第一部分考试要求
直线和圆的方程
(1) 理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线的斜率公式.掌握直线方程的点斜式、两点式、一般式,并能根据条件熟练地求出直线方程。
(2) 掌握两条直线平行与垂直的条件.两条直线所成的角和点到直线的距离公式能够根据直线的方程判断两条直线的位置关系。
(3) 了解二元一次不等式表示平面区域。
(4) 了解线性规划的意义.并会简单的应用。
(5) 了解解析几何的基本思想,了解坐标法。
(6) 掌握圆的标准方程和一般方程.了解参数方程的概念。理解圆的参数方程。
圆锥曲线方程
(1) 掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,理解椭圆的参数方程。
(2) 掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质。
(3) 掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质。
(4) 了解圆锥曲线的初步应用。
(一)直线与圆知识要点
1.直线的倾斜角与斜率k=tgα(),直线的倾斜角α一定存在,范围是[0,π),但斜率不一定存在。
斜率的求法:
依据直线方程
依据倾斜角
依据两点的坐标
2.直线方程的几种形式,能根据条件,合理的写出直线的方程;能够根据方程,说出几何意义。
3.两条直线的位置关系,能够说出平行和垂直的条件。会判断两条直线的位置关系。(斜率相等还有可能重合)4.两条直线的交角:区别到角和夹角两个不同概念。
5.点到直线的距离公式。
6.会用一元不等式表示区域。能够解决简单的线性规划问题。
7.曲线与方程的概念,会由几何条件列出曲线方程。
8.
圆的标准方程:(x-a)2+(y-b)2=r2
圆的一般方程:x2+y2+Dx+Ey+F=0注意表示圆的条件。
圆的参数方程:
掌握圆的几何性质,会判断直线与圆、圆与圆的位置关系。会求圆的相交弦、切线问题。
(二)圆锥曲线
1.椭圆及其标准方程:
2.双曲线及其标准方程:
3.抛物线及其标准方程:
4.直线与圆锥曲线:
注意点:
(1)注意防止由于“零截距”和“无斜率”造成丢解
(2)要学会变形使用两点间距离公式,
当已知直线的斜率时,公式变形为或;
当已知直线的倾斜角时,还可以得到或
(3)灵活使用定比分点公式,可以简化运算。
(4)会在任何条件下求出直线方程。
(5)注重运用数形结合思想研究平面图形的性质
解析几何中的一些常用结论:
1.直线的倾斜角α的范围是[0,π)
2.直线的倾斜角与斜率的变化关系:
当倾斜角是锐角是,斜率k随着倾斜角α的增大而增大。
当α是钝角时,k与α同增减。
3.截距不是距离,截距相等时不要忘了过原点的特殊情形。
4.两直线:L
1: A
1
x+B
1
y+C
1
=0L
2
: A
2
x+B
2
y+C
2
=0L
1
⊥L
2
A
1
A
2
+B
1
B
2
=0
5.两直线的到角公式:L
1到L
2
的角为θ,tanθ=
夹角为θ,tanθ=||注意夹角和到角的区别
6.点到直线的距离公式,两平行直线间距离的求法。
7.有关对称的一些结论
点(a,b)关于x轴、y轴、原点、直线y=x 的对称点分别是 (a,-b),(-a,b),(-a,-b),(b,a) 如何求点(a,b)关于直线Ax+By+C=0的对称点
直线Ax+By+C=0关于x轴、y轴、原点、直线y=x 的对称的直线方程分别是什么,关于点(a,b)对称的直线方程又是什么?
如何处理与光的入射与反射问题?
8.曲线f(x,y)=0关于下列点和线对称的曲线方程为:
(1)点(a.b) (2)x轴 (3)y轴
(4)原点 (5)直线y=x (6)直线y=-x (7)直线x =a
9.点和圆的位置关系的判别转化为点到圆心的距离与半径的大小关系。
点P(x 0,y 0),圆的方程:(x -a)2+(y -b)2=r 2
. 如果(x 0-a)2
+(y 0-b)2
>r
2
点P(x 0,y 0)在圆外; 如果 (x 0-a)2+(y 0-b)2 2点P(x 0,y 0)在圆内; 如果 (x 0-a)2 +(y 0-b)2 =r 2 点P(x 0,y 0)在圆上。 10.圆上一点的切线方程:点P(x 0,y 0)在圆x 2+y 2=r 2上,那么过点P 的切线方程为:x 0x+y 0y=r 2 . 11.过圆外一点作圆的切线,一定有两条,如果只求出了一条,那么另外一条就是与x轴垂直的直线。 12.直线与圆的位置关系,通常转化为圆心距与半径的关系,或者利用垂径定理,构造直角三角形解决弦长问题。d>r 相离 d=r 相切 d 13.圆与圆的位置关系,经常转化为两圆的圆心距与两圆的半径之间的关系。设两圆的圆心距为d ,两圆的半径分别为r,R d>r+R 两圆相离 d =r+R 两圆相外切 |R -r| 14. 两圆相交弦所在直线方程的求法: 圆C 1的方程为:x 2+y 2 +D 1x+E 1y+C 1=0. 圆C 2的方程为:x 2 +y 2 +D 2x+E 2y+C 2=0. 把两式相减得相交弦所在直线方程为:(D 1-D 2)x+(E 1-E 2)y+(C 1-C 2)=0 15. 圆上一定到某点或者某条直线的距离的最大、最小值的求法。 16. 焦半径公式:在椭圆 =1中,F 1、F 2分别左右焦点,P(x 0,y 0)是椭圆是一点,则: (1) |PF 1|=a+ex |PF 2|=a-ex (2) 三角形PF 1F 2 的面积如何计算 17.圆锥曲线中到焦点的距离问题经常转化为到准线的距离。 18.直线y=kx+b和圆锥曲线f(x,y)=0交于两点P 1(x 1 ,y 1 ) ,P 2 (x 2 ,y 2 )则弦长P 1 P 2 = 19. 双曲线的渐近线的求法(注意焦点的位置)已知双曲线的渐近线方程如何设双曲线的方程。 20. 抛物线中与焦点有关的一些结论:(要记忆) 解题思路与方法: 高考试题中的解析几何的分布特点是除在客观题中有4个题目外,就是在解答题中有一个压轴题.也就是解析几何没有中档题.且解析几何压轴题所考查的内容是求轨迹问题、直线和圆锥曲线的位置关系、关于圆锥曲线的最值问题等.其中最重要的是直线与圆锥曲线的位置关系.在复习过程中要注意下述几个问题: (1)在解答有关圆锥曲线问题时,首先要考虑圆锥曲线焦点的位置,对于抛物线还应同时注意开口方向,这是减少或避免错误的一个关键。 (2)在考查直线和圆锥曲线的位置关系或两圆锥曲线的位置关系时,可以利用方程组消元后得到二次方程,用判别式进行判断.但对直线与抛物线的对称轴平行时,直线与双曲线的渐近线平行时,不能使用判别式,为避免繁琐运算并准确判断特殊情况,此时要注意用好分类讨论和数形结合的思想方法.画出方程所表示的曲线,通过图形求解. 当直线与圆锥曲线相交时:涉及弦长问题,常用“韦达定理法”设而不求计算弦长(即应用弦长公式);涉及弦长的中点问题,常用“差分法”设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化.同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找量与量间的关系灵活转化,往往就能事半功倍。 (3)求圆锥曲线方程通常使用待定系数法,若能据条件发现符合圆锥曲线定义时,则用定义求圆锥曲线方程非常简捷.在处理与圆锥曲线的焦点、准线有关问题,也可反用圆锥曲线定义简化运算或证明过程。 一般求已知曲线类型的曲线方程问题,可采用“先定形,后定式,再定量”的步骤。 定形——指的是二次曲线的焦点位置与对称轴的位置。 定式——根据“形”设方程的形式,注意曲线系方程的应用,如当椭圆的焦点不确定在哪个坐标轴上时,可设方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0)。 定量——由题设中的条件找到“式”中特定系数的等量关系,通过解方程得到量的大小。 (4)在解与焦点三角形(椭圆、双曲线上任一点与两焦点构成的三角形称为焦点三角形)有关的命题时,一般需使用正余弦定理、和分比定理及圆锥曲线定义。 (5)要熟练掌握一元二次方程根的判别式和韦达定理在求弦长、中点弦、定比分点弦、弦对定点张直角等方面的应用。 (6)求动点轨迹方程是解析几何的重点内容之一,它是各种知识的综合运用,具有较大的灵活性,求动点轨迹方程的实质是将“曲线”化成“方程”,将“形”化成“数”,使我们通过对方程的研究来认识曲线的性质. 求动点轨迹方程的常用方法有:直接法、定义法、几何法、代入转移法、参数法、交轨法等,解题时,注意求轨迹的步骤:建系、设点、列式、化简、确定点的范围。 (7)参数方程,请大家熟练掌握公式,后用化归的思想转化到普通方程即可求解。 第二部分解析几何中的范围问题(研究性学习之二) 在直线与圆锥曲线相交问题中,关于直线的斜率或纵截距的取值范围,关于圆锥曲线的离心率、长轴长(或实轴长)、短 轴长(或虚轴长)等有关参量的取值范围,是解析几何高考命题以及备考复习的重点问题。对此,一般情况下的解题思路,首先寻觅出(或直接利用)相关的不等式,进而通过这一不等式的演变解出有关变量的取值范围。在这里,我们对寻觅所给问题中相关不等式的主要途径和策略作以研讨。 一、“题设条件中的不等式关系”之运用 事物都是一分为二的。对于题设条件中明朗或隐蔽的不等关系,既可作为推导或求解的条件而增加难度,也可作为探索或寻觅范围的切入点而提供方便。在解决范围问题时,不失时机的利用明显的不等关系或发掘隐匿的不等式,往往成为解题的关键环节. 例1、已知双曲线中心在原点,右顶点为A(1,0),点P、Q在双曲线右支上,点M(m,0)到直线AP的距离为1. (1)若直线AP的斜率为k,且,求实数m的取值范围; (2)当时,△APQ的内心恰好是点M,求此双曲线方程. 分析:对于(1),已知直线AP的斜率k的取值范围,要求m的取值范围,首先需要导出k与m的关系式;对于(2),则要利用三角形内心的性质,三角形内心到三边距离相等;三角形内心与任一顶点的连线为相应的角的平分线;三角形面积等于半周长与内切圆半径之积等.至于运用哪一性质,还要视题设条件的具体情况来定夺. 解: (1)由已知设直线AP的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0 ∵点M到直线AP的距离为1 ∴① ∵ ∴, 解得或 ∴所求m的取值范围为. (2)根据已知条件设双曲线方程为 当时,点M的坐标为(). ∵A(1,0),, ∵点M到直线AP的距离为1, ∴△APQ的内切圆半径r=1, ∴∠PAM=45°, (不妨设点P在第一象限) ∴直线PQ的方程为, 直线AP的方程为y=x-1 因此解得点P的坐标为() 将点P坐标代入双曲线方程得 ∴所求双曲线方程为 即. 点评:这里的(1),是题设条件中明显的不等关系的运用; 这里的(2),审时度势的求解出点P坐标,恰如“四两拨千斤”.同学们请注意:一不要对三角形内心敬而生畏,二不可总想利用某一性质。沉着冷静地分析、认知问题,便会逐渐拨开云雾,寻出解题方向. 例2、设椭圆的两个焦点是,且椭圆上存在点P使得直线垂直. (1)求实数m的取值范围; (2)设L是相应于焦点的准线,直线与L相交于点Q,若,求直线的方程. 分析:对于(1),要求m的取值范围,首先需要导出相关的不等式,由题设知,椭圆方程为第一标准方程,因而这里应有,便是特设条件中隐蔽的不等关系. 对于(2),欲求直线的方程,注意到这里题设条件与点P的密切关系,故考虑从求点P坐标突破. 解: (1)由题设知 设点P坐标为,则有 化简得① 将①与联立,解得 ∵m>0,且 ∴m≥1 即所求m的取值范围为. (2)右准线L的方程为 设点 ∴②(ⅰ)将代入②得 ③又由题设知 ∴由③得,无解. (ⅱ)将代入②得 ④ ∴由题设得 由此解得m=2 从而有 于是得到直线的方程为 点评:对于(1),解题的关键是发掘并利用题设条件中隐蔽的不等式对于(2),以求解点P坐标 为方向,对已知条件进行“数形转化”,乃是解决此类已知线段长度之比问题的避繁就简的基本策略. 二、“圆锥曲线的有关范围”之运用 我们在学习中已经看到,椭圆、双曲线和抛物线的“范围”,是它们的第一几何性质。事实上,我们研究“范围”,一在于认知:认知圆锥曲线特性;二在于应用:“应用”它们来解决有关问题。 例、以为焦点的椭圆与x轴交于A,B两点 (1)过作垂直于长轴的弦MN,求∠AMB的取值范围; (2)椭圆上是否存在点P,使∠APB=120°?若存在,求出椭圆离心率e的取值范围. 解: (1)基于椭圆的对称性,不妨设定为右焦点,M在第一象限,则易得, 设A(-a,0),B(a,0),则∠AMB为直线AM到BM的角, 又 ∴利用公式得① 此时注意到椭圆离心率的范围:0 ∴② ∴由①②得 由此解得 (2)设椭圆上存在点P使∠APB=120° 基于椭圆的对称性,不妨设点P(x,y)在第一象限 则有x>0,y>0 ∴根据公式得 整理得① 又这里② ∴②代入①得③ 此时注意到点P在椭圆上,故得④ ∴由③④得 ⑤ 由⑤得⑥ 于是可知,当时,点P存在且此时椭圆离心率的取值范围为; 当时,点P不存在. 三、“一元二次方程有二不等实根的充要条件”之运用 在直线与曲线相交问题中,直线与某圆锥曲线相交的大前提,往往由“相关一元二次方程有二不等实根”来体现。因此,对于有关一元二次方程的判别式△>0,求某量的值时,它是去伪存真的鉴别依据,求某量的取值范围时,它是导出该量的不等式的原始不等关系。 例1、已知椭圆的一个顶点A(0,-1),焦点在x轴上,且右焦点到直线的距离为3,若斜率不为0的直线l与椭圆交于不同两点M、N,使M、N关于过A点的直线对称,求直线l的斜率取值范围。 解:(既设又解)设右焦点F(c,0),则由 又b=1,∴ ∴椭圆方程为① 设直线l的方程为y=kx+m② 将②代入①得 由题意③ 且④ ∴ ∴点P坐标为 又根据题意知M、N关于直线AP对称,故有 ⑤ 于是将⑤代入③得 因此可知,所求k的取值范围为. 例2、已知椭圆C的中心在原点上,焦点在x轴上,一条经过点且方向向量为的直线l交椭圆C 于A、B两点,交x轴于点M,又 (1)求直线l的方程; (2)求椭圆C的长轴长的取值范围. 解: 高考数学平面向量专题卷(附答案) 一、单选题(共10题;共20分) 1.已知向量,则=() A. B. C. 4 D. 5 2.若向量,,若,则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量,,且,则=() A. B. C. D. 4.已知平面向量、,满足,若,则向量、的夹角为() A. B. C. D. 5.在中,的中点为,的中点为,则() A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线,且,,记与的夹角是,则最大时, () A. B. C. D. 7.在中,,AD是BC边上的高,则等于() A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知,则的取值范围是() A. [0,1] B. C. [1,2] D. [0,2] 9.已知向量,的夹角为,且,则的最小值为() A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为() A. B. C. D. 二、填空题(共8题;共8分) 11.在平面直角坐标系xOy中,已知A(0,﹣1),B(﹣3,﹣4)两点,若点C在∠AOB的平分线上,且 ,则点C的坐标是________. 12.已知单位圆上两点满足,点是单位圆上的动点,且,则 的取值范围为________. 13.已知正方形的边长为1,,,,则________. 14.在平面直角坐标系中,设是函数()的图象上任意一点,过点向直线 和轴作垂线,垂足分别是,,则________. 15.已知为锐角三角形,满足,外接圆的圆心为,半径为1,则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点,长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦,则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为,半径为2,且满足,则 的最小值为________. 18.如图,在中,,点,分别为的中点,若,,则 ________. 三、解答题(共6题;共60分) 19.的内角,,所对的边分别为,,.向量与平行.(Ⅰ)求; (Ⅱ)若,求的面积. 20.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),已知点,点是曲线上任意一点,点为的中点,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系. 平面解析几何 高考复习知识点 一、直线的倾斜角、斜率 1、直线的倾斜角: (1)定义:在平面直角坐标系中,对于一条与x 轴相交的直线l ,如果把x 轴绕着交点按逆时针方向转到和直线l 重合时所转的最小正角记为α,那么α就叫做直线的倾斜角。当直线l 与x 轴重合或平行时,规定倾斜角为0; (2)倾斜角的范围[)π,0。 2、直线的斜率 (1)定义:倾斜角不是90°的直线,它的倾斜角的正切值叫这条直线的斜率k ,即k =α(α≠90°);倾斜角为90°的直线没有斜率; (2)斜率公式:经过两点111(,)P x y 、222(,)P x y 的直线的斜率为()212 12 1x x x x y y k ≠--=; (3)直线的方向向量(1,)a k =,直线的方向向量与直线的斜率有何关系? (4)应用:证明三点共线: AB BC k k =。 例题: 例1.已知直线的倾斜角的变化范围为,求该直线斜率的变化范围; 思路点拨:已知角的范围,通过正切函数的图像,可以求得斜率的范围,反之,已知斜率的 范围,通过正切函数的图像,可以求得角的范围? 解析: ∵, ∴ .? 总结升华: 在知道斜率的取值范围求倾斜角的取值范围,或知道倾斜角的取值范围求斜率的取值范 围时,可利用在和上是增函数分别求解.当时,; 当时,;当时,;当不存在时,.反之,亦成立. 类型二:斜率定义 例2.已知△为正三角形,顶点A 在x轴上,A 在边的右侧,∠的平分线在x 轴上,求边与所在直线的斜率. 思路点拨: 本题关键点是求出边与所在直线的倾斜角,利用斜率的定义求出斜率. 解析:? 如右图,由题意知∠∠30°? ∴直线的倾斜角为180°-30°=15 0°,直线的倾斜角为30°,? ∴150°= 30°=? 总结升华: 在做题的过程中,要清楚倾斜角的定义中含有的三个条件①直线向上方向②轴正向③小 第8章 第1节 一、选择题 1.(2010·崇文区)“m =-2”是“直线(m +1)x +y -2=0与直线mx +(2m +2)y +1=0相互垂直”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充要条件 D .既不充分也不必要条件 [答案] A [解析] m =-2时,两直线-x +y -2=0、-2x -2y +1=0相互垂直;两直线相互垂直时,m(m +1)+2m +2=0,∴m =-1或-2,故选A. 2.(文)(2010·安徽文)过点(1,0)且与直线x -2y -2=0平行的直线方程是( ) A .x -2y -1=0 B .x -2y +1=0 C .2x +y -2=0 D .x +2y -1=0 [答案] A [解析] 解法1:所求直线斜率为12,过点(1,0),由点斜式得,y =12(x -1),即x -2y -1=0. 解法2:设所求直线方程为x -2y +b =0, ∵过点(1,0),∴b =-1,故选A. (理)设曲线y =ax2在点(1,a)处的切线与直线2x -y -6=0平行,则a =( ) A .1 B.12 C .-12 D .-1 [答案] A [解析] y′=2ax ,在(1,a)处切线的斜率为k =2a , 因为与直线2x -y -6=0平行,所以2a =2,解得a =1. 3.点(-1,1)关于直线x -y -1=0的对称点是( ) A .(-1,1) B .(1,-1) C .(-2,2) D .(2,-2) [答案] D [解析] 一般解法:设对称点为(x ,y),则高考数学平面向量专题卷(附答案)
平面解析几何-高考复习知识点
(整理)届高三数学总复习平面解析几何练习题目汇总