刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。
一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。
平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。
（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =?
（2）定轴转动刚体的角速度： )(t f &&==?
ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f &&&&&===?ω
α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示
速度： r v ?=ω （7－1）
加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2）
其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。
三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。
1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：
θω&=， （7－3） θωα&&&== （7－4）
2、 刚体平面运动的运动方程
平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为：
)(),(),
(321t f t f y t f x A A ===? （7－5）
其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平
图7－1
刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。
一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。
平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动
刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。
（1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =?
（2）定轴转动刚体的角速度： )(t f &&==?
ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f &
&&&&===?ω
α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示
速度： r v ?=ω （7－1）
加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2）
其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。
三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。
1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为：
θω&=， （7－3） θωα&&&== （7－4）
2、 刚体平面运动的运动方程
平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为：
)(),(),
(321t f t f y t f x A A ===? （7－5）
其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平移和绕基点转动的合成，而刚体的平面平移（c ≡?，其中c 为常量）和定轴转动
图7－1
（,,21c y c x A A ==其中21,c c 为常量）又是刚体平面运动的特殊情况。 同一平面运动刚体，若选取得不同的基点，则基点的运动方程会有所不同，刚体绕不同基点转过的角度只相差一个常量，因此刚体的角速度和角加速度与基点的选取无关，根据平面运动刚体角速度、角加速度的定义（7－3）式和（7－4）式也可得到这一结论。
3、 平面图形上各点的速度
基点法公式：
BA A B v v v += （7－6）
基点法公式建立了平面图形上任意两点的速度与平面图形角速度的关系。
速度投影定理：平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即：
[][]AB AB B A v v = （7－7）
该定理反映了刚体上任意两点间距离保持不变的性质。
速度瞬心法：只要平面图形的角速度不为零，就必定存在唯一的一点，其速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的速度瞬心，用v c 表示。平面图形上任一点M 的速度可表示成
M
v C M r v ?=ω （7－8）
其中：M v
C r 是从速度瞬心v c 引向M 点的矢径，ω为平面图形的角速度矢量。
4、平面图形上各点的加速度 基点法公式：
n
t BA
BA A B a a a a ++= （7－9）
其中：
)(,n t AB AB r a r a ??=?=ωωαBA BA 。基点法公式建立了平面图形上任意两点的加速度与平面图形的角速度和角加速度间的关系。只要平面图形的角速度和角加速度不
同时为零，则其上必存在唯一的一点，其加速度在该瞬时为零，该点称为平面图形的加速度瞬心，用a C 表示。
3－3 取套筒B 为动点，OA 杆为动系
根据点的复合运动速度合成定理
图7－2
θ A B
'x 'y A ? B
r e a v v v +=
可得：l v v ω==e 0a 30cos ，
l v v v BC B ω3
3
2a =
==
研究AD 杆，应用速度投影定理有：
030cos D A v v =，l v D ω3
3
4=
再取套筒D 为动点，BC 杆为动系，根据点的复合运动速度合成定理
r D BC D v v v +=
将上式在x 轴上投影有：r D BC D v v v +-=-，l v v v BC D D ω3
3
2r -=+-=
3－4 AB 构件（灰色物体）作平面运动，已知A 点的速度
s A O v A /0cm 4510==ω
AB 的速度瞬心位于C ，应用速度瞬心法有：
rad/s 23
==
AC v A AB ω
BC v AB B ω=，
设OB 杆的角速度为ω，则有
rad/s
415
==OB v B ω
设P 点是AB 构件上与齿轮I 的接触点，
该点的速度：
CP v AB P ω=
齿轮I 的角速度为：rad/s 61
==
r v P
I ω
3－6 AB 杆作平面运动，取A 为基点 根据基点法公式有： BA A B v v v +=
A v
B P v
C
AB ω
I ω B v
BA v
A v
将上式在AB 连线上投影，可得
,01==B O B v ω
因此，
04
1ωω==
AB v A AB
因为B 点作圆周运动，此时速度为零，
因此只有切向加速度（方向如图）。
根据加速度基点法公式
n
t BA
BA A B a a a a ++=
将上式在AB 连线上投影，可得
n 060cos BA A B a a a +=-，r a B 205.2ω-= 2
012
31
ωα-==
B O a B B O （瞬时针）
3－7 齿轮II 作平面运动，取A 为基点有
n t BA BA
A B a
a a a ++=
n t 1BA BA
a
a
a a ++=
将上式在x 投影有：
n
1cos BA
a a a -=-β
由此求得：
2
12
n 2cos 2r a a r a BA
II β
ω+==
再将基点法公式在y 轴上投影有： 2t
2sin r a a II BA αβ==，
由此求得
22sin r a II β
α=
再研究齿轮II 上的圆心，取A 为基点
n t n t 2222
A O A O A O O a a a a a ++=+
将上式在y 轴上投影有
A a
B a
t BA
a
n BA
a
t 2A O
a n 2A
O
a
x
y
n 2
O a
t 2
O
a
2sin 2t t 22β
αa r a a II A
O O ===，
由此解得：
)(2sin 212
1t
2
2
1r r a r r a O
O O +=
+=
β
α
再将基点法公式在x 轴上投影有：
n 1n 22A O O a a a -=- 由此解得：
2cos 1
n 2
a a a O -=β， 又因为2
21n
212
)(O O
O r r a ω+=
由此可得：
)(2cos 2112
1r r a a O O +-±
=βω
3－9 卷筒作平面运动，C 为速度瞬心，其上D 点的速度为v ，卷筒的角速度为：
r R v DC v -=
=
ω
角加速度为：
r R a r R v -=
-==&&ω
α 卷筒O 点的速度为：
r R vR R v O -=
=ω
O 点作直线运动，其加速度为：
r R aR
r R R v v a O O -=
-=
=&&
研究卷筒，取O 为基点，求B 点的加速度。
n
0t B BO O B a a a a ++=
将其分别在x,y 轴上投影
n
t
BO
By BO
O Bx a a a a a -=+=
4
222
2
2)(4)(v r R a r R R
a a a By Bx B +--=
+=
同理，取O 为基点，求C 点的加速度。 n
0t C CO O C a a a a ++=
将其分别在x,y 轴上投影
n
t 0CO
Cy CO O Cx a a a a a ==-=
22)(r R Rv a a Cy
C -=
=
3－10 图示瞬时，AB 杆瞬时平移，因此有：
m /s 2===OA v v A B ω
AB 杆的角速度：0=AB ω
圆盘作平面运动，速度瞬心在P 点，圆盘的 的角速度为：
m/s 4==
r v B
B ω
圆盘上C 点的速度为：m/s 22==PC v B C ω
AB 杆上的A 、B 两点均作圆周运动，取A 为基点
根据基点法公式有 t
n t BA
A B B B a a a a a +=+=
将上式在x 轴上投影可得：0t
=-B a
因此：
2
2n
m/s 8===r v a a B
B
B
由于任意瞬时，圆盘的角速度均为：
r v B
B =
ω
将其对时间求导有：
r a r v B B
B t
==
&&ω，
由于
0t
=B a ，所以圆盘的角加速度0==B B ωα&。 圆盘作平面运动，取B 为基点，根据基点法公式有： n
n t CB
B CB CB B
C a a a a a a +=++=
2
2n 2n m/s
28)()(=+=CB
B C a a a
3－13 滑块C 的速度及其加速度就是DC 杆的速度
B ω
t BA
a
t
B
a A a
n B
a
B
C
B a
n BC a
A v
B v
B ω
P
C v
B v
a
a
r a
e
a K a
和加速度。AB 杆作平面运动，其速度瞬心为P ， AB 杆的角速度为：
rad/s 1==
AP v A
AB ω
杆上C 点的速度为：m /s 2.0==PC v AB C ω
取AB 杆为动系，套筒C 为动点，
根据点的复合运动速度合成定理有： r e a v v v +=
其中：C v v =e ，根据几何关系可求得：
m/s 153r a =
=v v
AB 杆作平面运动，其A 点加速度为零，
B 点加速度铅垂，由加速度基点法公式可知
n
t n t BA
BA BA BA A B a a a a a a +=++=
由该式可求得
2
n
m/s 8.030sin ==BA
B a a
由于A 点的加速度为零，AB 杆上各点加速度的分布如同定轴转动的加速度分布，AB 杆中点的加速度为： 2m/s 4.05.0==B C a a
再取AB 杆为动系，套筒C 为动点，
根据复合运动加速度合成定理有：
K r e a a a a a ++=
其中：a K 表示科氏加速度；牵连加速度就是AB 杆上C 点的加速度，即：2
e m/s 4.0=a
将上述公式在垂直于AB 杆的轴上投影有：
K 0
e 0a 30cos 30cos a a a +=
科氏加速度r K 2v a AB ω=，由上式可求得：
2a m/s 32
=
a
3-14：取圆盘中心1O 为动点，半圆盘为动系，动点的绝对运动为直线运动；相对运动为圆周运动；牵连运动为
B a
t
BA
a
BA
a
C
a
直线平移。
由速度合成定理有：
r e a v v v +=
速度图如图A 所示。由于动系平移，所以u v =e ，
根据速度合成定理可求出：
u
v
v u v v v O 2sin ,3tan e r e a 1=====θθ
由于圆盘O 1 在半圆盘上纯滚动，圆盘O 1相对半圆盘的角速度为：
r u r v 2r ==
ω
由于半圆盘是平移，所以圆盘的角速度就是其相对半圆盘的角速度。
再研究圆盘，取1O 为基点根据基点法公式有：
1
1BO O B v v v +=
u r v v BO Bx -=-=-=0
30sin 30sin 1ω u v v v BO O By 3230cos 0
11=+=
u
v v v By Bx B 132
2=+=
为求B 点的加速度，先求1O 点的加速度和圆盘的角加速度。取圆盘中心1O 为动点，半圆盘为动系，根据加速度合成定理有
t r n r e a a a a a ++= （a ）
其加速度图如图C 所示，r
u
r R v a 2
n
r
n r =
+=
，
将公式（a ）在x 和y 轴上投影可得：
θθθθsin cos :
cos sin 0:n r t r a n r
t r a a a y a a x --=--=
图 B
图 A
图 C
由此求出：r u a a r u a O 2a 2t r
2,31===
，圆盘的角加速度为：22
t r 3r
u r a ==α
下面求圆盘上B 点的加速度。取圆盘为研究对象，1O 为基点，应用基点法公式有：
n
t 1
1
1
BO
BO O B a a a a ++= （b ）
将（b ）式分别在y x ,轴上投影：
t 0
n
t 0n 30
cos 30sin 30sin 30cos 1
1
11
1BO BO O By BO BO Bx a
a
a a a a a ---=+-=
其中：
r u
r a BO 2
2n 41
==ω， r u r a BO
2
t 31
=
=α
由此可得：r
u a B 2
37=
3－15（b ） 取BC 杆为动系（瞬时平移），
套筒A 为动点（匀速圆周运动）。
根据速度合成定理有：
r e a v v v +=
由上式可解得：
r v v ω3
330tan 0a e =
=
因为BC 杆瞬时平移，所以有：
r v v CD ω3
3e =
=
3－15（d ） 取BC 杆为动系（平面运动），
套筒A 为动点（匀速圆周运动）。
BC 杆作平面运动，其速度瞬心为P ，设其角速度为ω
根据速度合成定理有：
t
1
BO a
A a
O 1o B θ
x
y
n 1
BO
a
图 D
a
v
e
v
r v
C
v
r e a v v v +=
根据几何关系可求出：
r
CP r P O 316,382==
将速度合成定理公式在x,y 轴上投影::
BC
y y y y BC
x x x A O v v v v P O v v v v ωω2e r e a 2r r e a ==+=-=+=
由此解得:
r v r BC ωωω)2332(,41+==
DC 杆的速度
r
CP v BC C ωω34
==
3-16(b) BC 杆作平面运动,根据基点法有: n
t n t n t CB
CB B B CB CB B C a a a a a a a a +++=++=
由于BC 杆瞬时平移,0=BC ω,上式可表示成:
t n t CB
B B
C a a a a ++=
将上式在铅垂轴上投影有:
0t
n 30sin 0CB B a a +-= 由此解得:
2
6
1ωα=BC
再研究套筒A,取BC 杆为动系（平面运动），套筒A 为动点（匀速圆周运动）。
K r e a a a a a a ++==A (a)
其中:K a 为科氏加速度,因为0=AB ω,所以0K =a
动点的牵连加速度为: t
e n e e C C C a a a a ++= 由于动系瞬时平移,所以0n e =C a ,AC a BC C α=t
e
牵连加速度为
t
e e C C a a a +=, 则(a)式可以表示成
r t e a a a
a a a ++==C
C A
将上式在y 轴上投影:
t
CB
a
C
a
n B
a
t
B
a
BC α
A a
t e C
a
r a
C
a
t CB
a
C
a
n B
a
t B
a
BC α
t e 0030cos 30cos C C A a a a +-=-
由此求得:
r a C 2
)9321(ω+
=
3－16(d) 取BC 杆为动系，套筒A 为动点， 动点A 的牵连加速度为
n
t e AC
AC C a a a a ++=
动点的绝对加速度为
K AC AC C a a a a a a ++++=r n
t a
其中K a 为动点A 的科氏加速度。
将上式在y 轴上投影有
K AC C a a a a +--=t
00a 30cos 30cos
上式可写成 r 002230cos 30cos v AC a r BC BC C ?+?--=ωαω (a)
其中：
r v r BC ωωω)2332(,41+==
（见3－15d ）BC α为BC 杆的角加速度。
再取BC 杆上的C 点为动点，套筒2O 为动系，由加速度合成定理有
K C '''r e aC a a a a a ++==
其中
n
t e 22'CO CO a a a +=，上式可表示为
K CO CO C ''r n
t 22
a a a a a +++=
将上式在y 轴投影有：
K CO C a a
a '30cos t 0
2
-=-
该式可表示成：
02030sin 230cos C BC BC C v CO a ωα-?=- （b ）
联立求解(a),(b)可得
a
a
K a
r a
y
x
BC α
t AC
a
n
AC
a
C
a
K 'a
C
a
r 'a
y
x
BC
α t
2
CO
a
n 2
CO a
2
283,934ωαω==
BC C r a
3－17 AB 杆作平面运动，其速度瞬心位于P ，
可以证明：任意瞬时，速度瞬心P 均在以O 为
圆心，R 为半径的圆周上，并且A 、O 、P 在同
一直径上。由此可得AB 杆任何时刻的角速度均 为
R v
AP v A
A A
B 2==
ω
杆上B 点的速度为：
A A
B B v PB v 2
2=
=ω
AB 杆的角加速度为：
0===AP
v A
AB
AB
&&ωα
取A 为基点，根据基点法有
n
t n BA
A BA BA A
B a a a a a a +=++=
将上式分别在x,y 轴上投影有
R v sin a
a a R
v cos a a A
BA
A By A BA Bx 434544520
n 20
n =
-==
-=
R v a
a
a A By
Bx
B 410222=
+=
3－18 取DC 杆上的C 点为动点，构件AB 为动系 r e a C C C v v v +=
根据几何关系可求得：r v v C C ω3r e ==
再取DC 杆上的D 点为动点，构件AB 为动系
B v
P
O
R
O
R
A a
n BA
a
x
y
a
C v e
C v e
D v
r D v
r e a D D D v v v +=
由于BD 杆相对动系平移，因此r r D C v v =
将上式分别在x,y 轴上投影可得
r
v v r v v v D y D D D x D ωω2
3
30cos 2
330sin 0r a 0r e a -=-=-=+-=
求加速度：研究C 点有
K r e a C C C C C a a a a a ++==
将上式在y 轴投影有 0K 0r 0e 30sin 30cos 30sin 0C C C a a a +-=
由此求得
r a C 2
r 3ω=
再研究D 点 K r e a D D D D D a a a a a ++==
由于BD 杆相对动系平移，因此r r D C a a =
将上式分别在x,y 轴上投影有
r a a a a r a a a D D D D D D D 2
0K 0r e ay 20K 0r ax 23330sin 30cos 2
930cos 30sin ωω-
=+--==
+=
3－21 由于圆盘纯滚动，所以有αr a C =
根据质心运动定理有：
mg F F F F ma N S
C -+=-=θθsin 0cos
根据相对质心的动量矩定理有
02Fr r F m S -=αρ
求解上式可得：
x
y
r
C a
a
C a
CK
a e
C a
r D a
DK a
e
D a
N
F α
C
a
S
F
)()
cos (220ρθ+-=
r m r r Fr a C ，θsin F mg F N -=
2
202)cos (ρθρ++=
r rr F F S
若圆盘无滑动，摩擦力应满足N S fF F ≤，由此可得：
当：θsin F mg >时，
3－22 研究AB 杆，BD 绳剪断后，其受力如图所示，
由于水平方向没有力的作用，根据质心运动定理可知
AB 杆质心C 的加速度铅垂。 由质心运动定理有：
AN C F mg ma -=
根据相对质心的动量矩定理有：
?αcos 21212l
F ml AN AB =
刚体AB 作平面运动，运动初始时，角速度为零。
A 点的加速度水平，A
B 杆的加速度瞬心位于P 点。
有运动关系式
?αcos 2l
a AB
C =
求解以上三式可求得：
mg F AN 52=
3－25 设板和圆盘中心O 的加速度分别为
O a a ,1，圆盘的角加速度为α，圆盘上与板
min
2
202)
)(sin ()cos (f r F mg rr F f =+-+≥ρθθρg m
AN F C
a
A a
AB α
P
O
a
的接触点为A ，则A 点的加速度为
n
t AO
AO O A a a a a ++=
将上式在水平方向投影有
1t
a R a a a a O AO O Ax =+=+=α （a ）
取圆盘为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
22F a m O = (b)
应用相对质心动量矩定理有
R F R m 22221
=α
(c)
再取板为研究对象，受力如图，应用质心运动定理有
211F F F a m S --=
(d )
作用在板上的滑动摩擦力为：
g m m f fF F N S )(21+== (e)
由(a) (b) (c) (d) (e)联立可解得：
2
12113)(33m m g
m m f F a ++-=
3－29
解：由于系统在运动过程中，只有AB 杆的重力作功，因此应用动能定理，可求出有关的速度和加速度。系统运动到一般位置
时，其动能为AB 杆的动能与圆盘A 的动能之和：
2
22221221212
12
1A
A A A
B
C C J v m J v m T ωω+++
=
其中：
,
sin ,sin sin ,
2
,R l R v l l v l v A A AB A C AB θ
θωθθθωθθω&&&&-==-==-=-=
因此系统的动能可以表示成：
2N F
g 2m
2F
N F
g 1m F
S
F
g 2m 2F
A
ωθ&
A v
C v AB ω
P
θθθθθθθθθ22
222212
2222221212sin 4
361sin 2
21)sin (211221221&&&&&&l m l m R l R m l m l m l m T +=
???
? ??+++???? ??=
系统从0
45=θ位置运动到任意θ角位置，
AB 杆的重力所作的功为：
)
sin 45(sin 20121θ-=→l
g m W
根据动能定理的积分形式
2112→=-W T T
初始时系统静止，所以01=T ，因此有
)sin 45(sin 2sin 4361012222221θθθθ-=+l g m l m l m &&
将上式对时间求导可得：
θθθθθθθθθθ&&&&&&&&cos 2cos sin 23sin 2331132222221l g m l m l m l m -=++
将上式中消去θ&
可得：
θθθθθθθcos 2sin cos 23sin 2331122222221l g m l m l m l m -=++&&&&&
根据初始条件045,0==θθ&
，可求得初始瞬时AB 杆的角加速度 ：
l m m g
m )94(23211+-
=θ&&
因为0<θ&
&，所以AB 杆的角加速度为顺时针。初始瞬时AB 杆的角速度为零，此时AB 杆的加速度瞬心在a c 点，
由此可求出AB
杆上A 点的加速度：
)94(345cos 45sin 21100m m g
m l l a AB A +=
-==θα&&
3－33 设碰撞后滑块的速度、AB 杆的角速度如图所示
g
1m a
c
A a
A v
根据冲量矩定理有：
I v m v m C A =+21 (a)
其中：
C v 为AB 杆质心的速度，根据平面运动关系有
AB
A C l
v v ω2+= (b)
再根据对固定点的冲量矩定理：)(I A A M L =
系统对固定点A （与铰链A 重合且相对地面不动的点）的动量矩为滑块对A 点的动量矩和AB 杆对A 点的动量矩，由于滑块的
动量过A 点，因此滑块对A 点无动量矩，AB 杆对A 点的动量矩（也是系统对A 点的动量矩）为：
AB C
A l m l v m L ω222121
2+=
将其代入冲量矩定理有：
lI l m l v m AB C
=+ω222121
2 (c) 由（a,b,c ）三式求解可得：
292m I v A -
=
(滑块的真实方向与图示相反)
3－34 研究整体，系统对A 轴的动量矩为：
)
()(BC A AC A A L L L +=
其中：AC 杆对A 轴的动量矩为
AC
AC A ml L ω2)(31
=
设1C 为BC 杆的质心，BC 杆对A 轴的动量矩为
BC
C )BC (A ml l mv L ω2121
231+=
BC
AC C C C C l
l v v v ωω211+=+=
根据冲量矩定理 I l L A 2=可得：
lI ml ml BC AC 265
61122=+ωω （a ）
再研究BC 杆，其对与C 点重合的固定点的动量矩为
BC AC BC C C ml ml ml l mv L ωωω22231
2112121
+=+=
根据冲量矩定理I l L C =有：
lI ml ml BC AC =+ωω2231
21 （b ）
联立求解（a ）,(b) 可得
2
rad/s 5.276-=-
=ml I
AC ω
3－35 碰撞前，弹簧有静变形
k mg st =
δ
第一阶段：3m 与1m 通过完全塑性碰撞后一起向下运动，
不计常规力，碰撞前后动量守恒，因此有：
gh
m v )m m (2331=+ 碰撞结束时两物体向下运动的速度为
22gh v =
第二阶段：3m 与1m 一起向下运动后再回到碰撞结束时
的初始位置，根据机械能守恒可知：此时的速度向上，
大小仍然为
22gh v =
第三阶段：3m 与1m 一起上升到最高位置，此时弹簧
被拉长λ。根据动能定理2
112→∑=-W T T 有：
223123122)()()(210λδλδk k g m m v m m st st -+++-=+-
3
m
st δ
v
3
m
st
δ
v
λ
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆 AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A ==ω 习题6-1图 A B C v 0 h 习题6－2图 P AB v C A B C v o h 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v
理论力学-刚体的平面运动
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第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 ( ) ２．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ) 3．刚体作平面运动时,平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 ( ) 4.某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 ( ） 5.刚体作平面运动,若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ) ６．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动,则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 ( ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ) 二、选择题 １．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动,已知B 端的速度为B u ,则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①ｕB si ｎθ; ②u B cos θ； ③ｕＢ/sin θ； ④u Ｂ/cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中,齿轮Ⅱ固定不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r １和r 2，曲柄ＯA 以匀角速度ω0逆时针转动,则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相对角速度ω1r 应为 。 ①ω１r =（r 2/ r 1)ω0（逆钟向）; ②ω1ｒ＝(r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1ｒ=［（r 2＋ r １）／ r 1] ω0(逆钟向)； ④ω1r ＝[(ｒ2＋ r 1)/ r 1］ ω０（顺钟向)。 3.一正方形平面图形在其自身平面内运动，若其顶点A 、B 、C 、D 的速度方向如图(a ）、图(b)所示,则图(a)的运 动是 的，图（b)的运动是 的。 ①可能; ②不可能; ③不确定。
1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。 4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。 5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有 6 个速度瞬心，其中 3 个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μ ν 表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为： (m/s)/mm 。 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为 (m/s2)/mm。 9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij P直接标注在图上)。 P 24）
12 三、 在图a 所示的四杆机构中， l AB =60mm,l CD =90mm ，l AD =l BC =120mm ，ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： 1）当φ＝165°时，点C 的速度v C ； 2）当φ＝165°时，构件3的BC 线上速度最小的一点E 的位置及速度的大小； 3）当v C ＝0时，φ角之值（有两个解）； 解：1）以选定的比例尺μl 作机构运动简图（图b ）。 2）求v C ，定出瞬心P 13的位置（图b ） a ) （P 13） P P 23→∞
刚体的平面运动 刚体的平面运动 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。 一、 刚体的平移（平动） 刚体在运动过程中，如果其上任一直线始终保持与初始的方向平行，则称该刚体作平移或平动。 平移刚体上各点的速度相同，加速度相同，运动轨迹的形状也相同。因此研究刚体的平移问题可简化成一个质点的运动问题来研究。 二、 刚体的定轴转动 刚体在运动过程中，若其上（或刚体的延展体上）有一直线保持不动，且刚体绕此直线转动，则称该刚体作定轴转动。 （1）定轴转动刚体的运动方程： )(t f =? （2）定轴转动刚体的角速度： )(t f ==?ω （3）定轴转动刚体的角加速度： )(t f ===?ω α （4）定轴转动刚体上一点P 的速度和加速度用矢量表示 速度： r v ?=ω （7－1） 加速度：v r a a a ?+?=+=ωαn t （7－2） 其中：ωα,为定轴转动刚体的角速度和角加速度矢量，r 是由转轴上任一点引向P 点的矢径。 三、刚体的平面运动 刚体在运动过程中，若其上任一点到某一固定平面的距离保持不变，则称该刚体作平面运动。研究刚体的平面运动可简化为研究一个平面图形在其所在平面内的运动。 1、 刚体平面运动的角速度和角加速度 在平面图形上任取两点A 、B ，过这两点的连线某一基准线的夹角为θ（如图7-2）。当刚体运动时这个夹角将随时间变化)(t θ，刚体平面运动的角速度和角加速度分别定义为： θ ω =， （7－3） θω α == （7－4） 2、 刚体平面运动的运动方程 平面运动刚体有三个自由度，其运动方程为： )(),(), (321t f t f y t f x A A ===? （7－5） 其中：A 点称为基点（如图7-3所示）。因此刚体的平面运动可视为刚体随基点的平 图7－1 刚体的平面运动是刚体运动的一种特殊形式，可视为刚体的平移与转动的合成。本章研究的主要内容是如何描述刚体的平面运动，以及如何计算刚体上点的速度和加速度。
刚体的平面运动作业1参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
第七章 刚体的平面运动 一、是非题 1．刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 （ ） 2．作平面运动的刚体相对于不同基点的平动坐标系有相同的角速度与角加速度。（ ） 3．刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 （ ） 4．某刚体作平面运动时，若A 和B 是其平面图形上的任意两点，则速度投影定理AB B AB A u u ][][ =永远成立。 （ ） 5．刚体作平面运动，若某瞬时其平面图形上有两点的加速度的大小和方向均相同，则该瞬时此刚体上各点的加速度都相同。 （ ） 6．圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。 （ ） 7．刚体平行移动一定是刚体平面运动的一个特例。 （ ） 二、选择题 1．杆AB 的两端可分别沿水平、铅直滑道运动， 已知B 端的速度为B u ，则图示瞬时B 点相对于A 点的速度为 。 ①u B sin θ； ②u B cos θ； ③u B /sin θ； ④u B /cos θ。 2．在图示内啮合行星齿轮转动系中，齿轮Ⅱ固定 不动。已知齿轮Ⅰ和Ⅱ的半径各为r 1和r 2，曲柄OA 以匀角速度ω0逆时针转动，则齿轮Ⅰ对曲柄OA 的相 对角速度ω1r 应为 。 ①ω1r =（r 2/ r 1）ω0（逆钟向）； ②ω1r =（r 2/ r 1）ω0（顺钟向）； ③ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（逆钟向）； ④ω1r =[(r 2+ r 1)/ r 1] ω0（顺钟向）。
3．一正方形平面图形在其自身平面内运动， 若其顶点A、B、C、D的速度方向如图（a）、图 （b）所示，则图（a）的运动是的， 图（b）的运动是的。 ①可能； ②不可能； ③不确定。 4．图示机构中，O1A=O2B。若以ω1、ε1与ω2、ε2分别表示O1A杆与O2B杆的角速 度和角加速度的大小，则当O1A∥O2B时， 有。 ①ω1=ω2，ε1=ε2； ②ω1≠ω2，ε1=ε2； ③ω1=ω2，ε1≠ε2； ④ω1≠ω2，ε1≠ε2。 三、填空题 1．指出图示机构中各构件作何种运动，轮A（只 滚不滑）作；杆BC作； 杆CD作；杆DE作。 并在图上画出作平面运动的构件、在图示瞬时的速度瞬 心。 2．试画出图示三种情况下，杆BC中点M的 速度方向。
一、填空题： 1．速度瞬心是两刚体上瞬时速度相等的重合点。 2．若瞬心的绝对速度为零，则该瞬心称为绝对瞬心； 若瞬心的绝对速度不为零，则该瞬心称为相对瞬心。 3．当两个构件组成移动副时，其瞬心位于垂直于导路方向的无穷远处。当两构件组成高副时，两个高副元素作纯滚动，则其瞬心就在接触点处；若两个高副元素间有相对滑动时，则其瞬心在过接触点两高副元素的公法线上。4．当求机构的不互相直接联接各构件间的瞬心时，可应用三心定理来求。5．3个彼此作平面平行运动的构件间共有 3 个速度瞬心，这几个瞬心必定位于一条直线上。 6．机构瞬心的数目K与机构的构件数N的关系是K＝N(N－1)/2 。 7．铰链四杆机构共有6个速度瞬心，其中3个是绝对瞬心。 8．速度比例尺μν表示图上每单位长度所代表的速度大小，单位为：(m/s)/mm 。 ？ 加速度比例尺μa表示图上每单位长度所代表的加速度大小，单位为(m/s2)/mm。9．速度影像的相似原理只能应用于构件，而不能应用于整个机构。 10．在摆动导杆机构中，当导杆和滑块的相对运动为平动，牵连运动为转动时（以上两空格填转动或平动），两构件的重合点之间将有哥氏加速度。哥氏加速度的大小为2×相对速度×牵连角速度；方向为相对速度沿牵连角速度的方向转过90°之后的方向。 P直接标注在图上)。 二、试求出图示各机构在图示位置时全部瞬心的位置(用符号 ij
> " 12 三、 在图a 所示的四杆机构中，l AB =60mm,l CD =90mm ， l AD =l BC =120mm ， ω2=10rad/s ，试用瞬心法求： : a ) 24） （P 13） P P 23→∞
1.曲柄OA以角速度=3rad/s转动。在图示位置,,而O1B正好与OO1的延长线重合,求在此瞬时杆AB和O1B的角速度。 2.已知: 曲柄OA= r , 匀角速度w转动,连杆AB的中点C处连接一滑块C可沿导槽O1D滑动, AB=l,图示瞬时O、A、O1三点在同一水平线上, OA^AB, DAO1C= q=30。求:该瞬时O1D的角速度。
3.如图所示曲柄OA以等角速度绕O轴转动时,连杆AB使BO1绕Ol轴摆动又通过连杆BC带动滑块C上下运动。已知OA=r,AB=L,BO1=BC=l,试求在图示位置时滑块C的速度。
4.如图所示筛动机构中,筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄的转速n=40r/min,OA=30cm,当筛子BC运动到与点O在同一水平线上时,∠BAO=90o。求此瞬时筛子BC的速度。 5.直径为0.63m的滚子在水平面上作纯滚动,杆BC一端与滚子铰接,另一端与滑块C铰接。已知图示位置滚子的角速度 =12rad/s,,BC=0.27m,试求该瞬时BC杆的角速度和C点的速度。
6.在如图所示的机构中,已知OA=r=0.2m,O1B=lm,AB=l=1.2m,BC=lm,OA以等角加速度=5rad/s2转动,并在此瞬时角速度=l0rad/s。求当OA与O1B为铅垂时,B点与C点的速度与加速度。 第一套4 7.如图所示的机构中,长为0.2m的曲柄OA以匀角速度=2rad/s转动,连杆AB长l=0.4m,半径r=0.1m的圆盘绕O1轴转动,求图示位置B点的速度和加速度。
8.在如图所示的外啮合行星齿轮的机构中,系杆O1O=l以不变的角速度绕定轴O1转动。在系杆销钉O上装一可自由转动的齿轮I,半径为r,该齿轮沿另一半径为R=l-r的固定齿轮Ⅱ作纯滚动。A、B为轮缘上的两点,点A在OlO的延长线上,点B在垂直于OlO的半径上。试求A、B点的加速度。 最后一套6 9.如图所示,曲柄0.4长50mm,以匀角速度=10rad/s绕O轴转动,通过连杆AD和滑块B、D使摆杆O、C绕Ol轴转动。在图示位置,曲柄OA垂直于水平线OBO1,摆杆O1C与水平线成60o角,且OlD=70mm。试求此瞬时摆杆OlC 的角速度及滑块D的速度。 无答案 10.如图所示的四连杆机构中,曲柄以匀角速度绕O轴转动,且OA=O1B=r,某瞬时∠AOO1=90o,∠BAO=∠ BO1O=45o。求此时B点的加速度和O1B杆的角加速度。
刚体平面运动习题 第八章刚体平面运动的练习 1.真或假(勾选正确和交叉错误) 8-1。刚体的平面运动是一种运动，在这种运动中，刚体上的任何一点与固定平面之间的距离总是平行的。()8-2。平面图形的运动可以看作基点的平移和围绕基点的旋转的组合。()8-3。平面图形上任意两点的速度都相等地投影在一个固定的轴上。()()()8-6。瞬时速度中心的速度为零，加速度为零。()8-7。刚体的平移也是一种平面运动。()2。填空(在横线上写出正确答案) 8-8。在直线轨道上纯滚动时，圆轮与地面接触点的速度为。8-9。平面图上任意两点的速度在上投影中相等。 8-10。瞬时刚体平移时的角速度是:刚体上每个点的速度；每个点的加速度。 3.简短回答问题 8-11。确定图中所示平面运动物体的瞬时速度中心的位置。AbabaccωOboaωOdbω(b)Co(a)(c)图8-11 (d) 8-12。如果一个刚体在一个平面上运动，下面平面图中A和B的速度方向是正确的吗？问题8-12图(c) 8-13。下图中O1A和AC的速度分布是否正确？ 8-14。当圆形车轮在曲线上滚动时，某一瞬时车轮中心的速度vo和加速度ao，而车轮的半径是R，即车轮中心的角度 加速度是多少？如何确定瞬时速度中心的加速度的大小和方向？
蟹爪兰O1VβA01ωO2P 8-13 图8-14 8-15。为什么用基点法计算平面图中单个点的加速度时没有科里奥利加速度？4.计算问题 8-16。椭圆规AB由曲柄OC驱动，曲柄OC以均匀的角速度ω O绕O轴旋转。如图所示，如果以C为基点，OC=BC=AC=r，试着找出椭圆规AB的平面运动方程。 8-17。半径为R的齿轮由曲柄OA驱动，沿半径为R的固定齿轮滚动，如图所示。曲柄以均匀的角加速度α绕O轴旋转，并设定初始角速度ω。角加速度α？0.角落？？0.如果选择移动齿轮的中心C点作为基点，试着找出移动齿轮的平面运动方程。 yay rarαφBMMoxorBx 8-16图ωOO 图8-17 8-18。曲柄和连杆机构，称为OA = 40cm厘米，连杆AB = 1m米，曲柄OA绕O轴以N？180转/分钟均匀旋转，如图所示。当曲柄臂与水平线成45度角时，试着找出连杆臂的角速度和中点的速度。 8-19。众所周知，曲柄OA=r，连杆BC=2r，曲柄OA处于均匀角速度ω？4顺时针旋转/秒，如图所示。试着找出图中瞬时点B的速度和连杆BC的角速度。 AMnOBArOB302rCω问题8-18 图8-19 8-20。如图所示，筛选机通过曲柄OA驱动筛BC摆动。众所周知，
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 2202 1 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?c o s )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0ω=0?= 0 22 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += （4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 h v AC v AP v AB θθω2 000cos cos === 6－3 图示拖车的车轮A 与垫滚B 的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时，轮A 与垫滚B 的角速度A ω与B ω有什么关系？设轮A 和垫滚B 与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解：R v R v A A == ω R v R v B B 22==ω B A ωω2= 6－4 直径为360mm 的滚子在水平面上作纯滚动，杆BC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时，滚子的角速度ω＝12 rad/s ，θ＝30?，?＝60?，BC ＝270mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 习题6-1图 习题6－2图 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ， AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。 一、如图所示，OA 杆以匀角速度ω绕O 轴转动，圆轮可沿水平直线作纯滚动。已知圆轮半径为R ，且OA=R ，AB=2R 。试求图示位置圆轮的角速度和圆心B 的加速度。（18分） 解：（1）速度分析及计算：AB 杆和圆轮作平面运动，选A 为基点 BA A B v v v += OA 杆绕O 轴转动：ω?=R v A AB=2R ，圆轮半径为R ，所以杆AB 与水平面夹角为30° 速度平行四边行如图。由图中几何关系可得： 3/330tan ω?= =R v v A B C 为速度瞬心，此瞬时，圆轮可看成绕速度瞬心C 做定轴转动。 O 轴转动： 2ω?==R a a n A A 由速度平行四边行中几何关系可得： 3 / 230cos /ω?==R v v A BA 所以：22 2 3 2 2// ω?== = R R v AB v a BA BA n BA 选A 为基点，则B 点加速度: τ ++=BA n BA a a a a A B 将上式向x 轴投影得：n BA a a a n --= 30cos 30cos
二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加 速度αOA =0，θ=60°。图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 二、平面连杆机构如图所示。已知：OA =10cm ，AB =BC =24cm 。在图示位置时，OA 的角速度ωOA =3rad/s ，角加速度αOA =0，图示瞬时O 、A 、C 三点位于同一水平线上。试求该瞬时AB 杆的角速度和角加速度。 解：以A 为基点，根据速度合成定理BA A B v v v +=，对B 进行速度分析, 在速度平行四边形中得： cm /s 30310=?=?===OA v v v oA B A BA ω 选A n B A B A a a a a ++= τ A B 即：n B A B A B n B a a a a a ++=+ττA B 点作加速度矢量图如图。由题可知： 222cm /s 90310=?=?=ωOA a n A 222cm/s 5.3724 30===AB v a BA n BA 22 2cm/s 5.372430===BC v a B n B 将 B 点作加速度矢量式向y 轴投影得： τBA n BA n A n B a a a a +-=- 60cos 30sin 得 ： 2cm /s 75.63 -=τBA a 因此得杆AB 的角加速度：
第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是
15春地大《理论力学》在线作业一答案 一、单选题（共 25 道试题，共 100 分。） 1. 在惯性参考系中，不论初始条件如何变化，只要质点不受力的作用，则该质点应保持静止或等速直线运动状态。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 2. 杆OA绕固定轴O转动，某瞬时杆端A点的加速度分别如图（a）、（b）、（c）所示。则该瞬时（）的角速度为零 A. 图（a）系统 B. 图（b）系统 C. 图（c）系统。 正确答案：A 3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 4. 刚体作平面运动时，绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选取无关。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 5. 在任意初始条件下，刚体不受力的作用、则应保持静止或作等速直线平动。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 6. 冲量的量纲与动量的量纲相同。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 7. 刚体作定轴转动，动点M在刚体内沿平行于转动轴的直线运动，若取刚体为动坐标系，则任一瞬时动点的牵连加速度都是相等的。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 8. 作用在一个刚体上的任意两个力成平衡的必要与充分条件是：两个力的作用线相同，大小相等，方向相反。 A. 正确 B. 错误
正确答案：A 9. 任意质点系（包括刚体）的动量可以用其质心（具有系统的质量）的动量来表示。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 10. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 11. - A. A B. B C. C D. D 正确答案：A 12. 作用于刚体的力可沿其作用线移动而不改变其对刚体的运动效应。 A. 正确 B. 错误 正确答案：A 13. 在点的合成运动中，动点的绝对加速度总是等于牵连加速度与相对加速度的矢量和。 A. 正确 B. 错误 正确答案：B 14. 一动点作平面曲线运动，若其速率不变，则其速度矢量与加速度矢量 A. 平行 B. 垂直 C. 夹角随时间变化 正确答案：B 15. 下列关于刚体平面运动的说法错误的是（） A. 刚体运动时，其上任一点到某固定平面的距离保持不变 B. 可以用刚体上一个与固定平面平行的平面图形在自身平面内的运动代替刚体的整体运动 C. 刚体的平面运动可分解为随基点的平动和绕基点的转动 D. 基点可以是平面图形内任一点，通常其运动状态未知 正确答案：D 16. 关于刚体的平面运动，下列说法正确的是（） A. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择有关，而绕基点转动的规律与基点的选择无关 B. 平面运动随基点平动的运动规律与基点的选择无关，而绕基点转动的规律与基点的选择有关
8-1 图示四杆机构1OABO 中，AB B O OA 2 1 1= =；曲柄OA 的角速度s rad /3=ω。求当090=?而曲柄B O 1重合于1OO 的延长线上时，杆AB 和曲柄B O 1的角速度。 参考答案： 因OA 杆作定轴转动，故OA v A ?=ω。AB 杆做平面运动其速度瞬心为O 点， s rad OA v A AB /3=== ωω，而OA OB v AB B ?=?=ωω3， 所以s rad s rad B O OA B O v B B O /2.5/3333111≈==?== ωωω（逆时针） 8-2 四连杆机构中，连杆AB 上固联一块三角板 ABD 。机构由曲柄A O 1带动。已知：曲柄 的角速度s rad A O /21=ω；曲柄cm A O 101=，水平距离cm O O 521=；AD=5cm ,当A O 1铅垂时， AB 平行于21O O ，且AD 与1AO 在同一直线上；角030=?。求三角板ABD 的角速度和D 点的速度。 参考答案：三角板 ABD C ，由此可得： s rad ctg O O AO AO AC v A O A /07.121111=?+?==?ωω s cm CD v D /35.25=?=ω 8-7 如图所示，在振动机构中，筛子的摆动由曲柄连杆机构所带动。已知曲柄OA 的转速cm OA r n 30min,/40==。当筛子BC 运动到与点O 在同一水平线上时，090=∠BAO ，求此瞬时筛子BC 的速度。 解：由图示机构知BC 作平行移动，图示位置时，B v 与CBO 夹角为30°， 与AB 夹角为60°。 A v B v A v B v
刚体的平面运动作业参考答案 1．图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。如曲柄OA 以等角加速度α 绕O 轴转动，当运动开始时，角速度ω0=0，转角?0=0，求动齿轮以中心A 为基点的平面运动方程。 答案： 2A 2 2 )(21 , 2 sin )( , 2 cos )(t r R r t r R y t r R x A A α?αα+= +=+= 2． 图示平面机构中，曲柄OA =R ，以角速度ω 绕O 轴转动。齿条AB 与半径为 2 R r =的齿轮相啮合，并由曲柄销A 带动。求当齿条与曲柄的交角θ =60o时，齿 轮的角速度。 答案：顺时针 31ωω= 提示：可先用速度投影法求出齿条上与齿轮重合点的速度。
3．图中曲柄OA 长150mm ，连杆AB 长200mm ，BD 长300mm 。设OA ⊥OO 1时，AB ⊥OA ，θ =60o，曲柄OA 的角速度为4rad/s ；求此时机构中点B 和D 的速度以及杆AB 、O 1B 和BD 的角速度。 答案： 逆时针 顺时针顺时针 rad/s 3 4 , rad/s 4 , rad/s 3 , mm/s 800 , mm/s 34001 O =====BD B AB D B v v ωωω 提示：在图示瞬时，杆AB 的速度瞬心为点C ，杆BD 的速度瞬心为点E 。 4．图示平面机构中，曲柄长OA =r ，以角速度ω0绕O 轴转动。某瞬时，摇杆O 1N 在水平位置，而连杆NK 和曲柄OA 在铅垂位置。连杆上有一点D ，其位置为 DK =31 NK ，求D 点的速度。 答案：←= 3 2 0ωr v D 提示：在图示瞬时，杆AB 瞬时平动，杆KN 的速度瞬心为点N 。
理论力学课后习题答案-第6章--刚体的平面运动分析
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄OA 带动，沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动，当运动开始时，角速度0ω= 0，转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解：?cos )(r R x A += （1） ?sin )(r R y A += （2） α为常数，当t = 0时，0 ω=0 ?= 0 2 2 1t α?= （3） 起始位置，P 与P 0重合，即起始位置AP 水平，记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ?=CP CP 0 ，即 θ?r R = ?θr R =， ??r r R A +=（4） 将（3）代入（1）、（2）、（4）得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为： ??? ? ? ? ??? +=+=+=222212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα 6－2 杆AB 斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动，如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作 平面运动，点C 的速度v C 沿杆AB 如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ，点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωA v C A B C v o h θ 习题6－2解图
习题6-6图 习题6-6解图 l ? υ l 2B O 1ωA B A υB υO 1 O AB ωω 解：图（a ）中平面运动的瞬心在点O ，杆BC 的瞬心在点C 。 图（b ）中平面运动的杆BC 的瞬心在点P ，杆 AD 做瞬时平移。 6－6 图示的四连杆机械OABO 1中，OA = O 1B = 2 1 AB ，曲柄OA 的角速度ω= 3rad/s 。试求当示。?= 90°而曲柄O 1B 重合于OO 1的延长线上时，杆AB 和曲柄O 1B 的角速度。 解：杆AB 的瞬心在O 3===ωωOA v A AB rad/s ωl v B 3= 2.531===ωωl v B B O rad/s 6－7 绕电话线的卷轴在水平地面上作纯滚动，线上的点A 有向右的速度v A = 0.8m/s ，试求卷轴中心O 的速度与卷轴的角速度，并问此时卷轴是向左，还是向右方滚动？ 解：如图 333.16 .08 .03.09.0==-=A O v ωrad/s 2.16 89.09.0=?==O O v ωm/s 卷轴向右滚动。 ω ω 习题6-5解图 O O 1 A B C O O 1 A B D v B v v v v B v v P (a (b 习题6-7图
第八章 刚体的平面运动习题解 [习题8-1] 椭圆规尺ＡＢ由曲柄ＯＣ带动，曲柄以匀角速度ω０绕Ｏ轴匀速转动。如ＯＣ＝ ＢＣ＝ＡＣ＝ｒ，并取Ｃ为基点，求椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程。 解： 椭圆规尺ＡＢ的平面运动方程为： t r r x C 0cos cos ω?== t r r y C 0sin sin ω?== t 0ω?-=（顺时针转为负）。 [习题8-2] 半径为ｒ的齿轮由曲柄ＯＡ带动，沿半径为Ｒ的固定齿轮滚动。如曲柄ＯＡ以匀加 速度α绕Ｏ轴转动，且当运动开始时，角速度ω０＝０，转角φ＝０，求动齿轮以中心Ａ为基点 的平面运动方程。 解： αω =dt d dt d αω= 1C t +=αω 100C +?=α 01=C t αω= t dt d αω? == tdt d α?= 222 1C t +=α? 22021 0C +?=α 02=C 22 1t α?=
2cos )(cos )(2 t r R r R x A α?+=+= 2 sin )(sin )(2 t r R r R y A α?+=+= A A r t r R OA v ωαω=?+=?=)( t r r R A αω?+= t r r R dt d A α??+= dt t r r R d A ??+= α? 32 2 C t r r R A +??+=α? 32020C r r R +??+= α 03=C 22t r r R A α??+= 故，动齿轮以中心Ａ为基点的平面运动方程为： 2 cos )(2 t r R x A α+= 2 sin )(2 t r R y A α+= 22t r r R A α??+= [习题8-3] 试证明：作平面运动的平面图形内任意两点的连线中点的速度等于该两点速度的矢量和之一半。 已知：如图所示，CB AC =， →A v ，→ B v 求证：)(2 1→ →→ +=B A C v v v 证明：
第6章 刚体的平面运动分析 6－1 图示半径为r 的齿轮由曲柄ＯA 带动,沿半径为R 的固定齿轮滚动。曲柄OA 以等角加速度α绕轴O 转动,当运动开始时,角速度0ω= 0,转角0?= 0。试求动齿轮以圆心A 为基点的平面运动方程。 解:?cos )(r R x A +=?(１） ?sin )(r R y A +=?（2） α为常数,当ｔ = 0时，0ω=0?= 0 2 2 1t α?= （３) 起始位置,P 与Ｐ０重合，即起始位置ＡP 水平,记θ=∠OAP ，则AP 从起始水平位置至图示AP 位置转过 θ??+=A 因动齿轮纯滚，故有? ? =CP CP 0，即 θ?r R = ?θr R = ， ??r r R A += (4) 将（３）代入(１）、（2)、（4)得动齿轮以A 为基点的平面运动方程为: ??? ? ?? ??? +=+=+=22 2212sin )(2cos )(t r r R t r R y t r R x A A A α?αα ６-2 杆A Ｂ斜靠于高为h 的台阶角C 处，一端A 以匀速v 0沿水平向右运动,如图所示。试以杆与铅垂线的夹角θ 表示杆的角速度。 解：杆AB 作平面运动,点C 的速度v Ｃ沿杆A Ｂ如图所示。作速度v C 和v 0的垂线交于点P ,点P 即为杆AB 的速度瞬心。则角速度杆AB 为 6-３ 图示拖车的车轮A 与垫滚Ｂ的半径均为r 。试问当拖车以速度v 前进时,轮A 与垫滚Ｂ的角速度A ω与B ω有什么关系?设轮A 和垫滚Ｂ与地面之间以及垫滚B 与拖车之间无滑动。 解: R v R v A A == ω R v R v B B 22== ω B A ωω2= ６－4 直径为360ｍｍ的滚子在水平面上作纯滚动,杆ＢC 一端与滚子铰接，另一端与滑块C 铰接。设杆BC 在水平位置时,滚子的角速度ω＝12 ra ｄ／ｓ，θ=3０?,?=60?，BC ＝２70mm 。试求该瞬时杆BC 的角速度和点C 的速度。 h v AC v AP v AB θθω2000cos cos === 习题6-1图 A B C v 0 h θ 习题6－2图 P ωAB v C A B C v o h θ 习题6－2解图 习题6-3解图 习题6-3图 v A = v v B = v ωA ωB
习 题 8-1 椭圆规尺AB 由曲柄OC 带动，曲柄以匀角速度O ω绕轴O 转动，初始时OC 水平，如图8-28所示。OC = BC = AC =r ，取C 为基点，试求椭圆规尺AB 的平面运动方程。 图8-28 t t r y t r x O O C O C ω?ωω===sin cos 8-2 半径为R 的圆柱缠以细绳，绳的B 端固定在天花板上，如图8-29所示。圆柱自静止下落，其轴心的速度为3/32gh v A =，其中g 为常量，h 为轴心A 至初始位置的距离。试求圆柱的平面运动方程。 图8-29 3/32gh v A = 3/22 gh v A = 3/g a A = 3/2 gt x A = 0=A y )3/(2r gt A =? 8-3 杆AB 的A 端以等速v 沿水平面向右滑动，运动时杆恒与一半径为R 的固定半圆柱 面相切，如图8-30所示。设杆与水平面间的夹角为θ，试以角θ表示杆的角速度。 图8-30 瞬心法 θ θθ θ ωcos sin cot sin 2 R v R v AI v A == = 基点法 θsin v v CA = θ θ θ θωcos sin cot sin 2 R v R v CA v CA === 8-4 图8-31所示两平行齿条同向运动，速度分别为v 1和v 2，齿条之间夹一半径为r 的齿轮，试求齿轮的角速度及其中心O 的速度。 图8-31 AB B A v v v += ωr v v 221+= r v v 22 1-= ω OB B O v v v += 2 2 12v v r v v O += +=ω 8-5 两直杆AC 、BC 铰接于点C ，杆长均为l ，其两端A 、B 分别沿两直线运动，如图8-32所示。当ADBC 成一平行四边形时，m/s 4.0m/s,2.0==B A v v ，试求此时点C 的速度。 图8-32