指数函数及其性质
习题课题型一：与指数有关的复合函数的定义域和值域
1、含指数函数的复合函数的定义域
(1) 由于指数函数y a x a 0,且a 1的定义域是R，所以函数y a f x的定义域与 f x的定义域相同.
(2) 对于函数y f a x a 0,且a 1的定义域，关键是找出a x的值域哪些部分 f t的定义域中.
2
、
含指数函数的复合函数的定义域
在求形如y a f x a 0,且a1的函数值域时，先求得x的值域(即t中t的范围)，再根
(2) 【例】
t
据y a的单调性列出指数不等式,
在求形如y f a x a 0,且a
得出￡的范围，即y
1的函数值域时，易知体的范围列指数不等式，得出a x的具体范围)，然后再t
求下列函数的定义域和值域
1
y 0.户；(2) y 3、5x1；0,
的值域.
(或根据y
上，求y
对x限定的更加具
f t的值域即可.
(3) y <1 a x.
题型二利用指数函数的单调性解指数不等式
解题步
骤:
(1)利用指数函数的单调性解不等式，首先要将不等式两端都凑成底数相同的指数式
3x 1
2; (2)已知a x2 3x 1a x 6a 0,a 1 ,求x的取值范围.
题型三：指数函数的最值问题
解题思路：指数函数在定义域R上是单调函数，因此在R的某一闭区间子集上也是单调函数，因此在区间的两个端点处分别取到最大值和最小值.需要注意的是，当底数未知时，要对底数分情况讨论
【例】函数f x a x a 0,a 1在1,2上的最大值比最小值大,求a的值.
2
题型四：与指数函数有关的单调性
、一 f x
1、研究形如y a a 0,且a 1的函数的单调性时，有如下结论:
【例】1.已知a 0,且a 1 ,讨论f x a x2 3x 2 的单调性
(1)当a1时，函数y a f x的单调性与f x的单调性相同；
(2)当0 a 1时，函数y a f x的单调性与f x的单调性相反.
2、研究形如y a x a 0,且a 1的函数的单调性时，有如下结论:
(1)当a1时，函数y a x的单调性与y t的单调性相同；
(2)当0 a 1时，函数y a x的单调性与y t的单调性相反.
注意：做此类题时，一定要考虑复合函数的定义域
2.求下列函数的单调区间
题型五：指数函数与函数奇偶性的综合应用
虽然指数函数不具有奇偶性，但一些指数型函数可能具有奇偶性，
对于此类问题可利用定义进行判断或证明 【例】1. 已知函数
f x 1 a 为奇函数，贝U a 的值为
^ 3x 1 2.
已知函数 f x a 1 . ............................ ..... —x R 是奇函数，则实数a 的值为
1 2x 3.
已知函数 f x 1 1 a 0, a 1 ,判断函数f x 的奇偶性.
a x
1 2 题型六：图像变换的应用
1、平移变换：若已知 y a x 的图像，
x x b
(1)把y a 的图像向左平移 b 个单位，则得到 y a 的图像;
(1) y
2x 3 ； (2) y 1 0.2X
1
(2) 把y a x的图像向右平移b个单位，则得到y a x b的图像；
(3) 把y a x的图像向上平移b个单位，可得到y a x b的图像;
(4) 把y a x的图像向下平移b个单位，则得到y a x b的图像.
x .
2、对称变换：若已知y a的图像，
(1) 函数y a x的图像与y a x的图像关于y轴对称；
(2) 函数y a x的图像与y a x的图像关于x轴对称；
(3) 函数y a x的图像与y a x的图像关于坐标原点对称.
【例】1.画出下列函数的图象，并说明它们是由函数y 2x的图像经过怎样的变换得到的.
① y 2x 1；②y 2x1 ；③ y 2ix；④ y 2x 1 :⑤y 2、顶y 2
3.若直线y 2a与函数y a x1 1 a 0,且a 1的图像有两个公共点，则a的取值范围