高考数学一轮复习第二章函数的概念及其基本性质..函数的奇偶性对点训练理

2017高考数学一轮复习 第二章 函数的概念及其基本性质 2.3.1

函数的奇偶性对点训练 理

1．下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( ) A ．y ＝cos x B ．y ＝sin x C ．y ＝ln x D ．y ＝x 2

＋1

答案 A

解析 y ＝cos x 是偶函数且有无数多个零点，y ＝sin x 为奇函数，y ＝ln x 既不是奇函数也不是偶函数，y ＝x 2

＋1是偶函数但没有零点，故选A.

2．若函数f (x )＝2x

＋1

2x －a 是奇函数，则使f (x )>3成立的x 的取值范围为( )

A ．(－∞，－1)

B ．(－1,0)

C ．(0,1)

D ．(1，＋∞)

答案 C

解析 f (－x )＝2－x ＋12－x －a ＝2x

＋11－a ·2x ，由f (－x )＝－f (x )得2x

＋11－a ·2x ＝－2x

＋1

2x

－a ，即1－a ·2x

＝－2x

＋a ，化简得a ·(1＋2x

)＝1＋2x

，所以a ＝1，f (x )＝2x

＋1

2x －1

.由f (x )>3得0

故选C.

3．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3

＋x 2

＋1，则f (1)＋g (1)＝( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

答案 C

解析 令x ＝－1得，f (－1)－g (－1)＝(－1)3

＋(－1)2

＋1＝1.∵f (x )，g (x )分别是偶函数和奇函数，

∴f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)， 即f (1)＋g (1)＝1.故选C.

4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝12(|x －a 2|＋|x －2a 2

|－

3a 2

)．若?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则实数a 的取值范围为( )

A.??????－16，16

B.??????－66，66

C.????

??－13，13 D.?

???

??－

33，33 答案 B

解析 当x ≥0时，

f (x )＝?????

x －3a 2，x ≥2a 2

，－a 2，a 2

，

－x ，0≤x ≤a 2，

画出图象，再根据f (x )是奇函数补全图象．

∵满足?x ∈R ，f (x －1)≤f (x )，则只需3a 2

－(－3a 2

)≤1， ∴6a 2

≤1，即－

66≤a ≤6

6

，故选B. 5．若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x

，则g (x )＝( ) A ．e x －e －x

B.12(e x ＋e －x )

C.12(e －x －e x

) D.12

(e x －e －x ) 答案 D

解析 因为f (x )＋g (x )＝e x

①，则f (－x )＋g (－x )＝e －x

，即f (x )－g (x )＝e －x

②，故由①－②可得g (x )＝12

(e x －e －x

)，所以选D.

6.若函数f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2

)为偶函数，则a ＝________. 答案 1

解析 解法一：由题意得f (x )＝x ln (x ＋a ＋x 2

)＝f (－x )＝－x ln (a ＋x 2

－x )，所以a ＋x 2

＋x ＝

1

a ＋x 2－x

，解得a ＝1.

解法二：由f (x )为偶函数有y ＝ln (x ＋a ＋x 2

)为奇函数，令g (x )＝ln (x ＋a ＋x 2

)，有g (－x )＝－g (x )，以下同解法一．

7.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2

－4x ，则不等式f (x )>x 的解集用区间表示为________．

答案 (－5,0)∪(5，＋∞)

解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0. 又当x <0时，－x >0，∴f (－x )＝x 2

＋4x . 又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )＝－x 2

－4x (x <0)，