一元二次方程概念与解法
教学目标
1.了解一元二次方程及其相关概念，会用配方法、公式法、分解因式法解简单的一元二次方程
2.能够利用一元二次方程解决简单的实际问题。 教学重点
一元二次方程的三种解法：配方法、公式法、分解因式法。 教学难点
列一元二次方程解决实际问题。 知识点梳理：
一元二次方程知识框图：
1.一元二次方程：只含有一个未知数，并且含未知数的项的最高次数是2的整式方程，这样的方程叫做一元二次方程。
2.一元二次方程的一般形式:a 2x+bx+c=0(a ≠0)
3.一元二次方程的解法 直接开平方法：
适用于（mx+n ）2=h (h ≥0)的一元二次方程。 配方法：
适用于化为一般形式的一元二次方程。
关键：方程两边都加上一次项系数一半的平方。 公式法：
(b 2-4ac ≥0)
关键：b 2-4ac ≥0时，方程才有解。 因式分解法：
适用于方程右边是0，左边是易于分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
4．一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的根的判别式是____________，当_______时，它有两个不相等的实数根；当_________时，它有两个相等的实数根；当_______时，?它没有实数根．
5.根的判别式及应用(△=b 2-4ac) (1)判定一元二次方程根的情况.
△>0?有两个不相等的实数根; △=0?有两个相等的实数根; △<0?没有实数根; △≥0?有实数根.
6.根与系数的关系(韦达定理)的应用
韦达定理:如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a≠0)的两根为x 1、x 2，则x 1+x 2=-b a ,x 1·x 2=c a
. (1)已知一根求另一根及未知系数； (2)求与方程的根有关的代数式的值; (3)已知两根求作方程;
(4)已知两数的和与积,求这两个数; (5)确定根的符号:(x 1,x 2是方程两根).
有两正根?12120,
0,0x x x x ?≥??
+>??>?
有两负根?1212
0,0,0x x x x ?≥??
+?
有一正根一负根?120,
x x ?>??
有一正根一零根?12120,00x x x x ?>??
+>??=?
有一负根一零根?1212
0,00x x x x ?>??
+
x 1=x 2=0?1212
0,
0x x x x ?>??+==?
一元二次方程的应用
解应用题的关键是把握题意,找准等量关系,列出方程.?最后还要注意求出的未知数的值,是否符合实际意义.
例题讲解1：一元二次方程基本概念
（1）mx 2
-3x+x 2
=0是关于x 的一元二次方程的条件是 （ ）
A m=1
B m ≠-1
C m ≠0
D m 为任意实数
（2）（k-1）x 2
-kx+1=0是关于x 的一元二次方程的条件是 k ≠1 .
（3）已知方程mx 2
+mx+3m-x 2
+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一
元一次方程. （4）填写下表. 一元二次方程 一般形式
二次项数
一次项系数
常数项
3 x 2
-5=2 x （x+1）2
=4 πx 2
=0 x （x + ）=0
答案：见下表： 一元二次方程 一般形式 二次项系数
一次系数 常数项 3 x 2
-5=2 x 3 x 2
-2 x-5=0 3 -2 -5 （x+1）2
=4 x 2+-3=0 1 2 -3 x 2
=0 x 2=0 π 0 0 x （x+ ）=0
x 2
+ x=0
1
练习：
1.关于x 的方程(k －3)x 2
＋2x －1＝0,当k 时，是一元二次方程。
2.关于x 的方程(k 2－1) x 2
＋2(k －1)x ＋2k ＋2＝0,当k 时，是一元二次方程,当k 时，是一元一次方程。
3.把下列方程化成关于x 的一元二次方程的一般形式,再写出它的二次系数、一次系数及常数项。
(1)（x+m ）(2x-5m)-12m 2
=0
(2)x 2-3a(3x-2a+b)=b
2
例题讲解2：配方法解一元二次方程 （1）填上适当的数，使下列等式成立．
1)x 2+12x+ ＝(x+6)2；2)x 2-4x+ =(x- )2； 3)x 2+8x+ ＝(x+ ) 2．
（2）利用配方法解下列方程，你能从中得到在配方时具有的规律吗？
（1）x 2－8x + 1 = 0；
（2）2213x x +=；（3）2
3640x x -+=．
分析：（1）中经过移项可以化为2
81x x -=-，为了使方程的左边变为完全平方式，可以在方程两边同时加上42，得到2
2
2
8414x x -+=-+，从而将原方程化为（x －4）2=15；
（2）中二次项系数不是1，此时可以首先把方程的两边同时除以二次项系数2，然后再进行配方，即2
3122x x -
=-，方程两边都加上23
()4
，方程可以化为231()416x -=.
（3）按照（2）的方式进行处理． 解: (1)移项，得 x 2
- 8x= -1.
配方，得 x 2
- 8x+42
= -1+42
.
(x-4)2 = 15.
即：
x- 4 =
所以，方程的根为：
124,4x x = .
(2)移项， 得 . 二次项系数化为1，得 . 配方得 .
由此可得 . 即： . 所以， .
(3)移项，得3x 2- 6x= -4.
二次项系数化为1，得 .
配方，得 .
即： .
所以，原方程无实根.
小结：利用配方法解方程时应该遵循的步骤
（1）把方程化为一般形式2
0ax bx c ++=；
（2）把方程的常数项通过移项移到方程的右边；
（3）方程两边同时除以二次项系数a ；
（4）方程两边同时加上一次项系数一半的平方；
（5）此时方程的左边是一个完全平方式，然后利用平方根的定义把一元二次方程化为两个一元一次方程来解． 练习
22(1)10()x x x ++=+ ；
222
(3)()3
x x x -+=- .
2231
x x -=-231
22
x x -=-
2223313()()2424
x x -+-=-+-231()416x -=3144
x -=±12
11,2
x x ==2423
x x -=-242113
x x -+=-+21(1)3x -=-22
(2)()x x x ++=+
1．2
22
____(___)3
x x x -
+=- . 2．一元二次方程2260x -=的解为_______________． 3.若12,x x 是方程2
x =4的两根，则12x x +的值是（ ） A.8 B.4 C.2 D.0 4．方程2
(2)9x -=的解是（ ） A ．1251x x ==-，
B ．1251x x =-=，
C ．1211
7x x ==-， D ．12117x x =-=， 5．用配方法解方程2
3610x x -+=，则方程可变形为（ ）
A ．2
1(3)3x -=
B ．2
13(1)3
x -= C ．2(31)1x -= D ．2
2
(1)3
x -=
6．解方程：2
230x x --=. 7．解方程：2
7
2202
x x +-
=. 例题讲解3：公式法解一元二次方程 一元二次方程求根公式推导：
解一般形式的一元二次方程ax 2
＋bx ＋c = 0（a ≠0）
解：因为0a ≠，所以方程两边都除以a ，得 2
0b c
x x a a
++= 移项，得 2
b c
x x a a +
=- 配方，得 2
222()()222b b c b x x a a a a ++=-+
即 2224()24b b ac x a a
-+= （这样原方程就化成了（x+h ）2
=k 的形式）能用直接开平方解吗？什么条件下就能用
直接开平方解了？
当2
40b ac -≥，且0a ≠时，22
44b ac
a -大于等于零吗？
让学生思考、分析，发表意见，得出结论：
因为0a ≠，所以2
40a >，从而
22
404b ac
a -≥
当2
40b ac -≥时，得2b x a +=
所以 a ac b a b x 2422-±-= 即 x = 2．概括总结
一般地，对于一般形式的一元二次方程 2
0(0)ax bx c a ++=≠，
当2
40b ac -≥时，它的根是2b x a
-= （240b ac -≥）
这个公式叫做一元二次方程的求根公式，利用这个公式解一元二次方程的方法叫做公式法。这个公式说明方程的根是由方程的系数a 、b 、c 所确定的，利用这个公式，我们可以由一元二次方程中系数a 、b 、c 的值，直接求得方程的解。
概念巩固：
（1）把方程4-x 2=3x 化为ax 2+bx+c=0(a≠0)形式为 ，b 2-4ac= （2）用公式法解方程3x 2+4=12x ，下列代入公式正确的是
A.x=
21214412-± B. x=212
14412-±-
C. x=
21214412+± D. x=6
48
14412-±
例：用公式法解下列方程： ⑴ x 2＋3x ＋2 = 0 ⑵ 2 x 2－7x = 4
分析：第2小题要先将方程化为一般形式再用求根公式求解。
解（1）∵a=1，b=3，c=2 解：移项，得2x2-7x-4=0 b 2-4ac=32-4×1×2=1＞0 ∵a=2，b=-7，c=-4
∴1
21
3?±-=
x b 2-4ac=49-4×2×（-4）=81＞0 ∴x 1=-1，x 2=-2 ∴2
281
7?±=
x ∴，x 1=4，2
1
2-=x
(3)x 2
=3x-8
解：移项，得x 2-3x+8=0 ∵a=1，b=-3，c=8
b2-4ac=9-4×1×8=-23＜0 ∴原方程无解
小结：用公式法解一元二次方程的一般步骤：
用公式法解一元二次方程首先要把它化为一般形式，进而确定a 、b 、c 的值，再求出b 2-4ac 的值，当b 2-4ac ≥0的前提下，再代入公式求解；当b 2-4ac ＜0时，方程无实数解(根) 练习：
1．方程2410x x +-=的根是________________________. 2.当x =__________时，代数式265x x ++与1x -的值相等. 3.已知两个连续的奇数的积是255，则这两个奇数为______________. 3、用公式法解方程2x 2+43x=22,其中求的b 2-4ac 的值是（ ） A.16 B. ±4 C. 32 D.64
4．用求根公式法解下列方程：
（1）23210x x --= （2）2
240y y --= （3）02
1
22=-
-y y （4）3x(3x-2)+1=0. （5）2x 2-7x+5＝0 （6） 2x 2-7x-18＝0 例题讲解4：分解因式法解一元二次方程
对于有些一元二次方程，例如（x －2）（x ＋3）＝0，如果转化为一般形式，利用公式法就比较麻烦，如果转化为x －2＝0或x ＋3＝0，解起来就变得简单多了．即可得x 1＝2， x 2＝-3．这种解一元二次方程的方法就是因式分解法．
所谓因式分解，是将一个多项式分解成几个一次因式积的形式．如果一元二次方程的左边是一个易于分解成两个一次因式积的二次三项式，而右边为零．用因式分解法更为简单．例如：x 2＋5x ＋6＝0，因式分解后（x ＋2）（x ＋3）＝0，得x ＋2＝0或x ＋3＝0，这样就将原来的一元二次方程转化为一元一次方程，方程便易于求解。
（1）分解因式：()=---22x x x ()=-+2512
x
=--1032x x
（2） 解方程x 2＋2x ＝0．
解：原方程可变形x （x ＋2）＝0……第一步 ∴ x ＝0或x ＋2＝0……第二步 ∴ x 1=0，x 2=-2．
分析步骤（一）第一步变形的方法是“因式分解”，第二步变形的理论根据是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零”．分析步骤（二）对于一元二次方程，
一边是零，而另一边易于分解成两个一次式时，可以得到两个一元一次方程，这两个一元一次方程的解就是原一元二次方程的解．用此种方法解一元二次方程叫做因式分解法．由第一步到第二步实现了由二次向一次的“转化”，达到了“降次”的目的，解高次方程常用转化的思想方法．
（3）用因式分解法解方程x2＋2x－15＝0．
解：原方程可变形为（x＋5）（x-3）＝0．
得，x＋5＝0或x-3＝0．
∴ x1＝-5，x2＝3．
总结因式分解的步骤：
总结
1．因式分解法的条件是方程左边易于分解，而右边等于零，关键是熟练掌握因式分解的知识，理论依旧是“如果两个因式的积等于零，那么至少有一个因式等于零．”
2．因式分解法解一元二次方程的步骤是：
（1）化方程为一般形式；
（2）将方程左边因式分解；
（3）至少有一个因式为零，得到两个一元二次方程；
（4）两个一元一次方程的解就是原方程的解．
练习：
1、如果x1、x2是一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根，那么分解因式ax2+bx+c= 。
2、当k 时，二次三项式x2－5x+k的实数范围内可以分解因式。
3、如果二次三项式x2+kx+5(k－5)是关于x的完全平方式，那么k= 。
4、已知二次三项式2x2+(1－3m)x+m+3分解因式后，有一个因式为(x－1)。试求这个二次三项式分解因式的结果。
5、对于任意实数x，多项式x2－5x+7的值是一个( )
A.负数
B.非正数
C.正数
D.无法确定正负的数
一元二次方程的概念 知识点： 一、一元二次方程的定义： 含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程称为一元二次方程。 识别一元二次方程必须抓住三个方面： （1）整式方程 （2）含有一个未知数 （3）未知数的最高次数是2次 【例】下列方程中哪些是一元二次方程？哪些不是？说说你的理由. (1)16x 2= (2)0125x 2=--x (3)032x 2=-+y (4)03x 1 2=-+x (5)0x 2= (6)052x 24=--x 二、一元二次方程的一般形式：02 =++c bx ax （a ≠0） 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，经过整理，都能化成如下的形式：02=++c bx ax （a ≠0）.这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中2ax 是二次项，a 是二次项系数，bx 是一次项，b 是一次项系数，c 是常数项. 【整理】2ax 是二次项，a 是二次项系数， bx 是一次项，b 是一次项系数， c 是常数项. 例1.把6)4)(3(-=-+x x 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数，一次 项系数和常数项。 例2.指出 mx 2-nx-mx+nx 2=p 二次项，一次项，二次项系数，一次项系数， . 练习：把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项，常数项。 ①()x x x x 3422 -=- ②()()2 21248-+=+x x x ③12132=+-x x ④ ()0p 2 2≠+-=++-n m q nx mx nx mx 小结：理解一元二次方程以下方面入手： （1）一元：只含有一个未知数，"元"的含义就是未知数 （2）二次：未知数的最高次数是2，注意二次系数不等于0. （3）方程：方程必须是整式方程，这是判断的前提。
一元二次方程解法的综合运用 [内容] 教学目标 (一)巩固、掌握解一元二次方程的四种解法： (二)提高题目难度，培养计算能力和计算技巧，渗透换元思想； (三)培养观察能力，根据题目结构，选择恰当的解法. 教学重点的难点 重点：四种方法的综合运用，选择恰当的解法. 难点：选择恰当的解法.要有一定的计算能力和技巧. 教学过程设计 (一)复习 1.一元二次方程的一般形式是什么? 2.不完全的一元二次方程有哪几种? 3.解一元二次方程有哪四种方法? (二)新课 同一个题目可能会有多种解法，我们应该根据题目的结构选取恰当的解法.在解题过 程中应该根据算理，发挥计算技能，要有毅力计算到底，并在解题过程中随时检查可能出现 的错误. 例1 解方程：x(x-1)=3x(x+1) 分析：(启发学生一起想)先化为一般形式. 解：原方程化为(1-3)x 2-(1+3)x=0,提取公因式x,得x[(1-3)x-(1+3)]=0,x=0,(1-3)x-(1+3)=0. (二次根式运算的结果，应化为最简二次根式) 例2 解方程：(3x+2)2-8(3x+2)+15=0. 分析：(启发学生一起想)不宜把(3x+2)2和8(3x+2)展开整理为一元二次方程一般形式. 观察题目的结构可见，把3x+2换元为t ，则原方程就是t 的一元二次方程. 解：设3x+2=t,原方程变为t 2-8t+15=0,(t-3)(t-5)=0.所以t 1=3,t 2=5.即3x+2=3或3x+2= 5.故x 1=31 1 3,x 2=1. 注：本题也可直接写为[(3x+2)-3][(3x+2)-5]=0,即(3x-1)(3x-3)=0,故x 1=1 3,x 2=1. 例3 解方程：144x 2=61-208x. 解：原方程化为144x 2+208x-61=0,则 a=144,b=208,c=-61.b 2-4ac=2082-4×144(-61)=2082+4×144×61. (此题数据太大，不宜大乘大除，应注意计算技巧.分解因数，提取公因数，化为连乘积) b 2-4ac=(16×13) 2+22×42×9×61=82 (4×169＋9×61)=82×1225=(8×35) 2＞0,原方程有实根.
第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知
你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠
班级姓名课题一元二次方程定义及其解法（配方法） 一、目标导航 1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 二、教学重难点 重点：1.掌握一元二次方程的定义及a,b,c的含义； 2.掌握配方法解一元二次方程的方法. 难点：配方法解一元二次方程. 三、走进教材 知识点一：一元二次方程的定义 1.一元二次方程的定义：方程两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最
高次数为2的方程叫做一元二次方程。 2. 一元二次方程的一般形式：()200ax bx c a ++=≠，其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数，bx 叫做一次项，b 叫做一次项系数，c 叫做常数项。举例：2230x x +-= 3. 一元二次方程的解：能使一元二次方程的左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，一元二次方程的解也可以叫做一元二次方程的根。 自主练习： 下列方程中，是一元二次方程的有 。（填序号） ①2 5x =； ②30x y +-=； ③253302x x +-=； ④2(5)2x x x x +=-； ⑤23580x x -+=； ⑥2 04y y -=。 知识点二：配方法解一元二次方程 1. 解一元二次方程的思路：降次，即把二次降为一次，把一元二次方程转化为一元一次方程，化未知为已知，化繁为简，这是转化思想的体现。
2. 配方法：利用配方法将一个一元二次方程的左边配成完全平方形式，而右边是 一个非负数，即把一个方程转化成()2 x n p +=（p≥0）的形式，这样解方程的方法叫做配方法。 3. 配方法具体操作： （1）对于一个二次三项式，当二次项系数为1时，配上一次项系数一半的平方就可以将其配成一个完全平方式，举 例：解方程2230 +-=， x x （2）当二次项系数不为1时，首先把二次项系数化为1，方程两边除以二次项系数，然后再利用（1）的步骤完成配 方。举例：解方程22230 +-=。 x x 4. ()2 += x n p x n p +=（p≥0）的解法：对于方程()2
一元二次方程基本概念 1、基本概念： 方程两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程（等式），叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，?经过整理，?都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a≠0）．这种形式叫做一元二次方程的一般形式． 一个一元二次方程经过整理化成ax2+bx+c=0（a≠0）后，其中ax2是二次项，a是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 2、解方程常用方法： (1). 直接开平方法: 由应用直接开平方法解形如x2=p（p≥0），那么x=转化为应用直接开平方法解 形如（mx+n）2=p（p≥0），那么mx+n= (2).配方法： 左边不含有x的完全平方形式、左边是非负数的一元二次方程可化为左边是含有x的完全平方形式、右边是非负数、可以直接降次解方程得方程。 转化过程如下： x2-64x+768=0 移项→x2-64x=-768 两边加（ 64 2 ）2使左边配成x2+2bx+b2的形式→ x2-64x+322=-768+1024 左边写成平方形式→（x-32）2=?256 ? 降次→x-32=±16 即x-32=16或x-32=-16 解一次方程→x1=48，x2=16 可以验证：x1=48，x2=16都是方程的根 例1．解下列方程 （1）x2+6x+5=0 （2）2x2+6x-2=0 （3）（1+x）2+2（1+x）-4=0 分析：我们已经介绍了配方法，因此，我们解这些方程就可以用配方法来完成，即配一个含有x的完全平方．
解：（1）移项，得：x 2+6x=-5 配方：x 2+6x+32=-5+32（x+3）2=4 由此可得：x+3=±2，即x 1=-1，x 2=-5 （2）移项，得：2x 2+6x=-2 二次项系数化为1，得：x 2+3x=-1 配方x 2+3x+（32）2=-1+（32）2（x+32）2=54 由此可得x+32=x 132，x 232 （3）去括号，整理得：x 2+4x-1=0 移项，得x 2+4x=1 配方，得（x+2）2=5 x+2=x 1，x 2 总结用配方法解一元二次方程的步骤． （1）移项； （2）化二次项系数为1； （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方； （4）原方程变形为（x+m ）2=n 的形式； （5）如果右边是非负数，就可以直接开平方求出方程的解，如果右边是负数，则一元二次方程无解． （3）公式法： 一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）且b 2-4ac ≥0，它的两个根 x 1=2b a -+， x 2=2b a - 解：移项，得：ax 2+bx=-c 二次项系数化为1，得x 2+ b a x=- c a 配方，得：x 2+b a x+（2b a ）2=-c a +（2b a ）2 即（x+2b a ）2=2244b ac a - ∵b 2-4ac ≥0且4a 2>0 ∴2244b ac a -≥0 直接开平方，得：x+2b a =±2a
一元二次方程及根的定 义 Company number：【0089WT-8898YT-W8CCB-BUUT-202108】
一元二次方程及根的定义 1.已知关于的方程的一个根为2，求另一个根及 的值. 思路点拨：从一元二次方程的解的概念入手，将根代入原方程解的值，再代回原方程，解方程求出另一个根即可. 解：将代入原方程，得 即 解方程，得 当时，原方程都可化为 解方程，得. 所以方程的另一个根为4，或-1. 总结升华：以方程的根为载点.综合考查解方程的问题是一个常考问题，解这类问题关键是要抓住“根”的概念，并以此为突破口. 举一反三： 【变式1】已知一元二次方程的一个根是，求代数式 的值. 思路点拨：抓住为方程的一个根这一关键，运用根的概念解题. 解：因为是方程的一个根, 所以, 故, , 所以.
. 总结升华：“方程”即是一个“等式”，在“等式”中，根据题目的需要，合理地变形，是一种对代数运算综合要求较高的能力，在这一方面注意丰富自己的经验. 类型二、一元二次方程的解法 2.用直接开平方法解下列方程： (1)3-27x2=0； (2)4(1-x)2-9=0. 解：(1)27x2=3 . (2)4(1-x)2=9 3.用配方法解下列方程： (1)；(2). 解：(1)由， 得， ，
， 所以， 故. (2)由， 得， ， ， 所以 故 4.用公式法解下列方程： (1)；(2)；(3). 解：(1)这里 并且 所以， 所以，. (2)将原方程变形为， 则 ， 所以，
所以. (3)将原方程展开并整理得， 这里， 并且， 所以. 所以. 总结升华：公式法解一元二次方程是解一元二次方程的一个重点，要求熟练掌握，它对我们的运算能力有较高要求，也是提高我们运算能力训练的好素材. 5.用因式分解法解下列方程： (1)；(2)； (3). 解：(1)将原方程变形为， 提取公因式，得， 因为，所以 所以或， 故 (2)直接提取公因式，得 所以或，(即 故. (3)直接用平方差公式因式分解得
一元二次方程之概念 一、选择题 1．在下列方程中，一元二次方程的个数是（）． ①3x2+7=0 ②ax2+bx+c=0 ③（x-2）（x+5）=x2-1 ④3x2-5 x =0 A．1个B．2个C．3个D．4个 2．方程2x2=3（x-6）化为一般形式后二次项系数、?一次项系数和常数项分别为（）．A．2，3，-6 B．2，-3，18 C．2，-3，6 D．2，3，6 3．px2-3x+p2-q=0是关于x的一元二次方程，则（）． A．p=1 B．p>0 C．p≠0 D．p为任意实数 二、填空题 1．方程3x2-3=2x+1的二次项系数为________，一次项系数为_________，常数项为_________．2．一元二次方程的一般形式是__________． 3．关于x的方程（a-1）x2+3x=0是一元二次方程，则a的取值范围是________． 三、综合提高题 1．a满足什么条件时，关于x的方程a（x2+x）x-（x+1）是一元二次方程？ 2．关于x的方程（2m2+m）x m+1+3x=6可能是一元二次方程吗？为什么？ 一元二次方程之根 一、选择题 1．方程x（x-1）=2的两根为（）． A．x1=0，x2=1 B．x1=0，x2=-1 C．x1=1，x2=2 D．x1=-1，x2=2 2．方程ax（x-b）+（b-x）=0的根是（）． A．x1=b，x2=a B．x1=b，x2=1 a C．x1=a，x2= 1 a D．x1=a2，x2=b2 3．已知x=-1是方程ax2+bx+c=0的根（b≠0）（）． A．1 B．-1 C．0 D．2 二、填空题 1．如果x2-81=0，那么x2-81=0的两个根分别是x1=________，x2=__________．2．已知方程5x2+mx-6=0的一个根是x=3，则m的值为________． 3．方程（x+1）2x（x+1）=0，那么方程的根x1=______；x2=________．
题型切片（四个）对应题目 题 型 目 标 一元二次方程的概念例1；例2；演练1；例8 直接开平方法解一元二次方程例3；例4；演练2； 配方解一元二次方程例5；例6；演练3；演练4； 因式分解法解一元二次方程例7；演练5． 模块一一元二次方程的概念 知识互联网 一元二次方程的基本解法 题型切片
定 义 示例剖析 一元二次方程定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2． ⑷二次项的系数不为0 22210x x -+= 此方程满足： 整式方程； 只含有一个未知数x ； x 的最高次数是2，系数是2 所以这个方程是一个一元二次方程． 一元二次方程的一般式：20ax bx c ++=()0a ≠． 其中2ax 为二次项，其系数为a ；bx 为一次项，其系数为b ；c 为常数项． 一元二次方程22210x x -+=， 其中221a b c ==-=，，． 一元二次方程的根： 如果0x 满足2000(0)ax bx c a ++=≠，则0x 就是方程 20(0)ax bx c a ++=≠的一个根． 1满足2110-=，则1是方程20x x -=的一个根．0满足2000-=，则0是方程20x x -=的另一个根．∴0,1是方程20x x -=的两个根，表示为12=0, =1x x 一元二次方程都可化成如下形式： 20ax bx c ++=（0a ≠） ． 1．“可化成”是指对整式方程进行去分母，去括号，移项、合并同类项等变形． 2．一般形式中，b 、c 可以是任意实数，而二次项系数0a ≠，若0a =，方程就不是一元二次方程了，也未必是一次方程，要对b 进行讨论． 3．要确认一元二次方程的各项系数必须先将此方程化为一般形式，然后确定a 、b 、c 的值，不要漏掉．．符号．． ． 4．项及项的系数要区分开． 建议 强调掌握一元二次方程一般形式对学习一元二次方程很重要，这种从形式上认识数学概念的方法，在今 后学习基本初等函数时也要使用． 【例1】 1. 判断下列方程是不是一元二次方程． 【例2】 ⑴ 2210x kx --=（k 为常数） ⑵ 4 13 x =+ ⑶ 210x -=； 【例3】 ⑷ 250x = ⑸ 20x y += ⑹ ()()2 2 33x x +=-； 【例4】 夯实基础 知识导航
一元二次方程概念与解法测试题 姓名： 得分： ⑤2 2230x x x +-=；⑥x x 322 +=；⑦231223x x -+= ；是一元二次方程的是 。 1． 把下列一元二次方程化成一般形式，并写出相应的二次项系数、一次项系数、常数项： 3．下列关于x 的方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A .2(2)210m x x ---= B .2530k x k ++= C 21203x --= D.22 340x x +-= 4、已知关于x 的一元二次方程5)12(2 =+--a x a x 的一个解为1，则a= 。 5．方程22(4)(2)310m x m x m -+-+-=，当m = 时，为一元一次方程； 当m 时，为一元二次方程。 6．已知关于x 的一元二次方程22(2)340m x x m -++-=有一个解是0，则m = 。 8、2 2 ___)(_____6+=++x x x ； 2 2 ____)(_____3-=+-x x x 9、方程0162 =-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 ; 10、如果二次三项式16)122 ++-x m x （ 是一个完全平方式，那么m 的值是_______________. 11、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）； A 、02 =++c bx ax B 、 2112 =+x x C 、122 2-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x 12、方程()()2 4330x x x -+-=的根为（ ）； （A ）3x = （B ）125x = （C ）12123,5 x x =-= （D ）1212 3,5x x == 13、解下面方程：（1）()2 25x -=（2）2 320x x --=（3）2 60x x +-=，较适当的方法分别为（ ） （A ）（1）直接开平法方（2）因式分解法（3）配方法（B ）（1）因式分解法（2）公式法（3）直接开平方法 （C ）（1）公式法（2）直接开平方法（3）因式分解法（D ）（1）直接开平方法（2）公式法（3）因式分解法
21.1 一元二次方程说课稿 各位评委老师好： 我今天说课的题目内容是：一元二次方程。这节课我将从教材、目标、教法、过程、板书这五方面进行分析。 一、教材的地位和作用 一元二次方程是新人教版九年制义务教育课本中九年级上第21 章的第一节内容，是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同时又是今后学习二次函数、可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式等知识的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概念。一、内容和内容解析 二、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生已有的知识经验，确定本节课的三维目标：知识与能力目标：（1）继续体会方程是刻画数量关系的一个有效数学模型；（2）理解一元二次方程的概念，一般形式，会将一元二次方程化成一般形式，正确识别一般形式中的项和系数； （3）培养学生观察、类比、归纳的能力。 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 要运用一元二次方程解决生活中的实际问题，首先必须了解一元二次方程的概念，而概念的教学又要从大量的实例出发。教学重点：理解一元二次方程的概念，掌握它的一般形式。教学难点：；一元二次方程的概念，正确识别一般式中的项及系数。 三、教法、学法： 因为学生已经学习了一元一次方程、二元一次方程及相关概念，所以本节课我主要采用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景--- 数学模型----------- 概念归纳” 的模式。指导学生从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 四、教学过程设计1．创设情境，引入新知 请同学们阅读本章的章前问题--- 雕像的黄金分割问题，并回答：
https://www.doczj.com/doc/ce11161955.html, ------------------华夏教育资源库 https://www.doczj.com/doc/ce11161955.html, ------------------华夏教育资源库 一元二次方程解法举例 教学目标：1.巩固一元二次方程的四种解法 2.灵活选用一元二次方程的四种解法解方程 教学重点： 一元二次方程的四种解法的灵活运用 教学难点：能准确把握方程的特征，选用适当的解法. 教学准备：小黑板 教学过程： 复习引入：1. 一元二次方程02 =++c bx ax 的求根公式为 . 2.一元二次方程解法有哪几种？各有那些步骤？ 对于方程02=++c bx ax （a ≠0，042≥-ab b ） 若b=0，则宜用 法解，其根为 ； 若c=0，则宜用 法解，其根为 ； 若b ≠0，c ≠0，则要准确把握方程的特征，选用适当的解法. 讲授新课： 范例讲解 例1 选用适当的方法解方程： （1）()922=-x ；（直接开平方法） （2）222 =-t t ；（配方法） （3）()()052432922=--+x x ；（因式分解法） （4）4.013.001.02 -=-x x ；（化小数系数为整数系数后再因式分解） （5）x x 2 21232=-；（去分母后用公式法） （6）1417522-=mx x m （m ≠0）.（因式分解法） （7）()()x x x 211=-+；（先整理后，再确定适当的方法，配方法） （8）()()742322 +=+m m ；（先整理后，再确定适当的方法，公式法） （9）()()0812151222 =-+++x x .（因式分解法） 例2 （1）当x= 时，31432 +-x x 的值与22-x 的值相等.
一元二次方程的概念整理： 1. 一元二次方程的概念： （1）注意一元二次方程定义中的三个条件：有一个未知数，含未知数的最高次是2，整式方程，是判断一个方程是否是一元二次方程的依据。 （2）强调：要先把一元二次方程化为一般形式ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0），才能确定a 、b 、c 的值。 一元一次方程与一元二次方程的区别和联系 2. 一元二次方程的解法： 熟练地解一元一次方程和一元二次方程是学好其他方程的关键，一元二次方程的解法是本章的重点。 一元二次方程的基本解法有四种： （1）直接开平方法： ()它是以平方根的概念为基础，适合于形如，类型的方程。 ax b c a c +=≠≥200() （2）配方法： ()先把二次项系数化为，再对进行配方，即在方程两边同时加上一次 项系数一半的平方，就能配出一个含有未知数的一次式的完全平方式，变形为：的形式，再直接开平方解方程。 1x px p x m n n 22 220+?? ?? ?+=≥() （3）公式法： 用配方法推导求根公式，由此产生了第三种解法公式法，它是解一元二次方程的主要方法，是解一元二次方程的通法。
关键是把方程整理成一元二次方程的一般形式，确认、、的值（特别要注意正、负号），求出的值（以便决定有无必要代入求根公式）， 若，则代入求根公式。a b c b ac b ac x b b ac a ?=--≥=-±-22 244042 （4）因式分解法： 适用于方程左边易于分解，而右边是零的方程。 我们在解一元二次方程时，要注意根据方程的特点，选择适当的解法，使解题过程简捷些。一般先考虑直接开平方法，再考虑因式分解法，最后考虑公式法。 对于二次项系数含有字母系数的方程，要注意分类讨论。 3. 一元二次方程根的判别式： 一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a ≠0）根的判别式△＝b 2－4ac 的意义，在于不解方程可以判别根的情况，还可以根据根的情况确定未知系数的取值范围。 4. 一元二次方程的根与系数的关系： ()已知、是一元二次方程＋＋＝的两个根，那么，，，逆命题也成立。x x ax bx c a x x b a x x c a 122121200≠+=-?= 一元二次方程的两根和与两根积和系数的关系在以下几个方面有着广泛的应用： （1）已知方程的一根，求另一个根和待定系数的值。 （2）不解方程，求某些代数式的值。 （3）已知两个数，求作以这两个数为根的一元二次方程。 （4）已知两数和与积，求这两个数。 （5）二次三项式的因式分解。 …… 运用根与系数的关系，可以大大缩减了复杂的运算量，避免进行无理数的计算。 注意：在应用根与系数的关系时，不要忽略隐含条件。?≥≠???00a 5. 二次三项式的因式分解： 在实数范围内分解二次三项式ax 2＋bx ＋c （a ≠0），可先用求根公式求出方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根x 1、x 2，然后写成ax 2＋bx ＋c ＝a （x －x 1）（x －x 2）。当a ≠1时，分解时注意不要忘了a 。 ()()例如：x x x 2555-=+- 6. 可化为一元二次方程的分式方程的解法： 解分式方程的常用方法是去分母，换元法转化为整式方程求解。 解分式方程时，一定要注意验根，验根后要写结论。
环球教育学科教师辅导讲义 学员姓名：xxx年级：初三课时数：3 班主任：xxx 辅导科目：数学学科教师：王兴华 课题一元二次方程的解法 授课时间及时段2014-06-19 授课类型T T C 教学目标 1.学习掌握通公式法和因式分解法解一元二次方程 2.灵活选择合适的方法解一元二次方程 一、回顾 ?1.一元二次方程的含义：_____________________________________________________________. ?2.一元二次方程的一般形式：_____________________________________________________. ?3.一元二次方程的解法： ①直接开平方法 *适用形式： *答题基本步骤： ②配方法 *含义： *答题基本步骤： *可以解决的题型： *处理一元二次方程和二次三项式有什么不同： 友情提醒：请在不熟的知识点上用着重符号标出，课后及时巩固训练哦！！ XXX，很高兴在环球之家又见面了，孔子曰：温故而知新，可以为师矣！我们一起回 顾上次所学习的知识吧！
二、引入与讲解 ?1.求根公式法： ①用公式法解一元二次方程的前提是: *必须是一般形式的一元二次方程: )0(02 ≠=++a c bx ax . *042 ≥-ac b ②解一元二次方程的基本步骤： Step1:化为一元二次方程的一般形式； Step2:确定c b a ,,和ac b 42 -的值； Step3:代入求根公式 1.用公式法解一元二次方程。 （1）x x x 3)1)(1(=-+ （2）03322 =+-x x 练一练： （1）6)6(=+x x （2）01222=+-x x )0(02≠=++a c bx ax 还记得如何用配方法推导出一元二次方程 的解吗？（请你快速的推导一遍） XXX ，你知道为什么要确定 ac b 42-的值吗？ a ac b b x 242-±-=小博士提醒：求根公式一定要熟练记忆和运用。
一元二次方程的基本概念及性解法 1、 一般式：____________，a 为____________，b 为___________，c 为________。 即时巩固: 1．方程（m 2－1）x 2 ＋mx －5＝0 是关于x 的一元二次方程，则m 满足的条件是…（ ） （A ）m ≠1 （B ）m ≠0 （C ）|m |≠1 （D ）m ＝±1 2.方程(x –1)(2x +1)=2化成一般形式是 ，它的二次项系数是 . 2、 一元二次方程的解法 (1)直接开平方法 （也可以使用因式分解法） ①2(0)x a a =≥ 解为:________ ②2()(0)x a b b +=≥ 解为:__________ ③2()(0)ax b c c +=≥ 解为:_______ ④22 ()()()ax b cx d a c +=+≠ 解为:_______ 1．方程x 2 －2＝0的解是x ＝ ； (2)配方法①二次项的系数为“1”的时候：直接将一次项的系数除于2进行配方，如下所示： 2220()()022P P x Px q x q ++=?+-+=示例：222 33310()()1022x x x -+=?--+=②二次项 的系数不为“1”的时候：先提取二次项的系数，之后的方法同上： 22220 (0)()0 ()()022b b b ax bx c a a x x c a x a c a a a ++=≠+ +=?-?++= (3)公式法：一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠，用配方法将其变形为： 222 4()24b b ac x a a -+=①当____________时，右端是正数．方程有两个不相等的实根： ② 当____________时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根;__________ ③ 当__________________时，右端是负数．因此，方程没有实根。 备注：公式法解方程的步骤： ①把方程化成一般形式，并确定出a 、b 、c ②求出2 4b ac ?=-，并判断方程解的情况。③代公式：1,2x =(4)因式分解法：提公因式分，平方公式，平方差，十字相乘法 如：2 0(,0)()0ax bx a b x ax b +=≠?+= 适合用提供因式，而且其中一个根为0 24120(6)(2)0x x x x --=?-+= 225120(23)(4)0x x x x +-=?-+= 课堂巩固： 1、若12,x x 是方程2 220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +； (2) 12 11 x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．
第一讲一元二次方程的定义及解法 1.1 一元二次方程的定义 知识网络图 定义 直接开平方法 一元二次方程配方法 解法 公式法 因式分解法 知识概述 1．一元二次方程的概念： 只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式： 一般地，任何一个关于x 的一元二次方程，都能化成形如ax2bx c 0（a 0），这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中ax2是二次项， a 是二次项系数；bx 是一次项， b 是一次项系数； c 是常数项． 3.一元二次方程的解： 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根课堂小练1．（2018?马鞍山二模）已知 a 是方程x2﹣2x﹣1=0 的一个根，则代数式2a2﹣4a﹣1的值为（） A ． 1 B．﹣ 2 C．﹣ 2 或 1 D ．2 2（．2018?岐山县二模）若关于x 的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣5m+3=0 有一个根为1，则m 的值为（ ） A ．1 B．3 C．0 D．1 或3 3．（2017 秋?潮南区期末）一元二次方程（x+3）（x﹣3）=5x 的一次项系数是（） A ．﹣ 5 B．﹣9 C．0 D ．5 课后练习 1．（2018?荆门二模）已知 2 是关于x 的方程x2﹣（5+m）x+5m=0 的一个根，并且这个方向的两个根恰好是等腰△ABC 的两条边长，则△ABC 的周长为（） A ．9 B．12 C．9 或12 D． 6 或12 或15
2．（2018?河北模拟）若关于x 的一元二次方程ax2﹣bx+4=0 的解是x=2，则2020+2a﹣b 的值是（） A ．2016 B ．2018 C．2020 D．2022 3．（2017 秋?武城县期末）若关于x 的一元二次方程（m﹣2）x2+3x+m 2﹣3m+2=0 的常数项为0，则m 等于
一元二次方程 定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程． 判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下四个标准： ⑴整式方程． ⑵方程中只含有一个未知数． ⑶化简后方程中未知数的最高次数是2 ⑷二次项的系数不为0 （2016～2017北京海淀区中学期中）用配方法解方程2420x x -+=，配方正确的是 A ．()2 22x -= B ．()2 22x += C ．()222x -=- D ．()2 26x -= （2016～2017北京海淀区中学期中）一元二次方程23610x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，6，1 B ．3，6，1- C ．3，6-，1 D ．3，6-，1- （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）一元二次方程2320x x --=的二次项系数、一次项系数、常数项分别是 A ．3，1-，2- B ．3，1，2- C ．3，1-，2 D ．3，1，2 （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）用配方法解方程2620x x ++=，配方正确的是 A ．()2 39x += B ．()2 39x -= C ．()2 36x += D ．()2 37x += （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）已知2是关于x 的方程 230x ax a +-=的根，则a 的值为 A ．4- B ．4 C ．2 D ．45 （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）方程02=-x x 的解为． （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）若关于x 的方程220x x k --=有两个相等的实数根，则k 的值是． （2016～2017北京海淀区科迪实验中学期中）解方程：246x x +=． （2016～2017北京海淀区中学期中）解方程：2430x x -+=．
《一元二次方程的概念》 一、教材分析： 1、教材的地位和作用 一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。通过一元二次方 程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、因式分解、二次根式等知识加以巩固，同 时又是今后学习可化为一元二次方程的其它高元方程、一元二次不等式、二次函数等知识 的基础。此外，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。本节课是一元二次方程的概念，是通过丰富的实例，让学生建立一元二次方程，并通过观察归纳出一元二次方程的概 念。 2、教学目标 根据大纲的要求、本节教材的内容和学生的好奇心、求知欲及已有的知识经验，本节课的 三维目标主要体现在： 知识与能力目标：要求学生会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，培养学生归纳、分析的能力。 过程与方法目标：引导学生分析实际问题中的数量关系，回顾一元一次方程的概念，组织 学生讨论，让学生自己抽象出一元二次方程的概念。 情感、态度与价值观：通过数学建模的分析、思考过程，激发学生学数学的兴趣，体会做 数学的快乐，培养用数学的意识。 3、教学重点与难点 重点：由实际问题列出一元二次方程和一元二次方程的概念。 难点:由实际问题转化成数学方程。 二、教法、学法： 用启发式、类比法教学。教学中力求体现“问题情景---数学模型-----概念归纳”的模式。但是由于学生将实践问题转化为数学方程的能力有限，所以，本节课借助多媒体辅助教学，指导学生通过直观形象的观察与演示，从具体的问题情景中抽象出数学问题，建立数学方程，从而突破难点。同时学生在现实的生活情景中，经历数学建模，经过自主探索和合作
交流的学习过程，产生积极的情感体验，进而创造性地解决问题，有效发挥学生的思维能力。 三、教学过程设计 1、创设情景，引入新课 以学生的实际生活背景为素材创设情景。通过微机演示课本中的实例，帮助学生从实 际问题中提炼出数学问题，初步培养学生的空间概念和抽象能力。情景分析中学生自然会 想到用方程来解决问题，但所列的方程不是以前学过的，从而激发学生的求知欲望，顺利 地进入新课。 2、启发探究，获取新知 通过上述情景分析，让学生小组合作，列出方程。并在课本的基础上，又补充2个实例， 而且，补充的例题所列出的方程正好是一个一次项为0，一个常数项为0 的特殊一元二次 方程，这为后面概括得出一元二次方程的一般形式作准备。在学生列出方程后，对所列方 程进行整理，并引导学生分析所列方程的特征，同时与一元一次方程相比较，找出两者的 区别与联系，并类比一元一次方程的概念来得出一元二次方程的概念。由于一元二次方程 的概念是本节的重点，所以在形成概念的过程中主要引导学生积极主动进行自我尝试、自 我分析、自我修正、自我反思，让学生真正理解一元二次方程概念的内涵：（1）是整式方程（2）只含有一个未知数（3）未知数的最高次数是2。因为任何一个一元一次方程都可 以化为“ax+b=c（a≠0）”的形式，由此类比得出一元二次方程的一般形式为 “ax2+bx+c=0（a≠0）”；并由一元一次方程项及系数的概念联想得出一元二次方程的项 及系数的概念。 3、练习反馈，应用拓展 4、小结归纳，上升理性 引导学生从以下3个方面进行小结，（1）本节课我们学习了哪些知识？（2）学习过程中 用了哪些数学方法？（3）确定一元二次方程的项及系数时要注意什么？以培养学生的归纳、概括能力。 5、作业布置 考虑带学生在知识、技能、能力等方面的发展都不尽相同，因此，我分层次布置作业，以 便同时兼顾到学有困难和学有余力的学生。 四、教学评价 根据新课程标准的评价理念，在教学过程中，不仅注重学生的参与意识和学生对待学习的 态度是否积极，而且注重引导学生尝试从不同角度分析和解决问题。 五、板书设计
22.1一元二次方程 第1课时 一元二次方程的概念 班级：_____ 姓名：___________ A 组习题： 1．下列方程中的一元二次方程是( )． A ．3(x +1)2=2(x －1) B ．21 x +x 1－2=0 C ．ax 2+bx +c =0 D ．x 2+2x =(x +1)(x －1) 2．把方程－5x 2+6x+3=0的二次项系数化为1，方程可变为( )． A ．x 2+56 x +53 =0 B ．x 2－6x －3=0 C ．x 2－56x －53=0 D ．x 2－56x +53=0 3．将方程3x 2＝2x －1化成一元二次方程的一般形式后，二次项系数、一次项 系数和常数项系数可以是( ) ． A ． 3，2，－1 B ．3，－2，－1 C ．3，－2，1 D ． －3，－2，1 4．把一元二次方程（x +2）（x －3）= 4化成一般形式，得（ ）． A ．x 2+x －10=0 B ．x 2－x －6=4 C ．x 2－x －10=0 D ．x 2－x －6=0 5. 方程x 2 －x +1=0的一次项系数是（ ）． A B ．－1 C 1 D －x 6．若2530ax x -+=是关于x 的一元二次方程，则不等式360a +>的解集是 （ ）． A ．2a >- B ．2a <- C ．2a >-且0a ≠ D ．1 2a >
7.已知方程(m +2)x 2+(m +1)x －m =0，当m 满足__________时，它是一元一次方程； 当m 满足___________时，它是一元二次方程. 8．一元二次方程226x x -=的二次项系数、一次项系数及常数之和为 ． 9．关于x 的方程2322+-=-mx x x mx 是一元二次方程，m 应满足什么条件？ 10．已知关于x 的方程(m －3)72-m x －x=5是一元二次方程，求m 的值． B 组练习： 把方程2226332kx x k x kx -+=--整理为20ax bx c ++=的形式，并指出各项的系数.
一元二次方程知识点 知识点一：一元二次方程及其解法关键点拨及对应举例 1.一元二次方程的相关概念 (1)定义：只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2 的整式方 程． (2)一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2、bx、c分别叫做二次 项、一次项、常数项，a、b、c分别称为二次项系数、一次项系数、常 数项． 例：方程20 a ax+=是关于x 的一元二次方程，则方程的根为－ 1. 2 .一元二 次方程的解法 （1）直接开平方法：形如（x+m）2=n(n≥0)的方程，可直接开平方 求解. ( 2 )因式分解法：可化为（ax+m）(bx+n)=0的方程，用因式分解 法求解. ( 3 )公式法:一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的求根公式为 x= 24 2 b b ac a -±-（b2-4ac≥0）. (4)配方法：当一元二次方程的二次项系数为1，一次项系数为偶 数时，也可以考虑用配方法． 解一元二次方程时，注意 观察，先特殊后一般，即先 考虑能否用直接开平方法和 因式分解法，不能用这两种方 法解时，再用公式法. 例：把方程x2+6x+3=0变 形为(x+h)2=k的形式后， h=-3,k=6. 知识点二：一元二次方程根的判别式及根与系数的关系 3 .根的判别式 (1)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个不相等的实数根． (2)当Δ＝24 b ac -0时，原方程有两个相等的实数根． (3)当Δ＝24 b ac -0时，原方程没有实数根． 例：方程2210 x x +-=的判 别式等于8，故该方程有两个不相 等的实数根；方程2230 x x ++= 的判别式等于－8，故该方程没有实 数根. * 4.根与系数的关系 （1）基本关系：若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两 个根分别为x1、x2,则x1+x2= ；x1x2= 。注意运用根与系数 关系的前提条件是△≥0. （2）解题策略：已知一元二次方程，求关于方程两根的代数式 的值时，先把所求代数式变形为含有x1+x2、x1x2的式子，再运用根与 系数的关系求解. 与一元二次方程两根相关代数 式的常见变形： x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2, (x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1, 12 1212 11x x x x x x + += 等. 失分点警示 在运用根与系数关系解题时， 注意前提条件时△=b2-4ac≥0.a≠0 知识点三：一元二次方程的应用 4（1）解题步骤：①审题；②设未知数；③列一元二次方程； ④解一元二次方程；⑤检验根是否有意义；⑥作答． 运用一元二次方程解决实际问题时，方程一般有两个实