必修4第三章三角恒等变换复习课

必修4第三章三角恒等变换复习课

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[核心速填]

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α±β)＝sin_αcos β±cos_αsin_β. cos(α±β)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β. tan(α±β)＝

tan±tan β

1?tan αtan β

.

2．倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin_αcos_α.

cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝

2tan α

1－tan 2α

.

3．半角公式 sin α2＝±1－cos α

2. cos α2＝±1＋cos α

2

. tan α2＝±

1－cos α1＋cos α＝sin α

1＋cos α

＝1－cos αsin α.

4．辅助角公式

(1)a sin α＋b cos α＝a 2

＋b 2

sin(α＋φ)? ?

?

??tan φ＝b a . (2)与特殊角有关的几个结论： sin α±cos α＝2sin ? ????

α±π4， 3sin α±cos α＝2sin ? ????

α±π6， sin α±3cos α＝2sin ? ????

α±π3.

[体系构建]

[题型探究]

三角函数式求值

(1)已知sin ? ????π3－α＝－25，则cos ? ????

2 018π3－2α＝( )

A ．－17

25 B ．－78 C ．1725

D ．78

(2)4cos 50°－tan 40°等于( ) A ． 2 B ．2＋3

2 C ． 3

D ．22－1 (3)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－1

7，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值.

[规律方法] 三角函数求值主要有三种类型，即：

(1)“给角求值”，一般给出的角都是非特殊角，从表面看较难，但仔细观察就会发现这类问题中的角与特殊角都有一定的关系，如和或差为特殊角，当然还有可能需要运用诱导公式.

(2)“给值求值”，即给出某些角的三角函数式的值，求另外一些三角函数的值，这类求值问题关键在于结合条件和结论中的角，合理拆、配角.当然在这个过程中要注意角的范围.

(3)“给值求角”，本质上还是“给值求值”，只不过往往求出的是特殊角的值，在求出角之前还需结合函数的单调性确定角，必要时还要讨论角的范围.

[跟踪训练]

1．若α，β∈? ????3π4，π，sin(α＋β)＝－35，sin ? ????β－π4＝1213，则cos ? ?

?

??α＋π4＝

( )

A ．56

65 B ．－1665 C ．－5665

D ．5665或－1665

2．在△ABC 中，若3cos 2A －B 2＋5sin 2A ＋B

2＝4，则tan A tan B ＝________

三角函数式化简

化简(1)

2cos 4x －2cos 2x ＋12

2tan ? ????π4－x sin 2? ???

?π4＋x ；

(2)? ??

???1tan α2－tan α2·? ??

??1＋tan α·tan α2. [规律方法] 三角函数式化简的基本技巧 (1)sin α，cos α→凑倍角公式． (2)1±cos α→升幂公式．

(3)a sin α＋b cos α→辅助角公式a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2·sin(α＋φ)，其中tan

φ＝b

a 或a sin α＋

b cos α＝

a 2＋

b 2·cos(α－φ)，其中tan φ＝a

b .

[跟踪训练]

3．化简：(1＋sin α＋cos α)? ??

?

?sin α

2－cos α22＋2cos α(180°<α<360°)．

三角恒等式的证明

求证：tan2x＋

1

tan2x＝

2(3＋cos 4x)

1－cos 4x

.

[规律方法]三角恒等式的证明问题的类型及策略

(1)不附加条件的恒等式证明.

通过三角恒等变换，消除三角等式两端的差异.证明的一般思路是由繁到简，如果两边都较繁，则采用左右互推的思路，找一个桥梁过渡.

(2)条件恒等式的证明.

这类问题的解题思路是使用条件，或仔细探求所给条件与要证明的等式之间的内在联系，常用方法是代入法和消元法.

[跟踪训练]

4．已知sin(2α＋β)＝5sin β，求证：2tan(α＋β)＝3tan α.

三角恒等变换的综合应用

已知向量a＝(cos x，sin x)，b＝(3，－3)，x∈[0，π]．

(1)若a∥b，求x的值；

(2)记f(x)＝a·b，求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.

[规律方法]三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

(1)求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝A sin(ωx＋φ)＋k或y＝A cos(ωx ＋φ)＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.

(2)要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.

(3)有时会以向量为背景出题，综合考查向量、三角恒等变换、三角函数知识.

[跟踪训练]

5．已知函数f(x)＝(sin x－cos x)sin 2x

sin x.

(1)求f(x)的定义域及最小正周期；

(2)求f(x)的单调递减区间．

高中数学必修四第三章-三角恒等变换知识点总结

第三章 三角恒等变换 一、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= + ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+ ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++=- ? ()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+- 二、二倍角的正弦、余弦和正切公式： sin 22sin cos ααα =222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±? ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin α αααα=-=-=- ?2 2 1cos 2cos 1cos 2sin 2 2 α α αα+=-=， ?2 cos 21cos 2 αα+= ，2 1cos 2sin 2αα-=． ⑶22tan tan 21tan α αα =-． 三、辅助角公式： () 22sin cos sin α+=++a x b x a b x ， 2 2 2 2 cos sin a b a b a b ???= = ++其中由，决定

四、三角变换方法： （1）角的变换：在三角化简，求值，证明中，表达式中往往出现较多的 相异角，可根据角与角之间的和差，倍半，互补，互余的关系，运用角的变换，沟通条件与结论中角的差异，使问题获解，对角的变形如： ①α2是α的二倍；α4是α2的二倍；α是2α的二倍；2α是4 α的二倍； ②2 304560304515o o o o o o =-=-=； ③()ααββ=+-；④ ()4 24 π π π αα+= --； ⑤2()()()()44 ππ ααβαβαα=++-=+--；等等 （2）函数名称变换：三角变形中，常常需要变函数名称为同名函数。如 在三角函数中正余弦是基础，通常化切为弦，变异名为同名。 （3）“1”的代换：在三角函数运算，求值，证明中，有时需要将常数转 化为三角函数值，例如常数“1”的代换变形有： 221sin cos sin90tan45o o αα=+== （4）幂的变换：降幂是三角变换时常用方法，对次数较高的三角函数式， 一般采用降幂处理的方法。降幂并非绝对，有时需要升幂，如对无理式αcos 1+常用升幂化为有理式。 （5）三角函数式的变换通常从：“角、名、形、幂”四方面入手； 基本原则是：见切化弦，异角化同角，倍角化单角，异名化同名， 高次降低次，特殊值与特殊角的三角函数互化等。

第三章：三角恒等变换中角变换的技巧.

1 三角恒等变换中角变换的技巧 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1 设a B为锐角，且满足cos a=, tan (a— 3= —，求cos B的值. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例2 设a为第四象限的角，若=，贝U tan 2 a=___________________ . 三、注意发现互余角、互补角，利用诱导公式转化角 例3 已知sin=, 0

五、分子、分母同乘以2n sin a求COS acos 2 a cos 4 a ?os 8a??C0S 2n—1 a 的值 例 5 求值：sin 10 sin 30 sin 50 sin 70 ° 4聚焦三角函数最值的求解策略 一、化为y = Asin( 3x+(j)+ B的形式求解 例1求函数f(x =的最值. 例2 求函数y = sin2x + 2sin xcos x + 3cos2x的最小值，并写出y取最小值时x的集合. 二、利用正、余弦函数的有界性求解 例3求函数y =的值域. 例4求函数y =的值域. 三、转化为一元二次函数在某确定区间上求最值 例5 设关于x的函数y= cos 2x —2acos x—2a的最小值为f(a,写出f(a的表达式. 例 6 试求函数y = sin x + cos x + 2sin xcos x + 2 的最值. 四、利用函数的单调性求解 例7求函数y =的最值. 例8 在Rt A ABC内有一内接正方形，它的一条边在斜边BC上，设AB = a, / ABC = 0,△ ABC的面积为P,正方形面积为Q.求的最小值. 易错问题纠错 一、求角时选择三角函数类型不当而致错例1 已知sin话，sin护，a和B都是锐角，求a+ B的值.

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结 第一章三角函数（初等函数二） ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

人教A版高中数学必修四第三章三角恒等变换教案新

第三章三角恒等变换 一、课标要求： 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 1. 了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； 2.理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； 3. 运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化 积公式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用 二、编写意图与特色 1.本章的内容分为两节：“两角和与差的正弦、余弦和正切公式”，“简单的三角恒等变换”，在学习本章之前我们学习了向量的相关知识，因此作者的意图是选择两角差的余弦公式作为基础，运用向量的知识来予以证明，降低了难度，使学生容易接受； 2.本章是以两角差的余弦公式作为基础来推导其它的公式； 3.本章在内容的安排上有明暗两条线，明线是建立公式，学会变换，暗线是发展推理和运算的能力，因此在本章全部内容的安排上，特别注意恰时恰点的提出问题，引导学生用对比、联系、化归的观点去分析、处理问题，强化运用数学思想方法指导设计变换思路的意识； 4.本章在内容的安排上贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末叶的内容”的理念，严格控制了三角恒等变换及其应用的繁、难程度，尤其注意不以半角公式、积化和差、和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 三、教学内容及课时安排建议 本章教学时间约8课时，具体分配如下： 3.1两角和与差的正弦、余弦、和正切公式约3课时 3.2简单的恒等变换约3课时 复习约2课时

人教A版数学必修四第三章三角恒等变换导学案

第三章 三角恒等变换 1.三角恒等变换中角的变换的技巧 三角函数是以角为自变量的函数，因此三角恒等变换离不开角之间的变换.观察条件及目标式中角度间联系，立足消除角之间存在的差异，或改变角的表达形式以便更好地沟通条件与结论使之统一，或有利于公式的运用，化角是三角恒等变换的一种常用技巧. 一、利用条件中的角表示目标中的角 例1.已知cos ? ????π6＋α＝33，求cos ? ??? ?5π6－α的值. 分析.将π6＋α看作一个整体，观察π6＋α与5π 6 －α的关系. 解.∵? ????π6＋α＋? ?? ? ?5π6－α＝π， ∴ 5π6－α＝π－? ?? ??π6 ＋α. ∴cos ? ????5π6－α＝cos ???? ? ?π－? ????π6＋α ＝－cos ? ????π6＋α＝－33，即cos ? ?? ??5π 6－α ＝－33. 二、利用目标中的角表示条件中的角 例 2.设 α 为第四象限角，若sin 3α sin α ＝13 5 ，则tan 2α＝ _______________________________. 分析.要求tan 2α的值，注意到sin 3α＝sin(2α＋α)＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α，代入到sin 3αsin α＝13 5中，首先求出cos 2α的值后，再由同角三角函数之间的关系求出tan 2α. 解析.由sin 3αsin α＝sin (2α＋α)sin α＝sin 2αcos α＋cos 2αsin α sin α ＝2cos 2 α＋cos 2α＝135 . ∵2cos 2 α＋cos 2α＝1＋2cos 2α＝135.∴cos 2α＝45. ∵α为第四象限角，∴2k π＋3π 2<α<2k π＋2π(k ∈Z )， ∴4k π＋3π<2α<4k π＋4π(k ∈Z )，

第三章 三角恒等变换(教案)

三角恒等变换 知识点精讲： 1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式： ⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+； ⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-； ⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ --= +（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβ αβαβ ++= -（()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式： ⑴sin22sin cos ααα=． ⑵ 2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα =-=-=-（ 2cos 21 cos 2 αα+= ， 21cos 2sin 2 α α-= ）． ⑶22tan tan 21tan α αα = -． 3、()sin cos ααα?A +B = +，其中tan ?B = A ． 经典例题： 例 1.已知cos α－sin α＝352，且π<α<32π，求sin2α＋2sin 2 α 1－tan α的值．

例2.设x ∈[0，π3]，求函数y ＝cos(2x －π3)＋2sin(x －π 6)的最值． 例3.已知tan 2 θ＝2tan 2 α＋1，求证：cos2θ＋sin 2 α＝0. 例4.已知向量a ＝(cos 3x 2，sin 3x 2)，b ＝(cos x 2，－sin x 2)，c ＝( 3－1)，其中x ∈R . (1)当a ⊥b 时，求x 值的集合； (2)求|a －c |的最大值． 例5.设函数f (x )＝22cos(2x ＋π 4)＋sin 2 x

高中英语必修四知识点总结

欢迎使用，祝您学有所成。 第一单元 1）achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2）condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions（复数）指一般情况，环境。 in good/poor condition状况好/不好。 out of condition状况不好。 on condition that在……条件下，假使。 on no condition决不。 3）connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 in connection with与……有关。 4）behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behave oneself表现良好，行为良好。 behave as起……作用，表现为……。 5）worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型It is worhtwhile doing/to do sth“干……是值得的”。 6）observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 7）respect 作动词，后直接跟宾语。 respect oneself自重，自尊。 作名词，表示“尊重，尊敬”。have/show respect for意为“对……尊重/尊敬”。 have respect to注意，考虑。 表示“敬意，问候”时，用复数形式，常与give，send，pay连用。 in respect of sth就某方面而言。 with respect to 涉及，关于。 8）argue 表示“争论，辩论”。

数学必修4第三章三角恒等变换综合训练B组及答案

（数学4必修）第三章 三角恒等变换 [综合训练B 组] 一、选择题 1． 设212tan13cos66,,21tan 13a b c ===+ 则有（ ） A ． a b c >> B ． a b c << C ． a c b << D ． b c a << 2． 函数221tan 21tan 2x y x -=+的最小正周期是( ) A ． 4π B ． 2 π C ． π D ． 2π 3． s i n 163s i n 223s i n 253s i n + = （ ） A ． 12- B ． 12 C ． D ． 4． 已知3sin(),45 x π-=则sin 2x 的值为（ ） A ． 1925 B ． 1625 C ． 1425 D ． 725 5． 若(0,)απ∈，且1cos sin 3αα+=-，则cos 2α=( ) A ． 917 B ． C ． D ． 317 6． 函数x x y 24cos sin +=的最小正周期为（ ） A ． 4π B ． 2 π C ． π D ． 2π 二、填空题 1． 已知在ABC ?中，3sin 4cos 6,4sin 3cos 1,A B B A +=+=则角C 的大小为 ． 2． 计算：o o o o o o 80 cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin －＋的值为_______． 3． 函数22sin cos()336 x x y π=++的图象中相邻两对称轴的距离是 ．

4． 函数)(2cos 21cos )(R x x x x f ∈- =的最大值等于 ． 5． 已知)sin()(?ω+=x A x f 在同一个周期内，当3π=x 时，)(x f 取得最大值为2，当 0=x 时，)(x f 取得最小值为2-，则函数)(x f 的一个表达式为______________． 三、解答题 1． 求值：（1）0 00078sin 66sin 42sin 6sin ； （2）00020250cos 20sin 50cos 20sin ++． 2． 已知4A B π+= ，求证：(1tan )(1tan )2A B ++= 3． 求值：94cos log 92cos log 9cos log 222πππ++． 4． 已知函数2()(cos sin cos )f x a x x x b =++ （1）当0a >时，求()f x 的单调递增区间； （2）当0a <且[0, ]2x π∈时，()f x 的值域是[3,4],求,a b 的值．

高中数学必修4知识点总结归纳(人教版最全)

高中数学必修4知识点汇总 第一章：三角函数 1、任意角①正角：按逆时针方向旋转形成的角 ②负角：按顺时针方向旋转形成的角 ③零角：不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<，则sin y r α= ，cos x r α=，()tan 0y x x α=≠． 10、三角函数在各象限的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．

高中英语必修四知识要点归纳

高中英语必修四知识要点归纳高中英语必修四知识要点归纳 1)achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2)condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions(复数)指一般情况，环境。 ingood/poorcondition状况好/不好。 outofcondition状况不好。 onconditionthat在……条件下，假使。 onnocondition决不。 3)connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 inconnectionwith与……有关。

4)behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behaveoneself表现良好，行为良好。 behaveas起……作用，表现为……。 5)worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型Itisworhtwhiledoing/todosth“干……是值得的”。 6)observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 重点短语 1.breakinto闯入，进入 2.uptonow直到现在 4.feel/becontentwith对……满足 5.badlyoff穷的，缺少的` 7.pickout挑选出，辨认出 8.ontheedgeof在…边沿 9.cutoff切断，断绝 10.insilence沉默，不作声 11.makeuseof使用

人教版高中政治必修四知识点总结

政治必修四 第一单元生活智慧与时代精神 1、哲学是系统化，理论化的世界观。是世界观和方法论的统一 世界观决定方法论，方法论体现世界观 2、哲学的基本问题是思维和存在（意识和物质）的关系问题 包括思维和存在的第一性问题（区分唯物主义和唯心主义的唯一标准）和同一性问题（区别可知论和不可知论）。 3、唯物主义： 古代朴素唯物主义：否认世界是神创造的，认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向。（局限性：只是一种猜测，没有科学依据，把物质归结为具体的物质形态。） 近代形而上学唯物主义：把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界本原。（局限性：具有机械性，形而上学性和历史观上的唯心主义等局限性。） 辩证唯物和历史唯物主义：认为世界的本质是物质，物质第一意识第二，意识具有主观能动性。(优点：正确揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求。) 下列说法均属于唯物主义： 天地合气，万物自生。巧妇难为无米之炊。形存则神存，形谢则神灭。 天地合而万物生。实事求是，求真务实。天行有常，不为尧存，不为桀亡。 人病则忧惧，忧惧则鬼出。气者，理之依也。 4、唯心主义： 主观唯心：把人的主观精神（如，人的目的，意识，感觉）夸大为唯一的实在。当成第一性的东西，认为客观事物以及整个世界，都依赖于人的主观精神。 掩耳盗铃。画饼充饥。望梅止渴。物是观念的结合，存在即被感知。 我思故我在。心外无物。宇宙便是吾心，吾心即是真理。 眼开则花明，眼闭则花寂。人的理性为自然立法。心想事成，梦想成真。 客观唯心：把客观精神（如上帝，理念，绝对精神）看作世界的主宰和本原，认为现实的物质世界只是这些客观精神的外化和表现。 道生一，一生二，二生三，三生万物。理生万物。 上第七天创造世界。现实世界是理论世界的影子。 5、辩证法和形而上学 6、马克思主义哲学中国化的重大理论成果：毛泽东思想，邓小平理论，“三个代表”重要思想，科学发展观。

人教版数学必修四 第三章单元练习(附答案)

必修四 第三章 一、选择题： 1．Sin165o等于 （ ） A ． 21 B ．23 C ．426+ D ． 426- 2．Sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ） A ． 23 B ．21 C ．23 D ．-21 3．sin 12π-3cos 12 π的值是． （ ） A ．0 B ． —2 C ． 2 D ． 2 sin 12 5π 4.△ABC 中，若2cosBsinA=sinC 则△ABC 的形状一定是（ ） A ．等腰直角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 5．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ） A ．2-2 B ．2+2 C ．0 D ．1 6．已知cos （α+β）cos （α－β）=3 1，则cos 2α－sin 2β的值为（ ） A ．－ 32 B ．－3 1 C ．31 D ．3 2 7．在△ABC 中，若sin A sin B =cos 22C ，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．不等边三角形 D ．直角三角形 8．sin α+sin β=3 3（cos β－cos α），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（ ） A ．－3π2 B ．－3π C ．3π D ．3π2 9．已知sin （α+β）sin （β－α）=m ，则cos 2α－cos 2β等于（ ） A ．－m B ．m C ．－4m D ．4m

二、填空题． 10． 15tan 115tan 1+-=__________________________． 11．如果cos θ= - 1312 )23,(ππθ∈，那么 cos )4(πθ+=________． 12．已知βα,为锐角，且cos α= 71 cos )(βα+= -1411, 则cos β=_________． 13．tan20o+tan40o+3tan20otan40o的值是____________． 14．函数y=cosx+cos(x+ 3π)的最大值是__________． 三、解答题． 15．若βα,是同一三角形的两个内角，cos β= - 31 ,cos()βα+=-294.求cot α的值． 16．化简 θθθθ2cos 2sin 12cos 2sin 1++-+． 17．求证：2sin （ 4π－x ）·sin （4 π+x ）=cos2x ． 18． 求证：4sin θ·cos 2 2θ=2sin θ+sin2θ．

第三章 三角恒等变换.

第三章三角恒等变换 密云县编写组 第一部分：第三章的教学设计 一、教材分析 1．教学内容 本章学习的主要内容是两角和与差的正弦、余弦、和正切公式，以及运用这些公式进行简单的恒等变换. 三角恒等变换位于三角函数与数学变换的结合点上.通过本章学习，要使学生在学习三角恒等变换的基本思想和方法的过程中，发展推理能力和运算能力，使学生体会三角恒等变换的工具性作用，学会它们在数学中的一些应用. 2．在模块内容体系中的地位和作用 在第一章三角函数的学习的基础上，学习简单的三角变换是对三角函数的进一步深化也是为必修5中的解三角形做铺垫. 3．总体教学目标 （1）了解用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用； （2）理解以两角差的余弦公式导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系； (3)运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公 式（不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用转化的观点去处理问题的自觉性， 体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的应用. 4.重点、难点分析 本章内容的重点是两角差的余弦公式的推导及在推导过程中体现的思想方法，同时也是难点. 5．其他相关问题 本章内容安排贯彻“删减繁琐的计算、人为技巧化的难题和过分强调细枝末节的内容”的理念，严格控制了三角变换及应用的繁、难程度，尤其注意了不以半角公式，积化和差以及和差化积公式作为变换的依据，而只把这些公式的推导作为变换的基本练习. 二、教学方式概述 应以教师为主导学生为主体的启发式教学为主，以学生为主体探究式教学为辅. 三、教学资源概述 充分利用多媒体课件

精选高中政治必修四知识点总结

高中政治必修四知识点总结 第一单元：生活智慧与时代精神 第一课：美好生活的向导 1、哲学智慧的产生与起源： 哲学的智慧产生于人类的实践活动。哲学源于人们对实践的追问和对世界的思考。 2、哲学的本义：爱智慧或追求智慧 3、哲学的任务：正确地看待自然、社会和人生的变化与发展，指导人们正确地认识世界和改造世界 ※4、什么是哲学：哲学是系统化理论化的世界观，哲学是对自然、社会和思维知识的概括和总结。 （1）世界观、方法论的含义和关系： 世界观是人们对整个世界以及人与世界关系的总的看法和根本观点。 方法论是人们认识世界和改造世界的根本原则和根本方法。 关系：世界观决定方法论，方法论体现世界观 （2）哲学是世界观与方法论的统一： 有什么样的世界观就有什么样的方法论。，不存在脱离世界观的方法论，也不存在脱离方法论的世界观。 （3）哲学与世界观的关系： 哲学是系统化、理论化的世界观。 （4）哲学与具体科学的关系： 具体科学是哲学的基础，具体科学的进步推动哲学的发展。哲学为具体科学提供世界观和方法论的指导。

第二课：百舸争流的思想 ※1、什么是哲学的基本问题？它包括哪些内容？ 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。它包括两方面的内容：①思维和存在何者为第一性的问题。②思维和存在有没有同一性的问题。 2、为什么思维和存在的关系问题是哲学的基本问题？ ①哲学的基本问题与我们的生活息息相关②思维和存在的关系问题，是一切哲学都不能回避，必须回答的问题。 ※3、唯物主义和唯心主义的基本观点： 唯物主义：物质是本原，先有物质后有意识，物质决定意识。 唯心主义：意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。 ※4、唯物主义的三种基本形态及其合理性、局限性： 唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物主义。 理解：①古代朴素唯物主义：合理性——否认世界是神创造的认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向，本质上是正确的。局限性——这些观点知识一种可贵的猜测，没有科学依据；它把物质归结为具体的物质形态，着就把复杂问题简单化了。 ②近代形而上学唯物主义：合理性——在总结自然科学成就的基础上，丰富和发展了唯物主义。局限性：它把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，原子的属性就是物质的属性，因而具有机械性、形而上学性和历史观上的威信注意等局限性。

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试卷及答案2套

高中数学必修四第三章《三角恒等变换》测试卷及答案2套 测试卷一 (时间：120分钟 满分：150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分) 1．sin 15°cos 75°＋cos 15°sin 105°等于( ) A ．0 B.12 C.3 2 D ．1 2．若函数f (x )＝sin 2 x －12 (x ∈R )，则f (x )是( ) A ．最小正周期为π 2 的奇函数 B ．最小正周期为π的奇函数 C ．最小正周期为2π的偶函数 D ．最小正周期为π的偶函数 3．已知α∈(π2，π)，sin α＝35，则tan(α＋π 4 )等于( ) A.17 B ．7 C ．－1 7 D ．－7 4．函数f (x )＝sin x －3cos x (x ∈[－π，0])的单调递增区间是( ) A ．[－π，－5π6] B ．[－5π6，－π 6 ] C ．[－π3，0] D ．[－π 6 ，0] 5．化简：sin 60°＋θ＋cos 120°sin θ cos θ 的结果为( ) A ．1 B. 3 2 C. 3 D ．tan θ 6．若f (sin x )＝3－cos 2x ，则f (cos x )等于( ) A ．3－cos 2x B ．3－sin 2x C ．3＋cos 2x D ．3＋sin 2x 7．若函数f (x )＝sin(x ＋π3)＋a sin(x －π6)的一条对称轴方程为x ＝π 2，则a 等于( ) A ．1 B. 3 C ．2 D ．3 8．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2 x ，x ∈R 的值域是( ) A ．[－12，32] B ．[－22＋12，22＋12 ] C ．[－32，12] D ．[－22－12，22－12 ] 9．若3sin θ＝cos θ，则cos 2θ＋sin 2θ的值等于( ) A ．－75 B.75 C ．－35 D.35 10．已知3cos(2α＋β)＋5cos β＝0，则tan(α＋β)tan α的值为( )

新人教版高中数学必修4知识点

新人教版高中数学必修4知识点总结经典

新课标高中数学必修4知识点详细总结 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{}36036090,k k k αα?<

数学必修4第三章

数学必修四第三章测试 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分) 1．已知4cos()5αβ+= ，4 cos()5αβ-=-，则cos cos αβ的值为（ ） Ａ．0 Ｂ．45 Ｃ．0或45 Ｄ．0或45 ± 2. 如果 sin()sin()m n αβαβ+=-，那么tan tan βα等于（ ） Ａ．m n m n -+ Ｂ． m n m n +- Ｃ．n m n m -+ Ｄ．n m n m +- 3．sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于（ ）A ．－12 B.12 C ．－32 D.3 2 4．ππcos sin 44ππcos sin 44x x x x ???? +-+ ? ????????? +++ ? ????? 的值为（ ）Ａ．tan 2x Ｂ．tan 2x Ｃ．tan x - Ｄ．cot x 5．在△ABC 中，如果sinA ＝2sinCcosB ，那么这个三角形是（ ） A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等边三角形 6．若β∈(0,2π)，且1－cos 2β＋1－sin 2β＝sinβ－cosβ，则β的取值范围是（ ） A ．[0，π2] B ．[π2，π] C ．[π，3π2] D ．[π 2，2π] 7．若A B ，为锐角三角形的两个锐角，则tan tan A B 的值（ ） Ａ．不大于1 Ｂ．小于1 Ｃ．等于1 Ｄ．大于1 8．已知θ为第四象限角，sinθ＝－ 3 2，则tanθ等于（ ）A.33 B ．－33 C ．±33 D ．－ 3 9．已知sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ－cosγ＝0，则cos(α－β)的值是（ ） A ．－1 B ．1 C ．－12 D.1 2 10．已知sin(α－β)＝ 1010，α－β是第一象限角，tanβ＝1 2 ，β是第三象限角，则cosα的值等于（ ） A.7210 B ．－7210 C.22 D ．－2 2 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分) 11．若0＜α＜π2，0＜β ＜π2且tanα＝17，tanβ＝3 4，则α＋β的值是________． 12．已知函数f(x)＝(sinx －cosx)sinx ，x ∈R ，则f(x)的最小正周期是________． 13．若π3 sin 25 α??+= ???，则cos2α=______． 14. 函数]),0[)(26 sin( 2ππ ∈-=x x y 为增函数的区间是 。 15．把函数4cos()3 y x π =+的图象向左平移?个单位，所得的图象对应的函数为偶函数，则?的最小正值为

高中政治必修四知识点总结

高中政治必修四知识点总结 第二课：百舸争流的思想 ※1、什么是哲学的基本问题？它包括哪些内容？ 哲学的基本问题是思维和存在的关系问题。它包括两方面的内容：①思维和存在何者为第一性的问题。②思维和存在有没有同一性的问题。 2、为什么思维和存在的关系问题是哲学的基本问题？ ①哲学的基本问题与我们的生活息息相关②思维和存在的关系问题，是一切哲学都不能回避，必须回答的问题。 ※3、唯物主义和唯心主义的基本观点： 唯物主义：物质是本原，先有物质后有意识，物质决定意识。 唯心主义：意识是本原，物质依赖于意识，意识决定物质。 ※4、唯物主义的三种基本形态及其合理性、局限性： 唯物主义的三种基本形态即古代朴素唯物主义、近代形而上学唯物主义、辩证唯物主义和历史唯物主义。 理解：①古代朴素唯物主义：合理性——否认世界是神创造的认为世界是物质的，坚持了唯物主义的根本方向，本质上是正确的。局限性——这些观点知识一种可贵的猜测，没有科学依据；它把物质归结为具体的物质形态，着就把复杂问题简单化了。 ②近代形而上学唯物主义：合理性——在总结自然科学成就的基础上，丰富和发展了唯物主义。局限性：它把物质归结为自然科学意义上的原子，认为原子是世界的本原，原子的属性就是物质的属性，因而具有机械性、形而上学性和历史观上的威信注意等局限性。 ③辩证唯物主义和历史唯物主义：正确地揭示了物质世界的基本规律，反映了社会历史发展的客观要求，反映了最广大人民群众的根本利益。它是现时代的思想智慧，是无产阶级的科学的世界观和方法论，是我们认识世界和改造世界的伟大思想武器。 ※5、唯心主义的两种基本形态：主观唯心、客观唯心 ※6、辩证法和形而上学的斗争从属于唯物主义与唯心主义的斗争 第三课：时代精神的精华 ※1、哲学与经济政治的关系：哲学是经济、政治在精神上的反映。 2、为什么真正的哲学是自己时代的精神上的精华？ ①正确地反映了时代的任务和要求。②牢牢把握了时代的脉搏③正确地总结和概括了时代的时间经验和认识成果。 3、哲学对社会变革的作用： ①通过对社会的弊端、对旧制度和旧思想的批判，更新人的观念，解放人的思想。②预见和指明社会的前进方向，提出社会发展的理想目标，指引人们追求美好的未来，动员和掌握群众，从而转化为变革社会的巨大物质力量。 4、马克思主义哲学产生的阶级基础、自然科学基础和直接理论来源： 阶级基础：无产阶级的产生和发展、

高中英语必修四语法知识点总结

高中英语必修四知识点总结 第一单元 1）achieve 表示“完成，到达”。 区别achieve，reach，gain： achieve着重表示达到一定目的的过程中所需要的技能，耐性和努力。 reach指达到任何目标、目的或指达到发展过程中的某个阶段。 gain强调经过奋斗才达到所期望的目标、优势或者有利地位。 2）condition 表示“条件”，condition为单数时，表示人/物所处的“状态”。 conditions（复数）指一般情况，环境。 in good/poor condition状况好/不好。 out of condition状况不好。 on condition that在……条件下，假使。 on no condition决不。 3）connection 表示“连接，关系”。 connections亲戚。 in connection with与……有关。 4）behave 表示“举止，举动，行为表现”。 behave oneself表现良好，行为良好。 behave as起……作用，表现为……。 5）worthwhile 表示“值得做的，值得出力的”。 句型It is worhtwhile doing/to do sth“干……是值得的”。 6）observe 表示“观察，注意”，可接省略to的不定式的复合结构，当observe用被动语态时，其后的不定式应回复to。 observe后也可接由现在分词构成的复合结构。 后接that从句，表示“注意到，说”。 observe还可以表示“遵守，庆祝”。 7）respect 作动词，后直接跟宾语。 respect oneself自重，自尊。 作名词，表示“尊重，尊敬”。have/show respect for意为“对……尊重/尊敬”。 have respect to注意，考虑。 表示“敬意，问候”时，用复数形式，常与give，send，pay连用。 in respect of sth就某方面而言。 with respect to 涉及，关于。 8）argue 表示“争论，辩论”。

高中数学必修4知识点总结归纳

高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<