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本章内容
1.1 矢性函数
1.2 标量场
1.3 矢量场的通量及散度
1.4 矢量场的环量及旋度
1.5 亥姆霍兹定理
1.6 三种常用的正交曲线坐标系
3
1.1 矢性函数标量：一个只用大小描述的物理量。矢量：一个既有大小又有方向特性的物理量，常用黑体字母或带箭头的字母表示。1. 标量和矢量
A v
矢量的几何表示
矢量的几何表示：一个矢量可用一条有方向的线段来表示矢量的代数表示：A e A e A A A r
r r r ==常矢量：大小和方向均不变的矢量。
变矢量：大小和方向之一或两者都在
变化的矢量。4
2. 矢性函数
矢性函数的定义:设t 是一数性变量，为变矢，对于某一区间G ［a, b ］内的每一个数值t, 都有一个确定的矢量与之对应，则称为数性变量t 的矢性函数，记为
:
A v )
(t A v A v )
(t A A v v =矢性函数的表示:
)
()()()(t A e t A e t A e t A z z y y x x v v v v ++=矢性函数的矢端曲线: 设所有的起点
都在坐标原点，这样，当t 变化时，的终点M 就描绘出一条曲线l 。
)
(t A v )(t A v
5
3. 矢性函数的导数定义:对于矢性函数)(t A v t t A t t A t A dt A d t t Δ?Δ+=ΔΔ=→Δ→Δ)
()(lim lim 00v
v v v 计算:dt
dA e dt dA
e dt dA e dt A d z
z y
y x x r r r v ++=几何意义: 是矢端曲线在t 处的切向矢量，指向t 增大的一方
6
运算法则: 设，和可导，则有：
)(t A A v v =)(t B B v v =)(t u u =
7
4. 矢性函数的积分不定积分：若在t 的某个区间[a ，b ]上，，则称为在该区间上的一个原函数，而的全体原函数称为在此区间上的不定积分。)()(t A t B v v =′)(t B v )(t A v )(t A v )(t A v ∫+=c t B dt t A v
v v )()(定积分：若是在区间上的一个原函数，则
)(t B v )(t A v ],[21T T )
()()(2112∫?=T T T B T B dt t A r
r r 计算：∫∫∫∫++=dt
t A z dt t A y dt t A x dt t A z y x )(?)(?)(?)(v 8
运算法则:
9
例1.1.1 证明: 矢性函数的模为常数的充要条件是。)(t A v 0=?dt A d A v v 证明：必要性。设，则常数=A v 常数
==?2A A A v v v 两边对t 求导，得：02=?dt A d A v
v 0
=?∴dt A d A v
v 充分性。若，则0=?dt A d A v v 0
22=?=dt A d A dt A
d v v v 常数
=∴A v
例1.1.2 已知与非零常矢满足，又已知与的夹角为常数，试证明。
)(t A v B v t B t A =?v v )()(t A ′v B v )()(t A t A ′′⊥′v v 证明：两边对t 求导，得：t B t A =?v v )(1
)(=?′B t A v v 即1cos )(=?′θB t A v v 常数
常数，==θB v Q 常数=′∴A v 由例1.1.1的结论可得：)
()(t A t A ′′⊥′v v 10
如果物理量是标量，称该场为标量场。
例如：温度场、电位场、高度场等。
如果物理量是矢量，称该场为矢量场。
例如：流速场、重力场、电场、磁场等。
如果场与时间无关，称为静态场，反之为时变场。
时变标量场和矢量场可分别表示为：、),,,(t z y x u )
,,,(t z y x F r 确定空间区域上的每一点都有确定物理量与之对应，称在该区域上定义了一个场。
1.标量场和矢量场
、),,(z y x u )
,,(z y
x F r 静态标量场和矢量场可分别表示为：1.2 标量场
从数学上看，场是定义在空间区域上的函数：
11
2.标量场的等值面
等值面:标量场取得同一数值的点在空间形成的曲面。C z y x u =),,(等值面方程：?常数C 取一系列不同的值，就得到一系列
不同的等值面，形成等值面族；
?标量场的等值面充满场所在的整个空间；
?标量场的等值面互不相交。
等值面的特点：意义:形象直观地描述了物理量在空间
的分布状态。等值面族 u=c 2
u=c 3
u=c 1
标量场的等值线(面)
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3. 方向导数
意义：方向导数表示场沿某方向的空间变化率
。
00cos cos cos |lim M l u u u
u u l l x y z αβγ
Δ→?Δ???==++?Δ??
?概念：l r 0u l ?>?r 0u l ?
问题：在什么方向上变化率最大、其最大的变化率为多少？
——的方向余弦。
l r 式中：γβαcos cos cos 、、?——u (M )沿方向增加；0>??l u
l r ?——u (M )沿方向减小；
0
0=??l u
l r M 0l r M Δl
方向导数的概念
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梯度的表达式：z u e y u e x u e u z y x ??+??+??=?r r r 意义：描述标量场在某点的最大变化率及其变化最大的方向概念：，其中取得最大值的方向
max |l u u e l ??=?r l u
e l ??r 3. 标量场的梯度（grad u 或）
u ??标量场的梯度是矢量场，它在空间某点的方向表示该点场变化最大（增大）的方向，其数值表示变化最大方向上场的空间变化率。
?标量场在某个方向上的方向导数，是梯度在该方向上的投影。?标量场的梯度垂直于通过该点的等值面（或切平面）。
梯度的性质：14
梯度的运算法则：????????????=??±?=????????+?=??±?=±??=?=?u
u f u f v u u
v v v u v
u u v uv v
u v u u
c cu c )(')]([)
(1
)()()(0
2例1.2.1 试证明点M (x, y, z )的矢径的模的梯度。
z e y e x e r z y x r r r v ++=222z y x r r ++==v °==?r r r r v
v 证明：r x z y x x z y x x x r =++=++??=??222222r
z
z r r y y r
=??=??,()o v v v v v v v v r
r r z e y e x e r r z e r y e r x
e r z y x z y x ==++=++=?∴1
15
例1.2.2求：r 在M(1, 0, 1)处沿方向的方向导数。
z y x e e e l v v v v 22++=解法1：直接由方向导数的计算公式求得（略）
解法2：由例1.2.1可求得r 在M 处的梯度。
在点M 处，
2222=++=z y x r ()
z x e e r v v +=?∴21
z
y x e e e l l l v v v
v
v o 32
32
31++==2
1
232
231
=+=??=??∴o v l r l r
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1.3 矢量场的通量及散度
1. 矢量线
意义：形象直观地描述了矢量场的空间分
布状态。
矢量线方程：
概念：矢量线是这样的曲线，其上每一
点的切线方向代表了该点矢量场
的方向。
z
y x A z
A y A x d d d =
=
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2. 矢量场的通量
有向曲面：规定了正方向的曲面。通量的定义：n d d d S S F S F e S ψψ==?=?∫∫∫r r r r n d d S e S =r r 其中：——面积元矢量；
n e r ——面积元的法向单位矢量；如果曲面S 是闭合的，则规定曲面的法向矢量由闭合曲面内指向外，矢量场对闭合曲面的通量是
∫∫?=?=S S S e F S F d d n r
r r r ψd S r n d d F e S ψ=?r r ——穿过面积元的通量。
v ),,(z y x F r S r
d n
e r
面积元矢量18
通量的计算：∫∫++=S
z y x dxdy
A dxdz A dydz A ψ通量的物理意义：
0>ψ通过闭合曲面有净的矢量线穿出0<ψ有净的矢量线进入0
=ψ进入与穿出闭合曲面的矢量线相等有正源有负源正负源总和为零
19
例1.3.1矢量场，S 为圆锥面与平面所围成的封闭曲面，求从S 内穿出的通量。z e y e x e r z y x r r r v ++=222z y x =+H z =解：3
21
11
1
21H H H dxdy H Hdxdy zdxdy
ydxdz xdydz s d r s d r s d r s d r s s s s s ππψσσ=?===++=?=?+?=?=∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫∫r
r r r r r r r 例1.3.2 原点处点电荷q 在其周围产生的电场
中，任一点处的电位移矢量，求穿过以原点为中心，
R 为半径的球面的通量。°=r r q
D r r 24π解：q R R q ds R q
s d r R q
s d D s
s s e =?==?°=?=∫∫∫∫∫∫22224444ππππψr r r r 可见，S 内产生电通量的源即位电荷q 。20
3. 矢量场的散度
V
S d A A S 0V Δ?=??∫→Δv
v v lim 定义：散度是矢量通过包含该点的任意闭合小曲面的通量与曲面元体积之比的极限。
散度的物理意义：表示矢量场中任意一点处的通量体密度，即该点处通量源的强度。某点处，
0>??A v ——有正的通量源
0
——有负的通量源
0=??A v ——没有通量源
21
散度的计算：哈密尔顿算子：z F y F x F F div z y x ??+??+??=r ???????????±??=±????+??=????=???
?=??=??=??G F G F f
F F f F f k
F k F k f
C f C C C
C r
r r r r r r r r r r r
r r )()(为常量)
()()()
为常矢量(0散度的运算法则：z
e y e x e z y x ??
+??
+??
≡?r r r 哈密尔顿算子是一个矢性微分算子，在运算中具有矢量和微分的双重性质。
F F div v
v ??=22
散度定理：
∫∫??=?V S V
F S F d d r r
r 从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
≠??A r [推论]：在矢量场中，若某些点（或区域）
上有或不存在，而其它点上都
有，则穿出包围这些点（或区域）
的任一闭曲面的通量都相等。
0≠??A r 0=??A r
23
例1.3.3 原点处点电荷q 产生的电位移为，试求。
°=r r q D r r 24πD r ??解：)
???(4333z r z y r y x r x
q D ++=πr 522
34r x r q x D x ?=??π52234r y r q y D y ?=??π5
2
234r z r q z D z ?
=??π0
)
(3345222
2=++?=??+??+??=??∴r z y x r q z D y D x D D z y x πr 例1.3.4 球面S 上任意点的位置矢为，求z e y e x e r z y x r r r v ++=∫∫?S
S
d r v
v 3
244R R R dS R rdS S d r S
S S ππ=?===?∫∫∫∫∫∫v v 解法1：解法2：采用散度定理：∫∫∫∫∫??=?V
S dv
r S d r v v v 3=??+??+??=??z z
y y
x x
r v 3
343433R R dv S d r V S ππ=?==?∴∫∫∫∫∫v v 24
1.4 矢量场的环量及旋度
矢量场沿场中一有向闭合曲线C 的线积分，即
1. 环量
定义：∫?=C l z y x F r
r d ),,(Γ其中，，为l 正向切线方向的单位矢量。
dl l τ?d =r τ?计算公式：
∫∫++=?=ΓC z y x C z
F y F x F l F d d d d r
r 矢量的环量也是描述矢量特性的重要参量。若矢量
的环量不为零，就表示矢量场中存在一种不同于通量源的源——涡旋源。
252. 环量面密度s l d F S l S S n Δ?=ΔΔΓ=∫Δ→Δ→Δr r 00lim lim μ过点M 作一微小曲面ΔS ，它的边界曲线
记为C ，曲面的法线方向与曲线的绕向成右手螺旋法则。当ΔS →0 时，极限n r S ΔC
M
F v n r
称为矢量场在点M 处沿方向的环量面密度。
n r 矢量场的环流给出了矢量场与积分回路所围曲面内涡旋源的宏观联系。为了给出空间任意点矢量场与涡旋源的关系，引入环量面密度和矢量场的旋度。263. 矢量场的旋度
定义：矢量场在M 点处的旋度为一矢量，其数值为M 点的环量面密度最大值，其方向为取得环量面密度最大值时面积元的法线方向，即
max
rot n n e F μr r =F n n r
rot ??=μ性质：矢量场在任一方向上的环量面密度等于旋度在此方向上的投影，即n ??
????????????+???????????+???
??????????=×?=y F x F e x F z F e z F y F e F F x y z z x y y z x r r r r r rot z
y x z
y x F F F z
y x e e e ??
????=r r r 旋度的计算公式：
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旋度的有关公式：旋度的物理意义：描述了矢量在给定点处涡旋源的强度。F f F f F f r r r ×?+×?=×?)(0
=×?C r
G F G F r
r r r ×?±×?=±×?)(G
F F
G G F r
r r r r r ×???×??=×??)(0
)(≡×???F r 0
)
(≡?×?u ()F F F r
r r 2)(?????=×?×?其中，称为拉普拉斯算子。
2?z
z y y x x F e F e F e F 22
2
2?+?+?=?r r r r 28
4. 斯托克斯定理
∫∫?×?=?S C S
F l F r
r r r d d 从旋度的定义出发，可以得到矢量场沿任意闭合曲线的环量等于矢量场的旋度在该闭合曲线所围的曲面的通量，即
斯托克斯定理是闭合曲线积分与曲面积分之间的一个变换关系式。
式中，的方向与的方向成右手螺旋关系。
S d r l d r
29
例1.4.1求矢量场在M(1, 0, 1)处的旋度，及沿方向的环量面密度。z y x e x y z e z x y e y z x F r r r
v )()()(?+?+?=z y x e e e n r r r v 362++=解：z
y x z
y x e x y e z x e y z x y z z x y y z x z y x e e e F F r r r r r r v v )()()()
()()(rot +++++=?????
????=×?=z y x M e e e F r r r v
++=×?∴2z y x e e e n r
r r r o 737672++=17
7=?×?=∴o v v n F n μ例1.4.2已知，且存在非零函数及使
，试证明。
0≠×?A r ),,(z y x u ),,(z y x ???=A u r A A r r ×?⊥证明：??=A u r Q 0
)(r
r r r =
×?+×?=×?∴A u A u A u A u A u r r ×??=×?∴()()0
=×???=×??A u A A u A r r r r ()0=×??∴A A u r r A A r
r ×?⊥∴30
1.5 亥姆霍兹定理
1. 矢量场的分类
无旋场：旋度恒为零的矢量场。
0=?∫l l d F r r 无旋场又称为保守场。
无散场（管形场）：散度恒为零的矢量场，也称无源场。A F r
r ×?=调和场：旋度和散度恒为零的矢量场。
?
??=F r 无旋场可表示为一个数量场的梯度：无散场可表示为一个矢量场的旋度：
31
2. 亥姆霍兹定理若矢量场在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，源分布在有限区域中，则当矢量场的散度及旋度给定后，该矢量场可表示为：)()()(r A r u r F r r r r r ×?+??=式中：V r r r F r u V ′
′?′??′
=∫d )
(
π41
)(r r r r r ∫′
′?′×?′=V V r r r F r A d )
(π41)(r r r r r r 亥姆霍兹定理表明：在无界空间区
域，矢量场可由其散度及旋度确定。32
∫∫′
?′
?′?′′?′??′=S V r r S r F V r r r F r u r r r
r r r r r r r d )(π41 d )(π41)(∫∫′
?′
×′?′′?′×?′=S V r r S r F V r r r F r A r r r
r r
r r r r r r d )(π41d )(π41)(在有界区域，矢量场不但与该区域中的散度和旋度有关，还与区域边界上矢量场的切向分量和法向分量有关。
33
1.6 三种常用的正交曲线坐标三维空间任意一点的位置可通过三条相互正交曲线的交点来确定。在电磁场与电磁波理论中，三种常用的正交曲线坐标系为：直角坐标系、圆柱坐标系和球坐标系。
三条正交曲线组成的确定三维空间任意点位置的体系，称为正交曲线坐标系；三条正交曲线称为坐标轴；描述坐标轴的量称为坐标变量。34
z
e y e x e r z y x r r r r ++=位置矢量线元矢量z
e y e x e l z y x d d d d r
r r r ++=体积元z
y x V d d d d =坐标变量z
y x ,,坐标单位矢量z
y x e e e r r r ,,1. 直角坐标系
z
y e l l e S x z y x x d d d d d r r r ==y
x e l l e S z y x z z d d d d d r r r
==z
x e l l e S y z x y y d d d d d r r r
==面元矢量
35
2. 圆柱坐标系
z ,,φρ坐标变量z
e e e r r r ,,φρ坐标单位矢量z
e e r z r r r +=ρρ位置矢量z e e e l z d d d d r r r r ++=φρρφρ线元矢量z
V d d d d φρρ=体积元φ
ρρρ
φρφρφρφφρφρρd d d d d d d d d d d d d d d z z z z z e l l e S z
e l l e S z
e l l e S r r r r r r
r r r
======面元矢量∞<<∞?≤≤∞<≤z ,20,0πφρ36
3. 球坐标系
φ
θ,,r 坐标变量φ
θe e e r r r r ,,坐标单位矢量r
e r r r r =位置矢量φθθφθd sin d d d r e r e r e l r r r r r ++=线元矢量φ
θθd d d sin d 2r r V =体积元φ
θθφθd d sin d d d 2r e l l e S r r r r r r
==φ
θφθθd d sin d d d r r e l l e S z r r r r
==θ
φθφφd d d d d r r e l l e S r r r r
==面元矢量π
φπθ20,0,0<≤≤≤∞<≤r
37
4. 圆柱坐标系和球坐标系中的场量表达式（1）拉梅系数：直角坐标系：圆柱坐标系：球坐标系：1,1,1321===h h h 1,,1321===h h h ρθ
sin ,,1321r h r h h ===（2）哈密尔顿算子：
3
33
222111111q h e q h e q h e ??
+??+??
=?v v v 38
（3）场量表达式：
梯度：3
33
222111111q u
h e q u h e q u
h e u ??+??+??=?v v v 散度：
()()()?
???????
+??+??
=??3213231213213211A h h q A h h q A h h q h h h A v 旋度：3
322113
2
1
3
322113211A h A h A h q
q q e h
e h e
h h h h A ??????=×?v
v v v
本章作业：
1.2 1.8 1.11 1.15 1.19
1.22 1.23
39
第一部分 习题 第一章 静电场基本规律 1．2．1在真空中有两个点电荷，设其中一个所带电量是另一个的四倍，它们个距2510-?米时，相互排斥力为牛顿。问它们相距0.1米时，排斥力是多少两点电荷的电量各为多少 解：设两点电荷中一个所带电量为q ，则另一个为4q ： （1） 根据库仑定律：r r q q K F ?22 1 =? 得：21 2221r r F F = （牛顿）） （） （4.01010560.12 12 2222112=??==--r r F F (2) 21 2 24r q K F = ∴ 21 9 4221 211109410560.14）（）（????±=± =-K r F q =±×710- （库仑） 4q=±×810- （库仑） 1．2．2两个同号点电荷所带电量之和为 Q ，问它们带电量各为多少时，相互作用力最大 解： 设其中一个所带电量为q ，则一个所带电量为 Q-q 。 根据库仑定律知，相互作用力的大小： 2 ) (r q Q q K F -= 求 F 对q 的极值 使0='F 即：0)2(=-q Q r K ∴ Q q 2 1 =。 1．2．3两个点电荷所带电量分别为2q 和q ，相距L ，将第三个点电荷放在何处时，它所受合力为零 解：设第三个点电荷放在如图所示位置是，其受到的合力为零。 图 1．2．3
即： 41πε 2 0x q q = 041 πε )(220x L q q - =2 1x 2)(2x L - 即：0222=-+L xL x 解此方程得： )()21(0距离的是到q q X L x ±-= （1） 当为所求答案。时，0)12(>-=x L x （2） 当不合题意，舍去。时，0)12(<--=x L x 1．2．4在直角坐标系中，在（0，），（0，）的两个位置上分别放有电量为1010q -=（库）的点电荷，在（，0）的位置上放有一电量为810Q -=（库）的点电荷，求Q 所受力的大小和方向（坐标的单位是米） 解：根据库仑定律知： 121 1?r r Q q K F =? )?sin ?(cos 1121 1j i r Q q K αα-= 2 28 1092.01.010 10109+???= --???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i =j i ?100.8?1061.187--?-? 如图所示，其中 2 1 21211 1) (cos y x x += α 2121 211 1) (sin y x y += α 同理：)?sin ?(cos 2222 12j i r Q q K F αα+?= ? 2281092.01.01010109+???=--×???? ? ?????+-++2 1222122)2.01.0(?1.0)2.01.0(?2.0j i
物理与电子工程学院 注：教案按授课章数填写，每一章均应填写一份。重复班授课可不另填写教案。教学内容须另加附页。
（3）在导体外，紧靠导体表面的点的场强方向与导体表面垂直，场强大小与导体表面对应点的电荷面密度成正比。 A 、场强方向（表面附近的点） 由电场线与等势面垂直出发，可知导体表面附近的场强与表面垂直。而场强大小与面密度的关系，由高斯定理推出。 B 、场强大小 如图，在导体表面外紧靠导体表面取一点P ，过P 点作导体表面 的外法线方向单位矢n ?，则P 点场强可表示为n E E n P ?= （n E 为P E 在n ?方向的投影，n E 可正可负）。过P 点取一小圆形面元1S ?，以1S ?为底作一圆柱形高斯面，圆柱面的另一底2S ?在导体内部。由高斯定理有： 11/) 0(?1 1 2 1 εσφS S E s d E E s d n E s d E s d E s d E s d E s d E n S S n S S S S ?=?=⊥=?= ?= ?+?+?= ?=?????????? ?????? 导体表面附近导体内侧 (导体的电荷只能分布在导体表面，若面密度为σ，则面内电荷为 为均匀的很小，视，且因σσ11S S ??) ∴ ?? ?<>=?? ?<<>>= 反向，，同向，，即，，n E n E n E E E E n n n ?0?0?0 00 00 σσεσ σσεσ
可见：导体表面附近的场强与表面上对应点的电荷面密度成正比，且无论场和电荷分布怎样变化，这个关系始终成立。 C 、0 εσ = E n ?中的E 是场中全部电荷贡献的合场强，并非只是高斯面内电荷S ?σ的贡献。这一点是由高斯定理得来的。P45-46 D 、一般不谈导体表面上的点的场强。 导体内部0=E ，表面外附近0 εσ=E n ?；没提表面上的。 在电磁学中的点、面均为一种物理模型，有了面模型这一概念，场强在带电面上就有突变（P23小字），如果不用面模型，突变就会消失。但不用面模型，讨论问题太复杂了，所以我们只谈“表面附近”而不谈表面上。 补充例：习题2.1.1(不讲) Rd θ 解：利用上面的结果，球面上某面元所受的力：n dS F d ?20 2 εσ= ，利用对称性知，带有同号电荷的球面所受的力是沿x 轴方向： 右半球所受的力：
第一章 矢量分析与场论 1 源点是指 。 2 场点是指 。 3 距离矢量是 ，表示其方向的单位矢量用 表示。 4 标量场的等值面方程表示为 ，矢量线方程可表示成坐标形 式 ，也可表示成矢量形式 。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示 ，梯度的方向表 示 。 6 方向导数与梯度的关系为 。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?= 。 8 矢量A 在曲面S 上的通量表示为Φ= 。 9 散度的物理含义是 。 10 散度在直角坐标系中的表示为??=A 。 11 高斯散度定理 。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间的关系 为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e
20 0(0)11''4() (0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E = 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ??? 处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E = 。 12 无限大导电平面，电荷面密度为σ，则空间电场E = 。 13 静电场中电场强度线与等位面 。 14 两等量异号电荷q ，相距一小距离d ，形成一电偶极子，电偶极子的电偶极矩 p = 。 15 极化强度矢量P 的物理含义是 。 16 电位移矢量D ，电场强度矢量E ，极化强度矢量P 三者之间的关系 为 。 17 介质中极化电荷的体密度P ρ= 。 18介质表面极化电荷的面密度P σ= 。
第6章习题解答 已知空气中存在电磁波的电场强度为 ()80cos 6π102πy E e E t z =?+r r V /m 试问：此波是否为均匀平面波传播方向是什么求此波的频率、波长、相速以及对应的磁场强度H r 。 解：均匀平面波是指在与电磁波传播方向相垂直的无限大平面上场强幅度、相位和方向均相同的电磁波。电场强 度瞬时式可以写成复矢量j 0e kz y E e E -=r r &。该式的电场幅度为0E ，相位和方向均不变，且0z E e ?=r r ?z E e ⊥r r ， 此波为均匀平面波。传播方向为沿着z -方向。 由时间相位86π10t t ω=? ? 8 6π10ω=? 波的频率Hz 1038?=f 波数2πk = 波长2π 1 m k λ= = 相速p 310 m/s v k ω ==? 由于是均匀平面波，因此磁场为 j 0w w 1() e kz z x E H e E e Z Z -=-?=r r r v && 有一频率为600MHz 的均匀平面波在无界理想介质(r r 4,1εμ==)中沿x +方向传播。已知电场只有y 分量， 初相位为零，且010t t ==s 时，1x =m 处的电场强度值为800kV/m 。试写出E v 和H v 的瞬时表达式。 解：根据题意，角频率8 12π10ω=?，r r 0028πk c ω εμεμεμ=== =，因此 80cos(12π108π)y E e E t x =?-r r 由s 10=t ，m 1=x 处的电场强度值为kV /m 800，可以得到kV/m 8000=E 8800cos(12π108π) kV/m y E e t x =?-r r 根据电场的瞬时表达式可以写出电场的复矢量为 j8π800e kV/m x y E e -=r r & 波阻抗为()0 r w r 0 60π ΩZ μμμεεε= ==。因此磁场强度复矢量为 j8πw 140() e kA/m 3π x x z H e E e Z -=?=r r r r && 因此，磁场的瞬时表达式为 840cos(12π108π)3π z H e t x =?-r r 在无界理想介质中，均匀平面波的电场强度为 ()80sin 2π102πx E e E t z =?-r r V /m 已知介质的r 1μ=，试求其r ε，并写出H r 的表达式。 解：根据电场的瞬时表达式可以得到8 2π10ω=?，2πk =，而 r r r 00k ωεεμεμεμ===?2 r 9kc εω?? == ??? 电场强度的瞬时式可以写成复矢量为 πj2πj 2 0e z x E e E --=r r & 波阻抗为w 40π ΩZ μ ε = =，则磁场强度复矢量为 πj2πj 02w 1() e 40πz z y E H e E e Z --=?=r r r r && 因此磁场为 80 sin(2π102π)40π y E H e t z =?-r r
电磁学第二版习题答案第六章 习题 在无限长密绕螺线管内放一圆形小线圈，圆平面与螺线管轴线垂直。小线圈有100 6.2.1 1 匝，半径为 1cm，螺线管单位长度的匝数为 200cm . 设螺线管的电流在 0.05 s 内 以匀变化率从 1.5 A 变为 -1.5 A ， (1) 求小线圈的感应的电动势; (2) 在螺线管电流从正直经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方 向是否改变,为什么, 解答: 1 2 ,小线圈半径 R, = 10 (1) 螺线管单位长度的匝数 n=200 cm m ,匝数 N , , 100 ，若选择电动势的正方向与电流的正方向相同，螺线管内小 线圈的感应电动势大小为 , , , N , ddt, , N , dBdtS , , , 0 n( R, 2 ) N , dIdt , 4.7 ,10 2V . >0 表明电动势的方向与设定的方向相同。 螺线管电流从正值经零值到负值时，小线圈的感应电动势的大小和方向都不变， (2) 因为电流以及磁通量都以相同的变化率作变化。 6.2.2 边长分别为 a=0.2 m 和 b=0.1 m 的两个正方形按附图所示的方式结成一个回路，单
2 , 位的电阻为 5 , 10 10 .回路置于按 B , Bm sin ，t 规律变化的均匀磁场中， m Bm , 10 2 T，， , 100 s 1 。磁场 B 与回路所在平面垂直。求回路中感应电流的最 大值。 解答: 在任一瞬时，两个正方形电路中的电动势的方向相反，故电路的总电动势的绝对值 为 d ,大 d ,小 dB 2 , , , a ， b2 ， , ， a 2 b2 ，， Bm cos ，t , , m cos ，t dt dt dt 2 , ，故回路电阻为因回路单位长度的电阻, , 5 ,10 m R , , , 4 ， a ， b， , 6 ,10 2 , 回路中感应电流的最大值为 I m , R, m , 0.5 A 6.2.3 半径分别为 R 和 r 的两个圆形线圈同轴放置，相距为 x (见附图)。已知 r x (因 dx x .设 x 以匀速 v , 而大线圈在校线圈内产生的磁场可视为均匀)及 R 随时间 t dt 而变. (1) 把小线圈的磁通 , 表为 x 的函数 , 表为 x 的函数 (2) 把小线圈的感应电动势(绝对值) (3) 若 v , 0 ,确定小线圈内感应电流的方向. 解答:
1 一平行板电容器的两极板都是半径为的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为： 。试求：（1）两极板间的位移电流；（2）极板边缘的磁感应强度。 解: （1）如图所示,根据电容器极板带电情况，可知电场强度的方向水平向右（电位移矢量 的方向与的方向相同）。因电容器中为真空，故。忽略边缘效应，电场只分布在两板之间的空间内，且为匀强电场。 已知圆板的面积，故穿过该面积的的通量为 由位移电流的定义式，得电容器两板间位移电流为 因，所以的方向与的方向相同，即位移电流的方向与的方向相同。 （2）由于忽略边缘效应，则可认为两极板间的电场变化率是相同的，则极板间的位移电流是轴对称分布的,因此由它所产生的磁场对于两板中心线也具有轴对称性。 在平行板电容器中沿极板边缘作以半径为的圆，其上的大小相等，选积分方向与方向一致，
则由安培环路定理可得（全电流） 因在电容器内传导电流，位移电流为，则全电流为 所以极板边缘的磁感应强度为 根据右手螺旋定则，可知电容器边缘处的磁感应强度的方向，如图所示。 2 一平行板电容器的两极板为圆形金属板，面积均为，接于一交流电源时，板上的电荷随时间变化，即。试求：（1）电容器中的位移电流密度的大小；（2）设为由圆板中心到该点的距离，两板之间的磁感应强度分布。 解: （1）由题意可知，，对于平行板电容器电位移矢量的大小为 所以，位移电流密度的大小为 （2）由于电容器内无传导电流，故。又由于位移电流具有轴对称性，故可用安培环路求解磁感应强度。 设为圆板中心到场点的距离，并以为半径做圆周路径。 根据全电流安培环路定理可知通过所围面积的位移电流为
所以.最后可得 3. 如图（a）所示，用二面积为的大圆盘组成一间距为的平行板电容器，用两根长导线垂直地接在二圆盘的中心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流充电，试求：（1）此电容器中位移电流密度；（2）如图（b）所示，电容器中点的磁感应强度；（3）证明在此电容器中从半径为﹑厚度为的圆柱体表面流进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。 解:（1）由全电流概念可知，全电流是连续的。 电容器中位移电流密度的方向应如图（c）所示，其大小为 通过电源给电容器充电时，使电容器极板上电荷随时间变化，从而使极板间电场发生变化。 因此，也可以这样来求： 因为由于，因此所以
一、填空题 1、一面积为S 、间距为d 的平行板电容器，若在其中插入厚度为2d 的导体板，则其电容为 ；答案内容：;20d S ε 2、导体静电平衡必要条件是 ，此时电荷只分布在 。 答案内容：内部电场处处为零，外表面； 3、若先把均匀介质充满平行板电容器，（极板面积为S ，极反间距为L ，板间介电常数为r ε）然后使电容器充电至电压U 。在这个过程中，电场能量的增量是 ； 答案内容：2 02U L s r εε 4、在一电中性的金属球内，挖一任意形状的空腔，腔内绝缘地放一电量为q 的点电荷，如图所示，球外离开球心为r 处的P 点的场强 ； 答案内容：r r q E e ∧=204περ； 5、 在金属球壳外距球心O 为d 处置一点电荷q ，球心O 处电势 ； 答案内容：d q 04πε； 6、如图所示，金属球壳内外半径分别为a 和b ，带电量为Q ，球壳腔内距球心O 为r 处置一电量为q 的点电荷，球心O 点的电势 。 答案内容：??? ??++-πεb q Q a q r q 0 41 7、导体静电平衡的特征是 ，必要条件是 。 答案内容：电荷宏观运动停止，内部电场处处为零； 8、判断图1、图2中的两个球形电容器是串连还是并联，图1是_________联，图2是________联。 答案内容：并联，串联； 9、在点电荷q +的电场中，放一金属导体球，球心到点电荷的距离为r ，则导体球上感应电荷在球心处产生的电场强度大小为： 。 答案内容：201 4q r πε ；
10、 一平板电容器，用电源将其充电后再与电源断开，这时电容器中储存能量为W 。然后将介电常数为ε的电介质充满整个电容器，此时电容器内存储能量为 。 答案内容：00W εε ； 11、半径分别为R 及r 的两个球形导体（R ＞r ），用一根很长的细导线将它们连接起来，使二个导体带电，电势为u ，则二球表面电荷面密度比/R r σσ= 。 答案内容：/r R ； 12、一带电量 为Q 的半径为r A 的金属球A ，放置在内外半径各为r B 和r C 的金属球壳B 内。A 、B 间为真空，B 外为真空，若用导线把A 、B 接通后，则A 球电位 （无限远处u=0）。 答案内容：()0/4c Q r πε ； 13、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现不断开电源而将两极板的距离拉大一倍,则其电容为______,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , 21E 。 14、一平行板电容器的电容为C ,若将它接在电压为U 的恒压源上,其板间电场强度为E ,现断开电源后,将两极板的距离拉大一倍,则其电容为________,板间电场强度为_____。 答案内容： 21C , E 不变 二、单选择题 1、将一带电量为Q 的金属小球靠近一个不带电的金属导体时，则有( ) （A ）金属导体因静电感应带电，总电量为-Q ； （B ）金属导体因感应带电，靠近小球的一端带-Q ，远端带+Q ； （C ）金属导体两端带等量异号电荷，且电量q 第一章矢量分析与场论 1 源点是指。 2 场点是指。 3 距离矢量是，表示其方向的单位矢量用表示。 4 标量场的等值面方程表示为，矢量线方程可表示成坐标形式，也可表示成矢量形式。 5 梯度是研究标量场的工具，梯度的模表示，梯度的方向表示。 6 方向导数与梯度的关系为。 7 梯度在直角坐标系中的表示为u ?=。 8 矢量A在曲面S上的通量表示为Φ=。 9 散度的物理含义是。 10 散度在直角坐标系中的表示为??= A。 11 高斯散度定理。 12 矢量A 沿一闭合路径l 的环量表示为 。 13 旋度的物理含义是 。 14 旋度在直角坐标系中的表示为??=A 。 15 矢量场A 在一点沿l e 方向的环量面密度与该点处的旋度之间 的关系为 。 16 斯托克斯定理 。 17 柱坐标系中沿三坐标方向,,r z αe e e 的线元分别 为 ， ， 。 18 柱坐标系中沿三坐标方向,,r θαe e e 的线元分别 为 ， ， 。 19 221111''R R R R R R ?=-?=-=e e 20 0(0)11''4()(0)R R R R R πδ≠???????=??=? ? ?-=????? 第二章 静电场 1 点电荷q 在空间产生的电场强度计算公式为 。 2 点电荷q 在空间产生的电位计算公式为 。 3 已知空间电位分布?，则空间电场强度E= 。 4 已知空间电场强度分布E ，电位参考点取在无穷远处，则空间一点P 处的电位P ?= 。 5 一球面半径为R ，球心在坐标原点处，电量Q 均匀分布在球面上，则点,,222R R R ?? ???处的电位等于 。 6 处于静电平衡状态的导体，导体表面电场强度的方向沿 。 7 处于静电平衡状态的导体，导体内部电场强度等于 。 8处于静电平衡状态的导体，其内部电位和外部电位关系为 。 9 处于静电平衡状态的导体，其内部电荷体密度为 。 10处于静电平衡状态的导体，电荷分布在导体的 。 11 无限长直导线，电荷线密度为τ，则空间电场E= 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 E ?-?=?- =?? ?ερ ?E 2 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件： 有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ? ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=? εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) q dS r S =??-?)(1 1?ε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 习题五（第二章 静电场中的导体和电介质） 1、在带电量为Q 的金属球壳内部，放入一个带电量为q 的带电体，则金属球壳 内表面所带的电量为 - q ，外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内，则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=，球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球，直径相等，但一个是空心，一个是实心的。现使它们互相接触，则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 和r 的两个球导体(R ＞r)相距很远，今用细导线把它们连接起来，使两导体带电，电势为U 0，则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A ，且A 处在静电平衡状态，则( C ) (A)导体内E=0，q 不在导体内产生场强； (B)导体内E ≠0，q 在导体内产生场强； (C)导体内E=0，q 在导体内产生场强； (D)导体内E ≠0，q 不在导体内产生场强。 7、如图所示，一内半径为a ，外半径为b 的金属球壳，带有电量Q ， 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q ，设无限远 处为电势零点。试求： (1)球壳外表面上的电荷； (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势； (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 工程电磁场第二章静 电场二 第2章 静电场(二) 2.1 静电场的唯一性定理及其应用 静电场中的待求量：电场强度E ，静电力F 。 静电场求解方法： (1) 直接由电场强度公式计算； (2) 求解泊松方程(或拉普拉斯方程)→电位→电场强度E 。 E ?-? =?-=??? ε ρ?E 2 唯一性定理的重要意义：确定静电场解的唯一性。 2.1.1 唯一性定理 静电场中，满足给定边界条件的电位微分方程(泊松方程或拉普拉斯方程)的解是唯一的。 2.1.2 导体边界时，边界条件的分类 (1) 自然边界条件： 有限值参考点=∞ →?r r lim (相当于指定电位参考点的值) (2) 边界衔接条件：σ? ε?ε??=??-??=n n 221121 (该条件主要用于求解区域内部) (3) 导体表面边界条件 (a) 给定各导体表面的电位值。(第一类边界条件) (b) 导体表面为等位面，给定各导体表面的电荷量。 该条件相当于给定了第二类边界条件。在求解过程中，可通过积分运算确定任意常数。 S n ??-=? εσ，(注：n 的正方向由介质导向导体内部) q dS r S =??-?)(1 1?ε (c) 给定某些导体表面的电位值及其它每一导体表面的电荷量。 相当于给定了第三类边界条件。 思考？ 为什么条件(a),或(c)可唯一确定电位函数，而条件(b)确定的电位函数相关任一常数？ 答：边值问题的求解所需的边界条件有：自然边界条件、衔接条件和区域边界条件。条件(a)，(c)中，同时给定了边界条件和自然边界条件，与条件(2)结合，可唯一地确定场解；而条件(c)没有指定自然边界条件(电位参考点的值)，因而，其解相差一个任意常数。 2.1.3静电场唯一性定理的意义 唯一性定理为静电场问题的多种解法(试探解、数值解、解析解等)提供了思路及理论根据2.1.4等位面法 1 等位面法：静电场中，若沿场的等位面的任一侧，填充导电媒质，则等位面另侧的电场保持不变。 2等位面法成立的理论解释： 等位面内填充导电媒质后，边界条件沿发生变化： (1)边界k的等位性不变； (2)边界k内的总电荷量不变。(相当于给定了第二类边界条件) 3 等位面法在解释静电屏蔽现象中的应用 现象一、接地的封闭导体壳内的电荷不影响壳外的电场。 解释：边界上电位值不变(给定的第一类边界条件不变)。 现象二、封闭导体无论是否接地，则壳内电场不受壳外电场的影向。 解释：(注意边界正方向的取向) 边界S2为等位面； 边界S2上的总电荷量不变。 2.2平行双电轴法 1 问题的提出： 以求无限长双圆柱平输电线周围的电场分布为例。 导体表面的面电荷密度未知，不可能由电场计算公式计算；电场分布不具有对称性，不能用高斯定理求解,用求解泊松方程法，不能给出解析解。本节从静电场的唯一性定理出发，采用其它求解方法(电轴法)。 2. 两根细导线产生的电场 设电轴上单位长度的电荷量为τ，电位参考点为Q。 电场分布为平面场，根据叠加原理， 第六章 麦克斯韦电磁场理论 电磁波 电磁单位制 习题 一、判断 1、在真空中，只有当电荷作加速运动时，它才可能发射电磁波。 √ 2、振动偶极子辐射的电磁波，具有一定方向性，在沿振动偶极子轴线方向辐射最强，而与偶极子轴线垂直的方向没有辐射。 × 3、一个正在充电的圆形平板电容器，若不计边缘效应，电磁场输入的功率是???? ??=?=??C q dt d A d S P 22ρ?。(式中C 是电容，q 是极板上的电量，dA 是柱例面上取的面元)。√ 二 选择 1.一个匀速直线运动的负电荷，能在周围空间产生: A ．静电场，静磁场 B ．库仑场，运动电荷的磁场 C ．库仑场，运动电荷的磁场，感应电场 D ．库仑场，运动电荷的磁场，感应电场，感应磁场 2.一平行板电容器的两极半径是5.0cm 的圆导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为2.0×1012V/m·s 。则两极板间的位移电流I D 为： A ．2.0×1012V/m·s B ．17.7A/m 2 C ．1.4×106T D ．1.4×10-1A 3.一平行板电容器的两极板都是半径为5.0cm 的原导体片，在充电时，其中电场强度的变化率为1.0x1012V/m·s 。则极板边缘的磁感应强度为： A ．2.8×10-7T B ．4.0×106T C.3.54×10-2T D.0 4.半径为R 的半圆平行板电容器接在角频率为ω的简谐交流电路中，电路中的传导电流为i=I 0 sin(ωt+φ)。则电容器极板间的位移电流I 0 为(忽略边缘效应)： A B C D 5 半径为R的圆形平行板电容器接在角频率为ω的简谐交流电路中，电路中的传导电流ⅰ=I 0 sin(ωt+φ)。则电容器极板间磁场强度的分布为； A B C D 6 由两个圆形金属板组成的平行板电容器，其极板面积为A，将该接于一交流电源时，极板上的电荷随时间变化，即q=q m sinωt,则电容器内的位移电流密度为； A B C D 7 由两个圆形金属板组成的平行板电容器，其极板面积为A，将该接于一交流电源时，极板上的电荷随时间变化，即q=q m sinωt,则两板间的磁感应强度分布为： 第二篇 电磁学 第一章 静电场 1-1 解：设正方形的边长为a ，则点电荷Q 所受的电场力分别为 2 12 01 42Q F a πε= ； 232 01 4Qq F F a πε== ； 由于作用在Q 上的力为零，故 2 122 00012cos 4542Q F F a πε==== 从上式可知Q 与q 的关系为 Q =- （带异种电荷） 1-2 解：沿细棒方向建立坐标系，中点为坐标原点O ，距离坐标原点x 处取一线元d x ，带 电量为d d q q x L = 可看做点电荷，它到点电荷0q 的距离为r ，故两点电荷之间的作用力为 0022200d 1 d d 44q q q q x F L r x a πεπε= = + 整个细棒与点电荷0q 的作用力为 ? -+=22 2 2004L L a x dx L q q F πε 根据对称性可知沿x 轴库仑力的分量0=x F 。 沿y 轴库仑力的分量为 L y F == ? 1-3 解：将正的试探电荷0q 放在点)1P -处，根据库仑定律可得试探电荷受到的库仑力为 r e q Q F 4410101πε-= j q Q F y 1 410202πε= 将1F 分解在,x y 方向上有?=30cos 11F F x ，?-=30cos 11F F y 故点)1P -处的场强为 12100 y y x F F F E i j q q += + ，即 j i j Q Q i Q E 6.90149.381645.023160 2101+-=+-=πεπε 大小为E == C N /7.9014 方向为与x 轴正向夹角为?且0043.06 .80146 .38tan -=- =? 1-4 解：（1）沿棒长方向建立坐标，A 为坐标原点。设棒的带电量为q ，在棒上距坐 标原点x 处取线元d x ，带电量为d d q q x L =，则其在距棒B 端为a 处激发的电 第二章 静电场中导体与电介质 一、 选择题 1、 一带正电荷的物体M,靠近一不带电的金属导体N,N 的左端感应出负电荷,右端感应出正电荷。若将N 的左端接地,则: A 、 N 上的负电荷入地。 B 、N 上的正电荷入地。 C 、N 上的电荷不动。 D 、N 上所有电荷都入地 答案:B 2、 有一接地的金属球,用一弹簧吊起,金属球原来不带电。若在它的下方放置一电量为q 的点电荷,则: A 、只有当q>0时,金属球才能下移 B 、只有当q<0就是,金属球才下移 C 、无论q 就是正就是负金属球都下移 D 、无论q 就是正就是负金属球都不动 答案:C 3、 一“无限大”均匀带电平面A,其附近放一与它平行的有一定厚度的“无限大”平面导体板B,已知A 上的电荷密度为σ+,则 在导体板B 的两个表面1与2上的感应电荷面密度为: A 、σσσσ+=-=21, B 、σσσσ2 1 ,2121 +=-= C 、σσσσ2 1 ,2121 -=-= D 、0,21 =-=σσσ 答案:B 4、 半径分别为R 与r 的两个金属球,相距很远。用一根细长导线将两球连接在一起并使它们带电。在忽略导线的影响下,两球表面 的电荷面密度之比r R σσ为: A 、r R B 、2 2 r R C 、2 2 R r D 、R r 答案:D 5、 一厚度为d 的“无限大”均匀带电导体板,电荷面密度为σ,则板的两侧离板距离均为h 的两点a,b 之间的电势差为() A 、零 B 、 2εσ C 、 0εσh D 、0 2εσh 答案:A 6、 一电荷面密度为σ 的带电大导体平板,置于电场强度为0E (0E 指向右边)的均匀外电场中,并使板面垂直于0E 的方向,设外电 场不因带电平板的引入而受干扰,则板的附近左右两侧的全场强为() A 、0000 2,2εσ εσ+- E E B 、0000 2,2εσ εσ++ E E C 、0 000 2,2εσεσ-+ E E D 、0 000 2,2εσεσ-- E E 答案:A 7、 A,B 为两导体大平板,面积均为S,平行放置,A 板带电荷+Q 1,B 板带电荷+Q 2,如果使B 板接地,则AB 间电场强度的大 小E 为() A 、 S Q 01 2ε B 、 S Q Q 0212ε- C 、 S Q 01ε D 、 S Q Q 0212ε+ 答案:C 8、带电时为q 1的导体A 移近中性导体B,在B 的近端出现感应电荷q 2,远端出现感应电荷q 3,这时B 表面附近P 点的场强为n E ?0 εσ= ,问E 就是谁的贡献？() 习题五(第二章 静电场中的导体与电介质) 1、在带电量为Q 的金属球壳内部,放入一个带电量为q 的带电体,则金属球壳内 表面所带的电量为 - q ,外表面所带电量为 q +Q 。 2、带电量Q 的导体A 置于外半径为R 的导体 球壳B 内,则球壳外离球心r 处的电场强度大小 204/r Q E πε=,球壳的电势R Q V 04/πε=。 3、导体静电平衡的必要条件就是导体内部场强为零。 4、两个带电不等的金属球,直径相等,但一个就是空心,一个就是实心的。现使它们互相接触,则这两个金属球上的电荷( B )。 (A)不变化 (B)平均分配 (C)空心球电量多 (D)实心球电量多 5、半径分别R 与r 的两个球导体(R ＞r)相距很远,今用细导线把它们连接起来,使两导体带电,电势为U 0,则两球表面的电荷面密度之比σR /σr 为 ( B ) (A) R/r (B) r/R (C) R 2/r 2 (D) 1 6、有一电荷q 及金属导体A,且A 处在静电平衡状态,则( C ) (A)导体内E=0,q 不在导体内产生场强; (B)导体内E ≠0,q 在导体内产生场强; (C)导体内E=0,q 在导体内产生场强; (D)导体内E ≠0,q 不在导体内产生场强。 7、如图所示,一内半径为a,外半径为b 的金属球壳,带有电量Q, 在球壳空腔内距离球心为r 处有一点电荷q,设无限远 处为电势零点。试求: (1)球壳外表面上的电荷; (2)球心O 点处由球壳内表面上电荷产生的电势; (3)球心O 点处的总电势。 解: (1) 设球壳内、外表面电荷分别为q 1 , q 2,以O 为球心作一半径为R (a 【金版学案】2015-2016学年高中物理第二章第四节麦克斯韦电 磁场理论练习粤教版选修1-1 ?达标训练 1。根据麦克斯韦电磁场理论，以下说法正确的是( ) A.磁场周围一定产生电场，电场周围一定产生磁场 B.均匀变化的电场产生均匀变化的磁场，均匀变化的磁场产生均匀变化的电场 C.周期性变化的磁场产生同频率周期性变化的电场，周期性变化的电场产生同频率周期性变化的磁场 D。磁场和电场共同存在的空间一定是电磁场 答案:C 2.关于电磁场和电磁波的正确说法是( ) A。电场和磁场总是相互联系的,它们统称为电磁波 B。电磁场由发生的区域向远处传播形成电磁波 C。在电场周围一定产生磁场,磁场周围一定产生电场 D.电磁波是一种波,声波也是一种波，理论上它们是同种性质的波 解析：电磁场由发生的区域向远处的传播形成电磁波。 答案:B 3.电磁场理论预言了电磁波的存在。建立电磁场理论的科学家是( ) A。法拉第 B。麦克斯韦 C。奥斯特 D.安培 解析：最先建立完整的电磁场理论并预言电磁波存在的科学家是麦克斯韦. 答案：B 4。1888年，用实验证实电磁波的存在，使人们认识物质存在的另一种形式，这位物理学家是（） A.赫兹 B.奥斯特 C.麦克斯韦 D.法拉第 答案:A 5.关于电磁场和电磁波，下列说法中正确的是( ) A.电磁场由发生区域向远处的传播就是电磁波 B。在电场的周围总能产生磁场，在磁场的周围总能产生电场 C.电磁波是一种物质，只能在真空中传播 D.电磁波传播的速度总是3、0×108 m/s 解析：根据麦克斯韦电磁场理论,变化的电场(或磁场)产生磁场(或电场),变化的电磁场由发生区域向远处传播就形成电磁波,电磁波在真空中传播速度最大,选A、答案:A 6。关于电磁波，下列说法正确的是（） A.所有电磁波的频率相同 B.电磁波只能在真空中传播 C。电磁波在任何介质中的传播速度相同 D。电磁波在真空中的传播速度是3×108 m/s 解析:电磁波有各种各样的频率,可以在不同的介质中传播,但在真空中传播速度最大，c＝3×108 m/s、 第二章 导体周围的静电场 重点 1、电场与物质相互作用: 2、本章: 金属导体， 静电场 3、根据: 高斯定理、环路定理 §1 静电场中的导体 1. 导体的电性质 (经典观点) 导体静电平衡：无宏观电流, 电荷分布不再改变——静电场 宏观电荷分布—带电 2. 导体静电平衡条件 E 内=E 外+E ’=0 3. 导体静电平衡时的性质 导体内部无电荷，电荷在表面层(面密度σ) 导体为等位体, 表面为等位面 导体表面外附近电场 ⊥ 表面 导体表面场强为: E 表=σε0 n 4. 静电场问题的唯一性定理 1 唯一性定理 唯一性问题: (1)电荷自动调整，电场唯一吗？ (2)边界条件确定, 域内电荷分布不变, 域内电场唯一吗？ 唯一性定理: 适当的物理条件确定之后，在给定区域V 内电场的稳定分布（静电平衡下的分布）是唯一的． 适当的物理条件: U ?S or E n ?S 确定; V 内除导体外电荷分布确定；导体总电荷or 电位确定 2 唯一性定理意义 (1)若有一个解就是 唯一的解. (2)指出决定解的因素. (3)V 外电荷分布改变(上述条件不变)则解不变 3 唯一性定理简略证明(介绍) U ?S 给定的边界条件 设在同一条件下有两解,证明两解相同 对导体第一种情况的证明 5. 例 ＂猜出＂可能的解, 就是唯一的真的解 1. 已知孤立导体总电荷q ，求: 电荷分布σ (1)半径为R 的球体总电荷q “猜”：q 均匀分布在球的外表面上 σ=q/4πR 2 则：E 内=0 是解，且唯一 (2)无限大带电导体平板 “猜”：q E 总=σ/ε0=q/(2ε0S) E 总=0 所猜即为解 (3)一般形状 ——由实验测量 2. 外电场中的中性导体 匀强电场中的球形导体 当σ(θ)=σ0cos θ 时, 导体内电场匀强为 E ’内= -σ0 z /3ε0 若σ0=3ε0 E 0 E 内=E 0+E ’=0 此即唯一解 3. 外电场中的带电导体 导体大平板A 、B, 面积S, 带电为Q A 、Q B . 设: 电荷在表面均匀分布 (σ1-σ2-σ3-σ4)/2ε0=0 (σ1+σ2+σ3-σ4)/2ε0=0 S(σ1+σ2)=Q A S (σ3+σ4)=Q B σ1=σ4=(Q A +Q B ) /2 σ2= -σ3=(Q A -Q B )/2 6. 电象法简介 个别点电荷情况下，计算导体上感应电荷的一种简单方法——电象法 例1: 半径为R 的接地导体球，点电荷q 距导体球中心d. 保持导体表面为零等位面, 球面外部的场不变, q’代替感应电荷对外部场的作用 (1) 确定q’ U(r=R)=q/(4πε0b)+q’/(4πε0b ’)=0 R 1234 第六章 麦克斯韦电磁场理论 电磁波 电磁单位制 第1节 麦克斯韦电磁理论 一、电流密度（复习） 电流密度??? ??=⊥dS dI j j 大小：方向：沿电流方向 SI ：2 /m A dS j jdS jdS dI n ===⊥θcos S d j dI ?= ???==S S d j dI I 电流强度等于电流密度的通量 二、位移电流 ??=ΦS D S d D D ，2/m C ；D Φ，C 曲面固定，电场随时间变化 ??????=ΦS S D S d t D S d D dt d dt d 曲面固定 t D ?? ：22//m A s m C =）（， 位移电流密度：t D j D ??= dt d D Φ：A s C =/， 位移电流：dt d I D D Φ= S d j I S D D ?=? E D ε=，t D j D ??= =t E ?? ε，真空中，t D j D ??= =t E ?? 0ε 位移电流的本质是变化的电场 三、静电场和稳恒磁场 静电场， ?∑=?S f q S d D 内 ）（ 1，?=?L l d E 01 ）（ 稳恒磁场， ?=?S S d B 01 ） （， ? ∑=?L I l d H 内 传）（ 1 四、两个假说 1、涡旋电场假说：变化的磁场产生涡旋电场 S d t B dt d l d E S L m ???-=Φ-=???） （2 涡旋电力线的环绕方向 ?与t B ??/ 满足左手定则 2(E t B ?/ ?=?S S d D 02 ）（ 2、位移电流假说 ?Φ= =?L D D dt d I l d H ）（2????=S S d t D ) 2(H 线的环绕方向 t ? 与t D ??/ 满足右手定则 (H t D ?/ ?=?S S d B 02 ） （ 变化的电场产生磁场 电荷→电场 ↓↑ 电磁场 运动电荷→磁场 五、麦克斯韦方程组的积分形式 静电场： )1(E 、) 1(D ， 传导电流的磁场：)1(B 、)1(H 涡旋电场：)2(E 、)2(D ， 位移电流的磁场：) 2(B 、)2(H )2()1(D D D +=，)2()1(E E E +=，)2()1(B B B +=，)2()1(H H H += ?∑??=?+?=?S f S S q S d D S d D S d D 内 ）（ )2(1 电场的高斯定理 ???Φ-=?+?=?L m L L dt d l d E l d E l d E )2(1） （ 法拉第电磁感应定律 ???=?+?=?S S S S d B S d B S d B 0)2(1 ） （ 磁场的高斯定理 全内传）（I dt d I l d H l d H l d H D L L L =Φ+=?+?=??∑?? )2(1 全电流安培环路定律 D I I I +=∑内 传全：全电流，不包括磁化电流 ∑?=?内 f S q S d D dt d l d E m L Φ-=?? 0=??S S d B dt d I l d H D L Φ+=?∑?内 传 E D ε=，H B μ=，j 洛仑兹力公式B V q E q F ?+= 变化的电磁场在空间传播?电磁波 真空中电磁波的波速s m c /1031 80 0?≈=με=真空光速 光是电磁波，（麦克斯韦1865），1888，赫兹实验工程电磁场基本知识点
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