导轨电路中的电容问题
1．两相互平行且足够长的水平金属导轨MN 、PQ 放在竖直平面内，相距0.4m ，左端接有平行板电容器，板间距离为0.2m ，右端接滑动变阻器R 。水平匀强磁场磁感应强度为10T ，垂直于导轨所在平面，整个装置均处于上述匀强磁场中，导体棒CD 与金属导轨垂直且接触良好，棒的电阻为1Ω，其他电阻及摩擦不计。
现在用与金属导轨平行，大小为2N 的恒力F 使棒从静止开始运动。已知R 的最大阻值为2Ω，g=10m/s 2
。则：
⑴ 滑动变阻器阻值取不同值时，导体棒处于稳定状态时拉力的功率不一样，求导体棒处于稳定状态时拉力的最大功率。
⑵当滑动触头在滑动变阻器中点且导体棒处于 稳定状态时，一个带电小球从平行板电容器左侧，以某一速度沿两板的正中间且平行于两极板射入后，在两极板间恰好做匀速直线运动；当滑动触头位于最下端且导体棒处于稳定状态时，该带电小球以同样的方式和速度射入，小球在两极板间恰好做匀速圆周运动，则小球的速度为多大。
解：（1）当棒达到匀速运动时，棒受到的安培力F 1与外力F 相平衡，即
F=F 1=BIL ① （1分） 此时棒产生的电动势E=BL v ，则电路中的电流。
I ＝ E R ＋r ＝ BL v R ＋r ② （1分）
由①②式得此时棒的速度 V ＝F(R ＋r) B 2L 2
③ （1分） 拉力功率 P ＝FV ＝F 2
(R ＋r)
B 2L 2
④ （1分） 由④式知回路的总电阻越大时，拉力功率越大，
当R=2Ω时，拉力功率最大，P m =(W) （1分） (2)当触头滑到中点即R=1Ω时，由③式知棒匀速运动的速度
v 1＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝(m/s) （1分）
导体棒产生的感应电动势 E 1=BL v 1=10××=1(V) （1分）
电容器两极板间电压 U 1＝E 1R
R ＋r
＝(V) （1分）
由于棒在平行板间做匀速直线运动，则小球必带正电,此时小球受力情况如图所示，设小球的入射速度为v 0,由平衡条件知： F+f=G
即 q U 1
d ＋q v 0B=mg ⑤ （2分）
当滑头滑至下端即R=2Ω时，棒的速度
V 2＝F(R ＋r) B 2L 2 ＝ 38
(m/s ) （1分）
导体棒产生的感应电动势 E 2=BLV 2=伏 （1分）
R
M N C P D F
电容器两极板间的电压 U 2＝E 2R
R ＋r ＝1伏 （1分）
由于小球在平行板间做匀速圆周运动,电场力与重力平衡，于是： q U 2
d
＝mg ⑥ （2分） 联立⑤⑥并代入数值解得 v 0＝U 2—U 1
Bd ＝(m/s ) （1分）
小球作圆周运动时洛仑兹力提供向心力,有
q v 0B ＝m
v 02
r
⑦ （2分）
联立⑥⑦解得小球作圆周运动的半径为r ＝0.0125 m （2分）
2、 如图所示，光滑的平行导轨P 、Q 相距l =1m ，处在同一水平面中，导轨的左端接有如图所示的电路，其中水平放置的电容器两极板相距d =10mm ，定值电阻R 1=R 3=8Ω，R 2=2Ω，导轨的电阻不计，磁感强度B =的匀强磁场竖直向下穿过导轨面，当金属棒ab 沿导轨向右匀速运动（开关S 断
开）时，电容器两极之间质量m =1×10-14kg ，带电量q =-1×10-15
C 的微粒恰
好静止不动；当S 闭合时，微粒的加速度a =7m /s 2
向下做匀加速运动，取g =10m /s 2, 求：
（1）金属棒所运动的速度多大电阻多大
（2）S 闭合后，使金属棒ab 做匀速运动的外力的功率多大
解答：（1）带电微粒在电容器两极间静止时，受向上的电场力和向下的重力而平衡，根据平
衡条件有d U
q mg 1=，解得电容器两极间电压为：V q mgd U 110
1.0101015
14
1=??==-- 由于微粒带负电，可知上板电势较高，由于S 断开，R 3上无电流，R 1、R 2上电压等于
U 1, 可知电路中的感应电流，即通过R 1、R 2的电流强度为：A R R U I 1.02
11
1=+=
根据闭合电路欧姆定律，可知ab 切割磁感线运动产生的感应电动势为：r I U E 11+= （1）
S 闭合时，带电微粒向下做匀加速运动，根据牛顿第二定律有：ma d
U q
mg =-2
可以求得S 闭合时电容器两板间的电压为：V q
d
a g m U 3.0)(2=-=
这是电路中的电流为：2I =
A R U 15.02
2
= 根据闭合电路欧姆定律有：)(
23
13
12r R R R R R I E +++= （2）
将已知量代入（1）（2）式，可求得：2.1=E V ，Ω=2r
由E=BLv 得：s m BL
E
v /3==
（2）S 闭合时，通过ab 电流I 2=0.15A ，ab 所受磁场力为N L BI F B 06.02==，ab 的速度v =3m /s 做匀速运动，所受外力与磁场力F B 大小相等，方向相反，即F =，方向向右，则外力功率为P=Fv =×3w =
3.如图所示,在水平方向与纸面垂直的足够大的匀强磁场中,有一足够长的 形金属框架abcd 以v1=2m/s 的速度向右做切割磁感线运动,在框架abcd 上下两板内产生一个匀强电场.有一个带电油滴以水平速度v2从P 点(ap=L/2)向左射入框架内做匀速圆周运动(g=10m/s2).求:
(1) 油滴必须带什么性质的电荷, 油滴做匀速圆周运动的周期是多少
(2) 为使油滴不跟框架壁相碰, 油滴速度v2与框架宽度L 的比值v2/L 应满足什么条件 (3) 为使油滴不离开电场,并且能够在框架内完整地运动一周,速
度v2要满足什么条件
解： 油滴应带负电. 由于框架左边作切割磁感线运动,使上下两板间产生电压
两板间电场强度 E=L U
=Bv1
由油滴做匀速圆周运动的条件得 mg=qE=qBv1
∴ B=1qv mg
油滴运动的周期 T=5
2221π
ππ=
=g v qB
m s （2）∵
R v m
qBv 2
2
2= R g v v mg qv q mv Bq mv 21122=?== 油滴不跟框架壁相碰应满足条件
2R ＜L/2 即g v v 212＜2L
∴ L v 2
＜14v g =
(3)油滴顺时针做圆周运动,若v2的水平速度大小等于v1时未脱离电场,则以后不再会脱离.设当油滴
转至其线速度方向与竖直方向的夹角为θ时油滴速度v2的水平分量大小等于v1, 油滴刚好运动至框架右边缘,(如图所示) 则
V2sin θ=v1
t=
2
2323V R ??
?
??-=
??? ??-θπω
θπ
v1t ＞Rcos θ
d
a P
V
V
θ
∴ v1?
?? ??-θπ2
3＞v2cos θ 即 ?
??? ?
?--2
1
11sin 23v v v π＞2122v v -
4、如图所示 , 在虚线框内有一磁感应强度为B 的匀强磁场 ,在磁场中的 PQ 和 MN 是两条光滑的平行金属导轨 , 其电阻不计 , 两导轨间距离为 L, 它们都与水平面成α角 .已知匀强磁场的方向与导轨所在平面垂直 , 放置在导轨上的金属棒ab 与导轨垂直 , 其质量为m ，电阻为r.在导轨的一端接着阻值 为 R 的电阻器 。C 、D 为竖直放置的, 间距为 d 的平行板电容器 , 两板间的 JK 是与水平面成θ角的一条绝缘光滑直导轨。当金属棒ab 在导轨上匀速下滑时 , 一个穿在 JK 导轨上的带电小球恰能静止在 JK 导轨上。 求：(1)ab 杆下滑的速度。
(2)带电小球所带电荷的电性。 (3)带电小球的比荷。 25．解：(1)BLv E =………………………………………………① 1
分 r
R E
I +=
…………………………………………………② 1分 BIL F =安…………………………………………………③ 1分
联立①②③得：r
R v
L B F +=22安……………………………… 2分
对ab 受力分析得：αsin mg F =安………………………④ 2分 ∴ab 杆下滑的速度2
2)
(sin L
B r R mg v +=
α…………………⑤ 2分 (2)小球带正电。……………………………………………… 3分 (3)设小球的质量为M ，电荷量为q ， 对电路：r
R RE
U +=
…………………………………………⑥ 2分 对匀强电场：d
U
E =…………………………………………⑦ 2分
对小球受力分析得：θtan Mg qE =………………………⑧ 2分 联立⑤⑥⑦⑧得：带电小球的比荷α
θ
sin tan mR BLd M q =
……………2分
6、如图3-3-4所示，水平放置的两根平行光滑金属导轨相距40cm ，质量为0.1kg 的金属杆ab 垂直于
D
导轨放于其上，导轨间接行电阻R ＝20Ω和电容C＝500PF，匀强磁场方向垂直于导轨平面竖直向下，磁感应强度B＝，现有水平向右的外力使ab 从静止开始以加速度a＝5.0m／s2向右做匀加速运动，不计其他电阻和阻力，求：
（1）电容器中的电流; （2）t＝2s 时外力的大小．
14、解：（1）电容器中电流I C＝
t
Q
?
?
①△Q＝C·△U ②△U＝BL△V ③
a＝△V／△t ④
由上四式可得：IC＝CBLa＝1×10－9A
（2）V＝at＝10m/s E＝BLV＝4V I＝E/R＝0.2A 远大于电容器
的充电电流。所以电容器电流可忽略不计。由牛顿第二定律：F－BIL＝ma
解得：F＝0. 58N
7、如图所示，一个金属杆被分为两部分，中间串联一个体积可忽略不计的电压表，两平行导轨间的距离为L，在导轨左端串联一个电容器，电容器没有充电，空间存在着方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感强度大小为B．将金属杆放置在光滑的金属导轨上，然后在外力的作用下让金属杆以速度v做匀速运动，导轨、金属杆的电阻均不计．求经过一端较长时间后电压表的读数
【分析】本题的关键是理解电压表的工作原理和电容器的充放电条件．
在金属杆运动的初始阶段，电容器处于充电过程，随着电容器上的电荷数量的增加，电容器两
极间电压也逐渐增大，当电容器两极板问电压等于金属杆两端电压时，电容器停止充电，此时电路中的
电流为零．
【答案】电压表的读数取决于电压表的内阻与流过电压表电流的乘积，设r为电压表内阻，则有：，因为电路中电流 I为零，所以，即电压表的示数为0．
【启示】本题中电压表没有示数，并不表示a、b两点问电压为0，这时．那么，为什么a、b两点问电压不为0而电压表示数却为0呢这是因为电压表的体积可以忽略不计，即电压表内线圈两端可以认为是同一个点，因此电压表内线圈两端没有电势差，电压表的线圈中没有电流流过，电压表也就示数为0了．
R
C
a
b
F
图