第三章多维随机变量及其概率分布
内容介绍
本章讨论多维随机变量的问题，重点讨论二维随机变量及其概率分布。
考点分析
内容讲解
§3.1多维随机变量的概念
1. 维随机变量的概念：
个随机变量，，…，构成的整体＝（，，…，）称为一个维随机变量，
称为的第个分量（）.
2.二维随机变量分布函数的概念：
设（，）为一个二维随机变量，记
，，，
称二元函数为二维随机变量（，）的联合分布函数，或称为（，）的分布函数.
记函数＝
＝，
则称函数和为二维随机变量（，）的两个分量和的边缘分布函数.
3. 二维随机变量分布函数的性质：
（1）是变量（或）的不减函数；
（2）01，对任意给定的，；对任意给定的，；
，；
（3）关于和关于均右连续，即.
（4）对任意给定的，有
.
例题1. P62
【例3－1】判断二元函数是不是某二维随机变量的分布函数。【答疑编号12030101】
解：我们取,
= 1-1-1+0=-1<0,不满足第4条性质，所以不是。
4.二维离散型随机变量
（1）定义：若二维随机变量（X，Y）只取有限多对或可列无穷多对（），（＝1，2，…），则称（X，Y）为二维离散型随机变量.
（2）分布律：
① 设二维随机变量（X，Y）的所有可能取值为（），（＝1，2，…），（X，Y）的各个可能取值的概率为
，（＝1，2，…），
称，（＝1，2，…）为（X，Y）的分布律.
（X，Y）的分布律还可以写成如下列表形式
②（X，Y）分布律的性质
[1] ，（＝1，2，…）；
[2]
例题2. P62
【例3－2】设（X,Y）的分布律为
求a的值。
【答疑编号12030102】
解：
（3）分布函数
由离散型二维随机变量（X，Y）分布律，可以求得其分布函数
.
例题3. P63
【例3－3】设（X,Y）的分布律为
求：（1）P{X=0}；
【答疑编号12030103】
（2）P{Y≤2}；
【答疑编号12030104】
（3）P{X<1,Y≤2}；
【答疑编号12030105】
（4）P{X+Y=2}
【答疑编号12030106】
（1）{X=0}=P{X=0,Y=1}∪P{X=0,Y=2}∪{X=0,Y=3}
（2）
{Y=1}={X=0，Y=1}∪{X=1，Y=1}
{Y=2}={X=0，Y=2}∪{X=1，Y=2}，
（3）{X＜1,Y≤2}={X=0,Y=1}∪{ X=0,Y=2},且事件{X=0,Y=1},{X=0,Y=2}互不相容，所以
P{X＜1,Y≤2}=P{X=0,Y=1}+ P{X=0,Y=2}=0.1+0.1=0.2
（4）{X+Y=2}={X=0,Y=2}∪{X=1,Y=1},类似可得
P{X+Y=2}=P｛X=0,Y=2｝+P{X=1,Y=1}=0.1+0.25=0.35
例题4. P64
【例3－4】现有1，2，3三个整数，X表示从这三个数字中随机抽取的一个整数，Y表示从1至X 中随机抽取的一个整数，试求（X,Y）的分布律。
【答疑编号12030107】
解：
P{X=1，Y=1}
=P{X=1}·P{Y=1|X=1}
=，
，
，
所以{X，Y}的分布律为：
（4）边缘分布律：
① 定义：对于离散型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的分布律称为（X,Y）关于X（或Y）的边
缘分布律，记为（或
② 求法：它们可由（X,Y）的分布律求出，
， .
③ 性质：
例题5. P64
【例3－5】求例3-4中（X,Y）关于X和Y的边缘分布律。
【答疑编号12030108】
解：X与Y的可能值均为1，2，3.
（X，Y）关于X的边缘分布律为：
（X，Y）关于Y的边缘分布律为：
可以将（X，Y）的分布律与边缘分布律写在同一张表上：
值得注意的是：对于二维离散型随机变量（X，Y），虽然它的联合分布可以确定它的两个边缘分布，但在一般情况下，由（X，Y）的两个边缘分布律是不能确定（X，Y）的分布律的。
例题6. P65
【例3-6】设盒中有2个红球3个白球，从中每次任取一球，连续取两次，记X，Y分别表示第一次与第二次取出的红球个数，分别对有放回摸球与不放回摸球两种情况求出（X，Y）的分布律与边缘分布律。
【答疑编号12030109】
解：（1）有放回摸球情况：
由于事件{X=i}与事件{Y=j}相互独立（i，j=0，1），所以
P{X=0，Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=
P{X=0，Y=1}=P{X=0}·P{Y=1}=
P{X=1，Y=0}=P{X=1}·P{Y=0}=
P{X=1，Y=1}=P{X=1}·P{Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
（2）不放回摸球情况：
类似地有
P{X=0，Y=1}=
P{X=1，Y=0}=
P{X=1，Y=1}=
则（X，Y）的分布律与边缘分布律为
5.二维连续型随机变量的概率密度
（1）设二维随机变量（X，Y）的分布函数为F（x,y），若存在非负可积函数，使得对任
意实数x，y，有，则称（X，Y）为二维连续型随机变量；并称为（X，Y）的概率密度或X与Y的联合密度函数.
（2）概率密度的性质：
①非负；
②；
③ 若在处连续，则有
；
④ .
例题7. P67
【例3－7】设（X，Y）的概率密度为求（X，Y）的分布函数F（x,y）.
【答疑编号12030110】
解：
例题8. P67
【例3－8】设二维随机变量（X，Y）的分布函数为
F（x,y）=a（b+arctanx）（c+arctan2y），-∞ 【答疑编号12030111】 （2）（X，Y）的概率密度。 【答疑编号12030112】 解： （1） （2） 6.两种二维连续型随机变量分布 （1）均匀分布 ①定义：设D为平面上的有界区域，其面积为S且S＞0，如果二维随机变量（X,Y）的概率密度为 则称（X,Y）服从区域D上的均匀分布（或称（X,Y）在D上服从均匀分布），记作（X,Y）～U D。 ②两种特殊区域的情况： ⅰ.D为矩形区域a≤x≤b，c≤y≤d，此时 ⅱ.D为圆形区域，如（X,Y）在以原点为中心，R为半径的圆形区域上服从均匀分布，则（X,Y）概率密度为 例题9：P68 【例3－9】设（X，Y）服从下列区域D上的均匀分布，其中D：x≥y,0≤x≤1,y≥0.求P{X+Y≤1}。 【答疑编号12030201】 解： 解：根据上图，D的面积，所以（X，Y）的概率密度为 事件{X+Y≤1}意味着随机点（X，Y）落在区域上，则 （2）正态分布 ①定义：若二维随机变量（X，Y）概率密度为 [1]其中都是常数，且则称（X,Y）服从二维正态分 布，记为 [2]三维空间的曲面。 7.二维随机变量的边缘分布 （1）定义：对于连续型随机变量（X,Y），分量X（或Y）的概率密度称为（X,Y）关于X（或Y）的边缘概率密度，简称边缘密度，记为 （2）求法：它们可由（X,Y）的概率密度f（x，y）求出， 例题10：P70 【例3－10】设（X,Y）在矩形域D上服从均匀分布，其中D：求（X,Y）的边缘概率密度 【答疑编号12030202】 解： 例题11：P70 例3－11 【例3－11】设二维随机变量（X,Y）服从二维正态分布，且求（X,Y） 关于X,Y的边缘概率密度。 【答疑编号12030203】 解： 解：（X,Y）的概率密度为 由于 于是 令则有 因为 因而（X,Y）关于X的边缘概率密度为 即 X～N（0,1）, 类似可得（X,Y）关于Y的边缘概率密度为 即 Y～N（0,1） 例题12. P71 【例3－13】设（X,Y）的概率密度为 求 【答疑编号12030204】 解： §3.2随机变量的独立性 1.两个随机变量的独立性 用两个随机事件的独立性导出两个随机变量的独立性。 （1）定义：设F（x,y），F X（x）和F Y（y）分别是二维随机变量（x,y）的分布函数和两个边缘分布函数，若对任意实数x，y，有 F（x,y）= F X（x）F Y（y）， 则称X与Y相互独立. （2）等价关系：P{X≤x,Y≤y}=P{X≤x}P{Y≤y}. 例题13：P73 【例3－14】续3.1节例3-7证明X与Y相互独立。 【答疑编号12030205】 证明： 2.二维离散型随机变量的独立性的充要条件 设（X,Y）为二维离散型随机变量，其分布律为 其边缘分布律为 X与Y相互独立的充分必要条件是，对一切i，j有 反之，只要有一对（i，j）使上式不成立，X与Y就不相互独立. 例题14：P74 【例3-15】判断3.1节例3-6中X与Y是否相互独立。 【答疑编号12030206】 解（1）有放回摸球情况：因为 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题1．甲乙两人独立地进行两次射击，命中率分别为0.2、0.5，把X 、Y 分别表示甲乙命中的次数，求（X,Y ）联合分布律。2．袋中有两只白球，两只红球，从中任取两只以X 、Y 表示其中黑球、白球的数目，求（X,Y ）联合分布律。3．设，且P{}=1，求（）的X 1=(?1011/41/21/4) X 2=(011/21/2)X 1X 2=0X 1，X 2联合分布律，并指出是否独立。 X 1，X 24．设随机变量X 的分布律为Y=，求（X,Y ）联合分布律。X 2X Y 01 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 5．设（X,Y ）的概率分布为 且事件{X=0}与{X+Y=1}独立求a ，b 。6. 设某班车起点上车人数X 服从参数λ(λ>0)的泊松分布，每位乘客中途下车的概率为P （0 概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题 （1）C 的值 （2）， (3)P{X+Y ≤1}并判别X 与Y 是否独立。f z (x)f Y (y)9．设f(x,y)= 为（X,Y ）的密度函数，求{10 |y | 全国2012年4月自学考试概率论与数理统计（二）试题 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 设A ，B 为随机事件，且A ?B ，则AB 等于（ ） A. A B B. B C. A D. A 2. 设A ，B 为随机事件，则P （A-B ）=（ ） A. P （A ）-P （B ） B. P （A ）-P （AB ） C. P （A ）-P （B ）+ P （AB ） D. P （A ）+P （B ）- P （AB ） 3. 设随机变量X 的概率密度为f （x ）= ?? ???<<其他，，，0, 6331 x 则P ｛3 1 全国2018年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设事件A 与B 互不相容，且P(A)>0,P(B)>0,则有（ ） A.P(A ?B)=P(A)+P(B) B.P(AB)=P(A)P(B) C.A=B D.P(A|B)=P(A) 2.某人独立射击三次，其命中率为0.8，则三次中至多击中一次的概率为（ ） A.0.002 B.0.008 C.0.08 D.0.104 3.设事件{X=K}表示在n 次独立重复试验中恰好成功K 次，则称随机变量X 服从（ ） A.两点分布 B.二项分布 C.泊松分布 D.均匀分布 4.设随机变量X 的概率密度为f(x)=???<<-其它,02 x 1),x 2x 4(K 2 则K=（ ） A.165 B.21 C.43 D.54 5. 则F(1,1) =（ ） A.0.2 B.0.3 C.0.6 D.0.7 6.设随机向量（X ，Y ）的联合概率密度为f(x,y)=????? <<<<--; ,0,4y 2,2x 0),y x 6(81 其它 则P （X<1,Y<3）=（ ） 2 A.8 3 B.8 4 C.8 5 D.87 7.设随机变量X 与Y 相互独立，且它们分别在区间[-1，3]和[2，4]上服从均匀分布，则E （XY ）=（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 8.设X 1, X 2, …,X n ，…为独立同分布的随机变量序列，且都服从参数为 21的指数分布，则当n 充分大时，随机变量Y n =∑=n 1i i X n 1的概率分布近似服从（ ） A.N （2，4） B.N （2，n 4） C.N （n 41,21） D.N （2n,4n ） 9.设X 1,X 2,…，X n (n ≥2)为来自正态总体N （0，1）的简单随机样本，X 为样本均值，S 2为样本方差，则有（ ） A.)1,0(N ~X n B.nS 2~χ2(n) C.)1n (t ~S X )1n (-- D.)1n ,1(F ~X X )1n (n 2i 2i 21 --∑= 10.若θ)为未知参数θ的估计量，且满足E （θ)）=θ，则称θ)是θ的（ ） A.无偏估计量 B.有偏估计量 C.渐近无偏估计量 D.一致估计量 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.设P （A ）=0.4，P （B ）=0.5，若A 、B 互不相容，则P （AB ）=___________. 12．某厂产品的次品率为5%，而正品中有80%为一等品，如果从该厂的产品中任取一件来检验，则检验结果是一等品的概率为___________. 13．设随机变量X~B （n,p ），则P （X=0）=___________. 2019年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)04183 一、单项选择题：本大题共10小题，每小题2分，共20分。 1.设()0.6P B =，()0.5P A B =，则()P A B -= A. 0.1 B.0.2 C.0.3 D.0.4 2.设事件A 与B 相互独立，且()0.6P A =,()0.8P A B =，则()P B = A. 0.2 B.0.4 C.0.5 D.0.6 3.甲袋中有3个红球1个白球，乙袋中有1个红球2个白球，从两袋中分别取出一个球，则两个球颜色相同的概率的概率是 A. 16 B. 14 C. 13 D. 512 4.设随机变量X 则P{X>0}= A. 14 B. 12 C. 34 D. 1 5.设随机变量X 的概率为,02()0,cx x f x ≤≤?=?? 其他，则P{X ≤1}= A. 14 B. 12 C. 23 D. 34 6.已知随机变量X~N(-2,2)，则下列随机变量中，服从N(0,1)分布的是 A. 1(2) 2X - B. 1(2)2X + C. 2)X - D. 2)X + A. 0.1 B.0.4 C.0.5 D.0.7 8.设随机变量X 与Y 相互独立，且D(X)=4，D(Y)=2,则D(3X-2Y)= A. 8 B.16 C.28 D.44 9.设123,,x x x 是来自总体X 的样本，若E(X)=μ(未知)，123132 x ax ax μ=-+是μ的无偏估计，则常数a= A. 16 B. 14 C. 13 D. 12 10.设12,,,(1)n x x x n >为来自正态总体2(,)N μσ的样本，其中2,μσ均未知，x 和2s 分别是样本均值和样本方差，对于检验假设0000=H H μμμμ≠：，：，则显著性水平为α的检验拒绝域为 A. 02(1)x n αμ??->-???? B. 02x αμ??->??? ? C. 02(1)x n αμ??-≤-???? D. 02x αμ??-≤??? ? 二、填空题：本大题共15小题，每小题2分，共30分。 11.设A,B,C 是随机事件，则“A,B,C 至少有一个发生”可以表示为 . 12.设P(A)=0.3,P(B)=0.6,P(A|B)=0.4,则P(B|A)= . 13.袋中有3个黄球和2个白球，今有2人依次随机地从袋中各取一球，取后不放回，则第2个人取得黄球的概率为 . 14.已知随机变量X 服从参数为λ的泊松分布，且P{X=1}=P{X=2}，则λ= . 15.设随机变量X 服从参数为1的指数分布，则P{X ≥1}= . P{X=Y}= . 17.设二维随机变量(X,Y)的概率密度为,01,02,(,)0,, c x y f x y ≤≤≤≤?=??其他 则常数c= . 18.设随机变量X 服从区间[1,3]上的均匀分布，Y 服从参数为2的指数分布，X,Y 相互独立，f(x,y)是(X,Y)的概率密度，则f(2,1)= . 19.设随机变量X,Y 相互独立，且X~B(12,0.5),Y 服从参数为2的泊松分布，则E(XY)= . 20.设X~B(100,0.2), 204 X Y -=，由中心极限定理知Y 近似服从的分布是 . 21.已知总体X 的方差D(X)=6, 123,,x x x 为来自总体X 的样本，x 是样本均值，则D(x )= . 22.设总体X 服从参数是λ的指数分布，12,, ,n x x x 为来自总体X 的样本，x 为样本 均值，则E(x )= . 23.设1216,, ,x x x 为来自正态总体N(0,1)的样本，则2221216x x x +++服从的分布是 . 2009年4月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A ，B 为两个互不相容事件，则下列各式错误．．的是（ ） A ．P(AB)=0 B ．P(A ∪B)=P(A)+P(B) C ．P(AB)=P(A)P(B) D ．P(B-A)=P(B) 2．设事件A ，B 相互独立，且P(A)=31 ，P(B)>0，则P(A|B)=( ) A ．151 B ． 5 1 C ． 15 4 D ．3 1 3．设随机变量X 在[-1，2]上服从均匀分布，则随机变量X 的概率密度f (x )为( ) A ．?? ???≤≤-=.,0; 21,3 1 )(其他x x f B ．? ??≤≤-=.,0; 21,3)(其他x x f C ．? ??≤≤-=.,0; 21,1)(其他x x f D ． ?? ???≤≤--=.,0; 21,31 )(其他x x f 4．设随机变量X ~ B ?? ? ??31,3，则P{X ≥1}=( ) A ．271 B ．27 8 C ． 27 19 D ． 27 26 5 则P{XY=2}=( ) A ．5 1 B ． 10 3 C ． 2 1 D ． 5 3 6．设二维随机变量(X ，Y)的概率密度为 ? ??≤≤≤≤=,,0; 10,10,4),(其他y x xy y x f 则当0≤y ≤1时，(X ，Y)关于Y 的边缘概率密度为f Y ( y )= ( ) A ．x 21 B ．2x C ．y 21 D ．2y 7．设二维随机变量(X 则E(XY)=( ) A ．91- B ．0 C ． 91 D ．3 1 8．设总体X ~ N(2,σμ)，其中μ未知，x 1，x 2，x 3，x 4为来自总体X 的一个样本，则以下关 于μ的四个估计：)(41?43211x x x x +++=μ，321251 5151?x x x ++=μ ，2136 261?x x +=μ，147 1 ?x =μ中，哪一个是无偏估计？( ) A ．1?μ B ．2?μ C ．3?μ D ．4?μ 9．设x 1, x 2, …, x 100为来自总体X ~ N(0，42)的一个样本，以x 表示样本均值，则x ~( ) A ．N(0，16) B ．N(0，0.16) C ．N(0，0.04) D ．N(0，1.6) 10．要检验变量y 和x 之间的线性关系是否显著，即考察由一组观测数据(x i ，y i )，i =1，2，…，n ， 得到的回归方程x y 1 0???ββ+=是否有实际意义，需要检验假设( ) A ．0∶,00100≠=ββH H ∶ B ．0∶,0∶1110≠=ββH H 概率论与数理统计练习题 系 专业 班 姓名 学号 第六章 随机变量数字特征 一．填空题 1. 若随机变量X 的概率函数为 1 .03.03.01.02.04 3211p X -，则 =≤)2(X P ；=>)3(X P ；=>=)04(X X P . 2. 若随机变量X 服从泊松分布)3(P ，则=≥)2(X P 8006.0413 ≈--e . 3. 若随机变量X 的概率函数为).4,3,2,1(,2)(=?==-k c k X P k 则=c 15 16 . 4．设A ,B 为两个随机事件，且A 与B 相互独立，P (A )=，P (B )=,则()P AB =____________.（） 5．设事件A 、B 互不相容，已知()0.4=P A ，()0.5=P B ，则()=P AB 6． 盒中有4个棋子，其中2个白子，2个黑子，今有1人随机地从盒中取出2个棋子，则这2个棋子颜色相同的概率为____________.（ 13 ） 7．设随机变量X 服从[0,1]上的均匀分布，则()E X ＝____________.（ 12 ） 8．设随机变量X 服从参数为3的泊松分布，则概率密度函数为 __. （k 3 3(=,0,1,2k! P X k e k -==L ）） 9．某种电器使用寿命X （单位：小时）服从参数为1 40000 λ=的指数分布，则此种电器的平 均使用寿命为____________小时.（40000） 10在3男生2女生中任取3人，用X 表示取到女生人数，则X 的概率函数为 11.若随机变量X 的概率密度为)(,1)(2 +∞<<-∞+= x x a x f ，则=a π1 ；=>)0(X P ；==)0(X P 0 . 12.若随机变量)1,1(~-U X ，则X 的概率密度为 1 (1,1) ()2 x f x ?∈-? =???其它 07.4 10.设总体X 服从正态分布N （μ，1），x 1，x 2，…，x n 为来自该总体的样本，x 为样本均值，s 为样本标准差，欲检验假设H 0∶μ=μ0，H 1∶μ≠μ0，则检验用的统计量是（ ） A.n /s x 0μ- B.)(0μ-x n C. 1 0-μ-n /s x D.)(10μ--x n 23.设样本x 1，x 2，…，x n 来自正态总体N （μ，9），假设检验问题为H 0∶μ=0，H 1∶μ≠0，则在显著性水平α下，检验的拒绝域W=___________。 24.设0.05是假设检验中犯第一类错误的概率，H 0为原假设，则P {拒绝H 0｜H 0真}= ___________。 07.7 25．设总体X~N （μ,σ2），X 1，X 2，…，X n 为来自该总体的一个样本.对假设检验问题 2 212020::σσσσ≠?=H H ，在μ未知的情况下，应该选用的检验统计量为___________. 9．在假设检验问题中，犯第一类错误的概率α的意义是（ ） A ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 B ．在H 0不成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 C ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被拒绝的概率 D ．在H 0成立的条件下，经检验H 0被接受的概率 24．设总体X~N （μ,σ2 ）,x 1,x 2,x 3,x 4为来自总体X 的体本，且2 4 1 2 4 1 )(,4 1 σ∑∑==-= i i i i x x x x 则 服 从自由度为____________的2χ分布. 27．假设某校考生数学成绩服从正态分布，随机抽取25位考生的数学成绩，算得平均成绩 61=x 分，标准差s=15分.若在显著性水平0.05下是否可以认为全体考生的数学平均成 绩为70分？（附：t 0.025(24)=2.0639） 08.1 23.当随机变量F~F(m,n )时,对给定的.)),((),10(ααα=>< 一、单项选择题 1 ，那么下列结论正确的是 （）A B C D.以上都不正确 2设X与Y相互独立，X 0—1分布，Y 0—1分布，则方程 t 有相同实根的概率为 （A（B（C （D 3．设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 则k的值必为 （A（B（C （D 4．设（X，Y）的联合密度函数为 （A （B（C（D 5．设随机变量X与Y相互独立，而且X服从标准正态分布N（0，1），Y服从二项分布B（n，p），0 二、填空题 2 若（X ，Y ）的联合密度 ， 3 4 ，则 且区域 5 。 6 . 7 =? ∞+∞ -)(x f X . 8 如果随机变量),(Y X 的联合概率分布为 X 1 2 3 1 61 91 181 2 3 1 α β 则βα,应满足的条件是 ；若X 与Y 相互独立，则=α ，=β . 9 设Y X ,相互独立，)1.0(~),1,0(~N Y N X ，则),(Y X 的联合概率密度 =),(y x f ，Y X Z +=的概率密度=)(Z f Z . 10、 设 ( 、 ) 的 联 合 分 布 函 数 为 ()()()()?? ??? ≥≥+-+-+++= y x y x y x A y x F 00,0111111,2 22则 A =_____。 11设X 服从参数为1的泊松分布，Y 服从参数为2的泊松分布，而且X 与Y 相互独立，则 (max(,)0)_______. (min(,)0)_______.P X Y P X Y ≠=≠= 12 设X 与Y 相互独立，均服从[1，3]上的均匀分布，记(),A X a =≤(),B Y a => 7 ()9 P A B ?= 且，则a=_______. 13 二维随机变量（X ，Y ）的联合概率密度为 221()21sin sin (,)(,),2x y x y f x y e x y π -++= -∞<<+∞ 则两个边缘密度为_________. 三．解答题 1 一个袋中有三个球,依次标有数字 1, 2, 2,从中任取一个, 不放回袋中 , 再任取一个, 设每次取球时,各球被取到的可能性相等,以 X , Y 分别记第一次和第二次取到的球上标有的数字 ,求 ( X , Y ) 的分布律与分布函数. 2．箱子里装有12件产品，其中2件是次品，每次从箱子里任取一件产品，共取2次，定义随机变量12,X X 如下： 一、《概率论与数理统计（经管类）》考试题型分析： 题型大致包括以下五种题型，各题型及所占分值如下： 由各题型分值分布我们可以看出，单项选择题、填空题占试卷的50%，考查的是基本的知识点，难度不大，考生要把该记忆的概念、性质和公式记到位。计算题和综合题主要是对前四章基本理论与基本方法的考查，要求考生不仅要牢记重要的公式，而且要能够灵活运用。应用题主要是对第七、八章内容的考查，要求考生记住解题程序和公式。结合历年真题来练习，就会很容易的掌握解题思路。总之，只要抓住考查的重点，记住解题的方法步骤，勤加练习，就能够百分百达到过关的要求。二、《概率论与数理统计（经管类）》考试重点说明：我们将知识点按考查几率及重要性分为三个等级，即一级重点、二级重点、三级重点，其中，一级重点为必考点，本次考试考查频率高；二级重点为次重点，考查频率较高；三级重点为预测考点，考查频率一般，但有可能考查的知识点。第一章随机事件与概率 1．随机事件的关系与计算 P3-5 （一级重点）填空、简答事件的包含与相等、和事件、积事件、互不相容、对立事件的概念 2．古典概型中概率的计算 P9 （二级重点）选择、填空、计算记住古典概型事件概率的计算公式 3. 利用概率的性质计算概率 P11-12 （一级重点）选择、填空 ,（考得多）等，要能灵活运用。 4. 条件概率的定义 P14 （一级重点）选择、填空记住条件概率的定义和公式： 5. 全概率公式与贝叶斯公式 P15-16 （二级重点）计算记住全概率公式和贝叶斯公式，并能够运用它们。一般说来，如果若干因素（也就是事件）对某个事件的发生产生了影响，求这个事件发生的概率时要用到全概率公式；如果这个事件发生了，要去追究原因，即求另一个事件发生的概率时，要用到贝叶斯公式，这个公式也叫逆概公式。 6. 事件的独立性（概念与性质） P18-20（一级重点）选择、填空定义：若，则称A与B 相互独立。结论：若A与B相互独立，则A与，与B 与都相互独立。 7. n重贝努利试验中事件A恰好发生k次的概率公式 P21（一级重点）选择、填空在重贝努利试验中，设每次试验中事件的概率为（），则事件A恰好发生。第二章随机变量及其概率分布 8．离散型随机变量的分布律及相关的概率计算 P29，P31（一级重点）选择、填空、计算、综合。记住分布律中，所有概率加起来为1，求概率时，先找到符合条件的随机点，让后把对应的概率相加。求分布律就需要找到随机变量所有可能取的值，和每个值对应的概率。 9. 常见几种离散型分布函数及其分布律 P32-P33（一级重点）选择题、填空题以二项分布和泊松分布为主，记住分布律是关键。本考点基本上每次考试都考。 10. 随机变量的分布函数 P35-P37（一级重点）选择、填空、计算题记住分布函数的定义和性质是关键。要能判别什么样的函数能充当分布函数，记住利用分布函数计算概率的公式：①；②其中；③。 11. 连续型随机变量及其概率密度 P39（一级重点）选择、填空重点记忆它的性质与相关的计算，如①；；反之，满足以上两条性质的函数一定是某个连续型随机变量的概率密度。③；④ 设为的 概率论与数理统计（经管类）综合试题一 （课程代码 4183） 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.下列选项正确的是 ( B ). A. A B A B +=+ B.()A B B A B +-=- C. (A -B )+B =A D. AB AB = 2.设 ()0,()0 P A P B >>，则下列各式中正确的是 ( D ). A.P (A -B )=P (A )-P (B ) B.P (AB )=P (A )P (B ) C. P (A +B )=P (A )+P (B ) D. P (A +B )=P (A )+P (B )-P (AB ) 3.同时抛掷3枚硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率是 ( D ). A. 18 B. 16 C. 14 D. 12 4.一套五卷选集随机地放到书架上，则从左到右或从右到左卷号恰为1，2，3，4，5顺序的概率为 ( B ). A. 1120 B. 160 C. 15 D. 12 5.设随机事件A ，B 满足B A ?，则下列选项正确的是 ( A ). A.()()()P A B P A P B -=- B. ()()P A B P B += C.(|)()P B A P B = D.()()P AB P A = 6.设随机变量X 的概率密度函数为f (x )，则f (x )一定满足 ( C ). A. 0()1f x ≤≤ B. f (x )连续 C. ()1f x dx +∞-∞ =? D. ()1f +∞= 7.设离散型随机变量X 的分布律为(),1,2,...2k b P X k k ===，且0b >，则参数b 的 值为 ( D ). A. 12 B. 13 C. 1 5 D. 1 《概率论与数理统计》复习资料 第一章 随机事件与概率 1．事件的关系 φφ=Ω-??AB A B A AB B A B A 2．运算规则 （1）BA AB A B B A =?=? （2）)()( )()(BC A C AB C B A C B A =??=?? （3）))(()( )()()(C B C A C AB BC AC C B A ??=??=? （4）B A AB B A B A ?==? 3．概率)(A P 满足的三条公理及性质： （1）1)(0≤≤A P （2）1)(=ΩP （3）对互不相容的事件n A A A ,,,21 ，有∑===n k k n k k A P A P 1 1 )()( （n 可以取∞） （4） 0)(=φP （5）)(1)(A P A P -= （6）)()()(AB P A P B A P -=-，若B A ?，则)()()(A P B P A B P -=-，)()(B P A P ≤ （7）)()()()(AB P B P A P B A P -+=? （8）)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? 4．古典概型：基本事件有限且等可能 5．几何概率 6．条件概率 （1） 定义：若0)(>B P ，则) () ()|(B P AB P B A P = （2） 乘法公式：)|()()(B A P B P AB P = 若n B B B ,,21为完备事件组，0)(>i B P ，则有 （3） 全概率公式： ∑==n i i i B A P B P A P 1)|()()( （4） Bayes 公式： ∑== n i i i k k k B A P B P B A P B P A B P 1 ) |()() |()()|( 7．事件的独立性： B A ,独立)()()(B P A P AB P =? （注意独立性的应用） . 第七章 假设检验 设总体2(,)N ξμσ~，其中参数μ，2σ为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设： （1）0:0,1H μσ==； （2）0:0,1H μσ=>； （3）0:3,1H μσ<=； （4）0:03H μ<<； （5）0:0H μ=. 解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设1225,,,ξξξL 取自正态总体(,9)N μ，其中参数μ未知，x 是子样均值，如对检验问题0010:,:H H μμμμ=≠取检验的拒绝域：12250{(,,,):||}c x x x x c μ=-≥L ，试决定常数c ，使检验的显着性水平为 解：因为(,9)N ξμ~，故9 (,)25 N ξμ~ 在0H 成立的条件下， 000 53(||)(||)53 521()0.05 3c P c P c ξμξμ-≥=-≥? ?=-Φ=??? ? 55( )0.975,1.9633 c c Φ==，所以c =。 设子样1225,,,ξξξL 取自正态总体2 (,)N μσ，20σ已知，对假设检验0010:,:H H μμμμ=>，取临界域12n 0{(,,,):|}c x x x c ξ=>L ， （1）求此检验犯第一类错误概率为α时，犯第二类错误的概率β，并讨论它们之间的关系； （2）设0μ=，20σ=，α=，n=9，求μ=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在0H 成立的条件下，2 00(, )n N σξμ~，此时 00000()P c P ξαξ=≥= 10 αμ-= ，由此式解出010c αμμ-= + 在1H 成立的条件下，2 0(, )n N σξμ~，此时 1010 10 ()(P c P αξβξμ-=<==Φ=Φ=Φ- 由此可知，当α增加时，1αμ-减小，从而β减小；反之当α减少时，则β增加。 （2）不犯第二类错误的概率为 10 0.9511(0.650.51(3) 0.2 1(0.605)(0.605)0.7274αβμμ--=-Φ-=-Φ- =-Φ-=Φ= 设一个单一观测的ξ子样取自分布密度函数为()f x 的母体，对()f x 考虑统计假设： 0011101 201 :():()00x x x H f x H f x ≤≤≤≤??==? ??? 其他其他 试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足2min αβ+=，并求其最小值。 解 设检验函数为 1()0x c x φ∈?=?? 其他（c 为检验的拒绝域） 2007年4月份全国自考概率论与数理统计（经管类）真题参考答案 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）在每小题列出的四个备选项 中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均 无分。 1. A. A B. B C. C D. D 答案：B 解析：A,B互为对立事件,且P(A)＞0,P(B)＞0,则P(AB)=0 P(A∪B)=1，P(A)=1-P(B),P(AB)=1-P(AB)=1. 2.设A，B为两个随机事件，且P（A）>0，则P（A∪B｜A）=（） A. P（AB） B. P（A） C. P（B） D. 1 答案：D 解析：A,B为两个随机事件,且P(A)＞0,P(A∪B|A)表示在A发生的条件下,A或B发生的概率,因为 A发生，则必有A∪B发生，故P(A∪B|A)=1. 3.下列各函数可作为随机变量分布函数的是（） A. A B. B C. C D. D 答案：B 解析：分布函数须满足如下性质：（1）F(+∞)=1,F(-∞)=0,(2)F(x)右连续,(3)F(x)是不减函数 ,(4)0≤F(x)≤1.而题中F1(+∞)=0；F3(-∞)=-1；F4(+∞)=2.因此选 项A、C、D中F(x)都不是随 机变量的分布函数,由排除法知B正确,事实上B满足随机变量分布函数的所有性质. 4.设随机变量X的概率密度为 A. A B. B C. C D. D 答案：A 5.设二维随机变量（X，Y）的分布律为(如下图)则P{X+Y=0}=（） A. B. C. D. 答案：C 解析：因为X可取0,1,Y可取-1,0,1,故 P{X+Y=0}=P{X=0,Y=0}+P{X=1,Y=-1}=+=. 6.设二维随机变量（X，Y）的概率密度为 A. A B. B C. C D. D 答案：A 7.设随机变量X服从参数为2的泊松分布，则下列结论中正确的是（） A. E（X）=，D（X）= B. E（X）=，D（X）= C. E（X）=2，D（X）=4 D. E（X）=2，D（X）=2 答案：D 解析：X~P(2),故E（X）=2，D（X）=2. 8.设随机变量X与Y相互独立，且X~N（1，4），Y~N（0，1），令Z=X-Y，则D（Z）=（） A. 1 B. 3 C. 5 D. 6 2004年7月第1版 2008年4月第10次印刷 第一章 随机事件与概率 1.1 随机事件及其运算 1.1.1 随机现象 在一定的条件下，并不总是出现相同结果的现象称为随机现象.在相同条件下可以重复的随机现象又称为随机试验. 1.1.2 样本空间 随机现象的一切可能基本结果组成的集合称为样本空间，记为Ω={ω}，其中ω表示基本结果，又称为样本点.样本点是今后抽样的最基本单元. 1.1.3 随机事件 随机现象的某些样本点组成的集合称为随机事件，简称事件. 1.1.4 随机变量 用来表示随机现象结果的变量称为随机变量. 1.1.7 事件域 定义1.1.1 设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的集合类.如果?满足： (1) Ω∈?； (2)若A ∈?，则对立事件A ∈?； (3)若A n ∈?,n =1,2,…，则可列并 A n ∞n =1∈?. 则称?为一个事件域，又称为σ代数. 在概率论中，又称(Ω,?)为可测空间. 1.2 概率的定义及其确定方法 1.2.1 概率的公理化定义 定义1.2.1设Ω为一样本空间，?为Ω的某些子集所组成的一个事件域.若对任一事件A ∈?，定义在?上的一个实值函数P (A )满足： (1)非负性公理 若A ∈?，则P A ≥0； (2)正则性公理 P Ω =1； (3)可列可加性公理 若A 1,A 2,…,A n 互不相容，有 P A i ∞i =1 = P A i ∞ i =1 则称P (A )为事件A 的概率，称三元素(Ω,?,P )为概率空间. 第二章 随机变量及其分布 2.1 随机变量及其分布 2.1.1 随机变量的概念 定义2.1.1 定义在样本空间Ω上的实值函数X =X (ω)称为随机变量. 2.1.2 随机变量的分布函数 定义2.1.2 设X 是一个随机变量，对任意实数x ，称 2016年10月高等教育自学考试全国统一命题考试 概率论与数理统计(二) 试卷 (课程代码 02197) 本试卷共4页，满分l00分，考试时间l50分钟。 考生答题注意事项： 1．本卷所有试题必须在答题卡上作答。答在试卷上无效，试卷空白处和背面均可作草稿纸。2．第一部分为选择题。必须对应试卷上的题号使用2B铅笔将“答题卡”的相应代码涂黑。3．第二部分为非选择题。必须注明大、小题号，使用0．5毫米黑色字迹签字笔作答。4．合理安排答题空间，超出答题区域无效。 第一部分选择题(共20分) 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其选出并将“答题 卡”的相应代码涂黑。错涂、多涂或未涂均无分。 1．设A与B是两个随机事件，则P(A-B)= 2．设随机变量石的分布律为 A．O．1 B．O．2 C． D．0．6 3．设二维随机变量∽，n的分布律为 且X与y相互独立，则下列结论正确的是 A．d=0．2，b=0,2 B．a=0-3，b=0．3 C．a=0．4，b=0．2 D．a=0．2，b=0．4 4．设二维随机变量(x，D的概率密度为 5．设随机变量X～N(0，9),Y～N(0，4)，且X与Y相互独立，记Z=X-Y，则Z～ 6．设随机变量x服从参数为jl的指数分布，贝JJ D(X)= 7．设随机变量2服从二项分布召(10,0．6)，Y服从均匀分布U，则E(X-2Y)= A．4 B．5 C．8 D．10 8．设(X,Y)为二维随机变量，且D(．固>0，D(功>0，为X与y的相关系数，则 第二部分非选择题(共80分) 二、填空题(本大题共l5小题，每小题2分，共30分) 11．设随机事件A，B互不相容，P(A)=0．6，P(B)=0．4，则P(AB)=_______。 12．设随机事件A，B相互独立，且P(A)=0．5，P(B)=0．6，则=________。13．已知10件产品中有1件次品，从中任取2件，则末取到次品的概率为_____． 全国2010年7月高等教育自学考试 概率论与数理统计(经管类)试题 课程代码：04183 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分,共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设A 、B 为两事件，已知P (B )=21，P (B A )=3 2 ，若事件A ，B 相互独立，则P (A )= ( ) A ．9 1 B ．6 1 C ．31 D ． 2 1 2．对于事件A ，B ，下列命题正确的是( ) A ．如果A ，B 互不相容，则B ,A 也互不相容 B ．如果B A ，则B A C ．如果B A ，则B A D ．如果A ，B 对立，则B ,A 也对立 3．每次试验成功率为p (0 -1)=l D ．P (X<4)=l 5．已知连续型随机变量X 服从区间[a ，b ]上的均匀分布，则概率 32b a X P ( ) A ．0 B ． 3 1 C ． 3 2 D ．1 X 与Y 相互独立时，(p ，q )=( ) A ．(51,15 1) B ．(151,5 1) C ．( 152101,) D ．( 10 1152,) 7．设(X ,Y )的联合概率密度为 ,,, y ,x ,y x k y ,x f 其他01020)()(则k =( ) A ．31 B. 2 1 C ．1 D ．3 8．已知随机变量X ～N (0，1)，则随机变量Y =2X -1的方差为( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 9．设随机变量X 服从参数为0.5的指数分布，用切比雪夫不等式估计P (|X -2|≥3)≤( ) A.91 B.31 C. 2 1 D.1 10.设X 1，X 2，X 3，为总体X 的样本，3216 1 21kX X X T ， 已知T 是E (x )的无偏估计，则k =( ) A.61 B.31 C.9 4 D. 2 1 二、填空题(本大题共15小题,每小题2分，共30分) 1 全国2019年4月高等教育自学考试 概率论与数理统计（二）试题 课程代码：02197 一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1.设A ，B 为随机事件，且A ?B ，则B A Y 等于（ ） A.A B.B C.AB D.B A Y 2.同时掷3枚均匀硬币，则至多有1枚硬币正面向上的概率为（ ） A.81 B. 6 1 C. 41 D.2 1 3.设随机变量X 的概率密度为f(x)，则f(x)一定满足（ ） A.0≤f(x)≤1 B.? ∞ -=>X dt )t (f }x X {P C. ? +∞ ∞ -=1dx )x (f D.f(+∞)=1 ） ，则P （{-2 2 D.D （X+Y ）=222 1σ+σ 7.设随机变量X ，Y 都服从区间[0，1]上的均匀分布，则E （X+Y ）=（ ） A. 61 B.21 C.1 D.2 8.设X 为随机变量，其方差存在，c 为任意非零常数，则下列等式中正确的是（ ） A.D(X+c)=D(X) B.D(X+c)=D(X)+c C.D(X-c)=D(X)-c D.D(cX)=cD(X) 9.设E （X ）=E （Y ）=2，Cov(X,Y)=，6 1- 则E （XY ）=（ ） A.6 1- B.623 C.4 D. 6 25 10.设总体X~N （μ,σ2），σ2未知，且X 1，X 2，…，X n 为其样本，X 为样本均值，S 为样本标准差，则对于假设检验问题H 0:μ=μ0?H 1:μ≠μ0，应选用的统计量是（ ） A.n /S X 0μ- B. 1n /X 0-σμ- C.1 n /S X 0-μ- D.n /X 0σμ- 二、填空题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 11.某地区成年人患结核病的概率为0.015，患高血压病的概率为0.08，设这两种病的发生是 相互独立的，则该地区内任一成年人同时患有这两种病的概率为___________. 12.一批产品中有10个正品和2个次品，现随机抽取两次，每次取一件，取后放回，则第二次取出的是次品的概率为___________. 13.设A,B,C 为三个随机事件,P(A)=P(B)=P(C)=41,P(AB)=P(AC)=P(BC)=6 1 ,P(ABC)=0,则P(A Y B Y C)=___________. 14.10粒围棋子中有2粒黑子,8粒白子,将这10粒棋子随机地分成两堆,每堆5粒,则两堆中各有1粒黑子的概率为___________. 15.设随机变量X~B(3,0.3),且Y=X 2,则P{Y=4}=___________. 16.已知随机变量X 的分布函数为F X (x),则随机变量Y=3X+2的分布函数F Y (y)=___________. 17.设随机变量X,Y 相互独立,且X~2χ(n 1),Y~2χ(n 2),则随机变量2 1 n /Y n /X ~___________.【免费下载】概率论与数理统计 第三章 二维随机变量及其概率分布 例题
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