高考数学考点归纳之椭圆
一、基础知识
1.椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数
2a(2a>|F1F2|)的动点P的轨迹叫做椭圆,这两个定点F1,F2叫做椭圆的焦点.
2.椭圆的标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在x轴上的椭圆
的标准方程为x2
a2+y2
b2=1(a>b>0).
(2)中心在坐标原点,焦点在y轴上的椭圆
的标准方程为y2
a2+x2
b2=1(a>b>0).
3.椭圆的几何性质
?长轴与短轴的交点叫做椭圆的中心.
?离心率表示椭圆的扁平程度.当e越接近于1时,c越接近于a,从而b=a2-c2越小,因此椭圆越扁.
二、常用结论
(1)过椭圆焦点垂直于长轴的弦是最短的弦,长为2b 2
a ,过焦点最长弦为长轴.
(2)过原点最长弦为长轴长2a ,最短弦为短轴长2b .
(3)与椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)有共焦点的椭圆方程为x 2a 2+λ+y 2
b 2+λ=1(λ>-b 2).
(4)焦点三角形:椭圆上的点P (x 0,y 0)与两焦点F 1,F 2构成的△PF 1F 2叫做焦点三角形.若r 1=|PF 1|,r 2=|PF 2|,∠F 1PF 2=θ,△PF 1F 2的面积为S ,则在椭圆x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)中:
①当r 1=r 2,即点P 为短轴端点时,θ最大;
②S =1
2|PF 1||PF 2|sin θ=c |y 0|,当|y 0|=b ,即点P 为短轴端点时,S 取得最大值,最大值为
bc ;
③△PF 1F 2的周长为2(a +c ).
第一课时 椭圆及其性质 考点一 椭圆的标准方程
[典例] (1)已知椭圆的中心在原点,焦点在x 轴上,长、短半轴长之和为10,焦距为45,则椭圆的标准方程为( )
A.x 26+y 2
4=1 B.x 216+y 2
36=1 C.x 236+y 2
16
=1 D.x 249+y 2
9
=1 (2)已知中心在坐标原点的椭圆过点A (-3,0),且离心率e =5
3
,则椭圆的标准方程为________.
[解析] (1)由长、短半轴长之和为10,焦距为45,可得a +b =10,2c =45,∴c =2 5.又
a 2=
b 2+
c 2,∴a 2=36,b 2=16.∵焦点在
x 轴上,∴所求椭圆方程为x 236+y 2
16
=1.故选C.
(2)若焦点在x 轴上,由题知a =3,因为椭圆的离心率e =
5
3
,所以c =5,b =2,所以椭圆方程是x 29+y 24=1.若焦点在y 轴上,则b =3,a 2-c 2=9,又离心率e =c a =5
3
,解得
a 2
=814,所以椭圆方程是y 2814
+x 2
9
=1.
[答案] (1)C (2)x 29+y 24=1或y 2814+x 2
9
=1
[题组训练]
1.(2018·济南一模)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0),若长轴长为6,且两焦点恰好将
长轴三等分,则此椭圆的标准方程为( )
A.x 236+y 2
32=1 B.x 29+y 2
8=1 C.x 29+y 2
5
=1 D.x 216+y 2
12
=1 解析:选B 椭圆长轴长为6,即2a =6,得a =3, ∵两焦点恰好将长轴三等分, ∴2c =1
3·2a =2,得c =1,
∴b 2=a 2-c 2=9-1=8,
∴此椭圆的标准方程为x 29+y 2
8
=1.故选B.
2.椭圆C 的中心在原点,焦点在x 轴上,若椭圆C 的离心率等于1
2,且它的一个顶点
恰好是抛物线x 2=83y 的焦点,则椭圆C 的标准方程为______________.
解析:由题意设椭圆的方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0).
由题设知抛物线的焦点为(0,23),所以椭圆中b =2 3. 因为e =c a =1
2
,所以a =2c ,
又a 2-b 2=c 2
,联立????
?
a =2c ,
b =23,
a 2-
b 2=
c 2,
解得c =2,a =4,
所以椭圆C 的标准方程为x 216+y 2
12=1.
答案:x 216+y 2
12
=1
3.已知椭圆中心在原点,且经过A (3,-2)和B (-23,1)两点,则椭圆的标准方程为________.
解析:设所求椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m >0,n >0,m ≠n ).
依题意有?
????
3m +4n =1,
12m +n =1,解得
???
m =115
,
n =15.
∴所求椭圆的方程为x 215+y 2
5=1.
答案:x 215+y 2
5=1
考点二 椭圆的定义及其应用
[典例] (1)(2019·郑州第二次质量预测)已知椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点
分别为F 1,F 2,离心率为2
3,过F 2的直线l 交C 于A ,B 两点,若△AF 1B 的周长为12,则
椭圆C 的标准方程为( )
A.x 23+y 2
=1 B.x 23+y 2
2=1 C.x 29+y 2
4=1 D.x 29+y 2
5
=1
(2)已知点P (x ,y )在椭圆x 236+y 2
100=1上,F 1,F 2是椭圆的两个焦点,若△PF 1F 2的面积
为18,则∠F 1PF 2的余弦值为________.
[解析] (1)由椭圆的定义,知|AF 1|+|AF 2|=2a ,|BF 1|+|BF 2|=2a ,所以△AF 1B 的周长为|AF 1|+|AF 2|+|BF 1|+|BF 2|=4a =12,所以a =3.因为椭圆的离心率e =c a =2
3,所以c =2,所
以
b 2=a 2-
c 2=5,所以椭圆
C 的方程为x 29+y 2
5
=1,故选D.
(2)椭圆x 236+y 2
100=1的两个焦点为F 1(0,-8),F 2(0,8),
由椭圆的定义知|PF 1|+|PF 2|=20,
两边平方得|PF 1|2+|PF 2|2+2|PF 1||PF 2|=202,
由余弦定理得|PF 1|2+|PF 2|2-2|PF 1||PF 2|·cos ∠F 1PF 2=162, 两式相减得2|PF 1||PF 2|(1+cos ∠F 1PF 2)=144. 又S △PF 1F 2=1
2|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2=18,
所以1+cos ∠F 1PF 2=2sin ∠F 1PF 2, 解得cos ∠F 1PF 2=3
5
.
[答案] (1)D (2)3
5
[变透练清]
1.已知椭圆x 225+y 2
16=1上一点P 到椭圆一个焦点F 1的距离为3,则P 到另一个焦点F 2
的距离为( )
A .2
B .3
C .5
D .7
解析:选D 因为a 2=25,所以2a =10,由定义知,|PF 1|+|PF 2|=10,所以|PF 2|=10-|PF 1|=7.
2.(变结论)若本例(2)条件不变,则△PF 1F 2的内切圆的面积为________.
解析:由椭圆的定义可知△PF 1F 2的周长的一半为a +c =18,所以由三角形的面积公式S =pr (其中p ,r 分别为三角形的周长一半,内切圆的半径),得r =1,所以△PF 1F 2的内切圆的面积为π.
答案:π
考点三 椭圆的几何性质
考法(一) 求椭圆离心率的值(或范围)
[典例] (1)(2018·全国卷Ⅱ)已知F 1,F 2是椭圆C 的两个焦点,P 是C 上的一点.若PF 1
⊥PF 2,且∠PF 2F 1=60°,则C 的离心率为( )
A .1-3
2
B .2-3 C.
3-1
2
D.3-1
(2)已知椭圆E :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的右焦点为F ,短轴的一个端点为M ,直线l :3x
-4y =0交椭圆E 于A ,B 两点.若|AF |+|BF |=4,点M 到直线l 的距离不小于4
5,则椭圆E
的离心率的取值范围是( )
A.?
??
?0,
32 B.????0,34 C.??
?
?
32,1
D.????34,1
[解析] (1)在Rt △PF 1F 2中,∠PF 2F 1=60°, 不妨设椭圆焦点在x 轴上,且焦距|F 1F 2|=2, 则|PF 2|=1,|PF 1|=3,
由椭圆的定义可知,在方程x 2a 2+y 2
b 2=1中,
2a =1+3,2c =2,得a =1+3
2,c =1,
所以离心率e =c a =2
1+3
=3-1.
(2)根据椭圆的对称性及椭圆的定义可得A ,B 两点到椭圆的左、右焦点的距离和为4a =2(|AF |+|BF |)=8,所以a =2.又d =|3×0-4×b |32+(-4)2≥45,所以1≤b <2,所以e =c
a =
1-b 2
a
2
=
1-b 24.因为1≤b <2,所以0<e ≤3
2.
[答案] (1)D (2)A
[解题技法] 求椭圆离心率的方法
(1)定义法:根据条件求出a ,c ,直接利用公式e =c
a
求解.
(2)方程法:根据条件得到关于a ,b ,c 的齐次等式(不等式),结合b 2=a 2-c 2转化为关于a ,c 的齐次等式(不等式),然后将该齐次等式(不等式)两边同时除以a 或a 2转化为关于e 或e 2的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e (e 的取值范围).
考法(二) 与椭圆性质有关的最值问题
[典例] 已知点F 1,F 2分别是椭圆x 225+y 2
16=1的左、右焦点,点M 是该椭圆上的一个动
点,那么|MF 1―→+MF 2―→
|的最小值是( )
A .4
B .6
C .8
D .10 [解析] 设M (x 0,y 0),F 1(-3,0),F 2(3,0). 则MF 1―→=(-3-x 0,-y 0),MF 2―→
=(3-x 0,-y 0), 所以MF 1―→+MF 2―→
=(-2x 0,-2y 0), |MF 1―→+MF 2―→|=4x 20+4y 20=
4×25???
?1-y 2
16+4y 20= 100-94
y 2
0,
因为点M 在椭圆上,所以0≤y 20≤16, 所以当y 20=16时,|MF 1―→+MF 2―→|取最小值为8. [答案] C
[解题技法] 椭圆几何性质的应用技巧
(1)与椭圆的几何性质有关的问题要结合图形进行分析,即使不画出图形,思考时也要联想到图形.
(2)椭圆相关量的范围或最值问题常常涉及一些不等式.例如,-a ≤x ≤a ,-b ≤y ≤b,0<e <1,三角形两边之和大于第三边,在求椭圆相关量的范围或最值时,要注意应用这些不等关系.
[题组训练]
1.(2018·贵阳摸底)P 是椭圆x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)上的一点,A 为左顶点,F 为右焦点,
PF ⊥x 轴,若tan ∠P AF =1
2
,则椭圆的离心率e 为( )
A.23
B.22
C.33
D.12
解析:选D 不妨设点P 在第一象限,因为PF ⊥x 轴,所以x P =c ,将x P =c 代入椭圆方程得y P =b 2a ,即|PF |=b 2a ,则tan ∠P AF =|PF ||AF |=b 2a a +c =1
2,结合b 2=a 2-c 2,整理得2c 2+ac
-a 2=0,两边同时除以a 2得2e 2+e -1=0,解得e =1
2
或e =-1(舍去).故选D.
2.已知P 在椭圆x 24+y 2
=1上,A (0,4),则|P A |的最大值为( )
A.
2183
B.763 C .5
D .25
解析:选C 设P (x 0,y 0),则由题意得x 20
4
+y 20=1, 故x 20=4(1-y 20), 所以|P A |2=x 20+(y 0-4)2 =4(1-y 20)+y 20-8y 0
+16 =-3y 20-8y 0+20 =-3????y 0+432+76
3, 又-1≤y 0≤1,
所以当y 0=-1时,|P A |2取得最大值25, 即|P A |最大值为5.故选C.
3.已知F 1,F 2分别是椭圆C :x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0)的左、右焦点,若椭圆C 上存在点P ,
使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2,则椭圆C 的离心率的取值范围是( )
A.????23,1
B.????13,2
2 C.????13,1 D.???
?0,13
解析:选C 如图所示, ∵线段PF 1的中垂线经过F 2, ∴|PF 2|=|F 1F 2|=2c , 即椭圆上存在一点P , 使得|PF 2|=2c . ∴a -c ≤2c <a +c . ∴e =c a ∈????
13,1.
[课时跟踪检测]
A 级
1.椭圆以x 轴和y 轴为对称轴,经过点(2,0),长轴长是短轴长的2倍,则椭圆的标准方程为( )
A.x 24+y 2
=1 B.y 216+x 2
4
=1 C.x 24+y 2=1或y 216+x 2
4=1 D.x 24+y 2=1或y 24
+x 2
=1 解析:选C 由题意知,椭圆的长轴长是短轴长的2倍,即a =2b .因为椭圆经过点(2,0),所以若焦点在x 轴上,则a =2,b =1,椭圆的标准方程为x 24+y 2
=1;若焦点在y 轴上,则a
=4,b =2,椭圆的标准方程为y 216+x 2
4
=1,故选C.
2.已知方程x 2|m |-1+y 2
2-m =1表示焦点在y 轴上的椭圆,则m 的取值范围为( )
A.?
???-∞,3
2 B .(1,2)
C .(-∞,0)∪(1,2)
D .(-∞,-1)∪???
?1,3
2 解析:选D 依题意得不等式组????
?
|m |-1>0,2-m >0,
2-m >|m |-1,
解得m <-1或1<m <3
2
,故选D.
3.已知椭圆的方程为2x 2+3y 2=m (m >0),则此椭圆的离心率为( ) A.13 B.33
C.22
D.12
解析:选B 由题意得椭圆的标准方程为x 2m 2+y 2
m 3=1,
所以a 2=m 2,b 2=m
3,
所以
c 2=a 2-b 2=
m 6,e 2=c 2a 2=13,e =3
3
. 4.已知椭圆C :x 24+y 2
3=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥
F 1F 2,若点P 是椭圆C 上的动点,则F 1P ―→·F 2A ―→
的最大值为( )
A.32
B.332
C.94
D.154
解析:选B 由椭圆方程知c =1, 所以F 1(-1,0),F 2(1,0).
因为椭圆C 上的点A 满足AF 2⊥F 1F 2,则可设A (1,y 0), 代入椭圆方程可得y 20=94,所以y 0=±3
2
. 设P (x 1,y 1),则F 1P ―→=(x 1+1,y 1),F 2A ―→
=(0,y 0), 所以F 1P ―→·F 2A ―→
=y 1y 0.
因为点P 是椭圆C 上的动点,所以-3≤y 1≤3,
故F 1P ―→·F 2A ―→
的最大值为332
.
5.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1,则椭圆长轴长的最小值为( )
A .1 B.2 C .2
D .22
解析:选D 设a ,b ,c 分别为椭圆的长半轴长,短半轴长,半焦距,依题意知,当三角形的高为b 时面积最大,所以1
2×2cb =1,bc =1,而2a =2b 2+c 2≥22bc =22(当且仅
当b =c =1时取等号),故选D.
6.(2019·惠州调研)设F 1,F 2为椭圆x 29+y 2
5=1的两个焦点,点P 在椭圆上,若线段PF 1
的中点在y 轴上,则|PF 2|
|PF 1|
的值为( )
A.514
B.59
C.49
D.513
解析:选D 如图,设线段PF 1的中点为M ,因为O 是F 1F 2的中点,所以OM ∥PF 2,可得PF 2⊥x 轴,|PF 2|=b 2a =5
3,|PF 1|=2a -|PF 2|
=133,故|PF 2||PF 1|=513
,故选D. 7.已知椭圆x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的一个焦点是圆x 2+y 2-6x +8=0的圆心,且短轴长为8,
则椭圆的左顶点为________.
解析:∵圆的标准方程为(x -3)2+y 2=1,
∴圆心坐标为(3,0),∴c =3.又b =4,∴a =b 2+c 2=5. ∵椭圆的焦点在x 轴上,∴椭圆的左顶点为(-5,0). 答案:(-5,0)
8.过点A (3,-2)且与椭圆x 29+y 2
4
=1有相同焦点的椭圆方程为________.
解析:法一:设所求椭圆方程为x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0),则a 2-b 2=c 2=5,且9a 2+4
b 2=1,
解方程组?????
a 2-
b 2=5,9a 2+4b 2
=1,得a 2=15,b 2
=10,故所求椭圆方程为x 215+y 2
10=1.
法二:椭圆x 29+y 24=1的焦点坐标为(±5,0),设所求椭圆方程为x 2λ+5+y 2
λ
=1(λ>0),代
入点A (3,-2)得9λ+5+4λ=1(λ>0),解得λ=10或λ=-2(舍去),故所求椭圆方程为x 215+
y 2
10=1.
答案:x 215+y 2
10
=1
9.已知△ABC 的顶点A (-3,0)和顶点B (3,0),顶点C 在椭圆x 225+y 216=1上,则
5sin C
sin A +sin B =________.
解析:由椭圆x 225+y 2
16=1知长轴长为10,短轴长为8,焦距为6,则顶点A ,B 为椭圆
的两个焦点.在△ABC 中,设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,则c =|AB |=6,a +b =|BC |+|AC |=10,由正弦定理可得5sin C sin A +sin B =5c
a +
b =5×610
=3.
答案:3
10.点P 是椭圆上任意一点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,∠F 1PF 2的最大值是60°,则椭圆的离心率e =________.
解析:如图所示,当点P 与点B 重合时,∠F 1PF 2取得最大值60°,此时|OF 1|=c ,|PF 1|=|PF 2|=2c .由椭圆的定义,得|PF 1|+|PF 2|=4c =2a ,所以椭圆的离心率e =c a =12
.
答案:12
11.已知椭圆的长轴长为10,两焦点F 1,F 2的坐标分别为(3,0)和(-3,0). (1)求椭圆的标准方程;
(2)若P 为短轴的一个端点,求△F 1PF 2的面积. 解:(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0),
依题意得?
????
2a =10,
c =3,因此a =5,b =4,
所以椭圆的标准方程为x 225+y 2
16=1.
(2)易知|y P |=4,又c =3,
所以S △F 1PF 2=12|y P |×2c =1
2
×4×6=12.
12.已知焦点在x 轴上的椭圆x 24+y 2b 2=1的离心率e =1
2
,F ,A 分别是椭圆的左焦点和右
顶点,P 是椭圆上任意一点,求PF ―→·P A ―→
的最大值和最小值.
解:设P 点坐标为(x 0,y 0). 由题意知a =2, ∵e =c a =1
2,∴c =1,
∴b 2=a 2-c 2=3, ∴椭圆方程为x 24+y 2
3=1.
∴-2≤x 0≤2.
又F (-1,0),A (2,0),PF ―→=(-1-x 0,-y 0),P A ―→
=(2-x 0,-y 0), ∴PF ―→·P A ―→=x 20-x 0-2+y 20 =14x 20-x 0+1=14
(x 0-2)2. 当x 0=2时,PF ―→·P A ―→
取得最小值0, 当x 0=-2时,PF ―→·P A ―→
取得最大值4.
B 级
1.若椭圆b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2(a >b >0)和圆x 2+y 2=????b 2+c 2
有四个交点,其中c 为椭圆的半焦距,则椭圆的离心率e 的取值范围为( )
A.???
?
55,35
B.?
??
?0,
25 C.????
25
,35 D.??
??
35
,55 解析:选A 由题意可知,椭圆的上、下顶点在圆内,左、右顶点在圆外,
则???
a >b
2
+c ,b <b
2+c ,
整理得?????
(a -c )2>14(a 2-c 2),a 2-c 2<2c ,
解得55<e <3
5
.
2.(2018·南昌摸底考试)P 为椭圆x 225+y 2
9=1上一点,F 1,F 2分别是椭圆的左、右焦点,
过P 点作PH ⊥F 1F 2于点H ,若PF 1⊥PF 2,则|PH |=( )
A.254
B.83 C .8
D.94
解析:选D 由椭圆x 225+y 2
9=1得a 2=25,b 2=9,
则c =a 2-b 2=25-9=4, ∴|F 1F 2|=2c =8.
由椭圆的定义可得|PF 1|+|PF 2|=2a =10, ∵PF 1⊥PF 2,∴|PF 1|2+|PF 2|2=64.
∴2|PF 1|·|PF 2|=(|PF 1|+|PF 2|)2-(|PF 1|2+|PF 2|2)=100-64=36, ∴|PF 1|·|PF 2|=18.
又S △PF 1F 2=12|PF 1|·|PF 2|=1
2|F 1F 2|·|PH |,
∴|PH |=
|PF 1|·|PF 2||F 1F 2|=9
4
.故选D.
3.已知椭圆C 的两个顶点分别为A (-2,0),B (2,0),焦点在x 轴上,离心率为3
2
. (1)求椭圆C 的方程;
(2)点D 为x 轴上一点,过D 作x 轴的垂线交椭圆C 于不同的两点M ,N ,过D 作AM 的垂线交BN 于点E .求证:△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.
解:(1)设椭圆C 的方程为x 2a 2+y 2
b 2=1(a >b >0).
由题意得????
?
a =2,c a =3
2,解得c = 3.所以b 2=a 2-c 2=1. 所以椭圆C 的方程为x 24
+y 2
=1.
(2)证明:设M (m ,n ),则D (m,0),N (m ,-n ). 由题设知m ≠±2,且n ≠0. 直线AM 的斜率k AM =
n
m +2
, 故直线DE 的斜率k DE =-m +2
n .
所以直线DE 的方程为y =-
m +2
n
(x -m ). 直线BN 的方程为y =n
2-m
(x -2).
联立???
y =-m +2n
(x -m ),
y =
n
2-m (x -2),
解得点E 的纵坐标y E =-n (4-m 2)
4-m 2+n 2.
由点M 在椭圆C 上,得4-m 2=4n 2, 所以y E =-4
5
n .
又S △BDE =12|BD |·|y E |=2
5|BD |·|n |,
S △BDN =1
2
|BD |·|n |.
所以△BDE 与△BDN 的面积之比为4∶5.