三、平面向量(命题人:越秀区教育发展中心 余建炜)
一、平面向量的实际背景与基本概念 1.(人教版P85例2)
如图1,设O 是正六边形的中心,分别写出
图中与OA u u u r 、OB uuu r 、OC u u u r 相等的向量。
变式1:
如图1,设O 是正六边形的中心,分别写出
图中与OD u u u r 、DC u u u r
共线的向量。
解: 变式2:
如图2,设O 是正六边形的中心,分别写出
图中与DA u u u r
的模相等的向量以及方向相同的向量。
解:
二、平面向量的线性运算 2.(人教版第96页例4)
如图,在平行四边形ABCD 中,AB =u u u r a ,AD =u u u r
b , 你能用a ,b 表示向量 AC u u u r ,DB u u u r 吗?
变式1:如图,在五边形ABCDE 中,
AB =u u u r a ,BC =u u u r b ,CD =u u u r c ,EA =u u u r
d ,
试用a ,b , c , d 表示向量CE u u u r 和DE u u u r
. 解:CE BE CB BA AE CB =+=++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
( a + b + d ) ()DE EA AB BC CD =-+++=-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
( d + a + b +c )
变式2:如图,在平行四边形ABCD 中,若,OA =u u u r a ,OB =u u u r
b
则下列各表述是正确的为( )
A .OA O
B AB +=u u u r u u u r u u u r B .O
C O
D AB +=u u u r u u u r u u u r
C .C
D =-u u u r a + b D .BC =-u u u r
(a + b )
正确答案:选D
D E
C A B
C B A
C O F
D E
图1
图2
变式3:已知OA =a ,OB =b, OC =c ,OD =d , 且四边形ABCD 为平行四边形,则( )
A. a +b +c +d =0
B. a -b +c -d =0
C. a +b -c -d =0
D. a -b -c +d =0
正确答案:选A
变式4:在四边形ABCD 中,若12
AB CD =-u u u r u u u
r ,则此四边形是( )
A .平行四边形
B .菱形
C .梯形
D .矩形 正确答案:选C
变式5:已知a 、b 是非零向量,则|a |=|b |是(a +b )与(a -b )垂直的 ( )
A .充分但不必要条件
B .必要但不充分条件
C .充要条件
D .既不充分也不必要条件
正确答案:选C
变式6:在四边形ABCD 中,AB =a +2b ,BC =-4a -b ,CD =-5a -3b ,其中a 、b 不共线,
则四边形ABCD 为( ) A.平行四边形 B.矩形
C.梯形
D.菱形
【解析】 ∵=++=-8a -2b =2,∴//.
∴四边形ABCD 为梯形. 正确答案:选C
变式7:已知菱形ABCD ,点P 在对角线AC 上(不包括端点A 、C ),则等于( ) A.λ(+),λ∈(0,1)
B.λ(+),λ∈(0,22
) C.λ(-),λ∈(0,1)
D.λ(-),λ∈(0,2
2
)
【解析】 由向量的运算法则=+,而点P 在对角线AC 上,所以与同向,且||<||,∴=λ(+),λ∈(0,1).
正确答案:选 A
变式8:已知D 、E 、F 分别是△ABC 的边BC 、CA 、AB 的中点,且=a r ,=b r
,=c r ,
则下列各式: ①EF =21c r -21b r
②BE =a r +2
1b r
③CF =-21a r +2
1b r
④++CF =0r
其中正确的等式的个数为( )
A.1
B.2
C.3
D.4
正确答案:选B
3.(人教版第98页例6)
如图,已知任意两个非零向量a 、b ,试作OA =u u u r a + b ,OB =u u u r
a + 2
b , OC =u u u r
a + 3
b ,你能判断A 、B 、C 三点之间的位置关系吗?为什么?
变式1:已知OA =u u u r a + 2b ,OB =u u u r 2a + 4b ,OC =u u u r
3a + 6b (其中a 、b 是两个任意非零
向量) ,证明:A 、B 、C 三点共线.
证明:∵AB OB OA =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b ,AC OC OA =-=u u u r u u u r u u u r
2a + 4b ,
∴ 2AC AB =u u u r u u u r
所以,A 、B 、C 三点共线.
变式2:已知点A 、B 、C 在同一直线上,并且OA =u u u r a + b ,(2)OB m =-u u u r
a + 2
b ,(1)OC n =+u u u r
a + 3
b (其中a 、b 是两个任意非零向量) ,试求m 、n 之间的关系.
解:(3)AB OB OA m =-=-u u u r u u u r u u u r
a +
b ,AC OC OA n =-=u u u r u u u r u u u r a + 2b 由A 、B 、C 三点在同一直线上可设AB k AC =u u u r u u u r
,
则 (3)21
m kn k -=??
=? 所以 1
(3)2m n -= 即 260m n --=为所求.
4.(人教版第102页第13题)
已知四边形ABCD ,点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点,求证:EF HG =u u u r u u u r
变式1:已知任意四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ,
求证:2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r .
证明:如图,连接EB 和EC , 由EA AB EB +=u u u r u u u r u u u r 和EF FB EB +=u u u r u u u r u u u r 可得,EA AB EF FB +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
(1)
由ED DC EC +=u u u r u u u r u u u r 和EF FC EC +=u u u r u u u r u u u r 可得,ED DC EF FC +=+u u u r u u u r u u u r u u u r
(2) (1)+(2)得, 2EA ED AB DC EF FB FC +++=++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
(3) ∵E 、F 分别为AD 和BC 的中点,∴0EA ED +=u u u r u u u r r ,0FB FC +=u u u r u u u r r
,
代入(3)式得,2AB DC EF +=u u u r u u u r u u u r
三、平面向量的基本定理及坐标表示
b a
2.(人教版第109页例6)
已知a = (4,2),b = (6,y ),且a // b ,求 y . 变式1:与向量a = (12,5) 平行的单位向量为( )
A .12513
13??
???,- B .12
51313??- ???,-
C .1251313??
???, 或1251313??- ???,- D .1251313??- ???, 或12
513
13?? ???,-
正确答案:选C
变式2:已知a (1,2)=,b (),1x =,当a +2b 与2a -b 共线时,x 值为 ( )
A .1
B .2
C .13
D .1
2
正确答案:选D
变式3:已知A (0,3) 、B (2,0) 、C (-1,3) 与2+方向相反的单位向量是( )
A .(0,1)
B .(0,-1)
C . (-1,1)
D .(1,-1) 正确答案:选A
变式4:已知a = (1,0),b = (2,1) .试问:当k 为何实数时, k a -b 与a +3b 平行, 平行
时它们是同向还是反向? 解:因为 k a -b ()21k =--,,a +3b ()73=,.
由已知得,()3270k -+= 解得 1
3
k =-,
此时,k a -b 713??=-- ???
,,a +3b ()73=,,二者方向相反.
2.(人教版第110页例8)
设点P 是线段12P P 上的一点,1P 、2P 的坐标分别为()11y x ,,()22y x ,. (1) 当点P 是线段12P P 上的中点时,求点P 的坐标; (2) 当点P 是线段12P P 的一个三等分点时,求P 的坐标
变式1:已知两点()3,2M ,()5,5N --,12
MP MN =u u u r u u u u r
,则P 点坐标是 ( )
A .()8,1-
B .31,2??-- ???
C .31,2?? ???
D .()8,1- 正确答案:选B
变式2:如图,设点P 、Q 是线段AB 的三等分点,
若OA u u u r =a ,OB u u u r =b ,则OP u u u r = 21
33
+a b ,
OQ u u u r = 12
33
+a b (用a 、b 表示)
四、平面向量的数量积 5.(人教版第116页例3)
已知|a |=6,|b | =4且a 与b 的夹角为60?,求 (a + 2b)·(a 3-b ) .
变式1:已知()()
3,4,223,a b a b a b ==++=r r r r r r
g 那么a r 与b r 夹角为
A 、60?
B 、90?
C 、120?
D 、150?
正确答案:选C
变式2:已知向量a 和b 的夹角为60°,| a | = 3,| b | = 4,则(2a – b )·a 等于 (A )15 (B )12 (C )6 (D )3 正确答案:选B
变式3:在△ABC 中,已知|AB |=4,|AC |=1,S △ABC =3,则AB ·AC 等于( )
A.-2
B.2
C.±2
D.±4 正确答案:选C
变式4:设向量2172e e t +与向量21e t e +的夹角为钝角,求实数t 的取值范围. 解:∵0))(72(2121<++e t e e e t ,故071522
<++t t ,
解之2
1
7-
<<-t . 另有λλt t ==7,2,解之14,2
14
-=-
=λt , ∴)2
1,214()214,7(--?-
-∈t .
2.(人教版第116页例4)
已知|a |=3,|b | =4且a 与b 不共线,k 为何实数时,向量a + k b 与a k -b 互相垂直? 变式1:已知a ⊥b ,|a |=2,|b | =3,且向量3a + 2b 与k a -b 互相垂直,则k 的值为( )
A .32-
B .32
C .3
2
± D .1 正确答案:选B
变式2:已知|a |=1,|b | =2且(a -b )⊥a ,则a 与b 夹角的大小为 45o . 解:
2.(人教版第119页 第11题)
已知a = (4,2),求与向量a 垂直的单位向量的坐标.
变式1:若i = (1,0), j =(0,1),则与2i +3j 垂直的向量是 ( )
A .3i +2j
B .-2i +3j
C .-3i +2j
D .2i -3j
正确答案:选C
变式2:已知向量)1,1(=a ,)3,2(-=b ,若k 2-与垂直,则实数k =( )
A .1
B .-1
C .0
D .2
正确答案:选B
变式3:若非零向量b a ,互相垂直,则下列各式中一定成立的是 ( )
A .-=+
B .||||-=+
C .0))((=-+b a b a
D .0)(2=-b a
正确答案:选B
变式4:已知向量a =(3,-4),b =(2,x ), c =(2,y )且a ∥b ,a ⊥c .求|b -c |的值. 解:∵ a ∥b ,∴ 3x +8=0. ∴x =38-
. ∴ b =(2, 3
8
-) . ∵ a ⊥c , ∴ 6-4y =0. ∴ y =23. ∴ c =(2, 2
3
).
而b -c =(2,38-)-(2,2
3)=(0,-25
6),
∴ |b -c |=25
6
.
(人教版第118页例5)
已知A (1,2),B (2,3),C (2-,5),试判断ABC ?的形状,并给出证明.
变式1:O 是ABC ?所在的平面内的一点,且满足()()
0OB OC OC OA -?-=u u u r u u u r u u u r u u u r
,则ABC ?
一定为( )
A .正三角形
B .等腰直角三角形
C .直角三角形
D .斜三角形 正确答案:选C
变式2:已知A 、B 、C 三点不共线,O 是△ABC 内的一点,若OA +OB +OC =0,
则O 是△ABC 的( ) A . 重心 B . 垂心
C . 内心
D . 外心
正确答案:选A
变式3:已知02
=+?AB BC AB ,则△ABC 一定是 ( )
A .锐角三角形
B .直角三角形
C .钝角三角形
D .等腰直角三角形
正确答案:选B
变式4:四边形ABCD 中,)3,2(),,(),1,6(--===y x (1)若DA BC //,试求x 与y 满足的关系式;
(2)满足(1)的同时又有BD AC ⊥,求y x ,的值及四边形ABCD 的面积。
解:),(y x BC = )2,4()2,4()(+---=-+-=++-=-=y x y x CD BC AB AD DA (1)//Θ 则有0)4()2(=--?-+-?x y y x
化简得:02=+y x (2))1,6(++=+=y x )3,2(--=+=y x
又⊥ 则 0)3()1()2()6(=-?++-?+y y x x 化简有:015242
2
=--++y x y x
联立??
?=--++=+0
15240
22
2y x y x y x 解得??
?=-=36y x 或???-==1
2
y x
DA BC //Θ ⊥ 则四边形ABCD 为对角线互相垂直的梯形
当??
?=-=3
6
y x )0,8()4,0(-==
此时162
1
==S ABCD 当??
?-==1
2
y x )4,0()0,8(-==
此时162
1
=?=
S ABCD
五、平面向量应用举例 (人教版第121页 例1) 题目意图:用平面向量的方法证明平面几何命题:平行四边形两条对角线的平方和等于其两条邻边的平方和的两倍
变式1:如图,矩形ABCD 内接于半径为r 的圆O ,点P 是圆周上任意一点,
求证:PA 2+PB 2+PC 2+PD 2=8r 2. 证明:OP OA OP OA PA ?-+=2222 ,
OP OB OP OB PB ?-+=22222,
OP OC OP OC PC ?-+=22222 ,
OP OD OP OD PD ?-+=22222,
以上各式相加可证.
变式2:已知△ABC 中,c AB b CA a BC ===,,,若a c c b b a ?=?=?,求证:△ABC
为正三角形.
证明:a c c b ?=?Θ, ∴0)(=-a b c , 又∵0=++c b a , )(b a c +-=,
故0))((=-+-a b b a , 知a =b , 同理可知b=c , 故a =b=c , 得证. 变式3:已知平行四边形ABCD 的两条对角线AC 与BD 交于E ,O 是任意一点,求证
OE OD OC OB OA 4=+++.
【证明】 ∵E 是对角线AC 与BD 的交点,∴DE ED BE CE EC AE -==-==,. 在△OAC 中,OE AE OA =+,
同理有OE DE OD OE CE OC OE BE OB =+=+=+,,.
四式相加可得:OE OD OC OB OA 4=+++.
变式4:四边形ABCD 的边AD 和BC 的中点分别为E 、F ,
求证:)(2
1
DC AB EF +=
【证法一】 ∵E 、F 分别为DA 、BC 的中点.
∴BF FC EA DE ==, 又∵DE CD FC EF +++=0①
AE BA FB EF +++=0②
①+②,得2)()()(AE DE BA CD FB FC EF ++++++=0 ∴2AB DC BA CD EF +=-+-=)(
∴)(2
1
DC AB EF +=
【证法二】 连结EC ,EB
∵EC FC EF =+,①
EB FB EF =+②
①+②,得2EF +0=+, ∴)(2
1
+=
又∵+=③
+=④
③+④,得)(2
1
AB EA DC ED EF +++=
又∵EA ED +=0, ∴)(2
1
+=.
第一部分:平面向量的概念及线性运算 欧阳光明(2021.03.07) 一.基础知识自主学习 1.向量的有关概念 名称定义备注 向量既有又有的量;向量的大小叫做向量 的(或称) 平面向量是自由向量 零向量长度为的向量;其方向是任意的记作0 单位向量长度等于的 向量 非零向量a的单位向量为± a |a| 平行向量方向或的非零向量 0与任一向量或共线共线向量的非零向量又叫做共线向量 相等向量长度且方向的向量两向量只有相等或不等,不能比 较大小 相反向量长度且方向的向量0的相反向量为0 2.向量的线性运算 向量运算定义法则(或几何 意义) 运算律 加法求两个向量和的运算(1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c=a+(b+c). 减法求a与b的相反向量-b 的和的运算叫做a与b 的差 法则 a-b=a+(-b) 数乘求实数λ与向量a的积的 运算 (1)|λa|=|λ||a|. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向; 当λ<0时,λa的方向与a的方向;当λ =0时,λa=0. λ(μa)=λμa; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb. 向量a(a≠0)与b共线的条件是存在唯一一个实数λ,使得b=λa. 二.难点正本疑点清源 1.向量的两要素 向量具有大小和方向两个要素.用有向线段表示向量时,与有向线段起点的位置没有关系.同向且等长的有向线
段都表示同一向量.或者说长度相等、方向相同的向量是相等的.向量只有相等或不等,而没有谁大谁小之说,即向量不能比较大小. 2.向量平行与直线平行的区别 向量平行包括向量共线(或重合)的情况,而直线平行不包括共线的情况.因而要利用向量平行证明向量所在直线平行,必须说明这两条直线不重合. 三.基础自测 1.化简OP →-QP →+MS →-MQ → 的结果等于________. 2.下列命题:①平行向量一定相等;②不相等的向量一定不平行;③平行于同一个向量的两个向量是共线向量; ④相等向量一定共线.其中不正确命题的序号是_______. 3.在△ABC 中,AB →=c ,AC →=b.若点D 满足BD →=2DC →,则AD → =________(用b 、c 表示). 4.如图,向量a -b 等于() A .-4e1-2e2 B .-2e1-4e2 C .e1-3e2 D .3e1-e2 5.已知向量a ,b ,且AB →=a +2b ,BC →=-5a +6b ,CD → =7a -2b ,则一定共线的三点是 () A .A 、B 、DB .A 、B 、C C .B 、C 、DD .A 、C 、D 四.题型分类深度剖析 题型一 平面向量的有关概念 例1 给出下列命题: ①若|a|=|b|,则a =b ;②若A ,B ,C ,D 是不共线的四点,则AB →=DC → 是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件;③若a =b ,b =c ,则a =c ;④a =b 的充要条件是|a|=|b|且a ∥b ;⑤若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥c.其中正确的序号是________. 变式训练1 判断下列命题是否正确,不正确的请说明理由. (1)若向量a 与b 同向,且|a|=|b|,则a>b ; (2)若|a|=|b|,则a 与b 的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a 与b 方向相同,则a =b ; (4)由于零向量的方向不确定,故零向量不与任意向量平行; (5)若向量a 与向量b 平行,则向量a 与b 的方向相同或相反; (6)若向量AB →与向量CD → 是共线向量,则A ,B ,C ,D 四点在一条直线上; (7)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量; (8)任一向量与它的相反向量不相等 题型二 平面向量的线性运算 例2 如图,以向量OA →=a ,OB →=b 为边作?OADB ,BM →=13BC →,CN →=13 CD →,用a 、b 表示OM →、ON →、MN → . 变式训练2 △ABC 中,AD →=23 AB →,DE ∥BC 交AC 于E ,BC 边上的中线AM 交DE 于N.设AB →=a ,AC → =b ,用a 、b 表示向 量AE →、BC →、DE →、DN →、AM →、AN →. 题型三 平面向量的共线问题 例3 设e1,e2是两个不共线向量,已知AB →=2e1-8e2,CB →=e1+3e2,CD → =2e1-e2. (1)求证:A 、B 、D 三点共线; (2)若BF → =3e1-ke2,且B 、D 、F 三点共线,求k 的值.
平面向量测试题 一、选择题: 1。已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且?→?AB =→a ,?→?AD =→b ,则?→ ?BE =( ) (A ) →b +→a 2 1 (B ) →b -→a 2 1 (C ) →a +→b 2 1 (D ) →a -→ b 2 1 2.已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是( ) (A ) ?→?AB =-?→?BC (B ) ?→?AC =?→?BC 2 1 (C ) ?→?BA =?→?BC (D ) ?→?BC =?→ ?AC 2 1 3.已知ABCDEF 是正六边形,且?→?AB =→a ,?→?AE =→b ,则?→ ?BC =( ) (A ) )(2 1→→-b a (B ) )(2 1 →→-a b (C ) →a +→b 2 1 (D ) )(2 1→ →+b a 4.设→a ,→b 为不共线向量,?→?AB =→a +2→b ,?→?BC =-4→a -→b ,?→ ?CD = -5→ a -3→ b ,则下列关系式中正确的是 ( ) (A )?→?AD =?→?BC (B )?→?AD =2?→ ?BC (C )?→?AD =-?→ ?BC (D )?→?AD =-2?→ ?BC 5.将图形F 按→ a =(h,k )(其中h>0,k>0)平移,就是将图形F ( ) (A ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (B ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位。 (C ) 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 (D ) 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位。 6.已知→a =()1,2 1,→ b =(), 2 22 3- ,下列各式正确的是( ) (A ) 2 2?? ? ??=??? ??→ →b a (B ) →a ·→b =1 (C ) →a =→b (D ) →a 与→b 平行 7.设→ 1e 与→ 2e 是不共线的非零向量,且k → 1e +→ 2e 与→ 1e +k → 2e 共线,则k 的值是( ) (A ) 1 (B ) -1 (C ) 1± (D ) 任意不为零的实数 8.在四边形ABCD 中,?→?AB =?→?DC ,且?→?AC ·?→ ?BD =0,则四边形ABCD 是( ) (A ) 矩形 (B ) 菱形 (C ) 直角梯形 (D ) 等腰梯形 9.已知M (-2,7)、N (10,-2),点P 是线段MN 上的点,且?→ ?PN =-2?→ ?PM ,则P 点的坐标为( ) (A ) (-14,16)(B ) (22,-11)(C ) (6,1) (D ) (2,4)
高中数学必修4之平面向量 知识点归纳 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念: ①向量:既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如:AB u u u r 几何表示法 AB u u u r ,a ;坐标表示法),(y x yj xi a 向 量的大小即向量的模(长度),记作|AB u u u r |即向量的大小,记作|a | 向量不能比较大小,但向量的模可以比较大小. ②零向量:长度为0的向量,记为0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行零向量a =0 |a |=0 由于0r 的方向是任意的,且规定0r 平行于任何向量,故在有关向量平行(共线) 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件.(注意与0的区别) ③单位向量:模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 |0a |=1 ④平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量任意一组平行向量都可以移到同一直 线上方向相同或相反的向量,称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移(即自 由向量),平行向量总可以平移到同一直线上,故平行向量也称为共线向量 数学中研究的向量是自由向量,只有大小、方向两个要素,起点可以任意选取,现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义,要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的. ⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移后总可以重合,记为b a 大 小相等,方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ,则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r (1)a a a 00;(2)向量加法满足交换律与结合律; 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”: (1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量 (2) 三角形法则的特点是“首尾相接”,由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时,用平行四边形法则;当两向量是首尾连接时,用三角形法
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量:既有大小又有方向的量。记作:AB 或a 。 2.向量的模:向量的大小(或长度),记作:||AB 或||a 。 3.单位向量:长度为1的向量。若e 是单位向量,则||1e =。 4.零向量:长度为0的向量。记作:0。【0方向是任意的,且与任意向量平行】 5.平行向量(共线向量):方向相同或相反的向量。 6.相等向量:长度和方向都相同的向量。 7.相反向量:长度相等,方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则: AB BC AC +=;AB BC CD DE AE +++=;AB AC CB -=(指向被减数) 9.平行四边形法则: 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +,a b -。 10.共线定理://a b a b λ=?。当0λ>时,a b 与同向;当0λ<时,a b 与反向。 11.基底:任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模:若(,)a x y =,则2||a x y =+,22||a a =,2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式:||||cos a b a b θ?=?; cos ||||a b a b θ?= ? 14.平行与垂直:1221//a b a b x y x y λ?=?=;121200a b a b x x y y ⊥??=?+= 题型1.基本概念判断正误: (1)共线向量就是在同一条直线上的向量。 (2)若两个向量不相等,则它们的终点不可能是同一点。 (3)与已知向量共线的单位向量是唯一的。 (4)四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 (5)若AB CD =,则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 (6)若a 与b 共线, b 与c 共线,则a 与c 共线。 (7)若ma mb =,则a b =。