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第3章 回归预测方法

第3章 回归预测方法
第3章 回归预测方法

第3章回归预测方法

思考与练习(参考答案)

1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。

答:相关分析与回归分析的主要区别:

(1)相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。

(2)相关分析中,两个变量要求都是随机变量,并且不必区分自变量和因变量;而回归分析中自变量是普通变量,因变量是随机变量,并且必须明确哪个是因变量,哪些是自变量;

(3)相关分析中两变量是对等的,改变两者的地位,并不影响相关系数的数值,只有一个相关系数。而在回归分析中,改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。

联系为:

(1)相关分析是回归分析的基础和前提。只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。

(2)回归分析是相关分析的继续和深化。只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系,并进一步进行预测。

2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下:

(1)计算产品销售额与利润额的相关系数;

r=,说明销售额与利润额高度相关。

解:应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934

(2)建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型,并对回归模型进行显著性检验(取α=0.05);

解:应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为: 7.273,0.074a b =-=

据此,建立的线性回归方程为 ?7.2730.074Y

x =-+ ① 模型拟合优度的检验

由于相关系数0.9934r =,所以模型的拟合度高。 ② 回归方程的显著性检验

应用Excel 软件数据分析功能得0.05

?=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著.

③ 回归系数的显著性检验

0.025?=21.22(6) 2.447t

t >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著. 实际上,一元线性回归模型由于自变量只有一个,因此回归方程的显著性检验与回归系数b 的显著性检验是等价的。

(3)若企业产品销售额为500万元,试预测其销售利润。

根据建立的线性回归方程 ?7.2730.074Y x =-+,当销售额500x =时,销售利润?29.73Y

=万元。

3.某公司下属企业的设备能力和劳动生产率的统计资料如下:

该公司现计划新建一家企业,设备能力为7.2千瓦/人,试预测其劳动生产率,并

求出其95%的置信区间。

解:绘制散点图如下:

散点图近似一条直线,计算设备能力和劳动生产率的相关系数为0.9806,故可以采用线性回归模型进行拟合。

应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为: 3.115, 1.43a b ==

据此,建立的线性回归方程为 ? 3.115+1.43Y

x =,对模型进行检验如下: (1)模型拟合优度的检验

由于相关系数0.9806r =,所以模型的拟合度高。 (2)回归方程的显著性检验

应用Excel 软件数据分析功能得0.05

?=300.34(1,12) 4.75F F >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著.

(3)回归系数的显著性检验

0.025?=17.33(12) 2.1788t

t >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著. 当设备能力为7.2千瓦/人时根据建立的线性回归模型? 3.115+1.43Y x = ,可得劳动生产率?13.41Y

=。其95%的置信区间为[12.44,14.38] 4.某市1977~1988 年主要百货商店营业额、在业人员总收入、当年竣工住宅面积的统计数据如下:

根据上述统计数据:

(1)建立多元线性回归模型;

解:应用Excel 软件数据分析功能求得多元线性回归模型的参数为:

0120.2233,0.1.0.077βββ===

据此,建立的线性回归方程为 12

?0.22330.10.077Y x x =++ (2)对回归模型进行拟合优度检验、F 检验、t 检验和DW检验(取α=0.05)

解:①拟合度检验

应用Excel 软件计算得0.9808R =,接近于1,说明模型的拟合程度越高 ②F 检验

应用Excel 软件计算得?113.88F =,查表得0.05(2,9) 4.26F =,故0.05

?(2,9)F F > 说明在α=0.05水平下回归效果显著。

③t检验

应用Excel 软件计算得12??5.188,0.849t

t ==,查表得0.025(9) 2.262t =,故10.025?(9)t t >,说明在α=0.05水平下1β显著不为0,自变量1x 对?Y 有显著影响,而20.025?(9)t t <,故接受假设20β=,说明2x 对?Y

无显著影响。 ④ DW 检验

通过计算得2

1

2

2

1

()55.31

DW 2.7919.84

n

i

i i n

i

i e e

e

-==-=

=

=∑∑ 当0.05,2,12a m n ===时,查DW 检验表,因DW 检验表中,样本容量最低是15,故取:

0.82, 1.75L U d d ==,则有4DW <4U L d d -<-之间。由此可以得出检验无结论。检验结果表

明,不能判断回归模型是否存在自相关。

(3)假定该市在业人员总收入、当年竣工住宅面积在1988 年的基础上分别增长15%、17%,请对该市1989 年主要百货商店营业额作区间估计(取α=0.05)。

解:回归方程为12

?0.22330.10.077Y x x =++。但由于2x 对Y 无显著影响,故用方程1

?0.22330.1Y x =+做回归预测: 1

?0.22330.10.22330.1248.5 1.1528.8Y x =+=+??= 预测区间为: 2

00

?[(1)]Y t n m S ε±--,即0.025[28.8(9) 1.4848]t ±?,故当 1989年在业人员总收入为 285.775 千万元时,在α=0.05显著性水平上,营业额的区间估计为:[25.44,32.16] 千万元。

5.下表是某百货商店某年的商品销售额和商品流通费率数据,根据表中数据: (注:题中的商品销售额为分组数据,自变量取值可用其组中值)

(1)拟合适当的曲线模型;

解:绘制散点如下

根据散点图的形状,与双曲线函数接近,故采用双曲线模型。 设双曲线回归预测方程为:011Y x

ββ=+ 令1

x x

'=

,则方程可转换为:01Y x ββ'=+ 应用Excel 软件数据分析功能求得参数为: 012.225,7.621ββ==,由此可得双曲线回归方程为:12.2257.621Y x

=+

(2)对模型进行显著性检验;(取α=0.05)

由于上述双曲线回归方程是通过对其变换后的线性方程01Y x ββ'=+而得到的,因此这里显著性检验主要对方程01Y x ββ'=+进行检验,包括:

①模型拟合优度的检验

相关系数0.9673r =,所以模型的拟合度高。 ②回归方程的显著性检验

应用Excel 软件数据分析功能得0.05

?=101.92(1,7) 5.59F F >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著.

③回归系数的显著性检验

0.025?=12.079(7) 2.365t

t >=,说明在α=0.05水平下回归效果显著. 通过以上检验,说明回归预测方程1

2.2257.621Y x

=+的检验是显著的

(3)当商品销售额为13万元时,预测商品流通费率:

当商品销售额为13万元时,预测商品流通费率为1

? 2.2257.621 2.811(%)13y

=+?= 6.已知下表中(,)

i i x Y 为某种产品销售额的时间序列数据,其中

i

x 为时间序号,i Y

产品销售额(单位:万元)。试利用龚帕兹生长曲线预测2005年该产品的销售额。

解:将上述数据分为三组: 1996-1998为第一组,1999-2001为第二组,2002-2004为第三组;然后求各组的i Y 值的对数和:

311

ln 5.3984i i S Y ===∑,6

24

ln 6.3064i i S Y ===∑, 9

37

ln 6.7359i i S Y ===∑

利用公式,求得:3

3221 6.7359 6.30640.4295

0.47116.3064 5.39480.9116

S S b S S --=

===--,所以0.7781b =

2122()(1)(6.3064 5.3948)(0.77811)

ln 0.9268(1)(0.47111)0.7781

r S S b a b b ---?-=

==--?-?

所以0.3958a =

1(1)0.47111ln 5.39480.7781(0.9268)

10.77811ln 2.3713r b b S a b K r -?--?-??---=== 所以10.71k =,则预测模型为:0.7781?10.710.3958t

Y

=?

故10

0.77812005

?10.710.39589.933Y =?=(万元) 即2005年该产品的销售额预测为9.933万元。

计量经济学 一般估计方法 NLS GLS GMM 逐步筛选 对数极大似然

10 *一般估计方法 回归方程的估计在特定的条件下选择适当的估计方法会使得结果更加接近实际,更具有说服力。满足古典线性回归模型的基本假设条件下,利用普通最小二乘法(OLS )估计出来的系数具备优良的线性无偏最小方差(BLUE )的性质。如果一些条件不能满足,例如出现非线性模型、异方差、序列相关等情形,就无法得到这样的性质。并且在面对因变量有影响而难以取舍或特殊的计量模型时,就需要改进估计方法以获得更加满意的估计结果。下面依次介绍几种常见的一般估计方法:非线性最小二乘法(NLS )、广义最小二乘法(GLS )、广义矩阵法(GMM )、逐步筛选最小二乘法、对数极大似然估计法。 10.1 非线性最小二乘法 最小二乘法适用的古典假设之一是回归模型是线性的,然而社会经济现象是极其复杂的,有时被解释变量与解释变量之间的关系不一定是线性的。例如柯布.道格拉斯(Cobb-Dauglass )生产函数模型: 321t t t t y L K u ααα=+ , t=1,2,...,T (10.1.1) 对此方程(10.1.2)进行对数变换,如下式 123ln ln ln t t t t y L K u ααα=+++ (10.1.2) 虽然式(10.1.2)的变量是非线性形式,此时我们仍能采用估计线性模型的方法,因此模型是参数线性的。反之,就是参数非线性的,我们就要采用非线性的估计方法。 构建下面的非线性模型: (,)t t t y f x u α=+ ,t=1,2,…,T (10.1.3) 式中,y 是被解释变量,x 为解释变量(向量),t u 为误差项,α为待估计的K 维参数向量12(,,...,)k αααα'=,T 是样本个数。此处讨论的是,f 关于参数α的导数仍含参数α本身,即参数非线性模型。 非线性最小二乘估计是要选择参数向量α的估计值?α 使残差平方和S(?α)

相关分析与回归分析的异同

问:请详细说明相关分析与回归分析的相同与不同之处 相关分析与回归分析都是研究变量相互关系的分析方法,相关分析是回归分析的基础,而回归分析则是认识变量之间相关程度的具体形式。 下面分为三个部分详细描述两种分析方法的异同: 第一部分:相关分析 一、相关的含义与种类 (一)相关的含义 相关是指自然与社会现象等客观现象数量关系的一种表现。 相关关系是指现象之间确实存在的一定的联系,但数量关系表现为不严格相互依存关系。即对一个变量或几个变量定一定值时,另一变量值表现为在一定范围内随机波动,具有非确定性。如:产品销售收入与广告费用之间的关系。 (二)相关的种类 1. 根据自变量的多少划分,可分为单相关和复相关 2. 根据相关关系的方向划分,可分为正相关和负相关 3. 根据变量间相互关系的表现形式划分,线性相关和非线性相关 4.根据相关关系的程度划分,可分为不相关、完全相关和不完全相关 二、相关分析的意义与内容 (一)相关分析的意义 相关分析是研究变量之间关系的紧密程度,并用相关系数或指数来表示。其目的是揭示现象之间是否存在相关关系,确定相关关系的表现形式以及确定现象变量间相关关系的密切程度和方向。 (二)相关分析的内容 1. 明确客观事物之间是否存在相关关系 2. 确定相关关系的性质、方向与密切程度 三、直线相关的测定 (一)相关表与相关图 1. 相关表 在定性判断的基础上,把具有相关关系的两个量的具体数值按照一定顺序平行排列在一张表上,以观察它们之间的相互关系,这种表就称为相关表。 2. 相关图

把相关表上一一对应的具体数值在直角坐标系中用点标出来而形成的散点图则称为相关图。利用相关图和相关表,可以更直观、更形象地表现变量之间的相互关系。 (二)相关系数 1. 相关系数的含义与计算 相关系数是直线相关条件下说明两个变量之间相关关系密切程度的统计分析指标。相关系数的理论公式为: y x xy r δδδ2= (1)xy 2δ 协方差 x δ x 的标准差 y δ y 的标准差 (2)xy 2δ 协方差对相关系数r 的影响,决定:???<>数值的大小正、负)或r r r (00 简化式 ()()2222∑∑∑∑∑∑∑-?--= y y n x x n y x xy n r 变形:分子分母同时除以2 n 得 r =???????????? ??-???????????? ??-?-∑∑∑∑∑∑∑2222n y n y n x n x n y n x n xy =()[]()[]2222y y x x y x xy -*-?-=y x y x xy δδ-?- n x x x ∑-=2)(δ=()[]n x x x x ∑+?-222=()222x n x x n x +??-∑∑ = () 22x x - 2. 相关系数的性质

MATLAB回归预测模型

MATLAB---回归预测模型 Matlab统计工具箱用命令regress实现多元线性回归,用的方法是最小二乘法,用法是:b=regress(Y,X) [b,bint,r,rint,stats]=regress(Y,X,alpha) Y,X为提供的X和Y数组,alpha为显着性水平(缺省时设定为0.05),b,bint为回归系数估计值和它们的置信区间,r,rint为残差(向量)及其置信区间,stats是用于检验回归模型的统计量,有四个数值,第一个是R2,第二个是F,第三个是与F对应的概率 p ,p <α拒绝 H0,回归模型成立,第四个是残差的方差 s2 。 残差及其置信区间可以用 rcoplot(r,rint)画图。 例1合金的强度y与其中的碳含量x有比较密切的关系,今从生产中收集了一批数据如下表 1。 先画出散点图如下: x=0.1:0.01:0.18; y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]; plot(x,y,'+') 可知 y 与 x 大致上为线性关系。 设回归模型为y =β 0+β 1 x

用regress 和rcoplot 编程如下: clc,clear x1=[0.1:0.01:0.18]'; y=[42,41.5,45.0,45.5,45.0,47.5,49.0,55.0,50.0]'; x=[ones(9,1),x1]; [b,bint,r,rint,stats]=regress(y,x); b,bint,stats,rcoplot(r,rint) 得到 b =27.4722 137.5000 bint =18.6851 36.2594 75.7755 199.2245 stats =0.7985 27.7469 0.0012 4.0883 即β 0=27.4722 β 1 =137.5000 β 的置信区间是[18.6851,36.2594], β 1 的置信区间是[75.7755,199.2245]; R2= 0.7985 , F = 27.7469 , p = 0.0012 , s2 =4.0883 。可知模型(41)成立。

应用回归分析第三章课后习题整理

y1 1 x11 x12 x1p 0 1 3.1 y2 1 x21 x22 x2p 1 + 2 即y=x + yn 1 xn1 xn2 xnp p n 基本假定 (1) 解释变量x1,x2…,xp 是确定性变量,不是随机变量,且要求 rank(X)=p+1

n 注 tr(H) h 1 3.4不能断定这个方程一定很理想,因为样本决定系数与回归方程中 自变量的数目以及样本量n 有关,当样本量个数n 太小,而自变量又较 多,使样本量与自变量的个数接近时, R 2易接近1,其中隐藏一些虚 假成分。 3.5当接受H o 时,认定在给定的显著性水平 下,自变量x1,x2, xp 对因变量y 无显著影响,于是通过x1,x2, xp 去推断y 也就无多大意 义,在这种情况下,一方面可能这个问题本来应该用非线性模型去描 述,而误用了线性模型,使得自变量对因变量无显著影响;另一方面 可能是在考虑自变量时,把影响因变量y 的自变量漏掉了,可以重新 考虑建模问题。 当拒绝H o 时,我们也不能过于相信这个检验,认为这个回归模型 已经完美了,当拒绝H o 时,我们只能认为这个模型在一定程度上说明 了自变量x1,x2, xp 与自变量y 的线性关系,这时仍不能排除排除我 们漏掉了一些重要的自变量。 3.6中心化经验回归方程的常数项为0,回归方程只包含p 个参数估计 值1, 2, p 比一般的经验回归方程减少了一个未知参数,在变量较 SSE (y y)2 e12 e22 1 2 1 E( ) E( - SSE* - n p 1 n p n 2 [D(e) (E(e ))2 ] 1 n (1 1 n 2 en n E( e 1 1 n p 1 1 n p 1 1 "1 1 n p 1 J (n D(e) 1 (p 1)) 1_ p 1 1 1 n p 1 2 2 n E(e 2 ) (1 h ) 2 1

总结:线性回归分析的基本步骤

总结:线性回归分析的基本 步骤 -标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

线性回归分析的基本步骤 步骤一、建立模型 知识点: 1、总体回归模型、总体回归方程、样本回归模型、样本回归方程 ①总体回归模型:研究总体之中自变量和因变量之间某种非确定依赖关系的计量模型。Y X U β=+ 特点:由于随机误差项U 的存在,使得Y 和X 不在一条直线/平面上。 例1:某镇共有60个家庭,经普查,60个家庭的每周收入(X )与每周消费(Y )数据如下: 作出其散点图如下:

②总体回归方程(线):由于假定0EU =,因此因变量的均值与自变量总处于一条直线上,这条直线()|E Y X X β=就称为总体回归线(方程)。 总体回归方程的求法:以例1的数据为例 由于01|i i i E Y X X ββ=+,因此任意带入两个X i 和其对应的E (Y |X i )值,即可求出01ββ和,并进而得到总体回归方程。

如将()()222777100,|77200,|137X E Y X X E Y X ====和代入 ()01|i i i E Y X X ββ=+可得:0100117710017 1372000.6ββββββ=+=?????=+=?? 以上求出01ββ和反映了E (Y |X i )和X i 之间的真实关系,即所求的总体回归方程为:()|170.6i i i E Y X X =+,其图形为: ③样本回归模型:总体通常难以得到,因此只能通过抽样得到样本数据。如在例1中,通过抽样考察,我们得到了20个家庭的样本数据: 那么描述样本数据中因变量Y 和自变量X 之间非确定依赖关系的模型 ?Y X e β =+就称为样本回归模型。

你应该要掌握的7种回归分析方法

你应该要掌握的7种回归分析方法 标签:机器学习回归分析 2015-08-24 11:29 4749人阅读评论(0) 收藏举报 分类: 机器学习(5) 目录(?)[+]转载:原文链接:7 Types of Regression Techniques you should know!(译者/刘帝伟审校/刘翔宇、朱正贵责编/周建丁) 什么是回归分析? 回归分析是一种预测性的建模技术,它研究的是因变量(目标)和自变量(预测器)之间的关系。这种技术通常用于预测分析,时间序列模型以及发现变量之间的因果关系。例如,司机的鲁莽驾驶与道路交通事故数量之间的关系,最好的研究方法就是回归。 回归分析是建模和分析数据的重要工具。在这里,我们使用曲线/线来拟合这些数据点,在这种方式下,从曲线或线到数据点的距离差异最小。我会在接下来的部分详细解释这一点。 我们为什么使用回归分析? 如上所述,回归分析估计了两个或多个变量之间的关系。下面,让我们举一个简单的例子来理解它: 比如说,在当前的经济条件下,你要估计一家公司的销售额增长情况。现在,你有公司最新的数据,这些数据显示出销售额增长大约是经济增长的2.5倍。那么使用回归分析,我们就可以根据当前和过去的信息来预测未来公司的销售情况。 使用回归分析的好处良多。具体如下: 1.它表明自变量和因变量之间的显著关系;

2.它表明多个自变量对一个因变量的影响强度。 回归分析也允许我们去比较那些衡量不同尺度的变量之间的相互影响,如价格变动与促销活动数量之间联系。这些有利于帮助市场研究人员,数据分析人员以及数据科学家排除并估计出一组最佳的变量,用来构建预测模型。 我们有多少种回归技术? 有各种各样的回归技术用于预测。这些技术主要有三个度量(自变量的个数,因变量的类型以及回归线的形状)。我们将在下面的部分详细讨论它们。 对于那些有创意的人,如果你觉得有必要使用上面这些参数的一个组合,你甚至可以创造出一个没有被使用过的回归模型。但在你开始之前,先了解如下最常用的回归方法: 1. Linear Regression线性回归 它是最为人熟知的建模技术之一。线性回归通常是人们在学习预测模型时首选的技术之一。在这种技术中,因变量是连续的,自变量可以是连续的也可以是离散的,回归线的性质是线性的。 线性回归使用最佳的拟合直线(也就是回归线)在因变量(Y)和一个或多个自变量(X)之间建立一种关系。 用一个方程式来表示它,即Y=a+b*X + e,其中a表示截距,b表示直线的斜率,e是误差项。这个方程可以根据给定的预测变量(s)来预测目标变量的值。

回归分析方法及其应用中的例子

3.1.2 虚拟变量的应用 例3.1.2.1:为研究美国住房面积的需求,选用3120户家庭为建模样本,回归模型为: 123log log P Y βββ++logQ= 其中:Q ——3120个样本家庭的年住房面积(平方英尺) 横截面数据 P ——家庭所在地的住房单位价格 Y ——家庭收入 经计算:0.247log 0.96log P Y -+logy=4.17 2 0.371R = ()() () 上式中2β=0.247-的价格弹性系数,3β=0.96的收入弹性系数,均符合经济学的常识,即价格上升,住房需求下降,收入上升,住房需求也上升。 但白人家庭与黑人家庭对住房的需求量是不一样的,引进虚拟变量D : 01i D ?=?? 黑人家庭 白人家庭或其他家庭 模型为:112233log log log log D P D P Y D Y βαβαβα+++++logQ= 例3.1.2.2:某省农业生产资料购买力和农民货币收入数据如下:(单位:十亿元) ①根据上述数据建立一元线性回归方程:

? 1.01610.09357y x =+ 20.8821R = 0.2531y S = 67.3266F = ②带虚拟变量的回归模型,因1979年中国农村政策发生重大变化,引入虚拟变量来反映农村政策的变化。 01i D ?=?? 19791979i i <≥年 年 建立回归方程为: ?0.98550.06920.4945y x D =++ ()() () 20.9498R = 0.1751y S = 75.6895F = 虽然上述两个模型都可通过显着性水平检验,但可明显看出带虚拟变量的回归模型其方差解释系数更高,回归的估计误差(y S )更小,说明模型的拟合程度更高,代表性更好。 3.5.4 岭回归的举例说明 企业为用户提供的服务多种多样,那么在这些服务中哪些因素更为重要,各因素之间的重要性差异到底有多大,这些都是满意度研究需要首先解决的问题。国际上比较流行并被实践所验证,比较科学的方法就是利用回归分析确定客户对不同服务因素的需求程度,具体方法如下: 假设某电信运营商的服务界面包括了A1……Am 共M 个界面,那么各界面对总体服务满意度A 的影响可以通过以A 为因变量,以A1……Am 为自变量的回归分析,得出不同界面服务对总体A 的影响系数,从而确定各服务界面对A 的影响大小。 同样,A1服务界面可能会有A11……A1n 共N 个因素的影响,那么利用上述方法也可以计算出A11……A1n 对A1的不同影响系数,由此确定A1界面中的重要因素。 通过两个层次的分析,我们不仅得出各大服务界面对客户总体满意度影响的大小以及不同服务界面上各因素的影响程度,同时也可综合得出某一界面某一因素对总体满意度的影响大小,由此再结合用户满意度评价、与竞争对手的比较等因素来确定每个界面细分因素在以后工作改进中的轻重缓急、重要性差异等,从而起到事半功倍的作用。 例 3.5.4:对某地移动通信公司的服务满意度研究中,利用回归方法分析各服务界面对总体满意度的影响。 a. 直接进入法 显然,这种方法计算的结果中,C 界面不能通过显着性检验,直接利用分析结果是错误

一元线性回归分析法

一元线性回归分析法 一元线性回归分析法是根据过去若干时期的产量和成本资料,利用最小二乘法“偏差平方和最小”的原理确定回归直线方程,从而推算出a(截距)和b(斜率),再通过y =a+bx 这个数学模型来预测计划产量下的产品总成本及单位成本的方法。 方程y =a+bx 中,参数a 与b 的计算如下: y b x a y bx n -==-∑∑ 222 n xy x y xy x y b n x (x)x x x --==--∑∑∑∑∑∑∑∑∑ 上式中,x 与y 分别是i x 与i y 的算术平均值,即 x =n x ∑ y =n y ∑ 为了保证预测模型的可靠性,必须对所建立的模型进行统计检验,以检查自变量与因变量之间线性关系的强弱程度。检验是通过计算方程的相关系数r 进行的。计算公式为: 22xy-x y r= (x x x)(y y y) --∑∑∑∑∑∑ 当r 的绝对值越接近于1时,表明自变量与因变量之间的线性关系越强,所建立的预测模型越可靠;当r =l 时,说明自变量与因变量成正相关,二者之间存在正比例关系;当r =—1时,说明白变量与因变量成负相关,二者之间存在反比例关系。反之,如果r 的绝对值越接近于0,情况刚好相反。 [例]以表1中的数据为例来具体说明一元线性回归分析法的运用。 表1: 根据表1计算出有关数据,如表2所示: 表2:

将表2中的有关数据代入公式计算可得: 1256750x == (件) 2256 1350y ==(元) 1750 9500613507501705006b 2=-??-?=(元/件) 100675011350a =?-=(元/件) 所建立的预测模型为: y =100+X 相关系数为: 9.011638 10500])1350(3059006[])750(955006[1350 750-1705006r 22==-??-???= 计算表明,相关系数r 接近于l ,说明产量与成本有较显著的线性关系,所建立的回归预测方程较为可靠。如果计划期预计产量为200件,则预计产品总成本为: y =100+1×200=300(元)

第六章相关与回归分析方法

第六章 相关与回归分析方法 第一部分 习题 一、单项选择题 1.单位产品成本与其产量的相关;单位产品成本与单位产品原材料消耗量的相关 ( )。 A.前者是正相关,后者是负相关 B.前者是负相关,后者是正相关 C.两者都是正相关 D.两者都是负相关 2.样本相关系数r 的取值范围( )。 A.-∞<r <+∞ B.-1≤r ≤1 C. -l <r <1 D. 0≤r ≤1 3.当所有观测值都落在回归直线 01y x ββ=+上,则x 与y 之间的相关系数( )。 A.r =0 B.r =1 C.r =-1 D.|r|=1 4.相关分析与回归分析,在是否需要确定自变量和因变量的问题上( )。 A.前者无需确定,后者需要确定 B.前者需要确定,后者无需确定 C.两者均需确定 D.两者都无需确定 5.直线相关系数的绝对值接近1时,说明两变量相关关系的密切程度是( )。 A.完全相关 B.微弱相关 C.无线性相关 D.高度相关 6.年劳动生产率x(千元)和工人工资y(元)之间的回归方程为y=10+70x ,这意味着年劳动生产率每提高1千元时,工人工资平均( )。 A.增加70元 B.减少70元 C.增加80元 D.减少80元 7.下面的几个式子中,错误的是( )。 A. y= -40-1.6x r=0.89 B. y= -5-3.8x r =-0.94 C. y=36-2.4x r =-0.96 D. y= -36+3.8x r =0.98 8.下列关系中,属于正相关关系的有( )。 A.合理限度内,施肥量和平均单产量之间的关系 B.产品产量与单位产品成本之间的关系 C.商品的流通费用与销售利润之间的关系 D.流通费用率与商品销售量之间的关系 9.直线相关分析与直线回归分析的联系表现为( )。 A.相关分析是回归分析的基础 B.回归分析是相关分析的基础 C.相关分析是回归分析的深入 D.相关分析与回归分析互为条件 10.进行相关分析,要求相关的两个变量( )。 A.都是随机的 B.都不是随机的 C.一个是随机的,一个不是随机的 D.随机或不随机都可以 11.相关关系的主要特征是( )。 A.某一现象的标志与另外的标志之间存在着确定的依存关系 B.某一现象的标志与另外的标志之间存在着一定的关系,但它们不是确定的关系 C.某一现象的标志与另外的标志之间存在着严重的依存关系 D.某一现象的标志与另外的标志之间存在着函数关系 12.相关分析是研究( )。 A.变量之间的数量关系 B.变量之间的变动关系 C.变量之间相互关系的密切程度 D.变量之间的因果关系 13.现象之间相互依存关系的程度越低,则相关系数( )。 A.越接近于0 B.越接近于-1 C.越接近于1 D.越接近于0.5 14.在回归直线01y x ββ=+中,若10 β<,则x 与y 之间的相关系数( )。 A. r=0 B. r=1 C. 0<r <1 D. —l <r <0 15.当相关系数r=0时,表明( )。 A.现象之间完全无关 B.相关程度较小

回归研究分析方法总结全面

回归分析方法总结全面

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一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法,其基本组成是一个(或一组)自变量与一个(或一组)因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系,即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象,根据其相关的形态,建立一个适当的数学模型(函数式),来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程,它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同,可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系,可通过建立直线方程来反映,这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系,可通过建立非线性回归方程来反映,这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态,建立适当的数学模型,通过数学模型来反映现象之间的相关关系,从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系,因此当自变量发生变化时,可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值,虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距),但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。 3.计算估计标准误差。通过估计标准误差这一指标,可以分析回归估计值与实际值之间的差异程度以及估计值的准确性和代表性,还可利用估计标准误差对因变量估计值进行在一定把握程度条件下的区间估计。 四、一元线性回归分析 1.一元线性回归分析的特点 1)两个变量不是对等关系,必须明确自变量和因变量。 2)如果x和y两个变量无明显因果关系,则存在着两个回归方程:一个是以x为自变量,y 为因变量建立的回归方程;另一个是以y为自变量,x为因变量建立的回归方程。若绘出图

应用回归分析第三版·何晓群-第三章所有习题答案

应用回归分析第三章习题 3.1 y x =β 基本假定: (1) 诸1234n x ,x x ,x x ……非随机变量,rank (x )=p+1,X 为满秩矩阵 (2) 误差项()()200i i j E ,i j cov ,,i j ?ε=? ?δ=?εε=??≠?? (3)()2 0i i j ~N ,,?εδ??εε??诸相互独立 3.2 ()10111 ?X X X X |rank(X X )p rank(X )p n p -'β'≠'=+≥+≥+存在,必须使存在。即|则必有故 3.3 ()()()() ()22 11 122 12 22211111111 n n n i i ii i i i n ii i n i i E e D e h n h n p ?E E e n p n p n p =====??==-δ ????? =-δ=--δ ??? ??∴δ ==--δ=δ ? ----??∑∑∑∑∑ 3.4 并不能这样武断地下结论。2 R 与回归方程中的自变量数目以及样本量n 有关,当样本量n 与自变量个数接近时,2 R 易接近1,其中隐含着一些虚假成分。因此,并不能仅凭很大的2 R 就模型的优劣程度。 3.5 首先,对回归方程的显著性进行整体上的检验——F 检验 001230p H :β=β=β=β==β=……

接受原假设:在显著水平α下,表示随机变量y 与诸x 之间的关系由线性模型表示不合适 拒绝原假设:认为在显著性水平α下,y 与诸x 之间有显著的线性关系 第二,对单个自变量的回归系数进行显著性检验。 00i H :β= 接受原假设:认为i β=0,自变量i x 对y 的线性效果并不显著 3.6 原始数据由于自变量的单位往往不同,会给分析带来一定的困难;又由于设计的数据量较大,可能会以为舍入误差而使得计算结果并不理想。中心化和标准化回归系数有利于消除由于量纲不同、数量级不同带来的影响,避免不必要的误差。 3.7 11 22 011122201122p p p p p p p ?????y x x x ??????y y (x x )(x x )(x x )????y x x )x x )x x )y =β +β+β++β-=β+β-+β-++β--ββ=-+-++-=对最小二乘法求得一般回归方程: ……对方程进行如下运算: …… ……*j j ?+β=……即 3.8 121321233132212312212331 312311232332 13 231313********* 111 r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r ?? ?= ? ????==-?= =-?= =-即证

回归分析与相关分析联系 区别

回归分析与相关分析联系、区别?? 简单线性回归分析是对两个具有线性关系的变量,研究其相关性,配合线性回归方程,并根据自变量的变动来推算和预测因变量平均发展趋势的方法。 回归分析(Regression analysis)通过一个变量或一些变量的变化解释另一变量的变化。 主要内容和步骤:首先依据经济学理论并且通过对问题的分析判断,将变量分为自变量和因变量,一般情况下,自变量表示原因,因变量表示结果;其次,设法找出合适的数学方程式(即回归模型)描述变量间的关系;接着要估计模型的参数,得出样本回归方程;由于涉及到的变量具有不确定性,接着还要对回归模型进行统计检验,计量经济学检验、预测检验;当所有检验通过后,就可以应用回归模型了。 回归的种类 回归按照自变量的个数划分为一元回归和多元回归。只有一个自变量的回归叫一元回归,有两个或两个以上自变量的回归叫多元回归。 按照回归曲线的形态划分,有线性(直线)回归和非线性(曲线)回归。 相关分析与回归分析的关系 (一)相关分析与回归分析的联系 相关分析是回归分析的基础和前提,回归分析则是相关分析的深入和继续。相关分析需要依靠回归分析来表现变量之间数量相关的具体形式,而回归分析则需要依靠相关分析来表现变量之间数量变化的相关程度。只有当变量之间存在高度相关时,进行回归分析寻求其相关的具体形式才有意义。如果在没有对变量之间是否相关以及相关方向和程度做出正确判断之前,就进行回归分析,很容易造成“虚假回归”。与此同时,相关分析只研究变量之间相关的方向和程度,不能推断变量之间相互关系的具体形式,也无法从一个变量的变化来推测另一个变量的变化情况,因此,在具体应用过程中,只有把相关分析和回归分析结合起来,才能达到研究和分析的目的。 (二)相关分析与回归分析的区别 1.相关分析中涉及的变量不存在自变量和因变量的划分问题,变量之间的关系是对等的;而在回归分析中,则必须根据研究对象的性质和研究分析的目的,对变量进行自变量和因变量的划分。因此,在回归分析中,变量之间的关系是不对等的。 2.在相关分析中所有的变量都必须是随机变量;而在回归分析中,自变量是确定的,因变量才是随机的,即将自变量的给定值代入回归方程后,所得到的因变量的估计值不是唯一确定的,而会表现出一定的随机波动性。 3.相关分析主要是通过一个指标即相关系数来反映变量之间相关程度的大小,由于变量之间是对等的,因此相关系数是唯一确定的。而在回归分析中,对于互为因果的两个变量(如人的身高与体重,商品的价格与需求量),则有可能存在多个回归方程。 需要指出的是,变量之间是否存在“真实相关”,是由变量之间的内在联系所决定的。相关分析和回归分析只是定量分析的手段,通过相关分析和回归分析,虽然可以从数量上反映变量之间的联系形式及其密切程度,但是无法准确判断变量之间内在联系的存在与否,也无法判断变量之间的因果关系。因此,在具体应用过程中,一定要注意把定性分析和定量分析结合起来,在定性分析的基础上展开定量分析。

回归预测方法

第3章回归预测方法 思考与练习(参考答案) 1.简要论述相关分析与回归分析的区别与联系。 答:相关分析与回归分析的主要区别: (1)相关分析的任务是确定两个变量之间相关的方向和密切程度。回归分析的任务是寻找因变量对自变量依赖关系的数学表达式。 (2)相关分析中,两个变量要求都是随机变量,并且不必区分自变量和因变量;而回归分析中自变量是普通变量,因变量是随机变量,并且必须明确哪个是因变量,哪些是自变量; (3)相关分析中两变量是对等的,改变两者的地位,并不影响相关系数的数值,只有一个相关系数。而在回归分析中,改变两个变量的位置会得到两个不同的回归方程。 联系为: (1)相关分析是回归分析的基础和前提。只有在相关分析确定了变量之间存在一定相关关系的基础上建立的回归方程才有意义。 (2)回归分析是相关分析的继续和深化。只有建立了回归方程才能表明变量之间的依赖关系,并进一步进行预测。 2.某行业8个企业的产品销售额和销售利润资料如下: (1)计算产品销售额与利润额的相关系数; r=,说明销售额与利润额高度相关。 解:应用Excel软件数据分析功能求得相关系数0.9934 (2)建立以销售利润为因变量的一元线性回归模型,并对回归模型进行显着性检验(取α=);

解:应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为: 7.273,0.074a b =-= 据此,建立的线性回归方程为 ?7.2730.074Y x =-+ ① 模型拟合优度的检验 由于相关系数0.9934r =,所以模型的拟合度高。 ② 回归方程的显着性检验 应用Excel 软件数据分析功能得0.05 ?=450.167(1,6) 5.99F F >=,说明在α=水平下回归效果显着. ③ 回归系数的显着性检验 0.025?=21.22(6) 2.447t t >=,说明在α=水平下回归效果显着. 实际上,一元线性回归模型由于自变量只有一个,因此回归方程的显着性检验与回归系数b 的 显着性检验是等价的。 (3)若企业产品销售额为500万元,试预测其销售利润。 根据建立的线性回归方程 ?7.2730.074Y x =-+,当销售额500x =时,销售利润?29.73Y =万元。 3.某公司下属企业的设备能力和劳动生产率的统计资料如下: 企业代号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 设备能力 (千瓦/人) 劳动生产率(万元/人) 该公司现计划新建一家企业,设备能力为千瓦/人,试预测其劳动生产率,并求出 其95%的置信区间。 解:绘制散点图如下: 散点图近似一条直线,计算设备能力和劳动生产率的相关系数为,故可以采用线性回归模型进行拟合。 应用Excel 软件数据分析功能求得回归方程的参数为: 3.115, 1.43a b ==

相关系数与回归分析

第八章相关与回归分析 114、什么叫相关分析? 研究两个或两个以上变量之间相关程度大小以及用一定涵数来表达现象相互关系的方法。 115、什么叫相关关系? 相关关系是一种不完全确定的依存关系,即因素标志的每一个数值都可能有若干结果标志的数值与之对应。 116、判定现象之间有无相关关系的方法有哪些? 判断现象之间有无相关关系,首先要对其作定性分析,否则很可能把虚假相关现象拿来作相关分析。相关表和相关图都是判定现象之间有无相关关系的重要方法。而相关系数主要是用来测定现象之间相关的密切程度的指标,估计标准误差是判定回归方程式代表性大小的指标。所以判断方法有客观现象作定性分析、编制相关表、绘制相关图。 117、什么叫相关系数? 测定变量之间相关密切程度和相关方向的指标。 118、相关系数有何特点? 参与相关分析的两个变量是对等的,不分自变量与因变量,因此相关系数只有一个。相关系数有正负号反映相关关系的方向中,正负瓜果正相关,负号反映负相关。计算相关系数的两个变量都是随机变量。 119、某产品产量与单位成本的相关系数是-0.8;(乙)产品单位成本与利润率的相关系数是-0.95;(乙)比(甲)的相关程度高吗? 相关系数是说明相关程度大小的指标,相关系数的取值范围在±1之间,相关系数越接近±1,说明两变量相关程度越高,越接近于0,说明相关程度越低。因此,(乙)比(甲)的相关程度高。 120、什么叫回归分析? 对具有相关关系的两个或两个以上变量之间数量变化的一般关系进行测定,确定一个相应的数学表达式,已从一个已知量推算另一个未知量,为估计预测提供一个重要方法。 121、与相关分析相比,回归分析有什么特点? 两个变量是不对等的,必须区自变量与因变量;因变量是随机的,自变量是可以控制的;对于一个没有因果关系的两个变量,可以求得两个回归方程,一个是Y倚X的回归方程,另一个是X倚Y的回归方程。 122、回归方程中回归系数的涵义是什么? 回归系数表示:当自变量X每增减一个单位时,因变量Y的平均增减值。 123、当所有的观测值都落在直线y c=a+bx上时,则x与y之间的相关系数为多少?

第三章 回归预测法

第三章 回归预测法 基本内容 一、一元线性回归预测法 是指成对的两个变量数据分布大体上呈直线趋势时,运用合适的参数估计方法,求出一元线性回归模型,然后根据自变量与因变量之间的关系,预测因变量的趋势。由于很多社会经济现象之间都存在相关关系,因此,一元线性回归预测具有很广泛的应用。进行一元线性回归预测时,必须选用合适的统计方法估计模型参数,并对模型及其参数进行统计检验。 1、建立模型 一元线性回归模型: i i i x b b y μ++=10 其中,0b ,1b 是未知参数,i μ为剩余残差项或称随机扰动项。 2、用最小二乘法进行参数的估计时,要求i μ满足一定的假设条件: ①i μ是一个随机变量; ②i μ的均值为零,即()0=i E μ; ③在每一个时期中,i μ的方差为常量,即()2 σμ=i D ; ④各个i μ相互独立; ⑤i μ与自变量无关; 3、参数估计 用最小二乘法进行参数估计,得到的0b ,1b 的公式为: ()()() ∑∑---= 2 1 x x y y x x b x b y b 10-= 4、进行检验 ①标准误差:估计值与因变量值间的平均平方误差。其计算公式为:()2 ?2 --= ∑n y y SE 。 ②可决系数:衡量自变量与因变量关系密切程度的指标,在0与1之间取值。其计算公式 为:()()()() ()()∑∑∑∑∑---=??? ??? ? ? ----=222 2 2 2 ?1y y y y y y x x y y x x R 。

③相关系数;计算公式为:()()()() ∑∑∑----=2 2 y y x x y y x x r 。 ④回归系数显著性检验 i 检验假设:0:10=b H ,0:11≠b H 。 ii 检验统计量:b S b t 1 = ~()2-n t ,其中() ∑-=2 x x SE S b 。 iii 检验规则:给定显著性水平α,若αt t >,则回归系数显著。 ⑤回归模型的显著性检验 i 检验假设::0H 回归方程不显著 ,:1H 回归方程显著。 ii 检验统计量:()()() 2??2 2 ---= ∑∑n y y y y F ~()2,1-n F 。 iii 检验规则:给定显著性水平α,若()2,1->n F F α,则回归方程显著。 ⑥得宾—沃森统计量(D —W ):检验i μ之间是否存在自相关关系。 ()∑∑==--= -n i i n i i i W D 1 222 1μ μμ,其中i i i y y ?-=μ。 5、进行预测 小样本情况下,近似的置信区间的常用公式为:置信区间=tSE y ±?。 二、多元线性回归预测法 社会经济现象的变化往往受到多个因素的影响,因此,一般要进行多元回归分析,我们把包括两个或两个以上自变量的回归成为多元回归。多元回归与医院回归类似,可以用最小二乘法估计模型参数。也需对模型及模型参数进行统计检验。选择合适的自变量是正确进行多元回归预测的前提之一,多元回归模型自变量的选择可以利用变量之间的相关矩阵来解决。 1、 建立模型—以二元线性回归模型为例 二元线性回归模型:222110i i x b x b b y μ+++=。类似使用最小二乘法进行参数估计。 2、 拟合优度指标 ①标准误差:对y 值与模型估计值之间的离差的一种度量。其计算公式为: ()3 ?2 --= ∑n y y SE

回归分析方法总结全面

一、什么是回归分析 回归分析(Regression Analysis)是研究变量之间作用关系的一种统计分析方法,其基本组成是一个(或一组)自变量与一个(或一组)因变量。回归分析研究的目的是通过收集到的样本数据用一定的统计方法探讨自变量对因变量的影响关系,即原因对结果的影响程度。 回归分析是指对具有高度相关关系的现象,根据其相关的形态,建立一个适当的数学模型(函数式),来近似地反映变量之间关系的统计分析方法。利用这种方法建立的数学模型称为回归方程,它实际上是相关现象之间不确定、不规则的数量关系的一般化。 二、回归分析的种类 1.按涉及自变量的多少,可分为一元回归分析和多元回归分析一元回归分析是对一个因变量和一个自变量建立回归方程。多元回归分析是对一个因变量和两个或两个以上的自变量建立回归方程。 2.按回归方程的表现形式不同,可分为线性回归分析和非线性回归分析 若变量之间是线性相关关系,可通过建立直线方程来反映,这种分析叫线性回归分析。 若变量之间是非线性相关关系,可通过建立非线性回归方程来反映,这种分析叫非线性回归分析。 三、回归分析的主要内容 1.建立相关关系的数学表达式。依据现象之间的相关形态,建立适当的数学模型,通过数学模型来反映现象之间的相关关系,从数量上近似地反映变量之间变动的一般规律。 2.依据回归方程进行回归预测。由于回归方程反映了变量之间的一般性关系,因此当自变量发生变化时,可依据回归方程估计出因变量可能发生相应变化的数值。因变量的回归估计值,虽然不是一个必然的对应值(他可能和系统真值存在比较大的差距),但至少可以从一般性角度或平均意义角度反映因变量可能发生的数量变化。

生产函数估计与预测方法介绍

生产函数估计与预测方法介绍 一、生产函数的估计 1.含义 我们在《经济学》课程的学习中已经知道,产量是由生产要素的投入数量和组合关系决定的。那么生产函数的估计实际就是客观反映生产量与各生产要素投入量之间的函数关系。 2.方法与步骤 估计生产函数最常用的方法是利用实际收集到的一组数据进行回归分析,这种方法较为客观,通过它得到的信息比较完全和精确。 为了完成回归分析,我们必须首先构造一个生产函数并确定函数的具体形式;然后再在收集数据的基础上用回归分析方法求出函数的具体参数值;最后,我们还需要检验回归结果对数据的拟合程度,以及回归分析的前提条件是否成立,因为一个没有显著函数关系或回归分析前提条件不成立的回归分析结果是没有意义的。 (1)影响变量的选取 就一个具体的回归分析而言,各个变量必须具有特定的含义。在进行回归分析时,我们应该对于研究对象具有深入的了解,否则在函数构造这一步可能会漏掉一些很重要的解释变量。在进行回归分析时应注意不要漏掉重要的解释变量,但这并不意味着解释变量越多越好,因为在模型中包括一些并不重要的解释变量反而会引起一些统计上的问题,一般来说,当解释变量超过5至6个时,就可能降低模型的自由度,甚至引起多重共线性问题,这些都会影响到模型的解释力。对于一些属性因素,如年龄、季节、性别等,如不同的属性表现对被解释变量有明显不同的影响时,还需设计虚拟变量。 (2)生产函数形式的确定 上面所构造的生产函数只涉及了变量的选取,但为了完成回归分析,我们必须确定生产函数的具体形式。生产函数可采用多元线性的,但一般最常用的是柯布—道格拉斯生产函数 2 211b b X AX Y = (3)数据的收集 当模型的具体形式已经确定下来之后,我们需要针对模型中的变量收集样本数据。数据类型包括时序数据和截面数据。回归分析中也会碰到数据不足的情况,这时我们就不得不做一些理论上简化, (4)建立回归方程及参数估计 1)一元线性回归模型 ①总体回归模型 如果两个变量在总体上存在线性回归关系,可以用下式表示 ε++=bx a Y —随机误差

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