第二章 空间向量与立体几何(A)
(时间：120分钟 满分：150分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．以下命题中，不正确的个数为( )
①|a |－|b |＝|a ＋b |是a ，b 共线的充要条件；②若a∥b ，则存在唯一的实数λ，使a ＝λb ；③若a·b ＝0，b·c ＝0，则a ＝c ；④若a ，b ，c 为空间的一个基底，则a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 构成空间的另一个基底； ⑤|(a·b )·c |＝|a |·|b |·|c |.
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若CA →＝a ，CB →＝b ，CC 1→＝c ，则A 1B →
等于( ) A ．a ＋b －c B ．a －b ＋c C ．－a ＋b ＋c D ．－a ＋b －c 3．已知a ＝(2,4,5)，b ＝(3，x ，y )，若a∥b ，则( ) A ．x ＝6，y ＝15 B ．x ＝3，y ＝
152
C ．x ＝3，y ＝15
D ．x ＝6，y ＝15
2
4．已知空间三点A (0,2,3)，B (－2,1,6)，C (1，－1,5)．若|a |＝3，且a 分别与AB →，AC
→
垂直，则向量a 为( ) A ．(1,1,1)
B ．(－1，－1，－1)
C ．(1,1,1)或(－1，－1，－1)
D ．(1，－1,1)或(－1,1，－1)
5．已知A (－1,0,1)，B (0,0,1)，C (2,2,2)，D (0,0,3)，则sin 〈AB →，CD →
〉等于( ) A ．－23 B.23 C.53 D ．－53
6．在正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若AB ＝
2BB 1，则AB 1与C 1B 所成角的大小为( )
A ．60°
B ．90°
C ．105°
D ．75°
7．若两个不同平面α，β的法向量分别为u ＝(1,2，－1)，v ＝(－3，－6,3)，则( ) A ．α∥β B ．α⊥β
C ．α，β相交但不垂直
D ．以上均不正确
8．若两点A (x,5－x,2x －1)，B (1，x ＋2,2－x )，当|AB →
|取最小值时，x 的值等于( ) A ．19 B ．－87 C.87 D.19
14
9.
如图所示，在四面体P —ABC 中，PC ⊥平面ABC ，AB ＝BC ＝CA ＝PC ，那么二面角
B —AP —
C 的余弦值为( )
A.22
B.33
C.77
D.57
10．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 是AB 的中点，则sin 〈DB 1→，CM →〉的值等于( ) A.12 B.21015 C.23 D.1115
题 号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答 案
二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分) 11．若a ＝(2，－3,5)，b ＝(－3,1，－4)，则|a －2b |＝______.
12．若三点A (1，－2,1)，B (4,2,3)，C (6，－1,4)，则△ABC 的形状是________________． 13．如图所示，
已知正四面体ABCD 中，AE ＝14AB ，CF ＝1
4CD ，则直线DE 和BF 所成角的余弦值为
________．
14．平面α的法向量为(1,0，－1)，平面β的法向量为(0，－1,1)，则平面α与平面β所成二面角的大小为________． 15.
如图所示，已知二面角α—l —β的平面角为θ ? ??
??
θ∈? ????0，π2，AB ⊥BC ，BC ⊥CD ，AB
在平面β内，BC 在l 上，CD 在平面α内，若AB ＝BC ＝CD ＝1，则AD 的长为______． 三、解答题(本大题共6小题，共75分)
16．(12分)在直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AB 1⊥BC 1，CA 1⊥BC 1.求证：AB 1＝CA 1.
17．(12分)已知四边形ABCD 的顶点分别是A (3，－1，2)，B (1，2，－1)，C (－1,1， －3)，D (3，－5,3)．
求证：四边形ABCD 是一个梯形．
18.(12分)
如图所示，在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点．
(1)求证：EF∥平面ACD1；
(2)求异面直线EF与AB所成角的余弦值．
19．(12分)
如图所示，已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD ＝∠BCD.
求证：C1C⊥BD.
20.(13分)
如图，在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB ＝60°，求OA与BC所成角的余弦值．
21．(14分)
如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是棱BC ，CC 1上的点，CF ＝AB ＝2CE ，
AB ∶AD ∶AA 1＝1∶2∶4.
(1)求异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值； (2)证明AF ⊥平面A 1ED ；
(3)求二面角A 1—ED —F 的正弦值．
第二章 空间向量与立体几何(A)
1．C [只有命题④正确．] 2．D
[如图，A 1B →＝AB →－AA 1→＝CB →－CA →－AA 1→＝CB →－CA →
－CC 1→
＝b －a －c .]
3．D
[∵a∥b ，∴存在实数λ，使????
? 3＝2λx ＝4λ
y ＝5λ
，∴?????
x ＝6y ＝15
2
.]
4．C [设a ＝(x ，y ，z )，∵AB →
＝(－2，－1,3)，
AC →＝(1，－3,2)，又|a |＝3，a ⊥AB →
，a ⊥AC →
，
∴????
? x 2＋y 2＋z 2＝3，
－2x －y ＋3z ＝0，x －3y ＋2z ＝0.
∴?????
x ＝1，
y ＝1，z ＝1
或????
?
x ＝－1，
y ＝－1，z ＝－1.
∴a ＝(1,1,1)或a ＝(－1，－1，－1)．] 5．C [∵AB →＝(1,0,0)，CD →
＝(－2，－2,1)， ∴cos 〈AB →
，CD →
〉＝AB →·CD
→
|AB →|·|CD →|
＝－2
3，
∴sin 〈AB →
，CD →
〉＝5
3
.]
6．B [
建立如图所示的空间直角坐标系，设BB 1＝1，则A (0,0,1)，B 1? ??
???62，22，0，
C 1(0，2，0)， B ? ??
???62，22，1.
∴AB 1→＝? ??
???62，22，－1，
C 1B →＝? ??
???62，－22，1，∴AB 1→·C 1B →＝64－24－1＝0，即AB 1与C 1B 所成角的大小为90°.]
7．A [∵v ＝－3u ，∴v ∥u .故α∥β.] 8．C [AB →
＝(1－x,2x －3，－3x ＋3)， 则|AB →|＝1－x
2＋
2x －32＋－3x ＋3
2
＝
14x 2－32x ＋19＝
14? ????x －872＋57
. 故当x ＝87时，|AB →
|取最小值．]
9．C [如图所示，
作BD ⊥AP 于D ，作CE ⊥AP 于E ，设AB ＝1，则易得CE ＝22，EP ＝2
2，PA ＝PB ＝
2，
可以求得BD ＝144，ED ＝2
4
.
∵BC →＝BD →＋DE →＋EC →，
∴BC →2＝BD →2＋DE →2＋EC →2＋2BD →·DE →＋2DE →·EC →＋2EC →·BD →. ∴EC →·BD →＝－14，∴cos 〈BD →，EC →
〉＝－77，
即二面角B —AP —C 的余弦值为7
7.]
10．B
[以D 为原点，DA 、DC 、DD 1分别为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设正方
体棱长为1，易知DB 1→
＝(1,1,1)，CM →
＝? ??
??1，－1
2，0，
故cos 〈DB 1→
，CM →
〉＝15
15
，
从而sin 〈DB 1→，CM →
〉＝21015
.]
11.
258
解析 ∵a －2b ＝(8，－5,13)， ∴|a －2b |＝
82＋－5
2＋132＝
258.
12．不等边的锐角三角形
解析 AB →＝(3,4,2)，AC →＝(5,1,3)，BC →＝(2，－3，1)，AB →·AC →>0，得∠A 为锐角；CA →·CB →
>0，得∠C 为锐角；BA →·BC →>0，得∠B 为锐角，所以△ABC 是锐角三角形且|AB →|＝29，
|AC →|＝35，|BC →|＝
14.
13.4
13
解析 因四面体ABCD 是正四面体，顶点A 在底面BCD 内的射影为△BCD 的垂心，所以有BC ⊥DA ，AB ⊥CD .设正四面体的棱长为4，
则BF →·DE →＝(BC →＋CF →)·(DA →＋AE →)＝0＋BC →·AE →＋CF →·DA →
＋0＝4×1×cos 120°＋1×4×cos 120°＝－4，
BF ＝DE ＝42＋12－2×4×1×cos 60°＝13，
所以异面直线DE 与BF 的夹角θ的余弦值为：
cos θ＝|BF →·DE →|
|BF →||DE →|＝4
13.
14.π3或2π3
解析 设n 1＝(1,0，－1)，n 2＝(0，－1,1)，
则cos 〈n 1，n 2〉＝1×0＋0×－1＋－1×12·2
＝－1
2，
∴〈n 1，n 2〉＝2π
3.因平面α与平面β所成的角与〈n 1，n 2〉相等或互补，所以α与β所
成的角为π3或2π
3.
15.
3－2cos θ
解析 因为AD →＝AB →＋BC →＋CD →
，
所以AD →2＝AB →2＋BC →2＋CD →2＋2AB →·CD →＋2AB →·BC →＋2BC →·CD →
＝1＋1＋1＋2cos(π－θ)＝3－2cos θ. 所以|AD →|＝3－2cos θ， 即AD 的长为
3－2cos θ.
16．证明 以A 为原点，AC 为x 轴，AA 1为z 轴建立空间直角坐标系． 设B (a ，b,0)，C (c,0,0)，A 1(0,0，d )，
则B 1(a ，b ，d )，C 1(c,0，d )，AB 1→
＝(a ，b ，d )，
BC 1→＝(c －a ，－b ，d )，CA 1→
＝(－c,0，d )，
由已知AB 1→·BC 1→
＝ca －a 2－b 2＋d 2＝0，
CA 1→·BC 1→
＝－c (c －a )＋d 2＝0，可得c 2＝a 2＋b 2.
再由两点间距离公式可得： |AB 1|2＝a 2＋b 2＋d 2， |CA 1|2＝c 2＋d 2＝a 2＋b 2＋d 2， ∴AB 1＝CA 1.
17．证明 因为AB →＝(1,2，－1)－(3，－1,2)＝(－2,3，－3)，CD →
＝(3，－5,3)－(－1,1，－3)＝(4，－6,6)，因为－24＝3－6＝－3
6，
所以AB →和CD →
共线，即AB ∥CD .
又因为AD →
＝(3，－5,3)－(3，－1,2)＝(0，－4,1)，
BC →
＝(－1,1，－3)－(1,2，－1)＝(－2，－1，－2)，
因为0－2≠－4－1≠1－2，所以AD →与BC →不平行，
所以四边形ABCD 为梯形． 18．(1)证明
如图所示，分别以DA 、DC 、DD 1所在的直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，由已知得D (0,0,0)，
A (2,0,0)，
B (2,2,0)，
C (0,2,0)，B 1(2,2,2)，
D 1(0,0,2)，
E (1,0,2)，
F (0,2,1)．
易知平面ACD 1的一个法向量是DB 1→
＝(2,2,2)．
又∵EF →＝(－1,2，－1)，由EF →·DB 1→＝－2＋4－2＝0，∴EF →⊥DB 1→. 又∵EF 平面ACD 1，∴EF ∥平面ACD 1. (2)解 ∵AB →
＝(0,2,0)，
cos 〈EF →，AB →
〉＝EF →·AB
→
|EF →||AB →|＝426＝63.
19．证明 设CD →＝a ，CB →＝b ，CC 1→
＝c ， 依题意，|a |＝|b |，
又设CD →，CB →，CC 1→
中两两所成夹角为θ， 于是BD →＝CD →－CB →
＝a －b ，
CC 1→·BD →
＝c ·(a －b )＝c·a －c·b
＝|c||a |cos θ－|c||b |cos θ＝0， 所以C 1C ⊥BD .
20．解 因为BC →＝AC →－AB →
， 所以OA →·BC →＝OA →·AC →－OA →·AB →
＝|OA →||AC →|cos 〈OA →，AC →〉－|OA →||AB →|cos 〈OA →，AB →〉 ＝8×4×cos 135°－8×6×cos 120°＝－16
2＋24.
所以cos 〈OA →
，BC →
〉＝OA →·BC
→
|OA →||BC →|
＝24－1628×5＝
3－2
25.
即OA 与BC 所成角的余弦值为
3－2
25
.
21．(1)解 如图所示，建立空间直角坐标系，点A 为坐标原点．设AB ＝1，依题意得
D (0,2,0)，F (1,2,1)，A 1(0,0,4)，
E ? ??
??
1，32，0.
易得EF →
＝? ??
??0，12，1，A 1D →
＝(0,2，－4)，
于是cos 〈EF →，A 1D →
〉 ＝EF →·A 1D
→
|EF →||A 1D →|
＝－3
5. 所以异面直线EF 与A 1D 所成角的余弦值为3
5.
(2)证明 易知AF →
＝(1,2,1)， EA 1→
＝? ????－1，－32，4，ED →＝? ??
??－1，1
2，0，
于是AF →·EA 1→＝0，AF →·ED →
＝0. 因此，AF ⊥EA 1，AF ⊥ED .
又EA 1∩ED ＝E ，所以AF ⊥平面A 1ED . (3)设平面EFD 的法向量u ＝(x ，y ，z )，
则??
?
u ·EF
→
＝0，u ·ED
→
＝0，即?????
1
2y ＋z ＝0，
－x ＋12y ＝0.
不妨令x ＝1，可得u ＝(1,2，－1)， 由(2)可知，AF →
为平面A 1ED 的一个法向量， 于是cos 〈u ，AF →
〉＝u ·AF
→
|u ||AF →|
＝2
3，
从而sin〈u，AF→〉＝
5 3 .
所以二面角A1—ED—F的正弦值为
5 3 .