§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质
教学目标：
知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。
过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。
情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。
教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程：
一、复习引入：
1．二项式定理及其特例：
（1）01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++++
+∈，
（2）1
(1)1n r r
n n n x C x C x x +=++
++
+.
2．二项展开式的通项公式：1r n r r
r n T C a b -+=
3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性
二、讲解新课：
1二项式系数表（杨辉三角）
()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行
两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和
2．二项式系数的性质：
()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r
n C 可以看成以r 为自
变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,
,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图）
（1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）．
直线2
n
r =
是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k
k n n n n n n k n k C C k k
----+-+=
=?，
∴k n C 相对于1
k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112
n k n k k -++>?<，
当12
n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
当n 是偶数时，中间一项2n
n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n
C -，12n n
C
+取得最大值．
（3）各二项式系数和：
∵1
(1)1n r r n n n x C x C x x +=++
++
+，
令1x =，则012
2n r n
n n n n n C C C C C =+++
++
+
三、讲解范例：
例1．在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和
证明：在展开式01()()n n n
r n r r n n
n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=++
++
+∈中，令1,1a b ==-，
则0123
(11)(1)n n n
n n n n n C C C C C -=-+-+
+-，
即02
13
0()()n n n n C C C C =++-++
，
∴02
13n n n n C C C C ++
=++
，
即在()n
a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和．
说明：由性质（3）及例1知02
1312n n n n n C C C C -++
=++
=.
例2．已知72
70127(12)x a a x a x a x -=+++
+，求：
（1）127a a a +++； （2）1357a a a a +++； （3）017||||||a a a ++
+.
解：（1）当1x =时，7
7
(12)(12)1x -=-=-，展开式右边为
0127a a a a +++
+
∴0127a a a a +++
+1=-，
当0x =时，01a =，∴127112a a a +++=--=-，
（2）令1x =， 0127a a a a +++
+1=- ①
令1x =-，7
012345673a a a a a a a a -+-+-+-= ②
①-② 得：7
13572()13a a a a +++=--，∴ 1357a a a a +++=7
132
+-.
（3）由展开式知：1357,,,a a a a 均为负，0248,,,a a a a 均为正，
∴由（2）中①+② 得：7
02462()13a a a a +++=-+，
∴ 7
0246132
a a a a -++++=，
∴017||||||a a a ++
+=01234567a a a a a a a a -+-+-+-
702461357()()3a a a a a a a a =+++-+++=
例3.求(1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x 3
的系数
解：)
x 1(1]
)x 1(1)[x 1(x 1)x 1()x 1(1010
2
+-+-+=+++++）（
=x
x x )1()1(11+-+，
∴原式中3x 实为这分子中的4x ，则所求系数为7
11C
例4.在(x 2+3x+2)5
的展开式中，求x 的系数
解：∵5
552)2x ()1x ()2x 3x (++=++
∴在(x+1)5
展开式中，常数项为1，含x 的项为x 5C 1
5=，
在(2+x)5
展开式中，常数项为25
=32，含x 的项为x 80x 2C 4
15=
∴展开式中含x 的项为 x 240)32(x 5)x 80(1=+?， ∴此展开式中x 的系数为240
例5.已知n
2
)x 2x (-
的展开式中，第五项与第三项的二项式系数之比为14；3，求展开式的常数项 解：依题意2
n 4
n 2
n 4
n C 14C 33:14C :C =?= ∴3n(n-1)(n-2)(n-3)/4!=4n(n-1)/2!?n=10
设第r+1项为常数项，又 2
r 510r
10r r 2r 10r 101r x
C )2()x
2()x (C T --+-=-=
令
2r 02
r
510=?=-， .180)2(C T 22
1012=-=∴+此所求常数项为180
例6． 设()()()()2
3
1111n
x x x x ++++++
++=2012n n a a x a x a x +++
+，
当012254n a a a a ++++=时，求n 的值
解：令1x =得：
23
0122222n
n a a a a +++
+=+++
+2(21)25421
n -==-，
∴2128,7n
n ==，
点评：对于1
01()()()n n n f x a x a a x a a -=-+-+
+，令1,x a -=即1x a =+可得各项系数的和
012n a a a a +++
+的值；令1,x a -=-即1x a =-，可得奇数项系数和与偶数项和的关系
例7．求证：123
1232n
n n n n n C C C nC n -++++=?．
证（法一）倒序相加：设S =123
23n
n n n n C C C nC ++++ ①
又∵S =12
21
(1)(2)2n n n n n n n n nC n C n C C C --+-+-+
++ ②
∵r n r n n C C -=，∴011
,,
n n n n n n C C C C -==，
由①+②得：(
)012
2n n n n n S n C C C C =+++
+，
∴11222
n n S n n -=
??=?，即123
1232n
n n
n n n C C C nC n -++++=?．
（法二）：左边各组合数的通项为
r n rC 1
1!(1)!!()!(1)!()!
r n n n n r nC r n r r n r --?-=?
==---，
∴ ()123
012
1
112123n n n n n n n n n n C C C nC n C C C C -----+++
+=+++
+12
n n -=?．
例8．在10)32(y x -的展开式中,求:
①二项式系数的和; ②各项系数的和;
③奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; ④奇数项系数和与偶数项系数和; ⑤x 的奇次项系数和与x 的偶次项系数和.
分析:因为二项式系数特指组合数r n C ,故在①,③中只需求组合数的和,而与二项式y x 32-中的系数
无关.
解：设10102829110010)32(y a y x a y x a x a y x ++++=- (*),
《杨辉三角》导学案1 课前预习学案 一、预习目标 借助“杨辉三角”数表，掌握二项式系数的对称性，增减性与最大值。 二、预习内容 1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________； 2、( 1+x) n=________________________________________________； 练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格。 想一想：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？ 画一画：当n=6时，作出函数f（r）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。 课内探究学案 一、学习目标 ①了解“杨辉三角”的特征，让学生偿试并发现二项式系数规律； ②通过探究，掌握二项式系数的性质，并能用它计算和证明一些简单的问题；二、学习重难点： 学习重点：二项式系数的性质及其应用； 学习难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 三、学习过程 （一）、杨辉三角的来历及规律
问题1：根据( a+b) n （n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数表，你能发现 什么规律？ 问题2：杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？或者说二项式系数有何性质呢？ 对于( a+b) n 展开式的二项式系数0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ，从函数角度看，r n C 可看成是以r 为自变量的函数f(r)，其定义域是{0，1，2，…，n}，令f(r)= r n C ，定义域为{0，1，2，…，n} 问题3：当n=6时，作出函数f （r ）的图象，并结合图象分析二项式系数的性质。 （二）二项式系数的重要性质 1、对称性：二项展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等。即m n C =m n n C - 分析： 2、增减性与最大值：二项式系数先增大后减小，中间取最大。 提示：（1）讨论k n C 与1-k n C 的大小关系。 （2）讨论k k n )1(+-与1的大小关系。 3、各项二项式系数的和：( a+b) n 的展开式中的各个二项式系数的和为2n 分析：赋值法的应用。 四、典型例题（性质4） 试证：在（a+b ）n 的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 分析：奇数项的二项式系数的和为0n C +2n C +4n C +…， 偶数项的二项式系数的和为1n C +3n C +5 n C +…， 由于(a+b)n =0n C a n +1n C a n-1b+…+k n C a n-k b k +…+n n C b n 中的a,b 可以取任意实数，因
1.3.2 “杨辉三角”与二项式系数的性质 一、选择题 1．(1＋x )＋(1＋x )2＋…＋(1＋x )n 的展开式的各项系数和是( )． A ．2n ＋ 1 B ．2n ＋ 1＋1 C ．2n ＋ 1－1 D ．2n ＋ 1－2 2． 在2n x ? ? 的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是( )． A ．－7 B ．7 C ．－28 D ．28 3．(2 8展开式中不含x 4项的系数的和为( )． A ．－1 B ．0 C ．1 D ．2 4 ．已知1n x ???展开式中的第10项是常数，则展开式中系数最大的项是( )． A ．第19项 B ．第17项 C ．第17项或第19项 D ．第18项或第19项 5．已知(1－2x )6＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 6x 6，则|a 0|＋|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( )． A ．1 B ．－1 C ．36 D ．26 二、填空题 6．(x 2＋1)(x －2)9＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a 11(x －1)11，则a 1＋a 2＋a 3 ＋…＋a 11的值为__________． 7．设 (1)n 的展开式的各项系数之和为M ，二项式系数之和为N ，若M ,8，N 三数成等比数列，则展开式中第四项为__________． 8．如图，在由二项式系数所构成的杨辉三角中，第__________行中从左到右第14与第15个数的比为2∶ 3. 三、解答题
9．已知(a 2＋1)n 展开式中的各项系数之和等于5 216 5 x ? ?的展开式的常数项，而(a 2＋1)n 的展开式的系数最大的项等于54，求a 的值． 10．设m ，n ∈N ，f (x )＝(1＋2x )m ＋(1＋x )n . (1)当m ＝n ＝2 013时，f (x )＝a 0＋a 1x ＋a 2x 2＋…＋a 2 013x 2 013，求a 0－a 1＋a 2－a 3＋…－ a 2 013的值． (2)若f (x )展开式中x 的系数为20，当m ，n 变化时，试求x 2系数的最小值． 11.求证：(1)1 C n ＋22 C n ＋…＋C n n n ＝n ·2n － 1； (2)0 C n ＋1211C C 23n n +＋…＋11C 11 n n n n =++ (2n ＋ 1－1)． 12．在杨辉三角形中，每一数值是它左上角和右上角两个数值之和，三角形开头几行如下：
§1．3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题 授课类型：新授课 课时安排：2课时 教学过程： 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数表，表中每行 两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自 变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1 k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12 n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值；
杨辉三角（1） 目的要求 1．了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角的基本性质。 2．通过研究杨辉三角横行的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力。 3．通过小组讨论，培养学生发现问题。探究知识、建构知识的研究型学习习惯及合作化学习的团队精神。 内容分析 本课的主要内容是总结杨辉三角的三个基本性质及研究发现杨辉三角横行的若干规律。 杨辉三角的三个基本性质主要是二项展开式的二项式系数即组合数的性质，它是研究杨辉三角其他规律的基础。杨辉三角横行的数字规律主要包括横行各数之间的大小关系。组合关系以及不同横行数字之间的联系。 研究性课题，主要是针对某些数学问题的深入探讨，或者从数学角度对某些日常生活中和其他学科中出现的问题进行研究。目的在于培养学生的创新精神和创造能力。它要求教师给学生提供研究的问题及背景，让学生自主探究知识的发生发展过。从问题的提出、探索的过程及猜想的建立均主要由学生自主完成，教师不可代替，但作为组织者，可提供必要指导。 教师首先简介杨辉三角的相关历史，激发学生的民族自豪感和创造欲望，然后引导学生总结有关杨辉三角的基本知识（研究的基础）及介绍发现数字规律的主要方法（研究的策略），并类比数列的通项及求和，让学生对n阶杨辉三角进行初步的研究尝试活动，让学生充分展开思维进入研究状态。 以下主要分小组合作研究杨辉三角的横行数字规律，重点发现规律，不必在课堂上证明。 教学过程 （一）回顾旧知 1．用电脑展示贾宪三角图、朱泄杰的古法七乘方图、帕斯卡三角图（附后），同时播放用古代民族乐器演奏的音乐。
教师介绍杨辉三角的简史：北宋人贾宪约1050年首先使用“贾宪三角”进行高次开方运算，南宋数学家杨辉在《详解九章算法》（1961年）记载并保存了“贾宪三角”，故称杨辉三角。元朝数学家朱世杰在《四元玉鉴》（1303年）扩充了“贾宪三角”成“古法七乘方图”。在欧洲直到1623年以后，法国数学家帕斯卡在13岁时发现了“帕斯卡三角”。 2．用电脑展示15阶杨辉三角或事先印好15阶杨辉三角分发给学生。对照杨辉三角，回顾高二下学期学过的杨辉三角的构造及基本性质，并由学生叙述。 1°与二项式定理的关系：杨辉三角的第n行就是二项式 n b a) (+展开 式的系数列 } {R N C。 2°对称性：杨辉三角中的数字左、右对称，对称轴是杨辉三角形底边 上的“高”，即 r n n r n c C- =。 3°结构特征：杨辉三角除斜边上1以外的各数，都等于它“肩上”的 两数之和，即 r n r n n r n C c C 1 1- - - + =。 （二）分组研究杨辉三角横行规律（将全班学生按前后排四或五人一组分成若干研究小组） 1．介绍数学发现的方法：杨辉三角中蕴涵了许多优美的规律。古今中外，许多数学家如贾宪、杨辉、朱世杰、帕斯卡、华罗庚等都曾深入研究过，并将研究结果应用于其他工作。他们研究的方法可以归纳为：
杨辉三角 人教版小学数学五年级下期第115页第10题，涉及著名的“杨辉三角”， 对此，教参中已有所介绍。为了提高学生的学习兴趣，加深对“杨辉三角”的理解，增强学生的民族自豪感和爱国热情，下面推荐一个有趣的数学游戏。 老师出示一张图(有条件的可以使用多媒体)： 宣布：“现在和同学们玩一个有趣的数学游戏。请一位同学在这个图的最下面一行6个圆圈里任意各填一个一位数，我随即在顶端那个圆圈里写一个数。然后，大家按照图中的连线，算出最下面那行相邻两个圆圈里的数的和，填入上一行的圆圈里。自下而上照这样进行下去，直到算出顶端那个圆圈里应该填的数，一定跟我已经填好的数一样。哪位同学愿意试一试？” 等那位同学把最下面一行的6个数填好以后，老师迅速算出左起第三、四两个数的和的10倍，加上第二、五两个数的和的5倍，再加上第一、六两个数，得数就是顶端那个圆圈里应该填的数。 比如，从左到右，学生所填的数是4、1、8、6、2、3，老师就应该填10 ×(8＋6)＋5×(1＋2)＋(4＋3)＝140＋15＋7＝162。 这是为什么呢？原来，“杨辉三角”中的数是有规律的。 规律是：自上而下，每个圆圈里的数等于与它相连的，上一行圆圈里的数的和。比如，第三行中间圆圈里的数之所以是2，就因为与它相连的第二行两个圆圈里的数都是1，1＋1＝2。依此类推。 游戏相当于把上面的过程倒回去，所以要把圆圈里的数分别乘上1、5、10、10、5、1。
等玩过两三次以后，学生一定会急于知道老师是怎样做到未卜先知的，甚至有些爱动脑筋的学生，已经在开始探求其中的奥秘了。这时，可以启发学生用学过的“用字母表示数”的方法，看看最下面那行所填的6个数，在整个计算过程中究竟各用了几次。 设：第六行所填的6个数依次为A、B、C、D、E、F。第五行就是A＋B、B ＋C、C＋D、D＋E、E＋F；第四行就是A＋2B＋C、B＋2C＋D、C＋2D＋E、D＋2E＋F；第三行就是A＋3B＋3C＋D、B＋3C＋3D＋E、C＋3D＋3E＋F；第二行就是A＋4B＋6C＋4D＋E、B＋4C＋6D＋4E＋F；顶端的数就是A＋5B＋10C＋10D ＋5E＋F，即10(C＋D)＋5(B＋E)＋(A＋F)。从而得出前面所总结出的方法。 “杨辉三角”在数学中有着重要作用，同时又具有直观形象的特点，对于培养学生的思维能力很有好处，值得给学生提供一个加深印象的机会。 杨辉三角 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 中还隐藏着许多奥秘： 请看这些斜线上的数： 自然数 1 三角形数 1 1 四面体数 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 1 7 21 35 35 21 7 1 …… 一、自然数：1，2，3，4，… 求前n个自然数的和，无需使用公式，答案就在第n个自然数的左下方。比如，前4个自然数的和，就在第4个自然数4的左下方，是10。前5个自
1． 3．2“杨辉三角”与二项式系数的性质 教学目标： 知识与技能：掌握二项式系数的四个性质。 过程与方法：培养观察发现，抽象概括及分析解决问题的能力。 情感、态度与价值观：要启发学生认真分析书本图1－5－1提供的信息，从特殊到一般，归纳猜想，合情推理得到二项式系数的性质再给出严格的证明。 教学重点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题教学难点：如何灵活运用展开式、通项公式、二项式系数的性质解题授课类型：新授课 教 具：多媒体、实物投影仪 第一课时 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈， （2）1 (1)1n r r n n n x C x C x x +=++ ++ +. 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r 的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性 二、讲解新课： 1二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，二项式系数 表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成 以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2, ,}n ，例当6n =时，其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等 （∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r = 是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =? ，
杨辉三角与二项式系数的性质 教学反思 本节课有以下几点值得一提： 一、目标定位准确 本节课，在充分挖掘教学内容的内在联系，了解学生已有知识基础，充分分析学情后，确定的教学目标：理解、领悟二项式系数性质；渗透数形结合和分类讨论思想；灵活有效地运用赋值法.应该说具有具体而又准确，科学而有效的特点.随着课堂的实践得到了落实，并且将“知识目标”、“能力目标”、“情感目标”融为一体. 教学目标基本符合学生“认识规律”，以递进的形式呈现：观察分析、归纳猜想、抽象概括，提炼上升；特殊——一般——特殊到一般…，课堂实践表明，这些目标，在师生共同努力及合作下是完全可以达到的. 二、突出主体地位 1．放手发动学生 把课堂还给学生，一直是课改的大方向，也是新课标的原动力之一. 还给学生什么呢？教师作了很好的诠释： 一是给“问题”，当然问题有预设的，也有生成的，符合从学生“思维最近发展区”出发这一根本教学原则. 二是给“时间”，这体现了教师的先进教学理念，即便是教学难点“中间项系数最大”这一组合数计算讨论过程仍由学生尝试. 当然，n=6，7时，离散型函数的图象起了直观引领，奠基的重要作用. 不为完成任务所累，不为主宰课堂所困. 三是给“机会”，让学生展示自主探索，合作交流的成果，极大地保护和激发了学生学习的热情和积极性，参与程度和激情得到了空前的提高. 2．彰显理性数学 本节课，无论是对称性，增减性（最大值），及二项式系数和的逐步生成，学生都能从“特殊到一般”的认识规律，归纳猜想到结论. 但数形结合的函数思想，组合数两个性质的运用，两个计数原理的巧妙“会师”，奇数项二项式系数和等于偶数项二项式系数和，反馈升华例示中赋值法再现. 这正是“数学演绎”、“理性数学”的精华，让学生找到内化和建构的多种途径.
1．3．2“杨辉三角”与二项式定理 昌邑一中吴福顺 一、复习引入： 1．二项式定理及其特例： （1）， （2） . 2 ．二项展开式的通项公式： 3．求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性二、讲解新课： （首先介绍杨辉本人，让学生了解杨辉） 1 二项式系数表（杨辉三角） 展开式的二项式系数，当依次取…时，二项式系数表，表中每行两端都是，除以外的每一个数都等于它肩上两个数的和2．二项式系数的性质： 展开式的二项式系数是，，，…，．可以看成以为自变量的函数 定义域是，例当时，其图象是个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（∵）． 直线是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵， ∴相对于的增减情况由决定，， 当时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当是偶数时，中间一项取得最大值；当是奇数时，中间两项，取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵， 令，则
（讲解完成后，学生搜索有关二项式系数性质的网页，更加全面的了解二项式系数） 三、讲解范例： 例1．在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和证明：在展开式中，令，则， 即， ∴， 即在的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和． （搜索赋值法，了解什么是赋值法） 说明：由性质（3）及例1知 . 例2．已知，求： （1）；（2）；（3） . 解：（1）当时，，展开式右边为 ∴， 当时，，∴， （2）令，① 令，② ①②得：，∴ . （3）由展开式知：均为负，均为正， ∴由（2）中①+②得：， ∴， ∴ 例3.求 (1+x)+(1+x)2+…+(1+x)10展开式中x3的系数 解： =，
二项式定理 知识要点 （一）探究 3 4 a b a b ++,（）（）的展开式 问题1：()()112233 a b a b a b +++（）展开式中每一项是怎样构成的？展开式有几项？ 问题2：将上式中，若令123123, a a a a b b b b ======,则展开式又是什么？ 思考一：合并同类项后，为什么2 a b 的系数是3？ 问题3： 4 a b +（）的展开式又是什么呢？ 结论： 404132223344 44444a b C a C a b C a b C ab C b +=++++（）； （二）猜想、证明“二项式定理” 问题4： n a b +（）的展开式又是什么呢？ 思考二： （1） 将 n a b +（）展开有多少项？ （2）每一项中，字母,a b 的指数有什么特点？ （3）字母,a b 指数的含义是什么？是怎么得到的？ （4）如何确定,a b 的系数？ 二项式定理： 0111222()n n n n r n r r n n n n n n n a b C a C a b C a b C a b C b ---+=++++++L L ()n *∈N ； （三）归纳小结：二项式定理的公式特征 （1）项数：_______； （2）次数：字母a 按降幂排列，次数由____递减到_____；字母b 按升幂排列，次数由____递增到______； （3）二项式系数：下标为_____，上标由_____递增至_____； （4）通项：1k T +=__________；指的是第1k +项，该项的二项式系数为______； （5）公式所表示的定理叫_____________，右边的多项式叫做n a b +（）的二项展开式。
1.3.2二项式系数的性质(第一课时) 学校：新塘中学 班级：高二A8班 教师：段建辉 ●教学目标 （一）知识与技能 1.二项式系数的性质：对称性，增减性与最大值，各二项式系数的和. 2.掌握“赋值法”，并会简单应用 （二）情感与价值观 1.树立由一般到特殊及特殊到一般的意识. 2.了解中国古代数学成就及地位．．．．．．．．．．．．． ●教学重点：二项式系数的性质 ●教学难点：二项式系数的最大值的理解与二项展开式中系数最大项有的求解. ●教学方法:发现法 ●授课类型：新授 ●教学情境设计： 一、复习回顾 1．二项式定理及其特例： （1）01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈L L ， （2）1(1)1n r r n n n x C x C x x +=+++++L L . 2．二项展开式的通项公式：1r n r r r n T C a b -+= 二、引入 通项公式中的r n C ，我们称其为二项式系数.当n 依次取1，2，3…时， n b a )(+二项式系数，如下表所示：
表1 此表叫二项式系数表,早在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》一书中出现了又叫杨辉三角.国外最早发现是在欧洲,叫帕斯卡三角，比中国晚了500年 下面我们可以利用“杨辉三角”来研究二项式系数的性质 三、探究 观察二项式系数表,根据提示的方法,寻找表中的规律. 【注意】 ?1）不要孤立的看、规律应该体现在联系之中 ?2）既要注意横向观察，也要注意纵向观察，横向观察是重点 ?3）可以结合函数图象或图表来研究，也可以和集合作联系 1、二项式系数表的规律 ①每行两端都是1 ②除1以外的每1个数都等于它肩上两个数的和（如何用数学知识解释？） 【提示】设这一数为r C 1-r n 和C r n ，由组合数知识可知： 1 1 01C C 02 C 12 C 2 2C 03 C 13 C 23 C 33 C 1 4C 0 4 C 3 4C 2 4C 4 4C 0 5C 1 5C 2 5C 35 C 4 5C 55 C
杨辉三角在二项是中的应用 一、课题：二项式系数的性质（1） 二、教学目标：1．理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用； 2．初步了解用赋值法是解决二项式系数问题； 3．能用函数的观点分析处理二项式系数的性质，提高分析问题和解决问题的能力。 三、教学重点、难点：二项式系数的性质及其对性质的理解和应用。 四、教学过程： （一）复习： 1．二项式定理，二项展开式的通项及二项式系数． （二）新课讲解： 1．二项式系数表（杨辉三角） ()n a b +展开式的二项式系数，当n 依次取1,2,3…时，如下表所示： 1()a b +……………………1 1 2()a b +…………………1 2 1 3()a b +………………1 3 3 1 4()a b +……………1 4 6 4 1 5()a b +…………1 5 10 10 5 1 6()a b +………1 6 15 20 15 6 1 ……………………………… 上表叫二项式系数表，表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和（为什么？） 这个表早在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》就已经出现，这个表叫杨辉三角。利用这一性质，可根据相应于n 的各项二项式系数写出相应于1n +的各项二项式系数。 2．二项式系数的性质： ()n a b +展开式的二项式系数是0n C ，1n C ，2n C ，…，n n C ．r n C 可以看成以r 为自变量的函数()f r 定义域是{0,1,2,,}n ，例当6n =时， 其图象是7个孤立的点（如图） （1）对称性．与首末两端“等距离” 的两个二项式系数相等（∵m n m n n C C -=）． 直线2 n r =是图象的对称轴． （2）增减性与最大值．∵1(1)(2)(1)1!k k n n n n n n k n k C C k k ----+-+= =?， ∴k n C 相对于1k n C -的增减情况由1n k k -+决定，1112 n k n k k -++>?<， 当12n k +<时，二项式系数逐渐增大．由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值； 当n 是偶数时，中间一项2n n C 取得最大值；当n 是奇数时，中间两项12n n C -，12n n C +取得最大值． （3）各二项式系数和： ∵1(1)1n r r n n n x C x C x x +=++ +++，令1x =， 则0122n r n n n n n n C C C C C =++++++． 3．例题分析： 例1 在()n a b +的展开式中，奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和。 证明：在展开式01()()n n n r n r r n n n n n n a b C a C a b C a b C b n N -*+=+++++∈中， 令1,1a b ==-，则0123(11)(1)n n n n n n n n C C C C C -=-+-+ +-， 即02130()()n n n n C C C C =++ -++， ∴0213n n n n C C C C ++=++，
概率 2.1离散型随机变量及其分布列 一、离散型随机变量 在射击比赛中，选手击中靶上的圆形或环形区域内得分，得分值由靶心往外依次可记为：10环，9环，8环，…，1环，0环。那么射击选手射击一次，可以出现的结果为：10环，9环，8环，…，1环，0环。 例如抛一枚硬币，所有可能的结果是：“正面向上”，“反面向上”。 1、 随机变量：在这些试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X 来表示，并且X 是 随着试验的结果的不同而变化的，我们把变量X 叫做一个随机变量。 随机变量常用大写字母X,Y …表示。 例如：设某射击选手每次射击所得的环数是X ，那么X 是一个随机变量。X 的取值范围是{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}。 例：100件产品中，含有5件次品，从中取出4件，那么可能出现的“次品件数”。设X 是一个随机变量，X={ }。 练习1：写出下列各离散型随机变量可能取的值： （1）从10张已编号的卡片（1—10号）中任取一张，被取出的卡片的号数； （2）抛掷一个骰子得到的点数； （3）一个袋子里装有5个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数； 练习2：把一枚硬币先后抛掷两次，如果出现两个正面得5分，出现两个反面得-3分，其他结果得0分，列表写出可能出现的结果与对应的分值。 2、离散型随机变量：如果随机变量X 的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X 为离散型随机变量。 二、离散型随机变量的分布列 1、 离散型随机变量X 的概率分布（或离散型随机变量X 的分布列） 概率分布表需要列出： （1） X 所有可能的值； （2） X 取每一个值的概率。如下表： X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2、 离散型随机变量的分布列有下面两条性质： （1） p i ≥0，i=1,2,3…. ，n ； （2） p 1+p 2+…+p n =1. 3、 两点分布：如果随机变量X 的分布列为 其中0 《杨辉三角与两数和的乘方》教学设计 教学目标： 知识与技能： 1、探究并掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的联系，会利 用这种关系写出两数和的乘方的展开式。 2、探究杨辉三角的数字规律，并能运用这些规律写出杨辉三角， 解决简单的纵横路线图问题。 过程与方法： 1、引导学生观察，讨论，合作学习，让学生充分感受到知识的产 生和发展过程，让学生学会自主探究新事物。 2、通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的猜想 a-的展开式让学生体会转化的数学归纳能力。通过计算()5b 思想方法。 3、通过求()62+a中4a项的系数，让学生学会数学中的赋值 法。 情感态度与价值观： 1、介绍杨辉三角的数学历史，增强学生民族自豪感。 2、采用小组讨论的方式探究杨辉三角的规律，培养学生合作意识， 同时激发学数学的兴趣和热情，增强自信心，引发自主学习的 内在动力。 3、通过象棋问题引入杨辉三角最后又运用杨辉三角解决象棋问题 让学生感受到数学源于生活又服务于生活，数学与现实生活密 切相关而不是割裂的，体会数学在生活中的应用价值，从而提高学习数学的积极性。 教学重点： 1、探究杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系。 2、探究杨辉三角的数字排列规律。 教学难点： 1、利用杨辉三角与两数和的乘方的系数之间的关系计算 ()5b a-的展开式。 1+ 2、例2中将78看作()77 教材分析： （1）杨辉三角与两数和的乘方是浙教版七年级下册第三章的阅读材料，课程总目标对本节课的要求是通过教师在平时教学中渗透或通过学生课后阅读解杨辉三角的简史，掌握杨辉三角与两数和的乘方的系数关系及杨辉三角数字排列规律。 （2）本节课是以整式的乘除为基础，对整式的乘法进行拓展，为高中学习二项式的展开式奠定基础。通过本节课的探究既能构建完整的知识框架，又能培养学生的数学素养。 （3）近几年的中考试题中频频出现杨辉三角，对此本节内容既是对整式乘除的巩固与拓展也是对学生知识的补充。 学情分析： 七年级学生自主学习能力比较薄弱，还无法用数学语言归纳概括比较复杂的数字规律。但是只要教师给予适当的引导、点拨他们还是 贾宪三角 中国的数学发展到宋元时期，终于走到了它的高峰。在这个数学创新的黄金时期中，各种数学成果层出不穷，令人目不暇接。其中特别引人注目的，当首推北宋数学家贾宪创制的“贾宪三角”了。 由于史书没有贾宪的传记，所以我们今天对这位数学家的生平事迹已经无法搞清楚了。只知道他曾经当过宋代“左班殿直”的小官，是当时天文数学家楚衍的学生，还写过两部数学著作，可惜这两部著作现在都失传了。幸亏南宋数学家杨辉在他的书中引述了贾宪的许多数学思想资料，才使我们今天得以了解贾宪在数学上的重大贡献。 贾宪最著名的数学成就，是他创制了一幅数字图式，即“开方作法本源图”（见图1）。这幅图现见于杨辉的书中，但杨辉在引用了这幅图后特意说明：“贾宪用此术”。所以过去我国数学界把这幅图称为“杨辉三角”，实际上是不妥当的，应该称为“贾宪三角”才最为恰当。 图 1开方作法本源图 用现代的数学术语来说，这幅“开方作法本源图”实际上是一个指数为正整数的二项式定理系数表。稍懂代数的读者都知道： 如果把以上式子中等号右边的各个系数排列起来，则可得： 这正好与“开方作法本源图”上的数字完全相符。 这样一种二项式系数的展开规律，在西方数学史上被称为“帕斯卡三角形”。帕斯卡是法国数学家，他是在1654年所著的书中给出类似于贾宪“开方作法本源图”的数字三角形表的（见图2）。其实在欧洲，类似的数字三角形也并非帕斯卡最先发明，只是开始没有广泛流传罢了。西方最古的此类数字三角形，可以上溯到1527年；但与贾宪的这个图相比，已经晚了四百多年。因此我们完全有理由把这项中国人最先发明的数学成果称为“贾宪三角”而载人史册。 不仅如此，贾宪的这个图还蕴含了图中数字的产生规律。细心的读者也许已经发现，这个三角形的两条斜边都是由数字１所组成的，而其他的数都等于它肩上的两个数相加。按此规律，这个数字三角形可以写到任意多层；也就是说，二项式任意正整次幂的系数展开都可以按照这个图很容易地得到。 《杨辉三角》教案 教学目标 1、知识目标： （1）了解杨辉及杨辉三角。 （2）初步认识杨辉三角中行列数字的特点与规律。 2、能力目标： （1）培养学生查阅资料，运用图表和数学语言的能力； （2）培养学生观察能力，提出问题，分析问题的能力，归纳能力与增强创新意识。 3、情感目标： （1）培养学生善于交流，乐于合作的团队精神； （2）在研究的过程中，培养学生不怕挫折，永不满足的意志品质，追求新知的科学态度； （3）通过了解我国古代的数学成就，培养学生的爱国主义精神，激发学生探索、研究数学的热情。 教学重难点： 引导学生从杨辉三角的行列数字中发现规律，得出结论，从而培养学生自主学习的能力。 教学方法： 以学生自己探索研究为主，教师重在点拨指导。 教学手段： 多媒体辅助教学，导学提纲 课堂研究 一、引入 １、（有一位数学家说过：哪里有数，哪里就有美）用下列一些等式的优美规律来激发学生探究杨辉三角的兴趣 112=121 1+2+1=22 1112=12321 1+2+3+2+1=32 11112=1234321 1+2+3+4+3+2+1=42 ２、介绍杨辉（激发爱国热情） 杨辉，中国南宋时期杰出的数学家和数学教育家。在13世纪中叶活动于苏杭一带，其著作甚多。 他著名的数学书共五种二十一卷。著有《详解九章算法》十二卷（1261年）、《日用算法》二卷（1262年）、《乘除通变本末》三卷（1274年）、《田亩比类乘除算法》二卷（1275年）、《续古摘奇算法》二卷（1275年）。 杨辉的数学研究与教育工作的重点是在计算技术方面，他对筹算乘除捷算法进行总结和发展，有的还编成了歌决，如九归口决。他在《续古摘奇算法》中介绍了各种形式的"纵横图"及有关的构造方法，同时"垛积术"是杨辉继沈括"隙积术"后，关于高阶等差级数的研究。杨辉在"纂类"中，将《九章算术》246个题目按解题方法由浅入深的顺序，重新分为乘除、分率、合率、互换、二衰分、叠积、盈不足、方程、勾股等九类。 他非常重视数学教育的普及和发展，在《算法通变本末》中，杨辉为初学者制订的"习算纲目"是中国数学教育史上的重要文献。二、学生自己观察归纳得出杨辉三角的一些特征 1.3.2杨辉三角周兰英 【教学目标】 知识与技能： 1、使学生了解杨辉及杨辉三角的有关历史，掌握杨辉三角的基本性质； 2、探索杨辉三角中行、列数字的特点及其与组合数性质、二项展开式系数性质之间联系，并能归纳这些数字规律； 3、会用数学归纳法及问题情景法证明发现的数字规律. 方法与过程： 1、培养学生独立思考与相互交流结合的意识，使学生基本掌握“观察——分析——猜想——证明”的科学研究方法； 2、利用简短的视频放映，向同学们简要介绍杨辉三角历史，提高同学们学习数学的乐趣，增强民族自豪感; 3、通过练习以及杨辉三角与纵横路线图，杨辉三角与弹子游戏，培养学生形成知识间相互联系的意识，并形成探究知识、建构知识的研究型学习习惯，为进一步学习作好准备. 情感、态度与价值观： 1、了解我国古代数学的伟大成就，培养学生的爱国主义精神． 2、在知识的应用中，培养学生数学应用和科学研究的意识和能力，以及乐于探索、勇于创新的科学精神. 【教学重点、难点】 重点：杨辉三角的性质的发现 难点：引导学生发现杨辉三角中的行、列的数字规律 【教学方法与教学手段】 引导探索——合作交流——发现 计算机辅助教学 【教学过程】 复习回顾 简要回顾二项式定理，通项以及二项式系数相关概念. 一．本节知识点 1.杨辉三角：(a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2………………………………………………1 2 1 (a+b)3……………………………………………1 3 3 1 (a+b)4…………………………………………1 4 6 4 1 (a+b)5………………………………………1 5 10 10 5 1 (a+b)6………………………………………1 6 15 20 15 6 1 第行 1 (1) 第行 1 (1) 杨辉三角揭示了二项展开式的二项式系数的变化情况，那么杨辉三角有何特点？（至少两点） 2.二项式系数的性质（用式子表示） （1）（对称性） （2）当为偶数时，最大；当为奇数时，最大（增减性与最大值） （3）（各二项式系数的和） 二、简单介绍杨辉——古代数学家的杰出代表 《杨辉三角》教案1 【教学目标】 1. 使学生建立“杨辉三角”与二项式系数之间的直觉，并探索其中的规律； 2．能运用函数观点分析处理二项式系数的性质； 3.理解和掌握二项式系数的性质，并会简单的应用。 【教学重难点】 教学重点：二项式系数的性质及其应用； 教学难点：杨辉三角的基本性质的探索和发现。 【教学过程】 一、复习引入 1、二项式定理：________________________________________________； 二项式系数：______________________________________________； 2、( 1+x) n=________________________________________________； 二、杨辉三角的来历及规律 练一练：把( a+b) n（n=1，2，3，4，5，6）展开式的二项式系数填入课本P37的表格，为了方便，可将上表改写成如下形式： (a+b)1 …………………………………………………1 1 (a+b)2 (121) (a+b)3 (1331) (a+b)4 (14641) (a+b)5 (15101051) (a+b)6 (1615201561) …………………………… 爱国教育，杨辉三角因上图形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们称它为杨辉三角。杨辉，我国南宋末年数学家，数学教育家．著作甚多。“杨辉三角”出现在杨辉编著的《详解九章算法》一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。杨辉指出这个方法出于《释锁》算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪。在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal, 1623年~1662年）,他们把这个表叫做帕斯卡三角．这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的。 2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业 1.(a+b)n 展开式中第四项与第六项的系数相等，则n 为（ ） A .8 B .9 C .10 D .11 2.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是（ ） A .第2n+1项 B .第2n+2项 C .第2n 项 D 第2n+1项或2n+2项 3.10110-1的末尾连续零的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.若n 为奇数，777712211---+???+++n n n n n n n C C C 被9除所得的余数是（ ） A .0 B .2 C .7 D .8 5.5 n +13 n (n N ∈)除以3的余数是（ ） A .0 B .0或1 C .0或2 D .2 6.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近似值是（ ） A .1.23 B .1.24 C .1.33 D .1.44 7.!20123181920!417181920!21920C 0 4?????????+???+???+?+ 的值是（ ） A .217 B .218 C .219 D .220 8.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是（ ） A .1 B .-1 C .215 D .315 9. 在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x 3的系数是x 2的系数与x 4的系数的等差中项，则a 的值是 。 10.设112131)13(x x + 展开式中各项系数和为A ，而它的二项式系数之和为B ，若A+B=272，那么展开式中x 2项的系数是 。 11.关于二项式(x 1)2007有下列四个命题： ①该二项展开式中非常数项的系数和是1； ②该二项展开式中系数最大的项是第1004项； ③该二项展开式中第6项为200162007x C ； ④当x=2008时，(x 1)2007 除以2008的余数是2007。 其中正确命题的序号是 。 12.将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如下图所示的01三角数表，从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 行全行的数都为1的是第 行。 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1 …… ……… ……… ……… 13.用二项式定理证明6363+17能被16整除. 《阅读与思考 杨辉三角》 《杨辉三角》只是教材中安排的一篇阅读材料，课程总目标对本节的要求：通过教师在平时教学中渗透或通过学生课外阅读，了解有关杨辉三角的简史，掌握杨辉三角中隐含的基本规律，以拓宽整式乘法. 本节是在学习了整式乘法的基础上进行，是对整式乘法的拓展，为今后学习二项式n b a )( 的展开式奠定基础.通过本节探究杨辉三角规律的教学，既能构建完整知识框架，又能多方位提高学生数学素养. 【知识与能力目标】 通过实验操作，引导学生观察分析，形成数形结合思想. 【过程与方法目标】 （1）通过例题的延伸训练，初步体会运用类比思想研究数学问题. （2）通过研究杨辉三角的数字规律，培养学生由特殊到一般的归纳猜想能力和发展数学方法（如赋值法等）.在小组讨论、探索过程中初步培养合作意识，发展创造性思维能力. 【情感态度价值观目标】 通过杨辉三角数学史的介绍，增强学生民族自豪感. ◆ 教学目标 ◆ 教材分析 【教学重点】 杨辉三角的发现、理解和初步应用. 【教学难点】 难点：3)(b a +的实验操作和结论得出，以及对赋值法验证理解. 一、引入新课 师：请同学们准备好2张正方形、2张长方形的纸片（如图1）.将它们拼成一个大正方形，并运用面积之间的关系，验证完全平方式. 生：动手操作完成（如图2），写出验证完全平方式2222)(b ab a b a ++=+. 师：归纳面积验证的思路，大整块面积＝所有小块面积之和. 师：请同学们准备好2个立方体、8个长方体的纸盒（如图3）.将它们搭成一个棱长为)(b a +的立方体，并运用体积之间的关系，写出一条恒等式. ◆ 教学过程 ◆ 教学重难点 ◆杨辉三角与两数和的乘方优秀教案
人教版-数学-八年级上册-贾宪三角
杨辉三角教案
人教高中数学选修2-3第一章132杨辉三角教学设计
《杨辉三角》教案1
2019-2020学年高一数学 杨辉三角与二项式系数(二)作业.doc
人教版八年级数学上册教案《阅读与思考杨辉三角》
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