随机过程部分习题答案
习题2
2.1 设随机过程b t b Vt t X ),,0(,)(+∞∈+=为常数,)1,0(~N V ,求)(t X 的一维概率密度、均
值和相关函数。 解 因)1,0(~N V
,所以1,0==DV EV ,b Vt t X +=)(也服从正态分布,
b b tEV b Vt E t X E =+=+=][)]([ 22][)]([t DV t b Vt D t X D ==+=
所以
),(~)(2t b N t X ,)(t X 的一维概率密度为
),(,21);(2
22)(+∞-∞∈=
--
x e
t
t x f t b x π,),0(+∞∈t
均值函数 b t X E t m X ==)]([)(
相关函数
)])([()]()([),(b Vt b Vs E t X s X E t s R X ++==
][22b btV bsV stV E +++=
2b st +=
2.2 设随机变量Y 具有概率密度)(y f ,令Yt e t X -=)(,0,0>>Y t ,求随机过程)(t X 的一维概率
密度及),(),(21t t R t EX X 。
解 对于任意0>t
,Yt e t X -=)(是随机变量Y 的函数是随机变量,根据随机变量函数的分布的求法,
}ln {}{})({);(x Yt P x e P x t X P t x F t Y ≤-=≤=≤=-
)ln (1}ln {1}ln {t
x F t x Y P t x Y P Y --=-≤-=-
≥= 对x 求导得
)(t X 的一维概率密度
xt
t x f t x f Y 1
)ln ();(-
=,0>t
均值函数
?
∞
+--===0
)(][)]([)(dy y f e e
E t X E t m yt t
Y X
相关函数
?+∞
+-+---====0
)()(2121)(][][)]()([),(212121dy y f e e E e e E t X t X E t t R t t y t t Y t Y t Y X
2.3 若从0=t 开始每隔
2
1
秒抛掷一枚均匀的硬币做实验,定义随机过程
??
?=时刻抛得反面时刻抛得正面
t t t t t X ,
2),cos()(π 试求:(1))(t X 的一维分布函数),1(),21
(x F x F 和;
(2))(t X 的二维分布函数),;1,2
1
(21x x F ;
(3)
)(t X 的均值)1(),(X X m t m ,方差 )1(),(2
2X X
t σσ。 解 (1)2
1
=
t 时,)
1(X 的分布列为
一维分布函数
????
???≥<≤<=1
,
110,2
10,0),21(x x x x F 1
=t 时,)1(X 的分布列为
一维分布函数
????
???≥<≤--<=2
,
121,
211,0),1(x x x x F (2)由于
)1()21(X X 与相互独立,所以))1(),
1
((X X 的分布列为
二维分布函数
????
?????≥≥<≤-≥≥<≤<≤-<≤-<<=2
,1,121,12,10,
212
1,10,
4110,0),;1,21(212121212121x x x x x x x x x x x x F 或或
(3)t t t t t m X
+=?+=
)cos(21
221)cos(21)(ππ 2
1
)1(=X m
22
2222])cos(2
1[)2(21)(cos 21)]([)]([)(t t t t t EX t X E t X +-+=-=ππσ
)cos()(cos 412)(cos 212
222t t t t t t πππ---+=
)cos()(cos 412
2t t t t ππ-+=
2])cos(21
[t t -=π
4
9)1(2
=X σ
2.4 设有随机过程)sin()cos()(t B t A t X ωω+=,其中ω为常数,B A ,是相互独立且服从正态分布
),0(2σN 的随机变量,求随机过程的均值和相关函数。
解 因
B A ,独立,),0(~2σN A ,),0(~2σN B
所以,2][][,0][][σ====B D A D B E A E
均值
)]sin()cos([)]([)(t B t A E t X E t m X ωω+==
0][)sin(][)cos(=+=B E t A E t ωω
相关函数
[]))sin()cos())(sin()cos(()]()([),(22112121t B t A t B t A E t X t X E t t R X ωωωω++== []1221212212sin cos sin cos sin sin cos cos t t AB t t AB t t B t t A E ωωωωωωωω+++=
][sin sin ][cos cos 221221B E t t A E t t ωωωω+= )sin sin cos (cos 21212t t t t ωωωωσ+=
)(cos 212t t -=ωσ
2.5 已知随机过程
)(t X 的均值函数)
(t m X 和协方差函数
)(),,(21t t t B X ?为普通函数,令
)()()(t t X t Y ?+=,求随机过程)(t Y 均值和协方差函数。
解 均值 )()()()]([)]()([)]([)(t t m t t X E t t X E t Y E t m X Y ???+=+=+==
协方差
)()(),(),(212121t m t m t t R t t C Y Y Y Y -=
)()()]()([2121t m t m t Y t Y E Y Y -=
[])]()()][()([)()()(()((22112211t t m t t m t t X t t X E X X ????++-++= )()()]()([2121t m t m t X t X E X X -= 其它项都约掉了 )()(),(2121t m t m t t R X X X -= ),(21t t C X =
2.6 设随机过程
)sin()(Θ+=t A t X ω,其中ω,A 是常数,Θ在),(ππ+-上服从均匀分布,令
)()(2t X t Y =,求),(τ+t t R Y 和),(τ+t t R XY 。
解
)]()([)]()([),(22τττ+=+=+t X t X E t Y t Y E t t R Y
[]
)
(sin )(sin 2222Θ++Θ+=ωτωωt A t A E []))222cos(1))(22cos(1(4
2Θ++-Θ+-=ωτωωt t E A [])222cos()22cos()222cos()22cos(14
2Θ++-Θ+-Θ++Θ++=ωτωωωτωωt t t t E A 而
0)22sin(41)22cos(21)]22[cos(=+=+=Θ+--?
πππ
π
θωπ
θθωπωt d t t E 同理
[]0)222cos(=Θ++ωτωt E
利用三角积化和差公式
[])222cos()22cos(Θ++Θ+ωτωωt t E
[])424cos()2cos(2
1
Θ+++=
ωτωτωt E
ωτ2cos 2
1
=
所以,]2cos 2
1
1[4),(2ωττ+=+A t t R Y )]()([)]()([),(2τττ+=+=+t X t X E t Y t X E t t R XY )](sin )sin([22Θ++Θ+=ωτωωt A t A E
))]222cos(1)([sin(23
Θ++-Θ+=ωτωωt t E A
)]222cos()sin()[sin(23Θ++Θ+-Θ+=ωτωωωt t t E A
)]323sin()2sin()sin(2[4
3Θ++-Θ++-Θ+=ωτωωτωωt t t E A
而
0)sin(1
)]sin(2[=+=
Θ+?-
θθωπ
ωπ
πd t t E 同理
0)]323[sin(,0)]2[sin(=Θ++=Θ++ωτωωτωt E t E
所以,0),(=+τt t R XY
2.7 设随机过程
2)(Zt Yt X t X ++=,其中Z Y X ,,是相互独立的随机变量,且具有均值为零,方差
为1,求随机过程)(t X 的协方差函数。 解 根据题意,1,0222=========EZ DZ EY DY EX DX EZ EY EX
0][)]([)(22=++=++==EZ t tEY EX Zt Yt X E t X E t m X
)]()()][()([),(221121t m t X t m t X E t t C X X X --=
)])([()]()([2
2221121Zt Yt X Zt Yt X E t X t X E ++++==
因
Z Y X ,,相互独立,均值为零,所以上面交叉乘积项数学期望为零
2221212222122121t t t t EZ t t EY t t EX ++=++=
2.8 设)(t X 为实随机过程,x 为任意实数,令
??
?>≤=x
t X x
t X t Y )(,0)(,1)(
证明随机过程)(t Y 的均值函数和相关函数分别为)(t X 的一维和二维分布函数。
证明
})({0})({1)]([)(x t X P x t X P t Y E t m Y >?+≤?==
);(})({t x F x t X P X =≤=
))(),((21t Y t Y 的取值为)0,0(),1,0(),0,1(),1,1(
})(,)({11)]()([),(22112121x t X x t X P t Y t Y E t t R Y ≤≤??==
})(,)({012211x t X x t X P >≤??+ })(,)({102211x t X x t X P ≤>??+ })(,)({002211x t X x t X P >>??+
),;,(})(,)({21212211t t x x F x t X x t X P X =≤≤=
2.9 设
)(t f 是一个周期为T 的周期函数,随机变量Y 在(0,T )上均匀分布,令)()(Y t f t X -=,求
证随机过程
)(t X 满足
?+=
+T
dt t f t f T
t X t X E 0)()(1)]()([ττ 证明 Y 的密度函数为
?????∈=其它
,
0),0(,
1
)(T y T
y f Y
)]()([)]()([Y t f Y t f E t X t X E -+-=+ττ
?
∞
+∞
--+-=dy y f y t f y t f Y )()()(τ
?-+-=T
dy y t f y t f T 0
)()(1τ
?-+-=-T
t t du u f u f T u y t )()(1τ
?-+=t
T t du u f u f T )()(1τ ?+=T
du u f u f T 0
)()(1τ 2.13 设}0),({≥t
t X 是正交增量过程,V X ,0)0(=是标准正态随机变量,若对任意的0≥t ,
V t X 与)(相互独立,令V t X t Y +=)()(,求随机过程}0),({≥t t Y 的协方差函数。
解 因
)(t X 是正交增量过程,)1,0(~N V ,所以1][,0][,0)]([===V D V E t X E ,
有
0][)]([])([)]([=+=+==V E t X E V t X E t Y E m Y
)]()()][()([),(221121t m t Y t m t Y E t t C Y Y Y --= )])()()([()]()([2121V t X V t X E t Y t Y E ++== ])([])([][)]()([21221V t X E V t X E V E t X t X E +++=
(因
V t X 与)(独立,0][,0)]([==V E t X E )
][)]()([221V E t X t X E +=1)],[min(212
+=t t X σ (利用正交增量过程的结论)
习题4
4.1 设质点在区间[0,4]的整数点做随机游动,到达0点或4点后以概率1停留在原处,在其它整数点分别以概率
3
1
向左、向右移动一格或停留在原处,求质点随机游动的一步和二步转移概率矩阵。 解 转移概率如图
一步概率转移矩阵为
?????????? ??=10
00
3131310003131310
0031313100001P 二步转移概率矩阵为
?????????? ??=10
000
31313100031313100031313100001P (2)
?????????? ??10
31313100031313100031313100001?????????
? ??=10
000
949292910919293929109192929
400001
4.2 独立地重复抛掷一枚硬币,每次抛掷出现正面的概率为
p ,对于2≥n ,令32,1,0或=n X ,这些
值分别对应于第n-1次和第n 次抛掷的结果为(正,正),(正,反),(反,正),(反,反),求马尔可夫链
},2,1,0,{Λ=n X n 的一步和二步转移概率矩阵。
解 对应状态为
正,正)
(0?,?1(正,反),?2(反,正),?3(反,反) p P p ==}{(00(正,正)正,正),q P p ==}{(01(正,正)正,反) 0}{(20==(正,正)反,正)P p (不可能事件) 0}{(30==(正,正)反,反)P p (不可能事件)
同理可得下面概率
0}{(10==(正,反)正,正)P p ,0}{(11==(正,反)正,反)P p p P p ==}{(12(正,反)反,正),q P p ==}{(13(正,反)反,反) p P p ==}{(20(反,正)正,正),q P p ==}{(21(反,正)正,反) 0}{(22==(反,正)反,正)P p ,0}{(23==(反,正)反,反)P p 0}{(30==(反,反)正,正)P p ,0}{(31==(反,反)正,反)P p p P p ==}{(32(反,反)反,正),q P p ==}{(33(反,反)反,反)
一步转移概率矩阵为
????
???
?
?=q p q p q p q p
00000000
P 二步转移概率矩阵为
???
???
?
?
?=q p q p q p q p 0
0000000P (2)
??????? ?
?q p q p q p q p
00
00000
????
??
?
??=22222
2
22q pq pq
p q pq pq p q pq pq
p
q pq pq p 4.4设}1,{≥n X n 为有限齐次马尔可夫链,其初始分布和转移概率矩阵为
4,3,2,1,4
1
}{0==
==i i X P p i
??????????
? ??=41414141834181414141414141414141P 试证
}414{}41,14{12102<<=≠<<==X X P X X X P
解 根据条件概率的定义及马尔可夫链的有限维分布的结论定理4.3,有
}
41,1{}
4,41,1{}41,14{10210102<<==<<==
<<==X X P X X X P X X X P
}
3,1{}2,1{}
4,3,1{}4,2,1{1010210210==+=====+====
X X P X X P X X X P X X X P
1654
141414183414141414113
112134
13124121=?+???+??=
++=
p p p p p p p p p p 同理有
}414{12<<=X X P }
41{}
4,41{121<<=<<=
X P X X P
}
3{}2{}
4,3{}4,2{112121====+===
X p X P X X P X X p
43
433323213142432322212134
43434333342323413124424243232422224121p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p p ++++++++++++++=
4
14141414141414141418141414141418
34141834141834141834141414141418141414141414141?+?+?+?+?+?+?+???+??+??+??+??+??+??+??=6019
151********
8327128121287=??=++
=
所以,}414{}41,14{12102
<<=≠<<==X X P X X X P
4.5 设}),({T t t X ∈为随机过程,且
Λ
Λ),(,),(),(2211n n t X X t X X t X X ===
为独立同分布随机变量序列,令
2,,)(,011110≥=+===-n X cY Y X t Y Y Y n n n
试证:}0,{≥n
Y n 是马尔可夫链。
证明 只要证明}0,{≥n
Y n 满足无后效性,即
}{},,,0{1111011n n n n n n n n i Y i Y P i Y i Y Y i Y P =======++++Λ即可。
根据题意,1--=n n n
CY X Y ,由此知n Y 是),,,(21n X X X Λ的函数,因为Λ
Λ,,,,21n X X X 是
相互独立的随机变量,所以,对任意的n ,1+n X 与Λ
Λ
,,,,,210n Y Y Y Y 相互独立。从而
},,,0{11011n n n n i Y i Y Y i Y P ====++Λ
},,,0{11011n n n n n n i Y i Y Y Ci i CY Y P ===+=+=++Λ(因n n i Y =) },,,0{11011n n n n n i Y i Y Y Ci i X P ===+==++Λ
}{11n n n Ci i X P +==++ (因1+n X 与Λ
Λ,,,,,210n Y Y Y Y 独立,条件概率等于无条件概率)
}{11n n n n n i Y i Ci X P ==-=++ }{11n n n n i Y i Y P ===++
4.6 已知随机游动的转移概率矩阵为
????
? ??=5.005.05.05.0005.05.0P
求三步转移概率矩阵)
3(P 及当初始分布为
1}3{,0}2{}1{000======X P X P X P
时,经三步转移后处于状态3的概率。
解
????? ??=5.005.05.05.0005.05.0P (2)
????? ??5.005.05.05.0005.05.0?
????
?
?=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0 ????? ??=25.025.05.05.025.025.025.05.025.0P )
3(????? ??5.005.05.05.0005.05.0?????
?
?=25.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0
()()25.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0375.0375.0375.025.0100)3(P T =???
?
? ??=
所以,
25.0)3(3=p
4.7 已知本月销售状态的初始分布和转移概率矩阵如下
(1)?????
??==6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P ),4.0,2.0,4.0()0(P T
(2)??
?
?
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01
.01.02.06.01.01.01.01.07
.0P ),3.0,3.0,2.0,2.0()0(P T
求下一、二个月的销售状态。
解 (1)()()32.026.042.06.02.02.02.07.01.01.01.08.00.40.20.4P )0(P )1(P T
T =????? ??==
????? ??=6.02.02.02.07.01.01.01.08.0P 2)
(????? ??6.02.02.02.07.01.01.01.08.0?????
?
?=0.420.280.30.270.540.190.160.170.67
()()286.0288.00.4260.420.280.30.270.540.190.160.170.670.40.20.4P )0(P )2(P 2T T =?????
??==)
(
(2)()??
?
?
?
?
?
?
?==6.02.01.01.02.06.01.01
.01.02.06.01.01.01.01.07
.03.03.02.02.0P )0(P )1(P T
T
()28.03.02.022.0=
??
?
??
??
??=6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0P 2)
(??????? ??6.02.01.01.02.06.01.01.01.02.06.01.01.01.01.07
.0??
?
?
?
?
?
??=
0.420.270.150.160.260.430.15
0.160.170.270.4
0.160.160.170.15
0.52
==)
(2T T P )0(P )2(P ??????
? ??0.420.270.150.160.26
0.430.150.160.170.270.40.160.160.170.150.52)3.0,3.0,2.0,2.0(
()0.270.298
0.20.232
=
4.8 某商品六年共24个季度销售记录如下表(状态1—畅销,状态2—滞销)
以频率估计概率,求(1)销售状态的初始分布,(2)三步转移概率矩阵及三步转移后的销售状态的分布。 解 状态1的个数为15个,状态2的个数为9个 (1)所以,销售状态的初始分布为
??
?
??=2492415
)0(P T ()275.0625.0=
(2)求一步转移概率
状态11→共有7个,状态21→共有7个, 状态12→共有7个,状态22→共有2个, 所以,
21147,2
11471211==
==
p p ,9
2
,9
72221=
=p p 一步转移概率矩阵为
?????
? ??=9297212
1P , ??????
??=92972121P (2)
?????? ??929
72121?????
? ??=?????? ???+??+??+??+?=16271162913613362392922197979221979221212197212121 三步转移概率矩阵为
??
???
?
????????
??=92972121162711629136133623P (3)???? ??=?????
?
??=??????
????+??+?+??+=38.062.04.06.0291611032916
18136482596483899162271324919162771324919362672239367
137223 三步转移后的销售状态分布为
()()0.390.610.380.620.40.60.3750.625P )0(P )3(P 3T T =???
? ??==)
(
4.9 设老鼠在如图所示的迷宫中作随机游动,当它处在某个方格中有k
条通道时,以概率k
1
随机通过任一通道,求老鼠作随机游动的状态空间、转移概率矩阵。
解 状态空间为
}9,,3,2,1{Λ=I
转移概率矩阵为
????????????????
? ?
?010
310310310210210000100
010000
1
02102100
021******* 习题6
6.1 设有随机过程)cos()(Θ+=t t X ω,其中0>ω为常数,Θ是在区间)2,0(π上服从均匀分布的
随机变量,问
)(t X 是否为平稳过程。
解
)][cos()]([Θ+=t E t X E ω021
)
cos(20
=+=?π
θπ
θωd t )]cos()[cos()]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt t E t X t X E t t R X
?+++=π
θπ
θωτωθω20
21
)
cos()cos(d t t
?+++=πθθωτωωτπ20)]22cos([cos 41d t
ωτcos 2
1
=, 与t 无关 ∞<==2
1)0()(2
X R t X E
所以
)(t X 是平稳过程。
6.2设有随机过程)cos()(t A t X π=,其中A 是均值为零、方差为2σ的正态随机变量,求:
(1))4
1
()1(X X 和的概率密度;
(2)
)(t X 是否为平稳过程。
解 (1)因正态随机变量的线性函数仍为正态随机变量,对任意t ,
)(t X 服从正态分布。
A X A X 2
2
)41(,)1(=-=,
2][)]1([,0][)]1([σ==-==-=DA A D X D A E X E
2
21]22[)]41([,0]22[)]41([2
σ=
====DA A D X D A E X E
所以
)1(X 的概率密度为
2
2221);1(σσ
πx e
x f -
=
,
+∞<<∞-x
)4
1
(X 的概率密度为
2
2
1);41(σπ
x e x f -
=,
+∞<<∞-x
(2))]cos()cos([),(πτππτ+=+t A t A E t t R X
)cos()cos(][)cos()cos(22πτπωσπτπω+=+=t t A E t t ,与t 有关
所以,
)(t X 不是平稳过程。
6.3 设有随机过程
)cos()(Θ+=t A t X ω,其中A 是服从瑞利分布的随机变量,其概率密度为
??
???≤>-=0,00
},2exp{)(22
2x x x x x f σ
σ Θ是在)2,0(π上服从均匀分布且与A 相互独立的随机变量,ω为常数,问)(t X 是否为平稳过程。
解 先求出瑞利分布
A 的数学期望和2A 的数学期望,
??∞+∞
+---=-?=022
222220
)2(}2ex p{}2ex p{σ
σσσx d x x dx x x
x EA
?
∞+--=0
2
2
}2ex p{σ
x xd ?∞+∞+-+--=02
2
022}2ex p{}2ex p{dx x x x σσ
?
?∞+∞
--
∞
+∞-=-=
dx e
dx x
x 2
222
2
2
212
2}2exp{21σσ
πσ
πσ
σπ
σπ2
22==
??
∞+∞
+-=-?=0222222
2
2220
2
2
)2(}2ex p{22}2ex p{σ
σσσσσx d x x dx x x
x EA
20
22
2
222σσσ==
?
∞
+-dy ye x y y 令
)][cos()]cos([)]([Θ+?=Θ+=t E EA t A E t X E ωω 021
)
cos(2
20
=+?=
?π
θπ
θωσπ
d t )]cos()cos([)]()([),(Θ++Θ+=+=+ωτωωττt A t A E t X t X E t t R X )]cos()[cos(2Θ++Θ+?=ωτωωt A t E EA
)]22cos()[cos(21
22Θ+++?=ωτωωτσt E
?+++=πθ
π
θωτωτωσ202
21)]22cos()[cos(d t
)cos(2ωτσ= 与t 无关
∞<==22
)0()(σX R t X E
所以,
)(t X 是平稳过程。
6.4设有随机过程)()
(Θ+=t f t X ,其中)(x f 是周期为T 的实值连续函数,Θ是在(0,T )上服从
均匀分布的随机变量,证明)(t X 是平稳过程并求相关函数)(τX R 。
解
???==++=+T
T t t T
dy y f T dy y f T y t d T t f t X E 0
0)(1)(11)
()]([θθθ令,为常数
?+++=+=+T X d T
t f t f t X t X E t t R 01
)()()]()([),(θθτθττ
??+=+=+T
T t t dy y f y f T dy y f y f T 0
)()(1)()(1ττ, 与t 无关 ∞<==?T X dy y f T R t X E 0
22
)(1)0()(
所以,
)(t X 是平稳过程。
?+=
T
X dy y f y f T
R 0)()(1)(ττ 6.5 设)()(t Y t X 和是平稳过程,且相互独立,求)()()(t Y t X t Z =的相关函数,)(t Z 是否为平稳过程。
解 因
)()(t Y t X 和是平稳过程,它们的均值是常数、相关函数与t 无关是τ
的函数,又相互独立。
所以,Y X m m t Y E t X E t Y t X E t Z E ===)]([)]([)]()([)]
([ 是常数
)]()()()([),(τττ++=+t Y t X t Y t X E t t R Z )]()()()([ττ+?+=t Y t Y t X t X E
)]()([)()([ττ+?+=t Y t Y E t X t X E
)()(ττY X R R = 与t 无关
∞<==)0()0()0()(2
Y X Z R R R t Z E
所以,)(t Z 是平稳过程。
6.13 设正态随机过程具有均值为零,相关函数为
2
6)(τ
τ-
=e
R X ,求给定t 时的随机变量
)3(),2(),1(),(+++t X t X t X t X 的协方差矩阵。
解 因
)(t X 是正态过程,且均值为零,相关函数2
6)(τ
τ-
=e
R X 与t 无关,所以
)(t X 是平稳过程,则
对任意给定的t ,))3(),2(),1(),((+++t X t X t X t X 服从正态分布,
),())(),((ττ+=+t t C t X t X Cov X
2
26)(),(τ
ττ-
==-+=e
R m t t R X X
X ,3,2,1,0=τ
所以,6)0(),(==X X
R t t C ,2
16)1()1,(-==+e
R t t C X X ,
1
6)2()2,(-==+e
R t t C X X ,2
36)3()3,(-
==+e
R t t C X X
同理
),1())(),1((ττ++=++t t C t X t X Cov X
2
1
26)1(),1(--
=-=-++=τττe
R m t t R X X
X ,3,2,1,0=τ
所以,
2
16),1(-=+e t t C X ,6)1,1(=++t t C X ,2
16)2,1(-=++e
t t C X ,16)3,1(-=++e t t C X
2
2
6),2())(),2((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ,3,2,1,0=τ
16),2(-=+e t t C X ,2
16)1,2(-=++e
t t C X ,6)2,2(=++t t C X
,2
16)3,2(-=++e
t t C X
2
3
6),3())(),3((--
=++=++τττe
t t C t X t X Cov X ,3,2,1,0=τ
2
36),3(-=+e
t t C X ,1
6)1,3(-=++e
t t C X
,2
16)2,3(-=++e
t t C X
,6)3,3(=++t t C X
所以协方差矩阵为
?
?????
? ??++++++++++++++++++++++++)3,3()2,3()1,3(),3()3,2()2,2()1,2(),2()3,1()2,1()1,1(),1()3,()2,()1,()
,(t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C t t C X X X X X
X X X X
X X X X X X X
??
?????? ??
=-
-------
--
--666666
66666666662
11
23212111
2
12
1
2
312
1e
e
e
e e
e e e e e
e e
6.15 设随机过程)cos()(Φ+=t a t X ω和)sin()(Φ+=t b t Y ω是单独且联合平稳随机过程,其中
ω,,b a 为常数,Φ是在),0(π上服从均匀分布的随机变量,求)(τXY R 和)(τYX R 。
解
)]sin()cos([)]()([)(Φ++Φ+=+=ωτωωττt b t a E t Y t X E R XY
)]22sin([sin 2Φ+++=
ωτωωτt E ab
?+++=π?π?ωτωωτ01)]22sin([sin 2d t ab ωτsin 2ab =
因
)()(ττ-=YX XY R R
所以 )sin(2
)sin(2)()(ωτωτττab
ab R R XY YX -=-=
-=
习题7
7.2 设平稳过程)(t X 的相关函数τ
τa X e
R -=)(,求
)(t X 的谱密度。
解
??+∞
∞
---+∞
∞
--==τ
ττωωττ
ωτ
d e e
d e
R S j a j X X )()(
??+∞
+-∞
--+=0
)(0)(τττωτωd e d e j a j a
∞++-∞
--+-
-=
)(0)(1
1
τ
ωτ
ωω
ω
j a j a e j a e j a
2
2
211ωωω+=++-=
a a
j a j a
7.3 设有平稳过程)cos()(0Θ+=t a t X ω,其中0,ωa 为常数,Θ是在),(ππ-上服从均匀分布的随
机变量,求
)(t X 的谱密度。
解
Θ的概率密度为
?????-∈=其它,
0)
,(,21
)(ππθπ
θf )]cos()cos([)]()([)(000Θ++Θ+=+=τωωωττt a t a E t X t X E R X
θπ
θτωωθωπ
π
d t t a
21
)
cos()cos(0002
?-+++= ?-
+++=π
πθθτωωτωπ
d t a )]22cos([cos 40
2
τω02cos 2
a =
??∞
+∞--∞
+∞
--==τ
τωττωωτωτ
d e a d e
R S j j X X 02
cos 2
)()(
?
∞
+∞
---+=τωττωτωd e e e a j j j ][4002
?
∞
+∞
-+---+=τ
τωωτωωd e e a j j ][4
)()(200
)](2)(2[4
002ωωπδωωπδ++-=a
7.4 已知平稳过程的相关函数)3cos()cos(4)(πτπτττ
+=-e
R X ,求谱密度)(ωX S 。
解
??+∞∞
---+∞
∞
--+==τπτπτττωωττ
ωτd e e
d e R S j j X X )]3cos()cos(4[)()(
??
?+∞
∞
--∞
+---∞---++++=τ
πτττωτωτ
πτ
πτ
τ
ωτ
πτ
πτ
τd e d e
e
e
e d e
e
e
e j j j j j j j )3cos(][2][20
?
?∞+++--+-∞
-+---+++=0
)](1[)](1[0)](1[)](1[][2][2τ
ττπωτπωτπωτπωd e e d e e j j j j
?+∞
∞--+τ
πτωτd e j )3cos(
])
(11
)(11[2])(11)(11[2πωπωπωπω+++-+++-+--=j j j j
)]3()3([πωδπωδπ++-+
])
(11
)(11[
42
2πωπω+++-+=)]3()3([πωδπωδπ++-+ 7.6 当平稳过程通过如图所示的系统时,证明输出)(t Y 的谱密度为))cos(1)((2)(T S S X Y ωωω+=。
证明
[]))
()(()()()]()([)(T t X t X T t X t X E t Y t Y E R Y -+++-+=+=ττττ
)]()()()()()()()([ττττ+-+-+++--++=t X T t X T t X t X T t X T t X t X t X E
)()()(2T R T R R X X X ++-+=τττ ??+∞
∞--+∞
∞
--++-+==τ
τττττωωτωτ
d e T R T R R d e
R S j X X X j Y Y )]()()(2[)()(
??+∞
∞
--+∞∞--++-+=τ
τττωωτωτ
d e T R d e T R S j X j X X )()()(2
T
j X T j X X e S e S S ωωωωω)()()(2++=-
]cos 1)[(2T S X ωω+=
7.7 已知平稳过程)(t X 的谱密度为????
?<≤=其它
,
02,
)(0
02ωωωωc S X ,求相关函数)(τX
R 。
解
??
=
=
+∞
∞
-0
22cos 1
)(21
)(ωω
ωτ
ωωτπωωπ
τd c d e
S R j X X
]sin 2[sin sin 002
22
τωτωπτ
ωτ
πτ
ωω-=
=c c
7.8 设有平稳过程
)cos()(Φ+Θ=t a t X ,其中a 为常数,Φ是在)2,0(π上服从均匀分布的随机变
量,Θ是分布密度满足
)()(ωω-=f f 的随机变量,且ΦΘ与相互独立,求证)(t X 的谱密度为
)()(2ωπωf a S X =。
证明 设
),(?ωf 是Θ和Φ的联合分布密度,因Θ和Φ相互独立,所以
)(21
),(ωπ
?ωf f =
, π?ω20,<<+∞<<∞- )]cos()cos([)]()([)(Φ+Θ+ΘΦ+Θ=+=τττt a t a E t X t X E R X
?
?
+∞∞-+∞
∞-+++=?ω?ω?ωτω?ωd d f t t a ),()cos()cos(2
??ωτω?ωωωππ
d t t d f a )cos()cos()(220
2+++=??
∞
+∞
-
??ωτωτωωωππ
d t d f a )]22cos()[cos(2
1
)(220
2+++=?
?∞
+∞
- ?
∞
+∞
-=ωωτωd f a )cos()(2
2
????
??+=??∞+∞-∞
+∞-ωωτωωωτωd f j d f a )sin()()cos()(22 ?
∞
+∞
-=ωωωτd e f a j )(2
2 (因)(ωf 为偶函数,?+∞
∞
-ωωτωd f )sin()(=0)
又
?
+∞
∞
-=
ωωπ
τωτd e S R j X X )(21
)(
随机过程考试试题及答案详解 1、(15分)设随机过程C t R t X +?=)(,),0(∞∈t ,C 为常数,R 服从]1,0[区间上的均 匀分布。 (1)求)(t X 的一维概率密度和一维分布函数; (2)求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 【理论基础】 (1)? ∞ -= x dt t f x F )()(,则)(t f 为密度函数; (2))(t X 为),(b a 上的均匀分布,概率密度函数?? ???<<-=其他,0,1 )(b x a a b x f ,分布函数 ?? ??? >≤≤--<=b x b x a a b a x a x x F ,1,,0)(,2)(b a x E += ,12)()(2a b x D -=; (3)参数为λ的指数分布,概率密度函数???<≥=-0,00 ,)(x x e x f x λλ,分布函数 ?? ?<≥-=-0 ,00,1)(x x e x F x λ,λ1)(=x E ,21 )(λ=x D ; (4)2 )(,)(σμ==x D x E 的正态分布,概率密度函数∞<<-∞= -- x e x f x ,21 )(2 22)(σμπ σ, 分布函数∞<<-∞= ? ∞ --- x dt e x F x t ,21)(2 22)(σμπ σ,若1,0==σμ时,其为标准正态分布。 【解答】本题可参加课本习题2.1及2.2题。 (1)因R 为]1,0[上的均匀分布,C 为常数,故)(t X 亦为均匀分布。由R 的取值范围可知, )(t X 为],[t C C +上的均匀分布,因此其一维概率密度?? ???+≤≤=其他,0,1 )(t C x C t x f ,一维分布 函数?? ??? +>+≤≤-<=t C x t C X C t C x C x x F ,1,,0)(;
(1) 设}0),({≥t t X 是一个实的零均值二阶矩过程,其相关函数为 t s s t B t X s X E ≤-=),()}()({,且是一个周期为T 的函数,即0),()(≥=+τττB T B ,求方差函数)]()([T t X t X D +-。 解:由定义,有: )(2)0()0()}()({2)0()0()]} ()()][()({[2)] ([)]([)]()([=-+=+-+=+-+--++=+-T B B B T t X t X E B B T t EX T t X t EX t X E T t X D t X D T t X t X D (2) 试证明:如果}0),({≥t t X 是一独立增量过程,且0)0(=X ,那么它必是一个马 尔可夫过程。 证明:我们要证明: n t t t <<<≤? 210,有 } )()({})(,,)(,)()({11112211----=≤=====≤n n n n n n n x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 形式上我们有: } )()(,,)(,)({} )()(,,)(,)(,)({} )(,,)(,)({} )(,,)(,)(,)({})(,,)(,)()({1122221111222211112211112211112211--------------========≤= ======≤=====≤n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P x t X x t X x t X x t X P 因此,我们只要能证明在已知11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与2 ,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立即可。 由独立增量过程的定义可知,当2,,2,1,1-=<<<-n j t t t a n n j 时,增量 )0()(X t X j -与)()(1--n n t X t X 相互独立,由于在条件11)(--=n n x t X 和0)0(=X 下,即 有)(j t X 与1)(--n n x t X 相互独立。由此可知,在11)(--=n n x t X 条件下,)(n t X 与 2,,2,1,)(-=n j t X j 相互独立,结果成立。 (3) 设随机过程}0,{≥t W t 为零初值(00=W )的、有平稳增量和独立增量的过程, 且对每个0>t ,),(~2t N W t σμ,问过程}0,{≥t W t 是否为正态过程,为什么? 解:任取n t t t <<<≤? 210,则有: n k W W W k i t t t i i k ,,2,1][1 1 =-=∑=-
1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京邮电大学2012——2013学年第1学期 《概率论与随机过程》期末考试试题答案 考试注意事项:学生必须将答题内容(包括填空题)做在试题答题纸上,做在试卷纸上一律无效。在答题纸上写上你的班号和选课单上的学号,班内序号! 一. 单项选择题和填空题:(每空3分,共30分) 1.设A 是定义在非空集合Ω上的集代数,则下面正确的是 .A (A )若A B ∈∈A,A ,则A B -∈A ; (B )若A A B ∈?A,,则B ∈A ; (C )若12n A n =∈?A,,,,则 1 n n A ∞=∈A ; (D )若12n A n =∈?A,,,,且123A A A ??? ,则 1 n n A ∞ =∈A . 2. 设(),ΩF 为一可测空间,P 为定义在其上的有限可加测度,则下面正确的是 .c (A )若A B ∈∈F,F ,则()()()P A B P A P B -=-; (B )若12n A n =∈?F,,,,,且123A A A ??? ,则1 li ( )()m n n n n P A A P ∞→∞ ==; (C )若A B C ∈∈∈F,F,F,,则()()()()P A B C P A P AB P A BC =++; (D )若12n A n =∈?F,,,,,且,i j A i j A =??=/,1 1 ( )()n n n n P P A A ∞ ∞===∑. 3.设f 为从概率空间(),P ΩF,到Borel 可测空间(),R B 上的实可测函数,表达式为100 0()k A k f kI ω==∑,其中1000 ,, i j n n i j A A A ==??=Ω/=,则fdP Ω=? ; 一.填空题(每空2分,共20分) 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为it (e -1) e λ。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末数理统计与随机过程(研) 课程试卷一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平)?050.=α解:这是单个正态总体),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0μ-=已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ,计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值.052.2)27(025.0=t 由于,故拒绝0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语 052.2>T 2622.2>成绩为85分.二、某图书馆每分钟借出的图书数有如下记录:借出图书数 k 0 1 2 3 4 5 6≥7频数 f 8 16 17 10 6 2 1 0试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? (取显著性水平) 050.=α解:由极大似然估计得.2?==x λ在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。则有估计 }{k X P ==i p ? ,7,0,!2}{?2===-k k e k X P k =0?p 三、某公司在为期10年内的年利润表如下: 年份 1 2 3 4 5 6 7 8910利润 1.89 2.19 2.06 2.31 2.26 2.39 2.61 2.58 2.82 2.9 通过管线敷设技术,不仅可以解决有设备高中资料试卷相互作用与相互关系,根据生产工艺高中资料试卷要求,对电力保护装置调试技术,电力保护高中资料试卷配置技术是指机 北京工业大学2009-20010学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试卷 学号 姓名 成绩 注意:试卷共七道大题,请写明详细解题过程。 考试方式:半开卷,考试时只允许看教材《概率论与数理统计》 浙江大学 盛 骤等编第三版(或第二版)高等教育出版社。可以看笔记、作业,但不允许看其它任何打印或复印的资料。考试时允许使用计算器。考试时间120分钟。考试日期:2009年12月31日 一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩,算得平均分数为80=x 分,样本标准差8=s 分,若全年级的英语成绩服从正态分布,且平均成绩为85分,问:能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异(取显著性水平050.=α)? 解:这是单个正态总体 ),(~2σμN X ,方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题,用T 检验法. 解 85:0=μH ,85:1≠μH 选统计量 n s x T /0 μ-= 已知80=x ,8=s ,n =28,850=μ, 计算得n s x T /0μ-= 31 .328/885 80=-= 查t 分布表,05.0=α,自由度27,临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>,故拒绝 0H ,即在显著水平05.0=α下不能认为 该班的英语成绩为85分. 050.= 解:由极大似然估计得.2?==x λ 在X 服从泊松分布的假设下,X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。 则}{k X P =有估计 =i p ?ΛΛ,7,0, !2}{?2 ===-k k e k X P k =0?p 2016随机过程(A )解答 1、(15分)设随机过程V t U t X +?=)(,),0(∞∈t ,U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量。 1) 求)(t X 的一维概率密度函数; 2) 求)(t X 的均值函数、相关函数和协方差函数。 3) 求)(t X 的二维概率密度函数; 解: 由于U ,V 是相互独立服从正态分布(2,9)N 的随机变量,所以V t U t X +?=)(也服从正态分布, 且: {}{}{}{}()()22m t E X t E U t V t E U E V t ==?+=?+=+ {}{}{}{}22()()99D t D X t D U t V t D U D V t ==?+=+=+ 故: (1) )(t X 的一维概率密度函数为:()2 22218(1) (),x t t t f x e x --- += -∞≤≤∞ (2) )(t X 的均值函数为:()22m t t =+;相关函数为: {}{} (,)()()()()R s t E X s X t E U s V U t V =?=?+??+ {}{}{} 22()13()413 st E U s t E U V E V st s t =?++??+=?++?+ 协方差函数为:(,)(,)()()99B s t R s t m s m t st =-?=+ (3)相关系数: (,)s t ρρ== == )(t X 的二维概率密度函数为: 2212222(22)(22)12(1)9(1)4(1),12(,)x s x t s t s t f x x e ρ????-----?? +????-++???????? = 2、(12分)某商店8时开始营业,在8时顾客平均到达率为每小时4人,在12时顾客的 平均到达率线性增长到最高峰每小时80人,从12时到15时顾客平均到达率维持不变为每小时80人。问在10:00—14:00之间无顾客到达商店的概率是多少?在10:00—14:00之间到达商店顾客数的数学期望和方差是多少? 解: 到达商店顾客数服从非齐次泊松过程。 将8时至15时平移到0—7时,则顾客的到达速率函数为: 419,04 ()80,47t t t t λ+≤≤?=? <≤? 在10:00—14:00之间到达商店顾客数(6)(2)X X -服从泊松分布,其均值: 6 4 6 2 2 4 (6)(2)()(419)80282m m t dt t dt dt λ-==++=??? 2.设{X (t ),t ≥0}是独立增量过程, 且X (0)=0, 证明{X (t ),t ≥0}是一个马尔科夫过程。 证明:当12n 0t t t t <<< <<时, 1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x ,X(t )=x )≤= n n 1122n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )-X(0)=x ,X(t )-X(0)=x , X(t )-X(0)=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,又因为n n P(X(t)x X(t )=x )=≤n n n n P(X(t)-X(t )x-x X(t )=x )≤= n n P(X(t)-X(t )x-x )≤,故1122n n P(X(t)x X(t )=x ,X(t )=x , X(t )=x )≤=n n P(X(t)x X(t )=x )≤ 3.设{}n X ,n 0≥为马尔科夫链,状态空间为I ,则对任意整数n 0,1 《随机过程期末考试卷》 1 ?设随机变量X服从参数为■的泊松分布,则X的特征函数为 ___________ 。 2?设随机过程X(t)二Acos(「t+「),-::vt<::其中「为正常数,A和门是相互独立的随机变量,且A和“服从在区间10,1 1上的均匀分布,则X(t)的数学期望为。 3?强度为入的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量,且服从均值为_ 的同一指数分布。 4?设「W n ,n 一1是与泊松过程:X(t),t - 0?对应的一个等待时间序列,则W n服从分布。5?袋中放有一个白球,两个红球,每隔单位时间从袋中任取一球,取后放回, r 对每一个确定的t对应随机变量x(t)=」3’如果t时取得红球,则这个随机过 e t, 如果t时取得白球 程的状态空间__________ 。 6 ?设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p j),n步转移矩阵P(n)=8(;)),二者之间的关系为。 7?设汉.,n -0?为马氏链,状态空间I,初始概率P i二P(X。二i),绝对概率 P j(n)二P^X n二j?,n步转移概率p j n),三者之间的关系为_____________ 。 8 .设{X(t),t 一0}是泊松过程,且对于任意t2t^ 0则 P{X ⑸= 6|X (3) = 4} = _______ t 9?更新方程K t二H t ? .°K t-s dF s解的一般形式为__________________ 。10?记二-EX n,对一切a 一0,当t—一:时,M t+a -M t > ____________ 3.设]X n,n — 0?为马尔科夫链,状态空间为I,则对任意整数n—0,仁I 通信原理试卷(A ) 02.12.22 一 填空题:(每个空0.5分,共15分) 1. 基带传输系统的总误码率依赖于信号峰值 和噪声均方根值 之比。 2. 调制信道对信号的干扰分为乘性干扰 和加性干扰 两种。 3. 若线形系统的输入过程()t i ξ是高斯型的,则输出()t o ξ是高斯 型的。 4. 通断键控信号(OOK )的基本的解调方法有非相干解调(包络检波法) 及相干解调(同步检测法) 。 5. 随参信道的传输媒质的三个特点分别为对信号的耗衰随时间而变 、 传输的时延随时间而变、多径 传播 。 6. 根据乘性干扰对信道的影响,可把调制信道分为恒参信道 和随参信道 两大类。 7. 包络检波法的系统误码率取决于系统输入信噪比 和归一化门限值 。 8. 起伏噪声又可分为 热噪声、散弹噪声 及宇宙噪声 。 9. 数字基带信号()t S 的功率谱密度()ωS P 可能包括两部分即连续谱 和离散谱 。 10. 二进制振幅键控信号的产生方法有两种,分别为 模拟幅度调制法和键控法 。 11. 模拟信号是利用 抽样、量化 和编码 来实现其数字传输的。 12. 模拟信号数字传输系统的主要功能模块是 A/D 、数字传输系统和D/A 。 13. 设一分组码(110110);则它的码长是 6 ,码重是 4 ,该分组码与另一分组码(100011)的码距是 3 。 二 判断题:(正确划“√”,错误划“ ×”;每题0.5分,共5分) 1. 码元传输速率与信息传输速率在数值上是相等的。( ×) 2. 一般说来,通过键控法得到二进制移频建控信号(2FSK )的相位(n ?、n θ)与序列n 无关。(√ ) 3. 任何一个采用线性调制的频带传输系统,总可以由一个等效的基带传输系统所替代。( √) 4. 白噪声是根据其概率密度函数的特点定义的。( ×) 5. 基带传输系统的总误码率与判决门限电平有关。(√ ) 6. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道, B 与N S 可以互换。(× ) 7. 恒参信道对信号传输的影响是变化极其缓慢的,因此,可以认为它等效于一个时变的线性网络。(× ) 8. 对于受到高斯白噪声干扰的连续信道,若增加信道带宽B ,则信道容量C 无限制地增加。(× ) 9. 小信噪比时,调频系统抗噪声性能将比调幅系统优越,且其优越程度将随传输带宽的增加而增加。( ×) 10. 一种编码的检错和纠错能力与该编码的最小码距的大小有直接关系。( √) 三 选择题:(每题1分,共10分) a) 一个随机过程是平稳随机过程的充分必要条件是 B 。 (A ) 随机过程的数学期望与时间无关,且其相关函数与时间间隔无关; (B ) 随机过程的数学期望与时间无关,且其相关函数仅与时间间隔有关; (C ) 随机过程的数学期望与时间有关,且其相关函数与时间间隔无关; (D ) 随机过程的数学期望与时间有关,且其相关函数与时间间隔有关; b) 下列属于线性调制的是 C 。 (A ) 相移键控; (B )频移键控; (C )振幅键控; (D )角度调制。 c) 采用同步解调残留边带信号时,只要残留边带滤波器的截止特性在载频处具有 C 特性,就能够准确地 恢复所需的基带信号。 (A )互补 (B )对称 (C )互补对称 (D )没有特殊要求 通信原理期末考试试题及答案 一、填空题(总分24 ,共 12 小题,每空 1 分) 1、数字通信系统的有效性用传输频带利用率衡量,可靠性用差错率衡量。 2、模拟信号是指信号的参量可连续取值的信号,数字信号是指信号的参量可离 散取值的信号。 3、广义平均随机过程的数学期望、方差与时间无关,自相关函数只与时间间隔有 关。 4、一个均值为零方差为n2的窄带平稳高斯过程,其包络的一维分布服从瑞利分布, 相位的一维分布服从均匀分布。 5 、当无信号时,加性噪声是否存在?是乘性噪声是否存在?否。 6 、信道容量是指:信道传输信息的速率的最大值,香农公式可表示为: C B log 2 (1S ) 。 N 7、设调制信号为 f(t)载波为cos c t,则抑制载波双边带调幅信号的时域表达式为 f (t) cos c t,频域表达式为1 [ F ( c ) F ( c )]。2 8、对最高频率为 f H的调制信号 m (t )分别进行 AM 、DSB 、SSB 调制,相应已调 信号的带宽分别为2f H、2f H、 f H。 9、设系统带宽为W ,则该系统无码间干扰时最高传码率为2W波特。 10 、PSK 是用码元载波的相位来传输信息, DSP 是用前后码元载波的相位差来传 输信息,它可克服PSK 的相位模糊缺点。 11 、在数字通信中,产生误码的因素有两个:一是由传输特性不良引起的码间串 扰,二是传输中叠加的加性噪声。 12 、非均匀量化的对数压缩特性采用折线近似时, A 律对数压缩特性采用13折线 近似,律对数压缩特性采用15折线近似。 二、简答题(总分18 ,共 4 小题) 1 、随参信道传输媒质的特点?( 3 分) 答:对信号的衰耗随时间变化、传输的时延随时间变化、多径传播 2、简述脉冲编码调制的主要过程。(6 分) 抽样是把时间连续、幅值连续的信号变换为时间离散,幅值连续的脉冲信号;量化是 把时间离散、幅值连续的脉冲信号变换为幅值离散、时间离散的多电平脉冲信号;编 码是把幅值、时间均离散的多电平脉冲信号用一组数字序列表示。 3 、简单叙述眼图和系统性能之间的关系?( 6 分) 最佳抽样时刻对应眼睛张开最大时刻;对定时误差的灵敏度有眼图斜边的斜率决定;图的阴影区的垂直高度,表示信号幅度畸变范围;图中央横轴位置对应判决门 限电平;抽样时刻上,上下阴影区的间隔距离之半为噪声容限。 4、简述低通抽样定理。( 3 分) 一个频带限制在( 0,f H)内的时间连续信号m(t) ,如果以T 1 2 f H的时间 间隔对它进行等间隔抽样,则m(t) 将被所得到的抽样值完全确定 2 、设信息序列为 100000000001100001 ,试编为 AMI 码和 HDB 3 码(第一个非零码编 为 +1 ),并画出相应波形。(6 分) 100000000001100001 AMI+10000000000-1+10000-1 HDB3 +1 0 0 0+V-B 0 0-V 0 0+1-1+B 0 0+V-1 +1 0 0 0+1-1 0 0-1 0 0+1-1+1 0 0+1-1 AMI HDB3 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意0 12 ≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 6 18}4)3(|6)5({-===e X X P 15 3 2 6 2 3 2 92! 23 ! 2)23(! 23 }2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({}2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=? ?? ==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 6 6 2 18! 26 }2)3()5({}4)3(|6)5({--== =-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为),,(4 1 2141, ????? ? ?? ? ????? ??? ?=434 10313131 04341 1)(P ,则167)2(12 =P ,16 1}2,2,1{210= ===X X X P ???????? ? ????? ????=48 3148 1348 436133616367164167165)1()2(2 P P 16 7)2(12= P 16 1314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 4 2++= ωωω ωS ,则)(t X 的均方值 = 212 1- 222 22 2 11221)2(2 221 1 1 22 )(+??-+?? = +- += ωωωωωS τ τ τ--- = e e R X 2 12 1)(2 北京工业大学2007-2008学年第一学期期末 数理统计与随机过程(研) 课程试题 标准答案(仅供参考) 一、(10分)已知在正常生产的情况下某种汽车零件的重量(克)服从正态分布 ),(254σN ,在某日生产的零件中抽取10 件,测得重量如下: 54.0 55.1 53.8 54.2 52.1 54.2 55.0 55.8 55.1 55.3 问:该日生产的零件的平均重量是否正常(取显著性水平050.=α)? 解:按题意,要检验的假设是 54:0=μH ,因2σ未知,故用-t 检验法,由05.0=α,查t 分布表得临界 值2622290250.)(.=t ,由样本值算得 382514654.,.==t x 因为26222. 1255804101145701312680122222222 9 2 2 .)()(==++++++++= -=∑ =i i i i np np f χ 查表得919160502 9.).(=χ 因为9191612552..<=χ, 所以接受0H ,认为X 服从 等概率分布. 三、(15分)下表给出了在悬挂不同重量(单位:克)时弹簧的长度(单位:厘米) 求y 关于x 的一元线性回归方程,并进行显著性检验. 取显著性水平050.=α, 计算结果保留三位小数. 346.9,857.16==y x 根据计算结果可得: (1) 回归方程:X Y 1845.0244.6+=∧ ?????? ???? ??? =??-?=-=====??-==?-=244.61845.01187142.6571??1845.0857.454906.83?906.8342.65118717.1186857.4541187 124442x b y a S S b S S xx xy xy xx 于是得 随机过程复习题(含答 案) 随机过程复习题 一、填空题: 1.对于随机变量序列}{n X 和常数a ,若对于任意0>ε,有 ______}|{|lim =<-∞ >-εa X P n n ,则称}{n X 依概率收敛于a 。 2.设}),({0≥t t X 是泊松过程,且对于任意012≥>t t , ,则 15 92}6)5(,4)3(,2)1({-??= ===e X X X P , 618}4)3(|6)5({-===e X X P 15 32 62 32 92! 23!2)23(!23}2)3()5({}2)1()3({}2)0()1({} 2)3()5(,2)1()3(,2)0()1({} 6)5(,4)3(,2)1({----??=???==-=-=-==-=-=-====e e e e X X P X X P X X P X X X X X X P X X X P 66 218! 26}2)3()5({}4)3(|6)5({--===-===e e X X P X X P 3.已知马尔可夫链的状态空间为},,{321=I ,初始分布为 ),,(4 12141, ???? ?? ?? ?????? ??? ?=434 10313131 043 411)(P ,则167)2(12=P ,16 1 }2,2,1{210= ===X X X P ???????? ?????? ????=48 31481348 436133616367 164167165)1()2(2P P 16 7 )2(12=P 16 1 314341}2|2{}1|2{}1{}2,1|2{}1|2{}1{} 2,2,1{12010102010210=??=================X X P X X P X P X X X P X X P X P X X X P 4.强度λ的泊松过程的协方差函数),min(),(t s t s C λ= 5.已知平稳过程)(t X 的自相关函数为πττcos )(=X R , )]()([)(π?δπ?δπω-++=X S 6. 对于平稳过程)(t X ,若)()()(ττX R t X t X >=+<,以概率1成立,则称)(t X 的自相关函数具有各态历经性。 7.已知平稳过程)(t X 的谱密度为2 3)(2 42 ++=ωωωωS ,则)(t X 的均方值= 2 121- 222 2221 1221)2(22211122)(+??-+??=+-+= ωωωωωS ττ τ-- -=e e R X 2 12 1)(2 期末随机过程试题及答 案 公司内部档案编码:[OPPTR-OPPT28-OPPTL98-OPPNN08] 《随机过程期末考试卷》 1.设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,则X 的特征函数为 。 2.设随机过程X(t)=Acos( t+),- 第一章 随机过程基本概念 P39 1. 设随机过程()0cos X t X t ω=,t -∞<<+∞,其中0ω是正常数,而X 是标准正态变量。试求()X t 的一维概率分布。 解: 1o 当0cos 0t ω=,02 t k π ωπ=+ ,即0112t k πω??= + ??? (k z ∈)时, ()0X t ≡,则(){}01P X t ==. 2o 当0cos 0t ω≠,02 t k π ωπ≠+ ,即0112t k πω?? ≠ + ??? (k z ∈)时, ()~01X N Q ,,()0E X ∴=,()1D X =. ()[]()00cos cos 0E X t E X t E X t ωω===????. ()[]()22 000cos cos cos D X t D X t D X t t ωωω===????. ()()20~0cos X t N t ω∴,. 则( )2202cos x t f x t ω- = ;. 2. 利用投掷一枚硬币的试验,定义随机过程为 ()cos 2t X t t π?=??,出现正面,出现反面 假定“出现正面”和“出现反面”的概率各为 12。试确定()X t 的一维分布函数12F x ?? ???;和()1F x ;,以及二维分布函数12112 F x x ?? ?? ? ,;, 。 00 11101222 11 ?????? ??∴=≤=≤?? ? ????????≥??,;,,x F x P X x x x ()(){}0111112212 <-??? ∴=≤=-≤?≥??,;,,x F x P X x x x 随机矢量()112???? ? ????? ,X X 的可能取值为()01-,,()12,. 而()1101122????==-=?? ? ????,P X X ,()11 11222 ????===?? ?????,P X X . ()1212111122??? ???∴=≤≤?? ? ??????? ,;,,F x x P X x X x 12121212001 1 0110122112 <<-???=≤<≥-≥-≤?≥≥??,或,且或且,且x x x x x x x x 3. 设随机过程(){} X t t -∞<<+∞,总共有三条样本曲线 ()11X t ω=,,()2sin X t t ω=,,()3cos X t t ω=, 且()()()1231 3 P P P ωωω===。试求数学期望()EX t 和相关函数()12X R t t ,。期末随机过程试题及标准答案
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随机过程试题及答案
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