二项式定理
二项式知识回顾
1. 二项式定理
0111
()n n n k n k k
n n
n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++
++
+,
以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k
k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项.
（请同学完成下列二项展开式）
0111
()(1)(1)n n n k k n k k
n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+
+-，1(1)k k n k k
k n T C a b -+=-
01(1)n k k
n n
n n n n x C C x C x C x +=++
+++ ① 01
11
(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++
++
+
1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++
+ ②
① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01
2n n n n n C C C ++
+=，即二项式系数和等于2n
；
偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213
12n n n n n C C C C -++
=++
=
② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和.
2. 二项式系数的性质
（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m
n n C C -=.
（2）二项式系数k
n C 增减性与最大值： 当12n k +<
时，二项式系数是递增的；当1
2
n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n
n
C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n
C -和12n n
C
+相等，且同
时取得最大值.
3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n
⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1)
⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n
a n =f(-1)
⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2)
1()1(-+f f
⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……=
2
)
1()1(--f f
经典例题
1、“n b a )(+展开式：
例1．求4)13(x
x +的展开式；
【练习1】求4)13(x
x -的展开式
2.求展开式中的项
例2.已知在
n 的展开式中，第6项为常数项.
（1） 求n ； （2）求含2
x 的项的系数；（3）求展开式中所有的有理项.
【练习2】若
n 展开式中前三项系数成等差数列.求：
（1）展开式中含x 的一次幂的项；（2）展开式中所有x 的有理项.
3.二项展开式中的系数
例3.已知22)n x 的展开式的二项式系数和比(31)n
x -的展开式的二项式系数和大
992，求21(2)n
x x
-的展开式中：（1）二项式系数最大的项；（2）系数的绝对值最大的项
[练习3]已知*22)()n n N x
∈的展开式中的第五项的系数与第三项的系数之比是10：1.
(1)求展开式中含32
x 的项；(2)求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项.
4、求两个二项式乘积的展开式指定幂的系数
例4．
7
2)2)(1-+x x （的展开式中，3x 项的系数是 ；
5、求可化为二项式的三项展开式中指定幂的系数
例5（04安徽改编）3)21
(-+
x
x 的展开式中，常数项是 ；
6、求中间项
例6求（103
)1
x
x -
的展开式的中间项；
例7 103
)1
(x
x -的展开式中有理项共有 项；
8、求系数最大或最小项
（1） 特殊的系数最大或最小问题
例8（00上海）在二项式11
)1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数是 ；
（2） 一般的系数最大或最小问题
例9求8
4)21(x
x +展开式中系数最大的项；
（3） 系数绝对值最大的项
例10在（7)y x -的展开式中，系数绝对值最大项是 ；
9、利用“赋值法”及二项式性质3求部分项系数，二项式系数和
例11．若443322104)32(x a x a x a x a a x ++++=+， 则2312420)()(a a a a a +-++的值为 ；
【练习1】若2004221020042004...)21(x x a x a a x ++++=-， 则=++++++)(...)()(200402010a a a a a a ；
【练习2】设0155666...)12(a x a x a x a x ++++=-， 则=++++6210...a a a a ；
【练习3】9
2
)21(x
x -展开式中9x 的系数是 ；
六、二项式定理 一、指数函数运算 知识点：1．整数指数幂的概念 *)(N n a a a a a a n n ∈??= 个 )0(10≠=a a ,0(1 N n a a a n n ∈≠=- 2．运算性质： ),(Z n m a a a n m n m ∈=?+ ，),()(Z n m a a mn n m ∈=，)()(Z n b a ab n n n ∈?= 3．注意 ① n m a a ÷可看作n m a a -? ∴n m a a ÷=n m a a -?=m a -② n b a )(可看作n n b a -? ∴n b a )(=n n b a -?n n b 4、n m n m a a = (a ＞0,m ,n ∈N *,且n ＞1) 例题： 例1求值：43 32 13 2)81 16(,)41(,100,8---. 例2用分数指数幂的形式表示下列各式： 1） a a a a a a ,,32 32?? (式中a ＞0) 2)43a a ? 3）a a a 例3计算下列各式（式中字母都是正数）);3()6)(2)(1(656131212132b a b a b a -÷- .))(2(88 341n m 例4计算下列各式： );0() 1(3 2 2>a a a a 435)12525)(2(÷- 例5化简：)()(4 14 12 12 1y x y x -÷- 例6 已知x+x -1 =3,求下列各式的值：.)2(,)1(2 32 32 12 1- - ++x x x x 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++ , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++- ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111(21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ②
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ +++ ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 01 2n n n n n C C C ++ +=， 即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同 时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) ⑶ a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷ a 1+a 3+a 5+a 7……= 2 ) 1()1(--f f
排列数、组合数及二项式定理整理 慈济中学全椒 刘 1、排列数公式 m n A =)1()1(+--m n n n =！！ )(m n n -.(n ，m ∈N*，且m n ≤)． 2、排列恒等式 (1) 1(1)m m n n A n m A -=-+;(2) 1m m n n n A A n m -= -;(3)11m m n n A nA --=; (4)11n n n n n n nA A A ++=-; (5) 1 1m m m n n n A A mA -+=+.(6) 1!22!33!!(1)!1n n n +?+?+ +?=+-. 3、组合数公式 m n C =m n m m A A =m m n n n ???+-- 21)1()1(=！！！)(m n m n -?(n ∈N*，m N ∈，且m n ≤). 4、组合数的两个性质 (1) m n C =m n n C - ; (2) m n C +1 -m n C =m n C 1 +. 5、排列数与组合数的关系 m m n n A m C =?！ . 6、二项式定理： 011()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N --*+=++ ++ +∈ 【注】： 1．基本概念： ①二项式展开式：右边的多项式叫做()n a b +的二项展开式。 ②二项式系数:展开式中各项的系数r n C (0,1,2,,)r n =???. ③项数：共(1)r +项，是关于a 与b 的齐次多项式 ④通项：展开式中的第1r +项r n r r n C a b -叫做二项式展开式的通项。用1r n r r r n T C a b -+=表示。 2．注意关键点： ①项数：展开式中总共有(1)n +项。 ②顺序：注意正确选择a ,b ,其顺序不能更改。()n a b +与()n b a +是不同的。 ③指数：a 的指数从n 逐项减到0，是降幂排列。b 的指数从0逐项减到n ，是升幂排列。
二项式定理 性质：说课稿 一、教材分析 1.教材的地位和作用 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于： （1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一-----二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数以及计数原理的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 2.教学的重点·难点 根据以上分析和新课标的教学要求确定了以下： 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 二、三维教学目标分析 知识目标掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 能力目标通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 情感目标激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识.
三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、教学过程： （一）创设情境，激发兴趣 提出问题：“今天是星期六，我能很快知道再过810天的那一天是星期几，你能想出来吗？” 设计意图：根据教学内容特点和学生的认识规律，给学生提出一些能引起思考和争论性的题目，即一些内容丰富、背景值得进一步探究的诙谐有趣的题目、给学生创造一个“愤”和“悱”的情境，利用问题设下认知障碍，激发学生的求知欲望. （二）问题初探 （1）、从具体问题入手，启发学生将这个问题转化成一个数学问题：“求810被7除的余数是多少？”因为8=7+1，82=（7+1）2=72+2﹡ 7+1，83=（7+1）3=73+3 72+3 ﹡7+1,那810=（7+1）10又如何展开呢？更一般的（a+b）10、(a+b)n 如何展开？从而产生研究问题从特殊到一般的转化. 1、先让学生自己动手运用多项式乘多项式的法则写出（a+b） 2、（a+b） 3、（a+b）4的展开式，然后提出用这种方法写出（a+b）10的展开式容易吗？（a+b）100、（a+b）n呢？对于这个问题，我们如何解决？
二项式定理 主标题：二项式定理 副标题：为学生详细的分析二项式定理的高考考点、命题方向以及规律总结。 关键词：二项式定理，二项式系数，项系数 难度：2 重要程度：4 考点剖析： 1．能用计数原理证明二项式定理． 2．会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 命题方向： 1．二项式定理是高中数学中的一个重要知识点，也是高考命题的热点，多以选择、填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题． 2．高考对二项式定理的考查主要有以下几个命题角度： (1)求二项展开式中的第n项； (2)求二项展开式中的特定项； (3)已知二项展开式的某项，求特定项的系数． 规律总结： 1个公式——二项展开式的通项公式 通项公式主要用于求二项式的特定项问题，在运用时，应明确以下几点： (1)C r n a n－r b r是第r＋1项，而不是第r项； (2)通项公式中a，b的位置不能颠倒； (3)通项公式中含有a，b，n，r，T r＋1五个元素，只要知道其中的四个，就可以求出第五个，即“知四求一”． 3个注意点——二项式系数的三个注意点 (1)求二项式所有系数的和，可采用“赋值法”； (2)关于组合式的证明，常采用“构造法”——构造函数或构造同一问题的两种算法； (3)展开式中第r＋1项的二项式系数与第r＋1项的系数一般是不相同的，在具体求各项的系数时，一般先处理符号，对根式和指数的运算要细心，以防出错．
知 识 梳 理 1．二项式定理 二项式定理 (a ＋b )n ＝C 0n a n ＋C 1n a n －1b ＋…＋C r n a n －r b r ＋…＋C n n b n (n ∈N *) 二项展开式 的通项公式 T r ＋1＝C r n a n －r b r ，它表示第r ＋1项 二项式系数 二项展开式中各项的系数C 0 n ，C 1n ，…，C n n 2.二项式系数的性质 (1)0≤k ≤n 时，C k n 与C n －k n 的关系是C k n ＝C n －k n . (2)二项式系数先增后减中间项最大 当n 为偶数时，第n 2 ＋1项的二项式系数最大，最大值为2n n C ；当n 为奇数时，第n ＋1 2项和n ＋3 2项的二项式系数最大，最大值为21 -n n C 或21 +n n C . (3)各二项式系数和：C 0 n ＋C 1n ＋C 2n ＋…＋C n n ＝2n ， C 0n ＋C 2n ＋C 4n ＋…＝C 1n ＋C 3n ＋C 5n ＋…＝2 n －1.
《二项式定理中的特殊项问题》导学案 学习目标： 1． 进一步熟悉二项式定理及二项展开式的通项公式； 2． 学会利用“赋值”的方法解决有关问题。 学习重点：二项式系数性质的应用； 学习难点：二项式系数性质的应用。 学习过程： 学习提纲： n n n r r n r n n n n n n b b a b a a b a C C C C )(110+++++=+-- ，是二项式展开式定理， 主要研究了以下几个方面的问题： （1）展开式；（2）通项公式；（3）二项式系数及其有关性质。 1．求5 2 3 )12()1(+-x x 的展开式中2 x 项的系数。 变式1：9()a x x -的展开式中3x 的系数是84-，求a 的值。 2． 求二项式3 5 2 1()x x - 的展开式中的常数项。 3． 求11 的展开式中的有理项。 4． 已知2 2)()n n N x ∈*的展开式中第五项的系数与第三项的系数的比是10:1。 （1） 求展开式中各项系数的和； （2） 求展开式中含32 x 的项； （3） 求展开式中系数最大的项和二项式系数最大的项。
5． 若82 80128()x a a a x a x a x -=++++，且556a =，求0128a a a a ++++的值。 当堂检测： 1．（2011 陕西高考）6 (42)()x x x R --∈的展开式中的常数项是（ ） .20A - .15B - .15C .20D 2．若4234 01234(1)x a a x a x a x a x -=++++，则024a a a ++的值为 。 3．若(0)x ∈+∞，，则15 (12)x +的二项展开式中系数最大的项为 。 4．已知(1)n x -的展开式中所有项的系数的绝对值之和为32，则(1)n x -的展开式中系数最小的项是 。 5．若1(3)n x x +的展开式中各项系数和为1024，试确定展开式中含x 的整数次幂的项。 作业：课本 40P A 组1～9题；B 组1～5题 附加题：若41()2n x x +展开式中前三项系数成等差数，求展开式中系数最大项． 补充作业： 1．若016 6777a +x a +....+x a +x a =)1-x 3(，求 （1）1237a a a a ++++ ； （2）7531a +a +a +a ； （3）01237||||||||||a a a a a ++++ + 2．在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为（ ） A ．160 B ．240 C ．360 D ．800 3．已知2()n x x - 的展开式中第三项与第五项的系数之比为314-，其中21i =-，则展开式 中系数为实数且最大的项为（ ）
二项式定理(通项公式)
二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111 ()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-+ +-， 1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=++ ++ + ① 01 11 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=++ ++ + 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=++++ + ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二项式系数 和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即 02 13 12n n n n n C C C C -++ =++ = ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值：
1. 在二项式n x x ??? ? ? +4 21的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中所有有理项． 分析：本题是典型的特定项问题，涉及到前三项的系数及有理项，可以通过抓通项公 式解决． 解：二项式的展开式的通项公式为： 4324121C 21)(C r n r r n r r n r n r x x x T --+=?? ? ??= 前三项的.2,1,0=r 得系数为：)1(8 141C ,2121C ,123121-=====n n t n t t n n ， 由已知：)1(8 1 12312-+=+=n n n t t t ， ∴8=n 通项公式为 14 3168 1,82,1,02 1C +- +==r r r r r T r x T Λ为有理项，故r 316-是4的倍数， ∴.8,4,0=r 依次得到有理项为22 888944 8 541256 121C ,83521C ,x x T x x T x T =====-． 说明：本题通过抓特定项满足的条件，利用通项公式求出了r 的取值，得到了有理项．类 似地，100 3)32(+的展开式中有多少项是有理项？可以通过抓通项中r 的取值，得到共有 系数和为n 3． 2.（1）求10 3 )1()1(x x +-展开式中5x 的系数；（2）求6)21 (++ x x 展开式中的常数项． 分析：本题的两小题都不是二项式展开，但可以转化为二项式展开的问题，（1）可以视为两个二项展开式相乘；（2）可以经过代数式变形转化为二项式． 解：（1）10 3)1()1(x x +-展开式中的5x 可以看成下列几种方式得到，然后合并同类项： 用3)1(x -展开式中的常数项乘以10)1(x +展开式中的5x 项，可以得到5 510C x ；用 3)1(x -展开式中的一次项乘以10)1(x +展开式中的4x 项可得到54104410C 3)C )(3(x x x -=-；
例说二项式定理的常见题型及解法 二项式定理的问题相对较独立，题型繁多，解法灵活且比较难掌握。二项式定理既是排列组合的直接应用，又与概率理论中的三大概率分布之一的二项分布有着密切联系。二项式定理在每年的高考中基本上都有考到，题型多为选择题，填空题，偶尔也会有大题出现。本文将针对高考试题中常见的二项式定理题目类型一一分析如下，希望能够起到抛砖引玉的作用。 一、求二项展开式 1．“n b a )(+”型的展开式 例1．求4)13(x x + 的展开式； 解：原式=4 )1 3( x x +=2 4)13(x x + = ])3()3()3()3([144342 243144042C C C C C x x x x x ++++ =)112548481(1 2342++++x x x x x =541 12848122++++x x x x 小结：这类题目一般为容易题目，高考一般不会考到，但是题目解决过程中的这种“先化简在展开”的思想在高考题目中会有体现的。 2． “n b a )(-”型的展开式 例2．求4)13(x x - 的展开式； 分析：解决此题，只需要把4)13(x x - 改写成4)]1(3[x x -+的形式然后按照二项展开式的格式展 开即可。本题主要考察了学生的“问题转化”能力。 3．二项式展开式的“逆用” 例3．计算c C C C n n n n n n n 3)1( (279313) 2 1 -++-+-； 解：原式=n n n n n n n n C C C C C )2()31()3(....)3()3()3(3 33 22 11 -=-=-++-+-+-+ 小结：公式的变形应用，正逆应用，有利于深刻理解数学公式，把握公式本质。
1 1 1 1 例 5 化简：(x" y 2) (x 4 yj 二、二项式知识回顾 1. 二项式定理 （a b ）n C 0a n C ：a n B L C ：a n k b k L C ；b n , k 以上展开式共n+1项，其中C n 叫做二项式系数, （请同学完成下列二项展开式） (a b)n C 0a n C ：a n 1b 1 L ( 1)k C ：a n k b k L (1)n C ：b n , T k 1 k k n k k (1) C n a b (1 x)n C 0 C ：x L C'x k L C ；x n ① (2x 1)n C 0 (2x)n C n (2x)n1 L k n k C n (2x) L C ； 1(2x) 1 n n 1 i a n x a n 1x L a n n k k x L a 1x a 。 ② 一、指数函数运算 知识点：1整数指数幕的概念. a n a a a a(n N*) 六、二项式定理 a 0 1(a 0) 1 a n -(a 0,n N*) * a n 2 ?运算性质： a m a n a m n (m,n Z) , (a m )n a mn (m,n Z) , (ab) 3.注意 ① m a a n 可看作a m a n m ??? a n m a =a a n m n =a + ② (a )n 可看作a n b n .,a 、n J …(_) =a n n a b = n ? b b b m 4、a 下 Va m ( a >0, m n € N,且 n > 1) * n 个a n a n b n (n Z) 例题: 例1求值： 2 1 3 SoQ 3 碍八 例2用分数指数幕的形式表示下列各式: 1) a 2 【最新整理，下载后即可编辑】 二项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111 ()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=++ ++ +, 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数，1k n k k k n T C a b -+=叫 做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++ ① 0111 (21)(2)(2)(2)(2)1n n n k n k n n n n n x C x C x C x C x ---+=+++++ 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++ ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到 012n n n n n C C C +++=，即二 项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即021312n n n n n C C C C -++=++= ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等，且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )= a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴ a 0+a 1+a 2+a 3……+a n =f(1) ⑵ a 0-a 1+a 2-a 3……+(-1)n a n =f(-1) 二项式定理例题讲解 分 类 计 数 原 理 分 步 计 数 原理 做一件事，完成它有n 类不同的办法。第一类办 法中有m1种方法，第二类办法中有m2种方 法……，第n 类办法中有mn 种方法，则完成这件 事共有：N=m1+m2+…+mn 种方法。 做一件事，完成它需要分成n 个步骤。第一步中有m1种方法， 第二步中有m2种方法……，第n 步中有mn 种方法，则完成 这件事共有：N=m1 m2 … mn 种方法。 注意：处理实际问题时，要善于区分是用分类计数原理还是分步计数原理，这两个原理的标志是“分类”还是“分步骤”。 排列 组合 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一排，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的排列。 从n 个不同的元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n 个不同的元素中取m 个元素的组合。 排列数 组合数 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有排列 的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的 排列数，记为Pnm 从n 个不同的元素中取m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫 做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，记为Cnm 选排列数 全排列数 二项式定理 二项展开式的性质 (1)项数：n+1项 (2)指数：各项中的a 的指数由n 起依次减少1，直至0为止；b 的指出从0起依次增加1，直至n 为止。而每项中a 与b 的指数之和均等于n 。 (3)二项式系数： 各奇数项的二项式数之和等于各偶数项的二项式的系数之和 例1．试求： （1）(x 3－ 22x )5 的展开式中x 5的系数； （2）(2x 2－x 1 )6的展开式中的常数项； （3）(x －1)9的展开式中系数最大的项； （4）在1003)23(+x 的展开式中，系数为有理数的项的个数． 解：（1）T r ＋1＝r r r r r r x C x x C 51552535)2()2() (---=- 依题意15－5r ＝5，解得r ＝2 故(－2)2r C 5＝40为所求x 5的系数 （2）T r ＋1＝r C 6(2x 2)6 － r r x )1(-＝(－1)r ·26－ r ·r r x C 3126- 依题意12－3r ＝0，解得r ＝4 故4 )1(-·222 6C ＝60为所求的常数项． （3）T r ＋1＝r )1(-r r x C -99 ∵1265 949==C C ，而(－1)4＝1，(－1)5＝-1 ∴ T 5＝126x 5是所求系数最大的项 （4）T r ＋1＝r r r r r r r x C x C -- -??=1003 2 50100 3 100100 23 )2() 3(, 要使x 的系数为有理数，指数50－ 2r 与3 r 都必须是整数， 因此r 应是6的倍数，即r ＝6k （k ∈Z ）， 又0≤6k ≤100，解得0≤k ≤16 3 2 （k ∈Z ） ∴x 的系数为有理数的项共有17项． 评述 求二项展开式中具有某特定性质的项，关键是确定r 的值或取值范围．应当注意的是二项式系数与二项展开式中各项的系数不是同一概念，要加以区分． 排列组合及二项式定理概念及公式总结 1.分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n 类办法，在第一类办法中有1m 种不同的方法，在第二类办法中有2m 种不同的方法，……，在第n 类办法中有n m 种不同的方法那么完成这件事共有 N=m 1+m 2+……+m n 2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有m 1种不同的方法，做第二步有m 2种不同的方法，……，做第n 步有m n 种不同的方法，那么完成这件事有N=m 1×m 2×……m n 种不同的方法 分类要做到“不重不漏”，分步要做到“步骤完整” 3.两个计数原理的区别: 如果完成一件事，有n 类办法，不论哪一类办法中的哪一种方法，都能独立完成这件事,用分类计数原理， 如果完成一件事需要分成几个步骤，各步骤都不可缺少，需要完成所有步骤才能完成这件事，是分步问题,用分步计数原理. 4.排列:从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素并按一定的顺序排成一列,叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列. （1）排列数: 从n 个不同的元素中取出m 个(m ≤n)元素的所有排列的个数.用符号m n A 表示 （2）排列数公式:)1()2)(1(+-???--=m n n n n A m n 或m n A )! (! m n n -=() n m N m n ≤∈*,, n n A =!n =()1231????- n n =n(n-1)! 规定 0！=1 5.组合：一般地，从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合 （1）组合数: 从n 个不同元素中取出m ()m n ≤个元素的所有组合的个数，用m n C 表示 （2）组合数公式: (1)(2)(1) ! m m n n m m A n n n n m C A m ---+==或 )! (!! m n m n C m n -= ),,(n m N m n ≤∈*且 1．二项式定理 ⑴二项式定理 () ()011222...n n n n n n n n n n a b C a C a b C a b C b n --*+=++++∈N 这个公式表示的定理叫做二项式定理． ⑵二项式系数、二项式的通项 011 222 ...n n n n n n n n n C a C a b C a b C b --++++叫做()n a b +的二项展开式，其中的系数 () 0,1,2,...,r n C r n =叫做二 项式系数，式中的r n r r n C a b -叫做二项展开式的通项，用1r T +表示，即通项为展开式的第1r +项：1r n r r r n T C a b -+=． ⑶二项式展开式的各项幂指数 二项式()n a b +的展开式项数为1n +项，各项的幂指数状况是 ①各项的次数都等于二项式的幂指数n ． ②字母a 的按降幂排列，从第一项开始，次数由n 逐项减1直到零，字母b 按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n ． ⑷几点注意 ①通项1r n r r r n T C a b -+=是()n a b +的展开式的第1r +项，这里0,1,2,...,r n =． ②二项式()n a b +的1r +项和()n b a +的展开式的第1r +项r n r r n C b a -是有区别的，应用二项式定理时，其中的a 和b 是不能随便交换的． ③注意二项式系数（r n C ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而项的系数有时可为负． ④通项公式是()n a b +这个标准形式下而言的，如()n a b -的二项展开式的通项公式是 ()11r r n r r r n T C a b -+=-（只须把b -看成b 代入二项式定理）这与1r n r r r n T C a b -+=是不同的，在这里对应项的 二项式系数是相等的都是r n C ，但项的系数一个是()1r r n C -，一个是r n C ，可看出，二项式系数与项的系 知识内容 求展开式中的指定项 【高考导航】 二项式定理在高考中每年一道题，题型为以下几种：求展开式某一项或某一项的系数；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和；二项式某一项为字母，求这个字母的值；求近似值的问题.试题难度不大，与教材习题相当.因此，二项式定理一节内容的学习或复习要重视基础，对二项式定理的展开式、通项公式、二项式系数的性质等弄清原理，熟练掌握，不必追求难解题. 【学法点拨】 本节内容是初中所学多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式乘方的展开式，是培养观察，归纳能力的好题材，二项式定理是以公式形式表现二项式的正整数幂的展开式在指数、项数、系 数等方面内在联系的重要定理，应在(a ＋b)2、(a ＋b)2、（a ＋b ）2 的展开式的了解基础上，归纳掌握好二项式定理.通项公式T ＝C (r ＝0，1，2，…，n)集中体现了二项式展开式中的指数、项数、系数的变化，是二项式定理的核心它是求展开式的某些项（如含指定幂的项、常数项、中间项、有理项、系数最大的项等）以及系数的重要公式. 二项式系数C (r ＝0，1，2，…，n)是一组仅与二项式的次数n 有关的n ＋1个组合数，而与a 、b 无关， 它不包括a 、b 本身（或a 、b 的某次幂）的系数.只有当求某指定项的系数时，才包括a 、b 的系数，称展开式中的某一项的系数，当二项式两项本身的系数都是1时，展开式的二项式系数就是展开式各项的系数，但当二项式的两项本身的系数不为1时，这两者就不同了，要在把握概念的基础上掌握好二项式系数的性质及应用. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.二项式定理：(a ＋b)n ＝C a n ＋C a n －1 b ＋…＋C a n －r b r ＋…＋C b n (n ∈N *) 2.通项公式：T r ＋1＝C a n －r b r 3.二项式系数性质： (1)距两端等距离的二项式系数相等，即C ＝C . (2)二项式系数的中间项或中间两项的二项式系数最大. 当n 为偶数时，中间一项（即第＋1项）的二项式系数最大; 当n 为奇数时，中间两项（即第和第＋1项）的二项式系数最大. (3)在二项展开式中各项的二项式系数和为2n ，即： C ＋C ＋C ＋…＋C ＝2n . (4)在二项展开式中，奇数项二项式系数的和等于偶数项二项式系数的和，都等于2n －1，即 C ＋C ＋C ＋…＝C ＋C ＋C ＋…＝2n －1. 二、重点难点突破 掌握二项式定理及其通项公式是本节的重点，会求二项展开式、展开式的中间项等指定项，会求二项式系数，指定项系数等.这些都是二项式定理的灵活运用，是本节的难点.突破难点的关键是准确熟练地写出二项展开式及通项公式. (a ＋b)n 的展开式具有如下性质： 1.展开式的项数：共n ＋1项. 2.展开式的每一项的指数：a 与b 的指数之和为n ，即二项展开式各项的次数等于二项式的次数n ，字母a 的指数依次降幂排列，指数由n 逐次减1直到0，字母b 按升幂排列，指数从0起逐项加1到n. 3.二项式系数的特征：每一项的系数为一组合数，第r ＋1项的系数为C . 学习二项式定理时，还应注意： 1.二项式定理从左到右的使用为展开，从右到左的使用可以化简、求和和证明.这个公式的逆用功能不可忽视. 2.对于通项公式是相对于(a ＋b)n 标准形式而言的，对于(a －b)n 的展开式的通项T r ＋1＝(－1)r C a n －r b r ，它是第r ＋1项而不是第r 项，公式中的a ，b 位置不能颠倒.利用通项公式可求展开式的特定项. 3.应用二项式定理时，要有目标意识，同时要处理好“一般”与“特殊”的关系，注意变形的技巧以及等价转化的数学思想方法. 三、易错点和易忽略点导析 1 +r r r n r n b a -r n 0n 1n r n n n r n k n k n n -2n 21+n 21 +n 0 n 1 n 2 n n n 0 n 2 n 4 n 1 n 3 n 5 n r n r n 《二项式定理》说课稿 一、教材分析 二项式定理一节，分四个课时.这里讲的是第一课时，重点是公式的推导，其次是二项式定理及二项展开式通项公式的简单应用，至于二项式定理及二项展开式的通项公式的灵活运用和二项式系数的性质留在第二、三、四课时. 二项式定理是初中学习的多项式乘法的继续，它所研究的是一种特殊的多项式——二项式的乘法的展开式，这一小节与不少内容都有着密切联系，特别是它在本章学习中起着承上启下的作用.学习本小节的意义主要在于：（1）由于二项式定理与概率理论中的三大概率分布之一———二项分布有内在联系，本小节是学习后面的概率知识以及进一步学习概率统计的准备知识. （2）由于二项式系数都是一些特殊的组合数，利用二项式定理可得到关于组合数的一些恒等式，从而深化对组合数的认识. （3）基于二项式展开式与多项式乘法的联系,本小节的学习可对初中学习的多项式的变形起到复习、深化的作用. （4）二项式定理是解决某些整除性、近似计算问题的一种方法. 二、目的分析 结合重点中学学生的实际情况，确定本节课的教学目标如下： 1、掌握二项式定理及二项展开式的通项公式，并能熟练地进行二项式的展开及求解某些指定的项. 2、通过探索二项式定理，培养学生观察问题发现问题,归纳推理问题的能力. 3、激发学生学习兴趣、培养学生不断发现，探索新知的精神，渗透事物相互转化和理论联系实际的辩证唯物主义观点，并通过数学的对称美，培养学生的审美意识. 重点：二项定理的推导及运用 难点：二项式定理及通项公式的运用 三、教法分析： 新的数学课程标准提出：掌握数学知识只是结果，而掌握知识的活动过程才是途径，通过这个途径，来挖掘人的发展潜能才是目的，结果应让位于过程.没有途径，学生无法达到目的，因此，在教学中，必须贯彻好过程性原则，既要重视学生的参与过程，又要重视知识的重现过程.也就是说，在教学过程中，充分揭示每一个阶段的思维活动过程，通过思维活动过程的暴露和数学创新活动过程的演变，使教学活动成为思维活动的教学，由此来启发、引导学生直接或间接地感受和体验知识的产生、发展和演变过程. 变传统的“接受性、训练性学习”为新颖的“探究式、发现式的学习”，变教师是传授者为组织者、合作者、指导者，在学习过程中，教师想尽办法激发学生探究式、发现式学习的兴趣，并使其作为一种教学方式应用于概念、定理、公式和解题教学中，让学生在探究、发现中获取知识，发展能力.从而增强学生的主体意识，提高学生学习的效果. 四、过程分析： （一）创设情境，激发兴趣 二项式定理 天津四中 李萍 2008年3月31日 课题：二项式定理 第一课时：二项展开式及通项公式 一、教学目标 （1）知识与技能：理解二项式定理及其推导方法，掌握二项展开式的基本特征； 能应用二项式定理求二项展开式，能运用展开式中的通项公 式求展开式中的特定项． （2）过程与方法：通过二项式定理的推导过程理解从特殊到一般的思维方法， 培养学生的观察归纳能力、抽象思维能力和逻辑思维能力． （3）情感与价值观：通过本节学习，进一步培养提高学生的归纳推理能力，树 立由特殊到一般的归纳以及探究意识． 二、教学重、难点： 教学重点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，归纳得出二项式定理，并能用计数原理证明；掌握二项式的通项公式；能应用它解决简单问题． 教学难点：用两个计数原理分析 2)b a +（的展开式，并能用计数原理证明． 三、教学方法与手段： 1. 教学方法：诱导启发、自主探究的互助式教学方法． 2. 教学工具：多媒体辅助教学． 四、教学过程设计: 1．创设情境 引入新课: 问题1：今天是星期一，那么8天后的这一天是星期几呢？若23天后的这一天 呢？若82008天后的这一天呢？ 设计意图：通过学生所熟知的问题情境引入本节课的教学内容，提高学生的学习 兴趣和学习热情，达到有效教学的目的． 2．探索研究 由 2222)b ab a b a ++=+（ 3223333)(b ab b a a b a +++=+ 当时是利用多项式乘法法则依次展开，遇到同类项加以合并得到的．那么对于 4)b a +（， 5)b a +（的展开式，以至于 100)b a +（展开式还能用这个方法得到吗？分析 2)b a +（展开过程： 设计意图：引导学生将 2)b a +（的展开式与两个计数原理联系起来，分析展开式项的形式及各项前的系数，用组合数表示 2)b a +（展开式的系数． 二 项式定理 二项式知识回顾 1. 二项式定理 0111()n n n k n k k n n n n n n a b C a C a b C a b C b --+=+++++L L , 以上展开式共n+1项，其中k n C 叫做二项式系数， 1k n k k k n T C a b -+=叫做二项展开式的通项. （请同学完成下列二项展开式） 0111()(1)(1)n n n k k n k k n n n n n n n a b C a C a b C a b C b ---=-++-++-L L ，1(1)k k n k k k n T C a b -+=- 01(1)n k k n n n n n n x C C x C x C x +=+++++L L ① 1110n n n k n n n k a x a x a x a x a ----=+++++L L ② ① 式中分别令x=1和x=-1，则可以得到012n n n n n C C C +++=L ，即二项式系数和等于2n ； 偶数项二项式系数和等于奇数项二项式系数和，即0213 12n n n n n C C C C -++=++=L L ② 式中令x=1则可以得到二项展开式的各项系数和. 2. 二项式系数的性质 （1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即m n m n n C C -=. （2）二项式系数k n C 增减性与最大值： 当12n k +< 时，二项式系数是递增的；当1 2 n k +≥时，二项式系数是递减的. 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值.当n 是奇数时，中间两项12n n C -和12n n C +相等， 且同时取得最大值. 3.二项展开式的系数a 0,a 1,a 2,a 3,…,a n 的性质：f(x )=a 0+a 1x +a 2x 2+a 3x 3……+a n x n ⑴a 0+a 1+a 2+a 3......+a n =f(1) ⑵a 0-a 1+a 2-a 3......+(-1)n a n =f(-1) ⑶a 0+a 2+a 4+a 6 (2) 1()1(-+f f ⑷a 1+a 3+a 5+a 7……=2 ) 1()1(--f f 经典例题二项式定理(通项公式)(完整资料).doc
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