子星自转的角速度处处相同，据G Mm
R 2＝mω2R 知，只要赤道上的物体不做离心运动，其他位置上的物体就会处于稳定状态，中子星就不会瓦解．