毕业论文（设计）题目：矩阵特征值和特征向量的求法与应用
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摘要：特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，在理论学习和实际生活中有很重要的作用.本文主要讨论并归纳总结了特征值与特征向量的相关性质以及相关求法，通过实例展示了特征值与特征向量的相关应用。
关键词：矩阵；特征值；特征向量；基础解系
Abstract:As an important part of algebra,Eigenvalue and Eigenvector of a Matrix have very important applications in theoretical study and practical life. In this paper,some properties of eigenvalue and eigenvector are discussed and summarized,it shows the superiority of eigenvalue and eigenvector through examples.
Key words: matrix；eigenvalue；eigenvector；system of fundamental solutions
目录
1 绪论 (3)
1.1研究背景 (3)
1.2研究现状 (3)
2 特征值与特征向量 (4)
2.1特征值与特征向量的定义 (4)
2.2特征值与特征向量的性质 (4)
3 特征值与特征向量的求法 (4)
3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法 (4)
3.2乘幂法求特征值与特征向量 (5)
3.3雅克比法求特征值和特征向量 (8)
3.4QR法求特征值和特征向量 (11)
4 矩阵的特征值与特征向量的应用研究 (14)
4.1n阶矩阵的高次幂的求解 (14)
4.2矩阵特征值求解矩阵元素的应用 (15)
4.3常系数线性微分方程组中求解特征值的应用 (16)
4.4阻尼自由振动中特征根求解的应用 (18)
总结 (21)
参考文献 (22)
致谢 (23)
1 绪论
特征值与特征向量是代数中一个重要的部分，并在理论学习和实际生活有很重要的作用.本文主要讨论并归纳了特征值与特征向量的相关性质，相关方法及相关应用.比如乘幂法，雅可比法和QR法求解矩阵的特征值和特征向量，列举了常微分齐次方程组求解特征根和特征向量等问题的一些应用.
1.1研究背景
矩阵是高等数学中的一个重要的基本概念之一,也是代数学的一个主要研究对象.矩阵的特征值与特征向量问题是矩阵理论的重要组成部分，它在高等代数中占有重要的位置.同时它又贯穿了高等代数的许多重要方面，对于该内容的研究加深了我们对高等代数各个部分的认识，从而使我们更深刻的了解高等代数的相关理论. 对矩阵的特征值与特征向量的理论研究和及其应用探究，不仅对提高高等代数以及相关课程的理解有很大帮助，而且在理论上也很重要，可以解决物理中关于阻尼振动方面的问题，矩阵特征值与特征向量在求解数学中常微分线性方程组解方面也有其独特的应用.
1.2 研究现状
已有很多专家学者涉足研究该问题.郭华、刘小明在2000年《特征值与特征向量在矩阵运算中的作用》中从方阵的特征值与特征向量的性质出发，结合具体的例子阐述了特征值与特征向量在简化矩阵运算中所起的作用.汪庆丽在2001年《用矩阵的初等变换求矩阵的特征值与特征向量》中研究了一种只对矩阵作适当的初等行变换就能求到矩阵的特征值与特征向量的方法.岳嵘在2005年《由特征值特征向量去顶矩阵的方法证明及应用》中探究了已知n阶对称矩阵A的k个互不相等的特征值及1
k个特征向量计算出
矩阵A的计算方法.张红玉在2009年《矩阵特征值的理论及应用》中讨论了通过n阶方阵A的特征值得出一系列相关矩阵的特征值,再由特征值与正定矩阵的关系得出正定矩阵的结论.刘学鹏、杨军在2006年《矩阵的特征值、特征向量和应用》一文中讨论了矩阵的特征值和特征向量的一些特殊情况，以及在矩阵对角化方面的应用.
2 特征值与特征向量
2.1 特征值与特征向量的定义
定义：设R 是n 阶方阵，如果存在数0λ和n 维非零向量α，使得αλα0=R 成立，则称0λ为R 的特征值，α是R 的对应特征值0λ的特征向量.
2.2 特征值与特征向量的性质
性质 1 如果21,x x 都是矩阵R 的属于特征值0λ的特征向量,则当02211≠+x k x k 时,
02211≠+x k x k 仍是R 的属于特征值0λ的特征向量.
性质 2 如果n λλλ,,,21 是矩阵R 的互不相同的特征值，其对应的特征向量分别是
n x x x ,,,21 ，则n x x x ,,,21 线性无关.
性质 3 实对称矩阵R 的特征值都是实数，属于不同特征值的特征向量正交.
3 特征值与特征向量的求法
3.1矩阵特征值和特征向量的一般求法
设0λ是n 阶方阵的特征值，α是属于0λ的一个特征向量，则αλα0=A ，将αλ0改写
成()αλE 0，由上式可得()θλ=-A E 0，这表明，α是齐次线性方程组()θλ=-X A E 0 （11.2）的一个非零解.方程组（11.2）的系数矩阵00=-A E λ （11.3）
定义11.2 设()ij a A =是阶方阵，含有未知量λ的矩阵A E -0λ的行列式
nn
n n n
n
a a a a a a a a a A E ---------=
-λλλλ
2
1
22221
11211
0 （11.4）称为矩阵的特征多项式. 一般的，n 阶方阵()ij a A =的特征多项式（11.4）等于
()()A a a a A E n n nn n 112211-+++++-=-- λλλ，
它是关于λ的一个n 次多项式. 由（11.3）可见，矩阵的特征值是的特征多项式的一个根.进一步，我们可以证明
定理11.1 设A 是n 阶方阵，则0λ是A 的特征值，α是属于0λ的特征向量的充分必要条件是:0λ是A 的特征多项式A E -λ的根，α是齐次线性方程组()θλ=-X A E 0的
一个非零解.
根据定理11.1，我们得到求n 阶方阵A 的特征值与特征向量的方法如下： （1）计算A 的特征多项式
A E -λ；
（2）求多项式A E -λ的全部根：n λλλ,,,21 ，这就是A 的特征值；
（3）对每个特征值i λ，求出齐次线性方程组()θλ=-X A E i 的一个基础解系
t ηηη,,,21 ，这是属于i λ的线性无关的特征向量.于是，A 的属于的全部特征向量是
t t c c c ηηη+++ 2211，其中t c c c ,,,21 是不全为零的任意一组数.
例 求矩阵
???
???-=2521A 的特征值和特征向量. 解 A 的特征多项式 ()()432
5
2
1
+-=+---=-λλλλλA E
所以A 的特征值是4,321-==λλ.
对于31=λ，解齐次线性方程组()θ=-X A E 3，即
?
??=+-=-.055,0222121x x x x
得一个基础解系 ??
?
???=111α，
所以属于3的全部特征向量是11αc （1c 是任意非零常数）.
对于42-=λ，解齐次线性方程组()θ=--X A E 4，即
???=--=--.
025,
0252121x x x x
得一个基础解系 ??
?
???-=522α，所以属于-4的全部特征向量是22αc .
3.2 乘幂法求特征值与特征向量
乘幂法是计算矩阵的按模最大值特征值及相应特征向量的方法，若辅以相应的收缩技巧，则可以逐次计算出该矩阵的按模由大到小得全部特征值及相应的特征向量.
方法描述
设n n R A ?∈为单构阵（仅有两个互异正特征根的矩阵），其特征值),,2,1(n i i =λ按模的下降次序排列为n λλλ≥≥> 21
（2.1）相应的n 个线性无关特征向量是n x x x ,,,21
乘幂法的基本思想是任取一非零向量n R z ∈0，通过逐次左乘以矩阵A 构造出一向量序列： ,3,2,1,1==-k Az z k k （2.2）
由假设 ∑==n
i i i x z 10α ，（2.3），其中R n ∈≠αααα,,,,0211 （有时由于0z 任选，有可
能使01=α，但由于计算有舍入误差，计算若干步后会使得k z 在1x 方向上的分量不为零，故不妨一开始就设01≠α）此时（2.2）又可写为
∑∑==+===n
i i k
n
i i i k i k
i
i k
k x x x z A z 121
111
0))((λλ
ααλλα （2.4）
由于n λλλ≥≥> 21，若记∑==n
i i k
i i k x 2
1
)(
λλαε，则立即知θε→k （零向量）()∞→k ，则按方向收敛于1x .另外，若记k z 的第i 个分量()i k z ，则有
()()()()()()i
k i i
k i i k i k x x z z εαεαλ++=++111111
1 故当∞→k 时，
()()11λ→+i
k i
k z z
（2.5） 于是可以将乘幂法的基本原理总结如下：任取初始向量n R z ∈0，若A 的特征值分布满足n λλλ≥≥> 21，相应的特征向量形成完备特征向量系，则序列0z A k 按方向收敛于1x .相邻两次迭代向量1+k z 与k z 的对应向量的比值收敛于1λ.
现在考察（2.4），当11>λ时，0z A k 的分量的模会随着k 的增大而无限变大，而当
11<λ时，0z A k 的分量的模会随着k 的增大而无限变小，为防止这两种情况对实际计算
的影响，即防止实际计算中出现上溢与下溢现象.计算中应适当规范化，于是有实际计算中使用的乘幂法：
(1)任取规范化初始向量0z ，（即0z 的模最大的分量()0max z 为1，以后不再说明）.
(2)1-=k k Az y (3)()k k y m max = (4)k
k
k m y z =
关于乘幂法（2.6），我们有
定理4.8 设n n R A ?∈有完备特征向量系，特征值分布满足（2.1）：
n λλλ≥≥> 21，则对任取的规范化初始向量0z ，按迭代格式（2.6）构造的序
列k z 和k m 分别收敛于
()
11
max x x 和1λ.
例 用乘幂法求矩阵
????
?
?????---=20101350144A 的按模最大特征值和相应的特征向量.
解： 取迭代初始向量为T x )1,1,1()0(=，按格式（2.6）计算，结果列表如下：
由上表，得A 的按模最大特征值为-5，相应的特征向量为()T
1,1,0.
3.3雅克比法求特征值与特征向量
雅克比 ()Jacobi 方法是求实对称矩阵全部特征值及对应的特征向量的方法.它也是一种迭代法，其基本思想是把对称矩阵A 经一系列正交相似变换约化为一个近似对角阵，从而该对角阵的对角元就是A 的近似特征值，由各个正交变换阵的乘积可得对应的特征向量.
考虑n 阶矩阵的情况：
设矩阵n n R A ?∈是对称矩阵，记A A =0，对A 作一系列旋转相似变换，即
),2,1(1 ==-k P A P A T
k k k k
其中() ,2,1=k A k 仍是对称矩阵，k P 的形式
)()()
()(k ij k ij k jj
k ii P P P P -==
也就是 θθsin ,cos )
()()()(-=-===k qp k pq k qq k pp p p p p
q p j i p p k ij k ii ,,0
1)
()
(≠==
对任何角θ，可以验证：k P 是一个正交阵，我们称它是()j i ,平面上的旋转矩阵，相应地把变换（2.16）称为旋转变换；
k P 和Ｉ仅在()i i ,、()j j ,、()j i ,和()i j ,上不同，1-k k A P 只改变1-k A 的第p 行，第q 行
的元素，k k k P A P 1-只改变A 的第p 行、q 行、p 列、q 列的元素；k A 和1-k A 的元素仅在第p 行（列）和第q 行（列）不同，它们之间有如下的关系：
q
p i a a a a a a a a k qi k iq k ip k iq k pi k iq k ip k ip ,cos sin sin cos )()1()1()()()1()1()(≠??
????????=+-==+=----θθθθ
()
???????-+-=+-=++=---------)
sin (cos cos sin cos cos sin 2sin sin cos sin 2cos 22)1()1()1()(2)1()1(2)1()(2)1()1(2)1()(θθθθθθθθθθθθk pq k qq k pp k pq k qq k pq k pp k qq k qq k pq k pp k pp a a a a a a a a a a a a 我们选取k P ，使得0)
(=k pq a ，因此需使θ满足
)1()1()
1(22tan ----=
k qq
k pp
k pq
a
a
a θ
常将θ 限制在下列范围内
4
4
π
θπ
≤
≤-
如果0)
1()1(=---k qq k pp
a a ，当0)
1(>-k pq a 时，取4
πθ=；当0)
1(<-k pq a 时，取4
πθ-=
实际上不需要计算θ，而直接从三角函数关系式计算θsin 和θcos ，记
()
??????-=-=-----)
1()1()1()
1()1(2sgn k ij
k jj k ii k ji
k ii a a a x a a y 则
y
x =
θ2tan 当4
π
θ≤时，有下面三角恒等式：
2
2
2
22tan 112cos 1cos 2y
x y +=
+=
=-θ
θθ
于是
2
221cos 2y x y ++
=θ
θ
cos 始终取正值，关于θ2sin 的计算有几种方法，最简单的一种是利用公式
θθ22cos 1sin -=，这个方程有一个缺点，当θ2cos 接近于1时，θ2cos 1-的有效位数就
不多了，为避免这个缺点，采用下面公式计算θsin
2
22cos 2tan cos sin 22sin y x x +=
?==θθθθθ由于k A 的对称性，实际上只要计算k A 的上三角元素，而下三角元素由对称性获得，这样即节省了计算量，又能保证k A 是严格对称的。
一般地，不能指望通过有限次旋转变换把原矩阵A 化为对角阵，因为1-k A 中的零元素（在前面变换中得到的）可能在k A 中成为非零元素，尽管如此，仍可以证明：
()i k A λdiag → 当∞→k
时
其中1λ是矩阵A 的特征值，但没有一定的大小排列顺序.
例 用雅可比方法求矩阵
??
??
?
?????---=210121012A 的特征值与特征向量.
解 ： 首先取2,1==j i ,由于22211==a a ,故取4
π
θ=
,所以
?????
??
?
????????-==1000212102121121P P ??
?
???
?
??
???????
----==2212121302101111AP P A T 再取3,1==j i 由
22
1)
21
(22tan =--
?=
θ 得
88808.0cos ,45969.0sin ≈≈θθ
所以
??
??
?
?????-=88808.0045969.001045969.0088808.02P ??
??
?
?????-----==36603.262797.0062797.0332505.0032505.063398.0222AP P A T
继续做下去,直到非对角线元素趋于零,进行九次变换后,得
??
??
?
?????=41421.300000.000000.000000.000000.200000.000000.000000.058758.09A
9A 的对角线元素就是A 的特征值，即
41421.3,00000.2,58758.0321≈≈≈λλλ
相应的特征向量为
??
???
?????-=??????????-=??????????-=50000.070710.050000.0,70710.000000.070710.0,50000.070710.050000.0321ννν
相应的特征值的精确值
22,2,22321+==-=λλλ
相应的特征向量为
?
???
???
?????????-=????
??????????-=????????????
???
?=212121,21021,212121321ννν
由此可见，雅可比方法变换九次的结果已经相当精确了.
3.4 QR 法求特征值与特征向量
QR 算法也是一种迭代算法,是目前计算任意实的非奇异矩阵全部特征值问题的最
有效的方法之一.该方法的基础是构造矩阵序列{}K A ,并对它进行QR 分解.
由线性代数知识知道,若A 为非奇异方阵,则A 可以分解为正交矩阵Q 与上三角形矩阵R 的乘积,即QR A =,而且当R 的对角线元素符号取定时,分解式是唯一的. 若A 为奇异方阵,则零为A 的特征值.任取一数p 不是A 的特征值,则pI A -为非奇异方阵.只要求出pI A -的特征值,就很容易求出A 的特征值,所以假设A 为非奇异方阵,并不妨碍讨论的一般性.
设A 为非奇异方阵,令A A =1,对1A 进行QR 分解,即把1A 分解为正交矩阵1Q 与上三角形矩阵1R 的乘积 111R Q A =
做矩阵 111112Q A Q Q R A T ==
继续对2A 进行QR 分解 2
2
2
R Q A =
并定义 222223Q A Q Q R A T ==
一般地,递推公式为
111R Q A A ==
,3,2,1===+K Q A Q Q R A K K T
K K K K
QR 算法就是利用矩阵的QR 分解,按上述递推公式构造矩阵序列}{K A .只要A 为非奇异方阵,则由QR 算法就完全确定}{K A .这个矩阵序列}{K A 具有下列性质. 性质1 所有K A 都相似,它们具有相同的特征值. 证明 因为
K K T
K K K K Q A Q Q R A ==+1
==---K K K T
K T K Q Q A Q Q 111 K T
T K T K Q Q AQ Q Q Q 2111-=
若令K K Q Q Q Q 21=,则K Q 为正交阵,且有
K T
K K Q Q A = 因此K A 与A 相似,它们具有相同的特征值.
性质2 K A 的QR 分解式为
K K K R Q A =
其中 1121,R R R R Q Q Q Q k k k k k -==
证明 用归纳法.显然当k=1时,有
111R Q A A ==
假设1-k A 有分解式 1
11---=k k k R Q A
一、实验名称：用QR 算法求矩阵的特征值 二、实验目的：1、通过实验进一步熟悉掌握求矩阵特征值的QR 方法及原理。 2、理解QR 方法的计算流程。 3、能够编程实现QR 方法。 三、实验内容：给定矩阵 ??? ? ? ??=111132126A , ?? ??? ?? ? ? ?=0100098 20 087630 7654465432H ，采用QR 方法计算A 和H 矩阵的全部特征值。 四、实验要求： （1） 根据QR 算法原理编写程序求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值（要求误差＜10 5 -）。 （2） 直接用MATLAB 的内部函数eig 求矩阵A 及矩阵H 的全部特征值，并与（1）的结果比较。 五、QR 方法计算矩阵特征值的程序： function [namda,time,data_na]=qr_tz(A,tol) if nargin==1; tol=1e-5; end wucha=1; time=0; while (wucha>tol)&(time<500) [q,r]=qr(A); A1=r*q; tz0=diag(A1); tz1=diag(A); wucha=norm(tz0-tz1); A=A1; time=time+1; data_na(time,:)=tz1; end namda=tz1; disp(‘特征值为’) namda disp(‘第一个特征在值’) time n1=length(data_na); n2=(1:n1)’; temp1=[n2,data_na]; subplot(2,2,1:2)
plot(date_na(:,1)) title(‘迭代次数为’) grid subplot(2,2,3) plot(data-na(:,2)) title(‘第二个特征值’)grid subplot(2,2,4) plot(data-na(:,3)) title(‘第三个特征值’) grid 六、实验结果： >> A=[6,2,1;2,3,1;1,1,1];[namda,time,data_na]=qr_tz(A,1e-5);特征值为 namda = 迭代次数为 time = 6 图 1
求矩阵特征值算法及程序简介 1.幂法 1、幂法规范化算法 (1)输入矩阵A、初始向量( 0)，误差eps； (2) k 1； (3)计算V(k)A(k 1)； (4)m k max(V(k)) ,m k1max( V ( k 1))； (5) (k)V(k)/m k； (6)如果m k m k 1eps,则显示特征值1和对应的特征向量x(1) ),终止； (7)k k 1, 转(3) 注：如上算法中的符号max(V )表示取向量V 中绝对值最大的分量。本算法使用了数据规范化处理技术以防止计算过程中出现益出错误。 2、规范化幂法程序 Clear[a,u,x]; a=Input[" 系数矩阵A="]; u=Input[" 初始迭代向量u(0)="]; n=Length[u]; eps=Input[" 误差精度eps ="]; nmax=Input[" 迭代允许最大次数nmax="]; fmax[x_]:=Module[{m=0,m1,m2}, Do[m1=Abs[x[[k]]]; If[m1>m,m2=x[[k]];m=m1], {k,1,Length[x]}]; m2] v=a.u; m0=fmax[u]; m1=fmax[v]; t=Abs[m1-m0]//N; k=0; While[t>eps&&k