天津一中2019学年高三年级四月考
数学试卷（文科）
一、选择题（每小题5分，共40分） 1.
设集合{}
{}|,|5,,
A x x k N
B x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）
A ． {1,2,5}
B ．{l, 2，4, 5}
C ．{1，4, 5}
D ．{1，2，4}
2．设动点),(y x P 满足??????
?≥≥≤+≤+0
0502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）
A. 50
B. 60
C. 70
D. 100
3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6
4. 下列命题中正确的是( )
A.命题“x R ?∈，2
x x -0≤”的否定是“
2,0x R x x ?∈-≥” B.命题“
p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
C.若“2
2
am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真
D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足2
2
1x y +≥的概率为4π
.
5. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均
与
22
:650C x y x +-+=相切，则该双曲线离心率等于( )
A
． B
． C ．32 D
．
6. 某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( )
A. 72π
B. 48π
C. 30π
D. 24π
7. 已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()
g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围
是（ ）
A ．),10(+∞
B ．)
10,101
(
C ．)10,0(
D ．
),10()101
,
0(+∞
8. 已知24(0)
()(2)(0)a x x x f x f x x ?--<=?
-≥?，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范
围是（ ）
A ．
[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]
D ．(0,)+∞
二、填空题（每小题5分，共30分）
9. i 是虚数单位，复数i i 43)21(2
-+的值是_______________________
10. 在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，
3B π
=
且
sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ________________
11. 直线l 过抛物线
)0(22>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知AF 3,4||==,则=p ____________________
12. 如图，在矩形A B C D 中
，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，
若AB AF ? ，则AE BF ?
的值是 ____________
13. 如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________________
14. 若实数
,,222,2222,a b a b a b c a b c
a b c c ++++=++=满足则的最大值是 _____ 三、解答题：（15,16,17,18每题13分，19,20每题14分）
15． 某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第
5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.
（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率.
16．已知函数
(
))
22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线
12,x x x x ==是函数()y f x =的图像的
任意两条对称轴，且12
x x -的最小值为2π
.
（I ）求ω的值； （II ）求函数
()
f x 的单调增区间；
（III ）若()23f α=，求
5sin 46πα??- ?
??的值.
17. 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB 于点F （1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
（3）求二面角C —PB —D 的大小
18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n
n S a ,,21
等差数列.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若n
b n
a )21(2
=，设
n n n
a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T .
A
C
19．已知椭圆:C 222
21(0)x y a b a b +=>>
的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三
角形的面积为3． （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为1
2-
，
求斜率k 的值； ②若点7
(,0)
3M -，求证：MA MB ? 为定值．
20．设函数
()ln a
f x x x x =
+,32
()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()
()f x h x x =
的单调性
(Ⅱ)如果存在
12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M
(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]
2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围.
四月考答案 1
．设集合
{}
{}|,|5,,
A x x k N
B x x x Q ==∈=≤∈则A B 等于（ ）
A ． {1,2,5}
B ．{l, 2，4, 5}
C ．{1，4, 5}
D ．{1，2，4} 【答案】B
【解析】当k=0时，x=1；当k=1时，x=2；当k=5时，x=4；当k=8时，x=5，故选B.
2．设动点),(y x P 满足?
?????
?≥≥≤+≤+00502402y x y x y x ，则y x z 25+=的最大值是（ ）
A. 50
B. 60
C. 70
D. 100 【答案】D
3. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的值是（ ） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 【答案】B
4．下列命题中正确的是( )
A.命题“x R ?∈，2
x x
-0≤”的否定是
“2
,0x R x x ?∈-≥” B.命题“
p q ∧为真”是命题“p q ∨为真”的必要不充分条件
C.若“2
2
am bm ≤，则a b ≤”的否命题为真
D.若实数,[1,1]x y ∈-，则满足
22
1x y +≥的概率为4π
. 【答案】C
5. 已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b -=>>的两条渐近线均与22:650C x y x +-+=相切，则该双曲线
离心率等于( )
A
． B
． C ．32 D
．
【答案】
A
【解析】圆的标准方程为
22
(3)4x y -+=，所以圆心坐标为(3,0)C ,半径2r =，双曲线的渐近线为b y x a =±
，不妨取b
y x a =，即0bx ay -=
，因为渐近线与圆相切，所以圆心到直线的距离
2
d =
=，即222
94()b a b =+，所以22
54b a =，
222245b a c a =
=-，即2295a c =，所
以
29,55e e ==
，选A.
6．某几何体的三视图如下图所示，它的体积为( ) A. 72π B. 48π C. 30π
D. 24π 【答案】C
7．已知函数)(x f 在),0[+∞上是增函数，()()
g x f x =-，若)1()(lg g x g >，则x 的取值范围是
A ．),10(+∞
B ．)
10,101
(
C ．)10,0(
D ．
),10()101
,
0(+∞
【答案】B
8．已知
24(0)
()(2)(0)a x x x f x f x x ?--<=?
-≥?，且函数()2y f x x =-恰有3个不同的零点，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．
[)8,-+∞ B ．[)4,-+∞ C ．[-4，0]
D ．(0,)+∞
【答案】B
9．i 是虚数单位，复数i i 43)21(2
-+的值是_________________
【答案】 1-
10．在锐角△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若2b =，
3B π
=
且
sin cos c A C =，则△ABC 的面积为 ．
11. 直线l 过抛物线)0(22
>=p px y 的焦点，且交抛物线于B A ,两点，交其准线于C 点,已知
BF CB AF 3,4||==,则=p __________
【答案】 38
12．如图，在矩形ABCD 中，2AB BC =，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若
AB AF ? ，则AE BF ?
的值是 ．
13．如图，△ABC 是⊙O 的内接正三角形，弦EF 经过BC 的中点D ，且EF ∥AB ，若AB=2，则DE 的长是_________.
【解析】由图知DE ·DF=BD ·CD=1，同理EG ·FG=1.又DG=1
2AB=1，∴DE(1+FG)=1，FG(1+DE)=1，
∴
1
DE FG .2==
答案
:
14．若实数
,,222,2222,a b a b a b c a b c
a b c c ++++=++=满足则的最大值是
【命题意图】本题考查基本不等式的应用，指数、对数等相关知识，考查了转化与化归思想，是难题.
【解析】∵2a b +=22a b +
≥2a b +≥4，
又∵222a b c ++=2a b c ++，∴22a b c ++=22a b c +?，∴221c c -=2a b
+≥4，即221c c -≥4，即43221c
c -?-≥0，∴2c
≤43，∴c ≤
24
log 3=22log 3-，∴c 的最大值为22log 3-. 【答案】
22log 3-
15．某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者.现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组
[)20,25，第2组[)25,30，第3组[)30,35，第4组[)35,40，第
5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示. （1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取
6名志愿者参广场的宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（2）在（1）的条件下，该县决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第
4
组至少有一名志愿者被抽中的概率.
【答案】解:(1) 第3组的人数为0.3×100=30, 第4组的人数为0.2×100=20, 第5组的人数为0.1×100=10. …………3分
因为第3,4,5组共有60名志愿者,所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者,每组抽
取的人数分别为:第3组:3060×6=3; 第4组:2060×6=2; 第5组:10
60×6=1.
所以应从第3,4,5组中分别抽取3人,2人,1人. …………6分
(2)记第3组的3名志愿者为A1,A2,A3,第4组的2名志愿者为B1,B2,第5组的1名志愿者为C1. 则从6名志愿者中抽取2名志愿者有:
(A1,A2), (A1,A3),(A1,B1),(A1,B2),(A1,C1),(A2,A3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,C1),(A3,B1),(A3,B2), (A3,C1),(B1,B2),(B1,C1),(B2,C1),共有15种. …………8分
其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有:
(A1,B1), (A1,B2), (A2,B1), (A2,B2), (A3,B1), (A3,B2), (B1,B2), (B1,C1), (B2,C1),共有9种, …………10分
所以第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为93.
155=…………13分
16．已知函数
(
))
22sin cos 0f x x x x ωωωω=->，直线
12,x x x x ==是函数
()y f x =的图像的任意两条对称轴，且12
x x -的最小值为2π
.
（I ）求ω的值； （II ）求函数
()
f x 的单调增区间；
（III ）若
()23f α=，求5sin 46πα??- ?
??的值. 【答案】
17． 如图，在四棱锥P —ABCD 中，底面ABCD 是正方形，侧棱PD ⊥底面ABCD ，PD=DC ，E 是PC 的中点，作EF ⊥PB 交PB
于点F
（1）证明PA//平面EDB ； （2）证明PB ⊥平面EFD ；
（3）求二面角C —PB —D 的大小
（1）证明：连结AC ，AC 交BD 于O ，连结EO ∵底面ABCD 是正方形，∴点O 是AC 的中点 在PAC 中，EO 是中位线，∴PA // EO
A
C
而?EO 平面EDB 且?PA 平面EDB ， 所以，PA // 平面EDB
A
C
（2）证明：
∵PD ⊥底面ABCD 且?DC 底面ABCD ，∴DC PD ⊥
∵PD=DC ，可知PDC ?是等腰直角三角形，而DE 是斜边PC 的中线， ∴PC DE ⊥ ①
同样由PD ⊥底面ABCD ，得PD ⊥BC
∵底面ABCD 是正方形，有DC ⊥BC ，∴BC ⊥平面PDC 而?DE 平面PDC ，∴DE BC ⊥ ② 由①和②推得⊥DE 平面PBC 而?PB 平面PBC ，∴PB DE ⊥
又PB EF ⊥且E EF DE = ，所以PB ⊥平面EFD
（3）解：由（2）知，DF PB ⊥，故EFD ∠是二面角C —PB —D 的平面角 由（2）知，DB PD EF DE ⊥⊥,
设正方形ABCD 的边长为a ，则a BD a DC PD 2,=
==
a BD PD PB 322=+=， a DC PD PC 222=+=
a PC DE 2221==
在PDB Rt ?中，
a a a a PB BD PD DF 36
32=?=?=
在EFD Rt ?中，23
36
22
sin =
==a
a
DF DE EFD ，∴
3π=∠EFD 所以，二面角C —PB —D 的大小为3π
18．已知各项均为正数的数列{}n a 前n 项和为n S ，首项为1a ，且n
n S a ,,21
等差数列.
（Ⅰ）求数列
{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若
n
b n
a )21(2
=，设
n n n
a b c =，求数列{}n c 的前n 项和n T . 【答案】解（1）由题意知0
,21
2>+=n n n a S a ………………1分
当1=n 时，
212
1
2111=
∴+
=a a a
当2≥n 时，
21
2,21211-
=-=--n n n n a S a S 两式相减得
1122---=-=n n n n n a a S S a ………………3分
整理得：21=-n n
a a ……………………4分 ∴数列{}n a 是以21为首项，2为公比的等比数列.
21
1122212---=?=
?=n n n n a a ……………………5分
42222--==n b n n a
∴
n b n 24-=，……………………6分
n n n n n n
n a b C 28162242-=-==
-
n n n n n T 28162824282028132-+-?+-++=
- ①
1
3228162824202821+-+-+?++=n n
n n n T ②
①-②得1
322816)212121(8421+--+?++-=n n n n
T ………………9分
1
11
2816)211442816211)2112184+-+----=----?-=n n n n
n （（
n n
24=
.………………………………………………………11分
.
28n n n T =
∴…………………………………………………………………13分
19. 已知椭圆:C 222
21(0)x y a b a b +=>>
的离心率为，椭圆短轴的一个端点与两个焦
点构成的三角形的面积为．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点． ①若线段AB 中点的横坐标为1
2-
，
求斜率k 的值；②若点7
(,0)
3M -，求证：MA MB ? 为定值．
【答案】解：（Ⅰ）因为222
21(0)x y a b a b +=>>满足222a b c =+，
3c a
=，…………2分
1223b c ??=
。解得2255,3a b ==，则椭圆方程为22
1
553x y += ……………4分 （Ⅱ）（1）将(1)y k x =+代入22
155
3x y +=中得
2222(13)6350k x k x k +++-=……………………………………………………6分 4222364(31)(35)48200k k k k ?=-+-=+>
2
122
631k x x k +=-+………………………………………… …………………7分 因为AB 中点的横坐标为12-，所以2261312k k -=-+
，解得3k =±
…………9分 （2）由（1）知
2122631k x x k +=-+，2122
35
31k x x k -=+ 所以11221212
7777
(,)(,)()()3333MA MB x y x y x x y y ?=++=+++ ……………11分 2121277
()()(1)(1)
33x x k x x =+++++
222
1212749(1)()()39k x x k x x k =++++++………………………………………12分
222
2
2
22357649(1)()()313319
k k k k k k k -=+++-++++
20．设函数
()ln a
f x x x x =
+,32
()3g x x x =--. (Ⅰ)讨论函数()
()f x h x x =
的单调性
(Ⅱ)如果存在
12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立,求满足上述条件的最大整数M
(Ⅲ)如果对任意的1,[,2]
2s t ∈,都有()()f s g t ≥成立,求实数a 的取值范围. 1.【解】(Ⅰ)2()ln a h x x x =+,233212()a x a
h x x x x -'=-+=
,
①00,()a h x '
≤≥,函数()h x 在0(,)+∞上单调递增 ②0a >
,0(),h x x '≥≥函数()h x
的单调递增区间为)+∞
00(),h x x '≤<≤
函数()h x
的单调递减区间为0(
(Ⅱ)存在12,[0,2]x x ∈,使得12()()g x g x M -≥成立
等价于:
12max [()()]g x g x M -≥,
考察32
()3g x x x =--, 2
2'()323()3g x x x x x =-=-,
由上表可知:min max 285
()(),()(2)1
327g x g g x g ==-==, 12max max min 112
[()()]()()27g x g x g x g x -=-=
,
所以满足条件的最大整数4M =;
(Ⅲ)当1[,2]2x ∈时,()ln 1
a f x x x x =+≥恒成立
等价于
2ln a x x x ≥-恒成立, 记
2
()ln h x x x x =-,所以max ()a h x ≥ '()12ln h x x x x =--, '(1)0h =.
记'()(1)2ln h x x x =--,
1
[,1)
2x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -><> 即函数2
()ln h x x x x =-在区间1[,1)
2上递增,
记'()(1)2ln h x x x =--,(1,2]x ∈,10,ln 0,'()0x x x h x -<><
即函数
2
()ln h x x x x =-在区间(1,2]上递减, 1,()x h x =取到极大值也是最大值(1)1h =
所以1a ≥
另解()12ln m x x x x =--,'()32ln m x x =--,
由于1[,2]
2x ∈,'()32ln 0m x x =--<, 所以()'()12ln m x h x x x x ==--在1
[,2]
2上递减, 当
1[,1)
2x ∈时,'()0h x >,(1,2]x ∈时,'()0h x <,
即函数2
()ln h x x x x =-在区间1[,1)
2上递增,
在区间(1,2]上递减, 所以
max ()(1)1h x h ==,所以1a ≥