内接于正十二面体五个正方体
作法Five Cubes in a Dodecahedron
做一正十二面体在平面上
做一多边形，如左图分别点选4个顶点
最后再按一次左键，确认多边形
移至内部做一立方体在正方形上
做一直线在Z轴向量上，直至向量点击
即可
做旋转先选择直线
再选择正方体
选择如左图的映射点
再选择如左图的映射到的顶点
同上作法先选择直线
此时选择刚刚产生的新正方体选择跟刚刚相同的映射点
选择相同映射到的顶点
以此类推，共旋转四次
把不必要的对象ctrl+M隐藏即可
正方体的截面形状 一：问题背景 在家做饭时，切菜尤其是切豆腐时，发现截面有很多形状。若用不同的截面去截一个正方体，得到的截面会有哪几种不同的形状？ 二：研究方法 先进行猜想，再利用土豆和萝卜通过切割实验研究。 三：猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下: 由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下：
由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4. 三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下 由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下: 5. 猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当 A （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形: ==》 ==》得到: 正三棱锥
（3 ）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面: 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4 ）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面: 拓展探究：1?正方体最大面积的截面三角形2.正方体最大面积的截面四边形3.最大面积的截面形状4.截面五边形、六边形性质i.正方体最大面积的截面三角形：
正方体的平面展开图的判断问题 题目特点：选择题，给出正方体相邻的三个面，并且三个面上分别标有不同的图案，要求判断其平面展开图是哪一个。 解题方法：排除法。 先看选择项中标有图案的面是否相对，若相对，排除。 然后注意到带图案的三个面有一个公共点，在原图和展开图上标出这个公共点。 最后，将其中的两个折叠后复原（如前面的面和上边的面），看另一个面是否符合，找出正确 的答案。 4.如图所示的立方体, 将其展开得到的图形是 注意：做题时，可将试卷旋转或颠倒一下判断，也可动手实际操作一下。 1.右面这个几何体的展开图形是（ ) ■1 ■■------- 11 C ◎ 1 ■ 1 1 △ 1 1 q 1 D 2.如图几何体的展开图形最有可能是（ 石◎ △d□O]|v 1 O B、Q C —D、— A 、 ) 3.如图所示的正方体, 若将它展开，可以是下列图形中的（ 中华 愛 沪华 A 、 B 、 中华 中华 C 、 rm A 、 C 、 5.四个图形是如图的展开图的是（ rn 6.如左图所示的正方体沿某些棱展开后, B 、 D 、 D 能得到的图形是（
9. 下图右边四个图形中，哪个是左边立体图形的展开图（ 10. 如图，有一个正方体纸盒，在它的三个侧面分别画有三角形、 剪开成一个平面图形，则展开图可以是（ ） 11. 画分成九个全等的小正方形，并分别标上 为（ ） ) & 一个三面带有标记的正方体，如果把它展开，应是下列展开图形中的（ ribi B 、 C 、 D 、 A 、 D 、 A 、 ■ ■ ■ B 、 C 、 A 、 ■ r ■ > 1 , 卡 1 岸 H" B C 、 1 ■ ?― i .1 . I T D 、 1.下面简单几何体的左视图是 （）. A . C . D . 2.如图所示，右面水杯的俯视图是 （ A C I> 正面 正方形和圆，现用一把剪刀沿着它的棱 0、＞两符号.若下列有一图
正方体的11种平面展开图 正方体的平面展开图共有11种（那些经旋转或翻转后方向不同但实质相同的图形不重复计算），具体来讲分以下4类。 第一类：“1—4—1”型，其特点是有4个连成一排的正方形，两侧又各有1个正方形，共有6种。 第二类：“1—3—2”型，其特点是有3个连成一排的正方形，这一排正方形的一侧有1个正方形，另一侧有2个正方形（其中只有1个与中间那一排相连），共有3种。 第三类：“2—2—2”型，其特点是有2个连成一排的正方形，其两侧又各有2个连成一排的正方形，只有1种。 第四类：“3—3”型，其特点是有3个连成一排的正方形，其一侧还有3个连成一排的正方形，只有1种。 注： ①将长方体、正方体展开：无论怎么剪，都要剪7条棱。 ②“隔”的原理：相对的面如果在同一行或同一排，中间一定只隔一个面； 相对的面如果不在同一行或同一排，中间可以隔着一些面。 ③长方体、正方体中各面的关系：相对、相邻。 每个面都有1个相对的面，4个相邻的面。 注：立体图中相对的面在展开图中符合“隔”的原理，而相邻的面在展开图中不符合“隔”的原理。 ④长方体、正方体中最多可以同时看到三个面，且这三个面都是相邻的面。 ⑤要区分好是从“立体图”到“展开图”，还是从“展开图”到“立体图”： 正方体、长方体展开图 ⑥长方体（不包含正方体）最多有1组相对的面是正方形；当有2组相对的面是正方形时，长方体就变成了正方体（特殊的长方体）。 长方体（不包含正方体）的6个面中，最多有4个面的面积相等；12条棱中，最多有8条棱长度相等。（即2个相对的面是正方形，其余四个面变为完全相同的长方形。） ⑦正方体的棱长扩大a倍：棱长和扩大a倍，表面积扩大a2倍，体积扩大a3倍。 （给出其中一个，要能将其余的都求出来） ⑧常见的平方、立方（需熟记在心） 12=1 22=4 32=9 42=16 52= 25 62=36 72=49 82=64 92=81 …… 13=1 23=8 33=27 43=64 53= 125 63=216 …… 互逆
关于正方体截面形状探究 引题： 问题1：什么叫几何体的截面？ 答：一个几何体与一个平面相交所得到的平面图形叫做几何体的截面。 问题2：截面的边是如何得到的？ 答：截面的边是平面和几何体表面的交线。 问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图形呢？截面图形最多有几条边？ 答：因为正方体有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到的截面图形最多有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1：截面图为三角形时，有几种情况？ 1. 是否可以截出等腰三角形： E A A 1 解析: 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面GEF 显然，只要BE=BF 就有GE=GF, ⊿GEF 就是等腰三角形 所以，截到等腰三角形的情况存在。 2.是否可以截出等边三角形: 解析
E A A 1 一正方体被一平面截后得到三角形GEF ， 只要BE=BF=BG 就有GE=EF=GF 所以，截到等边三角形的情况存在。 3.是否可以截出直角三角形： A A 1 解析：若一正方体被一平面截后∠GEF 是直角， 那么：GE ⊥EF 又因为GB ⊥EF 所以EF ⊥面GBE 所以EF 与FB 重合 即E 点与B 点重合 不合实际 所以，这截得是普通三角形，不是直角三角形。 结论1：用平面去截正方体能截到三边形： （1）等腰三角形，(2)等边三角形，(3)普通三角形； (不能截得直角三角形) 探究2：如果，截面为四边形，那么，可以截出哪几类呢? 1.可以截出长方形： 分析：过一正方体的一棱有无数个矩形，只要长宽不等，就是长方形。所以，存在这一情况。
正方体的十一种平面展开图可记忆成下面口诀： 一三二，一四一，一在同层可任意，两个三，日状连，三个二，成阶梯，相邻必有日，整体没有田。相对的两个面之间总隔着一个面 正方体：中间四个面，上下各一面（6种摆法-141） 中间三个面，一二隔河见（3种摆法-132/231） 中间二个面，楼梯天天见（1种摆法-222) 中间没有面，三三连一线（1种摆法-33）
例1 在图13中（每个小四边形皆为全等的正方形），可以是一个正方体表面展开图的是( ). 例2图14是一个正方体包装盒的表面展开图，若在其中的三个正方形A、B、C 内分别填上适当的数,使得这个表面展开图沿虚线折成正方体后,相对面上的两个数互为相反数,则填在A、B、C内的三个数依次是( ). A.0,-2,1 B.0,1,-2 C.1,0,-2 D.-2,0,1 例3图15所示的是一个正方体包装盒的表面展开图，各个面上标注的数字分别为1，2，3，4，5，6。现将表面展开图复原为正方体包装盒，则标注数字1和3的两个面是互相平行的，请你写出另一组相互平行的面上所对应的数字： _______。 注：例1、例2、例3的答案分别为：C;A;2与5或4与6。是不是有点多此一举？ 例4 一个无盖的正方体纸盒，将它展开成平面图形，可能情况总共有（）。A．12种 B.11种 C.9种 D.8种 千万注意，你可不要选B呦！选D才对。我又在炫耀了，不过你能很快画出这8个平面展开图吗？ 下面是示意图，黑方块表示展开图，白方块表示空缺。 （一） □■□ ■■■ □■□ （二） ■■■■ ■□□□ （三） ■■■■ □■□□ （四） ■■■■ □□■□ （五） ■■■■ □□□■ （六） □■□ ■■■ □□■ （七） □□■
单元（章节）课题结构素描 本节课题十二面体结构画法 三维目标 知识与技能：要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视 过程与方法：通过示范与讲解，在听讲中理解其结构与画法，在实践中进一步掌握画法。 情感、态度价值观：在学习中提升绘画技能，在实践中树立信心。 提炼的课题 十二面体由于块面较多，结构复杂，对学生来说比较难，特别是在造型与观察中存在形体不准，观察方法单一。 教学重难点[来源学科网ZXXK] 教学重点：物体的形状个性、结构、透视。 教学难点：物体的分面、透视。 教学过程 导入[来源学科网 ZXXK] [来源学。科。网] 示范与讲解 一、十二面体的特点 石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍[来源:Z#xx#https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,] 二、结构特点[来源学#科#网Z#X#X#K] 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。（如图）
[来源学+科+网] [来源:https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,] [来源:https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,] [来源:Z*xx*https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,] 三、结构画法（示范与讲解） 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后 边几个步骤中能够进行修理。（如图） 第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各 边的长短在视觉上有了很大的差异。 组织学生开展实践操作。
正方体的截面问题 根据日常经验及想象，我们小组做出下列猜想： （1）正方形（2）矩形（3）平行四边形（4）三角形 2.猜想及其他可能的证明： 1.正方形： 因为该立体几何图形是正方体，所以用从任意位置与该正方体上下底面平行的平面进行截取可以得到，或者和侧面平行进行截取，由下列图示证明： ====》》》 由图示可知，水平方向截取正方体，得到的截面为正方形。 ====》》》 由图示可知，竖直方向截取正方体，得到的截面为正方形。 2.矩形： 因为正方形也属于矩形，所以对正方形的证明同适用于矩形。其次，当长宽不等的矩形截面的图示如下：
由上图所示可知，按不同角度截取正方体可以得到矩形。例如，正方体的六个对角面都是矩形。 3.平行四边形： 当平面与正方体的各面都不平行时，所得截面为平行四边形，图示如下： ==》 由上图所示可知，当截面不与正方体的各面平行时，所得截面可能为平行四边形。 4.三角形： 根据一定角度过正方体的三条棱进行截取可以得到三角形的截面，图示如下: ==》》》
由上图可知，正方体可以截得三角形截面。但一定是锐角三角形，包括等腰和等边三角形 特别的，当截面刚好经过三个面的对角线时，所得的三角形截面为正三角形，图示如下： ==》得到：正三棱锥 5.猜想之外的截面形状： （1）菱形： 如下图所示，当A,B为所在棱的中点时，该截面为菱形： （2）梯形： 如图所示，当按一定角度使截面在正方体的上下底面上所存在的线段长短有异时，所得截面可能是梯形：
==》》》 （3）五边形： 如图所示，可以截得五边形截面： =》 通过实践及资料查询可知，无法得到正五边形。 （4）六边形： 如图所示，可以截得六边形截面： =》 特别的，当平面与正方体各棱的交点为中点时，截面为正六边形，如图所示：
展开图如下所示： 若以正二十面体的中心为原点，各顶点的坐标分别为Φ,0,±1)}，在此Φ = (1+
正十二面体是正二十面体的对偶多面体。 建立模型的基本过程如下： void CTestView::ReadPoint()//点表 { double a=180;//长方形的宽 double b=a*(1+sqrt(5))/2;//黄金分割的矩形的长 double half=0.5; //第一个长方形的各个顶点 P[0].x=half*a;P[0].y=0;P[0].z=half*b; P[1].x=-half*a;P[1].y=0;P[1].z=half*b; P[2].x=half*a;P[2].y=0;P[2].z=-1/2.0*b; P[3].x=-1/2.0*a;P[3].y=0;P[3].z=-half*b; //第二个长方形的各个顶点 P[4].x=half*b;P[4].y=-half*a;P[4].z=0; P[5].x=half*b;P[5].y=half*a;P[5].z=0; P[6].x=-half*b;P[6].y=half*a;P[6].z=0; P[7].x=-half*b;P[7].y=-half*a;P[7].z=0; //第三个长方形的各个顶点 P[8].x=0;P[8].y=-half*b;P[8].z=half*a; P[9].x=0;P[9].y=-half*b;P[9].z=-half*a; P[10].x=0;P[10].y=half*b;P[10].z=half*a; P[11].x=0;P[11].y=half*b;P[11].z=-half*a; } void CTestView::ReadFace()//面表 { //面的边数、面的顶点编号 F[0].SetEN(3) ;F[0].p[0]=0 ;F[0].p[1]=5 ;F[0].p[2]=10 ; F[1].SetEN(3) ;F[1].p[0]=5 ;F[1].p[1]=2 ;F[1].p[2]=11 ; F[2].SetEN(3) ;F[2].p[0]=11 ;F[2].p[1]=3 ;F[2].p[2]=6 ; F[3].SetEN(3) ;F[3].p[0]=6 ;F[3].p[1]=1 ;F[3].p[2]=10 ; F[4].SetEN(3) ;F[4].p[0]=7 ;F[4].p[1]=1 ;F[4].p[2]=6 ; F[5].SetEN(3) ;F[5].p[0]=1 ;F[5].p[1]=0 ;F[5].p[2]=10 ; F[6].SetEN(3) ;F[6].p[0]=8 ;F[6].p[1]=0 ;F[6].p[2]=1 ; F[7].SetEN(3) ;F[7].p[0]=0 ;F[7].p[1]=4 ;F[7].p[2]=5 ; F[8].SetEN(3) ;F[8].p[0]=4 ;F[8].p[1]=2 ;F[8].p[2]=5 ; F[9].SetEN(3) ;F[9].p[0]=2 ;F[9].p[1]=3;F[9].p[2]=11 ;
正方体截面问题 课题:正方体截面问题 班级:高二(2)班 小组:数学兴趣小组 指导老师:王长喜 组员:崔云鹏、庹元杰、张成昊、杨浩、陈一峰、尚世伟、彭世宇 组长:张皓楠 课题目的:探索正方体可能的截面形状，通过实践和图示来证明其结果，列举特 例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。探究方法:首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方 法证明猜想得正确与否。再通过网络的资料查询，寻找未猜想到的情况。 大题小做: :什么叫几何板的截面, 问题1 答:一个几何和一个平面相交所得到的平面图形 (包含它的内部)，叫做几何体的截面。问题2:截面的边是如何得到的, 答:截面的边是平面和几何体各面的交线。问题3:正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢,截面图最多有几条边, 答:因为正方形只有六个面，所以它与平面最多有六条交线，即所截到得截面图最都有六条边。所以截图可能是三角形，四边形，五边形，六边形。 探究1:截面图为三角形时，有几种情况, 1.是否可以截出等腰三角形: (1)解析:
A’ a C c B bA 如上图，一正方体被一平面所截后得到截面abc 若截面三角形abc是 以为bc底的等腰三角形， 那么只要三角形Aba全等于三角形Aca就可以截到。 所以，截到等腰三角形的情况存在。 (2)做法: 在一棱AA’上取a 在棱AB.AC上取Ab.等于Ac. 就可得到以bc为底的等腰三角abc。 (3)证明:因为角bAa等于角cAa， Aa边公用， Ab等于Ac， 所以三角形全等于三角形。所以ba等于ca, 所以三角形abc是以为bc底的等腰三角形。 2.是否可以截出等边三角形: (1)解析 A’ a C c bBA 一正方体被一平面截后得到三角形abc，若三角形abc是等边三角形，
细说正方体的截面图形 在实际生活中时常出现实物几何体的切面所形成的截面图形形状，在中学数学中也学习了几何体的截面图形，截面是一个平面去截一个几何体得到的平面图形或一个平面与几何体表面交线围成的封闭图形，。截面图形更好的将平面几何与立体几何联系起来，探究具体几何体的截面图形有助于更深入的认识几何体，发展正确的空间观念。对于一个几何体不同的切截方式所得到的截面图形可能出现不同的情况。现具体以正方体为例来探究正方体的截面图形形状。一个平面截正方体与各面的交线都是线段，因此正方体的截面图形都是平面图形。正方体有六个面，用一个平面去截正方体至少要经过正方体的三个面而最多要经过六个面，所有出现的截面图形边数至少是三条而最多是六条，则只可能出现三角形、四边形、五边形、六边形。 一、截面图形是三角形 用一平面去截正方体经过正方体三个面时得到的截面图形是三角形 1.截面图形是锐角三角形 如下图，一个平面截正方体任意三个面得到截面△EFG ，BE=a,BF=b,BG=c.可得EF=22b a +,EG=22c a +,FG=22c b +. （1）如图①，当a ≠b ≠c 时，则EG ≠FG ≠EF,即截面△EFG 是一般三角形。 （2）如图②，当a=b ≠c 时，则EG=FG ≠EF 即截面△EFG 是等腰三角形。 同理可得a=c ≠b 或b=c ≠a 时截面△EFG 是等腰三角形。 （3）如图③,当a=b=c 时EF=FG=EG 即截面△EFG 是等边三角形 2.截面图形不能是直角三角形 如图①，2EF =22b a +，2FG =22c b +,2EG =22c a +, 则222EG FG EF +<,222EG EF FG +<,222EG FG EF +<,所以截面三角形不可能是直角三角形。 3.截面图形不可能是钝角三角形 如图①，cos ∠FEG=EG EF FG EG EF ?-+2222=22222 222222c a b a c b c a b a +?+--+++
巧记口诀确定正方体表面展开图及例题解析 一、四方成线两相卫，六种图形巧组合 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 两侧，共六种情况。 二、跃马失蹄四分开 （1） （ 2） （3） （4） 以上四种情况可归结为五个小方块组成“三二相连”的基本图形（ 如图），另外一个小方块的位置有四种情况，即图中四个小方块中 的任意一个，这一图形有点像失蹄的马，故称为“跃马失蹄”。 三、两两错开一阶梯 这一种图形是两个小方块一组，两两错开，像阶梯一样，故称“两两错开一阶梯”。 四、对面相隔不相连 这是确定展开图的又一种方法，也是确定展开图中的对面的一种方法。如果出现三个相连 ，则1号面与3号面是对面，中间隔了一个2号面，并且是对面的一定不相连。 五、识图巧排“7”、“凹”、“田”
（1）（2）（3） 这里介绍的是一种排除法。如果图中出现象图（1）中的“7”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为图中1号面与3号面是对面，3号面又与5号面是对面，出现矛盾。 如果图中出现象图（2）中的“田”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为同一顶点处不可能出现四个面的。 如果图中出现象图（3）中的“凹”形结构的图形不可能是正方体展开图的，因为如果把该图形折叠起来将有两个面重合。 现举例说明： 例1．（2004海口市实验区）下面的平面图形中，是正方体的平面展开图的是（） 解析：本题可用“识图巧排‘7’、‘田’、‘凹’”来解决。A、D都有“凹”形结构，B有“田”形结构，故应选C 例2．（2004扬州）马小虎准备制作一个封闭的正方 体盒子，他先用5个大小一样的正方形制成如右图所示的 拼接图形(实线部分)，经折叠后发现还少一个面，请你在 右图中的拼接图形上再接一个正方形，使新拼接成的图形 经过折叠后能成为一个封闭的正方体盒子. (注：①只需添加一个符合要求的正方形；②添加的正方形 用阴影表示.) 解析：本题可用“跃马失蹄四分开”来解决。图中具备了三二相 连的结构，故本题有四种答案，即小方块的位置有图中所示的 四种情况之一。 2．从立体图找． 例4：如图是3个完全相同的正方体的三种不同放置方式，下底面依次是＿＿＿＿＿＿。 解析 先找相邻的面，余下就是相对的面．上图出现最多的是3，和3相连的有2、4、5、6，余下的1就和3相对．再看6，?和6相邻的有2、3、4，和3相对的是1，必和6相邻，故6和5相对，
素描几何体——十二面体 教学目标： 要求学生掌握物体的基本造型个性、理解物体的结构和基本透视。 教学重点： 物体的形状个性、结构、透视 教学难点： 物体的分面、透视 教学过程： 一、石膏十二面体是隶属于石膏几何形体训练的其中一个内容，它的特点为：块面齐整、造型简练、明暗表现清楚的几大特点，所以在素描练习中具有重要的地位，下面就它的结构特点和素描画法做一个简单的介绍。 二、结构特点 这节课所介绍的多面体的基本形为五边形，而多面体则由十二个五边形所组成，每个五边形的各条边均与其他的五边形相连，形成一个完整的多面体，结构清楚、明暗效果直接明了，让画者很容易的区分黑白灰的层次感觉，便于绘画练习。 三、素描画法 十二面体的素描画法具体分为一下几个步骤： 第一步，考虑画面的构图，也就是说把十二面体在纸上画多大，画在什么位置上。 第二步，用直线画出大的形状。这个步骤画的时候用线不要太重，以便于后边几个步骤中能够进行修理。
第三步画出具体形状。在进行这个步骤的绘画练习时，要把你所能看到的五边形全部绘画出来，但同时要注意，由于角度的不同，所看到的五边形也发生了很大的变化，既各边的长短在视觉上有了很大的差异。 第四步是画出明暗效果，在十二面体的明暗表现时，由于它的块面特点，所以较为容易区分，不必要再先铺设大的色块，直接表现即可。但是再画的时候要注意每一个五边形，由于距离光线的远近不同，五边形本身也就会出现明暗的深浅变化，一般离光近的一边重，其它边要逐渐变浅。
第五步是进行画面上的调整，在这个环节，要求画者要根据画面应有的效果去对画面进行修正，也就是说要添加一些细节部分，去除掉一些繁琐的内容。这样一幅十二面体的素描就画了出来。
正多面体与平面展开图 By Laurinda..201604开始总结，网络搜集 正四面体正六面体正八面体正十二面体正二十面体正四面体正六面体 正八面体正十二面体 正二十面体
正方体展开图 相对的两个面涂上相同颜色，正方体平面展开图共有以下11种。
邻校比我们学校早了几天举行段考，拿他们的数学卷子提供给学生充做模拟考，其中有一题作图题，不好做，它要求将右图，一个由正方形和等腰直角三角形组成的五边形，以两条线切割，重组成一个等面积的等腰直角三角形。 这题让学生和我「奋战」了几节课，却总是画不成。理论上它是可以成立的，因为等腰直角三角形可以和一个正方形等面积，而且由商高定理可以知道，存在一个正方形A，它的面积等于任意两个正方形B、C的面积和。只要A的边长是这两个正方形B、C的边长平方和的正平方根即可。而正方形当然可以等积于一个等腰直角三角 形。 但是如何以两条直线完成这道题呢? 今天(5/19)，我利用周休继续思考这道题，终于完成了，做法如左。
多面体之Euler's 公式(V - E + F = 2) V =顶点数( number of vertices) ; E = 边数(number of edges) ; F = 面数(number of faces) 正四面体(Tetrahedron) V=4,E=6,F=4, 4 - 6 + 4 = 2 正六面体(Cube) V=8,E=12,F=6, 8 - 12 + 6 = 2 正八面体(Octahedron) V=6,E=12,F=8, 6 - 12 + 8 = 2 正十二面体(Dodecahedron) V=20,E=30,F=12, 20 - 30 + 12 = 2 正二十面体(Icosahedron) V=12,E=30,F=20,12 - 30 + 20 = 2
正方体截面的形状
1.按截面图形的边数分类： 三边形（锐角三角形，等腰三角形，等边三角形） 四边形（矩形，菱形，正方形，等腰梯形，梯形） 五边形（五边形） 六边形（六边形，正六边形） 2.（1）证明：截面是三角形 ①锐角三角形 证明：∵设三边为a,b,c ， ∴则证明a^2+b^2>c^2,且 cosC>0,C为锐角。 同理可证，B、C也是锐角，所以三角形ABC是锐角三角形。 ②等腰三角形 证明：取相邻两边任意两点，距离两边交点相等，在第三边取任意一点（与交点不重合） ∵AB长确定，AC=AD,∠CAB=∠DAB=90°。 ∴根据勾股定理可知CB=DB 且三角形为等腰三角形 ③等边三角形
证明： 在AB.AC.AD上,取三点距离原点A相同。 ∵图形为正方体。∴AB=AC=AD 又∵三线两两垂直，根据勾股定理知 BC=CD=BD，且截面为等边三角形。 （2）证明：截面是四边形。 ①．矩形.正方形。 证明：： 取任意一平面平行于上下底面或侧面。且所截图形为正方形。 又∵正方形是特殊的矩形，∴截面可以是矩形。 ∵ABCD平行于上底面，∴AB=BC=CD=AD 又∵AB.BC.CD.AD相交互相垂直，所以截面为正方形。 ②．菱形 证明： 以相对顶点为菱形对点，取与顶线不相交的相对侧棱中点，所截平面。 ∵图形为正方体，所以对边平行且相等。 ∴截面为平行四边形。 又∵AB=BD,AE=DF.∠BAE=∠BDF=90°，
且BE=BF. ∴截面为菱形 ③梯形.等腰梯形 证明： 当平面不垂直底面时,且在上底面的截线段平行对角线,所得的截面图形可能为梯形。当上下底面的截线段都平行于同一条对角线，所得的截面图形可能为等腰梯形。 ∵AB∥CD, ∴ABCD为梯形。 作AF’⊥CF，BF1⊥FD 又∵AE=BE,CF=FD,AF’=BF1=EF. ∴AC=BD 且截面为等腰梯形。 （3）证明：截面是五边形。 证明： 第一个为五边形，在正面上画一个直线，直线一端为右下角另一段为左前侧棱1/2往上这样将直线延长与正上棱相交 同样的道理在右侧面画一条直线 直线一端为右下角（与上同理） 另一段为后右侧棱1/2往上这样将直线延长与上右侧棱相交 由图得所截平面为五边形。 （4）证明：截面是六边形。
教案
本节课是安排在第二单元“长方体的认识”之后、又在“长方体的表面积”之前的一个学习内容，在本章教材的编排顺序中起着承前启后的作用，在知识的链条结构中也起着重要的作用。通过学生不断展开与折叠的操作活动，认识了长方体与正方体的平面展开图，从而加深对长方体与正方体的特征的认识，进一步发展学生的空间观念，也为后面学习长方体、正方体的表面积等知识作好铺垫。教材考虑到学生的年龄特点和知识基础，特别强调动手操作和展开想象相结合的学习方式。首先通过把长方体、正方体的盒子剪开得到展开图的活动，引导学生直观认识长方体、正方体的展开图，由于学生沿着不同的棱来剪，因此得到的展开图的形状也可能不同，让学生充分感知长方体和正方体不同的展开图，体会到从不同的角度去思考、探究问题，会有不同的结果；然后，教材安排了判断“哪些图形沿虚线折叠后能围成正方体、长方体”的活动，这个内容对学生的空间观念要求比较高，有些学生学起来有一定的难度，教者应先引导学生通过想象折叠的过程和折叠后的图形来帮助学生建立表象，再通过动手“折一折”活动来验证猜想，让学生在反复的展开和折叠中，体验立体图形与平面图形的相互转化过程，感受立体图形与平面图形的关系，建立展开图中的面与长方体或正方体中的面的对应关系，渗透转化和对应的数学思想，发展空间观念，培养学生多角度探究问题的能力和空间思维能力，并且在探究知识的过程中，不断体验发现与成功的喜悦。 教材的意图不仅仅是要求学生掌握本节课的基本知识和基本技能，更重要的是要教给学生探索知识的方法和策略，鼓励学生在教师的引导下自主探索和研究数学知识，这样做的意义就在于将学生的独立思考、展开想象、自主探索，交流讨论，分析判断等探索活动贯穿于课堂教学的全过程，使学生不断获得和积累数学活动经验，培养学生的学习兴趣和学习能力。 【学情分析】 1．学生在学习本课之前，已经在第一学段直观地认识了长方体和正方体，学习了长方形、正方形等平面图形的周长与面积计算，在这个基础上又进一步认识了长方体、正方体的特征，但对立体图形与平面图形之间的关系还不能有机地联系起来，因此，在教学中要通过操作和想象，让学生亲身经历和充分体验立体图形与平面图形之间的相互转化过程，建立展开图中的面与长方体、正方体的面的对应关系。
《正方体截面的形状》教学设计 一、教学目标 1)知识与技能： A用平面去截一个几何体，截面的情况可以帮助学生更好地认识几何体。 B探索正方体可能的截面形状，通过实践证明其结果，列举特例，拓展空间观念与全面考虑问题的能力。 2)过程与方法： A首先通过猜想，列举出预计猜想到的截面，其次进行画图和实践等方法证明猜想得正确与否。 B学生截萝卜块以培养学生探索问题的能力，知识迁移能力，发散思维和类比思维能力。 3)情感态度与价值观： A激发学生主动参与活动的热情，培养人人参与学习和自觉把数学知识应用实际生活的意识。 B培养学生学生探索创新能力。 二、学生分析 根据学生情况将学生分为ABC三大组，A组为待优生，A组分为第一组和第二组，B组为临界生，B组分为第三组和第四组，C组为优等生，记为第五组和第六组。 根据学生的不同学情，安排不同难度的问题。 三、教学内容分析 本节内容位于《必修2》P51页第一章立体几何初步的课题学习，属于探究性课题。本节课以正方体的截面图为核心，让学生借助萝卜块进行实际操作和
探索学习，由学生自我探究，进行知识迁移，通过类比，自己去尝试并最终解决问题。教师在此过程中进行必要的总结并在学生出现困难时进行指导，由此培养学生思维的独立性和发散性，使学生真正成为学习的主体。 重点：正方体的截面图的作法 难点：正方体的截面图形的交点的作法 四、教法：教师提出问题，然后逐层展开，分步进行研究（需学生进行探索和分析），然后学生进行分组讨论和实际操作，通过自主学习、探究学习、合作学习达到认知的 意义建构。 五、教学过程 提问复习： 【教师提问】什么叫几何体的截面？ 【学生回答】一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形（包含它的内部），叫做几何体的截面。 【教师提问】截面的边是如何得到的？ 【学生回答】截面的边是平面和几何体各面的交线。 揭示课题： 【教师提问】正方体是立体几何中一个重要的模型，它是一种非常对称的几何体。如果我们拿一个平面去截一个正方体那么会得到什么形状的截面图呢？截面图最多有几条边？ 【学生回答】【七嘴八舌】三角形，四边形，五边形，六边形，七边行。 导入新课：
正十二面体：从制作到理解 常文武 正十二面体是一种以正五边形为面的多面体。 这种不寻常的别致多面体数学内涵非常丰富。柏拉 图曾认为我们的宇宙就是正十二面体的。虽然这只 是一个美丽的错误，但是正十二面体对于普通大众 至今仍充满神秘色彩。 制作正十二面体 为了探究正十二面体，有必要亲手制作一个。 显然，纸模型是最方便的实现方式。 制作正十二面体纸模型的方法很多，这里用组合折纸的方式制作。通过组合拼接而成的结构便于在需要的时候重新调整各面相对位置。 材料：宽度4CM -5CM 的平行长纸带100CM 步骤1 制作一个正五边形的纸带结 用长约8倍宽度的纸带打个结，轻拉两端至最紧，压平（图2左）。数学上可以严格证明这个结是正五边形。 图 2 正五边形结及108°折叠 步骤2 制作插合正十二面体所需的零件 用长约3倍宽度的纸带折叠一道折痕，使其形成的内角 正好符合五边形纸带结的顶角（图2右）。 折叠后的纸带重叠区域有一个36°为底角的等腰三角 形。现在请将它的两腰以外的纸带贴着边折到背后，然后再 把底边以外的部分剪去（图3）。 打开重新将两侧翼藏在夹层内，并且让它们在内部彼此勾起来，压平。我们得到了一个有108°顶角的等腰三角形（图4左）。 图 1古罗马正十二面体青铜器 图 3 修剪多余的纸
图4三角形内部构造以及内嵌五边形的折痕 折叠找到每一腰所对角的角分线与该腰的交点，将相应锐角折到这个点。可以证明，这两道折痕与三角形三边围成一个正五边形（图4右）。 至此我们就完成了第一个插接件。 请再做11个这样的零件。 步骤3 插合正十二面体 眼：两锐角前端是榫头，两腰靠近顶点的缝隙 是卯眼。插合时有一定规则，为了保证这个规 则不被破坏，我们给每个插接件上标注一些记 号。 作标记的规律：在每片插接件的里侧左下 角标为红点榫头，左腰缝隙标为红点卯眼；相 应地，右下角为蓝点榫头，右腰缝隙为蓝点卯 眼（图5上左）。 插合时只要保证榫头插入同色的卯眼（图 5上右），就可以顺利完成一个完美的十二面体 （图5下）。 图 5 正十二面体的插合过程
神奇的数学折纸（2）：正十二面体着色，从头再来(常文武) 作者简介：常文武复旦大学数学博士，上海市普陀区现代教育技术中心跨学科高级教师，全国首批英特尔未来教育骨干教师。多次参加亚洲数学技术大会（ATCM）并出访美国、欧洲等地。2013年起潜心研究折纸在数学中的应用，连续在《科学》等杂志上发表10多篇论文，两度参加上海科学艺术展。2014、2015年连续两年受澳门中华教育会邀请向澳门数学教师传授折纸，2014年出版《动手动脑玩转数学》一书。前文《神奇的数学折纸：正十二面体，从制作到理解(常文武) 》谈及正十二面体的制作和四种着色方案。现在进一步研究着色方案的完备性。我们将证明这些着色方案已经无一遗漏了。对正十二面体有了一定的具象经验，我们就可以抽象一点来看这个问题。图1是一个平面化的正十二面体。想象一个用橡皮绳拉出的正十二面体笼状结构，图1中五边形外轮廓正是其中一个撑开的正五边形洞。换个说法，将笼子的一个五边形洞拉大到可以摊平到桌面的地步，正十二面体就平面化了。那就要记住这个最大的正五边形轮廓也代表一个面。 给定四种颜色，如何用它们来给这个五边形网的每一个洞眼着色呢？ 我们制定一个“先两头再中间”的顺序：也就是先把
最里面的以及最外面的两个洞眼涂色（这两块在原立体结构中位于平行相对的位置，下文称为打对），接着涂靠近中心的一圈五个洞眼，最后处理剩下的五个洞眼。图2显示我们给中心涂色为红色，轮廓（代表相对的被拉大的洞眼）涂色为蓝色。这只是一种着色方案，您也可以根据喜好换任何的两种不同颜色。但是注意，这两个打对的洞眼必须是不同色的！ 为何它们必须不同颜色呢？且听我细细道来。 如果我们把同色(比如蓝色)赋给两头的洞眼，那么因为其余10个网眼要么与中心网眼相邻，要么与外轮廓代表的洞眼相邻，它们就都不可再用蓝色了。所以，涂其它10个面只能靠3种颜色了。这显然导致有一色要用4次或更多次。可是每个圈上最多只能放两个同色块(否则在该圈内同色相邻)，于是4个同色块必须按“2-2”格局分属两个圈。即便如此仍不可避免带来问题。因为内圈两个隔开的同色色块会排除了外圈四个区块不得取该色，这就使2-2分配格局不可能实现了,见图3。以上论证过程不但确立了“打对不同色，同色不打对”的原则，而且还可得到一个推论：任何颜色不用四次。 这是因为，如果某一色使用达到4次，第一次用该色块就排除了与它相邻的5块。考虑到同色不打对，仅剩外圈的5个位置。该圈里要放3个同色块是不可能不撞色的。
教学目标： 1、使学生通过观察、操作等活动认识正方体的展开图，能在展开图中找到正方体相对的面，能判断一些平面图形折叠后能否围城正方体。 2、让学生初步感受平面图形与立体图形的相互转换，发展空间想象能力。 3、使学生在活动中进一步积累空间与图形的学习经验，增强空间观念，发 展数学思考。 教学重点：正方体展开图的基本特征。 教学难点：通过操作，让学生自我感知和发现特征以及平面图形与立体图形的相互转换 一、预习导学 1、准备两个正方体按要求“展开” ：沿棱剪开，不能剪散，把展开后的图形画在下面。并且把实物图带到学校。 2、正方体的展开图：沿着棱剪开，使这个正方形完全展开，得到一个六个面互 相连接的平面图形 二、问题交流 （1）是不是所有六个正方形相连接，都是正方体的展开图，可以还原回去呢？ （2）认识展开图中的重复现象，去除。（旋转、翻转） 将得出正方体的展开图，以小组为单位，组内相互交流展开图如何得到的， 最后看看共得到几种不同的展开图。（强调展开图必是一个完整的图形）几个展开图好像不太一样，你有什么看法？（它们是一样的，只是位置颠倒了，重复现 象），看来尽管位置颠倒了，但其实是同一张展开图。 教师参与，完善、展示成果（将不重复的展开图进行展示。）正方体展开图补充： 1．“141型”，中间一行4个作侧面，上下两个各作为上下底面，?共有6种基本图形。 2．“231型”，中间 3 个作侧面，共3种基本图形3．“222”型，两行只能有 1 个正方形相连。4．“33”型，两行只能有 1 个正方形相连。
三、自主研学 像上面这些展开图杂乱无序，我们记忆起来也比较困难，如果我们能够 把这些杂乱无序的图形进行分类，就可以帮助我们更好地记忆。 你能进行分类吗？ （1） 按照行分类。 （2） 上中下三行，每两行之间只能有一条边重合。 （3） 222、33两类是特殊的，为阶梯状。 （4） 有的看似不属于任一类，旋转后就是其中一类了。 四、交流质疑 什么样的图形可以拼成正方体？如何判断相对应的两个面？ 关键要熟悉正方体展开过程，可以把一个面固定不动把其他的面向旁边展开 围 成正方体时，引出其中一个小图形不动，就是把它作为正方体的底面，其它的 小图形围起来就得到一个正方体。同时体会折叠方法的不唯一。 五、梳理归纳 本节课中你学到了那些知识？学后有何感受? 六、实践检验 此题可在学生独立思考的基础上，让学生获得解决问题的经验，并进一步让 学 生感悟出不是所有的平面图形都能围成立体图形。 2:下列图形是（不是）正方体展开图的是（ ） 此题A 符合（1, 4，1） B 、 C 都符合（2, 3，1），只有 D 都不符合，所以应 选D o 3、下面哪一些图形折叠起来能做成一只开口的盒子? 4、将下图折叠成一个正方体，相对两个面上的数字之和最大的是几？ 反思： 本节课学习正方体的展开图，以前学习的平面图形，只是初步建立了长度、 面积的概念， 这些内容只涉及到一维或两维空间， 正方体的展开图让学生充分体 验长方体、正方体面与面、棱与棱之间的相对关系，初步感受长方体、正方体与 其展开1、 F 列图形中，不是正方体展开图的是 1 L J r - A D
[探讨]正二十面体的坐标取值 编辑:523066680@https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html, from: https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html, 红皮书中举了个绘制正二十面体的例子,部分代码如下 （参见“2.10 创建多边形表面模型的一些提示”） An Example: Building an Icosahedron: #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 static GLfloat vdata[12][3] = { {-X, 0.0, Z}, {X, 0.0, Z}, {-X, 0.0, -Z}, {X, 0.0, -Z}, {0.0, Z, X}, {0.0, Z, -X}, {0.0, -Z, X}, {0.0, -Z, -X}, {Z, X, 0.0}, {-Z, X, 0.0}, {Z, -X, 0.0}, {-Z, -X, 0.0} }; static GLuint tindices[20][3] = { {1,4,0}, {4,9,0}, {4,5,9}, {8,5,4}, {1,8,4}, {1,10,8}, {10,3,8}, {8,3,5}, {3,2,5}, {3,7,2}, {3,10,7}, {10,6,7}, {6,11,7}, {6,0,11}, {6,1,0}, {10,1,6}, {11,0,9}, {2,11,9}, {5,2,9}, {11,2,7} }; int i; glBegin(GL_TRIANGLES); for (i = 0; i < 20; i++) { /* color information here */ glVertex3fv(&vdata[tindices[i][0]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][1]][0]); glVertex3fv(&vdata[tindices[i][2]][0]); } glEnd(); ======================================== #define X .525731112119133606 #define Z .850650808352039932 原版以及中文版关于这两个常量的注释： The strange numbers X and Z are chosen so that the distance from the origin to any of the vertices of the icosahedron is 1.0. 我们为X 和Y 选择了两个似乎很奇怪的数，其用意在于使原点到这二十面体的每个顶点的距离均为1.0。 至于这两个常量怎么来的，只能自己查了。 在wikipedia找到了完整的注释，以及更多的扩展图形 英文的解释要全面的多 https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,/wiki/Icosahedron 中文对照（页面未完善） https://www.doczj.com/doc/cb2031341.html,/wiki/正二十面體 若以正二十面体的中心为原点， 各顶点的坐标分别为 (0,±1,±Φ) (±1,±Φ,0) (±Φ,0,±1) 在此Φ = (1+√5)/2，即黄金分割数。 因此，这些顶点能组成一些黄金矩形。